20151101绵阳一诊数学文含答案(精校版)
2023—2024学年四川省绵阳市高三上学期第一次诊断性考试数学(文科)模拟试题(含答案)
D．若 c 0 ，则 ac bc
5．已知 5a
10b
，则
b a
（
）
A．
1 2
B．2
C． log510
D．1 lg2
6．已知 tan 2 ，则 sin2 （ ）
A．- 3 5
B． 4 5
C． 3 10
D． 7 10
7．若等比数列an首项 a1 2, a4 8 2 ，则数列an的前 n 项和为（ ）
件的 的积属于区间（ ）
A． 1, 4
B．4, 7
C． 7,13
D．13,
二､填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框
图，若输入的 a，b 分别为 21，14，则输出的 a=
.
14．已知点
M
1,1, N
2,
m
，若向量
MN
与
a
m, 2 的方向相反，则
r a
．
15．已知函数
f
x
ex ex 2, x
x2 2x, x
0
0 ，则
f
x
的值域为
．
16．已知函数 f x, g x 的定义域为 R ，且 f x f x 6, f 2 x g x 4 ，若 g x 1 为奇
3．已知平面向量
a
与
b
的夹角为
45
,
a
b
2
，且
a
2 ，则
a
b
·
a
b
（
）
A． 2 2
B．-2
C．2
D． 2 2
四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试试题数学理Word含答案
数学阶段性测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分。
1. 集合 M 2,0,1,2, N x 2x1 1 ,则 N M=()A. {-2,1,2 }B. {0,2}C. {-2 , 2}D. [-2 , 2]2. 已知 a=(2,1), b x,3 ,且 a//b ，则 x 的值为()A.2B.1C.3D.63. 在各项均为正数的等比数列 a n 中，3a 1,-a 3,2a 2成等差数列，则■a11—岂()2a 8 a10A. 1或3B.3C.1 或 27D.27 4.卜列 J 说法错误的是( ) A. 若p : xR,：x 2x 1 0，贝U p: x R, x 2 x 1 0;B.sin1 ” 2是“30： ”的充分不必要条件；C. 命题“若 a 0，则 ab 0”的否命题是：“若a 0，则ab 0D.若 p: x R,cosx 1，q ： x R,x 2 x 10，则“ p q ”为假命题.5. 为了得到函数y cos(2x )的图象，只需将函数y sin 2x 的图象()3A.向左平移—个单位B •向右平移—个单位12 12 C.向左平移5个单位D•向右平移5个单位666. 设x R ，若函数f(x)为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f f (x) e x e 1 ( e 是自然对数的底数)，则f (ln 2)的值等于()A. 1 B . e 1 C.3 D . e 32x 3y 57.若实数x, y 满足约束条件2x y 5 0 ,则函数z | x y 1|的最小值是()x 0A.0B.4C.8 D.7328.已知函数f xsin x ,0x 1log2014x , x1若a,b,c 互不相等，且f a f b f c ,则a b c 的取值范围是(). A.(1,2014) B.(1,2015)C.[2,2015]D.(2,2015)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.） 11.幕函数y （m 2 3m 3）x m 过点 112.计算 log 3 6 log 3 2 42 3叫4点，且在A,B 两点处的切线互相平行，则$的取值范围为亠X 1三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤共 75分）16.（本小题满分12分）数m 的取值范围.17.（本小题满分12分） 设公差不为0的等差数列a n 的首项为1,且32,35,3!4构成等比数列.9.已知定义为R 的函数f x 满足f 4，且函数f x 在区间2,上单调递增.如果x 12 x 2，且x 1X 2 4，则f 捲f X 2的值（ A.恒小于0 B.恒大于 C.可能为0 D.可正可负10.设函数f x的导函数为fx ，对任意x R 都有fA. 3f(ln2) 2f (l n3)B. 3f (l n2) 2f(l n3)C. 3f (ln2)2f (l n3) D.3f （l n 2）与2f （l n3）的大小不确定2,4，贝U m =的结果为13已知菱形ABCD 的边长为2， 若 A E A F BC 3BE ， DC DF .14.已知x,y R , x 22y_ 215.已知ABAD 120，点 E,F 分别在边 BC, DC 上,1，则的值为j 则決口的最大值为 X 2』2咅 x 2是函数f x 3 x 图象上的两个不同已知函数f x 2cos x -sin x 3玉sx 「（I ）求f x 的值域和最小正周期；（U ）若对任意°,「使得mfx2 0恒成立，求实(I)求数列a n的通项公式；(U)若数列b n满足P直…％1 A，n a i a2 a n 218. (本小题满分12分)已知函数f(x) .3 sin( x )( 0,2 2)的图像关于直线x-对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.(I)求和的值；(II)若电)4 ,( 6 3)，求COS( 2)的值.19. (本小题满分12分)已知二次函数f(x) Ax2 Bx(A 0), f(1) 3,其图象关于x 1对称，数列a n的前n项和为S n,点n,S n n N*均在y f (x)图象上.(I)求数列a n的通项公式，并求S n的最小值；1 11 3 1 (n)数列b n , b n - , b n的前n项和为T n ,求证：-一T n --.S n 3 4n 4 n 3 20. (本小题满分13分)N*，求b n的前n项和T n1 a 设函数f (x) x2ax ln x ( a R).(I)当a 1时，求函数f (x)的极值；(U)当a R时，讨论函数f(x)的单调性；(川)若对任意a (2,3)及任意x i , X2 1,2，恒有ma ln2 f(xjf(X2)成立, 求实数m的取值范围.21. (本小题满分14分)已知 f (x) In x mx(m R).(I)若曲线y f (x)过点P(1, 1)，求曲线在P点处的切线方程;(U)求f (x)在区间1,e上的最大值；(川)若函数f (x)有两个不同的零点X1,X2，求证X1X2 e2.绵阳南山中学.南山中学实验学校绵阳市“一诊”模拟考试试题理科数学参考答案一、 C DDBA CADAB 二、 填空题 11.2 12. -1 13 . 2 14. 3 2 15. (-1,0 )8三、 解答题 16.解：(1)f(x) = 2sin x +"3 cos x + -3 — 2 3cos2 x + -3n r — n2X +~3 < 1. /.— 2 — 3< 2sin 2x+p — 3< 2— 3, T = 今=冗，即卩f(x)的值域为[—2 — , 3, 2— ,3]，最小正周期为n .. n r n n 2n,, n\/3⑵当 x € 0,舌时，2x + -3 € -3, -3，故 sin 2x +§ € 电,1 ,此时 f(x) + 3= 2sin 2x +nn € [ 3,2].由 m[f(x) + 3] + 2= 0知，帀0, /• f(x)m 的取值范围是一^3^,— 117. 解：(I )设等差数列a n 的公差为d,(d 0),则还％a 52，即(1 4d )2 (1 d ))1 13d )解得 d=0 (舍去)或 d=2, a n 1+2(n-1)=2n-12n=sin 2X +~32ncos 2X +~3 + 1 = sin2 n 厂 2 n 2x +3 — 3cos 2x +~3=2sin 2x + 3 —"』3. I — 1w sin+ 3= — m 即 3< — m 2,即m+ 3< 0,2+ 2> 0, m解得-2.331.即实数a 2, a 5, a 14构成等比数列,.3分(II 由已知 b ,云b n a1-(n2n(当n=1时，牛1 ；2时,b n a n (1(1一)=丄12n'b n a n丄,(n N * )2n由（I ）, a n 2n-1 b n2n 1 2n 2n1 ~22n 1两式相减得 2 24 2n 2n 11 2n 12n 2n 2n 2n.1218.解 由题可知, 二 f(x) = . 3 2 n T = 一| 3|sin 2(x- )= .. 3 sin(2x--n ), ©二 12 6 周期 w = 2nn T n n n_为对称轴f (_-_)= f ( ) = 0,且-_ wg _33 412227t 12 -丄所以，3=2, 6n (^=-— 6(II )f (》=彳.3 sin( a - ” = —，即 sin( a -n ) = 14 6 4 3 n n n n -J 3 cos(a + —) = sin a = Sin[( a-—) + 6] = sin( a - —) 2-2 + j n 2 n . n n n 15 < a < .I 0< a - —< ,COS (a-—)=6 3 6 2 6 4 ■■- 3+15 审 所以,cos(a+——)= n 1 COS (a-—) ?— 6 2 3 / .3n_ - --COS(a + ---- )= 2 4 1?2』?丄= 2 3n .3+、15 2， 8 19.解：(1) f (1)3,2AA 1,B 2,, f (x )x 22x..1分点 n, S h n 均在y=f(x) 图象上, S nn 2 2n ① ..2分S n 1(n1)22；n 1) (n 2[②①-②得S nS n 12n 1,即 a n =2n+1 (.4 分,又 a 1 s 1 a n =2n+1 (n N )⑵b n1n ( n 2)丄).7分1 T n 尹1 1)(14) 4(丄 n宀］1 =2[(1 )]丄)即证- n (n丄), -,所以右边成立 2 10分,1又T n 随n 的增大而增大，T n T 1 - 3 14n ，左边成立..11 分所以，原不等式成立 . ................ 20.解：(I)函数的定义域为(0,)，当a .12分1时, f(x) x In x, f '(x) 1 1 —•令 f'(x) x x0,得x 1.,当 0 x 1 时，f '(x) 0 ;当x 1时, f'(x) f(x)在(0,1)单调递减，在(1,)单调递增, f (x)极小值 f(1) 无极大值； f'(x) (1 a)x a (1 a)x 2ax 1 [(1 a)x 1](x 1) x (1 a)(x1七(x 1)a 1 _____ x① a 1 时，(1 a )x 10,f (x )在(0,1)单减，(1,)单增;1②1 a 2时， ------------ a 1(川)由(U)知，当a (2,3)时，f(x)在［1,2］上单调递减，当x 1时，f (x)有a 3最大值，当 x 2 时，f (x)有最小值，|f(x ,) f (x 2)| f (1) f (2)ln2，2 2a 3 ma ln 2In 2 ，2 2而a 0经整理得m I—由2 a 3得11— 0, m 0.……13分 22a 4 2 2a21.解：(1)因为点P (1, -1 )在曲线上，所以f(1)=-1,得m=11-f /(x )— 1， f /(1)=0，故切线方程为y=-1.……3分 x1④当 m 1 即 m 1 时，x(1,e )，f/(x)f (x )在］1，e ］上的最大值f (x )max =I 1 mx/(x )- m=- 一①当 mO 时，x(1, e )x x1③当丄1即a 2时，f'(x) a 1(x 1)2 x0, f (x)在(0,)上是减函数；④当1 a 1 1 a 11, 即 a 2时，令 f'(x) x 10，得 0 x 丄 或x 1,令 f'(x)a 1 ................ 9分0,得x (1, e )，f /(x )>0, ②当1 e m ，即0 m1时 ef(X )max ：=f(e)=1-me ;③当111 1e 时，即—一 1时,me m单减，1f (X )max =f (―)= ln m m 1x (1, e )， f /(x ) >0, f (x )单增，1 1x (1, e )，f (x )在(1,—)单增，在(-,e )0，f (x)单减，f (X )max = f(1)=-mf (x )单增，f (x )max =f(e)=1-me ;8分f (x 2) 0, In X r mx 0 ,1 , f (x )在(0,1)单增，在(1,单减，,)单增;a 1 a 1要证 x 1x 2 e 2,即证In x 1InX22 ,即证m j x 1 X 2)2，......... 10分 In x 1 In m x 1 x 2 X 2In 2，即证 X 1 In x 2 2即证X 1X 2X 1 X 2In x 1In x 2心1 X 2)x即证In 」X2X 1X21)…12分X 1 x 21X2x令亠=t,则tx1，即证In tt 1 (t )In tt1t 1，t 1，1 则 /(t )1 4 9(t1)290， 函数 (t)在 (1,)单增0, In x r In x 2m j x 1x 2) , In x r In x 2 m (X i X 2), t (t 1)2t (t 1)(t ) (1)=0, 原不等式成立.14分r1 — me,—fiwn — 1, 1(-<m<I)伽 A 1).....(3)不妨设x 1X20，: f(xjIn x 2 m>。
