等离激元小结
关于liénard方程存在极限环的两个定理
关于liénard方程存在极限环的两个定理1. Liénard方程极限环定义Liénard方程极限环是指满足Liénard方程的解的极限环，即当x，y 满足Liénard方程时，存在一个极限环，使得x，y收敛到该极限环上。
2. Liénard方程极限环存在性定理Liénard方程极限环存在性定理认为，Liénard方程的解存在极限环，即存在某个有限的时间段内，解的轨迹在某一点上重复。
此外，该定理还指出，Liénard方程的极限环的轨迹在某一点上重复的次数是有限的。
3. Liénard方程极限环稳定性定理Liénard方程极限环稳定性定理指出，Liénard方程的极限环是稳定的，即它们不会被任何小的外力扰动。
另外，它们也不会受到任何未知的内部力的影响，即它们是恒定的。
## 4. Liénard方程极限环的应用Liénard方程极限环的应用主要包括：1. 用于描述振荡系统的特性，如振荡器、滤波器、振荡器等；2. 在混沌理论中，Liénard方程极限环被用来描述混沌系统的行为；3. 在经济学中，Liénard方程极限环可以用来描述货币市场的行为；4. 在生物学中，Liénard方程极限环可以用来描述生物系统的行为；5. 在物理学中，Liénard方程极限环可以用来描述物理系统的行为，如热力学、电磁学等；6. 在数学中，Liénard方程极限环可以用来描述数学模型的行为。
5. Liénard方程极限环的研究进展Liénard方程是一个非线性的微分方程，它的极限环研究已经有一段时间了。
在过去的几十年里，有许多研究者对Liénard方程的极限环进行了深入的研究，并取得了一些重要的成果。
首先，许多研究者对Liénard方程的极限环进行了深入的分析，并发现了一些重要的定理。
（完整word版）表面等离激元
（完整word版）表⾯等离激元表⾯等离⼦体共振波长1.共振波长的基本求解思路表⾯等离激元(SP)是指在⾦属和电介质界⾯处电磁波与⾦属中的⾃由电⼦藕合产⽣的振动效应。
它以振动电磁波的形式沿⾦属和电介质的界⾯传播，并且在垂直离开界⾯的⽅向，其振幅呈现指数衰减。
表⾯等离激元的频率与波⽮可以通过⾊散关系联系起来。
其垂⾄于⾦属和电解介质界⾯⽅向电磁场可表达为:式中表⽰离开界⾯的垂直距离，当时取+，时取⼀。
式中为虚数，引起电场的指数衰减。
波⽮平⾏于⽅向，，其中为表⾯等离⼦体的共振波长。
由表达式可见，当时，电磁场完全消失，并在时为最⼤值。
函数，以及电介质的介电常数来求解表⾯等离激元的的⾊散关系，由公式: ，可得到等离激元⾊散关系式为: ，如果假设和都为实数，且，则可获得⼀个较为复杂的⾊散关系式其中， (从实部可以计算SPPs 的波长'2/x SPP K λπ=，SPPs 的传播距离SPP δ主要决定于虚部''2SPP SPPs k δ=2. ⾦属表⾯等离体⼦频率的求解当波⽮较⼤或者时，的值趋向于21P SP ωωε=+ 对于⾃由电⼦⽓，，是⾦属体电⼦密度，是电⼦有效质量，是电⼦电荷。
因此，随增⼤⽽减⼩。
(1)具有理想平⾯的半⽆限⾦属全空间内电势分布满⾜拉普拉斯⽅程：由于在⽅向上介质和⾦属都是均匀的，所以可令解的形式为得拉普拉斯⽅程的解由以及边界条件：可以得到介质与⾦属相对电容率之间的关系：,假设介质的相对电容率为与频率⽆关的常数，由⾦属相对电容率的表⽰式可知因此⾦属表⾯等离体⼦频率为当介质为真空时，得到⾦属表⾯等离体⼦频率为(2)⾦属中存在着⼤量的价电⼦，它们可以在⾦属中⾃由地运动．由于价电⼦的⾃由移动性及电⼦间存在着库仑相互作⽤，所以在⾦属内部微观尺度上必然存在着电⼦密度的起伏．由于库仑作⽤的长程性，导致电⼦系统既存在集体激发(即等离体⼦振荡)，也存在个别激发(即准电⼦)．⽽在⼩波⽮近似下只存在集体激发，故可以将电⼦密度的傅⾥叶分量作为集体坐标来描述这种关联，在k ⼀0的极限下，有式中为单位体积内的电⼦数．由此⽅程可以得到⾦属内等离体⼦振荡频率从以上讨论及推导可以看出，⾦属等离体⼦振荡实际上是在库仑作⽤参与下的⾼粒⼦数密度系统中电⼦的集体运动，等离体⼦就是电⼦集体振荡的能量量⼦．由于库仑势场是纵场，因此等离体⼦是纵振动的量⼦．以上所讨论的情况没有考虑到⾦属边界的影响，即认为⾦属是⽆限⼤的，计算得到的频率为块状⾦属中的体相等离体⼦频率．3.⾦属介电常数的求解(1)另外，根据Drude ⾃由电⼦⽓模型，理想⾦属的介电⽅程可写为: 22()1p i ωεωωτω=-- ,p ω是等离⼦体振荡频率,,τ是散射速率描述电⼦运动遭遇散射⽽引起的损耗， 161311.210/, 1.4510p rad s s ωτ-=?=?对于银,。
