圆锥曲线与圆锥的关系
第5.1讲 圆锥曲线
∵OP⊥AB，∴kAB＝－2， 则直线AB的方程为y＝－2(x－1)，它与y轴的交点为(0,2)． x 2 y2 ∴b＝2，a2＝b2＋c2＝5，故椭圆的方程为 ＋ ＝1. 5 4 答案 x2 y2 ＋ ＝1, 5 4
椭圆的定义、标准方程及几何性质 (1)定义：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)． (2)标准方程： x2 y2 ①当焦点在 x 轴上时， 2＋ 2＝1(a>b>0)； a b y 2 x2 ②当焦点在 y 轴上时， 2＋ 2＝1(a>b>0)． “分母谁大在谁家” a b (3)几何性质： c ①离心率：e＝ ＝ a b2 1－ 2 ∈(0,1)； a
【例2】►函数y＝ 解析
sin x 的最大值为______，最小值为______． 2＋cos x
sin x－0 y＝ 表示点P(cos x，sin x)与点 cos x－－2
A(－2,0)连线的斜率，而点P在单位圆上，如右图， 3 过A作单位圆的切线AB，AC.易知kAB＝ ，kAC＝ 3 － 3 3 3 分别为斜率的最大值和最小值，那么y的最大值为 ，最小值为－ . 3 3 3 3 3 3 － 3
2
)．
1 C．b ＝ 2
2
D．b2＝2
解析
由题意知，a2＝b2＋5，因此椭圆方程为(a2－5)x2＋a2y2＋5a2－a4＝
0，双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，联立方程消去y，得(5a2－5)x2＋5a2 －a ＝0，∴直线截椭圆的弦长d＝ 5×2 1 ＝ . 2 答案 C
4
a4－5a2 2 11 ＝ a，解得a2＝ ，b2 2 5a2－5 3
b x 2 y2 2 － x.与椭圆方程 2 ＋ 2 ＝1联立，解得x＝± a.因为PF1⊥x轴，F1为左焦 a a b 2 点，所以x＝－ 2 2 a，从而－ a＝－c，即a＝ 2 c.又|F1A|＝a＋c＝ 10 ＋ 2 2
圆锥曲线的原理最详细图解(平面与圆锥面的截线).
平面与圆锥面的截线一、直观感受：观察平面截圆锥面的图形，截线是什么图形？改变平面的位置，可得到三种曲线，它们统称为圆锥曲线（下图由软件《立几画板》制作）：二、分类探究：从平面图形入手，开始讨论一条直线与等腰三角形的位置关系：将等腰三角形拓广为圆锥，直线拓广为平面。
如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现哪些情况呢？如下图：归纳提升：定理在空间中，取直线l为轴，直线l'与l相交于O点，其夹角为α，l'围绕l旋转得到以O为顶点，l'为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记作β＝0），则：（1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；（2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；（3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。
三、证明结论：利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切）证明：β＞α，平面与圆锥的交线为椭圆.如图，利用切线长相等，容易证明PF1+PF2=PQ1+PQ2＝Q1Q2=定值.下面证明：β＝α时，平面与圆锥面的交线为抛物线。