四川省绵阳市盐亭县中考数学一诊试题(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
某某省某某市盐亭县2015年中考数学一诊试题一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．﹣6的绝对值是（）A．﹣6 B．6 C．±6D．2．计算（﹣a3）2的结果是（）A．﹣a5B．a5C．a6D．﹣a63．如图所示的几何体的左视图是（）A．B．C．D．4．“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（）A．必然事件 B．随机事件 C．确定事件 D．不可能事件5．如图，在方格纸中，△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（）A．把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，再向下平移2格B．把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格C．把△ABC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转180°D．把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转180°6．中国航空母舰“某某号”的满载排水量为67500吨．将数67500用科学记数法表示为（）A．0.675×105B．6.75×104C．67.5×103D．675×1027．某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其它费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（）A．40% B．33.4% C．33.3% D．30%8．如果相切两圆的半径分别为2cm和3cm，那么两圆的圆心距是（）A．1cm B．5cm C．3cm D．1cm或5cm9．二次函数y=﹣x2+bx+c，若b+c=0，则它的图象一定过点（）A．（﹣1，1）B．（1，﹣1）C．（﹣1，﹣1） D．（1，1）10．如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠A的值为（）A．B．C． D．11．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE，AC=5，BC=3，则BD的长为（）12．如图，已知A、B是反比例函数y=（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P 纵坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N．设四边形OMPN的面积为S，点P运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．16的平方根是．14．在实数X围内分解因式：a﹣4a3=．15．如图矩形ABCD中，AB=1，AD=，以AD的长为半径的⊙A交BC于点E，则图中阴影部分的面积为．16．如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是度．17．若关于x的函数y=kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为．18．用长为4cm的n根火柴可以拼成如图1所示的x个边长都为4cm的平行四边形，还可以拼成如图2所示的2y个边长都为4cm的平行四边形，那么用含x的代数式表示y，得到．三、解答题（共7小题，满分80分）19．（1）计算：|﹣2|﹣（）2﹣（）0（2）先化简：，然后求当x=1时，代数式的值．20．为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图．（1）本次抽测的男生有人，抽测成绩的众数是；（2）请你将图2的统计图补充完整；（3）若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，则该校350名九年级男生中估计有多少人体能达标？21．关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2（k﹣1）x+k+1=0有两个不同的实数根是x l和x2．（1）求k的取值X围；（2）当k=﹣2时，求4x12+6x2的值．22．在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF．23．如图，在△ABO中，OA=OB，C是边AB的中点，以O为圆心的圆过点C，且与OA交于点E，与OB交于点F，连接CE，CF．（1）求证：AB与⊙O相切．（2）若∠AOB=∠ECF，试判断四边形OECF的形状，并说明理由．24．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点为Q，与x轴交于A（﹣1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于C点．（1）直接写出抛物线的解析式及其顶点Q的坐标；（2）在该抛物线的对称轴上求一点P，使得△PAC的周长最小．请在图中画出点P的位置，并求点P的坐标．25．如图，在直角坐标系中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段OM0绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2，如此下去，得到线段OM3，OM4，…，OM n（1）写出点M5的坐标；（2）求△M5OM6的周长；（3）我们规定：把点M n（x n，y n）（n=0，1，2，3…）的横坐标x n，纵坐标y n都取绝对值后得到的新坐标（|x n|，|y n|）称之为点M n的“绝对坐标”．根据图中点M n的分布规律，请你猜想点M n的“绝对坐标”，并写出来．2015年某某省某某市盐亭县中考数学一诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．﹣6的绝对值是（）A．﹣6 B．6 C．±6D．【考点】绝对值．【专题】计算题．【分析】根据绝对值的性质，当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a，解答即可；【解答】解：根据绝对值的性质，|﹣6|=6．故选B．【点评】本题考查了绝对值的性质，熟记：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．计算（﹣a3）2的结果是（）A．﹣a5B．a5C．a6D．﹣a6【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘计算．【解答】解：∵（﹣a3）2=（a3）2，∴（﹣a3）2=a6．故选C．【点评】解答此题的关键是注意正确确定幂的符号．3．如图所示的几何体的左视图是（）A．B．C．D．【考点】简单几何体的三视图．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：从左向右看，得到的几何体的左视图是中间无线条的矩形．故选D．【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．4．“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（）A．必然事件 B．随机事件 C．确定事件 D．不可能事件【考点】随机事件．【分析】根据随机事件的定义，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，即可判断．【解答】解：抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，故抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件．故选B．【点评】本题主要考查的是对随机事件概念的理解，解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，比较简单．5．如图，在方格纸中，△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（）A．把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，再向下平移2格B．把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格C．把△ABC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转180°D．把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转180°【考点】几何变换的类型．【分析】观察图象可知，先把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格即可得到．【解答】解：根据图象，△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格即可与△DEF重合．故选：B．【点评】本题考查了几何变换的类型，几何变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，本题用到了旋转变换与平移变换，对识图能力要求比较高．6．中国航空母舰“某某号”的满载排水量为67500吨．将数67500用科学记数法表示为（）A．0.675×105B．6.75×104C．67.5×103D．675×102【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将67500用科学记数法表示为：6.75×104．故选：B．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．7．某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其它费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（）A．40% B．33.4% C．33.3% D．30%【考点】一元一次不等式的应用．【专题】压轴题．【分析】缺少质量和进价，应设购进这种水果a千克，进价为y元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为（1+x）y元/千克，根据题意得：购进这批水果用去ay元，但在售出时，只剩下（1﹣10%）a千克，售货款为（1﹣10%）a×（1+x）y元，根据公式×100%=利润率可列出不等式，解不等式即可．【解答】解：设购进这种水果a千克，进价为y元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为（1+x）y元/千克，由题意得：×100%≥20%，解得：x≥≈33.4%，经检验，x≥是原不等式的解．∵超市要想至少获得20%的利润，∴这种水果的售价在进价的基础上应至少提高33.4%．故选：B．【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是弄清题意，设出必要的未知数，表示出售价，售货款，进货款，利润．注意在解出结果后，要考虑实际问题，利用收尾法，不能用四舍五入．8．如果相切两圆的半径分别为2cm和3cm，那么两圆的圆心距是（）A．1cm B．5cm C．3cm D．1cm或5cm【考点】圆与圆的位置关系．【分析】已知两圆的半径，分两种情况：①当两圆外切时；②当两圆内切时；即可求得两圆的圆心距．【解答】解：∵两圆半径分别为2cm和3cm∴当两圆外切时，圆心距为2+3=5cm；当两圆内切时，圆心距为3﹣2=1cm．故选D．【点评】本题考查了两圆相切的性质，以及两圆的半径与圆心距的关系，注意有两种情况．9．二次函数y=﹣x2+bx+c，若b+c=0，则它的图象一定过点（）A．（﹣1，1）B．（1，﹣1）C．（﹣1，﹣1） D．