二次函数函数的图象和性质1
a>0
a<0
y=ax2
1.开口方向 开口大小
开口向上
y轴
开口向下
y轴
a越小，抛物线开口越小 a越大，抛物线开口越小 a 的绝对值越大，抛物线开口越小 .
2.对称性
y=ax2 与 y= -ax2关于x轴对称 3.顶点 （0，0）最低点 （0，0）最高点
4.增减性 在y轴左侧,y随x的增大而减小 在y轴左侧，y随x的增大而增大
y 轴x , 当
时，y 随x的增大而增大；当x <0
减小。
时，y随着 >0 x的增大而
3、若抛物线 y
的开口向下，则 n= (n 1) x
y= -3x2 。
n2 2
， -2
此二次函数的解析式为
4. 若抛物线 y= ax2 （a<0)的图象经过三点(-1,y1)、(-2,y2)、(3,y3) ，则 y1、y2、y3 大小关系是（ ） C
1
2
4 8 2
y=x2
… … …
…
探究
顶点坐标
y= 2 x2
1
a>0，开口都向上; 对称轴都是y轴; 增减性相同
只是开口 大小不同 顶点都是原点(0,0)
探究
画二次函数
y = - x 的图象。 描点法
2
解：（1）列表：在 x 的取值范围内列出函数对 应值表： x y … -3 -2 -1 0 … -9 -4 -1 0 1 2 3 …
抛物线y=x2在x轴的 当x=-2时，y=4 上方(除顶点外),顶点 当x=-1时，y=1 是它的最低点,开口 向上,并且向上无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最小,最小值是0.
当x=1时， y=1 当x=2时， y=4
例1.画出函数y=x2、y=2x2、y= 2 x2的图象： 1.列表： x … -2 -1 0 1 … 4 1 0 1 2.描点： y=x2 2 … 8 2 0 2 y=2x 3.连线： 1 y= 2 x2 … 2 1 0 1 y=2x2
在y轴右侧,y随x的增大而增大 在y轴右侧，y随x的增大而减小
达标测试
1、函数y= 4x2的图象的一条开口向上 的抛物线,对称轴
是
而
,顶点是 y 轴
。
(0,0) ，顶点是抛物线的最
点，在低 y轴左侧，
y随着x的增大而
增大
减小 ；在y轴右侧 ，y随着x的增大
2、函数y= -3x2的图象的开口 向下 ,对称轴是
y
-3 -2 -1 o
C ）
3
y1
y2 y3
x
若正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减 小，则它和二次函数y=mx2的图象大致是（ ）
c
A
B
C
D
解 解：∵y随x的增大而减小∴该正比例函数图象经过第 答： 二、四象限，∴m<0∴抛物线y=mx2开口向下,顶点
(0,0);综上所述，符合题意的只有c. 点 本题考查了二次函数图象、正比例函数图象．利用正 评： 比例函数的性质推出答案.
y
y=x2
(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么? 请你找出几对对称点,并与同伴交流.
(3)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么? (4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？ (5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？ o 你是如何知道的？ x
A ． y1 ＜ y2 ＜ y3
C．y3＜y2＜ y1
B．y1＜y3＜y2
D ． y2 ＜ y1 ＜ y3
-3 -2 -1 o
y
y1
y2
x
提示：数形结合
y3
5. 若抛物线 y= ax2 （a<0)的图象经过三点(-1,y1)、
(-2,y2)、(3,y3) ，则 y1、y2、y3 大小关系是（
A．y1＜ y2＜y3 C．y3＜y2＜ y1 B．y1＜y3＜y2 D．y2＜ y1＜y3
f1(x) = -2×x×x -1 g1(x) = 2
1
…
顶点坐标
×x×x
y=2x2
y=x2
2 y= 1 2x
a < 0，开口都向下; 对称轴都是y轴; 增减性相同.
y=-x2
y=-2x2
只是开口 大小不同 y=- 1 x2 2
归纳总结 二次函数 y=ax2（a≠0）的图象有什么特点？
提示：分类讨论
观察 y = x 2 这个函数的图象，它有什么特点?