下面讨论当平面与圆锥面的交线为双曲线时准线的及离心率：换个角度看图：容易知道：截得的圆锥曲线的离心率等于截面和圆锥轴的夹角的余弦与圆锥顶角一半的余弦之比.四、知识运用用图霸制作三维直观图：解答参看下图：五、图形制作三种曲线的丹迪林Dandelin双球图可以在《几何图霸》中统一到一幅图中，主要制作步骤如下：1.作全自由点O，过点O作平行于z轴上的点B，过B作平行于x轴上的点C，作点B、C 关于O的对称点B’、C'.2.选取点O、B、C，作圆锥，选取点O、B’、C’，作圆锥.3.在圆B上任取点D，作D关于B对称点，连接OD，OD’，在OD上任取一点E，以E 为圆心画过点D’、D的心点圆，在圆E上任取点F，连EF，它表示截面的位置，可以绕点E转动.4.作角OEF的平分线，与轴BB’交于O1；作角DEF的平分线，与轴BB’交于O2，它们就是双球的球心.5.过球心O1、O2分别作边EF的垂线，垂足分别为F1、F2，它们就是焦点.6.选取点O1、F1，作球O1（图中显示大圆，光照后显示为球），同法作球O2.7.取线EF上的点G、H，作GDO垂线上的伸缩点I，作点I关于点G的对称点I’，按向量GH平称点I、I’，得点I2、I".添加面II2I"I’，连接四边，表示截面.它的长宽可以用点G、H、I控制；点F控制其转动.8.添加下底圆上的点J，连结OJ交截面于点K，选取点J、K，添加轨迹，它就是截线，如上图中的椭圆.9.点E按向量OD’平移得点E’，EE’交圆于点G1，EG1平行于母线OD’，添加点F到点G1的动画，名为“抛物线”.10.参看前面各图添加其它图元.下载图霸文件后在“对象浏览器”中查看各对象.课件下载：共享文件下载中心相关文章：1 利用丹迪林Dandelin双球证明平面与圆锥面的截线定理2平面与圆柱面的截线更多文章：《几何图霸》文章列表几何图霸网站：。
圆锥曲线与解析几何
圆锥曲线与解析几何
今天，我们将谈论圆锥曲线与解析几何。
圆锥曲线是一类极其重要的曲线，其对应的大类包括参数方程、笛卡尔以及抛物线形式，广泛应用于医学、电子、机械、机械工程、机电技术等领域。
本文旨在介绍圆锥曲线相关内容，并且介绍与圆锥曲线有关的解析几何。
首先，我们先看看圆锥曲线的基本定义。
圆锥曲线是指由参数方程、笛卡尔和抛物线形式所构成的曲线，它们可以用来绘制不同类型的二维或三维圆锥形空间图像。
它们也可以用来求解一系列复杂的数学问题。
常见的圆锥曲线函数有椭圆函数、双曲函数、抛物函数、三次样条线函数等。
接下来，我们来介绍圆锥曲线在解析几何中的应用。
解析几何是一门数学学科，它研究曲线、曲面、空间图形以及变换等几何学问题。
圆锥曲线在解析几何中有着广泛的应用，可以用来描述几何图形的几何结构，如圆环、椭圆环、旋转等。
它们也被用来求解复杂的问题，如三角形的解析、多维问题的解析等。
此外，圆锥曲线在机械工程中也有重要的应用。
由于圆锥曲线具有较高的刚度和可曲性，可以用于机械系统中，以此来满足实际工程中的动力传动系统的需求。
此外，圆锥曲线具有最小损耗、低造价等特点，这使其在机械和机电系统中非常流行。
综上所述，圆锥曲线在解析几何和机械工程中都有重要的应用，它们可以用来绘制各种不同类型的几何图形，也可以用来求解复杂的数学问题，是一类重要且广泛使用的曲线。
高二圆锥与曲线知识点
高二圆锥与曲线知识点在高二数学学习中，圆锥与曲线是一个重要的知识点。
本文将重点介绍圆锥与曲线的定义、性质以及相关定理。
一、圆锥的定义与性质1. 圆锥的定义：圆锥是由一个拥有一个尖顶点和一个封闭曲面的曲线构成的立体图形。
2. 圆锥的分类：根据封闭曲面与底面之间的关系，圆锥可分为直接圆锥和斜面圆锥两种形式。
3. 圆锥的要素：一个完整的圆锥包括底面、侧面、母线、尖点以及中轴线等要素。
4. 圆锥的公式：圆锥的曲面方程可表示为：Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dx + Ey + Fz + G = 0。
二、圆锥的相关定理1. 圆锥的母线关系：圆锥的母线是连接底面各点与尖点的直线段。
所有的母线均交于同一点，即尖点。
