2019年北京卷理科数学高考真题及答案解析(word精编)
2019年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷） 第一部分（选择题 共40分）
一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
(1)
（A
（B （C ）3 （D ）5
（2）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
（3）已知直线l 的参数方程为x =1+3t y =2+4t
ìí
î （t 为参数），则点（1，0） 到直线l 的距离是
（A ）1
5
（B）2 5
（C）4 5
（D）6 5
（4）已知椭圆2x
2
a +
2
y
2
b
=1（a>b>0）的离心率为
1
2
，则
（A）a2=2b2.
（B）3a2=4b2.
（C）a=2b
（D）3a=4b
（5）若x,y满足的最大值为
（A）-7 （B）1
（C）5 （D）7
（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。
两颗星的星等与
亮度满足m
2-m
1
=
5
2
lg
E
1
E
2
，其中星等为m k的星的亮度为E k（k=1,2）。
已知太
阳的星等为-26.7，天狼星的星等为-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A）1010.1（B）10.1
（C）lg10.1（D）10-10.1
（7）设点A,B,C不共线，则“与的夹角是锐角”是“的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C:x2+y2=1+x y就是其中之一（如图）。
给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2;
③曲线C所围城的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是
（A）①（B）②
（C）①②（D）①②③
第二部分(非选择题共10分)
二、填空题共6小题,每小题5分，共30分。
(9) 函数f(x)=sin22x的最小正周期是________。
(10) 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2=-3，S5=-10,则a3= ________ . S n 的最小值为_______。
(11) 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示。
如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为________。
(12) 已知l、m是平面a外的两条不同直线.给出下列三个论断:
①l⊥m；②m∥a；③l⊥a
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题: ______ 。
(13) 设函数f(x)=e x+ae-x(a为常数)，若f(x)为奇函数,则a=______；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是________。
(14)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃。
价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒，为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元，每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%。
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 _______ 元： ②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为________ 。
三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）
在
中，a =3，b -c =2 ，1
cos 2
B =- ．
（Ⅰ）求b,c 的值；
（Ⅱ）求sin(B -C ) 的值。
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角F-AE-P 的余弦值; （Ⅲ）设点G 在PB 上，且PG PB =2
3
.判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由.
（17）（本小题13分）
改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变。
近年来，移动支付已成为主要支付方式之一。
为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人，样本仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A,B两个支付方式都使用的概率；
（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化，现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额大于2000元。
根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由。
(18)（本小题14分）
已知抛物线C:x2=-2py经过点(2，-1)。
(I)求抛物线C的方程及其准线方程；
(II)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两上定点。
(19)（本小题13分）
已知函数f(x)=1
4
x3-x2+x。
(I)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程；(II)
(III)设，记F(x)在区间[-2，4]上的最大值为M(a)，当M(a)最小时，求a的值。
(20)（本小题13分）
已知数列{a n}，从中选取第i1项、第i2项、…、第i m项(i1<i2<…<i m)，若