形状： 抛物线
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y
开口方向： 向上
对称轴： y轴
增减性：
对称轴左侧y随x增大而减小 对称轴右侧y随x增大而增大 顶点坐标：（0，0）
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
yx
2
当x<0 (在对称轴的左 侧)时,y随着x的增大而 减小. 当x>0 (在对称轴的右 侧)时, y随着x的增大而 增大.
y
2 o C
A
-1 -2
2
x
B
y=—2
我的收获
1.通过本节课的学习，你有什么收获与体会？
2.你还有什么疑问吗？
x
【归纳助学】
二次函数y=x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线.
y x2
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
【合作共学】
【流程】独立思考—组内交流— 个人展示（12分钟） 【展示】交流最热烈的小组代表展示
x 探究二次函数 y=x2的图象和性质 y (1)你能描述图象的形状吗? 与同伴进行交流.
-1 -4 -9 …
（2）在平面直角坐标系中描点：
y
-4 -3 -2 -1
o
-2 -4 -6 -8
1
2
3
4
x
y = - x2
-10
（3）用平滑曲线顺次连接各点，便得到函数y= -x2 的图象. （4） 观察
y = - x 这个函数的图象，它有什么特点
2
例2.画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- 2 x2的图象： 1.列表： x … -2 -1 0 1 2 2.描点： y=-x2 2 y=-2x 3.连线： 1 y=- 2 x2
22.1.2
二次函数 y=ax2 的图象
九年级数学组
回顾
二次函数的图象是 什么样子的？ 一次函数的图象 一条直线
探究：
作出二次函数 y = x2 的图象。 描点法
… -3 x y=x2 … 9 -2 4
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
-1 1
y
0 0
1 1
2 4
3 … 9 …
y=x2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
6.y=kx2 与 y=kx－2(k≠ 0)在同一坐标系中，可能是（ B）
A
B
C
D
探究释疑
已知函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3交于点（1，b）。 （1）求a、b的值。
（2）求抛物线y=ax2 的顶点坐标和对称轴。
（3）求以抛物线y=ax2 与直线y= -2的两个交点A、B及抛物 线的顶点C为顶点的三角形的面积？
二次函数的性质
二次函数的性质二次函数是高中数学中一个重要的概念，它是一种形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。
在本文中，我将详细介绍二次函数的性质，包括定义、图像、顶点、对称轴、零点、判别式以及二次函数的分类。
一、二次函数的定义二次函数是一种多项式函数，它的最高次项是二次项，即x的平方项。
一般地，我们可以表示为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为实数，且a≠0。
常见的二次函数包括抛物线、开口方向为上或下的曲线。
二、二次函数的图像二次函数的图像通常是一个U形或者倒U形的曲线，也即抛物线。
抛物线开口的方向取决于二次函数的系数a的正负。
1. 当a>0时，抛物线开口向上，图像在坐标系的正半轴上方；2. 当a<0时，抛物线开口向下，图像在坐标系的负半轴上方。
三、二次函数的顶点二次函数的顶点是抛物线的最低点（开口向上）或最高点（开口向下）。
顶点的横坐标可以通过用-b/2a求得，纵坐标可以通过将横坐标代入函数得出。
四、二次函数的对称轴二次函数的对称轴是指通过顶点并垂直于x轴的一条直线。
对称轴的方程为x=-b/2a。
五、二次函数的零点二次函数的零点是指使函数取值为零的x的值。
可以通过求解二次方程ax²+bx+c=0来得到零点。
根据一元二次方程的求根公式，可得x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)。
当判别式b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实根；当b²-4ac<0时，方程没有实根。
六、二次函数的判别式二次函数的判别式D=b²-4ac可以用来判断二次函数的图像和零点的性质。
1. 当D>0时，方程有两个不相等的实根，图像与x轴有两个交点；2. 当D=0时，方程有两个相等的实根，图像与x轴有一个交点；3. 当D<0时，方程没有实根，图像与x轴无交点。
22.1.2 二次函数的图象和性质(1)教案
描点，并连线
图略
由图象可得二次函数y＝x2的性质：
1．二次函数y＝x2是一条曲线，把这条曲线叫做______________．
2．二次函数y＝x2中，二次函数a＝_______，抛物线y＝x2的范围是____________．
4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．
在八年级下册，我们学习了一次函数的概念，研究了它的图象和性质。回忆一下如何研究一次函数的图象和性质的？