2. 圆锥的截线关系：圆锥的截线是将圆锥理解为平面截面所得到的图形。
截线可以是圆、椭圆、抛物线和双曲线等。
3. 圆锥截线的分类：根据截线与圆锥的位置关系以及截线的形状，圆锥截线可分为切截线、平行截线、重合截线和穿越截线四种情况。
4. 圆锥截线形成的几何图形：不同类型的圆锥截线形成的几何图形具有不同的特征，如圆锥的截线为圆时，该圆的圆心位于圆锥的中轴线上。
三、曲线的定义与性质1. 曲线的定义：曲线是由一系列点按照特定的方式连接形成的连续线条。
2. 曲线的分类：曲线根据其形状特征可以分为圆形、椭圆形、抛物线和双曲线等。
3. 曲线的参数方程：曲线的参数方程是曲线上的点的坐标与某个参数之间的关系式。
4. 曲线的极坐标方程：曲线的极坐标方程是曲线上的点的极坐标与极坐标参数之间的关系式。
四、圆锥与曲线的应用1. 圆锥与几何体的体积关系：圆锥的体积公式为V = (1/3)πr^2h，其中r为底面半径，h为高。
2. 曲线与物体运动的关系：物体的运动轨迹可以通过曲线来描述，而曲线的方程可以帮助我们研究物体的运动规律。
3. 圆锥曲线在工程领域的应用：圆锥曲线在建筑、桥梁等工程设计中有广泛应用，可以帮助提高结构的稳定性和美观性。
圆锥曲线的极点与极线问题
圆锥曲线的极点与极线问题圆锥曲线的极点与极线问题导言圆锥曲线是数学中的一个重要分支，其所涵盖的概念和性质有着深远的研究价值。
其中，圆锥曲线的极点与极线问题是一个具有特殊意义的主题。
在本文中，我将以深度和广度的方式来探讨圆锥曲线的极点与极线，希望能够使读者对这一问题有全面、深刻和灵活的理解。
一、圆锥曲线的基本定义与性质1.1 什么是圆锥曲线圆锥曲线是由一个平面与一个平行于它的不相交的直线切割圆锥所得到的曲线。
根据切割的方式和角度不同，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三类。
1.2 圆锥曲线的焦点与离心率圆锥曲线的焦点是指在其上的特殊点，其具有特殊的几何性质。
离心率是一个衡量圆锥曲线形状的参数，也是圆锥曲线性质的重要指标。
二、极点与极线的基本概念2.1 极点的定义与性质在平面上给定一个圆锥曲线，其直角坐标系中的原点O被称为该圆锥曲线的极点。
极点在圆锥曲线的研究中具有重要的地位，它与曲线的各种性质密切相关。
2.2 极线的定义与性质对于圆锥曲线上的任意一点P，以极点为中心，作直线OP，称为圆锥曲线的极线。
极线是一个与极点相关的直线，它与曲线的位置和特性有着密切的联系。
三、不同类型曲线的极点与极线问题3.1 椭圆的极点与极线对于椭圆，其极点为原点O，极线为过原点O的直线。
椭圆的极点处于其主轴的中点位置，其极线是关于两个焦点的对称直线。
3.2 双曲线的极点与极线对于双曲线，其极点为原点O，极线为过原点O的渐近线。
双曲线的极点处于离心率之间的位置，其极线是关于两个焦点的渐近线。
3.3 抛物线的极点与极线对于抛物线，其极点为其焦点，极线为过焦点的直线。
抛物线的极点位于抛物线的顶点位置，其极线是关于焦点的直线。
四、个人观点与理解圆锥曲线的极点与极线问题是一个十分有趣且具有挑战性的数学问题。
通过研究圆锥曲线的极点与极线，我们能够更深入地理解曲线的性质和特性。
极点是曲线的重要几何特征，它能够从不同的角度揭示出曲线的各种性质。
圆锥曲线总复习
b 2 tan
2
（用余弦定理与 PF1 PF 2 2a 可得）. 若是双曲线，则面积为 b cot
2
.
二、几种常见题型及解法 ①定义及标准方程问题（先定型再定式后定量） ②合思想 2.参数方程法 ③最值问题（距离或角的最值） 3.配方法（利用PF PF 2a） 1 2
a
②一般方程： Ax2 By 2 1( A 0, B 0) . ③椭圆的标准参数方程：
x2 a
2
y2 b
2
0
2
x a cos 1 的参数方程为 （一象限 应是属于 y b sin
）.
