专题七不等式第二十一讲不等式综合应用

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不等式不等式的实际应用ppt

公共卫生政策
公共卫生政策通常需要考虑多种因素之间的平衡，例如，疫苗分配和传染病传播之间的不等式关系。利用不等式可以帮助制定更加科学合理的公共卫生政策。
不等式在医学中的应用
认知与情感
在心理学领域，不等式可以用来描述认知和情感之间的关系。例如，不等式可以表示不同个体在记忆、学习或决策过程中的差异，或者不同情感状态之间的不等关系。
行为与心理治疗
在心理治疗中，不等式可以用来描述不同行为和心理治疗方法的效果和适用范围。例如，不等式可以表示药物治疗与心理疗法之间的比较和选择。
不等式在心理学中的应用
在工程领域，不等式可以用来描述工程设计和优化问题。例如，不等式可以表示结构强度与材料之间的关系，或者不同设计方案的成本与性能之间的不等关系。
投资组合选择
在资本预算中，不等式可以用来确定项目的可行性和投资限制。例如，利用不等式可以将投资成本与预期收益进行比较，以确定哪些项目具有更高的投资回报。
资本预算
不等式在金融中的应用
诊断与治疗
在医学领域，不等式可以用来描述疾病的诊断与治疗方法。例如，不等式可以表示药物治疗的效果与药物剂量的关系，或者手术风险与患者年龄的关系等。
除此之外，不等式还可以按照其表现形式分为比较式、关系式、不等式组等
严格不等式是指对于任意两个实数a和b，如果a严格小于b，那么可以表示为a<b
不等式的分类
02
常见不等式
a+b≥2√ab，当且仅当a=b时等号成立。
均值不等式
均值不等式的形式
求最值、证明不等式、解决实际问题等。
应用场景
一般采用归纳法、一般化方法等。
代数式中不等式中等号取到的情况。
根据单调性求极值点，判断极值点左右单调性，得出单调区间和极值点，根据极值点和单调区间判断取得最大最小值的条件。

