第12讲 圆与圆锥曲线综合
第12讲 圆与圆锥曲线综合
【教学目标】 知识与技能
（1）能解决圆与圆锥曲线综合出现等有关问题； （2）促进学生形成系统化、结构化的知识结构。
过程与方法
（1）综合运用方程思想、函数思想、数形结合、等价转换等方法解决相关问题； （2）通过教学过程中的分析和解题后的反思，培养学生自觉领悟，自觉分析的意识。
情感态度与价值观
（1）培养学生坚忍不拔、勇于探究的意志品质。
（2）通过课堂中和谐、民主的师生关系，让学生在平等、尊重、信任、理解和宽容的氛围中受到激励和鼓舞，培养学生严谨的科学态度。
教学重点：
圆和圆锥曲线的综合问题 教学难点：
圆和圆锥曲线的综合问题
考点链接：能够对圆锥曲线的问题进行探究、分析 [典型例题]
例1 若已知曲线C 1方程为)0,0(18
2
2
≥≥=-y x y x ，圆2C 的方程为（x-3）2+y 2=1，斜率
为k （k ＞0）直线l 与圆C 2相切，切点为A ，直线l 与曲线C 1相交于点B ，3=AB ，则直线AB 的斜率为（ ） A ．1 B ．
21 C ．3
3 D ．3
例2 若椭圆的一个焦点与圆x 2+y 2-2x=0的圆心重合，且经过），（05，则椭圆的标准方程__________________．
例3 已知椭圆E ：122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0）过点P （3，1），其左、右焦点分别为F 1，F 2，
且621-=•F F ．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）若M ，N 是直线x=5上的两个动点，且F 1M ⊥F 2N ，圆C 是以MN 为直径的圆，其面积为S ，求S 的最小值以及当S 取最小值时圆C 的方程．
例4 若椭圆122
22=+b
y a x ）
（0>>b a 内有圆x 2+y 2=1，该圆的切线与椭圆交于A ，B 两点，且满足0=•（其中O 为坐标原点），则9a 2+16b 2的最小值是_______．
例5 设向量s =（x+1，y ），=（y ，x-1），（x ，y ∈R ）满足||+||=22，已知定点A （1，0），动点P （x ，y ）
（1）求动点P （x ，y ）的轨迹C 的方程；
（2）过原点O 作直线l 交轨迹C 于两点M ，N ，若，试求△MAN 的面积．
（3）过原点O 作直线l 与直线x=2交于D 点，过点A 作OD 的垂线与以OD 为直径的圆交于点G ，H （不妨设点G 在直线OD 上方），试判断线段OG 的长度是否为定值？并说明理由．
例6 已知动圆过定点P （1，0），且与定直线l ：x=-1相切，点C 在l 上． （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M 的方程；
（Ⅱ）设过点P ，且斜率为-3的直线与曲线M 相交于A ，B 两点．
（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由； （ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围．
例7 已知双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为3
3
±=y ，左焦点为F ，过A （a ，0），B （0，
-b ）的直线为l ，原点到直线l 的距离是
2
3
． （1）求双曲线的方程；
（2）已知直线y=x+m 交双曲线于不同的两点C ，D ，问是否存在实数m ，使得以CD 为直径的圆经过双曲线的左焦点F ．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
[思维训练]
1. 若椭圆的一个焦点与圆x 2+y 2-2x=0的圆心重合，且经过)0,5(，则椭圆的标准方程为：____________.
