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四川省绵阳市2024届高考补习年级二诊模拟数学试题(四)含解析

南山实验2024届补习年级文科数学二诊模拟四（答案在最后）一、单选题1.已知集合{}Z 33U x x =∈-<<，{}2,1A =-，{}2,2B =-，则()UB A ⋃=ð（）A.{}2,1,2-B.{}2,0,2-C.{}2,1,0,2-- D.{}2,1,2--【答案】C 【解析】【分析】先化简U ，再求出U A ð，进而求出()U A B ð即可.【详解】解：因为{}{}Z 332,1,0,1,2U x x =∈-<<=--，{}2,1A =-，所以{}1,0,2U A =-ð，所以(){}2102U A B ,,,=-- ð.故选：C2.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，则渐近线方程是（）A.12y x =±B.2y x=± C.y = D.3y x =±【答案】C 【解析】【分析】根据条件得出ba=.【详解】由双曲线方程22221x y a b-=，知渐近线方程为b y x a =±，又因为2c e a ==，222c a b =+，所以222224c a b a a+==，得到b a =所以双曲线渐近线方程为y =，故选：C.3.“sin tan αα<”是“α为第一象限角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】判断sin tan αα<，即判断()sin tan tan cos 10αααα-=-<，根据cos 10α-<在象限中恒成立即可判断出α所在象限，最后根据充分条件和必要条件定义即可得出答案.【详解】()sin tan tan cos 1αααα-=-，若α为第一象限角或第三象限角，则()tan cos 10αα-<，即sin tan αα<；若α为第二象限角或第四象限角，则()tan cos 10αα->，即sin tan αα>.故“sin tan αα<”是“α为第一象限角”的必要不充分条件.故选：B.4.已知0,0x y >>，且211x y+=，若222x y m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.(2,4)B.(1,2)C.(2,1)- D.(2,4)-【答案】D 【解析】【分析】先把2x y +转化为()212x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式即可求2x y +的最小值，然后根据222x y m m +>-恒成立，求得22m m -小于2x y +的最小值，解不等式即可.【详解】因为211x y+=，所以()()2444412248y x x y x y x y x y ⎛⎫==++≥+=+= ⎪⎝++⎭+，当且仅当4,2x y ==等号成立若222x y m m +>-恒成立，则()2min 228m m x y -<+=，解得：24m -<<，故选：D【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，属于中档题.5.在ABC 中，3,0BQ QC AP BP =+=，则（）A.1344PQ AC AB=+ B.2133PQ AB AC=+C.3144PQ AC AB=- D.1344PQ AC AB=- 【答案】C 【解析】【分析】根据3,0BQ QC AP BP =+=，利用平面向量的线性运算求解.【详解】因为3BQ QC =，所以34BQ BC = ，所以()31334444AQ AB BQ AB BC AB AC AB AB AC +=+-++===,因为0AP BP +=，所以P 为AB 的中点，12AP AB= 则3131244441PQ AQ AP AB AC AB AC AB ---+=== ，所以3144PQ AC AB =- ，故选：C6.下列命题中，真命题的是（）A.若回归方程ˆ04506yx =-+..，则变量y 与x 正相关B.线性回归分析中相关指数2R 用来刻画回归的效果，若2R 值越小，则模型的拟合效果越好C.若样本数据1210,,,x x x 的方差为2，则数据121021,21,,21x x x --- 的标准差为4D.一个人连续射击三次，若事件“至少击中两次”的概率为0.7，则事件“至多击中一次”的概率为0.3【答案】D 【解析】【分析】利用正负相关的意义判断A ；利用相关指数的意义判断B ；求出标准差判断C ；利用对立事件求出概率判断D.【详解】对于A ，回归方程ˆ04506yx =-+..，由0.450-<，得变量y 与x 负相关，A 错误；对于B ，2R 值越接近于1，模型的拟合效果越好，越接近于0，模型的拟合效果越差，B 错误；对于C ，数据121021,21,,21x x x --- 的方差为2228⨯=，标准差为，C 错误；对于D ，“至多击中一次”的事件是“至少击中两次”的事件的对立事件，则事件“至多击中一次”的概率为0.3，D 正确.故选：D7.已知函数()12x f x -=，若1a b <<，且2a c +>，则（）A.()()()f a f b f c <<B.()()()f c f b f a <<C.()()()f b f a f c <<D.()()()f a f c f b <<【答案】C 【解析】【分析】函数()f x 是关于直线x =1对称的，在1x >和1x ≤是单调性是相反的，利用以上特点，不难判断.【详解】由题可知()112,12,1x x x f x x --⎧≤=⎨>⎩，当1x ≤时是减函数，当1x >时是增函数；由于()()211222x x f x f x ----===，直线x =1是()f x 的对称轴；1a b << ，()()f a f b ∴>，由2a c +>可知，21c a >->，由对称性可知()()()2f c f a f a >-=，()()()f c f a f b ∴>>；故选：C.8.在各项均为正数的数列{}n a 中,12a =,2211230n n n n a a a a ++--=,n S 为{}n a 的前n 项和,若242n S =,则n =（）A.5B.6C.7D.8【答案】A 【解析】【分析】由2211230n n n n a a a a ++--=,化简可得()()1130n n n n a a a a ++-+=,得13n n a a +=或1n n a a +=-,因为各项均为正数,故13n n a a +=符合题意,1n n a a +=-不符题意舍去,所以数列{}n a 为首项为2,公比为3的等比数列,根据等比数列前n 项和公式即可求得答案.【详解】 2211230n n n n a a a a ++--=,得()()1130n n n n a a a a ++-+=，∴13n n a a +=或1n n a a +=-，又各项均为正数,故13n n a a +=符合题意,1n n a a +=-不符题意舍去.12a =,13n n a a +=,所以数列{}n a 为首项为2,公比为3的等比数列则()21324213n n S -==-，解得5n =，故选:A.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式,等比数列的前n 项和公式的应用.解题关键是掌握等比数列前n 项和公式,考查了计算能力,属于中档题9.在直角坐标平面内，点()1,1A -到直线l 的距离为3，点()4,3B 到直线l 的距离为2，则满足条件的直线l 的条数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】将问题转化为求以点(1,1)A -为圆心，以3为半径的圆和以点()4,3B 为圆心，以2为半径的圆的公切线的条数求解.，【详解】到点(1,1)A -距离为3的直线可看作以A 为圆心3为半径的圆的切线，同理到点()4,3B 距离为2的直线可看作以B 为圆心2为半径的圆的切线，故所求直线为两圆的公切线，又||523AB ===+，故两圆外切，所以公切线有3条，故选：C10.在某病毒疫苗的研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物实验．现随机抽取100只基因编辑小鼠对该病毒疫苗进行实验，得到如下2×2列联表（部分数据缺失）：被某病毒感染未被某病毒感染合计注射疫苗1050未注射疫苗3050合计30100计算可知，根据小概率值α＝________的独立性检验，分析“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”（）附：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，n＝a＋b＋c＋d.α0.10.050.010.0050.001xα 2.706 3.841 6.6357.87910.828A.0.001B.0.05C.0.01D.0.005【答案】B【解析】【分析】计算卡方，再根据独立性检验的概念判断即可.【详解】完善2×2列联表如下：被某病毒感染未被某病毒感染合计注射疫苗104050未注射疫苗203050合计3070100零假设为H0：“给基因编辑小鼠注射该种疫苗不能起到预防该病毒感染的效果”．因为χ2＝()2100103020402 4.762,3.841 4.762 6.63530705050χ⨯-⨯=≈<<⨯⨯⨯，所以根据小概率值0.05α=的独立性检验，推断H0不成立，即认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”．故选：B.11.已知函数π()4sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，(0)(4)2f f ==-，函数()f x 在(0,4)上有且仅有一个极大值但没有极小值，则ω的最小值为（）A.π6B.π3 C.5π6D.4π3【答案】B 【解析】【分析】先由(0)2f =-求出ϕ，再由题意知2x =时，函数()f x 取得最大值，从而求出ω，得到答案.【详解】∵4sin 2(0)f ϕ==-，∴1sin 2ϕ=-．又||2ϕπ<，∴π6ϕ=-，所以π()4sin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为(0)(4)f f =，且函数()f x 在(0,4)上有且仅有一个极大值但没有极小值，所以当0422x +==时，函数()f x 取到最大值（也是极大值），此时π122ππ62k ω-=+，k ∈Z ．解得ππ3k ω=+，k ∈Z ．所以当0k =时，π3ω=,此时()ππ4sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令ππ3π2π,362x m m -=+∈Z ，则65x m =+，所以函数图象在y 轴右侧的第一个最小值点的横坐标为5，因45<，故π3ω=符合题设,故选：B .12.已知函数()2ln 2xx f x e x =+-的极值点为1x ，函数()2xg x e x =+-的零点为2x ，函数()ln 2x h x x =的最大值为3x ，则A.123x x x >> B.213x x x >> C.312x x x >> D.321x x x >>【答案】A 【解析】【分析】根据()f x '在()0,∞+上单调递增，且11024f f ⎛⎫⎛⎫''⋅<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知导函数零点在区间11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内，即()f x 的极值点111,42x ⎛⎫∈⎪⎝⎭；根据()g x 单调递增且11024g g ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知211,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；通过判断()()12g x g x >，结合()g x 单调性可得12x x >；利用导数可求得()max 1124h x e =<，即314x <，从而可得三者的大小关系.【详解】()1xf x e x x'=+-在()0,∞+上单调递增且1213022f e ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，14115044f e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭111,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭且11110xe x x +-= 函数()2x gx e x =+-在()0,∞+上单调递增且1213022g e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，14112044g e ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭211,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭又()()11111211112220xg x e x x x g x x x ⎛⎫=+-=-+-=->= ⎪⎝⎭且()g x 单调递增12x x ∴>由()21ln 2x h x x -'=可得：()()max12h x h e e ==，即31124x e =<123x x x ∴>>本题正确选项：A【点睛】本题考查函数极值点、零点、最值的判断和求解问题，涉及到零点存在定理的应用，易错点是判断12,x x 大小关系时，未结合()g x 单调性判断出()()12g x g x >，造成求解困难.二、填空题13.若复数i 1iaz =++为实数，则实数=a _________.【答案】2【解析】【分析】根据复数的除法运算化简，即可根据复数的分类求解.【详解】()()()()1i 1i i=i=i=1i 1i 1i 1i 222a a a a a z --⎛⎫=++++- ⎪++-⎝⎭，由于i 1ia z =++为实数，则102a-=，得2a =，故答案为：214.已知函数()22,12,1x x f x x x x +≤-⎧=⎨-+>-⎩，则不等式()3f x >-的解集是______.【答案】()5,3-【解析】【分析】分1x ≤-、1x >-两种情况解不等式()3f x >-，综合可得出原不等式的解集.【详解】当1x ≤-时，由()3f x >-得23x +>-，解得5x >-，此时，51x -<≤-；当1x >-时，由()3f x >-得223x x -+>-，即2230x x --<，解得13x -<<，此时，13x -<<.综上所述，不等式()3f x >-的解集是()5,3-.故答案为：()5,3-.15.