2021届高考数学总复习模块七选考模块第21讲不等式选讲学案文

第21讲不等式选讲1.[2021·全国卷Ⅰ]函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)假设不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.[试做]命题角度含绝对值的不等式的解法含绝对值不等式的解题策略:关键一:运用分类讨论思想,根据零点分区间讨论;关键二:运用数形结合思想,利用绝对值的几何意义求解.2.[2021·全国卷Ⅱ]a>0,b>0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b≤2.[试做]命题角度不等式的证明不等式证明的方法有比拟法、综合法、分析法、反证法、放缩法、公式法等,其中公式法常用的是根本不等式和柯西不等式.3.[2021·全国卷Ⅲ]函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;(2)设函数g(x)=|2x-1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.[试做]命题角度关于含绝对值不等式的恒成立问题解决恒成立问题主要利用转化思想,其思路为:①f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a;②f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a;③f(x)>a有解⇔f(x)max>a;④f(x)<a有解⇔f(x)min<a;⑤f(x)>a无解⇔f(x)max≤a;⑥f(x)<a无解⇔f(x)min≥a.解答1含绝对值的不等式的解法1 设函数f(x)=|2x-a|+5x,其中a>0.(1)当a=3时,求不等式f(x)≥5x+1的解集;(2)假设不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.[听课笔记]【考场点拨】高考常考的含有绝对值的不等式的解法:(1)利用零点分区间讨论法.以绝对值的零点为分界点,将数轴分成几个区间,运用分类讨论思想对每个区间进展讨论.(2)利用绝对值的几何意义求解.即运用数形结合思想,将绝对值不等式与在数轴上的距离(范围)问题结合.解题时强调函数、数形结合与转化化归思想的灵活应用.(3)构造函数去解决.一般是把含有绝对值的式子构造为一个函数,剩余的局部构造成另一个函数,画出函数图像,利用数形结合的方法解决问题.【自我检测】函数f(x)=|x+m|+|2x-1|.(1)当m=-1时,求不等式f(x)≤2的解集;(2)假设f(x)≤|2x+1|的解集包含3,2,求实数m的取值范围.4解答2不等式的证明2 函数f(x)=|x+1|-|x-4|.(1)假设f(x)≤-m2+6m恒成立,求实数m的取值范围;(2)在(1)的条件下,设m的最大值为m0,a,b,c均为正实数,当3a+4b+5c=m0时,证明:a2+b2+c2≥12.[听课笔记]【考场点拨】高考中不等式证明的关注点:不等式证明的方法有比拟法、综合法、分析法、反证法、放缩法、公式法等,其中以比拟法和综合法最为常见,反证法和分析法也是我们常用的,公式法常用的是根本不等式和柯西不等式,其中柯西不等式既是证明不等式的利器,又是求二元变量关系式最值的法宝.【自我检测】函数f(x)=|x-1|+|x-5|.(1)解关于x的不等式f(x)>6;(2)记f(x)的最小值为m,实数a,b,c都是正实数,且1a +12a+13a=a4,求证:a+2b+3c≥9.解答3含绝对值不等式的恒成立问题3 函数f(x)=|x-2|-|2x-2|.(1)求不等式f(x)+1>0的解集;(2)当x∈R时,f(x)<-x+a恒成立,求实数a的取值范围.[听课笔记]【考场点拨】利用绝对值不等式恒成立求参数的值或范围,一般采用别离参数法,然后使用结论:(1)如f(x)>g(a)恒成立,那么转化为f(x)min>g(a);(2)如f(x)<g(a)恒成立,那么转化为f(x)max<g(a).【自我检测】设函数f(x)=|x+a|+|x-3a|,a∈R.(1)假设f(x)的最小值是4,求a的值;(2)假设对于任意的实数x∈R,总存在a∈[-2,3],使得m2-4|m|-f(x)≤0成立,求实数m的取值范围.第21讲不等式选讲典型真题研析1.解:(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1<x≤-1+√172.所以f(x)≥g(x)的解集为{a|-1≤a≤-1+√172}.(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2,所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当x∈[-1,1]时f(x)≥2.又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2,且f(1)≥2,得-1≤a≤1.所以a的取值范围为[-1,1].2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+3(a+a)24(a+b)=2+3(a+a)34,所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.3.解:(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+2≤6,得-1≤x≤3.因此,f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.(2)当x∈R时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x=12时等号成立,所以当x ∈R 时,f (x )+g (x )≥3等价于|1-a|+a ≥3.① 当a ≤1时,①等价于1-a+a ≥3,无解. 当a>1时,①等价于a-1+a ≥3,解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2,+∞). 考点考法探究解答1例1 解:(1)当a=3时,不等式f (x )≥5x+1即|2x-3|+5x ≥5x+1,即|2x-3|≥1,解得x ≥2或x ≤1,∴不等式f (x )≥5x+1的解集为{x|x ≤1或x ≥2}.(2)由f (x )≤0得|2x-a|+5x ≤0,即{a ≥a 2,7a -a ≤0或{a <a2,3a +a ≤0,又a>0,∴不等式f (x )≤0的解集为x x ≤-a3, 由题意得-a3=-1,解得a=3. 【自我检测】解:(1)当m=-1时,f (x )=|x-1|+|2x-1|.①当x ≥1时,f (x )=3x-2≤2,此时1≤x ≤43; ②当12<x<1时,f (x )=x ≤2,此时12<x<1; ③当x ≤12时,f (x )=2-3x ≤2,此时0≤x ≤12.综合①②③可知,原不等式的解集为{a |0≤a ≤43}.(2)由题意可知f (x )≤|2x+1|在34,2上恒成立,当x ∈34,2时,由f (x )=|x+m|+|2x-1|=|x+m|+2x-1≤|2x+1|=2x+1,可得|x+m|≤2, 即-2≤x+m ≤2,所以-2-x ≤m ≤2-x ,又(-2-x )max =-114,(2-x )min =0,所以m ∈-114,0.解答2例2 解:(1)不等式f (x )≤-m 2+6m 恒成立等价于f (x )max ≤-m 2+6m , 而f (x )=|x+1|-|x-4|≤|x+1-(x-4)|=5,∴-m 2+6m ≥5,∴1≤m ≤5,即实数m 的取值范围为[1,5].(2)证明:在(1)的条件下,m 的最大值m 0=5,即3a+4b+5c=5, 由柯西不等式得(a 2+b 2+c 2)·(9+16+25)≥(3a+4b+5c )2, 即50(a 2+b 2+c 2)≥25,∴a 2+b 2+c 2≥12.【自我检测】解:(1)f (x )=|x-1|+|x-5|,所以由f (x )>6得{a <1,1−a +5−a >6或{1≤a ≤5,a -1+5-a >6或{a >5,a -1+a -5>6,解得x<0或x>6,所以不等式f (x )>6的解集为(-∞,0)∪(6,+∞).(2)证明:由f (x )=|x-1|+|x-5|≥|x-1-(x-5)|=4(当且仅当1≤x ≤5时取等号), 得f (x )min =4,即m=4,从而1a +12a +13a =1,所以a+2b+3c=1a +12a +13a(a+2b+3c )=3+a 2a +2aa+a 3a +3aa+2a 3a +3a 2a≥9(当且仅当a=2b=3c=3时取等号).解答3例3 解:(1)当x ≤1时,f (x )=x ,∴f (x )+1>0即为x+1>0,解得x>-1,此时-1<x ≤1;当1<x ≤2时,f (x )=-3x+4,∴f (x )+1>0即为-3x+5>0,解得x<53,此时1<x<53;当x>2时,f (x )=-x ,∴f(x)+1>0即为-x+1>0,解得x<1,此时x∈⌀.综上可知,f(x)+1>0的解集为x-1<x<53.(2)由(1)知f(x)={a,a≤1,-3a+4,1<a≤2, -a,a>2.作出y=f(x)的图像,如下图:结合图像可知,要使f(x)<-x+a恒成立,只需当x=1时,f(x)<-x+a,即1<-1+a,解得a>2,∴实数a的取值范围为(2,+∞).【自我检测】解:(1)∵f(x)=|x+a|+|x-3a|≥|(x+a)-(x-3a)|=4|a|,且f(x)min=4,∴4|a|=4,解得a=±1.(2)由题知|m|2-4|m|≤4|a|,又a是存在的且a∈[-2,3].∴|m|2-4|m|≤4|a|max=12,即|m|2-4|m|-12≤0,即(|m|-6)(|m|+2)≤0,∴|m|≤6,∴-6≤m≤6,即实数m的取值范围为[-6,6].[备选理由] 在不等式的证明中,反证法也是解决问题的一个重要思路,备用例1是对例2应用的一个补充.例1[配例2使用]函数f(x)=|2x-a|,g(x)=x+2,a∈R.(1)当a=1时,求不等式f(x)+f(-x)≤g(x)的解集;(2)假设b ∈R,求证:fa 2,f -a 2,f12中至少有一个不小于12.解:(1)当a=1时,f (x )+f (-x )≤g (x )即|2x-1|+|2x+1|≤x+2,所以{a ≤−12,-4a ≤a +2,无解;{-12<a <12,2≤a +2,解得0≤x<12;{a ≥12,4a ≤a +2,解得12≤x ≤23.综上,原不等式的解集为x 0≤x ≤23.(2)证明:(反证法)假设fa 2,f -a 2,f12都小于12,那么{ -12<a -a <12,-12<a +a <12,-12<a -1<12,前两式相加可得-12<a<12,与第三式12<a<32矛盾,故假设不成立. 所以f (a2),f (-a2),f (12)中至少有一个不小于12.。