（1，1）【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】分析解析式与方程可知：x=1时可得到b+c的形式，再根据x=1时y的值进行求解．【解答】解：∵当x=1时，∴y=﹣x2+bx+c=﹣1+b+c即b+c=y+1，又∵b+c=0，∴x=1时y=﹣1，故它的图象一定过点（1，﹣1）．故选：B．【点评】解决此题的关键是根据b+c=0的形式巧妙整理方程，运用技巧不但可以提高速度，还能提高准确率．10．如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠A的值为（）A．B．C． D．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】网格型．【分析】在正方形网格中构造一个∠A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义求解．【解答】解：如图，在Rt△ADB中，tanA==．故选B．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的正切等于它的对边与邻边的比值．11．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE，AC=5，BC=3，则BD的长为（）【考点】等腰三角形的判定与性质．【分析】由已知条件判定△BEC的等腰三角形，且BC=CE；由等角对等边判定AE=BE，则易求BD=BE=AE=（AC﹣CE）．【解答】解：∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，∴BC=CE．又∵∠A=∠ABE，∴AE=BE．∴BD=BE=AE=（AC﹣BC）．∵AC=5，BC=3，∴BD=（5﹣3）=1．故选A．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质．注意等腰三角形“三线合一”性质的运用．12．如图，已知A、B是反比例函数y=（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P 纵坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N．设四边形OMPN的面积为S，点P运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】通过两段的判断即可得出答案，①点P在AB上运动时，此时四边形OMPN的面积不变，可以排除B、D；②点P在BC上运动时，S减小，S与t的关系为一次函数，从而排除C．【解答】解：①点P在AB上运动时，此时四边形OMPN的面积S=K，保持不变，故排除B、D；②点P在BC上运动时，设路线O→A→B→C的总路程为l，点P的速度为a，则S=OC×CP=OC×（l﹣at），因为l，OC，a均是常数，所以S与t成一次函数关系．故排除C．故选A【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解答此类题目并不需要求出函数解析式，只要判断出函数的增减性，或者函数的性质即可，注意排除法的运用．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．16的平方根是±4．【考点】平方根．【专题】计算题．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵（±4）2=16，∴16的平方根是±4．故答案为：±4．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．14．在实数X围内分解因式：a﹣4a3= a（1+2a）（1﹣2a）．【考点】实数X围内分解因式；因式分解-提公因式法；因式分解-运用公式法．【专题】计算题．【分析】先提公因式，再根据平方差公式分解即可．【解答】解：a﹣4a3=a（1﹣4a2）=a（1+2a）（1﹣2a）．故答案为：a（1+2a）（1﹣2a）．【点评】本题考查了对分解因式的方法的理解，能熟练地运用因式分解的方法分解因式是解此题的关键．15．如图矩形ABCD中，AB=1，AD=，以AD的长为半径的⊙A交BC于点E，则图中阴影部分的面积为．【考点】扇形面积的计算；矩形的性质．【分析】连接AE．则阴影部分的面积等于矩形的面积减去直角三角形ABE的面积和扇形ADE的面积．根据题意，知AE=AD=，则BE=1，∠BAE=45°，则∠DAE=45°．【解答】解：连接AE．根据题意，知AE=AD=．则根据勾股定理，得BE=1．根据三角形的内角和定理，得∠BAE=45°．则∠DAE=45°．则阴影部分的面积=﹣﹣．【点评】此题综合运用了等腰直角三角形的面积、扇形的面积公式．16．如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是60 度．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】根据题目已知条件可证△ABD≌△BCE，再利用全等三角形的性质及三角形外角和定理求解．【解答】解：∵等边△ABC，∴∠ABD=∠C，AB=BC，在△ABD与△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，∵∠ABE+∠EBC=60°，∴∠ABE+∠BAD=60°，∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，∴∠APE=60°．故答案为：60．【点评】本题利用等边三角形的性质来为三角形全等的判定创造条件，是中考的热点．17．若关于x的函数y=kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为0或﹣1 ．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】令y=0，则关于x的方程kx2+2x﹣1=0只有一个根，所以k=0或根的判别式△=0，借助于方程可以求得实数k的值．【解答】解：令y=0，则kx2+2x﹣1=0．∵关于x的函数y=kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，∴关于x的方程kx2+2x﹣1=0只有一个根．①当k=0时，2x﹣1=0，即x=，∴原方程只有一个根，∴k=0符合题意；②当k≠0时，△=4+4k=0，解得，k=﹣1．综上所述，k=0或﹣1．故答案为：0或﹣1．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，需要对函数y=kx2+2x﹣1进行分类讨论：一次函数和二次函数时，满足条件的k的值．18．用长为4cm的n根火柴可以拼成如图1所示的x个边长都为4cm的平行四边形，还可以拼成如图2所示的2y个边长都为4cm的平行四边形，那么用含x的代数式表示y，得到．【考点】规律型：图形的变化类．【专题】压轴题．【分析】图1中，一排有x个边长为4cm平行四边形，图2中，每一排有y个边长为4cm平行四边形，横排线段有三排，斜线段有（y+1）段，根据图1，图2火柴根数相等，列方程求解．【解答】解：依题意，由图1可知：一个平行四边形有4条边，两个平行四边形有4+3条边，∴m=1+3x，由图2可知：一组图形有7条边，两组图形有7+5条边，∴m=2+5y，得1+3x=3y+2（y+1），整理，得y=x﹣，故答案为：y=x﹣．【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．关键是根据图1，图2中，火柴根数相等列出方程．三、解答题（共7小题，满分80分）19．（1）计算：|﹣2|﹣（）2﹣（）0（2）先化简：，然后求当x=1时，代数式的值．【考点】分式的化简求值；实数的运算；零指数幂．【分析】（1）分别根据0指数幂及负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值及绝对值的性质分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；（2）先根据实数混合运算的法则把原式进行化简，再把x=1代入进行计算即可．【解答】解：（1）原式=2﹣4﹣1=﹣3；（2）原式=•﹣=﹣==，当x=1时，原式==2．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20．为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图．（1）本次抽测的男生有50 人，抽测成绩的众数是5次；（2）请你将图2的统计图补充完整；（3）若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，则该校350名九年级男生中估计有多少人体能达标？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；众数．【专题】图表型．【分析】（1）用4次的人数除以所占百分比即可得到总人数，人数最多的次数即为该组数据的众数；（2）用总人数减去其他各组的人数即可得到成绩为5次的人数；（3）用总人数乘以达标率即可得到达标人数．【解答】解：（1）从条形统计图和扇形统计图可知，达到4次的占总人数的20%，∴总人数为：10÷20%=50人，众数为5次；（2）如图．（3）∵被调查的50人中有36人达标，∴350名九年级男生中估计有350×=252人．【点评】题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2（k﹣1）x+k+1=0有两个不同的实数根是x l和x2．（1）求k的取值X围；（2）当k=﹣2时，求4x12+6x2的值．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义；根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k﹣2≠0且△=4（k﹣1）2﹣4（k﹣2）（k+1）＞0，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可；（2）先把k=﹣2代入原方程得到4x2﹣6x+1=0，根据根与系数的关系得x l+x2=，x l•x2=，由于x l是原方程的解，则4x12﹣6x1+1=0，即4x12=6x1﹣1，所以4x12+6x2=6x1﹣1+6x2=6（x1+x2）﹣1，然后利用整体思想计算即可．【解答】解：（1）根据题意得k﹣2≠0且△=4（k﹣1）2﹣4（k﹣2）（k+1）＞0，解得k＜3且k≠2；（2）当k=﹣2时，方程变形为4x2﹣6x+1=0，则x l+x2=，x l•x2=，∵x l是原方程的解，∴4x12﹣6x1+1=0，∴4x12=6x1﹣1，∴4x12+6x2=6x1﹣1+6x2=6（x1+x2）﹣1=6×﹣1=8．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和根与系数的关系．22．在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF．【考点】作图-轴对称变换．【分析】本题要求思维严密，根据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同的图形，对称轴可以随意确定，因为只要根据你确定的对称轴去画另一半对称图形，那这两个图形一定是轴对称图形．【解答】解：正确1个得，全部正确得．【点评】本题有一定的难度，要求找出所有能与三角形ABC形成对称的轴对称图形，这里注意思维要严密．23．如图，在△ABO中，OA=OB，C是边AB的中点，以O为圆心的圆过点C，且与OA交于点E，与OB交于点F，连接CE，CF．（1）求证：AB与⊙O相切．（2）若∠AOB=∠ECF，试判断四边形OECF的形状，并说明理由．【考点】切线的判定．【分析】（1）连接OC，根据三线合一得出OC⊥AB，根据切线判定推出即可；（2）取圆周角∠M，根据圆周角定理和圆内接四边形性质得出∠M+∠ECF=180°，∠EOF=2∠M，推出∠ECF=2∠M，求出∠M，求出∠EOF，得出等边三角形OEC，推出OE=EC，同理得出OF=FC，推出OE=OF=FC=EC，根据菱形判定推出即可．【解答】（1）证明：连接OC，∵在△ABO中，OA=OB，C是边AB的中点，∴OC⊥AB，∵OC为半径，∴AB与⊙O相切；（2）解：四边形OECF的形状是菱形，理由是：如图，取圆周角∠M，则∠M+∠ECF=180°，由圆周角定理得：∠EOF=2∠M，∵∠ECF=∠EOF，∴∠ECF=2∠M，∴3∠M=180°，∠M=60°，∴∠EOF=∠ECF=120°，∵OA=OB，∴∠A=∠B=30°，∴∠EOC=90°﹣30°=60°，∵OE=OC，∴△OEC是等边三角形，∴EC=OE，同理OF=FC，即OE=EC=FC=OF，∴四边形OECF是菱形．