，则称新数列为{a n}的长度为m的递增子列。
规
定：数列{a n}的任意一项都是{a n}的长度为1的递增子列。
(I)写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列；
(II)已知数列{a n}的长度为P的递增子列的末项的最小值为，长度为q的递增子列的
，若p<q，求证：；
末项的最小值为a n
o
(III)设无穷数列{a n}的各项均为正整数，且任意两项均不相等，若{a n}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s-1，且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有2s-1个（s=1,2,…），求数列{a n}的通项公式。
2019年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（参考答案）
1.D
2.B
3.D
4.B
5.C
6.A
7.C
8.C
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.。
2019年北京卷理科数学高考真题
2019年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷） 第一部分（选择题 共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)（A（B （C ）3 （D ）5（2）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（3）已知直线l 的参数方程为x =1+3t y =2+4tìíî （t 为参数），则点（1，0） 到直线l 的距离是（A ）15（B）2 5（C）4 5（D）6 5（4）已知椭圆2x2a+2y2b=1（a>b>0）的离心率为12，则（A）a2=2b2.（B）3a2=4b2.（C）a=2b（D）3a=4b（5）若x,y满足的最大值为（A）-7 （B）1（C）5 （D）7（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。
两颗星的星等与亮度满足m2-m1=52lgE1E2，其中星等为m k的星的亮度为E k（k=1,2）。
已知太阳的星等为-26.7，天狼星的星等为-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A）1010.1（B）10.1（C）lg10.1（D）10-10.1（7）设点A,B,C不共线，则“与的夹角是锐角”是的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C:x2+y2=1+x y就是其中之一（如图）。
给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2;③曲线C所围城的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是（A）①（B）②（C）①②（D）①②③第二部分(非选择题共10分)二、填空题共6小题,每小题5分，共30分。
(9) 函数f(x)=sin22x的最小正周期是________。
2019年高考真题北京卷理科数学试卷(详解版)(加密版)
2019 年高考真题北京卷理科数学试卷一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分）1.已知复数z = 2 + i，则z⋅ z =（）．A.√3B.√5C.3D.5【答案】D【解析】复数z = 2 + i，∴z= 2 − i，∴z⋅ z = (2 + i)(2 − i)= 4 − i2 = 5．故选D ．2.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）．A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】模拟程序的运行，可得k = 1，s = 1；s = 2，不满足条件k⩾ 3，执行循环体，k = 2，s = 2，不满足条件k⩾ 3，执行循环体，k = 3，s = 2，此时，满足条件k⩾ 3，退出循环，输出s的值为2．故选：B．3.己知直线l 的参数方程为{x = 1 + 3t（t 为参数），则点(1,0)到直线l 的距离是（ ）．y = 2 + 4tA.1 B.2 C.4 D.6 5 5 5 5【答案】 D【解析】 l 的参数方程{x = 1 + 3t ，y = 2 + 4t∴l 的一般方程：4x − 3y + 2 = 0，∴点(1,0)到l 的距离，d =|4+2| √42+32故选D ．= 6． 54.已知椭圆x 2+ y 2= 1（a > b > 0）的离心率为1，则（ ）．a 2b 22A.a 2 = 2b 2B.3a 2 = 4b 2C.a = 2bD.3a = 4b【答案】 B【解析】 由题意，c = 1，得c 2 = 1，则a 2−b 2 = 1，a2a 24a 24∴ 4a 2 − 4b 2 = a 2，即3a 2 = 4b 2． 故选：B ．5.若x ，y 满足|x | ⩽ 1 − y ，且y ⩾ −1，则3x + y 的最大值为（ ）．A.−7B.1C.5D.7【答案】 C【解析】 由{|x | ⩽ 1 − yy ⩾ −1作出可行域如图，联立{y = −1x + y − 1 = 0，解得A (2, −1)，令z = 3x + y ，化为y = −3x + z ，由图可知，当直线y = −3x + z 过点A 时，z 有最大值为3 × 2 − 1 = 5．故选：C．6.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2 −m1 =5 lg E1，其中星等为m的星的亮度为E (k = 1,2)．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是2 E2k k−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）．A.1010.1B.10.1C.lg 10.1D.10−10.1【答案】A【解析】设太阳的亮度为E1，天狼星的亮度为E2，由题得，−1.45 − (−26.7) =5 lg2E1，E2∴lg E1E2= 25.25 × 25= 10.1，∴E1 = 1010.1 ．