不等式讲基本不等式及其应用课件pptx

柯西-施瓦茨不等式
在实数域上，柯西-施瓦茨不等式是一个基本的不等式，它在线性代数和数学分析中都有重要的应用。
范德蒙公式
范德蒙公式是柯西不等式的推广，它在线性代数和概率论中都有重要的应用。
排序不等式的推广
排序不等式是一种重要的组合不等式，它在线性代数、概率论和统计学中都有广泛的应用。对排序不等式进行扩展和推广，可以得到更为广泛和深刻的不等式。
排序不等式的证明
通过构造一个满足排序不等式的数组，利用数学归纳法和排序不等式的性质得出。
排序不等式的应用
在优化、经济、计算机科学等领域有广泛应用。
03
基本不等式的应用
最大值与最小值的求法
代数法
利用基本不等式，结合代数变形技巧，求出函数的最值。
三角法
利用基本不等式，结合三角函数性质，求出函数的最值。
在最大利润问题中，常常需要利用基本不等式来建立数学模型，通过优化资源配置或制定合理价格策略来达到最大利润。例如，在投资组合理论中，利用基本不等式可以确定最优投资组合比例，使得投资组合的期望收益最大。
资源分配问题
总结词
通过基本不等式，合理分配资源，实现整体效益最大化。
详细描述
在资源分配问题中，常常需要利用基本不等式来确定资源的分配比例，以实现整体效益最大化。例如，在电力系统规划中，可以利用基本不等式来确定各地区的电力分配比例，以保证整个系统的稳定性和可靠性。
基本不等式的形式
算术平均数与几何平均数
算术平均数：一组数的和除以这组数的个数。算术平均数不总是大于或等于几何平均数。
几何平均数：两个正数的乘积的平方根。当且仅当两数相等时，算术平均数等于几何平均数。
柯西不等式
柯西不等式

