材料力学第2版 课后习题答案 第7章 弯曲变形
材料力学07弯曲变形_2叠加法
第六节 简单超静定梁
q
A
B
l
求解简单超静定梁的基本步骤 ——
1. 解除多余约束，以相应的多余未知力代之作用，得到原超静 定梁的相当系统；
2. 根据多余约束处的位移条件，建立变形协调方程；
3. 计算相当系统在多余约束处的相应位移，由变形协调方程得 补充方程；
4. 由补充方程求出多余未知力，即转为静定问题。
F
2EI
EI
A
B
C
Байду номын сангаас
l/2
l/2
[例3] 外伸梁如图，试用叠加法计算截面 C 的挠度 wC 和转角C ，
设梁的抗弯刚度 EI 为常量。
F
A
B
C
l
a
[例4] 如图，在简支梁的一半跨度内作用均布载荷 q ，试用叠加 法计算截面 C 的挠度 wC。设梁的抗弯刚度 EI 为常量。
q
A
C
B
l/2
l/2
第五节 弯曲刚度计算
max
400
故梁的刚度满足要求
[例2] 图示工字钢简支梁，在跨中承受集中力 F 作用。已知 F =
35 kN，跨度 l = 4 m ，许用应力 [ ] = 160 MPa ，许用挠度 [w ] =
l / 500 ，弹性模量 E = 200 GPa 。试选择工字钢型号。
解： 1）强度计算
最大弯矩
M max
w Fl3 max 48EIz
根据梁的刚度条件
w Fl3 ≤w l
max 48EIz
500
得梁截面对中性轴的惯性矩
Iz
≥ 500Fl2 48E
2.92 105
m4
材料力学第七章课后题答案 弯曲变形
(a) (b)
7
该梁的位移边界条件为：
在x 0处， w0 dw 在x 0处， 0 dx 将条件(c)与(d)分别代入式(b)和(a)，得 D 0，C 0 4．建立挠曲轴方程 将所得 C 与 D 值代入式(b)，得挠曲轴的通用方程为
1 Fa 2 F 3 3Fa [ x x xa EI 4 6 4 由此得 AC 段、 CD 段和 DB 段的挠曲轴方程依次为 w
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1或w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
41qa 4 ( ) 240EI 将以上所得 C 值和 x 2a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC θB qa 3 7 4 16 1 187 203qa 3 [ ] EI 24 24 24 720 720 EI ()
(4)
D1 0 ， C1
由条件（4） 、式（a）与（c） ，得
qa 3 12 EI
C2
由条件（3） 、式（b）与（d） ，得
qa 3 3EI
D2
7qa 4 24 EI
3. 计算截面 C 的挠度与转角 将所得积分常数值代入式（c）与（d） ，得 CB 段的转角与挠度方程分别为
q 3 qa 3 x2 6 EI 3EI 3 q qa 7 qa 4 4 w2 x2 x2 24 EI 3EI 24 EI 将 x2=0 代入上述二式，即得截面 C 的转角与挠度分别为
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1 或 w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
Fa 3 ( ) 12 EI 将以上所得 C 值和 x 3a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC
材料力学 第7章 弯曲变形
M
Fx 挠曲轴近似微分方程： w ' ' EI 3 2 Fx Fx w Cx D w' ( x) C 6 EI 2EI
梁的弯矩方程： M ( x ) Fx
2、确定积分常数
FAy
A x
F L
B
X=0, w=0 X=L, w=0
M
Me L C＝－ ，D＝0 6 EI
3、挠度方程、转角方程及B截面的转角
FAy
x
F L
B
M
3、挠度方程、转角方程及B截面的转角
Fx w' (x) 2EI 3 Fx w 6 EI
2
将 x=L 代入转角方程：
FL2 B 2 EI
例2：简支梁AB，弯曲刚 度 EI为常数，受力偶 M=FL作用，求w(x)，
FAy
A x
F L
B
θ(x)；
解：1、 建立挠曲轴微分方程并积分 A端约束反力 FAy=F
FA A a l
x
F D b
FB
B x
Fb 解：坐标系如图，求出反力。 FA l 分AD、DB两段分析：
y
Fa FB l
b AD段： 0 x a M x F x l b M x F x 则： EIw1 l
积分可得：
b M x F x EIw1 l
= 0
