二次函数与分段函数
第六讲：分段函数与二次函数第一部分：分段函数6． 设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x <g (x )，g (x )－x ，x ≥g (x )，则f (x )的值域是__________． 答案 [－94，0]∪(2，＋∞)1．(2014·山西四校联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（8－x ），x ≤0，f （x －1）－f （x －2），x ＞0，则f (3)的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－32.(2015·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A.3B.6C.9D.123．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．(－∞，8]4．(2014·上海卷)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1，2]B ．[－1，0]C ．[1，2]D ．[0，2]5.(2015·福建卷)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________.(1，2]6．(2014·浙江卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．(－∞，2]7.(2015·山东卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B.[0，1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D.[1，＋∞)8.【2015高考北京，理14】设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩‚‚‚≥①若1a =，则()f x 的最小值为；1②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是．112a ≤<或2a ≥. 9．函数⎩⎨⎧>≤+=)0(,log )0(,1)(2x x x x x f ，则函数1)]([-=x f f y 的零点个数是 .7.10．已知函数222(1)(0)()4(3)(0)x k a x f x x x a x ⎧+-≥=⎨-+-<⎩，其中R a ∈. 若对任意的非零实数1x ，存在唯一的非零实数212()x x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则k 的取值范围为 A ．0k ≤ B ．8k ≥ C ．08k ≤≤ D ．0k ≤或8k ≥11．已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是________.(－∞，1] 第二部分：二次函数1．是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1，3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由． 解 令f (x )＝0，则Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9a 2－16a ＋8＝9⎝⎛⎭⎫a －892＋89＞0恒成立，即f (x )＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可． f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，∴a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠1.(2)当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－15∪(1，＋∞)． 2．已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围．则有f (1)＜0，(－2，1)7． 设函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c (a >0，a ，c ∈R )．(1)设a >c >0.若f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立，求c 的取值范围；(2)函数f (x )在区间(0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？解 (1)因为二次函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c 的图象的对称轴为x ＝a ＋c3a，由条件a >c >0，得2a >a ＋c ，故a ＋c 3a <2a 3a ＝23<1，即二次函数f (x )的对称轴在区间[1，＋∞)的左边，且抛物线开口向上，故f (x )在[1，＋∞)内是增函数．若f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立，则f (x )min ＝f (1)>c 2－2c ＋a ，即a －c >c 2－2c ＋a ，得c 2－c <0，所以0<c <1. (2)①若f (0)·f (1)＝c ·(a －c )<0，则c <0，或a <c ，二次函数f (x )在(0,1)内只有一个零点． ②若f (0)＝c >0，f (1)＝a －c >0，则a >c >0.因为二次函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c 的图象的对称轴是x ＝a ＋c 3a .而f ⎝⎛⎭⎫a ＋c 3a ＝－a 2＋c 2－ac 3a <0，所以函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，a ＋c 3a 和⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 3a ，1内各有一个零点，故函数f (x )在区间(0,1)内有两个零点．3．若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围． 解 法一 (换元法)设t ＝2x (t >0)，则原方程可变为t 2＋at ＋a ＋1＝0，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根．令f (t )＝t 2＋at ＋a ＋1.①若方程(*)有两个正实根t 1，t 2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4（a ＋1）≥0，t 1＋t 2＝－a >0，t 1·t 2＝a ＋1>0，解得－1<a ≤2－22；②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则f (0)＝a ＋1<0，解得a <－1；③当a ＝－1时，t ＝1，x ＝0符合题意． 综上，a 的取值范围是(－∞，2－22]．法二 (分离变量法)由方程，解得a ＝－22x ＋12x ＋1，设t ＝2x (t >0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t ＋2t ＋1－1＝2－⎣⎡⎦⎤（t ＋1）＋2t ＋1，其中t ＋1>1，由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2.综上，a 的取值范围是(－∞，2－22]．4．已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点． 解 ∵f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，即方程(2x )2＋m ·2x ＋1＝0仅有一个实根． 设2x ＝t (t >0)，则t 2＋mt ＋1＝0.当Δ＝0，即m 2－4＝0，∴m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1(不合题意，舍去)，∴2x ＝1，x ＝0符合题意． 当Δ>0，即m >2或m <－2时，t 2＋mt ＋1＝0有两正根或两负根，即f (x )有两个零点或没有零点．∴这种情况不符合题意．综上可知，m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0.5．已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围．解 f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x＝－12a .①当－12a ≤－1，即0≤a ≤12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥1， ∴a 的解集为∅.