高一下学期数学必修二导学案(总体离散程度的估计)
总体离散程度的估计 教学设计 2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
《总体离散程度的估计》教学设计【教学目标】1.会用样本的极差、方差和标准差估计总体的离散程度。
2.通过对样本的数字特征估计总体的数字特征地研究，渗透统计学的思想和方法。
3.培养收集数据、分析数据、归纳和整理数据的能力，拓展实用技能。
【教学重难点】1.教学重点：根据样本方差和标准差的计算估计总体的离散程度2.教学难点：方差和标准差计算公式的推导过程【教学过程】教学活动设计意图一．创设情境，提出问题在总体集中趋势的估计中学习了众数、中位数和平均数，它们在概括一组数据的特征时往往容易忽视边界值，以致于数据分析不够完善。
根据国家气象局提供的数据显示，某年成都市和哈密市的月平均气温如下：成都： 7 9 15 20 22 24 28 30 23 17 13 8 （℃）哈密：-10 -4 15 23 26 31 34 37 32 23 8 1 （℃）问题：两个市的平均气温是多少？思考：两个市的气温类似吗？二．构建模型，讲授新知将以上数据绘制成折线图问题1：根据该折线图你发现了什么？（每个数据都在平均数上下波动）问题2：如何用数学语言刻画数据的波动幅度？（每个数据与平均值的差的绝对值作为“距离”）因此，总距离：平均距离：但在实际计算中绝对值的运算繁琐复杂，通常改用平方替换。
方差：在实际问题中让学生初步感受对一组数据仅仅研究集中趋势是不够完善的，以此引出学习新知识的重要性和必要性，能激发学生的求知欲，发展学生数学建模核心素养。
通过对折线图的细致分析和观察，领悟如何描证明：实践：请计算两地某年的月气温方差问题3：计算出的方差的单位是什么？答：由于方差的单位是原始数据单位的平方，与原始数据不一致，为使二者单位一致，所以对方差开平方，取它的算术平方根标准差：标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大，反之越小三．知识拓展，突出重点如果总体中所有个体的变量分别为Y1，Y2，⋯，Y N，总体平均数为Y̅，则称总体方差：总体标准差：思考？若一组数据是x1，x1，x1，x2，x2，x3，如何求这组数据述一组数据离散程度的思想和方法，以此学习极差、方差和标准差的概念和计算公式。
9.2.4 总体离散程度的估计 教学设计(1)-人教A版高中数学必修第二册
9.2.4 总体离散程度的估计教学设计（1）-人教A版高中数学必修第二册一、教学目标1.了解总体离散程度的概念和计算方法；2.掌握离散系数的计算方法；3.能够运用离散系数解决实际问题。
二、教学内容1.总体离散程度的概念；2.离散系数的计算方法；3.实际问题的解决方法。
三、教学重点1.总体离散程度的概念；2.离散系数的计算方法。
四、教学难点1.离散系数的计算方法；2.实际问题的解决方法。
五、教学过程1. 导入与引入（5分钟）引导学生思考：学过方差和标准差后，我们知道它们分别可以描述一个数据集的离散程度和分布情况。
那么，如果我们想要描述一个总体的离散程度，应该怎么办呢？导入新知：今天，我们将学习总体离散程度的估计方法。
通过计算总体的离散程度，我们可以更好地了解数据的分布情况。
2. 概念讲解（15分钟）引导学生思考：对于一个总体，我们希望得到它的离散程度。
你认为我们可以用什么指标来表示总体的离散程度呢？引入概念：离散系数是一个常用的指标，用来衡量总体的离散程度。
它的计算方法是通过总体标准差和总体均值之间的比值来得到的。
如果离散系数较小，说明总体的离散程度较小，数据较为集中；如果离散系数较大，说明总体的离散程度较大，数据较为分散。
示例展示：通过一个实际例子，向学生演示离散系数的计算方法。
3. 离散系数计算方法（25分钟）引导讨论：通过示例演示，引导学生讨论离散系数的计算方法。
步骤一：计算总体的标准差。
步骤二：计算总体的均值。
步骤三：用总体的标准差除以总体的均值，得到离散系数。
示例练习：提供几个练习，让学生独立计算离散系数。
4. 实际问题解决方法（25分钟）引导思考：离散系数是一个可以应用于实际问题的指标。
你能想到哪些实际问题可以通过计算离散系数来解决呢？示例讲解：给出几个实际问题，分析问题的背景和要求，引导学生运用离散系数解决问题。
5. 拓展应用（10分钟）拓展思考：离散系数在实际应用中还有哪些拓展的可能性？小组讨论：将学生分成小组，让他们思考离散系数在其他领域的应用，并在小组内展开讨论。
统编人教A版高中必修第二册《9.2 用样本估计总体》名校精品导学案
9.2.4总体离散程度的估计知识点一一组数据的方差与标准差知识点二总体方差与总体标准差知识点三 样本方差与样本标准差知识点四 标准差、方差描述数据的特征标准差刻画了数据的□01离散程度或□02波动幅度，标准差越大，数据的离散程度□03越大；标准差越小，数据的离散程度□04越小．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用标准差．知识点五 分层随机抽样估计总体方差设层数为2层的分层随机抽样，第1层和第2层包含的样本变量由x 1，x 2，…，x n 及y 1，y 2，…，y n 表示．样本数 总体数 方差 平均数 第1层 m M s 2x x －第2层 nNs 2yy －则总体方差s 2＝M [s 2x ＋(x －－z －)2]＋N [s 2y＋(y －－z －)2]M ＋N1．方差的简化计算公式：s 2＝1n [(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－n x －2]，或写成s 2＝1n (x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x －2.即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．2．