2. 已知双曲线与抛物线y 2=8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，|PF|=5，则
该双曲线的两条渐近线方程为____________．
3. 已知点P （4，4），圆C ：（x-m ）2+y 2=5
（m ＜3）与椭圆E ：1
22
22=+b
y a x ）
（0>>b a 有一个公共点A （3，1），F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆
C 相切．
（1）求m 的值与椭圆E 的方程； （2）设Q 为椭圆E 上的一个动点，求的取值范围．
4. 给定椭圆122
22=+b
y a x ）
（0>>b a ，称圆心在原点O ，半径为22b a +的圆是椭圆C 的“伴随圆”．若椭圆C 的一个焦点为)0,2(1F ，其短轴上的一个端点到F 1的距离为3． （1）求椭圆C 的方程及其“伴随圆”方程；
（2）若倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 只有一个公共点，且与椭圆C 的伴随圆相交于M 、N 两点，求弦MN 的长；
（3）点P 是椭圆C 的伴随圆上的一个动点，过点P 作直线l 1，l 2，使得l 1，l 2与椭圆C 都只有一个公共点，求证：l 1⊥l 2．
5. 已知点P （4，4），圆C ：（x-m ）2+y 2=5（m ＜3）与椭圆E ：12222=+b
y
a x ）
（0>>b a 有一个公共点A （3，1），F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切．
（1）求m 的值与椭圆E 的方程；
（2）设Q 为椭圆E 上的一个动点，求0=•的取值范围．
6.已知点M （-2，0），N （2，0），动点P 满足条件22=-PN PM ，记动点P 的轨迹为W ．
（1）求W 的方程；
（2）过N （2，0）作直线l 交曲线W 于A ，B 两点，使得|AB|=22，求直线l 的方程． （3）若从动点P 向圆C ：x 2+（y-4）2=1作两条切线，切点为A 、B ，令|PC|=d ，试用d 来表示PB PA •，并求PB PA •的取值范围．
7.某海域有A 、B 两个岛屿，B 岛在A 岛正东4海里处．经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C ，曾有渔船在距A 岛、B 岛距离和为8海里处发现过鱼群．以A 、B 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系． （1）求曲线C 的标准方程；
（2）某日，研究人员在A 、B 两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度
相同），A 、B 两岛收到鱼群在P 处反射信号的时间比为5：3，问你能否确定P 处的位置（即
点P 的坐标）？
[挑战自我]
已知M 是以点C 为圆心的圆（x+1）2+y 2=8上的动点，定点D （1，0）．点P 在DM 上，点N 在CM 上，且满足DM 2=,0=•DM ．动点N 的轨迹为曲线E ．
（Ⅰ）求曲线E 的方程；
（Ⅱ）线段AB 是曲线E 的长为2的动弦，O 为坐标原点，求△AOB 面积S 的取值范围．。
高考数学复习考点突破专题讲解12 圆锥曲线的方程与性质
高考数学复习考点突破专题讲解第12讲圆锥曲线的方程与性质一、单项选择题1.(2022·广东惠州一模)若抛物线y2=2px(p>0)上一点P(2,y0)到其焦点的距离为4,则抛物线的标准方程为()A.y2=2xB.y2=4xC.y2=6xD.y2=8x2.(2022·山东临沂二模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦距为4,实轴长为4,则C的渐近线方程为()A.y=±2xB.y=±xC.y=±xD.y=±x3.(2022·广东肇庆二模)已知F1,F2分别是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆上一点,O 为坐标原点,若|OA|=|OF1|,直线F2A的斜率为-3,则椭圆C的离心率为()A. B. C. D.4.(2022·河北保定高三期末)为了更好地研究双曲线,某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型.已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB与曲线CD)为某双曲线(离心率为2)的一部分,曲线AB与曲线CD中间最窄处间的距离为30 cm,点A与点C,点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称,且|AB|=36 cm,则|AD|=()A.12 cmB.6 cmC.38 cmD.6 cm5.(2022·全国甲·文11)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若=-1,则C的方程为()A.