liénard方程极限环存在定理
liénard方程极限环存在定理等廓尔喷方程，是在不受外界输入力的情况下，由一个二阶微分方程描述某个系统的运动状态的重要模型。
1890年，这一模型被法国数学家P. H. Liénard以求解飞轮与减速机结合系统动作状态时提出，故而以此人命名。
此模型在很多领域，如生物动力学，机械，国际经济以及系统科学等有着广泛应用。
由于这一模型的应用范围广泛，因此许多学者研究，致力于探讨其特性及行为规律。
最初，西班牙数学家Romero de la Fuente和Bogomolniy的研究表明，Liénard方程的解的存在性与主数的值有关，某个特定区域的变量大于一定值后，方程的解就不存在了。
另一位西班牙数学家Mategakis，在此基础上更进一步，指出，Liénard方程存在一个极限环，满足特定条件的变量值再在该极限环内滚动，便构成一个神奇的状态，系统就处于一个稳定状态。
他根据极限环理论，分析研究了系统变量的变化规律，并提出了关于极限环的极限定理，即存在某种数学函数的条件下，其极限环的频率会是一个常数。
Liénard方程的极限环定理，可以为各个领域提供一种新的科学探讨和分析工具。
在机械、生物及经济等领域，可以运用此理论实现系统性研究，以便达到更快更有效的运行状态。
而在流形动力学、家喻户晓的滑轮机构、卡尔曼滤波器、奖励机制及复杂离散时间系统的研究中，其应用也相当普遍，以帮助人们了解系统的机构特征、行为模式以及预测性能。
因此，Liénard方程的极限环存在定理，不仅提高了系统的计算能力，更在复杂系统当中构建了一个新的科学框架，使得有效的理解、控制和仿真受到了非常大的帮助。
因此，Liénard方程极限环存在定理，在科学研究，实践应用中具有极为重要的作用，对于系统行为分析和把握运行特征有着深远意义。
表面等离极化激元(SPP)基本原理
c.双波模型[H.T.Liu and lanne,”Microscopic theory of the extraordinary optical transmission”Nature(London)452,728,2008]
现在讨论w>wp的情况。 当w很大时， wτ>>1，金属的介电函数可以忽略虚 部只考虑实部，可以近似为：
(
)
1
2 p
2
2 p2 K 2c2
当w>wp，则允许电磁波以群速度 vg=dw/dK<c在金属中传播。当w=wp时， epsilon(w)=0,它所对应的激发必然是电子的 集体纵振动。因为D=0，可以知道电场在wp 是一个纯粹的退极化场E=-P/epsilon0.其运 动状态可以想象为：离子是一块固定的正电
T (64 2 )( a )4 27
可以看出，一个明显的特征是，透射谱中出现了一系 列的峰、谷结构。除了 位于紫外（λ = 326nm，对应于体plasmon 频率）的 透射峰以外，在长波长的范 围内还有两组突出的透射极大（1000nm、1370nm） 和透射极小（900nm、1270nm）。尤其让人感到惊 奇的是，后一个透射峰位于1370nm；此波长约为小 孔直径的10倍。而且，其透射效率为4.4%；如果对 小孔的占空比（2.2%）进行归一化，则相对透射率 将达到2。这意味着，将有两倍于直接入射到小孔上 的光能够被透射；或者说，有一部分光即使没有入射 到小孔上也能被透射。而根据Bethe 的理论，这样大 的小孔，其透射效率充其量也不过3.4e−3。据此可知， 小孔阵列能够产生近600 倍的透射增强。