平均数、方差公式的推广(1)若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，…，mx n ＋a 的平均数是m x －＋a .(2)若数据x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2，那么 ①数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n ＋a 的方差也是s 2； ②数据ax 1，ax 2，…，ax n 的方差是a 2s 2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方差越大，数据的稳定性越强．( )(2)在两组数据中，平均值较大的一组方差较大．( )(3)样本的平均数和标准差一起反映总体数据的取值信息．一般地，绝大部分数据落在[x －－2s ，x －＋2s ]内．( )(4)平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2．做一做(1)下列说法不正确的是( ) A ．方差是标准差的平方 B ．标准差的大小不会超过极差C ．若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0D ．标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散(2)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下： 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.则：①平均命中环数为________； ②命中环数的标准差为________．(3)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则该样本的方差为________．答案 (1)D (2)①7 ②2 (3)2题型一 样本的标准差与方差的求法例1 从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下： 甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42； 乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40； 试计算甲、乙两组数据的方差和标准差．[解] x －甲＝110×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30， s 2甲＝110×[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝104.2，s 甲＝104.2≈10.208.x －乙＝110×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31， 同理s 2乙＝128.8， s 乙＝128.8≈11.349.对标准差与方差概念的理解(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能放大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．某班40名学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下表所示：求这次考试成绩的平均数和标准差．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫注：标准差s ＝ 1n [(x 1－x －)2＋…＋(x n －x －)2]＝ 1n[(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－n x －2] 解 设第一组数据为x 1，x 2，…，x 20，第二组数据为x 21，x 22，…，x 40，全班平均成绩为x －.根据题意，有x －＝90×20＋80×2040＝85，42＝120(x 21＋x 22＋…＋x 220－20×902)，62＝120(x 221＋x 222＋…＋x 240－20×802)，∴x 21＋x 22＋…＋x 240＝20×(42＋62＋902＋802)＝291040.再由变形公式，得s 2＝140(x 21＋x 22＋…＋x 240－40x －2)＝140(x 21＋x 22＋…＋x 240－40×852)＝140×(291040－289000)＝51， ∴s ＝51.题型二 样本标准差、方差的实际应用例2 某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，他们在培训期间参加的8次测试成绩记录如下：甲：95 82 88 81 93 79 84 78 乙：83 92 80 95 90 80 85 75 (1)试比较哪个工人的成绩较好；(2)甲、乙成绩位于x －－s 与x －＋s 之间有多少？[解] (1)x －甲＝18×(95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78)＝85， x －乙＝18×(83＋92＋80＋95＋90＋80＋85＋75)＝85.s 2甲＝18×[(95－85)2＋(82－85)2＋(88－85)2＋(81－85)2＋(93－85)2＋(79－85)2＋(84－85)2＋(78－85)2]＝35.5，s 2乙＝18×[(83－85)2＋(92－85)2＋(80－85)2＋(95－85)2＋(90－85)2＋(80－85)2＋(85－85)2＋(75－85)2]＝41.∵x －甲＝x －乙，s 2甲<s 2乙，∴甲的成绩较稳定． 综上可知，甲的成绩较好． (2)∵s 甲＝s 2甲＝35.5≈5.96，x －甲－s 甲＝79.04，x －甲＋s 甲＝90.96， ∴甲位于[x －－s ，x －＋s ]之间的数据有4个． 