2、类比探究二次函数
y＝ax2的图象与性质。
问题1：类比一次函数的研究内容和研究方法，画二次函数y＝x2的图象，你能说说它的图像特征和特性吗？你是如何描点画图的？你打算从哪些角度去观察、概括特征？
【提示：画图象的一般步骤：①列表（取几组x、y的对应值；②描点（表中x、y的数值在坐标平面中描点（x，y）；③连线（用平滑曲线）．】
2．难点、关键：用描点法画二次函数y＝ax2的图象、探索其性质及二次函数y＝ax2的灵活运用
教学准备
教科书、多媒体课件
教学时间
1课时
教学过程
第（2）课时
教学环节
教师活动预设
学生活动预设
设计意图
备注
情境导入
如图，一位篮球运动员在离篮圈水平距离4m处跳起投篮，球沿一条抛物线运行，当球运行的水平距离为2.5m时达到最大高度3.5，然后准确落入篮筐内。已知，篮圈中心离地面距离为3.05m
（2）已知抛物线y=-2x2,在对称轴的左侧，y随x的增大而；在对称轴的右侧，y随x的增大而
通过描点法画出一次函数的图象，观察图象得出图象的特征和特性，如位置、形状、函数随自变量的增大如何变化。
22.1.2二次函数的图像和性质(1)教案1
2016-2017学年第一学期龙岩初级中学九年级数学公开课教案课题：22.1.2二次函数2axy=的图象和性质授课时间：2016.9.27授课班级：九年级五班授课老师：龙岩初级中学陈盛教学目标：知识与技能：1.了解抛物线的概念。
2.经历探索研究，能够说出二次函数2axy=的图象特征和性质。
3.运用其性质解决简单的实际问题。
过程与方法：通过观察图像，类比一次函数图象性质的探索过程，推测出二次函数2axy=图象特征和性质，运用数形结合的思想解决简单实际问题。
情感态度与价值观：培养学生独立思考的探究精神，让学生体会数学与生活的联系，了解数学的价值。
教学重难点：二次函数2axy=的性质，能够根据a的大小关系得出图象性质，能够根据图象性质得出a的大小关系。
教学过程：一、创设情境，引出新知【题目】：将下列二次函数适当的分为两类，并说出分类理由。
2222222;;21;2;;21xyxyxyxyxyxy-=-=-====【画图展示】：随机选取学生作业，投影展示，引出抛物线概念。
二、探索研究，归纳新知【题目】：2222;;21xyxyxy===这三个函数有什么共同点和不同点？【师生活动】：学生交流自己的观点，并让其他学生进行必要补充。
【教师板书归纳】：a的大小：a>0.图象开口方向：向上顶点坐标：（0，0）对称轴：y轴增减性：对称轴左侧，y随x的增大而减小；对称轴右侧，y随x的增大而增大最值：当x=0时，y=0最小值【题目】：2222;;21xyxyxy-=-=-=这三个函数有什么共同点和不同点？【师生活动】：学生交流自己的观点，并让其他学生进行必要补充。
【教师板书学生归纳】：a的大小：图象开口方向：顶点坐标：对称轴：增减性：最值：【题目】：对比抛物线，2xy=和2xy-=它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线2axy=和2axy-=呢？【师生总结】：在同一坐标系内,抛物线2axy=与抛物线2axy-=是关于x轴对称的.三、巩固训练1、函数y=4x 2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ;2、函数y=－3x 2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ___3、函数y= x 2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ;4、函数y= －0.2x 2的图象的开口 ,对称轴是___,顶点是 ;5、(1)抛物线y=2x 2的顶点坐标是 ,对称轴是 ，在侧，y 随着x 的增大而增大；在 侧，y 随着x 的增大而减小， 当x= 时，函数y 的值最小，最小值是 ,抛物线y=2x 2在x 轴的 方（除顶点外)（2）抛物线 232x y -=在x 轴的 方（除顶点外），当 x 〈 0 时，y 随着x的 ；当 x 〉0 时，y 随着x 的 ，当 x = 0 时，函数y 的 值最大，最大值是 ，当 x 0 时，y<0.6、若抛物线26x y -=上点P 的坐标为(2，a)，则抛物线上与P 点对称的点P’的坐标为 。
二次函数图像与性质(第1课时)
(5) 函数的右边是一个 整 式
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
二次函数的特殊形式：
– 当b＝0时， y＝ax2＋c – 当c＝0时， y＝ax2＋bx – 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
－2 －4.5
4 ··· ···
－8
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 ··· －8 －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8 ···
－4
你画出的图象与图中相同吗？
－2 －2 －4
请找出相同点与不同点：
－6
－8
y x2
4
增大
2
不同点：a 值越大，抛物线
的开口越小．
－4 －2
y 2x2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数
y
x2,
y
1 2
x2,
y
2x2