②当－1<－12a <0，即a >12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧f (－12a )≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12a －3－a ≤0，a ≥1，解得a ≥1，∴a 的取值范围是[1，＋∞)． 第三部分：解答题1．已知函数kx x x x f ++-=221)(．（1）若对于区间()0,+∞内的任意x ，总有()0f x ≥成立，求实数k 的取值范围； （2）若函数()f x 在区间()2,0内有两个不同的零点21,x x ，求： ①实数k 的取值范围； ②2111x x +的取值范围． 试题解析：（1）()22221()010,0,x x f x x x kx k x x-+≥⇒-++≥⇒≥-∈+∞，记(]()221,0,11()12,1,x x x xg x x x x x ⎧-∈⎪-+⎪=-=⎨⎪-+∈+∞⎪⎩，易知()g x 在上(]0,1递增，在()1,+∞上递减，∴()max ()11g x g ==-，∴1k ≥-即可（2）①ⅰ）10≤<x 时，方程0)(=x f 化为01=+kx ，0=k 时，无解；0≠k 时，kx 1-=； ⅱ）21<<x 时，方程0)(=x f 化为0122=-+kx x ，482+±-=k k x ，而其中04482≤--<+--k k k k ，故0)(=x f 在区间()2,1内至多有一解482++-=k k x ； 综合ⅰ）ⅱ）可知，0≠k ，且10≤<x 时，方程0)(=x f 有一解kx 1-=，故1-≤k ；21<<x 时，方程0)(=x f 也仅有一解482++-=k k x ，令24812<++-<k k ，得127-<<-k ，所以实数k 的取值范围是127-<<-k ； 9分 ②方程0)(=x f 的两解分别为k x 11-=，4822++-=k k x ，8411221+-=++-+-=+k k k k x x 2．设函数）且10()1()(≠>--=-a a a k a x f xx 是定义域为R 的奇函数．（Ⅰ）求k 的值； （Ⅱ）若23)1(=f ，且)(2)(22x mf a a xg xx -+=-在[)+∞,1上的最小值为2-，求m 的值． 解析：（Ⅰ）由题意，对任意R x ∈，，)()(x f x f -=-，即x x x xa k a a k a ---+-=--)1()1(，0))(2(=+--x x a a k 因为x 为任意实数 所以2=k ．（Ⅱ）由（1）xx a a x f --=)(，因为23)1(=f ，所以231=-a a ，解得2=a 故x x x f --=22)(，)22(222)(22x x x x m x g ----+=，令x x t --=22，则由[)+∞∈,1x ，得⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,23t ，2222)(22)()(m m t mt t t h x g -+-=+-==，⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,23t 当23<m 时，)(t h 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23上是增函数，则2)23(-=h ，22349-=+-m ，解得1225=m （舍去）．当23≥m 时，则2)(-=m f ，222-=-m ，解得2=m ，或2-=m （舍去）．4．(2015·雅安模拟)已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，且f (0)·f (1)>0. (1)求证：－2<ba <－1；(2)若x 1、x 2是方程f (x )＝0的两个实根，求|x 1－x 2|的取值范围．(1)证明 当a ＝0时，f (0)＝c ，f (1)＝2b ＋c ，又b ＋c ＝0，则f (0)·f (1)＝c (2b ＋c )＝－c 2<0与已知矛盾，因而a ≠0，则f (0)·f (1)＝c (3a ＋2b ＋c )＝－(a ＋b )(2a ＋b )>0 即⎝⎛⎭⎫b a ＋1⎝⎛⎭⎫b a ＋2<0，从而－2<ba<－1. (2)解 x 1、x 2是方程f (x )＝0的两个实根，则x 1＋x 2＝－2b3a ，x 1x 2＝－a ＋b 3a，那么(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫－2b 3a 2＋4×a ＋b 3a ＝49·⎝⎛⎭⎫b a 2＋4b 3a ＋43＝49⎝⎛⎭⎫b a ＋322＋13.∵－2<b a <－1，∴13≤(x 1－x 2)2<49，∴33≤|x 1－x 2|<23，即|x 1－x 2|的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，23.5．已知函数()22f x x x x a =+-，其中a R ∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()416f x ≤≤在[]1,2x ∈上恒成立，求a 的取值范围．解析：（1）由()()()()2222333x a a x a f x a a x x a ⎧--+≤⎪=⎨⎛⎫-->⎪ ⎪⎝⎭⎩，故当0a ≥时，()f x 在(),a -∞和(),a +∞上递增，又∵()2f a a =，∴()f x 在R 上递增，当0a <时，()f x 在(),a -∞和,3a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上递增，在,3a a ⎛⎫⎪⎝⎭上递减； （2）由题意只需()()min max 4,16f x f x ≥≤，首先，由（1）可知，()f x 在[]1,2x ∈上恒递增，则()()min 11214f x f a ==+-≥，解得12a ≤-或52a ≥，其次，当52a ≥时，()f x 在R 上递增，故()()max 24416f x f a ==-≤，解得552a ≤≤，当12a ≤-时，()f x 在[]1,2x ∈上递增，故()()max 212416f x f a ==-≤，解得112a -≤≤-，综上112a -≤≤-或552a ≤≤．。
二次函数与分段函数.doc
第六讲：分段函数与二次函数第一部分：分段函数6． 设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x <g (x )，g (x )－x ，x ≥g (x )，则f (x )的值域是__________． 答案 [－94，0]∪(2，＋∞)1．(2014·山西四校联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（8－x ），x ≤0，f （x －1）－f （x －2），x ＞0，则f (3)的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－32.(2015·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A.3B.6C.9D.123．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．(－∞，8]4．(2014·上海卷)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1，2]B ．[－1，0]C ．[1，2]D ．[0，2]5.(2015·福建卷)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________.(1，2]6．(2014·浙江卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．(－∞，2]7.(2015·山东卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B.[0，1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D.[1，＋∞)8.【2015高考北京，理14】设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩‚‚‚≥①若1a =，则()f x 的最小值为；1②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是．112a ≤<或2a ≥. 9，则函数1)]([-=x f f y 的零点个数是 .7.10．已知函数222(1)(0)()4(3)(0)x k a x f x x x a x ⎧+-≥=⎨-+-<⎩，其中R a ∈. 若对任意的非零实数1x ，存在唯一的非零实数212()x x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则k 的取值范围为 A ．0k ≤ B ．8k ≥ C ．08k ≤≤ D ．0k ≤或8k ≥11．已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是________.