又s 乙＝s 2乙＝41≈6.4，x －乙－s 乙＝78.6，x －乙＋s 乙＝91.4，∴乙的成绩位于[x －－s ，x －＋s ]之间的有5个．比较两组数据的异同点，一般情况是从平均数及标准差这两个方面考虑．其中标准差与样本数据单位一样，比方差更直观地刻画出与平均数的平均距离．从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对他们的射箭水平进行测试．现这两名学生在相同条件下各射箭10次，命中的环数如下：甲 8 9 7 9 7 6 10 10 8 6 乙 10986879788(1)计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差； (2)比较两个人的成绩，然后决定选择哪名学生参加射箭比赛． 解 (1)根据题中所给数据，可得甲的平均数为 x －甲＝110×(8＋9＋7＋9＋7＋6＋10＋10＋8＋6)＝8，乙的平均数为x －乙＝110×(10＋9＋8＋6＋8＋7＋9＋7＋8＋8)＝8， 甲的标准差为 s 甲＝110×[(8－8)2＋(9－8)2＋…＋(6－8)2]＝2，乙的标准差为 s 乙＝110×[(10－8)2＋(9－8)2＋…＋(8－8)2]＝305，故甲的平均数为8，标准差为2，乙的平均数为8，标准差为305. (2)∵x －甲＝x －乙，且s 甲>s 乙，∴乙的成绩较为稳定，故选择乙参加射箭比赛. 题型三 标准差、方差的图形分析例3 样本数为9的四组数据，他们的平均数都是5，条形图如下图所示，则标准差最大的一组是( )A ．第一组B ．第二组C ．第三组D ．第四组[解析] 第一组中，样本数据都为5，数据没有波动幅度，标准差为0；第二组中，样本数据为4,4,4,5,5,5,6,6,6，标准差为63；第三组中，样本数据为3,3,4,4,5,6,6,7,7，标准差为253；第四组中，样本数据为2,2,2,2,5,8,8,8,8，标准差为22，故标准差最大的一组是第四组．[答案] D由图形分析标准差、方差的大小从四个图形可以直观看出第一组数据没有波动性，第二、三组数据的波动性都比较小，而第四组数据的波动性相对较大，利用标准差的意义也可以直观得到答案．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差答案 C解析由题图可得，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9，所以甲、乙的成绩的平均数均是6，故A不正确；甲、乙成绩的中位数分别为6,5，故B不正确；甲、乙成绩的极差都是4，故D不正确；甲的成绩的方差为12×2＋12×2)5×(2＝2，乙的成绩的方差为12×3＋32)＝2.4.故C正确．5×(11．下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是()A．平均数B．中位数C．方差D．众数答案 C解析由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度．2．样本数据2,4,6,8,10的标准差为()A．40 B．8C ．210D ．2 2答案 D解析 x －＝15×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，则标准差为15×[(2－6)2＋(4－6)2＋(6－6)2＋(8－6)2＋(10－6)2]＝2 2. 3．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是________．(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个)答案 丙解析 分析题中表格数据可知，乙与丙的平均环数最多，又丙的方差比乙小，说明丙成绩发挥得较为稳定，所以最佳人选为丙．4．已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________． 答案 0.1解析 这组数据的平均数x －＝4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.55＝5.1，则方差s 2＝(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)25＝0.16＋0.09＋0＋0.09＋0.165＝0.1.5．甲、乙两机床同时加工直径为100 cm 的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． 解 (1)x －甲＝16×(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100， x －乙＝16×(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s 2甲＝16×[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73，s 2乙＝16×[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又s 2甲>s 2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定.。
人教版高中数学必修第二册9.2 9.2.4 总体离散程度的估计
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第九章 统计
33
解：(1)－x 甲＝16 ×(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100(cm)；
－ x
乙＝16
×(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100(cm).
