概率分布函数
常见的几种分布函数
常见的几种分布函数概率论中，分布函数（distribution function）是描述随机变量取值的概率分布的函数。
常见的几种分布函数包括离散型分布函数、连续型分布函数以及混合分布函数。
1. 离散型分布函数离散型分布函数是指随机变量在有限或可数个点上取值的分布函数。
离散型分布函数的特点是其概率质量函数只在有限或可数个点上取值，或者说离散型分布函数所描述的随机变量的取值是离散的。
比较常见的离散型分布函数有：- 二项分布函数：二项分布函数是描述n个独立的、相同概率的随机试验中成功的次数的分布函数。
- 泊松分布函数：泊松分布函数是描述一定时间间隔内一个随机事件发生次数的分布函数。
- 几何分布函数：几何分布函数是描述进行一系列独立的、相同概率的实验，成功的次数需要进行多次才能得到的情况的分布函数。
2. 连续型分布函数连续型分布函数是指随机变量的取值范围为连续区间的分布函数。
连续型分布函数所描述的随机变量的取值是连续的。
比较常见的连续型分布函数有：- 正态分布函数：正态分布函数又称高斯分布函数，是一种描述随机变量分布最为常用的分布函数之一。
- 均匀分布函数：均匀分布函数是描述随机变量在一定区间内取值时等概率分布的分布函数。
- 指数分布函数：指数分布函数是描述随机变量取值时间间隔的分布函数。
3. 混合分布函数混合分布函数是指一个随机变量可以同时满足两种或两种以上的分布函数时的情况。
比较常见的混合分布函数有：- 混合正态分布函数：混合正态分布函数是指由多个正态分布函数混合而成的分布函数。
- 混合伯努利分布函数：混合伯努利分布函数是指由多个伯努利分布函数混合而成的分布函数。
总之，分布函数是描述随机变量的 one-stop-shop，而离散型、连续型和混合型都是这一目的下的不同实现方式。
不同的分布函数有不同的特点和应用场景，选择合适的分布函数是进行概率论研究和应用的前提。
概率分布函数
概率分布函数u 分布的概念例如学生人数按年龄的分布 年龄15 ~1617 ~ 1819 ~20 21~22 人数按年龄的分布 200030004000 1000 人数比率按 年龄的分布20%30%40%10%速率v 1 ～ v 2 v 2 ～ v 3… v i ～ v i +Δv …分子数按速率的分布ΔN 1ΔN 2 … ΔN i … 分子数比率按速率的分布ΔN 1/NΔN 2/N…ΔN i /N…例如气体分子按速率的分布{P i =ΔN i /N ｝就是分子数按速率的概率分布∑=iii u P u实际中有很多变量是连续变化的，例如粒子的空间位置或粒子的速度。
在随机变量取连续值时，上述求平均值公式中P i 的也是连续分布的。
v到v+d v的概率分布但是因为测量仪器总有一定误差，在测量分子速率时，我们测不出分子速率恰好为100m/s的分子数是多少，若仪器的误差范围为1m/s，则我们只能测出分子速率从99.5m/s到100.5m/s的分子数是多少。
我们也不能讲分子速率恰好处于100m/s的概率，而只能讲分子速率介于某一范围（例如99m/s~101m/s）内的概率。
有关打靶试验的例子:图（a ）是用直角坐标来表示靶板上的分布；图（b ）则是用极坐标来表示其分布的。
现以靶心为原点，以直角坐标x 、y 来表示黑点的空间位置，把靶板平面沿横轴划分出很多宽为Δx 的窄条,Δx 的宽度比黑点的大小要大得多。
只要数出在x 到x +Δx 范围内的那条窄条中的黑点数ΔN ，把它除以靶板上总的黑点数N （N 应该足够大），则其百分比就是黑点处于x~x+Δx 范围内这一窄条的概率。
1. 直角坐标表示然后以 为纵坐标，以x 为横坐标，画出图。
若令Δx →0，就得到一条连续曲线。
x N N∆⋅∆21()d x x f x x ⎰=()d 1f x x +∞-∞⎰=d ()d Nf x N x=⋅ 这时的纵坐标 称为黑点沿x 方向分布的概率密度，表示黑点沿x 方向的相对密集程度。
概率分布函数
第三章 几种重要的概率分布
例 4 一页书上印刷错误的个数 X 是一个离散型随机变量，它服从参数 为 的泊松分布，一本书共有 300 页，有 21 个印刷错误，求任取 1 页 书上没有印刷错误的概率。 21 7 解：由于 300 页中有 21 个印刷错误，从而平均每页有 个印刷
300 100 7 错误，即离散型随机变量 X 的数学期望 E ( X ) ， 100 又由于离散型随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，因此数学期望