E2故选A．→→→→→7.设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB + AC| > |BC|”的（）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】A，B，C不共线，→→→BC = AC− AB，→→→若|AB + AC| > |BC|，→→→→即|AB + AC| > |AC− AB|，→→→→∴(AB + AC)2 > (AC− AB)2，→→→→→→→→即AB2 + AC2 + 2AB⋅ AC > AB2 + AC2− 2AB⋅ AC，→→4AB⋅ AC > 0，→→|AB| ⋅ |AC| ⋅ cos A > 0，∴cos A > 0，→→即AB与AC为锐角或同向共线，∴A，B，C不共线，→→∴AB与AC夹角为锐角，→→→→→∴“AB与AC的夹角是锐角”是“|AB + AC| > |BC|”的充要条件．故选C．8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C: x2 + y2 = 1 + |x|y就是其中之一（如图），给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过√2；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（）．A.①B.②C.①②D.①②③【答案】C【解析】将x换成−x方程不变，所以图形关于y轴对称，当x = 0时，代入得y2 = 1，∴ y = ±1，即曲线经过(0,1)，(0, −1)；当x > 0时，方程变为y2− xy + x2− 1 = 0，所以Δ = x2− 4(x2− 1) ⩾ 0，解得x∈ (0，2√3]，3所以x只能取整数1，当x = 1时，y2− y = 0，解得y = 0或y = 1，即曲线经过(1,0)，(1,1)，根据对称性可得曲线还经过(−1,0)，(−1,1)，故曲线一共经过6个整点，故①正确．当x > 0时，由x2 + y2 = 1 + xy得x2 + y2− 1 = xy⩽x 2+y2，（当x = y时取等），2∴ x2 + y2⩽ 2，∴ √x2 + y2 ⩽√2，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过√2，根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过√2；故②正确．在x 轴上图形面积大于矩形面积= 1 × 2 = 2，x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积= 12× 2 × 1 = 1，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于2 + 1 = 3，故③错误．故选C ．二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9.函数f (x ) = sin 22x 的最小正周期是 ．【答案】π 2【解析】 f (x ) = sin 22x=1−cos 4x2 = − 12cos 4x + 1，2∴最小正周期T = 2π = π．42故答案为：π．210.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2 = −3，S 5 = −10，则a 5 = ，S n 的最小值为．【答案】 0 −10【解析】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2 = −3，S 5 = −10，a 1 + d = −3∴ {5a+ 5×4 d = −10 ，2解得a 1 = −4，d = 1，∴ a 5 = a 1 + 4d = −4 + 4 × 1 = 0，S = n a+n (n−1) d = −4n +n (n−1)19 281，n12= (n − ) −22 2 8∴ n = 4或n = 5时，S n 取最小值为S 4 = S 5 = −10． 故答案为：0，−10．11. 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为 ．1。
2019年北京卷理科数学高考真题及答案解析(word精编)
2019年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）第一部分（选择题 共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)（A（B（C ）3（D ）5 （2）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（3）已知直线l 的参数方程为x =1+3t y =2+4tìíî （t 为参数），则点（1，0） 到直线l 的距离是（A ）15（B）2 5（C）4 5（D）6 5（4）已知椭圆2x2a +2y2b=1（a>b>0）的离心率为12，则（A）a2=2b2.（B）3a2=4b2.（C）a=2b（D）3a=4b（5）若x,y满足的最大值为（A）-7 （B）1（C）5 （D）7（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。
两颗星的星等与亮度满足m2-m1=52lgE1E2，其中星等为m k的星的亮度为E k（k=1,2）。
已知太阳的星等为-26.7，天狼星的星等为-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A）1010.1（B）10.1（C）lg10.1（D）10-10.1（7）设点A,B,C不共线，则“与的夹角是锐角”是“的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C:x2+y2=1+x y就是其中之一（如图）。
给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2;③曲线C所围城的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是（A）①（B）②（C）①②（D）①②③第二部分(非选择题共10分)二、填空题共6小题,每小题5分，共30分。