自由端：无位移边界条件。 位移连续与光滑条件 挠曲轴在B点连续且光滑 连续：wB左= wB右 光滑：左 = 右
F A B D
写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件。 例：
F A B C E D
思考： 1、 该梁可分几段积分？ 2、 各边界和内部分界点有多少位移边界与连续条件？ 分4段。 位移边界条件：A端：2个； C端：1个；D端：无。 位移连续条件：E：2个；B：1个；C：2个
材料力学-第7章 弯曲变形
梁弯曲问题的近似和简化
q( x)
M0
ML
Q0
QL
弯曲问题中，不考虑轴向拉伸。因此，梁内力只有弯矩和剪力 下面，我们分别考虑弯矩和剪力引起的弯曲变形效果
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线 垂直于轴线的横截面弯曲后仍为平面，仍 垂直于轴线，只是相互间转动一个角度
M
弯矩引起的弯曲变形
M
剪力引起的弯曲变形
例题
2
已知：简支梁受力如 图所示。FP、EI、l均为已 知。 求：加力点B的挠度和 支承A、C处的转角。
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法
解：1． 确定梁约束力 首先，应用静力学方法求得 梁在支承A、C二处的约束力分别 如图中所示。 解：2． 分段建立梁的弯矩方程 因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段 建立弯矩方程。 在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的 弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～ l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力 3FP/4和荷载FP。
Q
垂直于轴线的横截面弯曲后不垂直于轴线
Q
材料力学中一般考虑细长梁，顾而可以忽略剪力引起的变形，只 考虑弯矩引起的变形。因为所有横截面始终与轴线垂直，所以，梁的 弯曲变形可以仅用轴线来表征。空间的梁简化成一轴线。
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
问题1： 如何表征梁的弯曲变形
－用什么物理量来描述梁的变形
( x)
w
x
x
( x)
w( x)
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
* 弯曲变形的表征
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置 的改变称为位移 (displacement) 。梁的位移包括三部分：
材料力学弯曲变形答案
第一章 绪论一、是非判断题1.1 材料力学的研究方法与理论力学的研究方法完全相同。
( ) 1.2 内力只作用在杆件截面的形心处。
( ) 1.3 杆件某截面上的内力是该截面上应力的代数和。
( ) 1.4 确定截面内力的截面法，适用于不论等截面或变截面、直杆或曲杆、基本变形或组合变形、横截面或任意截面的普遍情况。
( ) 1.5 根据各向同性假设，可认为材料的弹性常数在各方向都相同。
( ) 1.6 根据均匀性假设，可认为构件的弹性常数在各点处都相同。
( ) 1.7 同一截面上正应力ζ与切应力η必相互垂直。
( ) 1.8 同一截面上各点的正应力ζ必定大小相等，方向相同。
( ) 1.9 同一截面上各点的切应力η必相互平行。
( ) 1.10 应变分为正应变ε和切应变γ。
( ) 1.11 应变为无量纲量。
( ) 1.12 若物体各部分均无变形，则物体内各点的应变均为零。
( ) 1.13 若物体内各点的应变均为零，则物体无位移。
( ) 1.14 平衡状态弹性体的任意部分的内力都与外力保持平衡。
( )1.15 题1.15图所示结构中，AD 杆发生的变形为弯曲与压缩的组合变形。
( )1.16 题1.16图所示结构中，AB 杆将发生弯曲与压缩的组合变形。
( )二、填空题1.1 材料力学主要研究 受力后发生的 ，以及由此产生的 。
1.2 拉伸或压缩的受力特征是 ，变形特征是 。
1.3 剪切的受力特征是 ，变形特征是 。
1.4 扭转的受力特征是 ，变形特征是 。
B题1.15图题1.16图1.5 弯曲的受力特征是 ，变形特征是 。
1.6 组合受力与变形是指 。
1.7 构件的承载能力包括 ， 和 三个方面。
1.8 所谓 ，是指材料或构件抵抗破坏的能力。
所谓 ，是指构件抵抗变形的能力。
所谓 ，是指材料或构件保持其原有平衡形式的能力。
1.9 根据固体材料的性能作如下三个基本假设 ， ， 。
工程力学(静力学和材料力学)第2版课后习题答案 范钦珊主编 .