s2甲 ＝16 ×[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2
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第九章 统计
24
计算分层随机抽样的方差 s2 的步骤 (1)确定 x 1， x 2，s21 ，s22 ； (2)确定 x ； (3)应用公式 s2＝nn1 [s21 ＋( x 1－ x )2]＋nn2 [s22 ＋( x 2－ x )2]计算 s2.
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第九章 统计
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第九章 统计
32
甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量， 从中抽取6件，测量数据为(单位：cm)： 甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．
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第九章 统计
2020年高中数学必修第二册学案：体离散程度的估计 2(人教A版)
9.2.4 总体离散程度的估计1.会用样本的极差、方差与标准差估计总体。
2. 通过用样本的数字特征估计总体的数字特征的研究，渗透统计学的思想和方法。
3.培养学生收集数据、分析数据、归纳和整理数据，增强学习的积极性。
重点：方差、标准差的计算方法。
难点：如何利用样本的方差、标准差对总体数据作出分析及判断数据的稳定性。
一、温故知新(1)众数①定义:一组数据中出现次数最多的数据(即频率分布最大值所对应的样本数据)称为这组数据的众数.②特征:一组数据中的众数可能不止一个,也可能没有,反映了该组数据的集中趋势.(2)中位数①定义:一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排成一列,处于最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)称为这组数据的中位数.②特征:一组数据中的中位数是唯一的,反映了该组数据的集中趋势.在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等.(3)平均数①定义:一组数据的和与这组数据的个数的商.数据x1,x2,…,xn的平均数为.②特征:平均数对数据有“取齐”的作用,代表该组数据的平均水平,任何一个数据的改变都会引起平均数的变化,这是众数和中位数都不具有的性质.所以与众数、中位数比较起来,平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息,但平均数受数据中极端值的影响较大,使平均数在估计总体时的可靠性降低.1、众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标。
2、利用频率分布直方图（频率分布表），求样本的平均数、中位数和众数的近似估计，进而估计总体的平均数、中位数和众数.2、在样本中，有50％的个体小于或等于中位数，也有50％的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值。
3、平均数是频率分布直方图的“重心”.是直方图的平衡点.频率直方图中每个小长方形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。
《总体离散程度的估计》 导学案
《总体离散程度的估计》导学案一、学习目标1、理解样本数据的方差、标准差的概念和意义。
2、掌握方差、标准差的计算方法。
3、能运用方差、标准差来估计总体的离散程度。
二、学习重难点1、重点（1）方差、标准差的概念和计算方法。
（2）用方差、标准差估计总体的离散程度。
2、难点（1）理解方差、标准差与数据离散程度的关系。
（2）根据实际问题选择合适的统计量来估计总体离散程度。
三、知识回顾1、平均数（1）定义：一组数据$x_1, x_2, ＼cdots, x_n$的平均数为$＼overline{x} ＝＼frac{x_1 ＋ x_2 ＋＼cdots ＋ x_n}｛n}＄。
（2）作用：反映一组数据的平均水平。
2、众数（1）定义：一组数据中出现次数最多的数据。
（2）作用：可以反映一组数据的集中趋势。
3、中位数（1）定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。
（2）作用：也是反映一组数据集中趋势的量。
四、新课导入在日常生活和实际工作中，我们不仅关心数据的集中趋势，还关心数据的离散程度。
例如，在评价两个班级的成绩时，仅仅知道平均成绩是不够的，还需要了解成绩的波动情况。
那么，如何来衡量数据的离散程度呢？这就是我们今天要学习的内容——总体离散程度的估计。
五、方差1、定义设有$n$个数据$x_1, x_2, ＼cdots, x_n$，各数据与它们的平均数$＼overline{x}＄的差的平方分别是$（x_1 ＼overline{x}）＾2, （x_2 ＼overline{x}）＾2, ＼cdots, （x_n ＼overline{x}）＾2$，我们用这些值的平均数，即＼s^2 ＝＼frac{1}｛n}（x_1 ＼overline{x}）＾2 ＋（x_2 ＼overline{x}）＾2 ＋＼cdots ＋（x_n ＼overline{x}）＾2＼来衡量这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差。