(9) 函数f(x)=sin22x的最小正周期是________。
2019年北京卷 理科数学真题(解析版)
2019年北京卷 理科数学真题（解析版）一、选择题：每小题5分，共40分。
1.已知复数z =2+i ，则z z ⋅=（ ） A.3B.5C. 3D. 5【答案】D 【详解】∵z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-= 故选D.2.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【详解】运行第一次， =1k ，2212312s ⨯==⨯- ，运行第二次，2k = ，2222322s ⨯==⨯- ，运行第三次，3k = ，2222322s ⨯==⨯- ，结束循环，输出=2s ，故选B .3.已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则点（1,0）到直线l 的距离是（ ）A.15B.25C.45D.65【答案】D【详解】直线l 的普通方程为()()41320x y ---=,即4320x y -+=,点()1,0到直线l 的距离226543d ==+,故选D.4.已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（ ）A. a 2=2b 2B. 3a 2=4b 2C. a =2bD. 3a =4b【答案】B 【详解】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =,故选B.5.若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为（ ） A. −7 B. 1C. 5D. 7【答案】C 【详解】由题意1,11yy x y-≤⎧⎨-≤≤-⎩作出可行域如图阴影部分所示.设3,3z x y y z x =+=-,当直线0:3l y z x =-经过点()2,1-时,z 取最大值5.故选C.6.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ） A. 1010.1 B. 10.1C. lg10.1D. 10–10.1【答案】D【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -= , 令2 1.45m =- ，126.7m =- ，()1212221g( 1.4526.7)10.155E m m E =-=-+=，10.110.112211010E EE E -=⋅= ， 故选D.7.设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【详解】∵A ､B ､C 三点不共线,∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AB -AC |⇔|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇔•AC >0AB ⇔与AC的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C.8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ②C. ①②D. ①②③【答案】C详解】由221x y x y +=+得,221y x y x -=-,2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由221x y x y +=+得,222212x y x y +++,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不2结论②正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -,四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019北京市高考数学试卷(理科)含答案
4． 已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 的离心率为 1 ，则 ( 2
)
A． a2 2b2
2
2
B． 3a 4b
C． a 2b
D． 3a 4b
【思路分析 】由椭圆离心率及隐含条件 a 2 b2 c 2 得答案 ．
【解析 】：由题意 ， c a
1 2
，
得
c2 a2
1
a2 b2
，则 4
a2
1 ，
4
数列 { an} 的任意一项都是 { an } 的长度为 1 的递增子列 ．
（Ⅰ） 写出数列 1， 8， 3 ，7 ， 5，6 ， 9 的一个长度为 4 的递增子列 ；
（Ⅱ） 已知数列 { an } 的长度为 p 的递增子列的末项的最小值为 末项的最小值为 an0 ． 若 p q ， 求证 ： am0 an0 ；
)
A． 充分而不必要条件
B． 必要而不充分条件
C． 充分必要条件
D． 既不充分也不必要条件
8． 数学中有许多形状优美 、 寓意美好的曲线 ， 曲线 C : x 2 y 2 1 | x | y 就是其中之一 （ 如
图）． 给出下列三个结论 ：
①曲线 C 恰好经过 6 个整点 （即横 、 纵坐标均为整数的点 ）；
E2 5
E2
5 lg E1 ， 2 E2 1010.1 ．
故选 ： A ．
【归纳与总结 】本题考查对数的运算性质 ， 是基础的计算题 ．
4a 2 4b2 a 2 ，即 3a2 4b2 ．
故选 ： B ．
【归纳与总结 】本题考查椭圆的简单性质 ， 熟记隐含条件是关键 ， 是基础题 ．
5． 若 x ， y 满足 | x |, 1 y ，且 y… 1， 则 3x y 的最大值为 (
2019年高考理科数学北京卷(附参考答案和详解)
4!数学中 有 许 多 形 状 优 美/寓 意 美 好 的 曲 线# 曲线 .,#$0&$'!0"#"& 就是 其 中 之 一$如 图 %!给 出 下 列 三 个 结 论 ,
曲线 . 恰 好 经 过 & 个 整 点 $即 横/纵 坐 标
均 为 整 数 的 点 %-
第4题图
曲线 . 上任意一点到原点的距离都不超过槡$-
三 解 答 题解答应写出文字说明证明过程或演算步骤
!"!$本小题满 分 !+ 分%在 '+0. 中#''+#(()'$#5290'
(
! $
!