(－∞，1] 第二部分：二次函数1．是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1，3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由． 解 令f (x )＝0，则Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9a 2－16a ＋8＝9⎝⎛⎭⎫a －892＋89＞0恒成立，即f (x )＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可． f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，∴a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠1.(2)当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－15∪(1，＋∞)． 2．已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围．则有f (1)＜0，(－2，1)7． 设函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c (a >0，a ，c ∈R )．(1)设a >c >0.若f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立，求c 的取值范围；(2)函数f (x )在区间(0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？ 解 (1)因为二次函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c的图象的对称轴为x ＝a ＋c3a，由条件a >c >0，得2a >a ＋c ，故a ＋c 3a <2a 3a ＝23<1，即二次函数f (x )的对称轴在区间[1，＋∞)的左边，且抛物线开口向上，故f (x )在[1，＋∞)内是增函数．若f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立，则f (x )min ＝f (1)>c 2－2c ＋a ，即a －c >c 2－2c ＋a ，得c 2－c <0，所以0<c <1. (2)①若f (0)·f (1)＝c ·(a －c )<0，则c <0，或a <c ，二次函数f (x )在(0,1)内只有一个零点． ②若f (0)＝c >0，f (1)＝a －c >0，则a >c >0. 因为二次函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c的图象的对称轴是x ＝a ＋c3a.而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 3a ＝－a 2＋c 2－ac 3a <0， 所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ＋c 3a 和⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 3a ，1内各有一个零点，故函数f (x )在区间(0,1) 内有两个零点．3．若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围． 解 法一 (换元法)设t ＝2x (t >0)，则原方程可变为t 2＋at ＋a ＋1＝0，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根．令f (t )＝t 2＋at ＋a ＋1.①若方程(*)有两个正实根t 1，t 2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4（a ＋1）≥0，t 1＋t 2＝－a >0，t 1·t 2＝a ＋1>0，解得－1<a ≤2－22；②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则f (0)＝a ＋1<0，解得a <－1；③当a ＝－1时，t ＝1，x ＝0符合题意． 综上，a 的取值范围是(－∞，2－22]．法二 (分离变量法)由方程，解得a ＝－22x ＋12x ＋1，设t ＝2x (t >0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t ＋2t ＋1－1＝2－⎣⎡⎦⎤（t ＋1）＋2t ＋1，其中t ＋1>1，由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2.综上，a 的取值范围是(－∞，2－22]．4．已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点． 解 ∵f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，即方程(2x )2＋m ·2x ＋1＝0仅有一个实根． 设2x ＝t (t >0)，则t 2＋mt ＋1＝0.当Δ＝0，即m 2－4＝0，∴m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1(不合题意，舍去)，∴2x ＝1，x ＝0符合题意． 当Δ>0，即m >2或m <－2时，t 2＋mt ＋1＝0有两正根或两负根，即f (x )有两个零点或没有零点．∴这种情况不符合题意．综上可知，m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0.5．已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围．解 f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x＝－12a .①当－12a ≤－1，即0≤a ≤12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥1，∴a 的解集为∅.②当－1<－12a <0，即a >12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧ f (－12a )≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12a －3－a ≤0，a ≥1，解得a ≥1，∴a 的取值范围是[1，＋∞)． 第三部分：解答题1．已知函数kx x x x f ++-=221)(．（1）若对于区间()0,+∞内的任意x ，总有()0f x ≥成立，求实数k 的取值范围； （2）若函数()f x 在区间()2,0内有两个不同的零点21,x x ，求： ①实数k 的取值范围； ②2111x x +的取值范围．试题解析：（1，易知()g x 在上(]0,1递增，在 ()1,+∞上递减，∴()max ()11g x g ==-，∴1k ≥-即可（2）①ⅰ）10≤<x 时，方程0)(=x f 化为01=+kx ，0=k 时，无解；0≠k 时， ⅱ）21<<x 时，方程0)(=x f 化为0122=-+kx x而其中，故0)(=x f 在区间()2,1内至多有一解 综合ⅰ）ⅱ）可知，0≠k ，且10≤<x 时，方程0)(=x f 有一解故1-≤k ；21<<x 时，方程0)(=x f 也仅有一解，令，得，所以实数k 的取值范围是 9分 ②方程0)(=x f 的两解分别为2．设函数）且10()1()(≠>--=-a a a k a x f xx 是定义域为R 的奇函数．（Ⅱ）且)(2)(22x mf a a x g xx -+=-在[)+∞,1上的最小值为2-，求m 的值． 解析：（Ⅰ）由题意，对任意R x ∈，，)()(x f x f -=-，即x x x xa k a a k a ---+-=--)1()1(，0))(2(=+--x x a a k 因为x 为任意实数所以2=k ．（Ⅱ）由（1）xx a a x f --=)(，因所解得2=a 故x x x f --=22)(，)22(222)(22x x x x m x g ----+=，令x x t --=22，则由[)+∞∈,1x ，得2222)(22)()(m m t mt t t h x g -+-=+-==，时，)(t h 在时，则2)(-=m f ，222-=-m ，4．(2015·雅安模拟)已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，且f (0)·f (1)>0. (1)求证：－2<ba <－1；(2)若x 1、x 2是方程f (x )＝0的两个实根，求|x 1－x 2|的取值范围．