《总体离散程度的估计》教学设计、导学案、同步练习
《9.2.4 总体离散程度的估计》教学设计【教材分析】本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第九章《9.2.4 总体离散程度的估计》，本节课通过对反映样本数据离散程度的估计量；极差、方差与标准差的回顾，进一步研究和学习用样本的数字特征估计总体的数字特征以及初步应用，有利于进一步完善对统计学认识的系统性，加深对统计学思想方法的理解。
从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
【教学目标与核心素养】A.会用样本的极差、方差与标准差估计总体。
B. 通过用样本的数字特征估计总体的数字特征的研究，渗透统计学的思想和方法。
C.培养学生收集数据、分析数据、归纳和整理数据，增强学习的积极性。
【教学重点】：方差、标准差的计算方法。
【教学难点】：如何利用样本的方差、标准差对总体数据作出分析及判断数据的稳定性。
【教学过程】如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价?①甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环?他们的平均成绩一样吗?提示:经计算得x甲=110(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7,同理可得x乙=7.他们的平均成绩一样.②难道这两个人的水平就没有什么差异了吗?你能作出这两人成绩的频率分布条形图来说明其水平差异在哪里吗?提示频率分布条形图如下:从图上可以直观地看出,他们的水平还是有差异的,甲成绩比较分散,乙成绩相对集中.(2)现实中的总体所包含的个体数往往是很多的,总体的平均数与标准差是不知道的.如何求得总体的平均数和标准差呢?提示：通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差.这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的.只要样本的代表性好,这样做就是合理的,也是可以接受的.(3)考虑一个容量为2的样本:x1<x2,其样本的标准差为x2-x12,如果记a=x2-x12,那么在数轴上,x和a有什么几何意义?由此说明标准差的大小对数据的离散程度有何影响?提示x和a的几何意义如图所示.显然,标准差越大,则a越大,数据的离散程度越大,数据较分散;标准差越小,则a越小,数据的离散程度越小,数据较集中在平均数x的周围.231(iix =-∑231(ii x由=-∑2312(iix x =-∑(3)应用公式s 2＝n 1n[s 21＋(x 1－x )2]＋n 2n[s 22＋(x 2－x )2]．计算s 2. 9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.0 2.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.5 2.1 5.7 5.1 16.8 6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.9 2.3 10.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.4 22.4 3.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.0 22.2 10.8 5.5 2.0 24.3 9.9 3.6 5.6 4.4 7.9 5.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.7 5.5 6.0 16.0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.3 5.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.8 7.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6计算出样本平均数 = 8.79,样本标准差s≈6.20如图所示，可以发现，这100个数据中大部分落在区间内，在区间 外的只有7个.也就是说，绝大部分数据落在 内.样本标准差刻画了数据离平均数波动的浮动大小，平均数和标准差一起能反映数据取值的信息.100t 假设通过简单随机抽样，获得了户居民的月均用水量数据（单位：）x 2.59,14.99,2 3.61,221.19.x s x s x s x s -=+=-=-+=[,]x s x s -+[2,2]x s x s -+[2,2]x s x s -+[2,2]x s x s -+D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析:由题意可知,甲的成绩为4,5,6,7,8,乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6,A 错;甲、乙的成绩的中位数分别为6,5,B 错;甲、乙的成绩的方差分别为15×[(4-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(7-6)2+(8-6)2]=2,15×[(5-6)2+(5-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(9-6)2]=125,C 对;甲、乙的成绩的极差均为4,D 错.