$!%求(#) 的 值 -
$$%求9/: $0(.%的值!
.!( .
!&!$本小题满分!)分%如图#在 四 棱 锥 12+0.5 中#1+& 平
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曲线 . 所围成的&心形'区域的面积小于+! 其 中 #所 有 正 确 结 论 的 序 号 是
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2019北京高考理科数学试题及答案详解共10页
2019北京高考理科数学试题第一部分 （选择题 共40分）选择题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤ x ＜1}，则A∩B= ( )A.{0}B.{－1，0}C.{0，1}D.{－1,0,1}2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x ＋φ)过坐标原点的”A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A.1B.23C.1321D.610987 5.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与y=ex 关于y 轴对称，则f(x)=A.1e x +B. 1e x -C. 1e x -+D. 1e x -- 6.若双曲线22221x y a b -=，则其渐近线方程为A.y=±2xB.y=C.12y x =±D.2y x =± 7.直线l 过抛物线C: x2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于A.43B.2C.83D.38.设关于x,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0=2，求得m 的取值范围是 A.4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. 2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D. 5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分.9.在极坐标系中，点(2，6π)到直线ρsinθ=2的距离等于 .10.若等比数列{an}满足a2＋a4=20，a3＋a5=40，则公比q= ；前n 项和Sn= .11.如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D.若PA=3，916PD DB =：：，则PD= ；AB= . 12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 .13.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa ＋μb (λ，μ∈R)，则λμ= .14.如图，在棱长为2的正方体ABCD －A1B1C1D1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D1E 上，点P 到直线CC1的距离的最小值为 .三、解答题共6小题，共80分。
2019年高考真题理科数学(北京卷)
绝密★本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知复数z=2+i，则z z⋅=（A）3（B）5（C）3 （D）5（2）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（3）已知直线l的参数方程为13,24x ty t=+=+⎧⎨⎩（t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是（A）15（B）25（C）45（D）65（4）已知椭圆22221x ya b+=（a＞b＞0）的离心率为12，则（A）a2=2b2（B）3a2=4b2 （C）a=2b （D）3a=4b（5）若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为 （A ）−7（B ）1（C ）5（D ）7（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=52lg 21E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 （A ）1010.1（B ）10.1（C ）lg10.1（D ）10−10.1（7）设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 2 ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 （A ）①（B ）②（C ）①②（D ）①②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019年北京高考理科数学真题及答案
改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用（0，1000] （1000，2000]（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程； ()y f x =（Ⅱ）当时，求证：；[2,4]x ∈-6()x f x x -≤≤（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M （a ）．当M （a ）最()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ()F x [2,4]-小时，求a 的值． （20）（本小题13分）已知数列{a n }，从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项（i 1<i 2<…<i m ），若，则称12m i i i a a a <<⋅⋅⋅<新数列为{a n }的长度为m 的递增子列．规定：数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为112m i i i a a a ⋅⋅⋅，，，的递增子列．（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为，长度为q 的递增子列的末项的最小0m a 值为．若p <q ，求证：<；0n a 0m a 0n a （Ⅲ）设无穷数列{a n }的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s –1，且长度为s 末项为2s –1的递增子列恰有2s -1个（s =1，2，…），求数列{a n }的通项公式．