(1)证明 当a ＝0时，f (0)＝c ，f (1)＝2b ＋c ，又b ＋c ＝0，则f (0)·f (1)＝c (2b ＋c )＝－c 2<0与已知矛盾，因而a ≠0，则f (0)·f (1)＝c (3a ＋2b ＋c )＝－(a ＋b )(2a ＋b )>0 即⎝⎛⎭⎫b a ＋1⎝⎛⎭⎫b a ＋2<0，从而－2<ba<－1. (2)解 x 1、x 2是方程f (x )＝0的两个实根，则x 1＋x 2＝－2b3a ，x 1x 2＝－a ＋b 3a，那么(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫－2b 3a 2＋4×a ＋b 3a ＝49·⎝⎛⎭⎫b a 2＋4b 3a ＋43＝49⎝⎛⎭⎫b a ＋322＋13. ∵－2<b a <－1，∴13≤(x 1－x 2)2<49，∴33≤|x 1－x 2|<23，即|x 1－x 2|的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，23.5，其中a R ∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()416f x ≤≤在[]1,2x ∈上恒成立，求a 的取值范围．解析：（1）故当0a ≥时，()f x 在(),a -∞和(),a +∞上递增，又∵()2f a a =，∴()f x 在R 上递增，当0a <时，()f x 在(),a -∞和 （2）由题意只需()()min max 4,16f x f x ≥≤，首先，由（1）可知，()fx 在[]1,2x∈上恒递增，其次，时，()f xf x在时，()。
二次函数--利润问题-分段函数
22.3（3.3）---利润问题-分段函数一．【知识要点】1.分段求最值，进行比较。
2.销售利润=（售价-成本价）×销售量．3.解题步骤：（1）.设：设出两变量；（2）.列：列出函数解析式；（3）.定：确定自变量的取值范围；（4）.判：判断存在最大（小）值；（5）.求：求出对称轴，并判断对称轴是否在取值范围；（6）.算：计算最值。
二．【经典例题】1.九(13)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表:已知该商品的进价为每件30元,设销售商品的每天利润为y元.(1)求出y与x的函数关系式;(2)问该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少?22018年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019年我市猪肉售价将逐月上涨，每千克猪肉的售价y1（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示．每千克猪肉的成本y2（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足二次函数关系，且3月份每千克猪肉的成本全年最低，为9元，如图所示．月份x…3456…售价y1/元…12141618…（1）求y1与x之间的函数关系式．（2）求y2与x之间的函数关系式．（3）设销售每千克猪肉所获得的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉所获得的利润最大？最大利润是多少元？3.某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件． （1）如图，设第x （0＜x ≤20）个生产周期设备售价z 万元/件，z 与x 之间的关系用图中的函数图象表示．求z 关于x 的函数解析式（写出x 的范围）． （2）设第x 个生产周期生产并销售的设备为y 件，y 与x 满足关系式y ＝5x +40（0＜x ≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）4.为喜迎佳节，某食品公司推出一种新年礼盒，每盒成本为20元．在元旦节前30天进行销售后发现，该礼盒在这30天内的日销售量p （盒）与时间x （天）的关系如下表：在这30天内，前20天每天的销售价格1y （元/盒）与时间x （天）的函数关系式为11254y x =+（1≤x ≤20，且x 为整数），后10天每天的销售价格2y （元/盒）与时间x （天）的函数关系式为21402y x =-+（21≤x ≤30，且x 为整数）． （1）直接写出日销售量p （盒）与时间x （天）之间的关系式；（2）请求出这30天中哪一天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）元旦放假期间，该公司采取降价促销策略．元旦节当天，销售价格（元/盒）比第30天的销售价格降低a%，而日销售量就比第30天提高了4a%，日销售利润比前30天中的最大日销售利润少380元，求a 的值．三．【题库】【A】1.数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在前49天销售中，每销售一件商品就捐赠m元（0＜m＜10）给希望工程，若前49天销售获得的最大日利润为5408元，求出m的值时间x（天）1≤x＜5050≤x≤90售价（元/件）x+4090每天销量（件）200﹣2x【B】1.我县云蒙湖被临沂市人民政府定位“饮用水水源地”，为净化水源，某水产养殖企业在净化水源的同时，为谋求养殖利润最大化，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y1（元）与销售月份x（月）满足关系式y＝﹣x+36，而其每千克成本y2（元）与销售月份x（月）满足的函数关系如图所示．“五•一”之前，月份出售这种品每千克的利润最大．【C】1.（本题满分11分）绵阳经开区“万达广场”开业在即，开发商准备对一楼的40个商铺出租，小王和开发商约定：小王租赁的每个商铺每个月的租金y（元/个.月）与租赁的商铺数量x（个）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC 所示（不包含端点A ，但包含端点C ）． （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）已知开发商每个月对每个商铺的投入成本共280元，那么当小王租赁的商铺数量为多少时，开发商在这次租赁中，每个月所获的利润w 最大？最大利润是多少？【D 】1.大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商销售单价q （元/件）与x 满足：当1≤x ＜25时q=x+60；当25≤x ≤50时． （1）请分析表格中销售量p 与x 的关系，求出销售量p 与x 的函数关系． （2）求该超市销售该新商品第x 天获得的利润y 元关于x 的函数关系式． （3）这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少？2.某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。
二次函数专题——含参二次函数完整版题型汇总
二次函数专题——含参二次函数完整版题型汇总含参的二次函数在高中阶段考试中经常出现，因为参数的存在使得函数形成一种动态，随着参数的变化，函数也会不同。
这就使得本来简单的二次函数变得复杂起来。
例如，考虑求解$f(x)=x-2ax$在$[2,4]$上的最大值和最小值。
由于参数的存在，这个函数是动态的。
为了解决这个问题，我们需要考虑动轴定区间问题，即对称轴随着参数的变化而变化，但是在给定区间上问最大值和最小值。
对于这个问题，需要分类讨论。
在$[2,4]$这个区间上，可能出现对称轴不在这个区间里面的情况，对称轴就在区间里面的情况，或者对称轴在区间右侧的情况。
因此，我们需要分别考虑这些情况。
具体来说，我们需要找到在整个函数的区间上，哪个数离对称轴最远。
这个分界线就应该在$2$和$4$中间的位置上，即$3$。
当对称轴在$x=3$这条线左边的时候，对称轴离$2$就比较近，离$4$就比较远；对称轴在右边的时候，离$2$就比较近，离$4$就比较远。
因此，这个函数的最大值可以表示为：f_{\max}(x)=\begin{cases}f(4)=16-8a& (a\leq 3)\\f(2)=4-4a&(a>3)\end{cases}$$当$a=3$时，放在哪边都可以。
代入上面的式子，得到$f_{\max}(x)=-8$。
因此，最大值为$-8$。
接下来，我们来讨论含参的二次函数的最大值和最小值问题。
这类问题的重点在于能否清晰地做分类讨论，得到一个分段函数的解析式。
我们可以按照对称轴的位置进行分类讨论。
首先，对于对称轴在区间左侧，且$a\leq 2$的情况，函数在$x=2$处取得最小值，即$f_{min}(x)=f(2)=4-4a$。
其次，对于对称轴在区间中间，即$24$的情况，函数在$x=4$处取得最小值，即$f_{min}(x)=f(4)=16-8a$。
另外，还有一类问题叫做定轴动区间的问题。
对于这类问题，我们同样需要进行分类讨论，只不过区间在变化。
分段函数与二次函数
问题背景：有A 、B 两家水果店，两家的西瓜销售价格如下：提问：买x 斤西瓜应该付多少钱？归纳：在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示．三.分段函数1.概念：在函数的定义域内,对于自变量的不同取值范围,有着不同的解析式, 这样的函数叫做分段函数2.定义域：分段函数的定义域是自变量的各段取值范围的并集3.函数值：求分段函数的函数值()0f x时，应该首先判断0x 所属的取值范围，然后再把0x 代入到相应的解析式中进行计算．4.函数图像：分段函数的图像是各段上图像的和 （一）、分段函数——例题讲解：例1.如图所示，是某分段函数y=f （x ）的图像， 试求其定义域、值域。