在圆224x y +=内随机地取一点(),P x y ，则该点坐标满足()()2210y x x y -++≤的概率为________．【答案】12##0.5【解析】【分析】根据条件得到20210y x x y -≤⎧⎨++≤⎩或20210y x x y -≥⎧⎨++≥⎩，结合224x y +=画出符合要求的可行域，根据圆的性质及直线20y x -=，210x y ++=的位置关系确定可行域与圆面积的比例，即可求得概率.【详解】要满足()()2210y x x y -++≤，则20210y x x y -≤⎧⎨++≤⎩①或20210y x x y -≥⎧⎨++≥⎩②，在平面直角坐标系中分别作出不等式组①、②和圆224x y +=，则满足要求的可行域如下图阴影部分所示：由图知：在圆224x y +=内随机取(),P x y 在阴影部分，而直线20y x -=过圆心()0,0，且直线20y x -=与直线210x y ++=相互垂直，所以图中阴影部分的面积为圆面积的12，故点(),P x y 满足()()2210y x x y -++≤的概率为12，故答案为：12.16.抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.过抛物线C ：24x y =上的点P （不为原点）作C 的切线l ，过坐标原点O 作OQ l ⊥，垂足为Q ，直线PF （F 为抛物线的焦点）与直线OQ 交于点T ，点(2,0)A ，则TA 的取值范围是______.【答案】1⎤-+⎦【解析】【分析】设点()2,04t P t t ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，切线l 的方程为()24t y k x t -=-，可求得切线的斜率，由OQ l ⊥可求得OQ 的方程，与直线PF 联立可求得点T 的坐标，消参可求得点T 的轨迹方程，结合图形可求得TA 的范围.【详解】因为点P 为抛物线C ：24x y =上的点（不为原点），所以可设点()2,04t P t t ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，且()0,1F ，当切线l 的斜率不存在时，不合题意；当切线l 的斜率存在时，可设为()24t y k x t -=-，联立()2244t y k x t x y ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，消去y 可得()224x t k x t -=-，化简可得22440x kx kt t -+-=，令Δ0=，可得()2216440k kt t --=，化简可得()220k t -=，即2t k =，又OQ l ⊥，所以OQ 的斜率2OQ k t=-，所以OQ 的方程2y tx =-，因为点()2,04t P t t ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，()0,1F ，所以PF 的斜率为2214404PF t t k t t--==-，则PF 的方程为2414t y x t-=+，联立22414y x t t y x t ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩，解得224484t x t y t ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即2248,44t T t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，由224484t x t y t ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩两式相除可得2x t y =-，即2x t y =-，由0t ≠，可得0x ≠，再代入284x t =+，可得22844y x y=+，化简可得2220x y y +-=，可得()2211x y +-=()0x ≠，可知点T 轨迹为半径为1的圆，圆心为()0,1F，结合图形可知AF r TA AF r -≤≤+，又1r =，AF ==，则1TA ⎤∈⎦.故答案为：1⎤-⎦.【点睛】关键点睛：本题难点在于如何求出T 点的轨迹方程，可借助参数得出两直线的方程，联立后用参数表示该交点坐标，借助交点坐标消去参数，即可求得该点的轨迹方程.三、解答题17.“双十二”是继“双十一”之后的又一个网购狂欢节，为了刺激“双十二”的消费，某电子商务公司决定对“双十一”的网购者发放电子优惠券．为此，公司从“双十一”的网购消费者中用随机抽样的方法抽取了100人，将其购物金额（单位：万元）按照[)0.1,0.2，[)0.2,0.3，....，[]0.9,1分组，得到如下频率分布直方图根据调查，该电子商务公司制定了发放电子优惠券的办法如下：购物金额（单位：万元）分组[)0.3,0.6[)0.6,0.8[]0.8,1发放金额（单位：万元）50100200（1）求购物者获得电子优惠券金额的平均数；（2）从这100名购物金额不少于0.8万元的人中任取2人，求这两人的购物金额在0.8～0.9万元的概率．【答案】（1）64万元（2）1021【解析】【分析】（1）根据平均数的求法求得平均数.（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案.【小问1详解】购物金额在[)0.3,0.6的频率为()1.52 2.50.10.6++⨯=，购物金额在[)0.6,0.8的频率为()1.50.50.10.2+⨯=，购物金额在[]0.8,1的频率为()0.50.20.10.07+⨯=，所以购物者获得电子优惠券金额的平均数为：500.61000.22000.0730201464⨯+⨯+⨯=++=万元.【小问2详解】购物金额在[)0.8,0.9的频率为0.50.10.05⨯=，购物金额在[]0.9,1的频率为0.20.10.02⨯=，所以购物金额在[)0.8,0.9的有5人，记为1,2,3,4,5，购物金额在[]0.9,1的有2人，记为6,7，从中任取2人，基本事件有{}{}{}{}{}{}1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1,7，{}{}{}{}{}2,3,2,4,2,5,2,6,2,7，{}{}{}{}3,4,3,5,3,6,3,7，{}{}{}{}{}{}4,5,4,6,4,7,5,6,5,7,6,7，共21种，其中两人都在[)0.8,0.9的有：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}1,2,1,3,1,4,1,5,2,3,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5，所以这两人的购物金额在0.8～0.9万元的概率为1021.18.已知数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=L ，数列{}n b 首项为2，且满足()11n n nb n b +=+.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式（2）记集合()141,N n n n n M nb b b n a λ*+⎧⎫⎪⎪=≤+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，若集合M 的元素个数为2，求实数λ的取值范围.【答案】（1）13n n a =，*2,N n b n n =∈（2）2028(,99【解析】【分析】（1）根据题意，当2n ≥时，22123113333n n n a a a a ---++++= ，求得13n n a =，再由101n n b b n n +-=+，结合等差数列的定义，求得2n b n =，得到{}n b 的通项公式.（2）根据题意，转化为()()*121|,N 3n n n n M n n λ⎧⎫++=≤∈⎨⎬⎩⎭，记()()1213n n n n n P ++=，化简()()21112173n n n n n P P ++⎡⎤-+--⎣⎦-=，得出数列的单调性，结合题意，即可求解.【小问1详解】解：由211233333n n n a a a a -++++=L ，当2n ≥时，22123113333n n n a a a a ---++++= ，相减可得1113333n n n n a --=-=，故13n n a =，当1n =时，113a =也符合上式，所以*1,N 3n n a n =∈，又由()11n n nb n b +=+，可得101n n b b n n +-=+，所以数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为公差为0的等差数列，且首项为2，所以2n b n=，则*2,N n b n n =∈.【小问2详解】解：由*2,N n b n n =∈和()*141,n n n n M n b b b n a λ+⎧⎫⎪⎪=≤+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N ，可得()()*121|,N 3nn n n M n n λ⎧⎫++=≤∈⎨⎬⎩⎭，记()()1213n n n n n P ++=，则()()()1112233n n n n n P +++++=，所以()()21112173n n n n n P P ++⎡⎤-+--⎣⎦-=，当1n =时，210P P ->，当2n ≥时，234P P P >>> ，此时{}n P 单调递减，而()()()()3028202,12,3,4999P P P P ====，由于集合M 的元素个数为2，所以{}2,3M =，所以202899λ<≤，即实数λ的取值范围为2028(,99.19.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2b =，4c =.（1）若D 是边BC 的中点，且AD =cos B 的值；（2）若π3C B -=，求ABC 的面积.【答案】（1）78（2）【解析】【分析】（1）根据三角形的余弦定理结合已知条件即可；（2）利用三角形的正弦定理以及两角和的正弦公式和三角形面积公式即可.【小问1详解】如图所示：因为πADB ADC ∠+∠=，所以πADB ADC ∠=-∠，所以()cos cos πcos ADB ADC ADC ∠=-∠=-∠，所以cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，在ABD △中，由余弦定理的推论得：222cos 2AD BD AB ADB AD BD+-∠=⋅⋅，在ACD 中，由余弦定理的推论得：222cos 2AD CD AC ADC AD CD+-∠=⋅⋅，所以222222022AD BD AB AD CD AC AD BD AD CD+-+-+=⋅⋅⋅⋅因为D 是边BC 的中点，所以BD CD =，代入上式整理得：2222220AD BD AB AC +--=，因为4,2,A A AB c C b D =====，所以222222420BD +--=，解得：2BD =或2BD =-（舍去），所以24a BC BD ===，在ABC 中，由余弦定理的推论得：2222224427cos 22448a cb B ac +-+-===⨯⨯.【小问2详解】由π3C B -=，则π3C B =+，在ABC 中，由正弦定理得：sin sin b c B C=，因为2,4b c ==，所以24πsin sin 3B B =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以πsin 2sin 3B B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即13sin 2sin 22B B B +=，则cos B B =，若cos 0sin 0B B =⇒=，与22cos sin 1B B +=矛盾，所以cos 0B ≠，所以3tan 3B =，因为0πB <<且π2B ≠，所以π6B =，所以πππ632C =+=，所以ππ3A B C =--=，所以ABC 的面积为：11sin 24222ABC S bc A ==⨯⨯⨯=20.已知函数()ln f x ax x =-.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若存在0a >，使得()22a f xb ≥+对任意()0,x ∈+∞成立，求实数b 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）求导后分类讨论即可（2）承接第一问用导数求最值【小问1详解】由题()1,0f x a x x'=->.当0a ≤时，()()0,f x f x '<在()0,∞+上单调递减；当0a >时，由()0f x '=解得1x a =.所以，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>；所以，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；【小问2详解】由（1）知：当0a >时，min 1()1ln f x f a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭所以，存在0a >，使21ln 2a a b +≥+成立，即存在0a >，使21ln 2a ab +-≥成立令()21ln 2a g a a =+-，则()211a g a a a a-=-='所以，()g a 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()112g a g ≤=.所以b 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦21.已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点()0,B b 且与直线2BF 垂直的直线交x 轴负半轴于D ，且12220F F F D += .（1）若过B 、D 、2F 三点的圆恰好与直线:60l x --=相切，求椭圆Γ的方程；（2）设2a =.过椭圆Γ右焦点2F 且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆Γ交于P 、Q 两点，点M 是点P 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得M 、Q 、N 三点共线？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）2211612x y +=；（2）存在，(4,0)N .【解析】【分析】（1）设出焦点12,F F ，表示出点D ，再由垂直关系及切线方程求出,,a b c 即得.（2）由（1）中信息求出椭圆方程，设出直线l 的方程并与椭圆方程联立，求出直线MQ 的方程，结合韦达定理计算即得.