不等式的综合应用

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2 + bx + c > 0$ 或 $ax^2 + bx + c < 0$，其中 $a neq 0$。
一元二次不等式解法
判别式法
通过计算判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值，判断不等式的解集情况。
配方法
将不等式左边配成完全平方形式，再利用平方根的性质求解。
构建目标函数
根据问题的要求，构建合适的目标函数，使得目标函数的最优解对应不等式最值问题的解。
求解线性规划问题
利用线性规划方法求解转化后的线性规划问题，得到目标函数的最优解，从而得到不等式最值问题的解。
线性规划在不等式证明中的应用
不等式证明的转化
将不等式证明问题转化为线性规划问题，通过构建合适的目标函数和约束条件，使得原不等式的证明转化为验证目标函数的最优解是否满足特定条件。
通过绘制每个不等式的解集在坐标系中的表示区域，找出所有区域的交集，即为不等式组的解集。
代数法
通过消元法或代入法将多元一次不等式组转化为一元一次不等式或一元一次方程进行求解。
特殊值法
在特定情况下，可以通过代入特殊值来快速判断不等式组的解集。
实际应用举例
资源分配问题
在资源有限的情况下，如何合理分配资源使得多个目标同时得到满足，可以通过建立多元一次不等式组进行求解。
用不等号（<、>、≤、≥）连接两个数学表达式，表示它们之间的大小关系。
不等式的表示方法
除了使用不等号，还可以使用区间表示法、数轴表示法等。
不等式基本性质
传递性
若a<b且b<c，则a<c；若a>b且b>c，则a>c。

不等式专题讲解共38页文档

不等式专题讲解
16、人民应该为法律而战斗，就像为了城墙而战斗一样。 ——赫拉克利特 17、人类对于不公正的行为加以指责，并非因为他们愿意做出这种行为，而是惟恐自己会成为这种行为的牺牲者。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强者做什么事都横行霸道。— —奥维德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含义是财富。— —爱献生
谢谢！
36唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子