此外，他们还测试了透射谱对一些参数（如周期、孔径、膜厚及金属材料等） 的依赖关系，并发现了一些共同的特征。如:透射峰的位置决定于周期，而 与孔径、膜厚及金属的种类无关；透射峰的宽度决定于孔径与膜厚的比，孔径 越大、膜厚越小，则峰越宽；而且，透射峰的高度依赖于膜厚，膜越厚，则峰 越低。另外，至关重要的一点是，薄膜必须为金属膜；如果是非金属材料，则 无透射增强效应。
局域表面等离激元
局域表⾯等离激元局域表⾯等离激元2016年6⽉11⽇ 来源：中国物理学会期刊⽹1 引⾔把光场的能量集中到⼀个很⼩的区域可以显著地增强光和物质的相互作⽤，在这种条件下，我们可以很容易观测到物质的⼀些⾮线性光学效应，强光还可以诱导物质的物理化学变化。
在使⽤凸透镜等光学元件(见图1(a))聚焦光场时，不可避免会遇到⼀个瓶颈，那就是光的衍射极限。
图1(b)给出了透镜汇聚平⾏光后由于衍射产⽣的艾⾥斑的能量分布，光场的能量被聚焦在⼀个与波长尺度相当的空间中，衍射极限限制了光场的聚焦区域的⼤⼩，同时也限制了光学显微技术的精度。
如果把光场的能量聚焦到⼀个远⼩于波长的尺度，不仅可以产⽣强场，⽽且可以⼤⼤促进光学显微技术的发展。
但是如何进⼀步聚焦光场呢？局域表⾯等离激元提供了⼀个解决办法(见图1(c)—(e))，具有局域表⾯等离激元特性的⾦属纳⽶颗粒可以把光场聚焦或局域到远⼩于波长的纳⽶尺度空间内。
图1 (a)透镜聚焦平⾏光的⽰意图；(b)600 nm 的光经过凸透镜聚焦产⽣的艾⾥斑的能量分布，透镜直径和焦距都为2 cm；(c)贵⾦属纳⽶颗粒⽰意图；(d)直径30 nm、长度60 nm 的⾦纳⽶棒在其纵向共振波长(560 nm)处局域光场的能量分布，颜⾊条下⾯的数字表⽰对数坐标下的相对电场场强数值(局域电场场强相对于激发光场强的⽐值)；(e)为(d)中虚线框的放⼤图表⾯等离激元起源于⾦属(或⾼掺杂半导体)纳⽶结构中类⾃由电⼦在外电磁场激发下，电⼦运动与电磁场互相激励产⽣的共谐振荡。
类似于声⼦是晶体中原⼦集体振荡运动的量⼦化描述，表⾯等离激元(或称为电浆⼦)是电⼦及电磁场的共谐振荡量⼦化后的准粒⼦。
表⾯等离激元携带有相应的准动量和能量。
在⾦属薄膜和介质的界⾯处，表⾯等离激元可以沿着界⾯传播(见图2(a))，传播的距离决定于材料本⾝由于电⼦共谐振荡⽽产⽣的欧姆损耗。
这类表⾯等离激元被称为传导表⾯等离激元，其具体描述可以参见童廉明与徐红星研究员发表在2012 年第9 期《物理》上的专题⽂章。
石墨烯表面等离激元特性研究
学位论文作者签名： 签字日期： 年 月 日
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学位论文作者毕业去向： 工作单位： 通讯地址：
电 邮
话： 编：
万方数据
目 录
摘 要 ........................................................................................................................ 1 ABSTRACT ............................................................................................................ 3 第一章 引言 ......................................................................................................... 5
第三章
石墨烯表面等离激元特性研究 ................................................ 39
