概率分布函数
16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用
目录1. 均匀分布 (1)2. 正态分布（高斯分布） (2)3. 指数分布 (2)4. Beta分布（：分布） (2)5. Gamm 分布 (3)6. 倒Gamm分布 (4)7. 威布尔分布（Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布） (5)8. Pareto 分布 (6)9. Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7)210. 分布（卡方分布） (7)8 11. t分布................................................9 12. F分布 ...............................................10 13. 二项分布............................................10 14. 泊松分布（Poisson 分布）.............................11 15. 对数正态分布........................................1. 均匀分布均匀分布X ~U（a,b）是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。
2. 正态分布（高斯分布）当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量 很可能服从正态分布，记作X~N （」f 2）。
正态分布为方差已知的正态分布N （*2）的参数」的共轭先验分布。
1 空f （x ）： —— e 2-J2 兀 o'E(X)， Var(X) _ c 23. 指数分布指数分布X ~Exp （ ）是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。
其 中，.0为尺度参数。
指数分布的无记忆性：Plx s t|X = P{X t}。
f （X ）二 y oiE(X) 一4. Beta 分布（一：分布）f （X ）二 E(X)Var(X)=(b-a)2 12Var(X)二1~2Beta 分布记为X 〜Be(a,b)，其中Beta(1,1)等于均匀分布，其概率密度函数 可凸也可凹。
概率论分布函数
概率论分布函数概率论中的分布函数是一个非常重要的概念，它能够帮助我们理解随机事件的发生规律，并为我们进行概率计算提供了有力的工具。
本文将对分布函数进行全面而生动的介绍，希望能够为读者提供一些指导意义。
首先，我们来了解一下什么是分布函数。
简单来说，分布函数是在数学和统计学中用来描述随机变量取值概率的函数。
它可以以图形或数学表达的方式展示出随机变量取值的规律性，帮助我们预测和分析随机事件的发生概率。
分布函数可以分为离散型和连续型两种。
离散型分布函数适用于描述离散型随机变量的取值规律。
离散型随机变量的取值只能是一些个别的数值，如抛掷骰子的点数或扑克牌的花色等。
常见的离散型分布函数有伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
伯努利分布描述的是只有两种可能取值的随机试验，如硬币的正反面。
二项分布是当一个试验重复进行固定次数时，成功和失败的次数服从的分布。
泊松分布则用于描述单位时间内某个事件发生的次数。
连续型分布函数适用于描述连续型随机变量的取值规律。
连续型随机变量的取值可以是一个区间内的任意数值，比如表示一个人的身高或温度的测量值等。
常见的连续型分布函数有均匀分布、正态分布、指数分布等。
均匀分布是最简单的连续型分布函数，它假设随机变量在某个范围内取值的概率是等概率的。
正态分布则是自然界中最常见的分布函数，它的特点是钟形曲线对称分布，可以描述许多现实世界的现象。
指数分布用于描述独立随机事件发生的时间间隔。
除了离散型和连续型分布函数之外，还有一些特殊的分布函数值得我们关注。
例如，几何分布描述的是在一系列独立的随机试验中，首次成功需要进行的试验次数。
负二项分布则描述的是在一系列独立的随机试验中，成功需要进行的总次数。
这些分布函数在实际应用中也具有重要的作用。
在使用分布函数进行概率计算时，我们常常需要计算随机变量落在某个区间内的概率。
对于连续型分布函数，我们可以通过求解概率密度函数在该区间内的面积来得到。
对于离散型分布函数，则是求解随机变量取值在该区间内的概率和。
常用概率分布函数
– 则f(x)为X的概率密度函数（PDF）
– f(x)满足：
(1) f (x) 0
(2) f (x)dx 1
常用概率分布函数
• 连续型随机变量
– F(x)为连续型随机变量的累积分布函数（CDF）
F(x) P(X x) x f (x)dx
– 连续型随机变量X均值和方差分别为：
E(X ) xf (x)dx
常用概率分布函数
二项分布 泊松分布 均匀分布 正态分布 指数分布 伽马分布
常用概率分布函数
• 离散型随机变量
– 若随机变量的取值为有限个或可以逐一列举的无穷多个 数值，则称此类随机变量为离散型随机变量。
– 设离散随机变量X有：P( X xi ) p( xi )
– 将P={p1,p2,…pn…}称为X的概率密度函数 （Probability Density Function，PDF）
– 泊松分布是二项分布的特殊情况（n趋近无穷大，令 np->λ），当一个固定时间间隔内有大量事件以恒定的 速率发生，且事件之间相互独立时，可以用泊松分布描 述，并称这样的随机事件为泊松流。
– 泊松分布的概率密度函数： P(x k) k e k {0,1, 2..., n}
k!