思考：画出函数2y x =+的图像，并求f （2）、f （-2）（二） 、分段函数的应用——生活中的分段函数出租车计价问题某市出租汽车收费标准如下：在3km 已内（含3km 已内）路程按起步价12元收费，超过3km 以外的路程按2.1元／km 收费．试写出收费额y 关于路程x 的函数解析式．小结：1. 分段函数的概念2. 分段函数的函数值3. 分段函数图像的作法4. 分段函数的解析式的一般步骤：确定自变量和它的取值范围。
对自变量的取值范围进行分段。
分段写出函数解析式。
（从前到后）1、设()1232,2()log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则((2))f f 的值为（ ） A.0 B.1 C.2 D.32、(2009山东卷)定义在R 上的函数)(x f 满足)(x f =⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),4(log 2x x f x f x x ，则)3(f 的值为（ ）A ．1- B. 2- C. 1 D. 22643、给出函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=)4()1()4()21()(x x f x x f x ，则=)3(log 2f （ ）A.823-B. 111C. 191 D. 241 4、函数21sin(),10,(),0.x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩,若()()21=+a f f ,则a 的所有可能值为（ ）A.1B.2-C.1，- D.15、（2009天津卷）设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f ，则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）A.),3()1,3(+∞⋃-B.),2()1,3(+∞⋃-C.),3()1,1(+∞⋃-D.)3,1()3,(⋃--∞6、设函数10221,0,()()1,0x x f x f x x x -⎧-≤⎪=>⎨⎪>⎩若，则0x 的取值范围是（ ） A ．)1,1(- B ．),1-(+∞C ．),0()2,(+∞--∞D ．),1()1,(+∞--∞ 7、已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（A ）(0,1) （B ）1(0,)3（C ）11[,)73（D ）1[,1)78、（2010天津卷）设函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=)0()(log )0(log )(212x x x xx f ，若)()(a f a f ->，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)1,0()0,1( -B ．),1()1,(+∞--∞C ．),1()0,1(+∞-D ．)1,0()1,( --∞9、（2010全国卷）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=)10(,621)100(,lg )(x x x x x f ，若c b a ,,互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则实数abc 的取值范围是（ ）A ．)10,1(B ．)6,5(C ．)12,10(D ．)24,20( 10、（2010天津卷）设函数)(2)(2R x x x g ∈-=，⎩⎨⎧≥-<++=)(,)()(,4)()(x g x x x g x g x x x g x f ，则)(x f 的值域是（ ）A ．),1(]0,49[+∞-B ．),0[+∞C ．),49[+∞- D ．),2(]0,49[+∞-11、设⎩⎨⎧>-≤-=-)0)(1()0(3)(x x f x a x f x ，若x x f =)(有且仅有三个解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．]2,1[B ．()2,∞-C ．[)+∞,1D ．(]1,∞-12、函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0f ⎧≤⎨⎩（的零点个数为 ( ) A ．0B ．1C ．2D ．313.函数2441()431x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩， ，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．114、设函数3,(10)()((5)),(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(5)f ＝ 。
3.4.2.1一次函数、二次函数、分段函数模型的应用举例 作业 含答案 高中数学苏教版必修一
课后巩固·提能一、填空题1.某型号的手机，经两次降价，单价由原来的2 000元降到1 280元，则这种手机平均降价的百分率是_______.2.将进价为8元的商品，按10元一个销售，每天可卖出100个，若这种商品的销售价每个上涨1元，日销售量就减少10个，为了获得最大利润，此商品的销售价应为每个_______元．3.我国计划GDP从2000年至2010年翻一番，则平均每年的增长率是_______.4.用长度为24的材料围成一矩形场地,中间加两道隔墙(隔墙也需使用材料),要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为_______.5.已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数，表达式是_______.6.国家规定个人稿费纳税办法为：不高于800元的不纳税；高于800元而低于4 000元的按超过部分的14%纳税；等于或高于4 000元的按全稿费的11%纳税.某人出版一本书共纳税420元，这个人的稿费为_______.7.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边的长x =_______，y=_______.二、解答题8．某汽车生产企业，上年度生产汽车的投入成本为8万元/辆，出厂价为10万元/辆，年销售量为12万辆.本年度为节能减排，对产品进行升级换代.若每辆),则出厂价相应提高的比例为0.75x,同时车投入成本增加的比例为x(0<x≤12预计年销售量增加的比例为0.5x.(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)当投入成本增加的比例x为何值时，本年度比上年度利润增加最多？最多为多少？9．某批发公司批发某商品，每件商品进价80元，批发价120元，该批发商为鼓励经销商批发，决定当一次批发量超过100个时，每多批发一个，批发的全部商品的单价就降低0．04元，但最低批发价不能低于102元．求下列问题：(1)当一次订购量为多少个时,每件商品的实际批发价为102元?(2)当一次订购量为x个, 每件商品的实际批发价为P元时,写出函数P=f(x)的表达式.(3)根据市场调查发现,经销商一次最大订购量为500个，则当经销商一次批发多少个零件时,该批发公司可获得最大利润．10.心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，上课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，并趋于稳定.分析结果和实验表明，设提出和讲述概念的时间为x(单位：分)，学生的接受能力为f(x),(f(x)值越大，表示接受能力越强),()20.1x 2.6x 44,0x 1060,10x 15f x 3x 105,15x 2530,25x 40.⎧-++ <≤⎪ <≤⎪=⎨-+ <≤⎪⎪ <≤⎩，，，(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？(2)试比较开讲后5分钟、20分钟、35分钟，学生的接受能力的大小.(3)若一个数学难题，需要56的接受能力以及12分钟时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？答案解析1.【解析】设平均降价的百分率为x,则由题意知2 000(1-x)2=1 280,解得x=20%. 答案：20%【误区警示】学生误以为平均降价的百分率为x,则2 000(1-2x)=1 280而错得答案18%.2.【解析】设每个上涨了x 元，利润为y 元，则y ＝(10＋x －8)(100－10x)＝ －10x 2＋80x ＋200＝－10(x －4)2＋360，当x ＝4时，y 有最大值360， 即每个售价为10＋4＝14(元)．