=1B.=1C.=1D.+y2=16.(2022·广东执信中学模拟)已知双曲线C的离心率为,F1,F2是C的两个焦点,P为C上一点,|PF1|=3|PF2|,若△PF1F2的面积为,则双曲线C的实轴长为()A.1B.2C.3D.47.(2022·江西宜春期末)已知抛物线E:y2=8x的焦点为F,P是抛物线E上的动点,点Q与点F关于坐标原点对称,当取得最小值时,△PQF的外接圆半径为()A.1B.2C.2D.48.(2022·山东滨州二模)已知椭圆C1和双曲线C2有相同的左、右焦点F1,F2,若C1,C2在第一象限内的交点为P,且满足∠POF2=2∠PF1F2,设e1,e2分别是C1,C2的离心率,则e1,e2的关系是()A.e1e2=2B.=2C.+e1e2+=2D.=2二、多项选择题9.(2022·湖北武昌高三期末)已知双曲线C:=1,下列对双曲线C判断正确的是()A.实轴长是虚轴长的2倍B.焦距为8C.离心率为D.渐近线方程为x±y=010.(2022·新高考Ⅱ·10)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线与C交于A,B两点,点A在第一象限,点M(p,0),若|AF|=|AM|,则()A.直线AB的斜率为2B.|OB|=|OF|C.|AB|>4|OF|D.∠OAM+∠OBM<180°11.(2022·山东临沂三模)2022年4月16日9时56分,神舟十三号返回舱成功着陆,返回舱是宇航员返回地球的座舱,返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”,如图,在平面直角坐标系中,半圆的圆心在坐标原点,半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0,2),椭圆的短轴与半圆的直径重合,下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A,与下半圆交于点B,则()A.椭圆的长轴长为4B.线段AB长度的取值范围是[4,2+2]C.△ABF的面积最小值是4D.△AFG的周长为4+412.(2022·江苏南通高三检测)已知椭圆C1:=1(m>n>0)的上焦点为F1,双曲线C2:=1的左、右焦点分别为F2,F3,直线F1F2与C2的右支相交于点A,若AF3⊥F2F3,则()A.C1的离心率为B.C2的离心率为C.C2的渐近线方程为y=±xD.△AF1F3为等边三角形三、填空题13.(2021·全国乙·理13)已知双曲线C:-y2=1(m>0)的一条渐近线为x+my=0,则C的焦距为.14.(2022·河北保定模拟)已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点在y轴上,F1,F2为C的两个焦点,C的短轴长为4,且C上存在一点P,使得|PF1|=6|PF2|,写出椭圆C的一个标准方程:.15.(2022·山东威海高三期末)已知抛物线C1:y2=8x,圆C2:x2+y2-4x+3=0,点M(1,1),若A,B分别是C1,C2上的动点,则|AM|+|AB|的最小值为.16.(2022·河北石家庄二模)已知椭圆C1和双曲线C2有公共的焦点F1,F2,曲线C1和C2在第一象限内相交于点P,且∠F1PF2=60°.若椭圆C1的离心率的取值范围是,则双曲线C2的离心率的取值范围是.高考数学复习考点突破专题讲解12圆锥曲线的方程与性质1.D解析∵抛物线y2=2px上一点P(2,y0)到其焦点的距离等于到其准线的距离,∴+2=4,解得p=4,∴抛物线的标准方程为y2=8x.2.C解析由已知得,双曲线的焦点在y轴上,双曲线的焦距2c=4,解得c=2,双曲线的实轴长为2a=4,解得a=2,则b=--=4,故双曲线C的渐近线方程为y=±x=±x.3. D解析如图,由|OA|=|OF1|,得|OA|=|OF1|=|OF2|=c,故∠F1AF2=90°.因为直线F2A的斜率为-3,所以tan∠F1F2A=3,所以|AF1|=3|AF2|.又|AF1|+|AF2|=2a,所以|AF1|=,|AF2|=.又|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,即a2+a2=4c2,得,所以.4. D解析以双曲线的对称中心为坐标原点,建立平面直角坐标系xOy,因为双曲线的离心率为2,所以可设双曲线的标准方程为=1(a>0),依题意可得2a=30,则a=15,即双曲线的标准方程为=1.因为|AB|=36cm,所以点A的纵坐标为18.由=1,得|x|=3,故|AD|=6cm.5.B解析由题意知,A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),则=(-a,-b)·(a,-b)=-a2+b2=-1,①由e=,得e2=-=1-,即b2=a2.②联立①②,解得a2=9,b2=8.故选B.6.B解析根据双曲线的定义,可得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=3|PF2|,解得|PF1|=3a,|PF2|=a.