– 累积分布函数：
– x=0:0.001:5;
0.4
– n=10;
0.35
– p=0.1;
0.3
– y=binopdf(x,n,p); 0.25
– plot(x,y);
0.2
0.15
0.1
0.05
0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
常用概率分布函数
• 泊松分布（ Poisson Distribution ）
16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用
目录1. 均匀分布 ...................................................................................................... 1 2. 正态分布（高斯分布） ........................................................................... 2 3. 指数分布 ...................................................................................................... 2 4. Beta 分布（β分布） ............................................................................. 2 5. Gamma 分布 .................................................................................................. 3 6. 倒Gamma 分布 ............................................................................................. 4 7. 威布尔分布(Weibull 分布、韦伯分布、韦布尔分布) ................. 5 8. Pareto 分布 ................................................................................................ 6 9. Cauchy 分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） . (7)10. 2χ分布（卡方分布） (7)11. t 分布 ........................................................................................................ 8 12. F 分布 ........................................................................................................ 9 13. 二项分布 ................................................................................................ 10 14. 泊松分布（Poisson 分布） ............................................................. 10 15.对数正态分布 .......................................................................................111. 均匀分布均匀分布~(,)X U a b 是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。
概率分布函数
概率分布函数概率分布函数（Probability Distribution Function）是在概率论与数理统计中用来描述随机变量的分布规律的函数。
它可以提供随机变量取某个值的概率。
一、定义与性质概率分布函数通常表示为 F(x)，其中 x 是随机变量的取值，F(x) 表示该变量小于等于 x 的概率。
概率分布函数具有以下性质：1. 非减性：随着 x 增大，F(x) 逐渐增大或保持不变。
2. 有界性：0 ≤ F(x) ≤ 1，对于任意的 x。
3. 右连续性：在所有的实数 x0，F(x) 在 x ≥ x0 时连续。
二、常见1. 均匀分布函数（Uniform Distribution Function）：均匀分布函数是一种简单且常见的概率分布函数。
在一个区间 [a, b] 内，每个数值的概率密度相等，即 f(x) = 1 / (b - a)，其中a ≤ x ≤ b。
其概率分布函数为：F(x) = (x - a) / (b - a)，其中a ≤ x ≤ b。
2. 正态分布函数（Normal Distribution Function）：正态分布函数也被称为高斯分布函数。
它是一种常见的连续概率分布函数，通常用于描述自然界中的现象。
其概率密度函数为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * exp(-(x - μ)² / (2 * σ²))，其中μ 是均值，σ 是标准差。
其概率分布函数无法用简单的公式表示，常用统计软件进行计算。
3. 二项分布函数（Binomial Distribution Function）：二项分布函数用于描述在 n 个独立的 Bernoulli 试验中成功的次数的概率分布。