专题七不等式第二十一讲不等式的综合应用

专题七不等式第二十一讲不等式的综合应用一、选择题1．(2018北京)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤则A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈B ．对任意实数a ，(2,1)A ∉C ．当且仅当0a <时，(2,1)A ∉D ．当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉ 2．（天津）已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≥设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立，则a 的取值范围是A ．[2,2]- B．[2]- C．[2,- D．[-3．（北京）设{}n a 是等差数列．下列结论中正确的是A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a > D ．若10a <，则()()21230a a a a -->4．（陕西）设()ln f x x =，0a b <<，若p f =，()2a b q f +=， 1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是 A ．q r p = C ．p r q =< D ．p r q =>5．（重庆）若b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是A ．326+B ．327+C ．346+D ．347+6．（福建）若122=+y x ，则y x +的取值范围是A ．]2,0[B ．]0,2[-C ．),2[+∞-D ．]2,(--∞ 7．（山东）设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=．则当xy z取得最大值时， 212x y z+-的最大值为 A ．0 B ．1 C ．94D ．38．（山东）设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当z xy取得最大值时， 2x y z +-的最大值为A ．0B ．98C ．2D ．949．（浙江）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是A ．245B ．285C ．5D ．6 10．（浙江）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是A ．245B ．285C ．5D ．6 11．（陕西）小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b （a b <），其全程的平均时速为v ，则A ．a v ab <)，1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点,A B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于,C D ．记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为,a b ，当m 变化时，b a的最小值为 A ．2 B ．2 C ．34 D ．34413．（2011陕西）设0a b <<，则下列不等式中正确的是A ．2a b a b ab +<<，则下列不等式中，恒成立的是A ．222a b ab +>B ．2a b ab +≥C ．11a b ab+> D ．2b a a b +≥ 二、填空题15．(2018天津)已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128a b +的最小值为． 16．(2018浙江)已知λ∈R ，函数24,()43,x x f x x x x λλ-⎧=⎨-+<⎩≥，当2λ=时，不等式()0f x <的解集是___________．若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．17．(北京)已知0x ≥，0y ≥，且1x y +=，则22x y +的取值范围是_______．18．（天津）若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________． 19．（江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 的值是．20．（浙江）已知a ∈R ，函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是． 21．（浙江）已知实数,,a b c 满足0a b c ++=，2221a b c ++=，则a 的最大值是__；22．（辽宁）对于0c >，当非零实数a ，b 满足22420a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，124a b c ++的最小值为．23．（辽宁）对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c -+的最小值为．24．（湖北）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒）、平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为2760001820v F v v l=++．（Ⅰ）如果不限定车型， 6.05l =，则最大车流量为辆/小时；（Ⅱ）如果限定车型，5l =，则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加辆/小时．25．（天津）设a + b = 2， b >0，则当a = 时，1||2||a a b +取得最小值. 26．（四川）已知函数()4(0,0)a f x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =__． 27．（2011浙江）若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是____．28．（2011湖南）设,x y R ∈，则222211()(4)x y y x++的最小值为． 29．（2010安徽）若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①1ab ≤； ≤； ③222a b +≥； ④333a b +≥； ⑤112a b+≥。