【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，菱形判定，等边三角形的性质和判定，圆周角定理，圆内接四边形的性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．24．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点为Q，与x轴交于A（﹣1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于C点．（1）直接写出抛物线的解析式及其顶点Q的坐标；（2）在该抛物线的对称轴上求一点P，使得△PAC的周长最小．请在图中画出点P的位置，并求点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式求出b、c的值，即可得到抛物线解析式，然后整理成顶点式形式，再写出顶点坐标即可；（2）因为AC的长度一定，所以只要找出点P到A、C两点的距离之和最小即可，根据轴对称确定最短路径问题，连接BC与对称轴的交点即为所求的点P，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（5，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+5，∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，∴Q（2，9）；（2）如图，连接BC，交对称轴于点P，连接AP、AC∵AC长为定值，∴要使△PAC的周长最小，只需PA+PC最小．∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B（5，0），抛物线y=﹣x2+4x+5与y轴交点C的坐标为（0，5），∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），将B（5，0）、C（0，5）代入得，解得，∴y=﹣x+5，当x=2时，y=﹣2+5=3，∴点P的坐标为（2，3）．【点评】本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，难度中等，（2）确定出点P的位置是解题的关键．25．如图，在直角坐标系中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段OM0绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2，如此下去，得到线段OM3，OM4，…，OM n（1）写出点M5的坐标；（2）求△M5OM6的周长；（3）我们规定：把点M n（x n，y n）（n=0，1，2，3…）的横坐标x n，纵坐标y n都取绝对值后得到的新坐标（|x n|，|y n|）称之为点M n的“绝对坐标”．根据图中点M n的分布规律，请你猜想点M n的“绝对坐标”，并写出来．【考点】旋转的性质；解直角三角形．【专题】压轴题．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质分别求出M1、M2、M3、M4的坐标，然后求M5的坐标．（2）要求周长，就先根据各点的坐标求出三角形的三边长，然后再求周长．（3）点M n的“绝对坐标”可分三类情况来一一分析：当点M在x轴上时；当点M在各象限的分角线上时；当点M在y轴上时．【解答】解：（1）由题得：OM0=M0M1，∴M1的坐标为（1，1）．同理M2的坐标为（0，2），M3的坐标为（﹣2，2），M4的坐标为（﹣4，0），M5（﹣4，﹣4）；（2）由规律可知，，，OM6=8，∴△M5OM6的周长是；（3）由题意知，OM0旋转8次之后回到x轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或x轴或y轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，各点的“绝对坐标”可分三种情况：①当n=4k时（其中k=0，1，2，3，），点在x轴上，则M n（，0）；②当n=4k﹣2时（其中k=1，2，3，），点在y轴上，点M n（0，）；③当n=2k﹣1时，点在各象限的角平分线上，则点M n（2，2）．【点评】本题综合考查了旋转的性质及坐标系的知识．。
2015绵阳一诊文科数学答案
绵阳市高2012级第一次诊断性考试数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．BBDDC BACCA二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．53-12．-1 13．-2 14．15 15．(0，2)三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：(Ⅰ)=)(x f 2m·n -11cos 2cos sin 22-+⋅=x x x ωωω=)42sin(22cos 2sin πωωω+=+x x x ． ……………………………6分由题意知：π=T ，即πωπ=22，解得1=ω．…………………………………7分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知)42sin(2)(π+=x x f ，∵6π≤x ≤4π，得127π≤42π+x ≤43π， 又函数y =sin x 在[127π，43π]上是减函数，∴ )34sin(2127sin2)(max πππ+==x f ……………………………………10分 3sin 4cos 23cos4sin 2ππππ+==213+．…………………………………………………………12分 17．解：(Ⅰ) 由题知⎩⎨⎧≥->-，，0102t t 解得21<≤t ，即)21[，=D ．……………………3分 (Ⅱ) g (x )=x 2+2mx -m 2=222)(m m x -+，此二次函数对称轴为m x -=．……4分① 若m -≥2，即m ≤-2时， g (x )在)21[，上单调递减，不存在最小值； ②若21<-<m ，即12-<<-m 时， g (x )在)1[m -，上单调递减，]2(，m -上递增，此时22)()(2mi n ≠-=-=m m g x g ，此时m 值不存在；③m -≤1即m ≥-1时， g (x )在)21[，上单调递增， 此时221)1()(2mi n =-+==m m g x g ，解得m =1． …………………………11分 综上：1=m ． …………………………………………………………………12分18．解：(Ⅰ) 51cos 5=∠=ABC AB ，，4BC =， 又(0,)ABC π∠∈，所以562cos 1sin 2=∠-=∠ABC ABC ， ∴645624521sin 21=⨯⨯⨯=∠⋅⋅=∆ABC BC BA S ABC ． ………………6分 (Ⅱ) 以BC BA ，为邻边作如图所示的平行四边形ABCE ，如图，则51cos cos -=∠-=∠ABC BCE ，BE =2BD =7，CE =AB =5，在△BCE 中，由余弦定理：BCE CE CB CE CB BE ∠⋅⋅-+=cos 2222．即)51(5225492-⨯⨯⨯-+=CB CB ，解得：4=CB ． ………………………………………………………………10分 19．解：(Ⅰ) 由832539a a a S ⋅==，，得：⎪⎩⎪⎨⎧+⋅+=+=⨯+，，)7()2()4(9223311211d a d a d a d a 解得：121==d a ，．∴ 1+=n a n ，n n n n S n 2322)12(2+=++=． …………………………………5分 (Ⅱ) 由题知=n c )1(2++n n λ． ………………………………………………6分 若使}{n c 为单调递增数列，则=-+n n c c 1-+++)2()1(2n n λ)]1([2++n n λ=012>++λn 对一切n ∈N *恒成立，即： 12-->n λ对一切n ∈N *恒成立， ………………………………… 10分 又12)(--=n n ϕ是单调递减的, ∴ 当1=n 时，max )(n ϕ=-3，∴ 3->λ． …………………………………………………………………12分 20．(Ⅰ)证明： 由1)(--=ax e x f x ，得a e x f x -=')(．…………………………1分由)(x f '>0，即a e x ->0，解得x >ln a ，同理由)(x f '<0解得x <ln a ， ∴ )(x f 在(-∞，ln a )上是减函数，在(ln a ，+∞)上是增函数， 于是)(x f 在a x ln =取得最小值．又∵ 函数)(x f 恰有一个零点，则0)(ln )(min ==a f x f ， ………………… 4分BCD A E即01ln ln =--a a e a ．………………………………………………………… 5分 化简得：1ln 1ln 01ln -=-==--a a a a a a a a a 于是，即，，∴ 1-=a a e a ． ………………………………………………………………… 6分 (Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，)(x f 在a x ln =取得最小值)(ln a f ，由题意得)(ln a f ≥0，即1ln --a a a ≥0，……………………………………8分 令1ln )(--=a a a a h ，则a a h ln )(-='， 由0)(>'a h 可得0<a <1，由0)(<'a h 可得a >1．∴ )(a h 在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，即0)1()(max ==h a h ， ∴ 当0<a <1或a >1时，h (a )<0，∴ 要使得)(x f ≥0对任意x ∈R 恒成立，.1=a ∴a 的取值集合为{1}……………………………13分 21．解：(Ⅰ) 1==b a 时，x x x x f ln 21)(2+-=，xx x f 11)(+-='， ∴21)1(-=f ，1)1(='=f k ，…………………………………………………2分 故)(x f 点()1(1f ，)处的切线方程是2230x y --=．……………………3分 (Ⅱ)由()()∞+∈+-=，，0ln 22x x bx x a x f ，得x bx ax x f 1)(2+-='． (1)当0=a 时，xbxx f -='1)(．①若b ≤0，由0>x 知0)(>'x f 恒成立，即函数)(x f 的单调递增区间是)0(∞+，． ………………………………………………5分 ②若0>b ，当b x 10<<时，0)(>'x f ；当bx 1>时，0)(<'x f ． 即函数)(x f 的单调递增区间是(0，b 1)，单调递减区间是(b1，+∞)．……………………………………………7分 (2) 当0<a 时，0)(='x f ，得012=+-bx ax ，由042>-=∆a b 得aa b b x a a b b x 24242221--=-+=，．显然，0021><x x ，，当20x x <<时，0)(>'x f ，函数)(x f 的单调递增， 当2x x >时，0)(<'x f ，函数)(x f 的单调递减，所以函数)(x f 的单调递增区间是(0，a ab b 242--)，单调递减区间是(aa b b 242--，+∞)．………………………………………………………………9分综上所述：当a =0，b ≤0时，函数)(x f 的单调递增区间是)0(∞+，； 当a =0，b >0时，函数)(x f 的单调递增区间是(0，b 1)，单调递减区间是(b1，+∞)；当0<a 时，函数)(x f 的单调递增区间是(0，a ab b 242--)，单调递减区间是(aa b b 242--，+∞)． ……………………………………………………………10分(Ⅲ)由题意知函数)(x f 在2=x 处取得最大值．由(II)知，a ab b 242--是)(x f 的唯一的极大值点，故aa b b 242--=2，整理得a b 412--=-．于是ln()(2)ln()(14)ln()14a b a a a a ---=----=-++ 令()ln 14(0)g x x x x =+->，则1()4g x x'=-． 令0)(='x g ，得14x =，当1(0)4x ∈，时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增；当1()4x ∈+∞，时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减．因此对任意0x >，)(x g ≤11()ln 044g =<，又0a ->，故()0g a -<，即041)ln(<++-a a ，即ln()142a a b -<--=-， ∴ ln()2a b -<-．……………………………………………………………14分 2015高考英语签约提分，保证最低涨10-40分，不达目标全额退费，详情QQ2835745855,其它各科试题及答案登陆QQ757722345或关注微信公众号qisuen。