【小问1详解】依题意，设12(,0),(,0)F c F c -，由12220F F F D += ，得1F 是线段2F D 的中点，则()3,0D c -，由直线BD 与2BF 垂直，得1212BF DF =，则1||2a BF c ===显然过B 、D 、2F 三点的圆的圆心为1(,0)F c -，半径为2r c =，由过B 、D 、2F 三点的圆恰好与直线:60l x -=相切，得2c =，解得2c =，有24a c ==，212b =，所以椭圆Γ的方程为2211612x y +=.【小问2详解】由（1）及2a =，得1,c b ==2(1,0)F ，椭圆Γ的方程为22143x y +=，设直线l 方程为1x ty =+，1122(,),(,)P x y Q x y ，则11(,)M x y -，由221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 并整理得22(43)690t y ty ++-=，223636(43)0t t ∆=++>，12122269,4343t y y y y t t --+==++，直线MQ 的方程为211112()x x x x y y y y --=++，令0y =得211112()x x y x x y y -=++2111111212x y x y x y x y y y -++=+211212x y x y y y +=+211212(1)(1)ty y ty y y y +++=+1212121212221ty y y y ty y y y y y ++==+++2(9)146t t⨯-=+=-，所以在x 轴上存在一个定点(4,0)N ，使得M 、Q 、N 三点共线.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin cos 203ρθρθ++=．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）过点)P 作直线l 的平行线交曲线C 于M ，N 两点（M 在x 轴上方），求11PM PN -的值．【答案】（1）24y x =，203++=x y ；（2）12【解析】【分析】（1）根据参数方程与普通方程的关系以及极坐标方程与直角坐标方程的互化关系求解；（2）利用直线参数方程的几何意义求解.【小问1详解】将22x t y t⎧=⎨=⎩中的参数t 消去，得曲线C 的普通方程为24y x =．将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入sin cos 203ρθρθ++=，得直线l 的直角坐标方程为3203++=x y ．【小问2详解】易知直线l的参数方程为212x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（m 为参数），代入24y x =，得20m +-，设M 对应的参数为1m ，N 对应的参数为2m ，则12m m +=-，12m m =-10m >，20m <，所以1212121211111112m m PM PN m m m m m m +-=-=+==．23.设函数()4f x x x a =+-，其中R a ∈.（1）当6a =时，求曲线()y f x =与直线480x y -+=围成的三角形的面积；（2）若a<0，且不等式()2f x <的解集是(,3)-∞-，求a 的值.【答案】（1）64（2）17-【解析】【分析】（1）由题知()56,636,6x x f x x x -≥⎧=⎨+<⎩，进而分别求解相应的交点，计算距离，再计算面积即可；（2）分x a ≥和x a <两种情况求解得()2f x <的解集为2{|}5a x x +<，进而结合题意求解即可.【小问1详解】解：根据题意，当6a =时，()56,64636,6x x f x x x x x -≥⎧=+-=⎨+<⎩，所以，()624f =，设(6,24)C ；直线480x y -+=与36y x =+交于点(2,0)A -，与直线56y x =-交于点(14,64)B ，且AB =点(6,24)C 到直线480x y -+=的距离d =，所以，要求图形的面积1642S AB d =⨯⨯=；【小问2详解】解：当x a ≥时，()5f x x a =-，()2f x <，即52x a -<，解可得25a x +<，此时有25a a x +≤<，当x a <时，()3f x x a =+，()2f x <，即32x a +<，解可得23a x -<，又由a<0，则23a a ->，此时有x a <，综合可得：不等式的解集为2{|}5a x x +<，因为不等式()2f x <的解集是(,3)-∞-所以，235a +=-，解可得17a =-；。

2021届四川省绵阳市高考数学二诊试卷(文科)(解析版)

2021年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x∈N|﹣1≤x≤1}，B＝{x|log2x＜1}，则A∩B＝（）A．[﹣1，1）B．（0，1）C．{﹣1，1} D．{1}2．已知直线l1：ax+2y+1＝0，直线l2：2x+ay+1＝0，若l1⊥l2，则a＝（）A．0 B．2 C．±2 D．43．已知平面向量＝（1，），＝（2，λ），其中λ＞0，若|﹣|＝2，则＝（）A．2 B．C．D．84．已知函数f（x）＝x3+sin x+2，若f（m）＝3，则f（﹣m）＝（）A．2 B．1 C．0 D．﹣15．已知cosα+sin（α﹣）＝0，则tanα＝（）A．﹣B．C．﹣D．6．已知曲线y＝e x（e为自然对数的底数）与x轴、y轴及直线x＝a（a＞0）围成的封闭图形的面积为e a﹣1．现采用随机模拟的方法向右图中矩形OABC内随机投入400个点，其中恰有255个点落在图中阴影部分内，若OA＝1，则由此次模拟实验可以估计出e的值约为（）A．2.718 B．2.737 C．2.759 D．2.7857．已知命题p：若数列{a n}和{b n}都是等差数列，则{ra n+sb n}（r，s∈R）也是等差数列；命题q：∀x∈（2kπ，2kπ+）（k∈Z），都有sin x＜cos x．则下列命题是真命题的是（）A．￢p∧q B．p∧q C．p∨q D．￢p∨q8．对全班45名同学的数学成绩进行统计，得到平均数为80，方差为25，现发现数据收集时有两个错误，其中一个95分记录成了75分，另一个60分记录成了80分．纠正数据后重新计算，得到平均数为，方差为s2，则（）A．＝80，s2＜25 B．＝80，s2＝25 C．＝80，s2＞25 D．＜80，s2＞259．已知圆x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0上，有且仅有三个点到直线ax﹣3y+3＝0（a∈R）的距离为1，则a＝（）A．±B．±C．±1 D．±10．若函数+2ax+3在x＝2处取得极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）B．（﹣∞，6）C．（6，+∞）D．（﹣6，+∞）11．已知正实数x，y满足ln＞lg，则（）A．2x＞2y B．sin x＞sin y C．lnx＜lny D．tan x＜tan y12．已知点F1，F2是双曲线E：的左、右焦点，点P为E左支上一点，△PF1F2的内切圆与x轴相切于点M，且，则a＝（）A．1 B．C．D．2二、填空题（共4小题）.13．复数z满足（1+i）•z＝1﹣i，则z＝．14．为加速推进科技城新区建设，需了解某科技公司的科研实力，现拟采用分层抽样的方式从A，B，C三个部门中抽取16名员工进行科研能力访谈．已知这三个部门共有64人，其中B部门24人，C部门32人，则从A部门中抽取的访谈人数．15．已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，若E上存在一点P使＝0，且|PF|＝|F1F2|，则E的离心率为．116．关于x的方程sin2x+2cos2x＝m在区间[0，π）上有两个实根x1，x2，若x1﹣x≥，则实数m的取值范围是．2三、解答题：共70分。

2020年四川省绵阳市高考数学二诊试卷(文科)

2020年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集U ＝{x|x >0}，M ＝{x|1<e x <e 2}，则∁U M ＝（） A.(1, 2) B.(2, +∞) C.(0, 1]∪[2, +∞) D.[2, +∞)2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足z ⋅i ＝1+2i ，则z 的共轭复数为（） A.2−i B.2+i C.l −2i D.i −23. 已知高一（1）班有学生45人，高一（2）班有50人，高一（3）班有55人，现在要用分层抽样的方法从这三个班中抽30人参加学校“遵纪守法好公民”知识测评，则高一（2）班被抽出的人数为（） A.10 B.12 C.13 D.154. 己知向量a →=(l, 2)，b →=(−l, x)，若a → // b →，则|b →|＝（） A.√52B.52C.√5D.55. 已知α为任意角，则“cos2α=13”是“sinα=√33”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要6. 已知M(−2, 0)，P 是圆N:x 2−4x +y 2−32＝0上一动点，线段MP 的垂直平分线交NP 于点Q ，则动点Q 的轨迹方程为（） A.x 29+y 25=1 B.x 25−y 29=1 C.x 25+y 29=1D.x 29−y 25=17. 己知某产品的销售额_y 与广告费用x 之间的关系如表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y 对x 的回归直线方程为y ＝6.5x +9，则下列说法中错误的是（）A.产品的销售额与广告费用成正相关B.该回归直线过点(2, 22)C.当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D.m 的值是208. 甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（）A.1 8B.14C.38D.129. 双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的右焦点为F，过F作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A，B两点，若四边形OAFB（O为坐标原点）的面积为bc，则双曲线的离心率为（）A.√2B.2C.√3D.310. 已知圆C:x2+y2−2x−8＝0，直线l经过点M(2, 2)，且将圆C及其内部区域分为两部分，则当这两部分的面积之差的绝对值最大时，直线l的方程为（）A.x−2y+2＝0B.2x+y−6＝0C.2x−y−2＝0D.x+2y−6＝011. 己知f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)＝xcosx−sinx+13x3，则满足不等式f(log2m)+f(log12m)<2f (1)的实数m的取值范围为（）A.( 12, 2) B.(0, 2)C.(0, 12)∪(1, 2) D.(2, +∞)12. 函数f(x)＝(2ax−1)2−log a(ax+2)在区间[0, 1a]上恰有一个零点，则实数a的取值范围是（）A.( 13, 12) B.(1, 2]∪[3, +∞)C.(1, 2)∪[3, +∞)D.[2, 3)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．直线l1:ax−(a+1)y−1＝0与直线4x−6y+3＝0平行，则实数a的值是________．某同学在最近的五次模拟考试中，其数学成绩的茎叶图如图所示，则该同学这五次数学成绩的方差是________．函数y＝sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π2)的图象如图所示，则f(x)在区间[−π, π]上的零点之和为________．过点M(−1, 0)的直线，与抛物线C:y2＝4x交于A，B两点（A在M，B之间），F是抛物线C的焦点，若S△MBF＝4S△MAF，则△ABF的面积为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查：该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间t（小时）的频率分布直方图如图所示：（1）求样本学生一个月阅读时间t的中位数m．（2）已知样本中阅读时间低于m的女生有30名，请根据题目信息完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关．2×2列联表附表：其中：K2=n(ad−bc)2．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)已知等差数列{a n}的公差d＝2，a3>0，且−3√3为a4与a7的等比中项．数列{b n}的通项公式为b n＝2a n+3．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）记c n＝a n+√b n(n∈N∗)，求数列c n的前n项和S n．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知(sinA+sinB)(a−b)＝c(sinC+sinB)．（1）求A；（2）若D为BC边上一点，且AD⊥BC，BC＝2√3AD，求sinB．已知椭圆C：$${\{}$\${dfrac\{\{x\}^{\wedge}\{2\}\}\{2\}\, + \, \{y\}}$^${\{2\}\, = }$ （1）},动直线{l}过定点{(2,\, 0)}且交椭圆{C}于{A},{B}两点({A},{A}不在{x}轴上).{(l)}若线段{AB}中点{Q}的纵坐标是{ - \dfrac{2}{3}},求直线{l}$的方程；（2）记A点关于x轴的对称点为M，若点N(n, 0)满足MN→=λNB→，求n的值．己知函数f(x)＝2lnx+12x2−ax，其中a∈R．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若a≥3，记函数f(x)有两个极值点x1，x2（其中x2>x1），求f(x2)−f(x I)的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题申任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为{x=1+rcosφy=rsinφ（r>0，φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1经过点P(2, π3)，曲线C2的直角坐标方程为x2−y2＝1．（1）求曲线C1的普通方程，曲线C2的极坐标方程；（2）若A(ρ1, α)，B(ρ2, α−π6)是曲线C2上两点，当α∈(0, π4)时，求1|OA|2+1|OB|2的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知关于x的不等式|x+1|−|2x−1|≤log12a，其中a>0．（1）当a＝4时，求不等式的解集；（2）若该不等式对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析2020年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