由概率加法公式得：
n
m m nm b(m; n, p) C n p q , 其中m 0,1,2,, n; q 1 p
m m nm 且 b(m; n, p) Cn p q ( p q) n 1 n
概率 b(m; n, p) 实际上是二项式 ( p q) n 的展开式中的通项公式。
2 2
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第三章 几种重要的概率分布
小结与提问： 本次课，我们介绍了贝努里概型与二项公式、二项分布。 二项分布是离散型随机变量的概率分布中的重要分布，我们 应掌握二项分布及其概率计算，能够将实际问题归结为贝努
里概型，然后用二项分布计算有关事件的概率、数学期望与
方差。。 课外作业：P150 习题三 3.01,3.02,3.03,3.04,3.05
m m nm b(m; n, p) C n p q , 其中m 0,1,2,, n; q 1 p
m 0
m 0
称为概率计算的二项公式。
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第三章 几种重要的概率分布
二、二项分布
定义 如果随机变量 X 的概率分布为
i PX i C n p i q n i
(0 p 1, p q 1)
均匀分布的概率分布函数
均匀分布的概率分布函数1. 引言概率分布函数是描述随机变量的分布规律的数学函数。
均匀分布是概率论和统计学中常见的一种概率分布类型。
在均匀分布中，随机变量在给定范围内的取值是等可能的，没有偏向性，呈现出均匀分布的特征。
本文将就均匀分布的概率分布函数进行全面、详细、完整且深入的探讨。
2. 均匀分布的定义在概率论中，均匀分布是指随机变量在某个区间内以等可能性取得任一取值的概率分布。
均匀分布的概率密度函数（Probability Density Function, PDF）为常数，表示在区间内各个取值的概率是相等的。
均匀分布的概率密度函数可以表示为：f(x) = 1 / (b - a) (a <= x <= b)其中，a和b分别为分布的左右边界。
3. 均匀分布的性质均匀分布具有以下几个重要的性质：3.1 对称性均匀分布是以区间的中心点为对称点的对称分布。
对于区间[a, b]，随机变量落在区间的左侧和右侧的概率相等。
3.2 期望值对于均匀分布，其期望值等于区间的中心点，可表示为：E(X) = (a + b) / 23.3 方差均匀分布的方差可以通过区间长度的平方除以12来计算，表示为：Var(X) = (b - a)^2 / 123.4 累积分布函数均匀分布的累积分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）可以表示为：F(x) = (x - a) / (b - a) (a <= x <= b)3.5 生成随机数由于均匀分布的随机变量在给定范围内的取值是等可能的，可以利用均匀分布生成随机数。
通过在区间[a, b]之间选择一个随机数，即可获得服从均匀分布的随机数。
4. 使用均匀分布的场景均匀分布在很多领域中都有广泛的应用，以下是一些常见的使用均匀分布的场景：4.1 随机抽样在概率抽样中，如果样本空间中的每个个体被选中的概率是相等的，那么可以使用均匀分布来生成随机样本。
概率论-分布函数
r.v的分布函数必满足性质
满足性质
的必F (是x ) 某r.v的分布函数
概率论与数理统计
设随机变量X的分布函数为
F (x ) A B arx ( c t x a n ) ,
试求 (1)系数A,B；(2)X取值落在（-1，1]中的概率。
（1）由
F () li(A m B arx ) c A t aB n 0 ,
若xr，{X x}为必然事件，F(x) = P{X x} =1；
若0 x < r，由几何概型知
F(x)P{Xx}x r2 2rx2
概率论与数理统计
0,
从而X的分布函数为
F(
x)
x r
2
,
1,
且
x0 0 xr xr
P{X 2r} 1 P{X 2r}
1 8
;
当 1x2时 ,
F (x ) P {X x }P{X0}P{X1}
1 3 1; 88 2
概率论与数理统计
当 2x3时 ,
o
1
2
3
x
F (x ) P {X x }
P {X0}P{X1}P{X2}
1337; 888 8
当x3时,
1 2141 21(4)
1 2
.