其中成功的概率为 p，失败的概率为 q = 1 - p。
其概率质量函数为：f(x) = C(n, x) * p^x * q^(n-x)，其中 C(n, x) 表示组合数。
其概率分布函数通常写为累积形式，无法用简单的公式表示。
概率分布公式大全离散与连续分布函数详解
概率分布公式大全离散与连续分布函数详解概率分布公式大全-离散与连续分布函数详解概率分布是概率论和统计学中的重要概念，用于描述随机变量的可能取值及其相应的概率。
根据随机变量的性质，概率分布可以分为离散分布和连续分布。
本文将详细介绍概率分布的概念、离散分布函数和连续分布函数的定义，并列举常见的概率分布公式作为参考。
一、概率分布的基本概念1. 随机变量在概率论中，随机变量是指能够随机地产生不同数值的变量。
随机变量可以是离散的，也可以是连续的。
2. 概率分布概率分布是随机变量的每个可能取值与其相应的概率之间的关系。
通过概率分布，我们可以了解随机变量取值的可能性以及各个取值的概率大小。
二、离散分布函数离散分布函数用于描述离散型随机变量的概率分布情况。
下面是几种常见的离散分布函数：1. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布描述了独立重复实验的结果，每次实验只有两个可能的结果，成功或失败。
二项分布的概率分布函数如下：P(X=k) = (nCk) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中n为实验次数，k为成功次数，p为每次实验的成功概率，(nCk) 表示组合数。
2. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布用于描述单位时间或单位空间内随机事件发生的次数，常用于描述稀有事件的概率分布。
泊松分布的概率分布函数如下：P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!，其中λ为单位时间（或单位空间）内随机事件的平均发生率，e为自然对数的底。
3. 几何分布（Geometric Distribution）几何分布描述了在一系列独立实验中，首次成功需要进行的实验次数的概率分布。
几何分布的概率分布函数如下：P(X=k) = p * (1-p)^(k-1)，其中p为每次实验的成功概率。
三、连续分布函数连续分布函数用于描述连续型随机变量的概率分布情况。
下面是几种常见的连续分布函数：1. 正态分布（Normal Distribution）正态分布（或高斯分布）是最常见的连续概率分布之一，常用于描述自然界和社会科学中的许多现象。
正态分布概率分布函数
正态分布概率分布函数正态分布概率分布函数是统计学中非常重要的一种概率分布函数，也被称为高斯分布。
它描述了大量具有连续变量的现象的分布情况，如身高、体重、 IQ 等。
正态分布的概率密度函数是钟形曲线，两侧呈对称关系，因此也被称为“钟形曲线分布”。
正态分布是一个连续的概率分布，它的概率密度函数为：$$f(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$$\mu$ 是分布的均值，$\sigma$ 是分布的标准差。
这个函数的图像与 $\mu$ 和$\sigma$ 的值有关，如果 $\mu$ 值增大，曲线向右移动；如果 $\sigma$ 值增大，曲线变得更平缓，同时顶点也变得更加圆。
正态分布的概率密度函数可以解释为：一个连续型的变量以 $\mu$ 为中心，以$\sigma$ 为半径的范围内的数值出现的概率。
对于身高这个变量，我们可以用 $\mu$ 来表示平均身高，$\sigma$ 表示身高的标准差。
在这种情况下，正态分布的概率密度函数描述了一个人身高在某个区间内的可能性大小。
正态分布的概率密度函数在很多情况下都有着重要的应用。
在实际应用中，我们经常需要计算区间内的概率，也就是计算正态分布函数在特定区间内的面积。
这个过程需要通过积分来实现，但是由于正态分布曲线的对称性，我们可以利用一些规律来求解。
我们可以使用正态分布表来找到某个区间的概率，这些表通常被列成两个部分，第一部分列出了 Z 分数（标准正态分布对应的值），第二部分列出了面积。
如果要计算 $Z \leq 0.5$ 的概率，我们可以查表得到 $0.6915$。
如果我们要计算 $Z > 0.5$ 的概率，可以是用对称性 $P(Z > 0.5) = P(Z < -0.5) = 1 - 0.6915 = 0.3085$。
在实际应用过程中，有时候我们需要计算两个正态分布之间的概率，这个情况下又需要使用一些特定的公式来计算。
概率分布函数与密度函数
概率分布函数与密度函数（Probability Distribution Function and Density Function）是概率论与数理统计中非常重要的概念。
它们描述了随机变量的取值和对应概率之间的关系，对于研究随机变量的特性和进行概率计算具有重要意义。
首先，我们来了解概率分布函数（Probability Distribution Function，PDF）。
PDF是描述随机变量的一种函数，它是一个非负函数，并且其所有取值的和为1。
概率分布函数可以对连续型和离散型随机变量进行描述。
对于离散型随机变量，其概率分布函数是通过列出随机变量可能取值及其对应的概率，然后对这些概率进行求和得到。
例如，对于一个抛硬币的实验，随机变量X表示抛硬币出现正面的次数。
X的概率分布函数可以表示为：P(X=k) = 0.5, k=0或k=1这意味着当X等于0或1时，其概率分别为0.5。
而对于连续型随机变量，其概率分布函数则通过概率密度函数（Probability Density Function，PDF）来描述。
概率密度函数在某个区间内的取值代表该区间内随机变量取值的概率密度。
概率密度函数与概率分布函数之间的关系可以用积分来表示。