四川省高考数学二诊试卷文科含答案解析

2021年四川省广安市、遂宁市、内江市、眉山市高考数学二诊试卷〔文科〕一、选择题〔共12小题，每题5分，总分值60分〕1．i 为虚数单位，那么复数 =〔〕A ．+ i B ． ﹣ iC ．﹣+iD ．﹣ ﹣i2．集合A={x|x 2+4≤5x ，x ∈R}，B={y|y ＞2}，那么A ∩B=〔〕．〔2，+∞〕 B ．〔4，+∞〕 C ．〔2，4] D ．[2，4] 3．从某高中女学生中选取10名学生，根据其身高〔cm 〕、体重〔kg 〕数据，得到体重关于身高的回归方程﹣85，用来刻画回归效果的相关指数R 2，那么以下说法正确的选项是〔〕 A ．这些女学生的体重和身高具有非线性相关关系B ．这些女学生的体重差异有 60%是由身高引起的 C ．身高为170cm 的学生体重一定为 D ．这些女学生的身高每增加，其体重约增加1kg．等差数列 n }的前n 项和为S n ，假设S 10 ，那么 3+a 8 〔〕4{a =55 a=A ．5B ．C ．10D ．115．设a=〔〕，b=〔〕，c=ln ，那么a ，b ，c 的大小关系是〔〕A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．b ＞c ＞aD ．a ＞c ＞b6．执行如下图的程序框图，那么输出 b 的值为〔〕A ．2B ．4C ．8D ．167．将函数f 〔x 〕= sinx+cosx 的图象向右平移后得到函数 g 〔x 〕的图象，那么函数g〔x〕的图象的一条对称轴方程是〔〕A．x=B．x=C．x=﹣D．x=﹣8．假设圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，那么k 的值为〔〕A．﹣1B．﹣C．﹣D．﹣39．直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，CD=6，AD=5，点E在梯形内，那么∠AEB 为钝角的概率为〔〕A．B．C．D．10．某同学在运动场所发现一实心椅子，其三视图如下图〔俯视图是圆的一部分及该圆的两条互相垂直的半径，有关尺寸如图，单位：m〕，经了解，建造该3类椅子的平均本钱为240元/m，那么该椅子的建造本钱约为〔π≈〕〔〕A．元B．元C．元D．元11．某工厂拟生产甲、乙两种实销产品．每件甲产品的利润为万元，每件乙产品的利润为万元，两种产品都需要在A，B两种设备上加工，且加工一件甲、乙产品在A，B设备上所需工时〔单位：h〕分别如表所示．甲产品所需工时乙产品所需工时A设备23B设备41假设A设备每月的工时限额为400h，B设备每月的工时限额为300h，那么该厂每月生产甲、乙两种产品可获得的最大利润为〔〕A．40万元B．45万元C．50万元D．55万元12．假设函数g〔x〕满足g〔g〔x〕〕=n〔n∈N〕有n+3个解，那么称函数g〔x〕为“复合n3〞f〔x〕=〔其中e是自然对数的底数，+解函数．函数，k∈R〕，且函数f〔x〕为“复合5解〞函数，那么k的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，0〕B．〔﹣e，e〕C．〔﹣1，1〕D．〔0，∞〕+二、填空题〔共4小题，每题5分，总分值20分〕13．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，假设BC=6，CD=5，那么?=．．假设等比数列n}的公比为2，且a3﹣a1，那么+++=．14{a=615．有以下四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的命题有〔填写所有正确命题的编号〕．16．设抛物线C：y2=2x的焦点为F，点A在C上，假设|AF|=，以线段AF为直径的圆经过点B〔0，m〕，那么m=．三、解答题〔共5小题，总分值60分〕17．在△ABC中，设内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sin〔A﹣〕﹣cos〔A+〕=．1〕求角A的大小；2〕假设a=，sin2B+cos2C=1，求b，c．18．某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书的等待时间进行调查，得到下表：甲图书馆借书等待12345时间T1〔分钟〕频数150010005005001500乙图书馆借书等待12345时间T2〔分钟〕频数100050020001250250 1〕分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间；2〕以表中等待时间的学生人数的频率为概率，假设某同学希望借书等待时间不超过3分钟，请问在哪个图书馆借更能满足他的要求？19．如下图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．〔1〕当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由；〔2〕当D、E分别为线段VA、VC上的中点，且BC=1，CA=，VC=2时，求三棱锥A﹣BDE的体积．20．椭圆+ =1〔a＞b＞0〕过点P〔2，1〕，且离心率为．〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕设直线l与x轴不垂直，与椭圆相交于不同于P的两点A，B，直线PA，PB分别交y轴于M，N，假设=〔其中O为坐标原点〕，直线l是否过定点？假设不过定点，说明理由，假设过定点，求出定点的坐标．21．函数f〔x〕=lnx﹣2ax〔其中a∈R〕．〔Ⅰ〕假设函数f〔x〕的图象在x=1处的切线平行于直线x+y﹣2=0，求函数f〔x〕的最大值；〔Ⅱ〕设g〔x〕=f〔x〕+x2，且函数g〔x〕有极大值点x0，求证：x0f〔x0〕+1+ax02＞0．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分4-4：坐标系与参数方程].选修[（22．在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为〔θ为参数〕，设E的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．1〕求直线l的极坐标方程；2〕设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，P是l上异于原点O的点，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=|x+a|﹣2a，其中a∈R．1〕当a=﹣2时，求不等式f〔x〕≤2x+1的解集；2〕假设x∈R，不等式f〔x〕≤|x+1|恒成立，求a的取值范围．2021年四川省广安市、遂宁市、内江市、眉山市高考数学二诊试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题〔共12小题，每题5分，总分值60分〕1．i为虚数单位，那么复=〔〕数A．+ i B．﹣i C．﹣+iD．﹣﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=．应选：B．2．集合A={x|x2+4≤5x，x∈R}，B={y|y＞2}，那么A∩B=〔〕A．〔2，+∞〕B．〔4，+∞〕C．〔2，4] D．[2，4]【考点】交集及其运算．【分析】通过二次不等式求出集合A，然后求解交集．【解答】解：∵集合A={x|x2+4≤5x，x∈R}={x|1≤x≤4}，B={y|y＞2}，A∩B={x|2＜x≤4}=〔2，4]．应选C．3．从某高中女学生中选取10名学生，根据其身高〔cm〕、体重〔kg〕数据，得到体重关于身高的回归方程﹣85，用来刻画回归效果的相关指数R2，那么以下说法正确的选项是〔〕A．这些女学生的体重和身高具有非线性相关关系B．这些女学生的体重差异有60%是由身高引起的C．身高为170cm的学生体重一定为D．这些女学生的身高每增加，其体重约增加1kg【考点】线性回归方程．【分析】根据回归方程﹣85，且刻画回归效果的相关指数R2，判断这些女学生的体重和身高具有线性相关关系，这些女学生的体重差异有60%是由身高引起，计算x=170时的即可预测结果，计算身高每增加时体重约增加×．【解答】解：根据回归方程﹣85，且刻画回归效果的相关指数R2，所以，这些女学生的体重和身高具有线性相关关系，A错误；这些女学生的体重差异有60%是由身高引起，B正确；x=170时，×170﹣，预测身高为170cm的学生体重为，C错误；这些女学生的身高每增加，其体重约增加×，D错误．应选：B．．等差数列n}的前n项和为S n，假设S10，那么3+a8〔〕4{a=55a=A．5 B．C．10 D．11【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列前n项和公式得到S10=5〔a3+a8〕，由此能求出a3+a8的值．【解答】解：∵等差数列{a n的前n项和为S n，S10}=55，∴S10=〔3+a8〕=55，==5a解得a3+a8．=11应选：D．5．设a=〔〕，b=〔〕，c=ln，那么a，b，c的大小关系是〔〕A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．b＞c＞aD．a＞c＞b【考点】对数值大小的比拟．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵0＜a=〔〕＜b=〔〕=，c=ln＜ln1=0，b＞a＞c．应选：B．6．执行如下图的程序框图，那么输出b的值为〔〕A．2 B．4 C．8 D．16【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果．【解答】解：第一次循环，a=1≤3，b=2，a=2，第二次循环，a=2≤3，b=4，a=3，第三次循环，a=3≤3，b=16，a=4，第四次循环，a=4＞3，输出b=16，应选：D．7．将函数f〔x〕= sinx+cosx的图象向右平移后得到函数g〔x〕的图象，那么函数g〔x〕的图象的一条对称轴方程是〔〕A．x=B．x=C．x=﹣D．x=﹣【考点】函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．【分析】将函数化简，通过向右平移后得到函数g〔x〕的图象，根据正弦函数的对称轴方程即可求解．【解答】解：函数f〔x〕= sinx+cosx=2sin〔x+〕，图象向右平移后得：2sin〔x﹣+〕=2sin〔x﹣〕=g〔x〕，由x﹣=k，k∈Z，可得：x=k，当k=﹣1时，可得一条对称轴方程为x=．应选D．8．假设圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，那么k的值为〔〕A．﹣1B．﹣C．﹣D．﹣3【考点】直线和圆的方程的应用；过两条直线交点的直线系方程．【分析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程求解即可．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x+4y=0的圆心〔1，﹣2〕，假设圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，可知直线经过圆的圆心，可得﹣2=k﹣1，解得k=﹣1．应选：A．9．直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，CD=6，AD=5，点E在梯形内，那么∠AEB 为钝角的概率为〔〕A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】此题为几何概型，由题意以AB为直径半圆内的区域为满足∠AEB为钝角的区域，分别找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积，作比值即可．【解答】解：以AB为直径半圆内的区域为满足∠AEB为钝角的区域，AB=4，故半圆的面积是2π，梯形ABCD的面积是25，∴满足∠AEB为钝角的概率为p=．应选：A．10．某同学在运动场所发现一实心椅子，其三视图如下图〔俯视图是圆的一部分及该圆的两条互相垂直的半径，有关尺寸如图，单位：m〕，经了解，建造该3类椅子的平均本钱为240元/m，那么该椅子的建造本钱约为〔π≈〕〔〕A．元B．元C．元【考点】由三视图求面积、体积．D．元【分析】由三视图可知：该几何体为圆柱的．【解答】解：由三视图可知：该几何体为圆柱的．∴体积V=．∴该椅子的建造本钱约为=×240≈元．应选：C．11．某工厂拟生产甲、乙两种实销产品．每件甲产品的利润为万元，每件乙产品的利润为万元，两种产品都需要在A，B两种设备上加工，且加工一件甲、乙产品在A，B设备上所需工时〔单位：h〕分别如表所示．甲产品所需工时乙产品所需工时A设备B设备2 43 1假设A设备每月的工时限额为400h，B设备每月的工时限额为300h，那么该厂每月生产甲、乙两种产品可获得的最大利润为〔〕A．40万元B．45万元C．50万元D．55万元【考点】简单线性规划的应用．【分析】先设甲、乙两种产品月产量分别为x、y件，写出约束条件、目标函数，欲求生产收入最大值，即求可行域中的最优解，将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z与直线截距的关系，进而求出最优解．【解答】C解：设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，约束条件是目标函数是由约束条件画出可行域，如下图的阴影局部由，结合图象可知，在A处取得最大值，由可得A〔50，100〕，此时××100=50万元，应选：C．12．假设函数g〔x〕满足g〔g〔x〕〕=n〔n∈N〕有n+3个解，那么称函数g〔x〕为“复合n3〞f〔x〕=〔其中e是自然对数的底数，+解函数．函数，k∈R〕，且函数f〔x〕为“复合5解〞函数，那么k的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，0〕B．〔﹣e，e〕C．〔﹣1，1〕D．〔0，∞〕+【考点】分段函数的应用．