概率论与数理统计
例 将一枚硬币连, X掷表三示次“三次中正 出现的次 ” ,求 数X的分布律及分,并 布求 函下 数 列概率P{值 1X3},P{X5.5},P{1X3}.
解 设 H 正,T 面 反, 面 则
2
当x0时 ,
0
分布函数某一点的概率
分布函数某一点的概率分布函数是概率论和统计学中一种重要的概念，它是描述随机变量取值的概率分布情况。
分布函数在各个学科的研究中都有着广泛的应用，并在实际问题中起着至关重要的作用。
本文将围绕“分布函数某一点的概率”展开阐述，以期帮助读者更好地理解分布函数的基本概念和计算方法。
一、什么是分布函数分布函数也称为累积分布函数，它是定义在实数轴上的，通常用F(x)表示的一种函数。
对于任意一个实数x，分布函数F(x)表示x所对应的概率。
具体地，分布函数F(x)的定义如下：F(x)=P(X≤x)其中，X为随机变量，P(X≤x)表示X小于或等于x的概率。
由此可见，分布函数中的一个典型的运算是求解概率，即P(X≤x)。
因此，分布函数在概率论和统计学中有着重要的地位，常常被用来描述随机变量的概率分布情况。
在实际问题中，我们通常需要根据题目所给出的条件来求解某一点的概率，这即是我们接下来要讨论的主要内容。
二、求解分布函数某一点的概率1. 离散型随机变量的分布函数对于离散型随机变量，其概率质量函数（PMF）是随机变量取值的概率，函数形式为p(x)。
因此，离散型随机变量的分布函数可以表示为：F(x)=P(X≤x)=∑p(i)其中，i代表随机变量取遍的所有可能取值。
因此，我们只需要找出随机变量X小于或等于x的所有可能取值，并将它们对应的概率相加，即可求得X≤x的概率。
例如，若随机变量X的PMF为：p(x)=0.2, x=0;p(x)=0.3, x=1;p(x)=0.5, x=2;则其分布函数为：F(x)=0, x<0;F(x)=0.2, 0≤x<1;F(x)=0.5, 1≤x<2;F(x)=1, x≥22. 连续型随机变量的分布函数对于连续型随机变量，其概率密度函数（PDF）是随机变量取值的概率密度，函数形式为f(x)。
因此，连续型随机变量的分布函数可以表示为：F(x)=P(X≤x)=∫f(t)dt, t∈(-∞, x]即将概率密度函数在(-∞, x]之间的积分。
常用概率分布函数
– 则f(x)为X的概率密度函数（PDF）
– f(x)满足：
(1) f (x) 0
(2) f (x)dx 1
常用概率分布函数
• 连续型随机变量
– F(x)为连续型随机变量的累积分布函数（CDF）
F(x) P(X x) x f (x)dx
– 连续型随机变量X均值和方差分别为：
E(X ) xf (x)dx
常用概率分布函数
二项分布 泊松分布 均匀分布 正态分布 指数分布 伽马分布
常用概率分布函数
• 离散型随机变量
– 若随机变量的取值为有限个或可以逐一列举的无穷多个 数值，则称此类随机变量为离散型随机变量。
– 设离散随机变量X有：P( X xi ) p( xi )
– 将P={p1,p2,…pn…}称为X的概率密度函数 （Probability Density Function，PDF）
– 泊松分布是二项分布的特殊情况（n趋近无穷大，令 np->λ），当一个固定时间间隔内有大量事件以恒定的 速率发生，且事件之间相互独立时，可以用泊松分布描 述，并称这样的随机事件为泊松流。
– 泊松分布的概率密度函数： P(x k) k e k {0,1, 2..., n}
k!