的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3
y
1 2
x2
···
－8
－4.5
－2 －0.5
0
－0.5
9 6 3
－3
3
y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称轴的交点（0， 0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线 的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．
第二十四节二次函数图象与性质-(一)
二次函数图象与性质 (一)【知识要点】1．你能用描点法作出二次函数2ax y =图像吗？你能总结出2ax y =有什么性质吗？ 2．通过2ax y =作图，我们能得到c ax y +=2和2)(h x a y -=有哪些图像性质吗？ 3．你能说明以上三个函数图像他们之间的联系和区别吗?4．你能举例说明哪些实际生活问题可以建立二次函数c ax y +=2的数学模型？【典型例题】例1 、在同一坐标轴中作出二次函数y=x 2和y=-x 2的图象，并在下表总填出它的性质。
例2 试在同一坐标系内画出22x y -=与322+-=x y 以及322--=x y 的图像，并依据图像回答问题：抛物线22x y -=与322+-=x y 和322--=x y 有什么关系？小结：y=ax 2+c 的图象与y=ax 2的图象形状①其对称轴为 轴 ②顶点坐标为（ , ）③当a>0时，开口 ，y=ax 2+c 图象有最 点；当x=0时，y 有最 值为 ；当a<0时，开口 ，图象有最 点，当x=0时，y 有最大值为 。
④当c>0时，是由y=ax 2向 平移c 个单位，当c<0时，是由y=ax 2向 平移|c|个单位。
简称“ ”例3 在同一平面直角坐标系中画出下列二次函数的图象； y= －21x 2 ， y= －21(x+1)2 ， 与y=－21(x-1)2结合图象分析研究以下问题： （1）抛物线y=－21(x+1)2，y=－21(x-1)2与y=－21x 2的相同点与不同点是什么？ （2）抛物线y=－21 (x+1)2的开口方向是_____，对称轴是_____，顶点坐标是_____； （3）抛物线y=-－21 (x-1)2的开口方向是____，对称轴是_______，顶点坐标是______。
小结：y=a(x －h)2的图象与y=ax 2的图象形状 ，①对称轴为平行y 轴的直线x= ②顶点坐标为( ,___)③当a>0时，开口向上，图象有最_____点，当x=h 时，y 有最 值为0； 当a<0时，开口向下，图象有最 点，当x=h 时，y 有最大值为0④当h>0时，由y=ax 2的图象向右平移h 个单位；当h<0时，由y=ax 2向左平移|h|个单位，简称“ ” 例4 函数32-=kx y 与y=xk（k ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）例5 如果二次函数m ax y +=2的值恒大于0，那么必有（ ） A 、a ＞0，m 取任意实数B 、a ＞0，m ＞0C 、a ＜0，m ＞0D 、a ，m 均可取任意实数例 6 若二次函数c ax y +=2，当x 取)(,2121x x x x ≠时，函数值等，则当x 取21x x +时，函数值为（ ）．A 、c a +B 、c a -C 、c -D 、c例7 已知抛物线)0(2>=a ax y 上有两点A 、B ，其横坐标分别为－1，2，请探求关于a 的取值情况，△ABO 可能是直角三角形吗？不能，说明理由；能是直角三角形，写出探求过程，并与同伴交流.例8 如图，深圳某中学的校门是一抛物线形状的水泥建筑物，大门在地面跨度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名的横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高度为 。
初三数学：《二次函数的图象和性质》知识点归纳
二次函数图像的性质 ：1.二次函数(a≠0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点是原点(0,0)。
(1)二次函数图像怎么画作法：①列表：一般取5个或7个点，作为顶点的原点(0,0)是必取的，然后在y轴的两侧各取2个或3个点，注意对称取点;②描点：一般先描出对称轴一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点;③连线：按照自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线连接所描的点，两端无限延伸。
(2)二次函数与的图像和性质：2.二次函数(a，k是常数，a≠0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是( 0，k)，它与的图像形状相同，只是位置不同。
函数的图像是由抛物线向上(或下)平移|k|个单位得到的。
当a>0时，抛物线的开口向上，在对称轴的左边(x<0时)，曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小;在对称轴的右边(x>0时)，曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大。
顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当x=0时，y最小值=k 。
当a<0时，抛物线的开口向下，在对称轴的左边(x<0时)，曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大;在对称轴的右边(x>0时)，曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小。
顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y取得最大值，即当x=0时，y最大值=k 。
3.二次函数(a≠0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是平行于y轴或与y轴重合的直线x= h，顶点坐标是(h，0)，它与的图像形状相同，位置不同，函数(a≠0)的图像是由抛物线向右(或左)平移|h|个单位得到的。
画图时，x的取值一般为h和h左右两侧的值，然后利用对称性描点画图。
当a>0时，抛物线的开口向上，在对称轴的左边(xh时)，曲线自左向右上升，函数y 随x的增大而增大。
顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当x=h时，y最小值=0。
二次函数的图像及其性质
单调性
二次函数的开口 方向由系数a决 定，a>0时开口 向上，a<0时开 口向下
二次函数的对称 轴为x=-b/a
二次函数的最值 在对称轴上取得， 即x=-b/2a时的 函数值y=cb^2/4a
二次函数在区间 (-∞,-b/2a)和(b/2a,+∞)上单 调性相反
最值点
二次函数的最值点为顶点 顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a)) 当a>0时，函数在顶点处取得最小值 当a<0时，函数在顶点处取得最大值
开口大小与一次项 系数和常数项无关
开口变化趋势
二次函数的开口方向由二次项系数a决定，a>0时向上开口，a<0时向下开口。 二次函数的开口大小由二次项系数a和一次项系数b共同决定，a的绝对值越大，开口越小。 二次函数的对称轴为x=-b/2a，当a>0时，对称轴为x=-b/2a；当a<0时，对称轴为x=-b/2a。 二次函数的最值点为顶点，顶点的坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
在物理领域的应用
二次函数在抛物线运动中的应用 二次函数在弹簧振荡中的应用 二次函数在单摆运动中的应用 二次函数在简谐振动中的应用
在其他领域的应用
二次函数在经济学中的应用， 例如计算成本、收益、利润等。
二次函数在生物学中的应用， 例如种群增长、药物疗效等。
二次函数在物理学中的应用， 例如弹簧振动、单摆运动等。
二次函数的应用
解决实际问题
二次函数在物理学中的应用，例如计算抛物线的运动轨迹 二次函数在经济学中的应用，例如计算商品价格与销售量的关系
二次函数在日常生活中的应用，例如计算最优化问题，如最小费用、最大效率等
二次函数在科学实验中的应用，例如模拟实验数据，预测实验结果
第1讲 二次函数的图像及性质
第1讲二次函数的图形及性质题型1：二次函数的概念1.下列函数表达式中，一定为二次函数的是（）A．y=5x−1B．y=ax2+bx+c C．y=3x2+1D．y=x2+1x题型2：利用二次函数定义求字母的值2.已知y=(m+1)x|m−1|+2m是y关于x的二次函数，则m的值为（）A．−1B．3C．−1或3D．0题型3：二次函数的一般形式3.二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分別是（）A．2、0、﹣3B．2、﹣3、0C．2、3、0D．2、0、3A．2B．﹣2C．﹣1D．﹣4题型4：根据实际问题列二次函数4.一个矩形的周长为16cm，设一边长为xcm，面积为y cm2，那么y与x的关系式是【变式4-1】如图，用长为20米的篱笆（AB+BC+CD=20），一边利用墙（墙足够长），围成一个长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，围成的花圃面积为y米2，则y关于x的函数关系式是．【变式4-2】某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y （单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x）B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x）C．y＝200（40﹣20﹣x）D．y＝200﹣5x题型5：自变量的取值范围5.．若y=(a−2)x2−3x+4是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠2B．a>0C．a>2D．a≠0【变式5-1】函数y=√x+2的自变量取值范围是（）x−1A．x≥−2B．−2≤x<1C．x>1D．x≥−2且x≠1【变式5-2】若y=(m+1)x m2−2m−1是二次函数，则m=，其中自变量x的取值范围是．22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.