因为双曲线C的离心率为,所以c= a.在△PF1F2中,由余弦定理,可得cos∠F1PF2=-=-,则sin∠F1PF2=.由△PF1F2的面积为,可得|PF1||PF2|sin∠F1PF2=a2=,解得a=1.故双曲线C的实轴长为2.7. C解析过点P作准线的垂线,垂足为M,由抛物线的定义知|PF|=|PM|,所以=cos∠QPM=cos∠PQF,要使取得最小值,则cos∠PQF取得最小值,即tan∠PQF取得最大值0<∠PQF<,此时直线PQ与抛物线相切.设直线PQ的方程为y=k(x+2),由得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,所以Δ=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)=0,即k2=1,解得k=±1,不妨取k=1,此时直线PQ的倾斜角∠PQF=,且有x2-4x+4=0,所以x=2,所以P(2,4),所以|PF|=4.设△PQF的外接圆半径为R,在△PQF中,由正弦定理知,2R==4.所以此时△PQF的外接圆半径R=2.8. D解析因为∠POF2=∠PF1F2+∠F1PO,∠POF2=2∠PF1F2,所以∠PF1F2=∠F1PO,所以|OF1|=|OP|=|OF2|=c,所以PF1⊥PF2.记椭圆长半轴长为a1,双曲线实半轴长为a2,椭圆和双曲线的半焦距为c,|PF1|=m,|PF2|=n,则由椭圆和双曲线定义可得,m+n=2a1,①m-n=2a2,②①2+②2可得2(m2+n2)=4().由勾股定理知,m2+n2=4c2,代入上式可得2c2=,整理得=2,即=2,所以=2.9.BD解析由双曲线C:=1,可得a2=12,b2=4,则c2=a2+b2=16,所以a=2,b=2,c=4,故A不正确,B正确;e=,故C不正确;易知渐近线方程为y=±x,即x±y=0,故D正确.10.ACD解析选项A,由题意知,点A为FM的中点,设A(x A,y A),则x A=p,所以=2px A=2p·p=p2(y A>0).=2,故选项A正确;所以y A=p,故k AB=-选项B,由斜率为2可得直线AB的方程为x=y+,联立抛物线方程得y2-py-p2=0,设B(x B,y B),则p+y B=p,则y B=-,代入抛物线方程得-=2p·x B,解得x B=.∴|OB|=,故选项B错误;选项C,|AB|=p++p=p>2p=4|OF|,故选项C正确;选项D,由选项A,B知,A p,p,B,-p,所以=p,p·,-p=-p2=-p2<0,所以∠AOB为钝角.又=-p·-,-p=-p2=-p2<0,所以∠AMB为钝角.所以∠OAM+∠OBM<180°.故选项D正确.故选ACD.11. ABD解析由题知,椭圆中b=c=2,则a=2,则2a=4,故A正确;|AB|=|OB|+|OA|=2+|OA|,由椭圆性质可知2≤|OA|≤2,所以4≤|AB|≤2+2,故B正确;若A,B,F能构成三角形,则AB不与y轴重合,此时2≤|OA|<2,记∠AOF=θ,则S△ABF=S△AOF+S△OBF=|OA||OF|sinθ+OB·OF sin(π-θ)=|OA|·sinθ+2sinθ=(|OA|+2)sinθ,取θ=,则S△ABF=1+|OA|<1+×2<4,故C错误;由椭圆定义知,|AF|+|AG|=2a=4,所以△AFG的周长L=|FG|+4=4+4,故D正确.12. ACD解析易知F1(0,-),F2(-,0),F3(,0),将x=代入双曲线C2的方程得=1,可得y2=,则点A.因为O为F2F3的中点,且OF1∥AF3,所以OF1为△F2AF3的中位线,所以-,整理可得m4=4m2n2-4n4,即m2=2n2.椭圆C1的离心率为e1=-,故A正确;双曲线C2的离心率为e2=,故B错误;双曲线C2的渐近线方程为y=±x=±x,故C正确;易知点A(n,2n),F2(-n,0),则,则∠AF2F3=30°,故∠F2AF3=60°.因为|AF3|=2n,|AF1|=|AF2|=(|AF3|+2n)=2n,所以△AF1F3为等边三角形,故D正确.13.4解析由双曲线方程可知其渐近线方程为±y=0,即y=±x,得-=-,解得m=3.可得C 的焦距为2=4.14.=1(答案不唯一)解析因为|PF1|=6|PF2|,所以|PF1|+|PF2|=7|PF2|=2a,则|PF2|=.又因为a-c≤|PF2|≤a+c,所以≥a-c,即.根据题意可设C的标准方程为=1(a>b>0),因为椭圆C的短轴长为4,所以2b=4,b=2.又由,可得--,解得a2≥,所以椭圆C的一个标准方程为=1.15. 2解析由抛物线C1:y2=8x得焦点F(2,0),准线方程为x=-2.由圆C2:x2+y2-4x+3=0,得(x-2)2+y2=1,所以圆C2是以F(2,0)为圆心,以r=1为半径的圆.所以|AM|+|AB|≥|AM|+|AF|-1,所以当|AM|+|AF|取得最小值时,|AM|+|AB|取得最小值.又根据抛物线的定义得|AF|等于点A到准线的距离,所以过点M作准线的垂线,垂足为N,且与抛物线C1:y2=8x相交,当点A为此交点时,|AM|+|AF|取得最小值,最小值为|1-(-2)|=3.