– 累积分布函数：
– x=0:0.001:5;
0.4
– n=10;
0.35
– p=0.1;
0.3
– y=binopdf(x,n,p); 0.25
– plot(x,y);
0.2
0.15
0.1
0.05
0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
常用概率分布函数
• 泊松分布（ Poisson Distribution ）
高中数学学习中的概率分布与分布函数推导
高中数学学习中的概率分布与分布函数推导在高中数学学习中，概率分布与分布函数是重要的概念，它们被广泛应用于统计学和概率论中。
本文将介绍概率分布与分布函数的概念，并推导一些常见的概率分布和分布函数。
概率分布，也被称为分布律或分布函数，是用来描述随机变量各个取值的概率的函数。
假设随机变量X的取值集合为{x1, x2, ..., xn}，则概率分布可以表示为P(X=xi) = pi，其中pi为Xi取值的概率。
对于离散随机变量，概率分布可以表示为概率质量函数pmf，对于连续随机变量，概率分布可以表示为概率密度函数pdf。
常见的离散概率分布有伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
伯努利分布是指只有两个可能结果的试验，例如抛硬币的结果可以是正面或反面。
对于伯努利分布，概率分布函数可以表示为P(X=x) = p^x * (1-p)^(1-x)，其中p为正面的概率。
二项分布适用于多次独立的伯努利试验，例如抛硬币多次或投掷骰子多次的结果。
对于二项分布，概率分布函数可以表示为P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中n为试验次数，p为正面或成功的概率，k为成功的次数。
泊松分布适用于描述单位时间内某事件发生次数的概率分布。
对于泊松分布，概率分布函数可以表示为P(X=k) = (e^-λ * λ^k) / k!，其中λ为单位时间内事件的平均发生率，k为具体的发生次数。
对于连续概率分布，常见的有均匀分布、正态分布、指数分布等。
均匀分布是指随机变量在一段区间内各个取值的概率相等，概率密度函数为f(x) = 1/(b-a)，其中a和b分别为区间的上下界。
正态分布，也被称为高斯分布，是自然界中常见的分布形态，概率密度函数可以表示为f(x) = (1/sqrt(2πσ^2)) * exp(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差。
指数分布适用于描述随机事件之间的时间间隔，概率密度函数可以表示为f(x) = λ * exp(-λx)，其中λ为事件发生率。
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由概率加法公式得：
n
m b(m; n, p ) = C n p m q n − m , 其中m = 0,1,2, L , n; q = 1 − p
m 且 ∑ b( m; n, p ) = ∑ Cn p m q n − m = ( p + q ) n = 1 n
概率 b( m; n, p ) 实际上是二项式 ( p + q ) n 的展开式中的通项公式。
第三章 几种重要的概率分布
三、二项分布的数学期望与方差
定理 3.1.2 如果离散型随机变量 X 服从参数为 n, p 的 二项分布，即 X ～ B(n, p ) ,则其数学期望与方差分别为
E ( X ) = np D ( X ) = npq
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第三章 几种重要的概率分布 例1 据调查,市场上假冒的某名牌香烟有0.15,某人每 年买20条这个品牌的香烟,求他至少买到1条假烟的概率.