高考数学真题分类专题七不等式第二十一讲不等式的综合应用答案

专题七不等式第二十一讲不等式的综合应用答案部分2019年1.解析 0x >，0y >，25x y +=，===由基本不等式，22xy==时，即3xy =，且25x y +=时，即31x y =⎧⎨=⎩或x y =⎧⎪⎨=⎪⎩2010-2018年1．D 【解析】点(2,1)在直线1x y -=上，4ax y +=表示过定点(0,4)，斜率为a -的直线，当0a ≠时，2x ay -=表示过定点(2,0)，斜率为1a的直线，不等式2x ay -≤表示的区域包含原点，不等式4ax y +>表示的区域不包含原点．直线4ax y +=与直线2x ay -=互相垂直，显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时，不等式4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除A ；点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为32-，当32a -<-，即32a >时，4ax y +>表示的区域包含点(2,1)，此时2x ay -<表示的区域也包含点(2,1)，故排除B ；当直线4ax y +=的斜率32a -=-，即32a =时，4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除C ，故选D ．解法二若(2,1)A ∈，则21422a a +>⎧⎨-⎩≤，解得32a >，所以当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉．故选D ．2．A 【解析】解法一函数()f x 的图象如图所示，当||2xy a =+的图象经过点(0,2)时，可知2a =±．当2x y a =+的图象与2y x x =+的图象相切时，由22x a x x+=+，得2240x ax -+=，由0∆=，并结合图象可得2a =，要使()||2xf x a +≥恒成立，当0a ≤时，需满足2a -≤，即20a -≤≤，当0a >时，需满足2a ≤，所以22a -≤≤．解法二由题意0x =时，()f x 的最小值2，所以不等式()||2xf x a +≥等价于 ||22xa +≤在R 上恒成立．当a=0x =，得|22x+>，不符合题意，排除C 、D ；当a =-0x =，得|22x->，不符合题意，排除B ；选A ．3．C 【解析】若{}n a 是递减的等差数列，则选项,A B 都不一定正确．若{}n a 为公差为0的等差数列，则选项D 不正确．对于C 选项，由条件可知{}n a 为公差不为0的正确数列，由等差中项的性质得1322a a a ，由基本不等式得13132a a aa ，所以C正确． 4．B 【解析】∵0a b ，∴2a bab ，又()ln f x x 在(0,)上单调递增，故()2a bf f ，即q p ，∵11(()())(ln ln )ln ()22rf a f b a b ab f ab p ，∴p r q ．5．D 【解析】由已知得34a b ab +=，且0ab >，可知0,0a b >>，所以431a b +=(0,0a b >>)，4343()()77b aa b a b a b a b+=++=+++≥ 当且仅当43b aa b=时取等号．6．D 【解析】本题考查的是均值不等式．因为yx y x 222221⋅≥+=，即222-+≤y x ，所以2-≤+y x ，当且仅当yx 22=，即y x =时取等号． 7．B 【解析】由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+．所以2214343xy xy x y z x xy y y x ==-++-1≤=，当且仅当4x y y x =，即2x y =时取等号此时22y z =，1)(max =zxy. xy y y z y x 2122212-+=-+)211(2)11(2yy x y -=-=1)221121(42=-+≤y y ，故选B.8．C 【解析】由22340x xy yz -+-=得2243x y xy z +-=，22443331z x y xyxy xy xy+=-≥=-=，当且仅当224x y =即2x y =时，zxy有最小值1，将2x y =代入原式得22z y =，所以22222224x y z y y y y y +-=+-=-+，当1y =时有最大值2．故选C ．9．C 【解析】35x y xy +=，135y x+=， 113131213(34)()()555x y x y y x y x +⋅+=++≥1132555⨯=.10．C 【解析】35x y xy +=，135y x+=，113131213(34)()()555x y x y y x y x +⋅+=++≥113236555⨯⨯+=. 11．A 【解析】设从甲地到乙地所走路程为S ，则222112S ab v ab S Sa b aba ba b===<=+++． ∵ a b <,∴ 2222ab a v a a b a=>=+,∴a v ab <<．选A ． 12．B 【解析】在同一坐标系中作出y m =，y =821m +(0m >)，2log y x =图像如下图，由2log x = m ，得122,2m mx x -==，2log x =821m +，得821821342,2m m x x +-+==．依题意得8218218218212222,22,22m m mmmm m m b a b a++--+--+-=-=-=-821821222m m mm +++==．8141114312122222m m m m +=++-≥-=++，min ()82b a ∴=13．B 【解】（方法一）已知a b <2a bab +<，比较a ab因为22()()0a ab a a b -=-<，所以a ab <22()()0b ab b b a -=->ab b <；作差法：022a b b ab +--=>，所以2a b b +<，综上可得2a ba b +<<<；故选B ．（方法二）取2a =，8b =，4=，52a b +=，所以2a ba b +<<<．14．D 【解析】对于A 取1a b ==，此时2222a b ab +==，因此A 不正确；对于B 取1a b ==-，此时22a b +=-<=，因此B 不正确；对于C 取1a b ==-，此时1122a b +=-<=，因此C 不正确；对于D ，∵0ab >， ∴0b a >，0b a>∴2b a a b +=≥，D 正确． 15．14【解析】由360a b -+=，得36a b =-，所以36331112222824ab b b --+=+=⨯=≥，当且仅当363122b b -=，即1b =时等号成立． 16．(1,4)；(1,3](4,)+∞【解析】若2λ=，则当2x ≥时，令40x -<，得24x <≤；当2x <时，令2430x x -+<，得12x <<．综上可知14x <<，所以不等式()0f x <的解集为(1,4)．令40x -=，解得4x =；令2430x x -+=，解得1x =或3x =．因为函数()f x 恰有2个零点，结合函数的图象（图略）可知13λ<≤或4λ>．17．1[,1]2【解析】由题意，22222211(1)2212()22u x y x x x x x =+=+-=-+=-+，且[0,1]x ∈，又0x =时，221u x y =+=，12x =时，22min 12u x y =+=，当1x =时，221u x y =+=，所以22x y +取值范围为1[,1]2．18．4【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab+++=+≥≥ ，当且仅当222a b =，且12ab =，即22a =时取等号．19．30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．20．9(,]2-∞【解析】∵[1,4]x ∈，∴4[4,5]x x+∈ ①当5a ≥时，44()2224f x a x a a x a a x x =--+=---=-≤，所以()f x 的最大值245a -=，即92a =（舍去） ②当4a ≤时，44()5f x x a a x x x=+-+=+≤，此时命题成立．③当45a <<时，max ()max{|4|,|5|}f x a a a a =-+-+，则|4||5||4|5a a a a a a -+-+⎧⎨-+=⎩≥或|4||5||5|5a a a a a a -+<-+-+=，解得92a =或92a <，综上可得，实数a 的取值范围是9(,]2-∞．21．30a b c ++=得，a b c =--，则2222()2a b c b c bc =--=++ ()2222222b c b c b c +++=+≤，又2221a b c ++=，所以232a ≤，解得33a -≤≤，故a的最大值为3． 22．－1【解析】设|2|a b +最大，则必须,a b 同号，因为22224463()2a b a b ab c ab c +++=++≤，故有2(2)4a b c +≤，22()2a b c +≥，当且仅当2a b =时取等号，此时2c b =，所以124a b c ++=2244114()112b b b +=+--≥．23．－2 【解析】设2a b t +=，则2a t b =-，因为224240a ab b c -+-=，所以将2a t b =-代入整理可得22630b tb t c -+-=①，由0∆≥解得t ≤2a b +取得最大值时，t =代入①式得b =2a t b =-得a = 所以345a b c -+=55c c +=222=--≥．当且仅当52c =时等号成立． 24．1900 100【解析】（Ⅰ）76000190020 6.0518F v v==⨯++，当且仅当11v =时等号成立．（Ⅱ）76000200020518F v v==⨯++，当且仅当10v =时等号成立．20001900100-=．25．－2【解析】∵1||2||a a b +=||||4||4||4||a b a a b a a b a a b++=++13114||4||44a a a a +=+-+=≥≥ 当且仅当||,04||b a a a b=<，即2,4a b =-=时取等号故1||2||a a b+取得最小值时，2a =-． 26．36【解析】因为0,0x a >>，()44a f x x x a x x=+≥=，当且仅当4ax x=，即3x ==，解得36a =． 27．3【解析】∵221x y xy ++=， ∴2()1x y xy +-=，即22()()12x y x y ++-≤， ∴24()3x y +≤，3x y +≤．28．9【解析】由柯西不等式可知2222211()(4)(12)9x y y x++≥+=．29．①③⑤【解析】令1a b ==，排除②④；由21a b ab =+≥≤，命题①正确；222()2422a b a b ab ab +=+-=-≥，命题③正确；1122a b a b ab ab++==≥，命题⑤正确．。