所以此时|AM|+|AB|≥|AM|+|AF|-1≥3-1=2,所以|AM|+|AB|的最小值为2.16.解析设椭圆C1:=1(a>b>0),双曲线C2:=1,椭圆与双曲线的半焦距为c,椭圆的离心率e=,双曲线的离心率e1=,|PF1|=s,|PF2|=t,如图,由椭圆的定义可得s+t=2a,由双曲线定义可得s-t=2a1,联立可得s=a1+a,t=a-a1.由余弦定理可得4c2=s2+t2-2st cos∠F1PF2=(a+a1)2+(a-a1)2-2(a+a1)(a-a1)cos60°=a2+3,即4=,解得.-因为e∈,所以≤e2≤,2≤≤3,可得≤3,故≤e1≤.。
圆的性质与圆锥曲线综合应用问题
（2）点 M 在圆 x2 y 2 b 2 上，且 M 在第一象限，过点 M 作圆 x2 y 2 b 2 的切线 交椭圆于 A, B 两点，问 AF2 B 的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理 由。 另解，在此我们发现 AB 与圆 O 相切于点 M ，我们可以否利用切线的性质来处理呢？ 我们发现 OM AB 在 Rt OMA 中，
p p 解析： （1）由抛物线 C 方程 x2 2 py ，已知 F (0, ) ，准线 y ，外接圆心在直线 2 2 p 3p 3 y 上，依题意 ，即 p 1 ，抛物线 C 方程为 x 2 2 y 4 4 4
（2）设过点 P( x0 , y0 ) 的直线 l 方程为 y y0 k ( x x0 )
2 2 1 2
4m 2 12 4km 8km 4 g 2 3 4k 2 3 4k 2 3 4k 2
题型一、圆的切线与圆锥曲线综合问题 2 2
例 1． 已知椭圆 （1）求椭圆的方程；
x y 3 2 1 F (1,0) 的右焦点为 ， 点 1, ( a b 0) P ( , ) 在椭圆上。 2 a 2 b2 2 4
例 1． 已知椭圆 （1）求椭圆的方程；
x y 3 2 1 F (1,0) 的右焦点为 ， 点 1, ( a b 0) P ( , ) 在椭圆上。 2 2 2 a b 2 4
（2）点 M 在圆 x2 y 2 b 2 上，且 M 在第一象限，过点 M 作圆 x2 y 2 b 2 的切线 交椭圆于 A, B 两点，问 AF2 B 的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理 由。 8km 4m2 12 设 A x1 , y1 , B x2 , y2 ，则 x1 x2 , x1 x2 2 2
高中数学圆和圆锥曲线教案
高中数学圆和圆锥曲线教案
1. 了解圆的基本概念，掌握圆的相关性质
2. 能够解决圆和圆锥曲线相关的问题
3. 能够应用数学知识解决实际问题
【教学内容】
1. 圆的定义和性质
2. 圆锥曲线的定义和性质
3. 圆和圆锥曲线的相关计算题
【教学重难点】
1. 圆的相关性质，如圆周长、圆的面积等的计算
2. 圆锥曲线的性质和应用
【教学过程】
一、圆的基本概念
1. 圆的定义：平面上所有与一个给定点距离相等的点的集合称为圆。
2. 圆的性质：半径、直径、圆心、周长、面积等。
二、圆的计算题
1. 计算圆的周长和面积
2. 计算弧长、扇形面积等
三、圆锥曲线的定义
1. 圆锥曲线是由直线与圆相交而得到的。
例：椭圆、双曲线、抛物线等。
四、圆锥曲线的性质和应用
1. 椭圆的定义和性质：焦点、长轴、短轴等
2. 双曲线的定义和性质：焦点、直轴、准直轴等
3. 抛物线的定义和性质：焦点、准直线、对称轴等
【教学方法】
1. 通过实例讲解，激发学生的兴趣
2. 结合实际问题，培养学生的数学思维
3. 综合性训练，加强学生的应用能力
【教学反馈】
1. 定期组织测试，检测学生的学习效果
2. 鼓励学生提问，及时纠正学生的错误
3. 总结常见错误，帮助学生克服困难
【教学拓展】
1. 鼓励学生拓展学习，探索更多数学知识
2. 引导学生参加数学竞赛，提升综合能力
3. 推荐相关书籍、网站，帮助学生深入学习
以上是一份高中数学圆和圆锥曲线教案范本，供参考学习。
几何中的圆与圆锥曲线的性质与应用
几何中的圆与圆锥曲线的性质与应用圆与圆锥曲线是几何学中重要的概念，它们具有独特的性质和广泛的应用。
本文将介绍圆与圆锥曲线的性质以及它们在实际生活中的具体应用。
一、圆的性质圆是由平面上距离一个定点（圆心）的距离相等的所有点组成的。
下面我们来了解一些关于圆的性质。
1. 圆的直径和半径圆的直径是通过圆心的一条线段，而半径是连接圆心和圆上任意一点的线段。
圆的直径是半径的两倍。
2. 圆的周长和面积圆的周长等于圆周上的长度，可以通过公式C = 2πr来计算，其中r是圆的半径。
圆的面积是圆内部的面积，可以通过公式 A = πr²来计算。
3. 圆的切点如果两个圆的圆心之间的距离等于这两个圆的半径之和，那么这两个圆相切。
相切的两个圆在切点处有且只有一点重合。
二、圆锥曲线的性质圆锥曲线是由平面上一个点P和一个定直线（准线）L上的一点P'的轨迹组成的。
下面我们介绍三种常见的圆锥曲线及其性质。