eBook工程力学（静力学与材料力学）习题详细解答（教师用书）(第7章)范钦珊唐静静2006-12-18第7章弯曲强度7－1 直径为d的圆截面梁，两端在对称面内承受力偶矩为M的力偶作用，如图所示。
若已知变形后中性层的曲率半径为ρ；材料的弹性模量为E。
根据d、ρ、E可以求得梁所承受的力偶矩M。
现在有4种答案，请判断哪一种是正确的。
习题7－1图(A) M＝Eπd 64ρ64ρ (B) M＝Eπd4Eπd3(C) M＝32ρ32ρ (D) M＝Eπd34 正确答案是。
7－2 关于平面弯曲正应力公式的应用条件，有以下4种答案，请判断哪一种是正确的。
(A) 细长梁、弹性范围内加载；(B) 弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内；(C) 细长梁、弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内；(D) 细长梁、载荷加在对称面或主轴平面内。
正确答案是 C _。
7－3 长度相同、承受同样的均布载荷q作用的梁，有图中所示的4种支承方式，如果从梁的强度考虑，请判断哪一种支承方式最合理。
l 5习题7－3图正确答案是7－4 悬臂梁受力及截面尺寸如图所示。
图中的尺寸单位为mm。
求：梁的1－1截面上A、 2B两点的正应力。
习题7－4图解：1. 计算梁的1－1截面上的弯矩：M=−⎜1×10N×1m+600N/m×1m×2. 确定梁的1－1截面上A、B两点的正应力：A点：⎛⎝31m⎞=−1300N⋅m 2⎟⎠⎛150×10−3m⎞−20×10−3m⎟1300N⋅m×⎜2My⎝⎠×106Pa=2.54MPa(拉应力)σA=z=3Iz100×10-3m×150×10-3m()12B点：⎛0.150m⎞1300N⋅m×⎜−0.04m⎟My⎝2⎠=1.62×106Pa=1.62MPa(压应力)σB=z=3Iz0.1m×0.15m127－5 简支梁如图所示。
材料力学高教第二范钦珊第7章习题答案
习题7-4图 材料力学_高教第二版_范钦珊_第7章习题答案第7章 弹性平衡稳定性分析7－1 关于钢制细长压杆受力达到分叉载荷之后，还能不能继续承载，有如下四种答案，试判断哪一种是正确的。
（A ）不能，因为载荷达到临界值时，屈曲位移将无限制地增加； （B ）能，压杆一直到折断时为止都有承载能力；（C ）能，只要横截面上的最大应力不超过一定限度； （D ）不能，因为超过分叉载荷后变形不再是弹性的。
正确答案是 C 。
7－2 图示两端铰支圆截面细长压杆，在某一截面上开有一小孔。
关于这一小孔对压杆承载能力的影响，有以下四种论述，试判断哪一种是正确的。
（A ）对强度和稳定承载能力都有较大削弱； （B ）对强度和稳定承载能力都不会削弱；（C ）对强度无削弱，对稳定承载能力有较大削弱；（D ）对强度有较大削弱，对稳定承载能力削弱极微。
正确答案是 D 。
7－3 图示a 、b 、c 、d 四桁架的几何尺寸、杆的横截面直径、材料、加力点及加力方向均相同。
关于四桁架所能承受的最大外力F Pmax 有如下四种结论，试判断哪一种是正确的。
（A ）)d ()b ()c ()a (max P max P max P max P F F F F =<=； （B ）)d ()b ()c ()a (max P max P max P max P F F F F ===； （C ）)c ()b ()d ()a (max P max P max P max P F F F F =<=；（D ）)d ()c ()()a (max P max P max P max P F F b F F =<=。
正确答案是 A 。
正确答案是 D 。
7－5 一端固定、另一端弹簧侧向支承的压杆。
若可采用欧拉公式22Pcr )/(πl EI F μ=，试确定其中长度系数的取值范围为（A ）0.2>μ；（B ）0.27.0<<μ；（C ）5.0<μ；（D ）7.05.0<<μ。
第七章 弯曲变形
材料力学
弯曲变形/挠曲线的近似微分方程
二、挠曲线的近似微分方程
1 M ( x) 力学公式 ( x) EI z d2y 1 dx2 数学公式 3 ( x) dy 2 2 [1 ( ) ] dx 1
，得：
以上两式消去
材料力学
d2y M ( x) dx2 3 EI z dy 2 2 [1 ( ) ] dx
材料力学
x 0, y A 0
x a时，C左 C右 x a时，yC左 yC右
x L, yB lBD
FBy h EA
FBy k
弯曲变形/用积分法求梁的变形
讨论：
（1）凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点；
（2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点； （3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两 部分之间的相互作用力，故应作为分段点；
B L x
A
x L时，yB 0.