【分析】由题意可得f〔f〔x〕〕=2，有5个解，设t=f〔x〕，f〔t〕=2，当x＞0时，利用导数求出函数的最值，得到f〔t〕=2在1，∞〕有2个解，[+，当x＜0时，根据函数恒过点〔0，3〕，分类讨论，即可求出当k＞0时，f〔t〕=2时有3个解，问题得以解决．【解答】解：函数f〔x〕为“复合5解“，∴f〔f〔x〕〕=2，有5个解，设t=f〔x〕，∴f〔t〕=2，∵当x＞0时，f〔x〕= =，∴f〔x〕=，当0＜x＜1时，f′〔x〕＜0，函数f〔x〕单调递减，当x＞1时，f′〔x〕＞0，函数f〔x〕单调递增，∴f〔x〕min=f〔1〕=1，∴t≥1，∴f〔t〕=2在[1，+∞〕有2个解，当x≤0时，f〔x〕=kx+3，函数f〔x〕恒过点〔0，3〕，当k≤0时，f〔x〕≥f〔0〕=3，t≥3f〔3〕=＞2，∴f〔t〕=2在[3，+∞〕上无解，当k＞0时，f〔x〕≤f〔0〕=3，∴f〔t〕=2，在〔0，3]上有2个解，在〔∞，0]上有1个解，综上所述f〔f〔x〕〕=2在k＞0时，有5个解，应选：D二、填空题〔共4小题，每题5分，总分值20分〕13．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，假设BC=6，CD=5，那么? = 32．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得AD=BD=5，即AB=10，再由勾股定理可得AC，再由向量数量积的定义，计算即可得到所求值．【解答】解：在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，假设BC=6，CD=5，可得AD=BD=5，即AB=10，由勾股定理可得AC==8，那么? =| |?| |?cosA=5×8×=32．故答案为：32．n}的公比为2，且a3﹣a1，那么+﹣．14．假设等比数列{a=6++=1【考点】数列的求和．【分析】等比数列{a n2a3﹣a11221=6a1}的公比为，且=6，可得a〔﹣〕，解得．可∴得a n=2n．再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=6，a1〔22﹣1〕=6，解得a1=2．a n=2n．那么+ + + =+ + ==1﹣．故答案为：1﹣．15．有以下四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的命题有②④〔填写所有正确命题的编号〕．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用正方体中的线面、面面、线线位置关系进行判定．，【解答】解：如图在正方体ABCD﹣A′B′C′中D，′对于①，AB⊥BB′，BC⊥BB′，AB、BC不平行，故错；对于②，两底面垂直于同一条侧棱，两个底面平面平行，故正确；对于③，相邻两个侧面同垂直底面，这两个平面不平行，故错；对于④，平行的侧棱垂直底面，侧棱平行，故正确．故答案为：②④16．设抛物线C：y2=2x的焦点为F，点A在C上，假设|AF|=，以线段AF为直径的圆经过点B〔0，m〕，那么m= 1或﹣1．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的焦点弦公式，求得A点坐标，分类，分别求得线段AF为直径的圆的圆心与直径，利用两点之间的距离公式即可求得m的值．【解答】解：抛物线C：y2=2x的焦点为F〔，0〕，设A〔x，y〕，由抛物线的焦点弦公式可知：|AF|=x+=x+=，那么x=2，那么y=±2，那么A〔2，2〕或A〔2，﹣2〕，当A点坐标〔2，2〕，以线段AF为直径的圆圆心M〔，1〕，半径为，经过点B〔0，m〕，那么丨BM丨=，即=，解得：m=1，同理A点坐标〔2，﹣2〕，以线段AF为直径的圆圆心M〔，﹣1〕，半径为，经过点B〔0，m〕，那么丨BM丨=，=，解得：m=﹣1，故m为1或﹣1，故答案为：1或﹣1．三、解答题〔共5小题，总分值60分〕17．在△ABC中，设内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sin〔A﹣〕﹣cos〔A+〕=．1〕求角A的大小；2〕假设a=，sin2B+cos2C=1，求b，c．【考点】余弦定理．【分析】〔1〕由诱导公式、两角差的正弦、余弦函数化简的等式，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角A的大小；2〕由二倍角余弦公式的变形化简sin2B+cos2C=1，由正弦定理化简后，由条件和余弦定理列出方程求出b，c的值．【解答】解：〔1〕因为sin〔A﹣〕﹣cos〔A+〕=，所以sin〔A﹣〕﹣cos〔A﹣〕=，那么sinA﹣cosA﹣〔cosA+ sinA〕=，化简得cosA=，又0＜A＜π，那么A=；2〕因为sin2B+cos2C=1，所以sin2B+1﹣2sin2C=1，即sin2B=2sin2C，由正弦定理得，b2=2c2，那么b=c，又a=，由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA，那么5=2c2c2﹣2c2×，解得c=1，+那么b=c=．18．某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书的等待时间进行调查，得到下表：甲图书馆借书等待12345时间T1〔分钟〕频数150010005005001500乙图书馆借书等待12345时间T2〔分钟〕频数100050020001250250 1〕分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间；2〕以表中等待时间的学生人数的频率为概率，假设某同学希望借书等待时间不超过3分钟，请问在哪个图书馆借更能满足他的要求？【考点】众数、中位数、平均数．【分析】〔1〕分别求出T1和T2的平均数，判断结论即可；〔2〕设事件A为：“在甲图书馆借书的等待时间不超过3分钟〞，设事件B为“在乙图书馆借书的等待时间不超过3分钟〞，分别求出P〔A〕和P〔B〕，比拟即可．【解答】解：〔1〕由题意得：T1的平均数为：=，同理，可得T2的平均数为：=，故，甲图书馆借书的平均等待时间是分钟，乙图书馆借书的平均等待时间是分钟；〔2〕设事件A为：“在甲图书馆借书的等待时间不超过3分钟〞，那么P〔A〕=P〔T1≤3〕=P〔T1=1〕P〔T1=2〕P〔T1=3〕=++；++设事件B为“在乙图书馆借书的等待时间不超过3分钟〞，那么P〔B〕=P〔T2≤3〕=P〔T2=1〕P〔T2=2〕P〔T2=3〕=++，++故P〔B〕＞P〔A〕，由上可知，在乙图书馆借书的总等待时间不超过3分钟的概率更高一些，故在乙图书馆借更能满足该同学的要求．19．如下图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．〔1〕当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由；〔2〕当D、E分别为线段VA、VC上的中点，且BC=1，CA=，VC=2时，求三棱锥A﹣BDE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】〔1〕当DE⊥平面VBC时，DE⊥VC，推导出VC⊥AC，从而DE∥AC，由此能证明直线DE∥平面ABC．〔2〕三棱锥A﹣BDE的体积为V A﹣BDE=V B﹣ADE，由此能求出三棱锥A﹣BDE的体积．【解答】解：〔1〕直线DE∥平面ABC．证明如下：VC?平面VBC，∴当DE⊥平面VBC，DE⊥VC，AC?平面ABC，VC⊥平面ABC，∴VC⊥AC，VC，DE，AC?平面VAC，∴DE∥AC，AC?平面ABC，DE?平面ABC，∴直线DE∥平面ABC．2〕VC⊥平面ABC，∴VC⊥BC，又BC⊥AC，在平面VAC内，VC∩AC=C，∴BC⊥平面VCA，∴三棱锥A﹣BDE的体积为V A﹣BDE=V B﹣ADE=，∵D，E分别是VA，VC上的中点，∴DE∥AC，且DE=AC=，∴DE⊥VC，S△ADE△CDE==，=S∴三棱锥A﹣BDE的体积V A﹣BDE=V B﹣ADE===．20．椭圆+ =1〔a＞b＞0〕过点P〔2，1〕，且离心率为．〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕设直线l与x轴不垂直，与椭圆相交于不同于P的两点A，B，直线PA，PB分别交y轴于M，N，假设=〔其中O为坐标原点〕，直线l是否过定点？假设不过定点，说明理由，假设过定点，求出定点的坐标．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】〔Ⅰ〕由可得，解得a2，b2．〔Ⅱ〕设直线AB的方程：y=kx+t，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕．由，可得〔4k2+1〕x2+8ktx+〔4t2﹣8〕=0．△=16〔8k2﹣t2+2〕＞0，．写出直线PA、的方程，求出M、N坐标，由 =得〔2﹣4k〕x1x2﹣〔2﹣4k+2t〕x1+x2〕+8t=0．把①代入②化简得〔t+2〕〔2k+t﹣1〕=0．得t．【解答】解：〔Ⅰ〕由可得，解得a2=8，b2=2．∴椭圆的方程为：〔Ⅱ〕设直线AB的方程：．y=kx+t，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕．由，可得〔4k21〕x28ktx〔4t2﹣8〕=0．+++△=16〔8k2﹣t22〕＞0，①+直线PA的方程，∴M〔0，〕同理N〔0，〕．由=得，〔2﹣4k〕x1x2﹣〔2﹣4k+2t〕〔x1+x2〕+8t=0②把①代入②化简得〔t+2〕〔2k+t﹣1〕=0．因为直线不过点P，∴2k+t﹣1≠0，∴t=﹣2故直线l是否过定点Q〔0，﹣2〕21．函数f〔x〕=lnx﹣2ax〔其中a∈R〕．〔Ⅰ〕假设函数f〔x〕的图象在x=1处的切线平行于直线x+y﹣2=0，求函数f〔x〕的最大值；〔Ⅱ〕设g〔x〕=f〔x〕+x2，且函数g〔x〕有极大值点x0，求证：x0f〔x0〕+1+ax020．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】〔I〕令f′〔1〕=﹣1解出a，得出f〔x〕的解析式，在利用导数判断fx〕的单调性，得出最值；II〕令g′〔x〕=0有解且x0为g〔x〕的极大值点可得出a与x0的关系和x0的范围，令h〔x〕=xf 〔x〕+1+ax2，判断h〔x〕的单调性即可得出结论．【解答】解：〔I〕f′〔x〕=﹣2a，f〔x〕的图象在x=1处的切线平行于直线x+y﹣2=0，∴f′〔1〕=1﹣2a=﹣1，即a=1．∴f〔x〕=lnx﹣2x，f′〔x〕=，令f′〔x〕=0得x=，当0时，f′〔x〕＞0，当x时，f′〔x〕＜0，f〔x〕在〔0，]上单调递增，在〔，+∞〕上单调递减，f〔x〕的最大值为f〔〕=﹣1﹣ln2．〔II〕g〔x〕=lnx﹣2ax x2，g′〔x〕=x+﹣2a=，+令g′〔x〕=0得x2﹣2ax+1=0，①当△=4a2﹣4≤0即﹣1≤a≤1时，x2﹣2ax+1≥0恒成立，即g′〔x〕≥0，g〔x〕在〔0，+∞〕单调递增，∴g〔x〕无极值点，不符合题意；②当△=4a2﹣4＞0时，方程g′〔x〕=0有两解x1，x0，∵x0是g〔x〕的极大值点，∴0＜x0＜x1，又x1x0=1，∴x1+x2=2a＞0，∴a＞1，0＜x0＜1．又g′〔x0〕=x0+﹣2a=0，∴a=．∴x0f〔x0〕+1+ax02=x0lnx0﹣，设h〔x〕=xlnx﹣，那么h′〔x〕=﹣x2++lnx，h″〔x〕=﹣3x+=，∴当0＜x＜时，h″〔x〕＞0，当x时，h″〔x〕＜0，h′〔x〕在〔0，〕上单调递增，在〔，+∞〕上单调递减，h′〔x〕≤h′〔〕=ln＜0，h〔x〕在〔0，1〕上单调递减，∴h〔x0〕＞h〔1〕=0，即x0lnx0﹣＞0，x0f〔x0〕+1+ax02＞0．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为〔θ为参数〕，设E的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．1〕求直线l的极坐标方程；2〕设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，P是l上异于原点O的点，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】〔1〕由双曲线E的参数方程求出双曲线E的普通方程为．从而求出直线l在直角坐标系中的方程，由此能求出l的极坐标方程．〔2〕由题意A、O、F、P四点共圆等价于P是点A，O，F确定的圆〔记为圆C，C为圆心〕与直线l的交点〔异于原点O〕，线段AF为圆C的直径，A是过F与l垂直的直线与y轴的交点，从而C的半径为2，圆心的极坐标为〔2，〕，由此能求出点P的极坐标．【解答】解：〔1〕∵双曲线E的参数方程为〔θ为参数〕，∴，，∴==1，∴双曲线E的普通方程为．∴直线l在直角坐标系中的方程为y=，其过原点，倾斜角为，∴l的极坐标方程为．〔2〕由题意A、O、F、P四点共圆等价于P是点A，O，F确定的圆〔记为圆C，C为圆心〕与直线l的交点〔异于原点O〕，AO⊥OF，∴线段AF为圆C的直径，由〔Ⅰ〕知，|OF|=2，又A是过F与l垂直的直线与y轴的交点，∴∠AFO=，|AF|=4，于是圆C的半径为2，圆心的极坐标为〔2，〕，∴圆C的极坐标方程为，此时，点P的极坐标为〔4cos〔〕，〕，即〔2，〕．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=|x+a|﹣2a，其中a∈R．1〕当a=﹣2时，求不等式f〔x〕≤2x+1的解集；2〕假设x∈R，不等式f〔x〕≤|x+1|恒成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】〔1〕当a=﹣2时，分类讨论，即可求不等式f〔x〕≤2x+1的解集；2〕假设x∈R，不等式f〔x〕≤|x+1|恒成立，|a+a|﹣|x+1|≤2a恒成立，求出左边的最大值，即可求a的取值范围．【解答】解：〔1〕当a=﹣2时，不等式f〔x〕≤2x+1为|x﹣2|﹣2x+3≤0．x≥2时，不等式化为x﹣2﹣2x+3≤0，即x≥1，∴x≥2；x＜2时，不等式化为﹣x+2﹣2x+3≤0，即x≥，∴≤x≤2，综上所述，不等式的解集为{x|x≥}；2〕x∈R，不等式f〔x〕≤|x+1|恒成立，即|a+a|﹣|x+1|≤2a恒成立，∵|a+a|﹣|x+1|≤|a﹣1|，∴|a﹣1|≤2a，∴．2021年4月5日。

2024届绵阳二诊试题及答案、数学文