1. 椭圆椭圆是圆锥曲线中的一种，它的特点是离心率小于1。
椭圆有两个焦点，焦点与椭圆上的任意一点之间的距离之和是一个常数。
这个常数被称为椭圆的长轴长度。
椭圆的形状可以通过长轴和短轴的长度来描述。
2. 双曲线双曲线是圆锥曲线中的另一种形式，它的特点是离心率大于1。
双曲线也有两个焦点，焦点与双曲线上的任意一点之间的距离之差是一个常数。
这个常数被称为双曲线的长轴长度。
双曲线的形状也可以通过长轴和短轴的长度来描述。
3. 抛物线抛物线是圆锥曲线中的第三种形式，它的特点是离心率等于1。
抛物线有一个焦点和一个直线（准线）。
点到焦点和点到准线的距离相等。
抛物线的形状可以通过准线和焦点的位置来描述。
三、圆与圆锥曲线的应用圆与圆锥曲线在实际生活中有广泛的应用，例如：1. 建筑设计圆形的窗户、圆顶和圆形柱子在建筑设计中经常出现。
圆形结构可提供稳定的支撑力并增强结构的美感。
2. 航空航天在航空航天领域，圆锥曲线应用广泛。
抛物线轨道被用于卫星发射，而椭圆轨道则用于行星和其他天体的运动路径模拟。
高中数学备课教案圆与圆锥曲线的位置关系
高中数学备课教案圆与圆锥曲线的位置关系高中数学备课教案圆与圆锥曲线的位置关系1. 引言圆与圆锥曲线是高中数学中重要的几何概念，它们在空间几何中具有特殊的位置关系。
本教案将分析讨论圆与圆锥曲线之间的位置关系及相关性质。
2. 圆与圆锥曲线的定义与性质回顾2.1 圆的定义与性质圆可以由平面上到一个定点距离相等的所有点组成，该定点为圆心，距离为半径。
圆的性质包括：圆心角相等、半径垂直于弦、弦长与圆心角的关系等。
2.2 圆锥曲线的定义与性质圆锥曲线是指空间中由平面与一个固定点所构成的几何图形。
常见的圆锥曲线有椭圆、双曲线和抛物线。
它们的性质包括：焦点和准线的关系、离心率的定义与计算等。
3. 圆与圆锥曲线的位置关系3.1 圆与椭圆的位置关系圆与椭圆可以有以下几种位置关系：3.1.1 外离当圆不与椭圆相交且不在椭圆上时，称为外离。
3.1.2 外切当圆与椭圆相切于一点时，称为外切。
此时圆的半径与椭圆的半径之和等于切点到椭圆焦点的距离。
3.1.3 相交当圆与椭圆有两个交点时，称为相交。
此时圆的半径小于或大于椭圆的长轴。
3.1.4 内切当圆与椭圆相切于两个点时，称为内切。
此时圆的半径与椭圆的半径之差等于切点到椭圆焦点的距离。
3.1.5 内含当圆位于椭圆内部，且不与椭圆相交时，称为内含。
3.2 圆与双曲线的位置关系圆与双曲线可以有以下几种位置关系：3.2.1 相离当圆不与双曲线相交时，称为相离。
3.2.2 外切当圆与双曲线相切于一点时，称为外切。
此时圆的半径与双曲线的渐近线之间的距离相等。
3.2.3 相交当圆与双曲线有两个交点时，称为相交。
此时圆的半径小于双曲线的渐近线之间的距离。
3.2.4 内含当圆位于双曲线内部，且不与双曲线相交时，称为内含。
3.3 圆与抛物线的位置关系圆与抛物线可以有以下几种位置关系：3.3.1 相离当圆不与抛物线相交时，称为相离。
3.3.2 外切当圆与抛物线相切于一点时，称为外切。
3.3.3 相交当圆与抛物线有一个交点时，称为相交。
几何中的圆与圆锥曲线
几何中的圆与圆锥曲线在几何学中，圆与圆锥曲线是两个重要的概念。
圆是平面上所有到一个固定点距离相等的点的集合，而圆锥曲线则是在三维空间中所形成的曲线形状。
本文将对这两个概念进行详细讨论。
1. 圆圆是几何学中最简单的曲线之一。
它由一个中心点和到该中心点距离相等的所有点组成。
圆的特点是任意两点到中心点的距离相等，并且圆的周长与半径之间有一个简单的关系——周长等于半径的两倍乘以π（π是一个常数，约等于3.14159）。
圆在日常生活中有各种应用。
例如，我们常常用圆来描述和绘制轮子、盘子等物体的形状。
此外，圆也在数学和工程领域中广泛应用，例如计算圆的面积和周长，制作圆形零件等等。
2. 圆锥曲线圆锥曲线是由一个平面沿着一个闭合曲线旋转而形成的曲线形状。
根据旋转的角度和曲线的性质，圆锥曲线可以分为三种类型：椭圆、双曲线和抛物线。
2.1 椭圆椭圆是一个闭合曲线，其定义是平面上到两个焦点的距离之和始终相等的点的集合。
椭圆有一个中心点，称为焦点，同时还有一个主轴和一个短轴。
椭圆的形状由两个焦点之间的距离和轴的长度比例决定。
椭圆在物理学、天文学和工程学中都有应用。
例如，在天文学中，行星绕着太阳运行的轨道可以近似看作是一个椭圆。
在工程学中，椭圆也常用于设计和制造椭圆形的零件或器件。
2.2 双曲线双曲线也是一个闭合曲线，其定义是平面上到两个焦点的距离之差始终相等的点的集合。
双曲线有两个分离的焦点，并且没有轴。
双曲线的形状由两个焦点之间的距离和焦点到曲线的最近点之间的距离比例决定。
双曲线在数学和物理学中都有广泛应用。
在数学中，双曲线是一类重要的数学曲线，它具有许多有趣的性质和应用。
在物理学中，双曲线常用于描述光学系统中的折射和反射现象。
2.3 抛物线抛物线是一个开口朝上或朝下的曲线，其定义是平面上到焦点和曲线最近点的距离相等的点的集合。
抛物线有一个焦点，并且没有轴。
抛物线的形状由焦点到曲线的最近点之间的距离和焦点到曲线对称点的距离比例决定。
高考数学一轮总复习圆与圆锥曲线的多元综合运用