答案:ABD4.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所示:若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛,最佳人选是 .(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个)甲 乙 丙 丁 平均环数x 8.3 8.8 8.8 8.7 方差s 23.53.62.25.4答案:丙解析:分析表格数据可知,乙与丙的平均环数最多,又丙的方差比乙小,说明丙成绩发挥得较为稳定,所以最佳人选为丙. 5.计算数据54,55,53,56,57,58的方差.分析可以根据简化公式进行计算,也可以把每个数据减去一个数,用找齐法计算. 解:(解法一)x 2=542+552+532+562+572+5826≈3 083.17,x =55.5,故s 2=3083.17-55.52=2.92.(解法二)每个数据减去55得到新的数据组-1,0,-2,1,2,3,该组数据的方差与原数据组的方差相等,且x2=1+0+4+1+4+96≈3.17,x=-1+0-2+1+2+36=0.5,故s2=3.17-0.52=2.92.6.在一次科技知识竞赛中，某学校的两组学生的成绩如下表：请根据你所学过的统计知识，判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．解(1)甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．(2)x甲＝12＋5＋10＋13＋14＋6(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)＝150×4 000＝80，x乙＝14＋4＋16＋2＋12＋12(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝150×4 000＝80.s2甲＝12＋5＋10＋13＋14＋6[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，s2乙＝14＋4＋16＋2＋12＋12[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.∵x甲＝x乙，s2甲<s2乙，∴甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组好些．(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成绩较好．(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多．同时，乙【教学反思】本节课通过对反映样本数据离散程度的估计量；极差、方差与标准差的回顾，进一步研究和学习用样本的数字特征估计总体的数字特征以及初步应用，有利于进一步完善对统计学认识的系统性，加深对统计学思想方法的理解。
9.2.4总体离散程度的估计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
9.2.4总体离散程度的估计一、内容与解析（一）内容：总体离散程度的估计—方差、标准差.（二）解析：本节内容是在抽样的基础上，根据样本数据对总体进行估计，本节主要估计总体的离散程度，同时，对比得出更好的估计离散程度的方法。
二、教学目标1 、了解“平均距离”的概念；2、理解总体方差与样本方差、总体标准差与样本标准差的概念，掌握其特点；3、会求具体问题中的“平均距离”、总体方差、样本方差、总体标准差、样本标准差；4、会根据计算的结论对实际问题进行决策.三、问题诊断分析在教学中，学生可能遇到的问题是方差计算公式的推导。
解决这一问题最关键是让学生理解“平均距离”，通过计算“平均距离”推导出数据的方差。
学生可能遇到的问题还有数据计算。
学生计算能力较差，在计算过程中是学生出错率最大的过程之一，解决这一问题需要让学生不断练习，进行一定量的练习后让学生自己总结计算方法。
四、教学重难点方差、标准差的计算及估计数据的离散程度五、教学过程设计（一）课堂导入平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法。
但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策，下面的问题就是一个例子。
（教材P211问题3）有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次,每次命中的环数如下:甲: 7879549107 4乙: 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价?教师活动：教师引导学生计算两组数据的平均数，得出两组数据的平均数相同，引导学生如果这是一次选拔性考核，你应该如何作出选择？由此引出课题。