对于连续型随机变量X来说，其概率分布函数可以表示为：F(x) = ∫[f(t)dt]，其中t从负无穷到x其中，f(x)是X的概率密度函数，F(x)是X的概率分布函数。
概率密度函数与概率分布函数的区别在于，概率密度函数表示的是随机变量取某个特定值的概率密度，而概率分布函数表示的是随机变量小于或等于某个特定值的概率。
概率分布函数和概率密度函数的作用非常广泛。
它们可以用于计算随机变量的期望值、方差和其他统计特征。
通过对概率分布函数和概率密度函数的研究，我们可以了解随机变量在不同取值下的概率分布，进而预测未来事件的概率，从而在实际应用中发挥重要作用。
总结起来，概率分布函数和概率密度函数在概率论和数理统计中是基础而重要的概念。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
平均化学反应速率
R fu B m fu mox exp( E / RT )[1 a0
2
mfu mox m fu mox ]
T 2 a1 T
T mox T mfu a2 Tmox Tm fu
Borghi等人为简化模拟过程，略去温度脉动的影响，提 的控制方程 出了在F中的 mfu mox Dl grad mfu mox 2 Dl gradmfu gradmox ui mfu mox xi 1 2 3 2 t gradm fu gradmox graduimfu mox f 4 5
2
(3-81)
式中，a0＝1，a1=1/2(E/R)2-(E/R)，a2= E/R。 或把式(3-81)写成 R fu B 2 m fu mox exp( E / RT )[1 F ] (3-82) F 概括了湍流脉动对平均化学反应率的影响，是 对燃烧速率进行模化的困难所在。
对燃料和氧化剂质量分数脉动值 的控制方程 的二阶关联项 mfu mox
定压燃烧过程瞬时反应速率 设反应机理用单步不可逆反应来表征，瞬时反 应速率遵守双分子碰撞模型的Arrehnius公式 (3-80) R fu B 2 m fu mox exp( E / RT ) 经过对因变量mfu，mox和T的雷诺分解以及对 公式的雷诺平均，并利用泰勒级救展开，略去 脉动值的三阶以上关联量，便可得到平均化学 反应速率的表达式
模化方法
概率分布函数和脉动速度的二阶关联项
按照“梯度准则”进行模拟，在物理上表示概率分 布函数的湍流输运
k2 P( )ui c3 P( ) xi
(3-77)
模化方法
因子 因子P(φ)主要受大尺度的大脉动控制，不妨认 为这两者不相互关联
P( ) xi 2 P ( ) P ( ) c 4 k xi
回顾
湍流脉动在湍流燃烧过程中起着重要作用 湍流脉动在某种程度上具有随机量的特征
在湍流燃烧的数学模型研究中引用概率分布
k-ε-g 模型中的混合分数瞬时值的城墙式分布，相应 于双δ函数形的概率分布 截尾正态分布概率分布函数 Beta函数分布等形式的概率分布函数
PDF→受输运方程控制的因变量
表示因变量的对流速率 第一项 ui mfu mox xi 第二项 Dl gradmfu mox 表示该因变量的层流输运
表示分子扩散引起的脉动耗散 Dl gradmfu gradmox 2 t 第四项 gradm fu gradmox 表示由浓度均值的空间 f
l fu ox
k
fu
ox
控制方程中各项的模拟-2 mfu mox
第五项―湍流输运项的模拟：可以参照常用的 “梯度模拟准则” ut (3-84) ui mfu mox mfu mox
(3-79)
空间位置和变量φ的函数 辅之以适当的定解条件
二维管道火焰稳定器后面的湍 流预混火焰
Khalil 不同轴向位置的横截 面上轴向速度 计算结果与实验符合 得较好 用RBU模型和PDF输 运方程进行计算的结 果大抵相同，但是后 者付出的计算时间和 计算机的贮存量的代 价比前者大得多
对燃烧现象的更深入的实验研究发现：
在不同的燃烧过程中，因变量的概率分布形式不同； 即使对于同一个燃烧过程，在不同的区域，各个因 变量的概率分布函数也不尽相同。
启示：概率分布函数是否也是一个受输运方程 控制的因变量，与火焰特性、流动图象、湍流 特性及边界条件有关。 尝试：Pope的博士论文(1976年)
2
( / xi )2主要与微尺寸的小脉动有关，而
(3-78)
2 表示φ的脉动均方值
单变量PDF输运方程
D k2 P( ) c3 P( ) Dt xi xi 2 P ( ) S ( ) c P ( ) 4 k
单变量概率分布函数输运方程
D P( ) P( )ui Dt xi
2 P( )S ( ) P( ) xi
(3-76)
S(φ)是变量φ的源或汇 为使方程封闭，必须对有关的项进行模化。
2 Smox mfu K f [(mox Sm fu )mfu mox
2 (mox Smfu )mfu mox ] m fu mox 6 式中Dl表示层流交换系数，S表示化学当量比， Kf = B exp(E/RT)
(3-83)
控制方程中各项的意义 mfu mox
不均匀性引起的因变量的净增长率
表示因变量的湍流输运 第五项 graduimfu mox
第六项(其余)表示化学反应引起的因变量的变化
控制方程中各项的模拟-1 mfu mox
为求得方程的封闭，必须对方程的第三、五和 六项进行模化。 第三项：在湍流场中因变量的耗散速率可以考 虑成与该变量本身、密度和湍流耗散速率成正 比（适用于Schmit数接近于1的情况） (3-84) 2 D gradm gradm 2 m m
评价
在简单的湍流火焰计算中获得与实验基本符合 的结果，仍需改进和完善。 建立双变量（混合分数和反应度）的联合概率 分布函数的输运方程(Pope)
§3.4 平均反应速率的 输运方程模型
湍流流动模型：模拟雷诺应力，建立了雷诺应 力的输运方程模型，在某些情况下获得了优于 应用湍流粘性系数模型得到的结果 在湍流燃烧模型的研究中人为模拟平均化学反 应速率，是否可以建立平均反应率的输运方程 模型呢？