高考数学一轮总复习圆与圆锥曲线的多元综合运用高考数学一轮总复习圆与圆锥曲线的多元综合运用在高考数学中，圆与圆锥曲线是常见的考察内容。
掌握它们的性质和应用是解题的关键。
本文将对圆的方程、圆锥曲线以及它们的多元综合运用进行全面总结和分析。
一、圆的方程及性质1.圆的标准方程圆的标准方程为：$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $其中，圆心坐标为$(a, b)$，半径为$r$。
2.圆的性质（1）过给定圆外一点可作唯一一条直线与圆相交；（2）相交圆共有4个交点，若两个圆重合，则有无数个交点；（3）相离圆无交点。
二、圆锥曲线的方程及性质1. 椭圆的方程及性质椭圆的标准方程为：$ \frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1 $其中，$(x_0, y_0)$代表椭圆的中心坐标，$a$和$b$分别为椭圆长轴和短轴的长度。
椭圆的性质：（1）焦点和直径：椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于常数$2a$；椭圆的直径是通过中心点并且垂直于长轴的线段。
（2）离心率与焦点：离心率用来度量椭圆的扁平程度，定义为$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$，焦点与离心率的关系为：$c=ae$。
2. 双曲线的方程及性质双曲线的标准方程分为两种情况：（1）横轴双曲线的方程为：$ \frac{(x-x_0)^2}{a^2} - \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1 $（2）纵轴双曲线的方程为：$ \frac{(y-y_0)^2}{a^2} - \frac{(x-x_0)^2}{b^2} = 1 $其中，$(x_0, y_0)$代表双曲线的中心坐标，$a$和$b$分别为双曲线横轴和纵轴上的半轴长。
双曲线的性质：（1）焦点和直枝：双曲线上任意一点到两焦点的距离之差等于常数$2a$；双曲线的两个枝分别延长出去，称为直枝。
（2）离心率与焦点：离心率用来度量双曲线的扁平程度，定义为$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$，焦点与离心率的关系为：$c=ae$。
圆锥曲线的综合应用(PPT)
第12课时
圆锥曲线的综合应用
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圆锥曲线的综合应用
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圆锥曲线的综合应用
• ∴k＝－b，此时Δ＞0， • ∴直线l的方程为y＝k(x－1)， • 即直线l过定点(1，0).
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圆锥曲线的综合应用
• (4)利用代数基本不等式，代数基本不等式的应 用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思. • (5)结合参数方程，利用三角函数的有界性.直线、 圆、椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是 均含有三角式.因此，它们的应用价值在于: • ①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标; • ②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助 求解诸如最值或范围等问题. • (6)构造一个一元二次方程，利用判别式Δ≥0求 解.
第12课时
圆锥曲线的综合应用
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圆锥曲线的综合应用
• 预学2:圆锥曲线的定点、定值问题 • 定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景， 常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了 过定点、定值等问题的证明.解决问题的关键 是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒 成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可 以先研究一下特殊情况，找出定点或定值， 再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙 利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如 将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的 弦来研究等.