绵阳市高中2021级第二次诊断性考试文科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BACDC BACAD AB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．721014．12-15．1216．0y ±=三、解答题：本大题共6小题，共70分．（2）111111()(23)(25)22325n n a a n n n n +==-++++，······························8分∴1111111(...)257792325n T n n =-+-++-++·················································10分11=104101025n n n =-++．······················································12分18．解：（1）22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，···········································2分2100(20203030)=4>3.84160405050⨯-⨯=⨯⨯⨯······················································4分故有95%的把握认为喜欢旅游与性别有关；········································5分（2）按分层抽样喜欢旅游的男性为2人，记为A 1，A 2，女性为3人，记为B 1，B 2，B 3，····························································································6分随机抽取2人的事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，····················8分不同性别的事件为：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，···10分故两人是不同性别的概率63==105P ．···············································12分19．解：（1）∵43sin BA BC bc A⋅=⋅ ∴4cos 3sin a B b A ⋅=⋅··································································2分∴4sin cos 3sin sin A B B A =，····················································3分∴4tan 3B =，则3cos 5B =，·························································4分又∵424BA BC c ⋅= ，∴4cos 24ac B c =，·····································································5分∴cos 6a B =，∴65610cos 3a B ==⨯=；·····························································6分（2）由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-⋅，··································7分∴2210012b c c =+-，·································································8分又48a b c ++=，则38b c +=，····················································9分∴22(38)10012c c c -=+-，·······················································10分∴21c =，·················································································11分∴114102184225ABC S ac sinB =⋅=⨯⨯⨯=．··································12分20．解：（1）设),(11y x A ，),(22y x B ，联立⎩⎨⎧=-=py x kx y 222，消y 整理得：0422=+-p pkx x ，························2分所以：pk x x 221=+，p x x 421=，·················································3分22112211)22()22(22x p kx x p kx x p y x p y k k FB F A +-++-=-+-=212121))(22(2x x x x p x kx ++-=041()22(22=-=+-=p k p k k ，·············································4分∴4=p ，即抛物线E 的方程为：y x 82=；·····································5分（2）由（1）可知：k x x 821=+，1621=x x ···················································6分且064642>-=∆k ，所以：12>k ，184)(||22122121-=-+=-k x x x x x x ，······································7分直线FA 的方程为：2211+-=x x y y ，所以：11114424kx x y x x M -=-=，····8分同理：22224424kx x y x x N -=-=，所以|4444|||||2211kx x kx x x x MN N M ---=-=······················································9分|)(416)(16|2122121x x k x x k x x ++--=···································································10分1618|1|18222≥-=--=k k k ······································································11分解得：125-<≤-k 或251≤<k ．·············································12分21．解：（1）2cos )3(2x a x x f '-+=，····················································1分∴2cos (0035)f '=+=，···································································2分切线斜率为5，················································································3分曲线()f x 在x =0处的切线方程为y =5x ．···············································4分（2）解法一：①当[]0,x π∈时'()2cos 23f x x ax =-+，····················5分若0a <时，2cos 23x ax >-恒成立，若0a ≥时'()f x 在[]0,π上单调递减．················································6分∴''()()2230f x f a ππ≥=--+≥，则102a π≤≤，···························7分综上：12a π≤；··············································································8分②当,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时若0a ≥时，2cos 23x ax >-恒成立，∴'()0f x ≥恒成立，········································································9分若0a <时'()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．∴''()()302f x f a ππ≥-=+≥，则30a π-≤<，······························10分∴3a π≥-，··················································································11分综上所述：312a ππ-≤≤．·································································12分解法二：由（1）可知23=5>0(0)f +'=，∴()f x 在[]2ππ-，上必是单调递增函数，···············································5分令2cos )3(2x a x x f '-+=，则()302≥a f ππ'-=+，()120f a ππ'=-≥，··············································6分∴312a ππ-≤为()f x 在[]2ππ-上是增函数成立的必要条件，···················7分令2cos )3(2x a x x f '-+=，下证：当312a ππ-≤≤时，()≥0f x '对任意[]2，x ππ∈-恒成立，···················8分①当102a π≤≤时，[]2x ππ∈-，则11[42，ax ∈-，12[1]2，ax -∈-，∴2cos 2312(0)≥≥x ax a f x x -+-'=；·····················································9分②当30a π-<≤时，[0]，x π∈，20ax ->，很显然()2cos 30f x x '>+>；[0]2，x π∈-，()f x '为增函数，()()302≥≥≥f x f a ππ''-+；·························10分∴当312a ππ-≤≤时，()≥0g x 对任意[]2，x ππ∈-恒成立，·························11分∴312a ππ-≤，使得()f x 在[]2，ππ-上是单调函数．·····························12分22．（1）由题意：11)2()32222=+-=+t t y x （，且0132≥-=t x ，··················2分∴曲线C 的普通方程为：)0(14922≥=+x y x ·························································3分∴曲线C 的极坐标方程为14sin 9cos 2222=+θρθρ（22πθπ≤≤-），即θρ22sin 5436+=（22πθπ≤≤-）；··················································5分（2）由（1）得θρ22sin 5436+=，因为且OA ⊥OB ，不妨设)(1θρ，A ，)2(2πθρ+，B ，·····························6分∴θρ221sin 5436+=，······································································7分∴2222)2(sin 5436πθρ++==θ2cos 5436+，··········································8分∴2211OB OA +222211ρρ+=····················································································9分36cos 54sin 5422θθ+++=3658+=3613=．·········································10分23．（1）证明：因为))(11(22by ax b a ++2222y aby b ax x +++=a by b ax y x 22222⋅++≥222)(2y x xy y x +=++=，············3分∴()ba by ax y x 11222+≤++，·······································································4分当且仅当aby b ax 22=，即by ax =时，等号成立；·····································5分（2）函数245144)(22++++=x x x x x f 245)12(22+++=x x x []222)1(23)1(+⋅+⋅++=x x x x ·························7分根据（1）的结论，[]652131)1(23)1(222=+≤+⋅+⋅++x x x x ，··································8分当且仅当)1(23+=x x ，即2=x 时，等号成立．·····································9分∴函数)0(245144)(22>++++=x x x x x x f 的最大值为65，此时x =2．·····················10分。

四川省绵阳市2017届高三第二次诊断性测试-数学(文).doc