2015年绵阳一诊数学试卷(文科、理科+答案)
数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CBCBD BACCC二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．[)∞+，10 12．3 13．a ≥2 14．7 15．②③三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解 ：（1）∵ m ⊥n ，∴ m ·n =(cos α，1-sin α)·(-cos α，sin α)=0，即-cos 2α+sin α-sin 2α=0． ……………………………………………………3分由sin 2α+cos 2α=1，解得sin α=1，∴ 22ππα+=k ，k ∈Z .…………………………………………………………6分（2） ∵ m -n =(2cos α，1-2sin α)，∴ |m -n |=22)sin 21()cos 2(αα-+αααsin 41)sin (cos 422-++=αsin 45-=， ………………………………………………………9分∴ 5-4sin α=3，即得21sin =α， ∴ 21sin 212cos 2=-=αα． ……………………………………………………12分 17．解：（1）由已知a n +1=2a n +1，可得a n +1+1=2(a n +1)．∴ 2111=+++n n a a （常数）．………………………………………………………3分 此时，数列}1{+n a 是以211=+a 为首项，2为公比的等比数列，∴ n n n a 22211=⋅=+-，于是a n =2n -1． ………………………………………6分（2）∵n n n b 2=.…………………………………………………………………7分 ∴ n n n S 2232221321++++= ， 两边同乘以21，得,2232221211432+++++=n n n S 两式相减得 12221212121+-+++=n n n n S 12211)211(21+---=n n n 12211+--=n n n ， ∴n n n n S 22121--=-．…………………………………………………………12分 18．解：（1）设第n 年的受捐贫困生的人数为a n ，捐资总额为b n ．则a n =80+(n -1)a ，b n =50+(n -1)×10=40+10n . ……………………………2分∴ 当a =10时，a n =10n +70，∴ 8.070101040>++=n n a b n n ， 解得：n >8． ……………………………………………………………………5分即从第9年起每年的受捐大学生人均获得的奖学金才能超过0.8万元． …6分（2）由题意：n n n n a b a b >++11(n >1)， 即 an n na n )1(80104080)1(1040-++>+++，………………………………………………8分 整理得 (5+n )[80+(n -1)a ]-(4+n )(80+na )>0，即400+5na -5a +80n +n 2a -na -320-4na -80n -n 2a >0，化简得80-5a >0，解得a <16，……………………………………………………………………11分∴ 要使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过15人．……………………………………………12分19．解：（1）在Rt △ABC 中，AC =AB cos60º=3216=⨯，231==AB AD . ∵ AD CA CD +=，∴ CA AD CA CA AD CA CA CD ⋅+=⋅+=⋅2)( ><⋅⋅+=CA AD CA AD CA ，cos ||||||2=9+2×3×cos120º=6. …………………………………………………………………4分（2）在△ACD 中，∠ADC =180º-∠A -∠DCA=120º-θ， 由正弦定理可得ADC AC A CD ∠=sin sin ，即)120sin(233)120sin(233θθ-︒=-︒⨯=CD . ………………………………………5分 在△AEC 中，∠ACE =θ+30º，∠AEC =180º-60º-(θ+30º)=90º-θ， 由正弦定理可得：AEC AC A CE ∠=sin sin ，即θθcos 233)90sin(233=-︒⨯=CE ， ……6分 ∴ θθcos 233)120sin(2334130sin 21⋅-︒⋅=︒⋅⋅=∆CE CD S DCE θθc o s )120sin(11627⋅-︒⋅=，………………………7分令f (θ)=sin(120º-θ)cos θ，0º≤θ≤60º，∵ f (θ)=(sin120ºcos θ-cos120ºsin θ)cos θθθθcos sin 21cos 232+= θθ2sin 212122cos 123+++⨯= )2sin 212cos 23(2143θθ++= )602sin(2143︒++=θ，………………………………………………10分 由0º≤θ≤60º，知60º≤2θ+60º≤180º，∴ 0≤sin(2θ+60º)≤1，∴ 43≤f (θ)≤2143+，∴ )32(4-≤)(1θf ≤334， ∴ DCE S ∆≥)32(427-， 即DCE S ∆的最小值为)32(427-．……………………………………………12分 20．解：（1）c bx ax x f ++='23)(，由题意得3ax 2+bx +c ≥0的解集为{x |-2≤x ≤1}， ∴ a <0，且方程3ax 2+bx +c =0的两根为-2，1． 于是13-=-ab，23-=a c ， 得b =3a ，c =-6a ．………………………………………………………………2分 ∵ 3ax 2+bx +c <0的解集为{x |x <-2或x >1}，∴ f (x )在(-∞，-2)上是减函数，在[-2，1]上是增函数，在(1，+∞)上是减函数． ∴ 当x =-2时f (x )取极小值，即-8a +2b -2c -1=-11， 把b =3a ，c =-6a ，代入得-8a +6a +12a -1=-11，解得a =-1． ……………………………………………………………………5分 （2）由方程f (x )-ma +1=0，可整理得0112123=+--++ma cx bx ax ， 即ma ax ax ax =-+62323． ∴ x x x m 62323-+=．…………………………………………………………7分 令x x x x g 623)(23-+=，∴ )1)(2(3633)(2-+=-+='x x x x x g ． 列表如下：x(-∞，-2)-2 (-2，1) 1 (1，+∞))(x g '+ 0 - 0 + g (x )↗极大值↘极小值↗∴ g (x )在[-3，-2]是增函数，在[-2，0]上是减函数．……………………11分 又∵29)3(=-g ，g (-2)=10，g (0)=0， 由题意知直线y =m 与曲线x x x x g 623)(23-+=有两个交点， 于是29<m <10.…………………………………………………………………13分 21．解：（1）∵ a xx f -='1)(，x >0， ∴ 当a <0时，0)(>'x f ，即f (x )在(0，+∞)上是增函数．当a >0时， x ∈(0，a 1)时0)(>'x f ，f (x )在(0，a 1)上是增函数；x ∈(a 1，+∞) 时0)(<'x f ，f (x )在(a1，+∞)上是减函数．∴ 综上所述，当a <0时f (x )的单调递增区间为(0，+∞)；当a >0时，f (x )的单调递增区间为(0，a1)，f (x )的单调递减区间为(a1，+∞)．…………5分 （2）当a=1时，()ln 1f x x x =-+，∴ 1ln ln ln ln 12121211221212---=-+--=--=x x x x x x x x x x x x y y k ，∴ 1212ln ln 1x x x x k --=+.要证2111x k x <+<，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-， 因210x x ->，即证21221211ln x x x x x x x x --<<， 令21x t x =(1t >)，即证11ln 1t t t-<<-(1t >). 令()ln 1k t t t =-+(1t >)，由(1)知，()k t 在(1，+∞)上单调递减， ∴ ()()10k t k <=即ln 10t t -+<， ∴ ln 1t t <-．①令1()ln 1h t t t=+-(1t >)，则22111()t h t t t t-'=-=>0， ∴()h t 在(1，+∞)上单调递增，∴()(1)h t h >=0，即1ln 1t t>-(1t >)．② 综①②得11ln 1t t t -<<-(1t >)，即2111x k x <+<．……………………9分 （3）由已知)21(2)(xk ax x f ->-+即为)2()1(ln ->-x k x x ，x >1， 即02)1(ln >+--k kx x x ，x >1．令k kx x x x g 2)1(ln )(+--=，x >1，则k x x g -='ln )(． 当k ≤0时，0)(>'x g ，故)(x g 在(1，+∞)上是增函数， 由 g (1)=-1-k +2k =k -1>0，则k >1，矛盾，舍去．当k >0时，由k x -ln >0解得x >e k ，由k x -ln <0解得1<x <e k ， 故)(x g 在(1，e k )上是减函数，在(e k ，+∞)上是增函数， ∴ )(x g min =g (e k )=2k -e k ．即讨论)(x g min =2k -e k >0(k >0)恒成立，求k 的最小值． 令h (t )=2t -e t ，则t e x h -='2)(， 当t e -2>0，即t <ln2时，h (t )单调递增， 当t e -2<0，即t >ln2时，h (t )单调递减， ∴ t =ln2时，h (t )max =h (ln2)=2ln2-2. ∵ 1<ln2<2， ∴ 0<2ln2-2<2．又∵ h (1)=2-e <0，h (2)=4-e 2<0， ∴ 不存在整数k 使2k -e k >0成立．综上所述，不存在满足条件的整数k ．………………………………………14分绵阳市高2013级第一次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CDADD BACBC二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(]100，12．3 13．a ≥2 14．2 15．①③三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解 ：（1）∵ m ⊥n ，∴ m ·n =(cos α，1-sin α)·(-cos α，sin α)=0，即-cos 2α+sin α-sin 2α=0． ……………………………………………………3分 由sin 2α+cos 2α=1，解得sin α=1， ∴ 22ππα+=k ，k ∈Z .…………………………………………………………6分（2） ∵ m -n =(2cos α，1-2sin α)， ∴ |m -n |=22)sin 21()cos 2(αα-+αααsin 41)sin (cos 422-++=αsin 45-=， ………………………………………………………9分∴ 5-4sin α=3，即得21sin =α， ∴ 21sin 212cos 2=-=αα．……………………………………………………12分 17．解：（1）由已知a n +1=2a n +λ，可得a n +1+λ=2(a n +λ)．∵ a 1=1，当a 1+λ=0，即λ=-1时，a n +λ=0，此时{a n +λ}不是等比等列． …………3分 当a 1+λ≠0，即λ≠-1时，21=+++λλn n a a （常数）．此时，数列}{λ+n a 是以λλ+=+11a 为首项，2为公比的等比数列，∴ 12)1(-⋅+=+n n a λλ，于是12)1(-⋅+=+n n a λλ． ………………………6分 （2）当λ=1时，a n =2n -1，∴ n n nb 2=. ……………………………………………………………………7分 ∴ n n nS 2232221321++++= ，两边同乘以21，得,2232221211432+++++=n n n S两式相减得 12221212121+-+++=n n n nS12211)211(21+---=n n n 12211+--=n n n， ∴nn n nS 22121--=-．…………………………………………………………12分 18．解：（1）设第n 年的受捐贫困生的人数为a n ，捐资总额为b n ．