问题一、如何度量成绩的这种差异？师生活动：教师引导学生，理解数据的波动的判断问题1、如何定义“平均距离”？问题2、为什么用“平均距离”刻画离散程度，用“总距离”行吗？ 问题3、标准差的取值范围是什么？标准差为0的一组数据有什么特点？ 师生活动：教师引导学生，板书方差的计算公式，并推导出标准差的计算公式。
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9.2.4 总体离散程度的估计【学习目标】1.会求样本的标准差、方差；2.理解离散程度参数的统计含义；3.会应用相关知识解决实际统计问题．【知识梳理】一、请同学们预习课本9.2.4节（第209-213页），完成下列知识梳理。
1、预习课本中的问题3，回答下列问题（1）计算甲乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数是、、。
（2）作出两名运动员射击成绩的频率图（如下）甲的成绩比较,乙的成绩相对,即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定。
可见，他们的射击成绩是存在差异的。
2、度量数据离散程度的方法-极差度量数据程度的一种方法是用极差。
极差在一定程度上刻画了数据的程度.但因为极差只使用了数据中、两个值的信息,对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少。
3、平均距离的一种表示形式假设一组数据是x1,x2,⋯,x n，用x̅表示这组数据的平均数. 我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”,即|x i−x̅|(i=1,2,⋯,n)作为x i到x̅的“距离”.可以得到这组数据x1,x2,⋯,x n到x̅的“平均距离”为1 n ∑|x i−x| ni=14、方差和标准差（1）一组数据是x1,x2,⋯,x n，这组数据的方差是1 n ∑(x i−x)2ni=1，或1n∑x i2ni=1−x̅2，（你能证明两者是相等的吗？）（2）由于方差的单位是原始数据的单位的，为了使二者数据单位一致，我们取方差的算术平方根，得到这组数据的标准差√1n∑(x i−x)2ni=1，或 √1n∑x i2ni=1−x̅2，（3）总体方差S2和总体标准差S=√S2S2=1N∑(Y i−Y)2Ni=1=1N∑Y i2Ni=1−Y̅2，也可以写成加权的形式S2=1N∑f i(Y i−Y)2ki=1，（4）样本方差s2和样本标准差s=√s2s2=1n∑(y i−y)2ni=1（5）标准差刻画了数据的程度或幅度，标准差越大,数据的离散程度越;标准差越小，数据的离散程度越。
显然，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中，一般多采用标准差。
（6）我们用样本标准差去总体标准差。
在随机抽样中，样本标准差依赖于样本的选取，具有。
5、和一起能反映数据取值的信息。
例如,根据9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据，可以计算出样本平均数x̅=8.79，样本标准差s≈6.20。
可以发现，绝大部分数据落在区间[x̅−2s，x̅+2s]内。
【例题精讲】例1一个小商店从一家有限公司购进21袋白糖，每袋白糖的标准质量是500g，为了了解这些白糖的质量情况，称出各袋白糖的质量（单位：g）如下：486 495 496 498 499 493 493 498 484 497 504489 495 503 499 503 509 498 487 500 508（1）21袋白糖的平均质量是多少？标准差s是多少？（2）质量位于x̅−s和x̅+s之间有多少袋白糖？所占的百分比是多少？跟踪训练11、不经过计算，你能给出下列各组数的方差排序吗？（1）5，5，5，5，5，5，5，5，5；（2）4，4，4，5，5，5，6，6，6；（3）3，3，4，4，5，6，6，7，7；（4）2，2，2，2，5，8，8，8，8。
2、甲乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为：甲0 1 0 2 2 0 3 1 2 4乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1分别计算这两组数据的平均数和标准差，从计算结果看，那台机床的性能更好？3、有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的1.00×10−6的鱼被人食用后，就会对人体产生危害。
在30条鱼的样本中发现的汞含量（乘以百万分之一）如下：0.07 0.24 0.95 0.98 1.02 0.98 1.37 1.40 0.39 1.021.44 1.58 0.54 1.08 0.61 0.72 1.20 1.14 1.62 1.681.85 1.20 0.81 0.82 0.84 1.29 1.262.10 0.91 1.31（1）请用合适的统计图描述上述数据，并分析这30条鱼的汞含量的分布特点；（2）求出上述样本数据的平均数和标准差；（3）从实际情况看，许多鱼的汞含量超标的原因是这些鱼在出售之前没有被检测过。
你认为每批这种鱼的平均汞含量都比1.00×10−6大吗？（4）在上述样本中，有多少条鱼的汞含量在以平均数为中心、2倍标准差的范围内？例2 数据x1,x2,⋯,x n的方差为s x2，数据y1,y2,⋯,y n的方差为s y2，a,b为常数。