≈
λ
时， X 近似地服从
i
定理指出n 当充分大时，泊松分布是二项分布的近似分布， 但要注意仅当P的值很小(一般来说当p<0.1) 时 ，用泊松分 布取代二项分布所产生的误差才比较小． 常见的泊松分布的例子： （1）飞机被击中的子弹数； （2）一个集团公司中生日在元旦的人数； （3）三胞胎出生的次数； （4）一年中死亡的百岁老人数；
解: 设随机变量 X 表示 10 次投篮中命中的次数, 由题意: X 服从二项分布 B ( 10 , 0 . 6 )
4 (1) P{X = 4} = C10 (0.6) 4 (1 − 0.6)10− 4 ≈ 0.115
( 2 ) 最多命中8次的概率
= 1 − P { X > 8}
P {0 ≤ X ≤ 8}
解: 设随机变量 X 表示某人每年买 20 条某名牌烟中假烟 的条数,由题意: X 服从二项分布 B (20,0.15) 所以
P { X ≥ 1} = 1 − P { X = 0} = 1 − C 0.15 (1 − 0.15)
0 20 0 20
≈ 1 − 0.039 = 0.961
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第三章 几种重要的概率分布 例2 某人定点投篮的命中率是0.6,在10次投篮中,求 (1) 恰有4次命中的概率;(2) 最多命中8次的概率.
令 λ =np=400×0.02=8
于是: P{一天内没有出租车出现故障} =P{X=0} =b(0;400,0.02)
8 0 −8 e =0.0003355 ≈ 0!
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第三章 几种重要的概率分布
三、泊松分布的数学期望与方差
定理 3.2.2 如果离散型随机变量 X 服从参数为 λ
（ λ > 0) 的泊松分布，即 X ～ P (λ ) ,则其数学期望与
= 1 − P { X = 9} − P { X = 10}
9 10 = 1 − C10 (0.6)9 (1 − 0.6) − C10 (0.6)10 (1 − 0.6) 0
≈ 0.9536
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第三章 几种重要的概率分布 例3 已知一批产品共10件,其中正品7件,次品3件,今从中抽取 若干次,每次抽出1件,求在放回抽样下的4次抽取中,抽得次品 数的分布列. 解: 在放回抽样下,每次抽取只有两个相互对立的基本事件
7
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第三章 几种重要的概率分布
例 5 某种花布一匹布上疵点的个数 X 是一个离散型随机变量，它服 从参数为 λ （ λ > 0) 的泊松分布，已知一匹布上有 8 个疵点与有 7 个疵点的可能性相同，问一匹布上平均有多少个疵点？
解：由于已知一匹布上有8个疵点与有7个疵点的可能性相同， 即概率
m b( m; n, p ) = C n p m q n − m , 其中m = 0,1,2, L , n; q = 1 − p
m=0
m=0
称为概率计算的二项公式。 二项公式。 二项公式
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第三章 几种重要的概率分布
二、二项分布
定义 如果随机变量 X 的概率分布为
i P{X = i} = C n p i q n −i
第三章 几种重要的概率分布 §3.1 二项分布 §3.2 泊松分布 §3.3 均匀分布 §3.4 指数分布 §3.5 正态分布
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§3.1 二项分布
一 贝努里概型和二项公式 二 二项分布 三 二项分布数学期望与方差
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第三章 几种重要的概率分布
一、贝努里概型和二项公式
在相同条件下进行的 n次重复试验，如果每次试验只有 两个相互对立的基本事件，而且它们在各次试验中发生的概 率不变，那末称这样的试验为n重贝努里试验或贝努里概型。 例如，掷n 次硬币， 投n 次篮， 检查n 个产品， 做 n 道单项选择题等
−λ
其中 λ >0 是常数,则称 X 服从参数为
λ 的泊松分布,记作 X ～ P (λ )
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第三章 几种重要的概率分布 二、二项分布与泊松分布 定理3.2.1（泊松定理） 设随机变 X 服从二项分布 B(n, p ) ，当
i 泊松分布 P (λ ) 即， n
C p (1 − p)