3.1 FDTD 研究方法及仿真软件介绍 .................................................................... 39 3.1.1 FDTD 研究方法........................................................................................ 39 3.1.2 FDTD Solutions 仿真软件简介............................................................ 40 3.2 石墨烯表面等离激元的产生 ........................................................................... 40 3.2.1 石墨烯的介质特性.................................................................................... 40 3.2.2 多层石墨烯表面等离激元的 Kretschmann 模型仿真和分析............... 44 3.2.3 单层石墨烯的表面等离激元研究........................................................... 51 3.2.2.1 自由空间内的单层石墨烯的表面等离激元 .................................... 51 3.2.2.2 基底上的单层石墨烯的表面等离激元 ............................................ 55 3.2.2.3 自由空间内的单层石墨烯条带阵列的表面等离激元 .................... 60 3.2.2.4 基底上的单层石墨烯条带阵列的表面等离激元 ............................ 62 本章小结 .................................................................................................................. 64
第四章_等离激元
Ek Ck Ck
k ,
3 电子集体振荡的经典理论
对电子密度的傅里叶分量 q e
j iqr j
求导：
q i q v j e
j
iq r j
v j rj 是第j个电子的速度。
再对时间求导：
q {(q v j ) iq v j }e
假如略去q' q项，只保留 ' q的项，那么可得线性化 q 方程：
4e 2 2 iq r j q (q v j ) e m j 或
2 q P q (q v j ) 2 e j iq r j
当q 0时，可求得 q的简谐振动方程：
kq
密度起伏算符 q Ck qCk 是总动量为 q 的所有 k
电子-空穴对运动的简单叠加。
我们只要能解出电子-空穴对的运动方程，则电子体系的元激发谱就求得了
v * 首先我们考虑电子-空穴对之间不存在相互作用： (q) 0
H Ek CkCk H 0
k
代表独立电子系统。那么
N
H 是均匀分布正电荷背景 的贡献， 包括正电荷背景的自作 用能以及它与电子的互 作用能。
设有N个共有化电子，并取单位样品体积V=1，有：
e2 v(q)eiqr , r q 那么：
N
4e 2 v(q ) 2 q
2 i2 1 iq( r r ) H ' v(q)e i j H 2 q i, j i 1 2m
相对于这个“真空”的个别激发是从费米球内k态上拿出一个电子放到球外
k+q空态上去，于是在金属的“真空”上产生了一个k+q电子和一个k空穴。
等离激元 欧姆损耗 热效应
等离激元欧姆损耗热效应
等离激元、欧姆损耗和热效应，这些词汇在物理学和工程学领域具有深远的意义。
但在日常生活和大众媒体中，它们往往被忽视或误解。
本文将为您深入解读这三个概念，以期帮助读者更好地理解这一领域。
一、等离激元
等离激元是一种特殊的电磁波，存在于金属表面的自由电子与光子的相互作用中。
在特定条件下，金属表面的自由电子可以形成一种波状结构，这种结构被称为等离激元。
等离激元具有很高的局域性和传播性，在光子器件、表面增强光谱和太阳能利用等领域具有广泛的应用前景。
二、欧姆损耗
欧姆损耗是指在电流通过导体时，由于电阻的作用而产生的能量损失。
在电导过程中，电子与导体内的原子或分子的相互作用会产生热量，这就是欧姆损耗。