2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）D（2）B（3）D（4）B（5）C（6）A（7）C（8）C二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）（10）0（11）40（12）若，，则.（答案不唯一）π210-l m ⊥l α⊥m α∥（13）（14）130 151-(,0]-∞三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-.22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭因为，2b c =+所以. 2221(2)3232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭解得. 5c =所以. 7b =（Ⅱ）由得. 1cos 2B =-3sin 2B =由正弦定理得. 53sin sin 14c C B b ==在中，∠B 是钝角， ABC △所以∠C 为锐角.所以. 211cos 1sin 14C C =-=所以. 43sin()sin cos cos sin 7B C B C B C -=-=（16）（共14分）所以.2424422,,,,,3333333PG PB AG AP PG ⎛⎫⎛⎫==--=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由（Ⅱ）知，平面AEF 的法向量.=(1,1,1)--n 所以.4220333AG ⋅=-++= n 所以直线AG 在平面AEF 内. （17）（共13分）解：（Ⅰ）由题意知，样本中仅使用A 的学生有18+9+3=30人，仅使用B 的学生有10+14+1=25人，A ，B 两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A ，B 两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人.所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率估计为. 400.4100=（Ⅱ）X 的所有可能值为0，1，2.记事件C 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”. 由题设知，事件C ，D 相互独立，且. 93141()0.4,()0.63025P C P D ++====所以，(2)()()()0.24P X P CD P C P D ==== (1)()P X P CD CD ==()()()()P C P D P C P D =+=0.4×（1−0.6）+（1−0.4）×0.6 =0.52，.(0)()()()0.24P X P CD P C P D ====所以X 的分布列为X 0 1 2P0.24 0.52 0.24故X 的数学期望E （X ）=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.（Ⅲ）记事件E 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”. 假设样本仅使用A 的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得. 33011()C 4060P E ==答案示例1：可以认为有变化.理由如下：P （E ）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化. 答案示例2：无法确定有没有变化.理由如下：事件E 是随机事件，P （E ）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化. （18）（共14分）解：（Ⅰ）由抛物线经过点，得. 2:2C x py =-(2,1)-2p =所以抛物线的方程为，其准线方程为. C 24x y =-1y =（Ⅱ）抛物线的焦点为. C (0,1)F -设直线的方程为.l 1(0)y kx k =-≠由得. 21,4y kx x y=-⎧⎨=-⎩2440x kx +-=设，则. ()()1122,,,M x y N x y 124x x =-直线的方程为. OM 11y y x x =令，得点A 的横坐标. 1y =-11A x x y =-同理得点B 的横坐标. 22B x x y =-设点，则，(0, )D n 1212,1,,1x x DA n DB n y y ⎛⎫⎛⎫=---=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21212(1)x xDA DB n y y ⋅=++ 2122212(1)44x x n x x =++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21216(1)n x x =++.24(1)n =-++令，即，则或.0DA DB ⋅= 24(1)0n -++=1n =3n =-综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点和. (0,1)(0,3)-（19）（共13分）解：（Ⅰ）由得. 321()4f x x x x =-+23()214f x x x '=-+令，即，得或.()1f x '=232114x x -+=0x =83x =又，，(0)0f =88()327f =所以曲线的斜率为1的切线方程是与，()y f x =y x =88273y x -=-即与.y x =6427y x =-（Ⅱ）令.()(),[2,4]g x f x x x =-∈-由得. 321()4g x x x =-23()24g'x x x =-令得或.()0g'x =0x =83x =的情况如下：(),()g'x g x x2-(2,0)-0 8(0,)3 838(,4)34 ()g'x+-+()g x 6-6427-0所以的最小值为，最大值为. ()g x 6-0故，即. 6()0g x -≤≤6()x f x x -≤≤（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，； 3a <-()(0)|(0)|3M F g a a a ≥=-=->当时，；3a >-()(2)|(2)|63M F a g a a ≥-=--=+>当时，.3a =-()3M a =综上，当最小时，.()M a 3a =-（20）（共13分）解：（Ⅰ）1，3，5，6.（答案不唯一）（Ⅱ）设长度为q 末项为的一个递增子列为. 