证明：（1）如果y1=x1+b,y2=x2+b,⋯,y n=x n+b，那么s y2=s x2；（2）如果y1=ax1,y2=ax2,⋯,y n=ax n，那么s y2=a2s x2.（3）如果y1=ax1+b,y2=ax2+b,⋯,y n=ax n+b，那么s y2=a2s x2.跟踪训练21、数据x1,x2,⋯,x n的方差s2=0，证明：所有的x i(i=1,2,⋯,n)都相同。
例3在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据,只知道抽取了男生23人,其平均数和方差分别为170.6和12.59,抽取了女生27人,其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差,并对高一年级全体学生身高方差作出估计吗?（假设已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：l,x̅,s12 ; m,y̅,s22.据此得到总样本平均数w̅和总样本方差s2）跟踪训练31、某中学有高中学生500人，其中男生320人，女生180人。
有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为173.5，方差为17，女生样本的均值为163.83，方差为30.03.（1）根据以上信息，能够计算出总样本的均值和方差吗？为什么？、（2）如果已知男、女样本量按比例分配，你能计算出总样本的均值和方差各位多少吗？（3）如果已知男、女的样本量都是25，你能计算出总样本的均值和方差给为多少吗？它们分别作为总体均值和方差估计合适吗？为什么？2、已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：l,x̅,s12 ; m,y̅,s22 ;n,z̅,s32.记总的样本平均数为w̅，样本方差为s2，证明：（1）w̅=ll+m+n x̅+ml+m+ny̅+nl+m+nz̅；（2）s2=1l+m+n{l[s12+(x̅−w̅)2]+m[s22+(y̅−w̅)2]+n[s32+(z̅−w̅)2]}.【课后分层作业】一、选择题1.为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()A.x1，x2，…，x n的平均数B.x1，x2，…，x n的标准差C.x1，x2，…，x n的最大值D.x1，x2，…，x n的中位数2.若样本数据x1，x2，...，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2－1， (2x10)1的标准差为()A.8B.15C.16D.323.某选手的9个得分分别为87，87，94，90，91，90，9x，99，91，其中有一个数据的个位数模糊，无法辨认，以x表示.若去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，则7个剩余分数的方差为()A.1169B.367C.36D.6774.甲、乙两名同学6次考试的成绩如图所示，且这6次成绩的平均分分别为x －甲，x －乙，标准差分别为s 甲，s 乙，则( )A.x －甲<x －乙，s 甲<s 乙 B.x －甲<x －乙，s 甲>s 乙 C.x －甲>x －乙，s 甲<s 乙 D.x －甲>x －乙，s 甲>s 乙 5.在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：其中x －甲＝x －乙，则两个班数学成绩的方差为( ) A.3 B.2 C.2.6 D.2.5 二、填空题6.某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10，6，8，5，6，则该组数据的方差为________.7.已知样本9，10，11，x ，y 的平均数是10，标准差为2，则xy ＝________. 8.为了调查公司员工的健康状况，用分层随机抽样的方法抽取样本，若样本中有20名男员工，30名女员工，且男员工的平均体重为70 kg ，标准差为4，女员工的平均体重为50 kg ，标准差为6，则所抽取样本的方差为________. 三、解答题9.某班40名学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下所示：求全班这次考试成绩的平均数和标准差.10.某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师中有3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差.11.在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图，假设三个班的平均分都是75分，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有()A.s3＞s1＞s2B.s2＞s1＞s3C.s1＞s2＞s3D.s3＞s2＞s112.若40个数据的平方和是56，平均数是22，则这组数据的方差是________.13.(多选题)某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力(每项能力的指标值满分均为5分，分值高者为优)，绘制如图所示的六维能力雷达图，图中点A表示甲的创造能力指标值为4，点B表示乙的空间能力指标值为3，则下列叙述正确的是()A.乙的记忆能力优于甲B.乙的观察能力优于创造能力C.甲的六大能力整体水平优于乙D.甲的六大能力比乙较均衡。