欧姆损耗不仅会导致能量的损失，还会对导体的性能产生影响，如降低导体的导电能力和可靠性。
因此，减少欧姆损耗是材料科学和工程技术领域的重要研究方向。
三、热效应
热效应是指物质在发生物理或化学变化时释放或吸收的热量。
在电子设备中，电流通过导体时会产生热量，这种热量会导致设备温度升高，影响设备的性能和寿命。
因此，热效应是电子设备设计和优化
中必须考虑的因素。
为了解决热效应问题，人们采用了各种散热技术和材料，如散热片、散热风扇和热管等。
总之，等离激元、欧姆损耗和热效应是物理学和工程学领域的核心概念。
它们在光子器件、表面增强光谱和太阳能利用等领域具有广泛的应用前景，同时也涉及到电子设备的性能和可靠性。
通过深入了解这些概念，我们可以更好地理解相关领域的发展和应用，为未来的科技发展做出贡献。
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surface plasmon
sp p / 1 d
Drude model
m
2 p
(
i
)
* Drude模型的推导：
mv eE ma
x
xБайду номын сангаас
e
E
m
x e/m E
2 i
D 0 E P 0 E nex 0m E
9. 局域等离激元共振 A 10. 局域等离激元共振 B
* 球形纳米颗粒的LSP共振&与SPP异同：
p
40 d a3
m d m 2 d
E
4 a3 m d m 2 d
LSP共振条件：
m 2d 0
m
2 p
/2
R p / 2d
D 0mE, B 0H, (E, H eit ).
复介电常数：
m ()
r
i 0
* 边界条件：
E2t E1t
H2t H1t 0
B2n B1n D2n D1n 0
* 金属内的元激发& Drude模型：
Bulk plasmon
p
ne2
16. 小 结
课程主要内容： 第一章 从介质到金属
1. 绪论 2. Maxwell方程 3. 时谐电磁波在介质中的传播 4. 金属的介电和光学特性
* 金属内时谐场满足的复数形式的Maxwell方程：
D 0, E B t
B 0, H D t
* 亚波长矩形小孔的截止波长&截止共振：
c 2(a 2 )
d
(1
2
b
)
c 2ay
* 二维小孔阵列的增强透射效应：
Rayleigh anomaly + SPP resonance!
* 增强透射机制：
k// k0 1 sin Gmn
Gmn 2 m ex 2 n ey
d
d
Rayleigh anomaly (dips):
k// k0 i (i 1,3)
R
ni d m2 n2
SPP resonances (peaks):
k// kspp
spp
d m2 n2
m i m i
Drude model
m
1
2 p
( i
)
第二章 表面等离极化激元
5. 金属表面等离激元 6. 表面等离激元的激发 7. 多层结构的表面等离激元 8. 伪表面等离激元
* 单界面SPP概念、特征及激发方式：
kspp
c
md . m d
kspp i , vp / , L 1 /
t
2 x
Insulator
1
s k0
d
2 d
m
tanh2
t
2
a k0
d
2 d
m
/
tanh2
t
2
* 伪表面等离激元
k0
1
a2 d2
tan2
k0h
d
d 2 a
cot k0h
Ex Ez
1
n2 ssp
z
a
d
x
h
PEC
第三章 局域表面等离激元
* 亚波长粒子的散射、吸收及消光截面：
p 0d E
E p
散射截面：
sc
Psc / Iin
k4
6
2.
吸收截面： ab Pab / Iin k Im( ).
消光截面：
ex sc ab
第四章 超构表面的光学性质
11. 亚波长小孔的光学性质 12. 异常光学透射效应 13. 微结构金属表面的光学性质
k12 2 k02 d ,
d
1 k1
k22 2 k02 m ,
m
1 k2
* 棱镜耦合共振条件：
k// k0 p sin kspp
* 光栅耦合共振条件：
d
k0 d sin Gm kspp
* 多层结构SPP
Insulator
3 z
metal