第12讲 解析几何之圆锥曲线的方程(学生版)
第12讲解析几何之圆锥曲线的方程一．基础知识回顾（一）椭圆与椭圆的方程：1．椭圆的概念：在平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做________．这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫________．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若________，则集合P为椭圆；(2)若________，则集合P为线段；(3)若________，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质线方程：1．双曲线的概念：平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a<2c)，则点P的轨迹叫________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0；(1)当________时，P点的轨迹是________；(2)当________时，P点的轨迹是________；(3)当________时，________．三．抛物线与抛物线的方程1．抛物线的概念：平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离______的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的__________，直线l叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方二．典例精析探究点一：圆锥曲线的定义及应用例1：（1）一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．（2）已知定点A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．（3）已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|P A|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．变式迁移1：（1）求过点A (2,0)且与圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程． （2）已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．（3）已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫14，－1B.⎝⎛⎭⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2)探究点二：求圆锥曲线的标准方程例2求满足下列各条件的圆锥曲线标准方程： (1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)的椭圆方程(2)经过两点A (0,2)和B ⎝⎛⎭⎫12，3.的椭圆方程（3）已知双曲线的一条渐近线方程是x －2y ＝0，且过点P (4,3)的双曲线方程．(4) 与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，23)的双曲线方程(5)抛物线的焦点F 是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点的抛物线方程 (6)过点P (2，－4)的抛物线方程变式迁移2：(1)已知椭圆过(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)、P 2(－3，－2)，求椭圆的标准方程．（3）已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1的焦点相同，且它们的离心率之和等于145，求双曲线的方程(4)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)，求双曲线的方程(5)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．探究点三：圆锥曲线的几何性质 例3：（一）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．（二）已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144.(1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．（三）过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线和抛物线相交于A ，B 两点，如图所示．(1)若A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，求证：y 1y 2＝－p 2； (2)若直线AO 与抛物线的准线相交于点C ，求证：BC ∥x 轴．变式迁移3：（一）已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M (在x 轴上方)向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，AB ∥OM .(1)求椭圆的离心率e ； (2)设Q 是椭圆上任意一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围．（二）已知双曲线C ：x 22－y 2＝1.(1)求双曲线C 的渐近线方程；(2)已知M 点坐标为(0,1)，设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．记λ＝MP →·MQ →，求λ的取值范围．（三）已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．求四．课后作业设计1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．122．“m >n >0”是方程“mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1 (0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫π2，πB.⎝⎛⎭⎫π4，3π4C. ⎝⎛⎭⎫3π4，πD.⎝⎛⎭⎫π2，3π4 4．椭圆x 212＋y23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍5．椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k 等于( )A ．－1B ．1 C. 5 D ．－ 56．已知双曲线x 22－y2b2＝1 (b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其中一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→等于( )A ．－12B ． 0C ．－2D ．4 7．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D ． 38．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．49．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( ) A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3| B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2 C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|10．已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过该抛物线焦点F 且不与x 轴垂直的直线AB 交抛物线于A 、B 两点，过点A 、点B 分别作AM 、BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于M 、N 两点，那么∠MFN 必是( )A ． 直角B ．锐角C ．钝角D ．以上皆有可能11．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝12．设圆过双曲线x 29－y216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则此圆心到双曲线中心的距离为13．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为14．已知A 、B 是抛物线x 2＝4y 上的两点，线段AB 的中点为M (2,2)，则|AB |＝ 15．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为16．已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程．(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．17．已知定点A (－1,0)，F (2,0)，定直线l ：x ＝12，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍．设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N . (1)求E 的方程；(2)试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由．18．已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C . (1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹C 于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．。
高中数学平面几何中的圆与圆锥曲线
高中数学平面几何中的圆与圆锥曲线在高中数学的平面几何中，圆与圆锥曲线是重要的概念。
本文将对圆和圆锥曲线进行详细的探讨和解释。
一、圆圆是平面几何中最常见的几何图形之一。
它由一组等距离于一点的点组成，这个点称为圆心，等距离称为半径。
圆可以用数学方程表示为：x² + y² = r²，其中r表示半径的长度。
1. 圆的性质圆的性质有很多，下面列举几个重要的性质：（1）圆上任意两点到圆心的距离相等。
（2）半径相等的圆互相重合。
（3）在同一个圆中，对圆心角相等的弧长相等。
（4）在同一个圆中，对圆心角大的弧长也大。
2. 圆的相关定理在平面几何中，圆与其他几何图形的相交关系往往会涉及到一些重要的定理。
（1）角的位置定理：两条相交弦决定的两个往往会涉及到一些重要的定理。
在图中，AB和CD是两条相交的弦，E和F是它们的交点，那么∠AEC和∠BFD是对内角，∠AFD和∠BEC是对外角。
根据角的位置定理，我们可以得到如下结论：∠AEC=∠BFD，∠AFD=∠BEC。
（2）弧的角度定理：弧与其所对圆心角的关系在图中，AB是圆的一条弧，O是圆心，α是弧对应的圆心角。
根据弧的角度定理，我们可以得到如下结论：弧AB所对圆心角α的角度为π。
二、圆锥曲线圆锥曲线是平面解析几何中的一个重要概念。
它由平面上一个固定点（焦点F）和到这个点的距离之比（离心率e)确定。
1. 定义在平面上，如果一点到定点和定直线的距离之比是一个常数，就称这条轨迹为圆锥曲线。
常见的圆锥曲线有椭圆、双曲线和抛物线。
2. 椭圆椭圆是圆锥曲线的一种，它与焦点的距离之和等于常数的点的集合。
在平面解析几何中，椭圆可以用数学方程表示为：x²/a² + y²/b² = 1，其中a表示椭圆的长半轴长度，b表示短半轴长度。
3. 双曲线双曲线是圆锥曲线的另一种，它与焦点的距离之差等于常数的点的集合。
在平面解析几何中，双曲线可以用数学方程表示为：x²/a² - y²/b²= 1，其中a表示双曲线的长半轴长度，b表示短半轴长度。