则a n =80+(n -1)a ，b n =50+(n -1)×10=40+10n . ……………………………2分 ∴ 当a =10时，a n =10n +70， ∴8.070101040>++=n na b n n ， 解得：n >8． ……………………………………………………………………5分 即从第9年起受捐大学生人均获得的奖学金才能超过0.8万元． …………6分 （2）由题意：nnn n a b a b >++11， 即an nna n )1(80104080)1(1040-++>+++，………………………………………………8分整理得 (5+n )[80+(n -1)a ]-(4+n )(80+na )>0， 即400+5na -5a +80n +n 2a -na -320-4na -80n -n 2a >0， 化简得80-5a >0，解得a <16，……………………………………………………………………11分 ∴ 要使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过15人．……………………………………………12分19．解：（1）在Rt △ABC 中，AC =AB cos60º=3216=⨯，231==AB AD .∵ AD CA CD +=，∴ CA AD CA CA AD CA CA CD ⋅+=⋅+=⋅2)(><⋅⋅+=CA AD CA AD CA ，cos ||||||2=9+2×3×cos120º=6.…………………………………………………………………4分（2）在△ACD 中，∠ADC =180º-∠A -∠DCA=120º-θ，由正弦定理可得ADCAC A CD ∠=sin sin ，即)120sin(233)120sin(233θθ-︒=-︒⨯=CD . ………………………………………5分 在△AEC 中，∠ACE =θ+30º，∠AEC =180º-60º-(θ+30º)=90º-θ，由正弦定理可得：AECAC A CE ∠=sin sin ，即θθcos 233)90sin(233=-︒⨯=CE ， …6分 ∴θθcos 233)120sin(2334130sin 21⋅-︒⋅=︒⋅⋅=∆CE CD S DCEθθc o s)120sin(11627⋅-︒⋅=， …………………7分 令f (θ)=sin(120º-θ)cos θ，0º≤θ≤60º， ∵ f (θ)=(sin120ºcos θ-cos120ºsin θ)cos θθθθcos sin 21cos 232+= θθ2sin 212122cos 123+++⨯= )2sin 212cos 23(2143θθ++=)602sin(2143︒++=θ，………………………………………………10分 由0º≤θ≤60º，知60º≤2θ+60º≤180º， ∴ 0≤sin(2θ+60º)≤1， ∴43≤f (θ)≤2143+， ∴ )32(4-≤)(1θf ≤334， ∴)32(427-≤DCE S ∆≤12327．……………………………………………12分 20．解：（1）c bx ax x f ++='23)(，由题意得3ax 2+bx +c ≥0的解集为{x |-2≤x ≤1}， ∴ a <0，且方程3ax 2+bx +c =0的两根为-2，1． 于是13-=-ab，23-=a c ， 得b =3a ，c =-6a . ………………………………………………………………2分 ∵ 3ax 2+bx +c <0的解集为{x |x <-2或x >1}，∴ f (x )在(-∞，-2)上是减函数，在[-2，1]上是增函数，在(1，+∞)上是减函数． ∴ 当x =-2时f (x )取极小值，即-8a +2b -2c -1=-11，把b =3a ，c =-6a 代入得-8a +6a +12a -1=-11，解得a =-1.………………………………………………………………………5分 （2）由方程f (x )-ma +1=0，可整理得0112123=+--++ma cx bx ax ， 即ma ax ax ax =-+62323． ∴ x x x m 62323-+=．…………………………………………………………7分 令x x x x g 623)(23-+=，∴ )1)(2(333)(2-+=-+='x x b x x x g ． 列表如下：x(-∞，-2)-2 (-2，1) 1 (1，+∞))(x g '+ 0 - 0 + g (x )↗极大值↘极小值↗∴ g (x )在[-3，-2]是增函数，在[-2，0]上是减函数．……………………11分 又∵29)3(=-g ，g (-2)=10，g (0)=0， 由题意，知直线y =m 与曲线x x x x g 623)(23-+=仅有一个交点， 于是m =10或0<m <29. ………………………………………………………13分 21．解：（1）1111)(+=-+='x xx x f ， ∴当x ∈(-1，0)时，0)(>'x f ，即f (x )在(-1，0)上是增函数，当x ∈(0，+∞)时，0)(<'x f ，即f (x )在(0，+∞)上是减函数．∴ f (x )的单调递增区间为(-1，0)，单调递减函数区间为(0，+∞)．………3分（2）由f (x -1)+x >k )31(x -变形得)31()1(ln xk x x x ->+--，整理得x ln x +x -kx +3k >0，令g (x )=x ln x +x -kx +3k ，则.2ln )(k x x g -+=' ∵ x >1， ∴ ln x >0若k ≤2时，0)(>'x g 恒成立，即g (x )在(1，+∞)上递增， ∴ 由g (1)>0即1+2k >0解得21->k ， ∴ .221≤<-k 又∵ k ∈Z ， ∴ k 的最大值为2．若k >2时，由ln x +2-k >0解得x >2-k e ，由ln x +2-k <0，解得1<x <2-k e . 即g (x )在(1，2-k e )上单调递减，在(2-k e ，+∞)上单调递增． ∴ g (x )在(1，+∞)上有最小值g (2-k e )=3k -2-k e ， 于是转化为3k -2-k e >0(k >2)恒成立，求k 的最大值． 令h (x )=3x -2-x e ，于是23)(--='x e x h ．∵ 当x >2+ln3时，0)(<'x h ，h (x )单调递减，当x <2+ln3时0)(>'x h ，h (x )单调递增． ∴ h (x )在x =2+ln3处取得最大值． ∵ 1<ln3<2， ∴ 3<2+ln3<4， ∵ 013)1(>-=eh ，h (2+ln3)=3+3ln3>0，h (4)=12-e 2>0，h (5)=15-e 3<0， ∴ k ≤4．∴ k 的最大取值为4．∴ 综上所述，k 的最大值为4.…………………………………………………9分 （3）假设存在这样的x 0满足题意，则 由20)(210x a e x f -<等价于01120020<-++x e x x a （*）． 要找一个x 0>0，使(*)式成立，只需找到当x >0时，函数h (x )=1122-++x ex x a 的最小值h (x )min 满足h (x )min <0即可． ∵ )1()(xe a x x h -='， 令)(x h '=0，得e x =a1，则x =-ln a ，取x 0=-ln a ， 在0<x <x 0时，)(x h '<0，在x >x 0时，)(x h '>0，∴ h (x )min =h (x 0)=h (-ln a )=1ln )(ln 22-++a a a a a， 下面只需证明：在0<a <1时，1ln )(ln 22-++a a a a a<0成立即可．又令p (a )=1ln )(ln 22-++a a a a a，a ∈(0，1)， 则2)(ln 21)(a a p ='≥0，从而p (a )在a ∈(0，1)时为增函数． ∴ p (a )<p (1)=0，因此x 0=-ln a 符合条件，即存在正数x 0满足条件． …………………………………………………14分。
四川省绵阳南山实验高中2015届高三数学一诊模拟考试题_理
四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试数学（文、理）试题第I 卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1.集合{}2,0,1,2M -=，{}211N x x =->,则N M ⋂=( )A.｛-2,1,2｝B.｛0,2｝C.｛-2，2｝D.［-2，2］2.已知a =(2,1), (),3b x =,且 b a//，则x 的值为（ ）A.2B.1C.3D.6 3.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，13213,,22a a a 成等差数列，则1113810a aa a +=+（ ） A.1-或3B.3C.1或27D.274.下列说法错误的是 （ ）A ．若2:,10p x R x x ∃∈-+=，则 2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≠；B ．“1sin 2θ=”是“30θ=”的充分不必要条件；C ．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ≠，则0ab ≠”；D ．若1cos ,:=∈∃x R x p ，01,:2>+-∈∀x x R x q ，则“q p ⌝∧”为假命题.8.已知函数⎩⎨⎧>≤≤=1,log 10,sin )(2014x x x x x f π若,,a b c 互不相等,且()()()f a f b f c ==,则a b c ++的取值范围是( ).A.(1,2014)B.(1,2015)C.[2,2015]D.(2,2015)9.已知定义为R 的函数()f x 满足()()4f x f x -=-+，且函数()f x 在区间()2,+∞上单调递增.如果122x x <<，且124x x +<，则()()12f x f x +的值（ ）A. 恒小于0B.恒大于0C ．可能为0D ．可正可负10.设函数()f x 的导函数为()'fx ，对任意x R ∈都有()()'f x f x >成立，则（ ）A. 3(ln 2)2(ln3)f f> B. 3(ln 2)2(ln3)f f <C. 3(ln 2)2(ln3)f f =D. 3(ln 2)f 与2(ln 3)f 的大小不确定第Ⅱ卷二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．)11.幂函数2(33)my m m x =-+错误！未找到引用源。
绵阳一诊四川省绵阳市高届第一次诊断性考试数学
绵阳市高中2011级第一次诊断考试数学试题一、选择题。
1．设复数z =1-i ，则复数1+2z 在复平面内所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设随机变量ξ～N （μ，1），若不等式2x -ax ≥0对任意实数x 都成立，且p （ξ>a ）=21，刚μ的值为A ．0B ．1C ．2D ．33.已知)(x f =则下列结论成立的是 A ．)(x f 在x =0处连续 B ．1lim →x )(x f =2C ．1lim →x )(x f =0 D ．1lim →x )(x f =04．若曲线y =313x +212x +1在x =1处的切线与直线2x +my +1=0平行，则实数m 的值等于 A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 5．等比数列}{n a 中，已知852a a a =1，则1g 4a +1g 6a 的值等于A ．-2B ．-1C ．0D ．2 6．函数y =1-x x（x ≥2）的值域为 A ．y y |{≠1且}R y ∈ B ．1|{y ＜y ≤2} C ．1|{y ＜y ＜2} D ．y y |{≤2}7．设集合A =ax x |{＞1，a ≤0}，B = || |{x x ＞1}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 A ．[-1，0] B ．[-1，0] C ．（-1，0） D ．（-∞，-1） 8．某班有男生30人，女生20人，从中任选5名同志组成城市绿色交通协管服务队，那么按性别分层抽样组成这个绿色服务队的概率为A ．550220330A A AB ．550220330AC C C ．550220330C C C D ．550220330C A A 9．设数列：1，1+21，1+21+221，……，1+21+221+……+121-n ，……的前n 项和为n S ，则∞-n l i m（n S -2n ）的值为χ+χ1（χ≠0） 0（χ=0）A ．2B ．0C ．1D ．-2 10．设函数)(x f（其中a ＞0且a ≠1），若)91(-f =-21，则)41(1-f 值为 A ．1 B ．41 C ．3 D ．81111．给出下列命题：①设)(x f 是定义在（-a ，a ）（a ＞0）上的偶函数，且'f （0）存在，则'f （0）=0. ②设函数)(x f 是定义的R 上的可导函数，则函数)(x f .)(x f -的导函数为偶函数. ③方程x xe =2在区间（0，1）内有且仅有一个实数根.A ．①②③B ．①②C ．②③D ．①③12．函数)(x f =x x x x 1111222---+-+的最小值与最大值之和为 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1二、填空题 13．函数nx y 121=的反函数为 。