绵阳市高中2014级第二次诊断性考试数学（文史类）第I 卷一、选择题（本大题共 12个小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）A .B .2C .2,3D .{x|2 x 3}2、若复数 z 满足(1 i)zi （i 是虚数单位），则z 的虚部为111.1 . A. — BCi D . i 222 21、已知集合A {X Z|x 2}, B {1,2,3}，则 Al BA . 4 m 5B . 2 m 5C . m 2D . m 43、某校共有在职教师200人，其中高级教师 20人，中级教师100人，初级教师80人，现采用分层抽样50的样本进行职称改革调研, 则抽取的初级教师的人数为A . 25B . 20C 12D • 54、“ a 0 ”是 11 : ax 1 0与直线12 : Xay 10垂直的A .充分不必要条件 •必要不充分条件充要条件 D .既不充分也不必要条5、袋子中装有形状和大小完全相同的五个小球, 每个小球上分别标有 “1” “ 2” “ 3” “ 4” “ 6 ”这五个数, 现从中随机选则所选的三个小球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是3A.—1010206、已知函数f4x 3在区间1,2上是增函数，则实数 m 的取值范围7、若x, y满足约束条件x yx y 4 0则x2y24x的最大值为A. 20 B . 16 C . 14 D . 68、宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍, 松竹何日而长等，右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a,b分别为5,2，则输出的n等于A. 2 B . 3 C . 4 D . 59、若点P(2,1)的直线丨与函数f x2x 3的图象交2x 4uuu于A、B两点，O为坐标原点，贝y (OA uur OB)UJUOPA . ,5B 2.5 .1010、右图是函数cos( x )(0 2)的部分图象, 则f(3x0)11、已知点P(2,2x在椭圆C : —2a1(a b 0)上,过点P作圆O : x切线，切点为A、B,若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F,则 2b的值是A . 13B . 14C . 15D . 1612、已知f x ln x，若f t S，则s t取得最小值时, 所在的区间是A . (l n2,1)1 1 1B.(严C .窪)D . Pg)e 2、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

四川省绵阳市高中高三数学第二次诊断性考试文

绵阳市高中第二次诊断性考试数学（文科）本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卷共4页．全卷满分150分．考试结束后将答题卡和答题卷一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A + B ）= P （A ）+ P （B ）；如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）；如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：k n k knn P P C k P --⋅⋅=)1()(．一、选择题：本大题共12个小题，每个小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上．1．设集合I = { x ︱︱x －2︱≤2，x ∈N * }，P = { 1，2，3 }，Q = { 2，3，4 }，则 I （P ∩Q ）=A ．{ 1，4 }B ．{ 2，3 }C ．{ 1 }D ．{ 4 } 2．若向量a 、b 、c 满足 a + b + c = 0，则a 、b 、cA ．一定能构成一个三角形B ．一定不能构成一个三角形C ．都是非零向量时一定能构成一个三角形D ．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形 3．将直线x －3y －2 = 0绕其上一点逆时针方向旋转60︒得直线l ，则直线l 的斜率为A ．33 B ．3 C ．不存在 D ．不确定4．已知f (x ) = sin (x +2π)，g (x ) = cos (x －2π)，则下列命题中正确的是 A ．函数y = f (x ) · g (x ) 的最小正周期为2πB ．函数y = f (x ) · g (x ) 是偶函数C ．函数y = f (x ) + g (x ) 的最小值为－1D ．函数y = f (x ) + g (x ) 的一个单调增区间是]4,43[ππ-5．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数y = cos 2x 的图象A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度6．直线4x －3y －12 = 0与x 、y 轴的交点分别为A 、B ，O 为坐标原点，则△AOB 内切圆的方程为 A ．（x －1）2 +（y + 1）2 = 1 B ．（x －1）2 +（y －1）2 = 1C ．（x －1）2 +（y + 1）2 =2D ．（x －1）2 +（y + 1）2 = 27．设双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的焦点是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0）（c ＞0），两条准线间的距离等于c ，则双曲线的离心率e 等于A ．2B ．3C ．2D ．38．已知焦点（设为F 1，F 2）在x 轴上的双曲线上有一点P (x 0，23)，直线x y 3= 是双曲线的一条渐近线，当021=⋅PF 时，该双曲线的一个顶点坐标是 A ．（2，0） B ．（3，0） C ．（2，0） D ．（1，0） 9．若不等式︱x －a ︱－︱x ︱＜ 2－a 2 当x ∈R 时总成立，则实数a 的取值范围是 A ．（－2，2） B ．（－2，1） C ．（－1，1） D ．（－∞，－1）∪（1，+∞）10．若抛物线y 2 = x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，焦点为F ，O 是坐标原点，则△POF 的面积等于A ．162B ．322C ．161D ．32111．已知等腰三角形的面积为23，顶角的正弦值是底角正弦值的3倍，则该三角形一腰的长为A ．2B ．3 C ．2D ．612．设函数f （x ）的定义域为A ，若存在非零实数t ，使得对于任意x ∈C （C ⊆ A ），有x + t ∈A ，且f （x + t ）≤ f （x ），则称f （x ）为C 上的t 低调函数．如果定义域为 [ 0，+∞)的函数f （x ）=－︱x －m 2︱+ m 2，且 f （x ）为 [ 0，+∞)上的10低调函数，那么实数m 的取值范围是A ．[－5，5 ]B ．[－5，5]C ．[－10，10]D ．]25,25[-第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：答第Ⅱ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用钢笔或圆珠笔（蓝、黑色）写在答题卷密封线内相应的位置．答案写在答题卷上，请不要答在试题卷上．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13．不等式13>x的解是． 14．已知函数f （x ）= sin x －cos (6-πx )，x ∈[ 0，2π)，则满足f （x ）＞0的x 值的集合为．15．设a ＞2b ＞0，则29()(2)a b b a b -+-的最小值是．16．给出下列命题：① “sin α－tan α＞0”是“α 是第二或第四象限角”的充要条件； ② 平面直角坐标系中有三个点A （4，5）、B （－2，2）、C （2，0），则直线AB 到直线BC的角为4arctan 3；③ 函数xx x f 22cos 3cos )(+=的最小值为32；④ 设 [m ] 表示不大于m 的最大整数，若x ，y ∈R ，那么[x + y ]≥[x ] + [y ] ．其中所有正确命题的序号是．（将你认为正确的结论序号都写上）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分12分）设△ABC 三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量)2,(b a =，)1,(sin A =，且//．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若△ABC 是锐角三角形，)tan cos sin ,1(),cos ,(cos B A A n B A m -==，求n m ⋅ 的取值范围． 18．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，AB 是半圆⊙O ：x 2 + y 2 = 1（y ≥0）的直径，C 是半圆O （除端点A 、B ）上的任意一点，在线段AC 的延长线上取点P ，使︱PC ︱=︱BC ︱，试求动点P 的轨迹方程． 19．（本题满分12分）某幸运观众参加电视节目抽奖活动，抽奖规则是：在盒子里预先放有大小相同的5个小球，其中一个绿球，两个红球，两个白球．该观众依次从盒子里摸球，每次摸一个球（不放回），若累计摸到两个白球就停止摸球，否则直到将盒子里的球摸完才停止．规定：在球摸停止时，只有摸出红球才获得奖金，奖金数为摸出红球个数的1000倍（单位：元）．（Ⅰ）求该幸运观众摸三次球就停止的概率；（Ⅱ）求该幸运观众获得1000元奖金的概率．本题满分12分）已知函数1)1(6)12(32)(23+--+-=x m m x m x x f ，x ∈R ．（1）当m =－1时，求函数y = f (x ) 在 [－1，5 ] 上的单调区间和最值；（2）设f ′(x ) 是函数y = f (x ) 的导数，当函数y = f ′(x ) 的图象在（－1，5）上与x 轴有唯一的公共点时，求实数m 的取值范围．21．（本题满分12分）设椭圆C 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为212，左焦点到左准线的距离为73．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆C 上有不同两点P 、Q ，且OP ⊥OQ ，过P 、Q 的直线为l ，求点O 到直线l 的距离． 22．（本题满分14分）已知{ a n }是等差数列，{ b n }是等比数列，S n 是{ a n }的前n 项和，a 1 = b 1 =1，2212b S =．（Ⅰ）若b 2是a 1，a 3的等差中项，求a n 与b n 的通项公式；（Ⅱ）若a n ∈N *，{n a b }是公比为9的等比数列，求证：471111321<++++n S S S S绵阳市高中第二次诊断性考试数学（文科）参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． ADCD BACD CBAB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．{ x ︱0＜x ＜3 } 14．（34,3ππ）或 }343|{ππ<<x x 15．12 16．①④三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．解（Ⅰ）∵ )2,(b a =，)1,(sin A =，//，∴ a －2b sin A = 0，由正弦定理得 sin A －2sin B sin A = 0． …………………… 3分∵ 0＜A ，B ，C ＜π，∴ 21sin =B ，得 6π=B 或56B π=． …………………… 6分（Ⅱ）∵ △ABC 是锐角三角形， ∴ 6π=B ，)cos 33sin ,1(),23,(cos A A A -==，于是 )cos 33(sin 23cos A A A n m -+=⋅=A A sin 23cos 21+=)6sin(π+A ．…………………… 9分由 65ππ=-=+B C A 及 0＜C ＜2π，得 )65,3(65πππ∈-=C A ．结合0＜A ＜2π，∴ 23ππ<<A ，得 3262πππ<+<A ，∴1)6sin(23<+<πA ，即123<⋅<n m ． …………………… 12分 18．解连结BP ，由已知得∠APB=45︒． …………………… 2分设P （x ，y ），则 1+=x yk PA ，1-=x y k PB ，由PA 到PB 的角为45︒，得1111145tan +⋅-++--=︒x y x y x y x y ，化简得 x 2 +（y －1）2 = 2． …………………… 10分由已知，y ＞0且1+=x yk PA ＞0，故点P 的轨迹方程为x 2 +（y －1）2 = 2（x ＞－1，y ＞0）． …………………… 12分法二连结BP ，由已知可得∠APB = 45︒，∴ 点P 在以AB 为弦，所对圆周角为45︒的圆上．设该圆的圆心为D ，则点D 在弦AB 的中垂线上，即y 轴上，且∠ADB = 90︒，∴ D （0，1），︱DA ︱=2，圆D 的方程为x 2 +（y －1）2 = 2．由已知，当点C 趋近于点B 时，点P 趋近于点B ；当点C 趋近于点A 时，点P 趋近于点（－1，2），所以点P 的轨迹方程为x 2 +（y －1）2 = 2（x ＞－1，y ＞0）．19．解（Ⅰ）记“该幸运观众摸球三次就停止”为事件A ，则112232351()5C C A P A A ==．…………………… 6分（Ⅱ）该幸运观众获得1000元奖金的概率为314533121235221212=+=A A C C A A C C P ． …………………… 12分答：略．（1）当m =－1时，11232)(23+-+=x x x x f ， ∴ f ′(x ) = 2x 2 + 2x －12 = 2（x + 3）（x －2）的两个根为x =－3 或 x = 2，只有x = 2在 [－1，5 ] 上，所以 f (x ) 在 [－1，2 ] 上单调递减，在 [ 2，5 ] 上单调递增．又340)1(=-f ，41)2(-=f ，148)5(=f ． …………………… 4分故函数y = f （x ）在 [－1，5 ] 上的最大值为3，最小值为3-． …………………… 6分（2）由已知有 f ′(x ) = 2x 2－2（2m + 1）x －6m （m －1），x ∈R ．函数y = f ′(x ) 的图象与x 轴的公共点的横坐标就是二次方程x 2－（2m + 1）x －3m （m －1）= 0 的实数根，解得 x 1 = 3m ，x 2 = 1－m ． ① 当x 1 = x 2 时，有 3m = 1－m ⇒ 41=m ，此时x 1 = x 2 =43∈（－1，5）为所求． …………………… 8分② 当x 1≠x 2 时，令H （x ）= x 2－（2m + 1）x －3m （m －1），则函数y = f ′(x ) 的图象在（－1，5）上与x 轴有唯一的公共点 ⇒ H （－1）· H （5）≤0，而 H （－1）=－3m 2 + 5m + 2，H （5）=－3m 2－7m + …………………… 9分所以（－3m 2 + 5m + 2）（－3m 2－7m + 0，即（m －2）（3m + 1）（m + 4）（3m －5）≤0，解得－4≤m≤31-或35≤m ≤2． …………………… 10分经检验端点，当m =－4和m = 2时，不符合条件，舍去．