二次函数y=ax2(a ≠0)的图象的画法用描点法画二次函数y=ax 2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y 值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.注意：用描点法画二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y 轴．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.题型1：利用描点法作函数图像1.在直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2的图象（取值、描点、连线、画图）．【变式1-1】在如图所示的同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2，y ＝x 2，y ＝﹣2x 2与y ＝﹣x 2的图象．x y ＝2x 2 y ＝x 2 y ＝﹣2x 2 y ＝﹣x 2x ya>0a<0题型2：二次函数y=ax2的图像2.在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝﹣2x2，y3＝x2的图象，正确的是（）A．B．C．D．【变式2-1】下列图象中，是二次函数y＝x2的图象的是（）A．B．C．D．【变式2-2】如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数①y＝3x2；②y＝；③y＝x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（）A．①②③B．①③②C．②③①D．③②①题型3：二次函数y=ax2的性质3.抛物线y＝﹣3x2的顶点坐标为（）A．（0，0）B．（0，﹣3）C．（﹣3，0）D．（﹣3，﹣3）【变式3-1】抛物线，y＝x2，y＝﹣x2的共同性质是：①都开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y轴为对称轴．其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【变式3-2】．对于函数y＝4x2，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．当x＞0时，y随x的增大而增大C．y随x的增大而减小D．y随x的增大而增大【变式3-3】二次函数y＝﹣3x2的图象一定经过（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限题型4：函数图像位置的识别4.已知a≠0，b＜0，一次函数是y＝ax+b，二次函数是y＝ax2，则下面图中，可以成立的是（）A．B．C．D．【变式4-1】函数y＝ax2与y＝ax+a，在第一象限内y随x的减小而减小，则它们在同一平面直角坐标系中的图象大致位置是（）A．B．C．D．【变式4-2】在图中，函数y＝﹣ax2与y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．题型5：函数值的大小比较5.二次函数y1＝﹣3x2，y2＝﹣x2，y3＝5x2，它们的图象开口大小由小到大的顺序是（）A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y2＜y1＜y3题型6：简单综合-三角形面积6.求直线y＝3x+4与抛物线y＝x2的交点坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形面积．22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图像和性质二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象（1）（2）0 a>0 a<题型1：二次函数y=ax²+k的图象1.建立坐标系，画出二次函数y＝﹣x2及y＝﹣x2+3的图象．向上向下题型2：二次函数y=ax²+k的性质2.抛物线的开口方向是（）A．向下B．向上C．向左D．向右【变式2-2】抛物线y＝2x2+1的对称轴是（）A．直线x＝B．直线x＝﹣C．直线x＝2D．y轴题型3：二次函数y=a（x-h）²的图象3.画出二次函数（1）y＝（x﹣2）2（2）y＝（x+2）2的图象．课堂总结：题型4：二次函数y=a（x-h）²的性质4.对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝1C．顶点坐标为（1，0）D．当x＜1时，y随x的增大而减小题型5：二次函数y=a（x-h ）²+k 的图象和性质5.对于二次函数y ＝﹣5（x +4）2﹣1的图象，下列说法正确的是（ ） A ．图象与y 轴交点的坐标是（0，﹣1） B ．对称轴是直线x ＝4C ．顶点坐标为（﹣4，1）D ．当x ＜﹣4时，y 随x 的增大而增大 【变式5-1】再同一直角坐标系中画出下列函数的图象 （1）y ＝（x ﹣2）2+3 （2）y ＝（x +2）2﹣3【变式5-2】画函数y ＝（x ﹣2）2﹣1的图象，并根据图象回答： （1）当x 为何值时，y 随x 的增大而减小．（2）当x 为何值时，y ＞0．【变式5-3】写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）y ＝5（x +2）2﹣3；（2）y ＝﹣（x ﹣2）2+3；（3）y ＝（x +3）2+6．