0n a 1210,,,,q r r r n a a a a - 由p <q ，得.10p q r r n a a a -≤<因为的长度为p 的递增子列末项的最小值为，{}n a 0m a 又是的长度为p 的递增子列，12,,,p r r r a a a {}n a 所以.0p m r a a ≤所以·00m n a a <（Ⅲ）由题设知，所有正奇数都是中的项.{}n a 先证明：若2m 是中的项，则2m 必排在2m −1之前（m 为正整数）. {}n a 假设2m 排在2m −1之后.设是数列的长度为m 末项为2m −1的递增子列，则121,,,,21m p p p a a a m -- {}n a 是数列的长度为m +1末项为2m 的递增子列.与已知矛盾. 121,,,,21,2m p p p a a a m m -- {}n a 再证明：所有正偶数都是中的项.{}n a 假设存在正偶数不是中的项，设不在中的最小的正偶数为2m . {}n a {}n a 因为2k 排在2k −1之前（k =1，2，…，m −1），所以2k 和不可能在的同一个递增子列中. 21k -{}n a 又中不超过2m +1的数为1，2，…，2m −2，2m −1，2m +1，所以的长度为m +1且末项为2m +1的递{}n a {}n a 增子列个数至多为.1(1)22221122m m m --⨯⨯⨯⨯⨯⨯=< 个与已知矛盾.最后证明：2m 排在2m −3之后（m ≥2为整数）.假设存在2m （m ≥2），使得2m 排在2m −3之前，则的长度为m +1且末项为2m +l 的递增子列的个数小于{}n a.与已知矛盾.2m 综上，数列只可能为2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…. {}n a 经验证，数列2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…符合条件. 所以 1,1,n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数，为偶数.。
2019年北京卷理科数学高考真题
2019 年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理） （北京卷）本试卷共 5页， 150 分。
考试时长 120 分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试 结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
部分 （选择题 共 40 分）5）若 x ，y 满足|x| 1 y ，且 y ≥-1，则 3x+y 的最大值为 、选择题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分。
在每小题列出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项。
1）已知复数 z=2+i ，则 z zB ) 5D )52）执行如图所示的程序框图，输出的A )1 D )43）已知直线l的参数方程为x 1 3t,y 2 4tt 为参数），则点（ 1， 0）到直线 l 的距离是 A )152B )54 C )45D ）4）已知椭圆 2x y 21 22aba >b >0）的离心率为 1 ，则2A )a 2=2b 222B )3a 2=4b 2C ) a=2bD ） 3a=4bA )-7B )1C )5D ）C )3B )26）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足其中星等为 m k 的星的亮度为 E k （ k=1， 2）．已知太阳的星等是天狼星的亮度的比值为D ）既不充分也不必要条件其中，所有正确结论的序号是二、填空题共 6小题，每小题 5分，共 30 分。
29）函数 f （x ）=sin 22x 的最小正周期是10）设等差数列 {a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 2=- 3，S 5=- 10，则 a 5=11）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为 1 ，那么该几何体的体积为8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线列三个结论：C ：2y 21 |x| y 就是其中之一（如图）．给出①曲线 2；C 恰好经过 6 个整点（即横②曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过③曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3．5 E 1m 2- m 1=lg E，2 E 2- 26.7，天狼星的星等是 - 1.45，则太阳与A )1010.1B )10.1C )lg10.1D ) 10- 10.17）设点 A ，B ，C 不共线，则“ AB 与 AC 的夹角为锐角”是“|AB AC | |BC | ”的A ）充分而不必要条件B ）必要而不充分条件C ）充分必要条件A ）①B ）②C ）①②D ）①②③第二部分 （非选择题共 110 分），S n 的最小值为12）已知l ， m 是平面 外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ； ② m ∥ ； ③l ⊥ ．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： _____________ ．13）设函数 f （x ）=e x+ae -x（a 为常数）．若 f （x ）为奇函数，则 a= ________ ；若 f （x ）是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是 __________ ．14 ）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65 元/盒、 80 元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价 达到 120 元，顾客就少付 x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80%． ①当 x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付 __________ 元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的最大值为 三、解答题共 6小题，共 80 分。