3.性质： ①顶点： ( a,0)(0,b) 或 (0, a)(b,0) . ②轴：对称轴：x 轴， y 轴；长轴长 2a ，短轴长 2b . a b c ③焦点： (c,0)(c,0) 或 (0,c)(0, c) .
c ，当 c 0, a b a
时）. 三、考试内容 1．曲线和方程。由已知条件列出曲线的方程。充要条件。曲线的交点。 2．椭圆及其标准方程。焦点、焦距。椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、 短轴、离心率、准线。椭圆的画法。 3．双曲线及其标准方程。焦点、焦距。双曲线的几何性质：范围、对称性、实轴、虚 轴、渐近线、离心率、准线。双曲线的画法。等轴双曲线。 4．抛物线及其标准方程。焦点、准线。抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离 心率。抛物线的画法。 5．坐标轴的平移。利用坐标轴的平移化简圆锥曲线方程。 四、考试要求 1．掌握直角坐标系中的曲线方程的关系和轨迹的概念。能够根据所给条件，选择适当 的直角坐标系求曲线的方程，并画出方程所表示的曲线(理解充要关系)。 2．掌握圆锥曲线的标准方程及其几何性质。会根据所给的条件画圆锥曲线。了解圆锥 曲线的一些实际应用。对于圆锥曲线的内容，不要求解有关两个二次曲线的交点坐标的 问题（两圆的交点除外） 。 3．理解坐标变换的意义，掌握利用坐标轴平移化简圆锥曲线方程的方法。 4．了解用坐标研究几何问题的思想，初步掌握利用方程研究曲线性质的方法。 五、常见的思想方法 1．求轨迹方程的基本方法有两大类，即直接法和间接法。其中直接法包括：直译法， 定义法，待定系数法，公式法等。间接法包括：转移法，参数法(k 参数、t 参数，θ 参 数及多个参数) 2．本节解题时用到的主要数学思想方法有： （1）函数方程思想。求平面曲线的轨迹方程，其解决问题的最终落脚点就是将几何条 件(性质)表示为动点坐标 x、y 的方程或函数关系（参数法） 。 （2）数形结合思想。解题时重视方程的几何意义和图形的辅助作用是非常必要的。即 将对几何图形的研究，转化为对代数式的研究，同时又要理解代数问题的几何意义。 （3）等价转化思想。在解题的过程中将一个问题等价转化为另一个较为简单的问题去 求解。 3．避免繁复运算的基本方法可以概括为：回避，选择，寻求。所谓回避，就是根据题 设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质等，从而避免化简方程、求交点、解方 程等繁复的运算。所谓选择，就是选择合适的公式，合适的参变量，合适的坐标系等， 一般以直接性和间接性为基本原则。因为对普通方程运算复杂的问题，用参数方程可能 会简单；在某一直角坐标系下运算复杂的问题，通过移轴可能会简单；在直角坐标系下 运算复杂的问题，在极坐标系下可能会简单“所谓寻求” 。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
掌握圆锥曲线的相关知识对于解决数学问题和理解数学的应用具有重要意义。
一、椭圆1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。
3、椭圆的性质（1）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
（2）范围：＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）。
点为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
（4）离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近 0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\），其中\（a\）为实半轴长，＼（b\）为虚半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）。
圆锥曲线的定义与性质高考资料高考复习资料中考资料