材料力学
弯曲变形/用积分法求梁的变形 若B支座改为弹簧支撑，则： y A a
L
若B支座改为拉杆支撑，则： D B kx A a
L
F
C
b
F C b
EA
h
x 0, y A 0
B
x a时，C左 C右 x a时，yC左 yC右
x L, y B
弯曲变形/用积分法求梁的变形 AC段 (0 x a) BC段 (a x L) Fb 2 Fb 2 F EI y1 EI 1 x C1 , EI y2 EI 2 x ( x a ) 2 C2 , 2L 2L 2 Fb 3 Fb 3 F EIy 1 x C1 x D1 , EIy 2 x ( x a ) 3 C2 x D2 , 6L 6L 6 3、确定常数 由边界条件：
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250
−qx l⎞ ⎛ 9l 3 − 24lx 2 + 16 x 3 ) ⎜ 0 ≤ x ≤ ⎟ ( 384 EJ 2⎠ ⎝ − ql ⎛l ⎞ y2 = −l 3 + 17l 2 x − 24lx 2 + 8 x 3 ) ⎜ ≤ x ≤ l ⎟ ( 384 EJ ⎝2 ⎠
y1 =
41ql 4 ( x = 0.25l ) 1536 EJ 5ql 4 ⎛l⎞ y⎜ ⎟ = − 768EJ ⎝2⎠
习 题 7-1 用积分法求图示各悬臂梁自由端的挠度和转角，梁的抗弯刚度EI为常量。
7－1 （a） M( x) = M 0
∴ EJy '' = M 0 1 EJy ' = M 0 x + C EJy = M 0 x 2 + Cx + D 2 边界条件: x = 0 时 y = 0 ； y' = 0
代入上面方程可求得：C=D=0
（c）
l−x q0 l q0 1 3 ⎛l−x⎞ M ( x) = − q( x) ( l − x ) ⎜ ⎟ = − ( l − x) 2 6l ⎝ 8 ⎠ q 3 ∴ EJy '' = 0 ( l − x ) 6l q 4 EJy ' = − 0 ( l − x ) + C 24l q 5 EJy = 0 ( l − x ) + Cx + D 120l y = 0 ； y' = 0 边界条件： x = 0 时 q( x) =
）
（c）解：
q0 x l q x2 EJy ''' = 0 + C 2l q0 x3 '' EJy = + Cx + D 6l q x 4 Cx 2 EJy ' = 0 + + Dx + A 24l 2 q0 x5 Cx 3 Dx 2 ' EJy = + + + Ax + B 120l 6 2 ⎧y=0 ⎧y=0 边界条件： x = 0 ⎨ '' x = l ⎨ '' ⎩y = 0 ⎩y = 0 ql D=0 ∴C = − 0 6 7q l 3 A= 0 B=0 360 EJy '''' =
解：查自重得：
q = 587.02 N / m
J = 15760cm4 Pl 3 5ql 4 f =− − 48EJ 384EJ −176 × 103 × 113 = 48 × 210 × 109 × 15760 × 10−8 × 4 −587.02 × 5 × 114 + 385 × 210 × 109 × 15760 × 10−8 × 4 = 0.0377 m = 3.77cm
M ( x)1 = − qi M ( x) 2 = −
3a 2 + qax ( 0 ≤ x ≤ a ) 2
q 2 ( 2 a − x ) ( a ≤ x ≤ 2a ) 2 3a 2 EJy1'' = − qi + qax 2 3a 1 EJy1' = − qa( x + x 2 ) + C1 2 2 3a 2 1 3 EJy1 = − − qa ( x + x ) + C1 x + D1 4 6 边界条件： x = 0 时 y = 0 ； y' = 0
代入上面方程可求得：C=D=0
∴y =
1 1 1 qx 4 (− ql 2 x 2 + qlx 3 − ) EJ 4 6 24
244
1 1 2 1 1 (- ql x + qlx 2 − qx 3 ) EJ 2 2 6 -1 3 -1 4 θB = ql yB = ql 6EJ 8EJ
θ =y ' =
(d) 解：
D A P P E
' yC = y E + θ B ia + y C
C B P
− P ( 2a ) − Pa 3 − Pa3 = − − 3EJ 3EJ 3EJ 3 −10 Pa = 3EJ
3
252
7-5 门式起重机横梁由4根36a工字钢组成如图所示， 梁的两端均可视为铰支， 钢的弹 性模量E=210Gpa。试计算当集中载荷P＝176 kN作用在跨中并考虑钢梁自重时，跨中截面 C的挠度yC。
245
∴y =