综上所述，实数m 的取值范围是41=m 或－4＜m ≤31-或35≤m ＜2． …………………… 12分21．解（1）设椭圆C 的方程为12222=+bb a x （a ＞b ＞0），则 2122=b ，21=b ．由 73)(2=---ca c ，即73222==-c b c c a ，得 7=c ．于是 a 2= b 2+ c 2= 21 + 7 = 28，椭圆C 的方程为1212822=+y x ．………………… 5分（2）若直线l 的斜率不存在，即l ⊥x 轴时，不妨设l 与x 正半轴交于点M ，将x = y 代入1212822=+y x 中，得32±==y x ，则点P （32，32），Q （32，32-），于是点O 到l 的距离为32． (7)分若直线l 的斜率存在，设l 的方程为y = kx + m （k ，m ∈R ），则点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）的坐标是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=1212822y x mkx y 的两个实数解，消去y ，整理，得（3 + 4k 2）x 2 + 8kmx + 4m 2－84 = 0， ∴ △ =（8km ）2－4（3 + 4k 2）（4m 2－84）= 12（28k 2－m 2 + 21）＞0， ①221438k km x x +-=+，222143844km x x +-=． ② …………………… 9分∵ OP ⊥OQ ，∴ k OP · k OQ =－1，即12211-=⋅x y x y ，x 1x 2 + y 1y 2 = 0．于是 x 1x 2 +（kx 1 + m ）（kx 2 + m ）=（1 + k 2）x 1x 2 + km （x 1 + x 2）+ m 2 = 0． ③将 x 1 + x 2，x 1x 2 代入上式，得 043843844)1(22222=++-+-⋅+m kkm km k m k ， ∴（k 2 + 1）（4m 2－84）－8k 2m 2 + m 2（4k 2 + 3）= 0，化简，得 m 2 =12（k 2+1）．④④代入①满足，因此原点O 到直线l 的距离 32121||2==+-=k m d ．…………………… 12分22．解设等差数列{ a n }的公差为d ，等比数列{ b n }公比为q ．（Ⅰ）∵ 2212b S =，∴ qb d a a 11112=++，而 a 1 = b 1 = 1，则 q （2 + d ）= 12．① 又 ∵ b 2是a 1，a 3的等差中项，∴ a 1 + a 3 = 2b 2，得 1 + 1 + 2d = 2q ，即 1 + d = q ． ②联立①，②，解得 ⎩⎨⎧==,3,2q d 或 ⎩⎨⎧-=-=.4,5q d …………………… 4分所以 a n = 1 +（n －1）·2 = 2n －1，b n = 3n －1；或 a n = 1 +（n －1）·（－5）= 6－5n ，b n =（－4）n －1． …………………… 6分（Ⅱ） ∵ a n ∈N *，d n d n a a q q qb b n n )1(1)1(111---+-===，∴ 9)1(1===-+d dn nd a a q q q b b nn ，即 q d = 32．① …………………… 8分由（Ⅰ）知 q ( 2 + d ) = 12，得 dq +=212． ② ∵ a 1 = 1，a n ∈N *，∴ d 为正整数，从而根据①②知q ＞1且q 也为正整数，∴ d 可为1或2或4，但同时满足①②两个等式的只有d = 2，q = 3， ∴a n=2n－1，22)121(n n n S n =-+=． …………………… 10分∴ )1111(21)1)(1(1112+--=+-<=n n n n n S n （n ≥2）．当n ≥2时， )1111(21)5131(21)4121(21)3111(21111121+--++-+-+-+<+++n n S S S n )]1111()5131()4121()3111[(211+--++-+-+-+=n n)111211(211+--++=n n 11147+--=n n 47<．显然，当n = 1时，不等式成立．故n ∈N *，4711121<+++n S S S ． …………………… 14分思路2 或者利用nn n n n S n 111)1(1112--=-<=（n ≥2）从第三项开始放缩。

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绵阳市高2012级第二次诊断性考试数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．AADCB BDCBC10．提示：问题转化为1)(max ≤x f ．由)00)((333)(22><+=+='b a b ax b ax x f ，，得abx x f a b x x f ->⇒<'-<<⇒>'0)(00)(，，即)(x f 在)0(a b -，递增，在)(∞+-，ab 递减， ①当1≥-ab，即a b -≥时，13)1()(0)0()(max min ≤+====b a f x f f x f ，，即211313≤⇒+≤⇒⎩⎨⎧≤--≤b b b b a a b ，，． ②当1<-ab即a b -<时， 233403)1(12)()(0)0(3max≤⇒⎩⎨⎧≤--≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+=≤-=-==b b a a b b a f a b b a b f x f f ，，，，，，此时233-=a . 将233-=a ，23=b 代入检验正确. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．27 12．8.5 13． 23- 14．187- 15．6 15．提示：)()(MB PM MA PM PB PA +⋅+=⋅)(2+⋅+=12-=⋅+PM MB MA ，同理：⋅=12-，P在椭圆上，所以42==a ， ∴ 222-+=⋅+⋅PN PM PD PC PB PA=222-⋅-+PN PM 6)2(142142=+-≥⋅-=PNPM PN PM ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：(Ⅰ)由茎叶图可知，所抽取12人中有4人低于9分，即有4人不是 “满意观众”， ∴ P =31124=，即从这12人中随机选取1人，该人不是“满意观众”的概率为31． ……4分 (Ⅱ)设本次符合条件的满意观众分别为A 1(9.2)，A 2(9.2)，A 3(9.2)，A 4(9.2)，B 1(9.3)，B 2(9.3)，其中括号内为该人的分数． ……………………………6分则从中任意选取两人的可能有 (A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共15种，……………………8分其中，分数不同的有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，共8种， ………………………………10分 ∴ 所求的概率为158． ………………………………………………………12分 17．解：(Ⅰ)∵ S n =121-⋅-n λ，∴ a 1=S 1=λ-1，a 2=S 2-S 1=2λ-1-(λ-1)=λ，a 3=S 3-S 2=4λ-1-(2λ-1)=2λ，……………………………………2分∵ {a n }是等比数列，∴ a 22=a 1a 3，即λ2=2λ(λ-1)，解得λ=0(不合题意，舍去)，或λ=2． ……4分 ∴ 在{a n }中，a 1=1，公比q =12a a =2， ∴ a n =1×12-n =12-n ． …………………………………………………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，a 2=2，a 3=4，于是x x f 2sin 4)(=， ∴ )32sin(4)]6(2sin[4)(ππ+=+=x x x g ． ……………………………………8分∵ 6π-≤x ≤6π， ∴ 0≤32π+x ≤32π，…………………………………………………………10分∴ 0≤)32sin(4π+x ≤4，即)(x g 在]66[ππ，-上的最大值为4． ………………………………………12分18．解：(Ⅰ)由余弦定理得412212cos 222==-+=bc bcbc a c b A ，则415cos 1sin 2=-=A A ． …………………………………………………4分 (Ⅱ)由A +B +C =π有C =π-(A +B )，于是由已知sin B +sin C =210得210)sin(sin =++B A B ，即210sin cos cos sin sin =++B A B A B ，将415sin =A ，41cos =A 代入整理得210cos 415sin 45=+B B ．①………7分根据1cos sin 22=+B B ，可得B B 2sin 1cos -±=．代入①中，整理得8sin 2B -410sin B +5=0，解得410sin =B ． ……………………………………………………………10分 ∴ 由正弦定理BbA a sin sin =有364154101sin sin =⨯==A B a b ． ………………12分19．解：(Ⅰ)如图，连结BC 1．∵ E ，F 分别是AB ，AC 1的中点， ∴ EF // BC 1．∵ BC 1⊂面BB 1C 1C ，EF ⊄面BB 1C 1C ， ∴ EF ∥平面BB 1C 1C ．………………4分 (Ⅱ) 如图，连结A 1E ，CE ．∵ AB // A 1B 1，AB =2A 1B 1，E 为中点， ∴ BE //A 1B 1，且BE =A 1B 1，即A 1B 1BE 是平行四边形，∴ A 1E //B 1B ，且A 1E =B 1B ．由四边形BB 1C 1C 是长方形，知C 1C //B 1B ，且C 1C =B 1B ， ∴ A 1E //C 1C ，且A 1E =C 1C ，即C 1A 1EC 是平行四边形，∴ A 1C 1//EC ．…………………………………………………………………7分 ∵ B 1B ⊥BC ，B 1B ⊥AB ， ∴ B 1B ⊥面ABC ，ABB 1C 1A 1CE F∴ B 1B ⊥EC ． …………………………………………………………………9分由CA =CB ，得EC ⊥AB ，∴ EC ⊥平面ABB 1A 1．………………………………………………………10分 ∴ A 1C 1⊥平面ABB 1A 1． ∵ A 1C 1⊂平面C 1AA 1，∴ 平面C 1AA 1⊥平面ABB 1A 1． ……………………………………………12分 20．解：(Ⅰ)由已知可设圆E 的圆心(0，b )，则半径为b ．∵ 圆心到直线x -y =0的距离d =22)222(-b =22110+-b ，解得b 2=4，b =-2(舍去)，b =2，∴圆E 的标准方程为x 2+(y -2)2=4． ……………………………………… 5分 (Ⅱ) 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，H (x 0，y 0)，由已知直线MN 的斜率一定存在，设为k ，则其方程为y =kx +3k ，联立方程⎩⎨⎧+==-+，，k kx y y x 34)2(22消去y ，得04)23()23(2)1(222=--+-++k x k k x k ，于是x 1+x 2=21)23(2k k k +--，x 1x 2=2214)23(k k +--．① ………………………8分又P ，M ，H ，N 四点共线，将四点都投影到x 轴上，则=可转化为2102133x x x x x x --=++，整理得：)(6)(322121210x x x x x x x ++++=． …………………………………………10分将①代入可得=+--++--⨯++--⨯=222201)23(261)23(2314)23(2k k k k k k k k x 326+-k k， …… 11分由213202<++-⋅k kk ，可解得5120<<k ，……………………………………12分由0x =326+-k k =-3+329+k ，于是可得1324-<x 0<0，满足-2<x 0<2，∴ 1324-<x 0<0． ………………………………………………………………13分21．解：(Ⅰ) ∵ xx a x a x x x f 2)1()1(2)(2++-=+-+='，………………………2分∴ 当a =2时，xx x x f 23)(2+-='．由已知有m ，n 是方程x 2-3x +2=0的两个根，∴ m =1，n =2．…………………………………………………………………4分 (Ⅱ)由已知有m ，n 是方程x 2-(a +1)x +2=0的两个根，∴ Δ=(a +1)2-8>0，m +n =a +1>0，mn =2>0． ………………………………5分 ∴ n a n n m a m m n f m f )1(21ln 2)1(21ln 2)()(22+-+++-+=+ ))(1()(21ln 222n m a n m mn ++-++=))(1(]2)[(212ln 22n m a mn n m ++--++=22)1(]4)1[(212ln 2+--++=a a2ln 22)1(212+-+-=a ． …………………………………7分∵ (a +1)2>8，∴ ()()f m f n +62ln 2-<，即()()f m f n +的取值范围为(-∞，62ln 2-)． …………………………………………………8分 (Ⅲ)证明：m a m m n a n n m f n f )1(21ln 2)1(21ln 2)()(22++--+-+=- ))(1()(21ln222m n a m n m n -+--+= ))(()(21ln 222m n n m m n m n -+--+= )(21ln222m n m n --=，又2=mn ，所以m =n2，于是，2224212ln2)()(nn n m f n f +-=-． …………………………………10分由 0<m <n ，可得n 2>2，解得n >2．∵ a ≥122-+ee ， ∴ m +n =a +1≥e e 22+，即n2+n ≥e e 22+，可解得0<n ≤e2(舍去)，或n ≥e 2． ……………………………………11分令22n =t ，则n 2=2t ，且t ≥e ，tt t m f n f 1ln 2)()(+-=-，令tt t t g 1ln 2)(+-=，则0)1(1212112)(2222222<--=+--=--=--='tt t t t t t t t t t g ， ∴ tt t t g 1ln 2)(+-= 在)[∞+，e 上单调递减． ∴ ee t g 12)(max +-=， ∴ ()()f n f m -≤ee 12+-． …………………………………………………14分。