圆锥曲线的定义与性质曲线名称圆（Circle）椭圆（Ellipse）双曲线（Hyperbola）抛物线（Parabola）标准方程x2+y2=r2（r>0）x y22221+=（a>b>0）a bx y22221-=（a,b>0）y2=2px（p>0）a bP P A抛物线的切点弦性质PF1+PF2=2a P PF1-PF2=2a抛物线的切点弦中点与极定义AF1BF2F1F2（2a>F F）12F1F2（0<2a<F F）12P M2M1B点连线的中点在抛物线上；特别地，若切点弦过抛物线体系PF1PF2=l（ l>0且 l¹1）焦点三角形面积qS=b2tan△PF F122焦点三角形面积qS=b2cot△PF F122焦点 F，则ÐAPB为直角且PF^AB一P光学性质O切线方程x x+y y=r200F1F2切线方程x x y y002+2=1a bF1F2F切线方程x x y y02021-=a b切线方程y y=p x+x()00从一个焦点射出的光线的反射光线过另一个从一个焦点射出的光线的反射光线的反向延从圆心射出的光线的反射光线仍经过从焦点射出的光线的反射光线与对称轴平行焦点长线经过另一个焦点圆心P等张角线极坐标方程r=ep1-ecosq体系二对线段 AB张角相同的点的轨迹HlP PFPH=e PlHPFPH=eHlPA B PF=PH通径长F FF通径长通径长d=2p 2b2d==2epa2b2d==2epa体系BO定义1k×k=-PAPBAPAOPBk×k=-PAPBb2a2AOPBk×k=PAPBb2a2直线与圆锥曲线弦长公式!l=1+k x-x=1+m y-y=n×t-t22121212面积公式三垂径定理AMOBk×k=-1OMABAMOBba22k×k=-OM AB1AOM Bk×k=OMABb2a211212S=底×高 =水平宽×铅直高=l lsinq212位置关系椭圆的等效判别式 D=a2A2+b2B2-C2双曲线的等效判别式2(2222)D=C-a A-b B圆锥曲线的解题常见思路关键词一般情况过定点的直线弦长面积点与曲线的位置关系★引入参数控制运动，以交点坐标★弦长公式★利用共线或平行条件进行等积★将点代入圆锥曲线方程中再将定点在y轴上时用斜截式表示定点在x轴上时用倒斜横截式表示为中间变量表示其他所有几何量★两点间距离公式变换方程改写为不等式定点不在轴上时用参数方程表示★利用直线方程消去纵（横）坐标★三角形面积公式★若方程Px2+Qx+R=0的两根提示→将直线方程代入曲线方程（联立）→通过韦达定理消去另一坐标时，两根之差为x-x=12DP★四边形的面积公式12l l sinq12★四边形的对角线往往是相关的有时也直接求解坐标★注意参数的取值范围，需要保证★面积比往往转化为共线线段比直线与圆锥曲线相交关键词直线与圆锥曲线的位置关系焦点中点定比分点共线、平行、垂直★联立直线与曲线方程后通过判★两个焦点→体系一★注意取中点构造中位线★弦所在直线过焦点时，可补对应★利用斜率或向量表示别式判断★一个焦点★中点坐标公式★共线也可以利用点在另外两点准线后构造相似三角形提示★直接利用等效判别式判断→补焦点→体系一→补准线→体系二xx+x y+y=12，12y=22★利用定比分点坐标公式或利用直线的参数方程转化．所确定的直线上表示★注意利用极坐标方程★“x=a x（a¹-1）”21Û2æx+xöx x a．=ç12÷121èøa+关键词以AB为直径的圆过C垂直平分线关于直线…对称关于原点对称的两点与原点连线相互垂直★以AB为直径的圆过C★P在AB的垂直平分线上★A、B关于l对称★有关斜率的问题→体系三★利用相关直线设直线斜率ÛÐACB=90°ÛPA=PBÛl是AB的垂直平分线★注意取中点构造中位线★化齐次联立ÛMC=MA（M为AB中点）ÛPM^AB（M为AB中点）★注意对称变换下的几何不变量提示★斜率的比值计算可以平方后用★注意“姐妹圆”圆锥曲线的方程进行整理111=+r a b222R=a+b 222关键词与定点的两连线垂直向量的运算成锐角（直角、钝角）过…与…交点的曲线其他★利用相关直线设直线斜率★向量数乘→共线★转化为向量夹角★利用交点曲线系得到曲线方程★当运动由圆锥曲线上的单点驱向量和差→平行四边形法则借助向量数量积的符号判断动时注意利用圆锥曲线的参数方程★平移坐标系转化为与原点的连向量相等→形成平行四边形★极限思想，利用切线方程得到定线相互垂直的问题向量数量积→投影长度提示点或定值的具体数据★利用仿射变换★在求形如()()x-t x-t的值时，12可以将方程整理为形如改造椭圆为圆改造斜交直线为垂直直线20A(x-t)+B(x-t)+C=的形式2。