1 3⎞ ⎛1 2 ⎜ Pax − Px ⎟ 6 ⎝2 ⎠ 1 ⎛ 1 2⎞ θ = y' = ⎜ Pax − Px ⎟ EJ ⎝ 2 ⎠
1 EJ
yB = yC + θ C ia = Pa 2 θB = 2 EJ
(e)
Pa 3 Pa 2 5Pa 3 + ia = 3EJ 2 EJ 6 EJ
'' 1
⎛ 5a 2 2 1 3 1 4 ⎞ EJy1 = − q ⎜ x − ax + x ⎟ + C1 x + D1 3 24 ⎠ ⎝ 4 边界条件： x = 0 时 y = 0 ； y' = 0
代入上面方程可求得：C1=D1=0
EJy2 = − q(2a 2 − ax) 1 EJy2' = −q (2a 2 x − ax 2 ) + C2 2 1 EJy2 = − − q (a 2 x 2 − ax 3 ) + C2 x + D2 6 边界条件： x = a 时 y1 = y2 ； y1'' = y2'' 9a 3 6 71 qa 4 yB = − 24 EJ 13 qa 3 θB = − 6 EJ
249
∴y =−
q0 x ( 3x4 − 7l 4 − 10l 2 x 2 ) 360lEJ q0 θ = y' = − 15 x 4 − 30l 2 x 2 ) ( 360lEJ q l4 最大挠度： f = − 0 （ x = 0.5193l ） 153EJ 7 q0l 3 q l3 θA = − θB = 0 360 EJ 45 EJ M ( x)1 = M ( x) 2 =
f =
3ql 3 128EJ 7 ql 3 θB = 384 EJ
θA = −
7-3 已知下列各梁的抗弯刚度EI为常量，试用初参数法求各梁的挠曲线方程，并计算 θC、yC、及θD、yD 。 7-4 计算下列铰接梁在C处的挠度，设梁的抗弯刚度EI为常量。
(a)解：
251
M0 a
M0
A
C
M0 M a2 yc = a × a 3 = 0 3EJ 3EJ
yB = −
(f)
5qa 2 qx 2 + 2qax − (0 ≤ x ≤ a) 2 2 5qa 2 qa ⎛ a⎞ M ( x) 2 = − + 2qax − ⎜ x − ⎟ ( a ≤ x ≤ 2a ) 2 5 ⎝ 2⎠
M ( x)1 = −
⎛ 5a 2 1 ⎞ EJy = − q ⎜ − 2ax + x 2 ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎛ 5a 2 1 ⎞ EJy1' = − q ⎜ x − ax 2 + x3 ⎟ + C1 6 ⎠ ⎝ 2
'' 1
（d） 解：
3qlx qx 2 ⎛ − ⎜0 ≤ x ≤ 8 2 ⎝
l⎞ ⎟ 2⎠
ql l ⎞ (l − x) ⎛ ⎜ ≤ x ≤l⎟ 8 ⎝2 ⎠
3qlx qx 2 EJy = − 8 2 2 3qlx qx 3 EJy1' = − + C1 16 6 3qlx3 qx 4 EJy1 = − + C1 x + D1 48 24 ql EJy2 '' = ( l − x ) 8 ql ⎛ x2 ⎞ EJy2 ' = ⎜ lx − ⎟ + C2 8⎝ 2⎠
代入上面方程可求得： C = (d)
M ( x) = Pa − Px
EJy '' = Pa − Px 1 EJy ' = Pax − Px 2 + C 2 1 1 EJy = Pax 2 − Px3 + Cx + D 2 6 边界条件： x = 0 时 y = 0 ； y' = 0
代入上面方程可求得：C=D=0
7-6 松木桁条的横截面为圆形，跨长为 l =4m，两端可视为简支，全跨上作用有集度为q ＝1.8 kN/m的均布载荷。已知松木的许用应力[ σ ]＝10MPa，弹性模量E=1.0×103Mpa。此 桁条的容许挠度[y]= l /200，试求此桁条横截面所需的直径。 解：此松木条的最大挠度为
1 1 M0 x2 θ =y ' = M0 x 2EJ EJ 1 1 θ B = M 0l yB = M 0l 2 EJ 2EJ 2 q(l − x) 1 qx 2 （b） M( x) = = − ql 2 + qlx − 2 2 2 2 1 qx ∴ EJy '' = − ql 2 + qlx − 2 2 1 1 qx 3 EJy ' = − ql 2 x + qlx 2 − +C 2 2 6 1 2 2 1 3 qx 4 EJy = − ql x + qlx − + Cx + D 4 6 24 y = 0 ； y' = 0 边界条件： x = 0 时 ∴y =
∴ y1 = −
代入上面方程可求得： C2 =
9a 2 6
D2 = −
qa 4 24
y2 =
−q 16 x 4 − 128ax 3 + 384a 2 x 2 − 64a 3 + 16a 4 ) ( a ≤ x ≤ 2a ) ( 384 EJ