二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： ()2y a x h k =-+()h k ，2y ax =()h k ，2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左h k加右减，上加下减”．题型6：二次函数几种形式之间的关系（平移）6.将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A．y＝（x﹣4）2﹣6B．y＝（x﹣1）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣2D．y＝（x﹣4）2﹣2【变式6-1】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，能得到抛物线y ＝2（x﹣2）2+3的是（）A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x﹣3）2+1C．y＝﹣2（x﹣1）2+1D．y＝﹣2x2﹣1【变式6-2】将二次函数y＝x2﹣3的图象向右平移3个单位，再向上平移5个单位后，所得抛物线的表达式是．题型7：利用增减性求字母取值范围7.抛物线y＝（k﹣7）x2﹣5的开口向下，那么k的取值范围是（）A．k＜7B．k＞7C．k＜0D．k＞0【变式7-1】已知点（x1，y1）、（x2，y2）是函数y＝（m﹣3）x2的图象上的两点，且当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3【变式7-2】二次函数y＝（x﹣h）2+k（h、k均为常数）的图象经过P1（﹣3，y1）、P2（﹣1，y2）、P3（1，y3）三点．若y2＜y1＜y3，则h的取值范围是．题型8：识别图象位置8.如果二次函数y＝ax2+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+c的图象大致是（）A．B．C．D．【变式8-1】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝ax+b的图象不可能是（）A．B．C．D．【变式8-2】已知m是不为0的常数，函数y＝mx和函数y＝mx2﹣m2在同一平面直角坐标系内的图象可以是（）A．B．C．D．题型9：比较函数值的大小9.已知二次函数y＝（x﹣1）2+h的图象上有三点，A（0，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＝y2＜y3B．y1＜y2＜y3C．y1＜y2＝y3D．y3＜y1＝y2题型10：简单综合问题10.已知抛物线y＝（x﹣5）2的顶点为A，抛物线与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）试判断△ABC 的形状并说明理由．【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+3与y 轴交于点A ，过点A 与x 轴平行的直线交抛物线y ＝x 2于点B 、C ，求BC 的长度．【变式10-2】在同一坐标系内，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝x +b 相交于A ，B 两点，若点A 的坐标是（2，3）．（1）求B 点的坐标；（2）连接OA ，OB ，AB ，求△AOB 的面积．22.1.4 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与性质二次函数一般式与顶点式之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式． 2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax bx c =++2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．题型1：一般式化成顶点式-配方法1.将二次函数y=x2−4x+5用配方法化为y=(x−ℎ)2+k的形式，结果为（）A．y=(x−4)2+1B．y=(x−4)2−1C．y=(x−2)2−1D．y=(x−2)2+1题型2：一般式化成顶点式-应用2.已知：二次函数y＝x2﹣2x﹣3．将y＝x2﹣2x﹣3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标．题型3：公式法求顶点坐标及对称轴3.已知二次函数 y =−12x 2+bx +3 ，当 x >1 时，y 随x 的增大而减小，则b 的取值范围是（ ） A ．b ≥−1B ．b ≤−1C ．b ≥1D ．b ≤10a >0a <题型4：二次函数y=ax2+bx+c图像与性质4.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法不正确的是()A．当1<x<3时，y>0B．当x=2时，y有最大值C．图像经过点(4，−3)D．当y<−3时，x<0【变式4-2】二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，当x>0时，函数值y的取值范围是()A．y⩽9B．y⩽2C．y<2D．y⩽3 4题型5：利用二次函数的性质比较函数值5.