高考培优课程数学讲义：不等式的综合应用【讲师版】

高考培优数学“不等式的综合应用”讲义编号：本讲义从以下两方面展开：1.不等式在函数最值以及函数值域方面的应用不等式实际上跟函数有着天然的联系。

利用不等式来求函数的极值也是一种常用的技巧。

在高考中，这方面的内容虽然考得不多，但是掌握这部分内容更有助于对不等式有着深刻的理解，并且也能触类旁通。

2.不等式、函数与数列的综合不等式、函数与数列的综合是高考考查的重点所在。

事实上，上海高考中的难题，不等式、函数、数列的综合占了很大一部分。

这其中，不等式往往起着串联的作用，是一个基本的工具。

1.（★★★☆）求函数2234()34x xf xx x-+=++的最大、最小值。

2.（★★★☆）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且.（1）求证：数列是等差数列；（2）设，求证：；答案：1.223434x xyx x-+=++，函数解析式化为：2(1)(33)440y x y x y-+++-=注意到函数的定义域为R，所以，当1y=时，上述方程显然有解。

当1y ≠时，要使得方程有解：2(33)4(1)(4y 4)0y y ∆=+---≥ 得到177y ≤≤2.⑴ 证明：，当时，或，又.由，得，数列是以1为首项，1为公差的等差数列；⑵ 证明：由⑴知，，.知识梳理知识点一：不等式在函数最值以及函数值域方面的应用✧ 子知识点一：配方法。