【名师解析】四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试数学(文)试题(解析版)
四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试数学（文）试题（解析版） 【试卷综析】试卷注重对基础知识和基本方法全面考查的同时,又突出了对数学思想、数学核心能力的综合考查, 试卷以考查考生对“双基”的掌握情况为原则,重视基础,紧扣教材,回归课本,整套试卷中有不少题目可以在教材上找到原型.对中学数学教学和复习回归课本,重视对基础知识的掌握起到好的导向作用.第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.【题文】1.已知全集R U =,集合{}{})2sin(,)13ln(+==-==x y y B x y x A ，则A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，31B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛310，C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-311， D ．φ【知识点】交、并、补集的混合运算．A1【答案解析】C 解析：由A 中y=ln （3x ﹣1），得到3x ﹣1＞0，即x ＞， ∴A=（，+∞），∵全集U=R ，∴∁U A=（﹣∞，]， 由B 中y=sin （x+2），得到﹣1≤y ≤1，∴B=[﹣1，1]， 则（∁U A ）∩B=[﹣1，]．故选：C ．【思路点拨】求出A 中x 的范围确定出A ，求出B 中y 的范围确定出B ，根据全集U=R 求出A 的补集，找出A 补集与B 的交集即可．【题文】2.若角α的终边在直线x y 2-=上，且0sin >α，则αcos 和αtan 的值分别为 A ．2,55- B ．21,55-- C ．2,552-- D ．2,55-- 【知识点】同角三角函数间的基本关系．C2【答案解析】D 解析：∵角α的终边在直线y=﹣2x 上，且sin α＞0， ∴α为第二象限角，则tan α=﹣2，cos α=﹣=﹣．故选：D ．【思路点拨】由角α的终边在直线y=﹣2x 上，且sinα＞0，得到α为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα和tana 的值即可．【题文】3.设b a ，为平面向量，则”“b a b a ⋅=⋅是”“b a //的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；向量的模；平行向量与共线向量．A2F2【答案解析】C 解析：∵•=，若a，b为零向量，显然成立；若⇒cosθ=±1则与的夹角为零角或平角，即，故充分性成立．而，则与的夹角为为零角或平角，有．因此是的充分必要条件．故选C．【思路点拨】利用向量的数量积公式得到•=，根据此公式再看与之间能否互相推出，利用充要条件的有关定义得到结论．【题文】4.已知等差数列{}n a，且410712a a a+=-，则数列{}n a的前13项之和为A．24 B．39 C．52D．104【知识点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．D2 D4【答案解析】C 解析：在等差数列{a n}中，由a4+a10=12﹣a7，得3a7=12，a7=4．∴S13=13a7=13×4=52．故选：C．【思路点拨】直接利用等差数列的性质结合已知求得a7=3，然后由S13=13a7得答案．【题文】5．已知O是坐标原点，点()11，-A，若点()yxM,为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212yxyx上的一个动点，则⋅的取值范围是A．[]01，- B．[]20， C．[]10， D．[]21，-【知识点】简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．E5 F3【答案解析】B 解析：满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212yxyx的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式 当x=1，y=1时，•=﹣1×1+1×1=0 当x=1，y=2时，•=﹣1×1+1×2=1 当x=0，y=2时，•=﹣1×0+1×2=2故OM OA ⋅和取值范围为[0，2] 故选B .【思路点拨】先画出满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x 的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入⋅分析比较后，即可得到•的取值范围．【题文】6.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1=AM ,点P 在AM 上且满足2=,则()=+⋅A ．94 B ．34 C ．34- D ．94- 【知识点】平面向量数量积的运算．F3 【答案解析】A 解析：如图因为M 是BC 的中点，根据向量加法的几何意义，=2，又，所以==．故选：A ．【思路点拨】根据向量加法的几何意义，得出=2，从而所以=．【题文】7.已知函数()πϕωϕω<>>+=,0,0)sin()(A x A x f 的图象与直线()A b b y <<=0的三个相邻交点的横坐标分别是842、、，则)(x f 的单调递增区间为 A.[]()Z k k k ∈+34,4 B.[]()Z k k k ∈+36,6 C.[]()Z k k k ∈+54,4D.[]()Z k k k ∈+56,6【知识点】正弦函数的单调性．C3【答案解析】B 解析：与直线y=b （0＜b ＜A ）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8知函数的周期为T==2（﹣），得ω=，再由五点法作图可得 •+φ=，求得φ=﹣，∴函数f （x ）=Asin （x ﹣）． 令2k π﹣≤x ﹣≤2k π+，k ∈z ，求得x ∈[6k ，6k+3]（k ∈Z ），故选：B ．【思路点拨】由题意可得，第一个交点与第三个交点的差是一个周期；第一个交点与第二个交点的中点的横坐标对应的函数值是最大值．从这两个方面考虑可求得参数ω、φ的值，进而利用三角函数的单调性求区间．【题文】8.已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时()()xf x f x '<-成立（其中()()f x f x '是的导函数），若a =，(1)b f =，2211(log )(log )44c f =则,,a b c 的大小关系是A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．a c b >>【知识点】函数的单调性与导数的关系；函数奇偶性的性质．B11B4 【答案解析】A 解析：∵函数y=f （x ）是定义在实数集R 上的奇函数，∴当x ∈（﹣∞，0）时，xf ′（x ）＜f （﹣x ）等价为xf ′（x ）+f （x ）＜0， 构造函数g （x ）=xf （x ）， 则g ′（x ）=xf ′（x ）+f （x ）＜0， ∴当x ∈（﹣∞，0）时，函数g （x ）单调递减， 且函数g （x ）是偶函数， ∴当x ∈（0，+∞）时，函数g （x ）单调递增， 则a=f （）=g （），b=f （1）=个（1），c=（log 2）f （log 2）=g （log 2）=g （﹣2）=g （2），∵1＜2， ∴g （1）＜g （）＜g （2）， 即b ＜a ＜c ， 故选：A ．【思路点拨】根据条件构造函数，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论． 【题文】9.设定义在R 上的偶函数)(x f 满足)1()1(+=-x f x f ，且当[]1,0∈x 时，3)(x x f =，若方程)0(02cos)(<=--a a x x f π无解，则实数a 的取值范围是A ．()2,-∞-B ．(]2,-∞-C ．(]1,-∞-D ．()1,-∞-【知识点】抽象函数及其应用．B10 【答案解析】D 解析：由f （x ）﹣cos x ﹣a=0得f （x ）﹣cos x=a ，设g （x ）=f （x ）﹣cosx ，∵定义在R 上的偶函数f （x ）， ∴g （x ）也是偶函数， 当x ∈[0，1]时，f （x ）=x 3， ∴g （x ）=x 3﹣cosx ，则此时函数g （x ）单调递增，则g （0）≤g （x ）≤g （1），即﹣1≤g （x ）≤1， ∵偶函数f （x ）满足f （1﹣x ）=f （x+1）， ∴f （1﹣x ）=f （x+1）=f （x ﹣1）， 即f （x ）满足f （x+2）=f （x ）， 即函数的周期是2，则函数g （x ）在R 上的值域为[﹣1，1]，若方程f（x）﹣cos x﹣a=0（a＜0）无解，即g（x）=f（x）﹣cos x=a无解，则a＜﹣1，故选：D【思路点拨】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，推出函数的周期性，求出函数的最值即可得到结论．【题文】10. 已知正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为边AB,DA上的点，若45PCQ︒∠=，则APQ∆面积的最大值是A．2 B．3- C．18D．14【知识点】三角形的面积公式．C8【答案解析】B 解析：如图所示，C（1，1）．设P（a，0），Q（0，b），0＜a，b＜1．则k PC=，k PQ=1﹣b．∵∠PCQ=45°，∴tan45°===1，化为2+ab=2a+2b，∴2+ab，化为，解得（舍去），或，当且仅当a=b=2﹣时取等号．∴．∴△APQ面积=ab≤3﹣2，其最大值是3．故选：B ．【思路点拨】C （1，1）．设P （a ，0），Q （0，b ），0＜a ，b ＜1．可得k PC =，k PQ =1﹣b ．利用到角公式、一元二次不等式的解法、三角形的面积计算公式即可得出． 第 Ⅱ 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.【题文】11.化简求值：431lglg 254+-=________． 【知识点】有理数指数幂的化简求值；有理数指数幂的运算性质．B8【答案解析】0 解析：原式=：（）+lg =+lg =2﹣2=0．故答案为：0【思路点拨】根据指数幂的运算法则进行化简即可.【题文】12.已知函数f (x )的图象是两条线段(如图，不含端点)，则f (f (13))＝_______.【知识点】函数奇偶性的性质；函数的值．B4【答案解析】13解析：由图象可得函数f （x ）=．∴=，=．∴f （f （））==．故答案为：．【思路点拨】由图象可得函数f （x ）=．即可得出．【题文】13.已知πααα≤≤=-0,51cos sin ，则=⎪⎭⎫⎝⎛+απ22sin ________． 【知识点】二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．C6 C2 【答案解析】725- 解析：∵sin α﹣cos α=，①0≤x ≤π ∴1﹣2sin αcos α=，∴2sin αcos α=，∴α∈（0，）∴1+2sin αcos α=，∴sin α+cos α=，② 由①②得sin α=，cos α=， ∴sin （+2α）=cos2α=2cos 2α﹣1==﹣，故答案为：﹣．【思路点拨】把所给的条件两边平方，写出正弦和余弦的积，判断出角在第一象限，求出两角和的结果，解方程组求出正弦和余弦值，进而用二倍角公式得到结果．【题文】14.已知实数0,0>>b a ，且1=ab ，那么ba b a ++22的最小值为________．【知识点】基本不等式．E5【答案解析】﹣1 解析：由于ab=1，则又由a ＜0，b ＜0，则，故，当且仅当﹣a=﹣b 即a=b=﹣1时，取“=”故答案为﹣1． 【思路点拨】将整理得到，利用基本不等式即可求得的最大值．【题文】15.设R x ∈,用[]x 表示不超过x 的最大整数，称函数[]x x f =)(为高斯函数，也叫取整函数.