i
n −i
A = {抽到正品}, A = {抽到次品},且 A, A 在各次抽取中
__ __
__ 7 3 发生的概率不变,即 P ( A) = , P ( A) = , 10 10 所以, 在放回抽样下的4次抽取是4重贝努里试验.
设随机变量 X 表示 4 次抽取中取到的次品件数,由题意, X 服从二项分布 B(4,0.3) ,即 X 的概率分布为
1 (3) 均值即数学期望 E ( X ) = np = 6 × = 3 2 1 1 3 (4) 方差 D ( X ) = npq = 6 × × = 2 2 2
例 6 若离散型随机变量 X ～ B ( 100 , 0 . 1 ) ，求随机变量函数
Y = − 3 X 的数学期望、方差。
解：从已知条件得到数学期望 E ( X ) = np = 100 × 0.1 = 10
设两个相互对立的基本事件为 A, A ,且 P ( A) = p, P ( A) = q, p + q = 1,
__
__
p > 0, q > 0, 求事件 A 在 n 重贝努里试验中恰好发生 m 次（m=0,1,2…,n）
的概率。记这一概率为 b(m;n,p)
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第三章 几种重要的概率分布
定理 3.1.1：设事件 A 在每次试验中发生的概率为 p, (0 < p < 1), 则它在贝努里概型下恰好发生 m 次的概率为
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第三章 几种重要的概率分布 小结与提问： 小结与提问： 本次课，我们介绍了贝努里概型与二项公式、二项分布。 二项分布是离散型随机变量的概率分布中的重要分布，我们 应掌握二项分布及其概率计算，能够将实际问题归结为贝努 里概型，然后用二项分布计算有关事件的概率、数学期望与 方差。。 课外作业： 课外作业：P150 习题三 3.01,3.02,3.03,3.04,3.05
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i!
e
− λ 其中 λ
= np
第三章 几种重要的概率分布
例 1 某一无线寻呼台,每分钟收到寻呼的次数 X 服从参数 λ =3 的泊松分布. 求:(1)一分钟内恰好收到 3 次寻呼的概率. (2)一分钟内收到 2 至 5 次寻呼的概率.
解: :
(1)P{X=3}=p(3)=(3 /3!)e
300 100 7 错误，即离散型随机变量 X 的数学期望 E ( X ) = ， 100 又由于离散型随机变量 X 服从参数为 λ 的泊松分布，因此数学期望
7 E ( X ) = λ ，于是参数 λ = 100 事件 X = 0 表示任取 1 页书上没有印刷错误，有概率
7 0 −100 ( ) e 7 − P{X = 0} = 100 = e 100 ≈ 0.9324 0!
=1-[(0.8 +(0.8
2 0
/0!)+(0.8
− 0 .8
1
/1!)
/2!)]e
≈0.0474
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第三章 几种重要的概率分布 例3 某出租汽车公司共有出租车400辆,设每天每辆出租车出 现故障的概率为0.02, 求:一天内没有出租车出现故障的概率. 解：将观察一辆车一天内是否出现故障看成一次试验E.因为 每辆车是否出现故障与其它车无关,于是观察400辆出租车是 否出现故障就是做400次伯努利试验,设X表示一天内出现故 障的出租车数,则: X ～ B(400, 0.02).
i P{X = i} = C4 (0.3)i (0.7)4−i ,i = 0,1,2,3,4
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第三章 几种重要的概率分布 例4 投掷一枚均匀硬币6次，求： （1）恰好出现2次正面的概率；（2）至少出现5次正面的概率； （3）出现正面次数的均值； （4）出现正面次数的方差。 解：设随机变量 X 表示 6 次投掷一枚均匀硬币出现正面的次数，
m b(m; n, p ) = C n p m q n − m , 其中m = 0,1,2, L , n; q = 1 − p 证明 由多个事件相互独立的概念知, 事件 A 在 n 次试验中指定 的 m 次发生而其余的 n − m 次不发生的概率为 p m q n − m ，
又由于事件 A 可以在 n 次试验中的任何 m 次发生，从 n 次试 m m 验中选取 m 次共有 C n 种方式，且这 C n 个事件两两互不相容，
(0 < p < 1, p + q = 1)
(i = 0,1,2,L, n)
则称离散型随机变量 X 服从参数为 n, p常见的二项分布实际问题： ①有放回或总量大的无放回抽样； ②打枪、投篮问题（试验 n 次发生 k 次）； ③设备使用、设备故障问题。