所谓配方法就是将所考虑的函数配方，再利用20x ≥ 这个天然的不等式进行求解。

✧ 子知识点二：判别式法。

所谓判别式法就是将函数化归为二次函数的方法进行讨论。

利用这种方法可以求出某些特殊函数的值域。

✧ 子知识点三：均值不等式法。

均值不等式是高中所学的一个非常常用的不等式，它在函数极值方面也有着非常重要的应用。

知识点二：不等式、函数与数列的综合不等式、函数与数列的综合相对来说内容比较杂。

一般来说，我们会运用到不等式的证明技巧、不等式恒成立问题的处理方法等各种不等式的知识。

1. 不等式在函数最值以及函数值域方面的应用例1 （★★☆☆）求函数642()1f x x x x =--+的最小值。

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专题七不等式
第二十一讲不等式综合应用
一、选择题
1．(2018北京)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤则
A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈
B ．对任意实数a ，(2,1)A ∉
C ．当且仅当0a <时，(2,1)A ∉
D ．当且仅当32
a ≤时，(2,1)A ∉ 2．(2018浙江)已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若
11a >，则
A ．13a a <，24a a ，24a a <
C ．13a a <，24a a >
D ．13a a >，24a a >
3．（2017天津）已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩
≥设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立，则a 的取值范围是
A ．[2,2]- B
．[2]- C
．[2,- D
．[-
4．（2015福建）若直线1(0,0)x y a b a b
+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
5．（2015湖南）若实数,a b
满足12a b
+=，则ab 的最小值为 A
B ．2
C ．
D ．4
6．（2014重庆）若b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是
A ．326+
B ．327+
C ．346+
D ．347+
7．（2013福建）若122=+y x ，则y x +的取值范围是
A ．]2,0[
B ．]0,2[-
C ．),2[+∞-
D ．]2,(--∞ 8．（2013山东）设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=．则当xy z
取得最大值时，
212x y z +-的最大值为 A ．0 B ．1 C ．94
D ．3 9．（2013山东）设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当z xy
取得最大值时，2x y z +-的最大值为
A ．0
B ．98
C ．2
D ．94
10．（2012浙江）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是 A ．245 B ．285
C ．5
D ．6 11．（2012陕西）小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b （a b <），其全程的平均时速为v ，
则
A ．a v ab <)，1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点,A B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于,C D ．记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为,a b ，当m 变化时，b a
的最小值为 A ．2 B.82 C.384 D. 34413．（2011陕西）设0a b <<，则下列不等式中正确的是
A ．2a b a b ab +<<，则下列不等式中，恒成立的是
A ．222a b ab +>
B ．2a b ab +≥
C ．11a b ab +>
D ．2b a a b
+≥ 二、填空题
15．(2018天津)已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128a b
+的最小值为．
16．(2018天津)已知a ∈R ，函数22220()220x x a x f x x x a x ⎧++-⎪=⎨-+->⎪⎩，≤，，．
若对任意[3,)x ∈-+∞，()||f x x ≤恒成立，则a 的取值范围是____．
17．（2017天津）若a ，b ∈R ，0ab >，则4441a b ab
++的最小值为． 18．（2017山东）若直线1(00)x y a b a b
+=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为． 19．（2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年
的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 的值是． 20．（2017北京）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命
题的一组整数a ，b ，c 的值依次为____________________．
21．（2017浙江）已知a ∈R ，函数4()||f x x a a x
=+-+在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是．
22．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，
点P 在圆O ：22
50x y +=上，若20PA PB ⋅≤，则点P 的横坐标的取值范围是．
23．（2015重庆）设,0a b >，5a b +=
________． 24．(2015山东)定义运算“⊗”：22
x y x y xy
-⊗=（,x y ∈R ，0xy ≠）．当0x >， 0y >时，(2)x y y x ⊗+⊗的最小值为．
25．（2014浙江）已知实数,,a b c 满足0a b c ++=，2221a b c ++=，则a 的最大值是__；
26．（2014辽宁）对于0c >，当非零实数a ，b 满足22420a ab b c -+-=，且使|2|
a b +最大时，124a b c
++的最小值为． 27．（2014辽宁）对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b + 最大时，345a b c
-+的最小值为． 28．（2014湖北）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内
经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒）、平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为2760001820v F v v l
=++．
（Ⅰ）如果不限定车型， 6.05l =，则最大车流量为辆/小时；
（Ⅱ）如果限定车型，5l =，则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加辆/小时．
29．（2013天津）设a + b = 2，b >0，则当a = 时，
1||2||a a b +取得最小值. 30．（2013四川）已知函数()4(0,0)a f x x x a x =+
>>在3x =时取得最小值，则a =__． 31．（2011浙江）若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是____．
32．（2011湖南）设,x y R ∈，则222211()(4)x y y x
++的最小值为． 33．（2010安徽）若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的
是 (写出所有正确命题的编号)．
①1ab ≤；； ③222a b +≥； ④333a b +≥； ⑤112a b
+≥．。