现有下列四个命题： ①高斯函数为定义域为R 的奇函数；②[][]”“y x ≥是”“y x ≥的必要不充分条件；③设xx g ⎪⎭⎫⎝⎛=21)(，则函数[])()(x g x f =的值域为{}1,0；④方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2141x x 的解集是{}51<≤x x . 其中真命题的序号是________．（写出所有真命题的序号） 【知识点】命题的真假判断与应用．A2【答案解析】②③④ 解析：对于①，f （﹣1.1）=[﹣1.1]=﹣2，f （1.1）=[1.1]=1，显然f （﹣1.1）≠﹣f （1.1），故定义域为R 的高斯函数不是奇函数，①错误； 对于②，“[x ]”≥“[y ]”不能⇒“x ≥y ”，如[4.1]≥[4.5]，但4.1＜4.5，即充分性不成立；反之，“x ≥y ”⇒“[x ]”≥“[y ]”，即必要性成立，所以“[x ]”≥“[y ]”是“x ≥y ”的必要不充分条件，故②正确；对于③，设g （x ）=（）|x|，作出其图象如下：由图可知，函数f （x ）=[g （x ）]的值域为{0，1}，故③正确； 对于④，[]=[]=[]=[]﹣1， 即[]+1=[]，显然，＞，即x ＞﹣1；（1）当0≤＜1，即﹣1≤x ＜3时，[]=0，[]+1=1；要使[]+1=[]，必须1≤＜2，即1≤x ＜3，与﹣1≤x ＜3联立得：1≤x ＜3；（2）当1≤＜2，即3≤x ＜7时，[]=1，[]+1=2；要使[]+1=[]，必须2≤＜3，即3≤x ＜5，与3≤x ＜7联立得：3≤x ＜5；（3）当2≤＜3，即7≤x ＜11时，[]=2，[]+1=3；要使[]+1=[]，必须3≤＜4，即5≤x ＜7，与7≤x ＜11联立得：x ∈∅；综上所述，方程[]=[]的解集是{x|1≤x ＜5}，故④正确．故答案为：②③④．【思路点拨】①，举例说明，高斯函数f （x ）=[x ]中，f （﹣1.1）≠﹣f （1.1），可判断①错误； ②，利用充分必要条件的概念，举例如[4.1]≥[4.5]，但4.1＜4.5，说明“[x ]”≥“[y ]”是“x ≥y ”的必要不充分条件；③，作出g （x ）=（）|x|的图象，利用高斯函数f （x ）=[x ]可判断函数f （x ）=[g （x ）]的值域为{0，1}； ④，方程[]=[]⇔[]+1=[]，通过对0≤＜1，1≤＜2，2≤＜3三种情况的讨论与相应的的取值范围的讨论可得原方程的解集是{x|1≤x ＜5}，从而可判断④正确．三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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绵阳市高2013级第一次诊断性考试数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CBCBD BACCC二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．[)∞+，10 12．3 13．a ≥2 14．7 15．②③三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．解 ：（1）∵ m ⊥n ，∴ m ·n =(cos α，1-sin α)·(-cos α，sin α)=0，即-cos 2α+sin α-sin 2α=0． ……………………………………………………3分 由sin 2α+cos 2α=1，解得sin α=1， ∴ 22ππα+=k ，k ∈Z .…………………………………………………………6分（2） ∵ m -n =(2cos α，1-2sin α)， ∴ |m -n |=22)sin 21()cos 2(αα-+αααsin 41)sin (cos 422-++=αsin 45-=， ………………………………………………………9分∴ 5-4sin α=3，即得21sin =α， ∴ 21sin 212cos 2=-=αα． ……………………………………………………12分 17．解：（1）由已知a n +1=2a n +1，可得a n +1+1=2(a n +1)．∴2111=+++n n a a （常数）．………………………………………………………3分 此时，数列}1{+n a 是以211=+a 为首项，2为公比的等比数列，∴ n n n a 22211=⋅=+-，于是a n =2n -1． ………………………………………6分（2）∵n n nb 2=.…………………………………………………………………7分 ∴ n n nS 2232221321++++= ，两边同乘以21，得,2232221211432+++++=n n nS两式相减得 12221212121+-+++=n n n nS12211)211(21+---=n n n 12211+--=n n n， ∴nn n nS 22121--=-．…………………………………………………………12分 18．解：（1）设第n 年的受捐贫困生的人数为a n ，捐资总额为b n ．则a n =80+(n -1)a ，b n =50+(n -1)×10=40+10n . ……………………………2分 ∴ 当a =10时，a n =10n +70， ∴8.070101040>++=n n a b n n ， 解得：n >8． ……………………………………………………………………5分 即从第9年起每年的受捐大学生人均获得的奖学金才能超过0.8万元． …6分 （2）由题意：nnn n a b a b >++11(n >1)， 即an nna n )1(80104080)1(1040-++>+++，………………………………………………8分整理得 (5+n )[80+(n -1)a ]-(4+n )(80+na )>0， 即400+5na -5a +80n +n 2a -na -320-4na -80n -n 2a >0， 化简得80-5a >0，解得a <16，……………………………………………………………………11分 ∴ 要使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过15人．……………………………………………12分19．解：（1）在Rt △ABC 中，AC =AB cos60º=3216=⨯，231==AB AD . ∵ AD CA CD +=，∴ CA AD CA CA AD CA CA CD ⋅+=⋅+=⋅2)(><⋅⋅+=CA AD CA AD CA ，cos ||||||2=9+2×3×cos120º=6. …………………………………………………………………4分（2）在△ACD 中，∠ADC =180º-∠A -∠DCA=120º-θ，由正弦定理可得ADCAC A CD ∠=sin sin ，即)120sin(233)120sin(233θθ-︒=-︒⨯=CD . ………………………………………5分在△AEC 中，∠ACE =θ+30º，∠AEC =180º-60º-(θ+30º)=90º-θ，由正弦定理可得：AEC AC A CE ∠=sin sin ，即θθcos 233)90sin(233=-︒⨯=CE ， ……6分 ∴θθcos 233)120sin(2334130sin 21⋅-︒⋅=︒⋅⋅=∆CE CD S DCEθθc o s)120sin(11627⋅-︒⋅=，………………………7分 令f (θ)=sin(120º-θ)cos θ，0º≤θ≤60º， ∵ f (θ)=(sin120ºcos θ-cos120ºsin θ)cos θθθθcos sin 21cos 232+=θθ2sin 212122cos 123+++⨯= )2sin 212cos 23(2143θθ++= )602sin(2143︒++=θ，………………………………………………10分 由0º≤θ≤60º，知60º≤2θ+60º≤180º， ∴ 0≤sin(2θ+60º)≤1， ∴43≤f (θ)≤2143+， ∴ )32(4-≤)(1θf ≤334， ∴ DCE S ∆≥)32(427-， 即DCE S ∆的最小值为)32(427-．……………………………………………12分 20．解：（1）c bx ax x f ++='23)(，由题意得3ax 2+bx +c ≥0的解集为{x |-2≤x ≤1}， ∴ a <0，且方程3ax 2+bx +c =0的两根为-2，1． 于是13-=-a b ，23-=ac， 得b =3a ，c =-6a ．………………………………………………………………2分 ∵ 3ax 2+bx +c <0的解集为{x |x <-2或x >1}，∴ f (x )在(-∞，-2)上是减函数，在[-2，1]上是增函数，在(1，+∞)上是减函数． ∴ 当x =-2时f (x )取极小值，即-8a +2b -2c -1=-11， 把b =3a ，c =-6a ，代入得-8a +6a +12a -1=-11，解得a =-1． ……………………………………………………………………5分 （2）由方程f (x )-ma +1=0，可整理得0112123=+--++ma cx bx ax ， 即ma ax ax ax =-+62323． ∴ x x x m 62323-+=．…………………………………………………………7分 令x x x x g 623)(23-+=，∴ )1)(2(3633)(2-+=-+='x x x x x g ．列表如下：x(-∞，-2)-2 (-2，1) 1 (1，+∞))(x g '+-+g (x )↗极大值↘极小值↗∴ g (x )在[-3，-2]是增函数，在[-2，0]上是减函数．……………………11分 又∵29)3(=-g ，g (-2)=10，g (0)=0， 由题意知直线y =m 与曲线x x x x g 623)(23-+=有两个交点， 于是29<m <10.…………………………………………………………………13分 21．解：（1）∵ a xx f -='1)(，x >0， ∴ 当a <0时，0)(>'x f ，即f (x )在(0，+∞)上是增函数．当a >0时， x ∈(0，a 1)时0)(>'x f ，f (x )在(0，a 1)上是增函数；x ∈(a 1，+∞) 时0)(<'x f ，f (x )在(a1，+∞)上是减函数．∴ 综上所述，当a <0时f (x )的单调递增区间为(0，+∞)；当a >0时，f (x )的单调递增区间为(0，a1)，f (x )的单调递减区间为(a1，+∞)．…………5分 （2）当a=1时，()ln 1f x x x =-+，∴ 1ln ln ln ln 12121211221212---=-+--=--=x x x x x x x x x x x x y y k ，∴ 1212ln ln 1x x x x k --=+.要证2111x k x <+<，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-， 因210x x ->，即证21221211ln x x x x x x x x --<<， 令21x t x =(1t >)，即证11ln 1t t t-<<-(1t >). 令()ln 1k t t t =-+(1t >)，由(1)知，()k t 在(1，+∞)上单调递减， ∴ ()()10k t k <=即ln 10t t -+<， ∴ ln 1t t <-．①令1()ln 1h t t t=+-(1t >)，则22111()t h t t t t-'=-=>0， ∴()h t 在(1，+∞)上单调递增，∴()(1)h t h >=0，即1ln 1t t>-(1t >)．②综①②得11ln 1t t t -<<-(1t >)，即2111x k x <+<．……………………9分 （3）由已知)21(2)(xk ax x f ->-+即为)2()1(ln ->-x k x x ，x >1， 即02)1(ln >+--k kx x x ，x >1．令k kx x x x g 2)1(ln )(+--=，x >1，则k x x g -='ln )(． 当k ≤0时，0)(>'x g ，故)(x g 在(1，+∞)上是增函数， 由 g (1)=-1-k +2k =k -1>0，则k >1，矛盾，舍去．当k >0时，由k x -ln >0解得x >e k ，由k x -ln <0解得1<x <e k ， 故)(x g 在(1，e k )上是减函数，在(e k ，+∞)上是增函数， ∴ )(x g min =g (e k )=2k -e k ．即讨论)(x g min =2k -e k >0(k >0)恒成立，求k 的最小值． 令h (t )=2t -e t ，则t e x h -='2)(， 当t e -2>0，即t <ln2时，h (t )单调递增， 当t e -2<0，即t >ln2时，h (t )单调递减， ∴ t =ln2时，h (t )max =h (ln2)=2ln2-2. ∵ 1<ln2<2， ∴ 0<2ln2-2<2．又∵ h (1)=2-e <0，h (2)=4-e 2<0， ∴ 不存在整数k 使2k -e k >0成立．综上所述，不存在满足条件的整数k ．………………………………………14分。