答案：143.【解析】设平均每年的增长率是x,则(1+x)10=2,解得x=1.答案：14.【解析】设隔墙的长度为x,则矩形的另一边长为244x 122x.2-=-所以矩形面积S=x(12-2x)=-2x 2+12x=-2(x-3)2+18.当x=3时,S 有最大值18.答案:3【举一反三】若把题干“中间加两道隔墙”改为“中间加一道隔墙”,其他条件不变,则结论如何?【解析】设隔墙的长度为x,则矩形的另一边长为243x ,2-所以矩形的面积为 ()22243x 33S x x 12x x 424.222-==-+=--+g ∴当x=4时，S max =24. 5.【解析】应分三段建立函数关系，当0≤t ≤2.5时，x ＝60t ；当2.5<t ≤3.5时，离开A 地的距离不变是150；当3.5<t ≤6.5时，x ＝150－50(t －3.5)．答案：60t 0t 2.5x 1502.5t 3.515050(t 3.5)3.5t 6.5≤≤⎧⎪<≤⎨⎪<≤⎩，，＝，，－－，6.【解析】由题意可知纳税y(元)与稿费x(元)之间的关系式为()x 80014%800x 4 000,y x 11%,x 4 000.-⨯<⎧⎪=⎨⨯≥⎪⎩，＜ 若(x-800)×14%=420，解得x=3 800且800<3 800＜4 000.若x ×11%=420,则x=42 00011<4 000(舍去). 故这个人的稿费为3 800元.答案：3 800元7.【解题指南】先根据图形中的比例关系找出x ，y 之间的关系，再将面积表示为含有一个变量的函数关系求解.【解析】依题意知：20x y 85x (24y)x 24y 4---＝，即＝－，∴阴影部分的面积255S xy (24y)y (y 24y)44＝＝－＝－＋，∴当y ＝12时，S 有最大值．此时x ＝15.答案：15 128．【解析】(1)由题可知，本年度每辆车的利润为10(1+0.75x)-8(1+x).本年度的销售量是12(1+0.5x),故年利润y=12(1+0.5x)［10(1+0.75x)-8(1+x)］=-3x 2+6x+24,x ∈(0,12］.(2)设本年度比上年度利润增加f(x),则f(x)=(-3x 2+6x+24)-24=-3(x-1)2+3,因为x ∈(0,12］,在区间(0,12］上f(x)为增函数，所以当x=12时，函数y=f(x)有最大值为94. 故当x=12时，本年度比上年度利润增加最多，最多为2.25亿元. 9．【解析】(1)设一次订购量为100+n(n ∈N +)，则批发价为120－0.04n ，令120－0.04n=102，∴120－102=0.04n,∴n=450，所以当一次订购量为550个时,每件商品的实际批发价为102元．(2)由题意知()1200x 100,x N f x 1200.04(x 100)100x 550,x N 102x 550,x N .+++ ≤≤ ∈⎧⎪= <≤∈⎨⎪ >∈⎩，－－，， (3)当经销商一次批发x 个零件时,该批发公司可获得利润为y ，根据题意知： 40x,0x 100x N y 400.04(x 100)x,100x 500x N ,++ ≤≤∈⎧=⎨ <≤∈⎩，［－－］，。
初中所有函数归纳总结大全
初中所有函数归纳总结大全初中数学学习过程中，函数是一个重要的概念和工具。
函数是描述两个变量之间关系的一种方法，它在数学以及实际问题中有着广泛应用。
本文将对初中阶段所学的各种函数进行归纳总结，旨在帮助同学们更好地理解和掌握函数的基本概念、性质和应用。
一、常见的函数类型1. 线性函数线性函数是一种最简单的函数形式，其表达式为 y = kx + b，其中k 和 b 是常数。
线性函数的图像是一条直线，斜率 k 决定了直线的斜率和倾斜的方向，常数 b 决定了直线与 y 轴的截距位置。
2. 幂函数幂函数的表达式一般为 y = ax^n，其中 a 和 n 是常数。
幂函数的图像通常是曲线，根据指数 n 的不同，可以分为增函数和减函数。
指数 n 的大小决定函数图像的陡峭程度。
3. 指数函数指数函数的表达式一般为 y = a^x，其中 a 是底数，x 是幂指数。
指数函数的图像通常是曲线，底数a 的大小决定函数图像的增长速度。
4. 对数函数对数函数是指数函数的反函数，一般表达式为y = logₐx，其中 a 是底数，x 是函数的值。
对数函数的图像是指数函数图像关于直线 y = x 的对称图像。
5. 二次函数二次函数的表达式一般为 y = ax² + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数且a ≠ 0。
二次函数的图像通常是抛物线，开口方向由 a 的符号决定，开口向上为正，开口向下为负。
6. 分段函数分段函数是由多个函数段构成的函数，每个函数段在不同的区间内有不同的表达式。
分段函数的图像通常是由几个不同形状的函数图像拼接而成。
二、函数的性质及应用1. 定义域和值域函数的定义域是指函数输入的所有可能值，值域是函数输出的所有可能值。
在解题过程中，要注意确定函数的定义域和值域，以避免出现无意义的结果。
2. 奇偶性若对于定义域内的任意 x 值，有 f(x) = f(-x)，则函数为偶函数；若对于定义域内的任意 x 值，有 f(x) = -f(-x)，则函数为奇函数。
专题08二次函数的图象与性质(讲)-2019年中考数学二轮复习
备战2019年中考二轮讲练测（精选重点典型题）专题08 二次函数的图象与性质（讲案）一讲考点——考点梳理（一）二次函数的定义形如2y ax bx c =++(其中0a ≠，a 、b 、c 是常数)的式子，称y 是x 的二次函数. （二）二次函数的性质(1)a 决定抛物线的开口方向①0a >⇔开口向上；②0a <⇔开口向下． (2)c 决定抛物线与y 轴交点的位置①0c >⇔图象与y 轴交点在x 轴上方；②0c =⇔图象过原点；③0c <⇔图象与y 轴交点在x 轴下方． (3)a b 、决定抛物线对称轴的位置(对称轴：2bx a=-) ①a b 、同号⇔对称轴在y 轴左侧；②0b =⇔对称轴是y 轴；③a b 、异号⇔对称轴在y 轴右侧，简记为：左同右异中为0．(4)顶点坐标24()24b ac b a a --，．(5)24b ac ∆=-决定抛物线与x 轴的交点情况． ①△>0⇔抛物线与x 轴有两个不同交点； ②△=0⇔抛物线与x 轴有唯一的公共点(相切)； ③△<0⇔抛物线与x 轴无公共点．(6)二次函数是否具有最大、最小值由a 判断．①当a>0时，抛物线有最低点，函数有最小值；②当a<0时，抛物线有最高点，函数有最大值． （7）242a b a b c a b c ±±+±+、、 的符号的判定：x yO-112a-b 2a+b①若对称轴在直线x=1的左侧，则2a b +与a 同号，若对称轴在直线x=1的右侧，则2a b +与a 异号，若对称轴为直线x=1，则2a b +=0，简记为：1的两侧判2a b +，左同右异中为0；②若对称轴在直线1x =-的左侧，则2a b -与a 异号，若对称轴在直线1x =-的右侧，则2a b -与a 同号，若对称轴为直线1x =-，则2a b -=0，简记为：－1的两侧判2a b -，左异右同中为0； ③当1x =时，y a b c =++，所以a b c ++的符号由1x =时，对应的函数值y 的符号决定； 当1x =-时，y a b c =-+，所以a b c -+的符号由1x =-时，对应的函数值y 的符号决定； 当2x =时，42y a b c =++，所以42a b c ++的符号由2x =时，对应的函数值y 的符号决定； 当2x =-时，42y a b c =-+，所以42a b c -+的符号由2x =-时，对应的函数值y 的符号决定； 简记为：表达式，请代值，对应y 值定正负； 对称轴，用处多，三种式子a 相约；y 轴两侧判a b 、，左同右异中为0；1的两侧判2a b +，左同右异中为0； 1两侧判2a b -，左异右同中为0. （三）二次函数的解析式①一般式：2y ax bx c =++()0≠a ，用于已知三点，求抛物线的解析式.②顶点式：2()y a x h k =-+，用于已知顶点坐标或最值或对称轴，求抛物线的解析式.③交点式：()()21x x x x a y --=，其中1x 、2x 是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标.若已知对称轴和在x 轴上的截距，也可用此式. （四）二次函数的增减性当0a >时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大；当0a <时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减少.（五）二次函数图象的平移 方法一：顶点法二次函数的平移实际上是顶点的平移，故可以把原抛物线化为顶点式，通过顶点的平移来寻找答案。
二次函数综合之分段函数与动态交点问题
二次函数专题复习之分段函数与动态交点问题目标：1.进一步巩固二次函数的图像性质2.了解分段函数及图像的画法3.会运用二次函数的知识解决动态交点问题4.培养综合分析问题的能力、动态观察分析能力、画图能力及分类讨论的意识重点：运用二次函数的知识解决动态交点问题难点：动态图形的观察与分析活动一：热身练习例1：如图，已知抛物线2y ax bx =+经过点A （3，0），B （4，4）两点，将直线OB 向下平移m 个单位长度得到直线l.（1）若直线l 与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐标。
