八年级数学比例线段8

比例线段(2)
【教学目标】
A（了解）1. 知道比例线段的概念，能说出比例关系式中比例的内项、外项、第四比例项和比例中项．
2. 通过与小学所学有关比例的知识的类比，学习比例线段的有关概念，进一
步体会类比的方法．
3. 通过等比性质的证明以初步渗透“参数”(设比值为“k”)的思想方法． B（理解）能熟记比例的基本性质；能熟记并会证明比例的合比性质与等比性质．
C（掌握）能够运用比例的性质进行简单的计算和证明.
【教学重点】
比例的基本性质及其证明.
【教学难点】
等比性质的证明.
【教学过程】
一、复习引入：
小学里已经学过了比例的有关知识，下面请同学们口答下列问题：
（1）如果a与b的比值和c与d的比值相等，应记为：。

（2）已知2：3＝4：x，则：x= 。

（3）比例的基本性质是什么？
二、讲授新课：
上节课学习了两条线段的比，本节课就来学习比例线段。

1．引入概念：
（1）比例线段及其相关概念
问题1：在矩形ABCD和A’B’C’D’中，AB=50，BC=25，A’B’=20，B’C’=10。

求线段AB:BC和A’B’:B’C’的值，它们有
什么关系？（学生计算并找出它们
的关系）
由以上例题引出“比例线段”
的概念：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

已知四条线段a 、b 、c 、d ,如果d
c b a =（或a :b =c :
d ），那么a 、b 、c 、d 叫做组成比例的项，线段a 、d 叫做比例外项，线段b 、c 叫做比例内项，线段d 叫做a 、b 、c 第四比例项。

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即
c b b a =（或a :b =b :c ），那么线段b 叫做线段a 和c 的比例中项。

（2）“比例线段”和“线段的比”的区别
问题2：“比例线段”和“线段的比”这两个概念有什么区别？（学生回答）
结论：线段的比是指两条线段之间的比的关系，比例线段是指四条线段之间的关系。

（3）注意：概念的有序性
线段的比有顺序性，a :b 和b :a 通常是不相等的。

比例线段也有顺序性，如
d c b a =叫做线段a 、b 、c 、d 成比例，而不能说成是b 、a 、c 、d 成比例。

第四比例项也有顺序性，如d
c b a =中，线段
d 叫做a 、b 、c 的第四比例项，而不能说成“线段d 叫做b 、a 、c 的第四比例项”。

2．比例的性质：
（1） 比例的基本性质
问题3：前面我们已经回答了，如果d
c b a =（或a :b =c :
d ），那么ad =bc ,即比例的两外项的积等于两内项的积，那么如何证明呢？（引导学生一起证明）
问题4：试说出这个性质的逆命题，它是真命题吗？如何证明？（由学生完成） 结论：ad =bc ⇔ a :b =c :d ．
问题5：如果a :b =c :d 中的两个比例内项相等，即当a :b =b :c 时，又可以得到什么结论呢？（学生口答）
结论：由比例的基本性质可得：a :b =b :c ⇔ac b =2．
（2） 合比性质
问题6：刚才我们用等式的性质证明了比例的基本性质，如果我们继续用等式的性质，能否得到比例的其它性质呢？比如：在比例式
d
c b a =的两边都加上1，会得到什么结果呢？（引导学生思考并推出合比性质） 结论：如果
d c b a =，那么d
d c b b a +=+． 问题7：请仿照上面的方法，证明“如果d c b a =，那么d d c b b a -=-”（P205．练习2）．
合比性质：如果
d c b a =，那么d d c b b a ±=±． （3）等比性质
问题8：购物中的比例 五角钱买两支铅笔，一元钱可以买四支铅笔，那么一元五角钱可以买多少铅笔？这里隐藏了比例的什么性质呢？ 分析：买铅笔所用的钱与铅笔数量的比（4
100250=＝25），其结果（25）就是铅笔的单价，一元五角钱是把两次买铅笔的钱数相加，六支铅笔是把两次买的铅笔数相加，其单价并没有变化（254210050=++），可见4100250=＝4
210050++． 问题9：试猜想n
m f e d c b a =⋅⋅⋅===（0≠+⋅⋅⋅+++n f d b ），与n
f d b m e c a +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++相等吗？能否证明你的猜想？（引导学生从上述实例中找出证明方法） 等比性质：如果n m d c b a =⋅⋅⋅==（0≠+⋅⋅⋅++n d b ），那么n d b m c a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++＝b a ． 问题10：等比性质中，为什么要0≠+⋅⋅⋅++n d b 这个条件？
3．例题（P205．练习1第（2）小题）
从ad =bc ，根据什么性质可以得到d :b =c :a ？从ad =bc ，还可以得到哪些比例？
解：从ad =bc ，根据等式的性质（两边同时除以ab ）可以得到
a
c b
d =（即d :b =c :a ）, 从ad =bc ，还可以得到下面7种比例： ∵ad =bc ，两边同时除以ac 得：
a
b c d =（即d :c =b :a ）； 两边同时除以bd 得：d
c b a =（即a :b =c :
d ）； 两边同时除以cd 得：d b c a =（即a :c =b :d ）； 另外，把上面的4个比例式中的左右两边对调，还可以得到4个比例式，即：
b d a
c =；c
d a b =；b a d c =；c
a d
b =． （这8个比例式不需要学生记忆，只要能正确地写出需要的那一个就可以了。

）
三、 课堂练习：
1.若m 是2、3、8的第四比例项，则m ＝ ；
2．若x 是a 、b 的比例中项，且a ＝3，b ＝27，则x ＝ ；
若线段x 是线段a 、b 的比例中项，且a ＝3，b ＝27，则x ＝ ；
3．课本P205.练习3。

4．若a:b:c=2:3:7,且a ＋b ＋c =36,则a = ； b = ； c = 。

四、
本课小结：
1．概念
比例内项 比例中项
a :
b =
c :
d a :b =b :c
a 、
b 、
c 的第四比例项
比例外项
a 、
b 、b 的第四比例项
2．比例的性质：
比例的基本性质：a :b =c :d ⇔ad =bc ；
a :
b =b :
c ⇔ac b =2
． 合比性质：如果
d c b a =，那么d
d c b b a ±=±． 等比性质：如果n m d c b a =⋅⋅⋅==（0≠+⋅⋅⋅++n d b ），那么n d b m c a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++＝b a ． 3．等比性质的证明中渗透了设参数的思想，这是数学中的一种重要思想。

五、 布置作业：
1． 课本习题5.1A 组第4题；
2． 补充：已知a:b:c=4:3:2,且a ＋3b －3c =14,求a 、b 、c 的值。

【学生使用资料】
1．命题：如果d
c b a =（或a :b =c :
d ），那么ad =bc 。

请说出这个性质的逆命题，它是真命题吗？请证明。

2．证明：如果
d c b a =，那么d d c b b a -=-。

3．试猜想n
m f e d c b a =⋅⋅⋅===（0≠+⋅⋅⋅+++n f d b ），与n f d b m e c a +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++相等吗？能否证明你的猜想？
课堂练习：
1.若m 是2、3、8的第四比例项，则m ＝ ；
2．若x 是a 、b 的比例中项，且a ＝3，b ＝27，则x ＝ ；
若线段x 是线段a 、b 的比例中项，且a ＝3，b ＝27，则x ＝ ；
3．课本P205.练习3；
4．若a:b:c=2:3:7,且a ＋b ＋c =36,则a = ； b = ； c = 。

布置作业：
1．课本习题5.1A组第4题；
2．补充：已知a:b:c=4:3:2,且a＋3b－3c=14,求a、b、c的值。