函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），则（）A．y1＜y2B．y1＞y2几种常考的关系式的解题方法题型6：二次函数y=ax2+bx+c图像与系数的关系6.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，则它的图象可能是（）A．B．C．D．【变式6-1】已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−4．若x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，且x1<x2，1<x2<2，则下列说法正确的是A．x1x2>0B．−10<x1<−9C．b2−4ac<0D．abc>0【变式6-2】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点(2，0)，，有下列结论：①b<0；②a+b>0；③4a+2b+3c<0；④无且对称轴为直线x=12，0)．其中正确结论有（）论a，b，c取何值，抛物线一定经过(c2aA．1个B．2个C．3个D．4个【变式6-3】如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C；对称轴为直线x=−1，点B的坐标为(1，0)，则下列结论：①AB=4；②b2−4ac>0；③b>0；④a−b+c<0，其中正确的结论有（）个.A．1个B．2个C．3个D．4个7.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣6﹣6﹣4…则该二次函数图象的对称轴为（）A．y轴B．直线x=12C．直线x＝1D．直线x=32题型8：利用二次函数的性质求字母的范围8.已知二次函数y＝x2+bx+1当0<x<12的范围内，都有y≥0，则b的取值范围是A．b≥0B．b≥﹣2C．b≥﹣52D．b≥﹣32a题型9：利用二次函数的性质求最值9.二次函数y=−x2+2x+4的最大值是.题型10：给定范围内的最值问题10.已知二次函数y=ax2+bx+1.5的图象（0≤x≤4）如图，则该函数在所给自变量的取值范围内，最大值为，最小值为.。
二次函数的图像与性质(1)
4.在y轴左侧，y都随着x的增大而减小；
在y轴右侧，y都随着x的增大而增大。
不同点：
1.顶点不同
2.最小值不同
你还能得出哪些结论呢？大胆的说出来！
想一想
二次函数y=2x2，y=2x2+1 和y=2x2-1，它们的图像 有什么联系呢？能通过怎 样的变换得到呢？
问题2
在同一平面直角坐标系中，怎 样画出函数y=-x2，y=-x2+1和 y=-x2-1图像呢？
学习心得交流
（1）这节课大家在交流、活动过程中有 哪些体验和收获？
（2）对函数y=ax2+k与y=ax2的图像的画 法和性质还有哪些困惑？a，c的取值 对二次函数的图像和性质有何影响？
巩固练习
课本第12-13页练习
课后作业
习题21.2 第1题
下课了， 同学们再见！
想一想
二次函数y=ax2与y=ax2+k 的图像有什么联系呢？ 可以通过怎样的变换得到？
归纳总结
1.抛物线y=ax2+k与y=ax2的形状， 开口方向和开口大小相同，只 是位置不同。
2.抛物线y=ax2+k可以看成抛物线 y=ax2 沿着y轴方向平移 k 个单 位得到。当k>0时，向上平移； 当k<0时，向下平移。
3.当x取何值时，二次函数y=2x2，y=2x2+1和 y=2x2-1取得最小值？最小值分别是多少？
观察
二次函数y=2x2，y=2x2+1和y=2x2-1图像有什么相同点和不同 点？
相同点：
1.都是抛物线，且开口大小，开口方向都相同
2.都是轴对称图形，且对称轴都是y轴
3.图像都有最低点，函数都有最小值
21.2 二次函数的图象和性质(1)
归纳总结，理解应用
1,函数y=x2的图象是一条关于y轴对称的曲线, 这条曲线叫做抛物线。
2,由图知,抛物线y=x2的开口向上,y轴 是它的对称轴,对称轴与抛物线的交点 叫抛物线的顶点,顶点坐标为(0，0);从 图象看,抛物线y=x2的顶点是图象的最 低点,当x=0时,y最小值=0
3,在下面给出的图形中,画出y=-x2 的图象,并仿照刚才的分析,说出此 函数的性质。
3、当a<0时,开口向下 __,当x>0时,y随着x的增大而减小 ____,当x<0时,y随 着x的增大而_____, 增大 此时,抛物线有最____ 大 值。
二次函数y=ax2的性质：ห้องสมุดไป่ตู้
y=ax2 (a≠0) 图 象 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值 a>0 y
O
a<0 y
x
O
x 向下 (0 ,0) y轴
… -3 …
-2
-1
0
1
2
3
… …
9
4
1
0
1
4
9
y
2、描点
10
y=x2
8 6
3、连线
4 2
-3 -2 -1 0 -2 1 2 3 4 x
?
-4
2、观察这个图象有什么特征? 3、你能画出y=-x2的图象吗?
观察y=x2的图象，思考下列问题 (1)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称 轴是什么？ (2)图象有最低点吗?如果有, 最低点的坐标是什么? (3)当x<0时,随着x值的增大, y的值如何变化？当x>0呢？
6．观察与思考：函数 y
2 与函数 y x2 ， y 2 x 的图象有哪些 共同点和不同点？请与同学交流．