（2）若直线l 与抛物线至少有一个公共点，直接写出m 的取值范围.活动二：小试牛刀例2： 已知抛物线C 1：y ＝－x 2＋4x －3，把抛物线C 1先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线C 2，将抛物线C 1和抛物线C 2这两个图象在x 轴及其上方的部分记作图象M ．若直线21+=kx y 与图象M 至少有2个不同的交点，则k 的取值范围是__________活动三：学以致用练习1.将函数22y x x =--的图象位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折至其上方后，所得的图形是函数22y x x =--的图象.已知经过点D (0, 4)的直线4y kx =+恰好与22y x x =--的图象只有三个交点，则k 的值是活动四：勇攀高峰例3：我们把b a ,两个数中较大的数记作{}b a D ,，直线 12y kx =+ 与函数{}21,1y D x x =-+的图像有且只有两个交点，则k 的取值范围是 。
活动五：超越自我练习2．我们把 a ，b ，c 三个数的中位数记作 Z {},,a b c ，直线 y ＝kx ＋12（k ＞0）与函数 y ＝Z {}21,1,1x x x -+-+的图象有且只有2个交点，则k 的取值为__________．作业:认真完成学案，要求写出解析过程。
【高中数学】函数模型及其应用
函数模型及其应用一、基础知识1．常见的8种函数模型(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(5)指数函数模型：f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；(6)对数函数模型：f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；(7)幂函数模型：f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)；(8)“对勾”函数模型：y＝x＋ax(a>0)．(1)形如f(x)＝x＋ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质：①该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．②当x>0时，x＝a时取最小值2a，当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.(2)函数f(x)＝xa＋bx(a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab，＋∞)内单调递增．2．三种函数模型的性质函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大，逐渐表现为与y轴平行随x的增大，逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x幂函数模型y＝x n(n>0)可以描述增长幅度不同的变化，当n,值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n>1)时，增长较快.考点一二次函数、分段函数模型[典例]国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解](1)设每团人数为x，由题意得0<x≤75(x∈N*)，飞机票价格为y元，则y ，0<x≤30，－10(x－30)，30<x≤75，即y，0<x≤30，200－10x，30<x≤75.(2)设旅行社获利S元，则Sx－15000，0<x≤30，200x－10x2－15000，30<x≤75，即Sx－15000，0<x≤30，10(x－60)2＋21000，30<x≤75.因为S＝900x－15000在区间(0,30]上为增函数，故当x＝30时，S取最大值12000.又S＝－10(x－60)2＋21000，x∈(30,75]，所以当x＝60时，S取得最大值21000.故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．[解题技法]二次函数、分段函数模型解决实际问题的策略(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．(2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小．(3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．[题组训练]1．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)，0<x≤A，＋B(x－A)，x>A.已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m 319元若四月份该家庭使用了20m 3的煤气，则其煤气费为()A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元解析：选A根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )，0<x ≤5，＋12(x －5)，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.2．A ，B 两城相距100km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使月供电总费用y 最少？解：(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]．(2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25000＋500003，所以当x ＝1003y min ＝500003.故核电站建在距A 城1003km 处，能使月供电总费用y 最少．考点二指数函数、对数函数模型[典例]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．[解](1)由题图，设y 0≤t ≤1，a，t >1，当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4，由－a ＝4，得a ＝3.所以y 0≤t ≤1，－3，t >1.(2)由y ≥0.25≤t ≤1，t ≥0.253≥0.25，解得116≤t ≤5.故服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．[解题技法]1．掌握2种函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．2．建立函数模型解应用问题的4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中．[题组训练]1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况解析：选B设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．2．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg I为声强(单位：W/m2)．(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级．(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？解：(1)当声强为10－6W/m2时，由公式Y＝得Y＝10lg106＝60(分贝)．(2)当Y＝0时，由公式Y＝得0.∴I10－12＝1，即I＝10－12W/m2，则最低声强为10－12W/m2.[课时跟踪检测]1．(2018·福州期末)某商场销售A型商品．已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元45678910日均销售量/件400360320280240200160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为()A．4B．5.5C．8.5D．10解析：选C由数据分析可知，当单价为4元时销售量为400件，单价每增加1元，销售量就减少40件．设定价为x 元/件时，日均销售利润为y 元，则y ＝(x －3)·[400－(x －4)·40]＝－＋1210，故当x ＝172＝8.5时，该商品的日均销售利润最大，故选C.2．(2019·绵阳诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为()A ．13立方米B ．14立方米C ．15立方米D ．16立方米解析：选C 设该职工某月的实际用水为x 立方米时，水费为y 元，由题意得y ＝x ，0≤x ≤10，＋5(x －10)，x >10，即y x ，0≤x ≤10，x －20，x >10.易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x －20＝55，解得x ＝15.3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为()A ．240吨B ．200吨C ．180吨D ．160吨解析：选B 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4000x －30，则yx≥2x 10·4000x－30＝10，当且仅当x 10＝4000x，即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：时)之间的函数关系为P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是()A.12小时 B.59小时C ．5小时D ．10小时解析：选C 由题意，前5个小时消除了90%的污染物．∵P ＝P 0e －kt ，∴(1－90%)P 0＝P 0e －5k，∴0.1＝e－5k，即－5k ＝ln 0.1，∴k ＝－15ln 0.1.由1%P 0＝P 0e －kt ，即0.01＝e －kt ，得－kt ＝ln 0.01，＝ln 0.01，∴t ＝10.∴排放前至少还需要过滤的时间为t －5＝5(时)．5．(2019·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．解析：由题意，得100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，所以y ＝100log 2(x ＋1)，当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．答案：3006.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析＝k ＋b ，＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.答案：19097．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，求其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.＋b ＝0，＋2b ＝1，＝－1，＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．8.据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v (单位：km/h)与时间t (单位：h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积为时间t 内台风所经过的路程s (单位：km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650km ，试判断这场台风是否会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知，直线OA 的方程是v ＝3t (0≤t ≤10)，直线BC 的方程是v ＝－2t ＋70(20<t ≤35)．当t ＝4时，v ＝12，所以s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12×t ×3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋(t －10)×30＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝150＋300＋12×(t －20)×(－2t ＋70＋30)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s 随t 变化的规律是s2，t ∈[0，10]，t －150，t ∈(10，20]，t 2＋70t －550，t ∈(20，35].(3)当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t ＝30或t ＝40(舍去)，即在台风发生30小时后将侵袭到N 城．。
2023安徽中考数学专题《二次函数利润问题的四种题型》原卷
第05讲二次函数利润问题的四种题型题型一：“每每”的利润问题商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件，设每件商品降低x元，“每每”问题的做题步骤①找出原来的销量：30件，原来的每件盈利：50元；②确定每件产品降价（或涨价）后的利润：（50-x）元；③计算出降价（或涨价）后销量的变化量：2x件；④找出降价（或涨价）后的销量，本题里有明确的“多出”字样，即为：（30+2x）件；⑤利润=每件利润×数量：y=(50−x)(30+2x)计算注意事项①若题中要求价格为整数，而二次函数的对称轴不是整数，要用二次函数的性质取适当的整数求最值；②结果可能不唯一，例如题中要求结果为整数，而对称轴是51.5，那么51和52都可以；③看清楚题中是否有“最优惠”等条件，算出多个结果需要舍根。
【例1】商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件，设每件商品降低x元，据此规律，请回答：(1)商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）；(2)在上述条件不变，销售正常的情况下，设商场日盈利y元，求y与x的函数关系式；(3)在（2）的条件下，每件商品降价多少元时，商场日盈利最高？1.（2022·贵州遵义·三模）红星公司销售一种成本为4元/件的产品，若月销售单价不高于5元/件.一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件.其中月销售单价不低于成本.设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）.(1)直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？(3)为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售件产品便向大别山区捐款a元，已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值2．（2022·辽宁朝阳·模拟预测）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件，设每件商品降低x元据此规律，请回答：(1)商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）；(2)在上述条件不变，销售正常的情况下，设商场日盈利y元，求y与x的函数关系式；(3)在（2）的条件下，每件商品降价多少元时，商场日盈利最高？3．（贵州遵义·统考一模）某水果批发店销售一种优质水果，已知这种优质水果的进价为10元/千克．经市场调查发现：若售价为12元/千克时，每天的销售量为180千克；若售价每千克提高1元，每天的销售量就会减少10千克．设每天的销售量为y千克，每千克的售价为x元．请解答以下问题：(1)为让利给顾客，当这种优质水果售价为多少时，每天可获得利润960元．(2)当售价定为多少时，每天可获得最大利润，并求最大利润是多少？4．（2022·四川巴中·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元．(1)求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；(2)在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为a元，销售猪肉粽的利润为w元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润．5．（2022·山东青岛·统考中考真题）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．(1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？6．（2022·贵州铜仁·统考中考真题）为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题：(1)求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(2)当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？题型二：二次函数和一次函数综合的利润问题当题中明确出现了“成一次函数关系”，或给了一次函数的图像，或给了一次函数表格时，先求出相关的一次函数解析式；然后根据利润的相关公式表示利润。