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高二数学理科选修2-2、2-3综合练习题(含答案)
高二理科选修2-2、2-3综合练习题一、选择题1.已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z ＝( )A ．－3iB ．3iC ．±3i D．4i 2.函数y=x 2cosx 的导数为( ) (A) y ′=2xcosx －x 2sinx(B) y ′=2xcosx+x 2sinx (C) y ′=x 2cosx －2xsinx(D) y ′=xcosx －x 2sinx3.若x 为自然数，且x<55，则(55-x)(56–x)…(68–x )( 69–x )= ( )A 、x x A --5569B 、1569x A -C 、1555x A -D 、1455x A -4.一边长为6的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒，为使方盒的容积最大，x 应取( ) ．A 、1B 、2C 、3D 、45、工人制造机器零件尺寸在正常情况下，服从正态分布2(,)N μσ．在一次正常实验中，取1000个零件时，不属于(3,3)μσμσ-+这个尺寸范围的零件个数可能为（ ） A ．3个 B ．6个 C ．7个 D ．10个 6、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（ ）A.假设至少有一个钝角 B ．假设至少有两个钝角C.假设没有一个钝角D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角7.4名学生被中大、华工、华师录取，若每所大学至少要录取1名，则共有不同的录取方法( )．A 、72种B 、36种C 、24种D 、12种8、随机变量ξ服从二项分布ξ～()p n B ,，且,200,300==ξξD E 则p 等于（ ）A. 32B. 31C. 1D. 09．若4)31(22+-=⎰dx x a ，且naxx )1(+的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为( ) A ．164-B ．132C ．164 D ．112810.给出以下命题：⑴若 ，则f(x)>0； ⑵ ; ⑶f(x)的原函数为F(x)，且F(x)是以T 为周期的函数，则 ； 其中正确命题的个数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)0 二、填空题11、已知函数f(x) =32(6)1x ax a x ++++在R 上有极值，则实数a 的取值范围是 ．12.观察下式1=12，2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,……，则可得出一般性结论：________13.已知X 的分布列如图，且,则a 的值为____14．对于二项式(1-x)1999，有下列四个命题：①展开式中T 1000= －C 19991000x999；②展开式中非常数项的系数和是1；③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项； ④当x=2000时，(1-x)1999除以2000的余数是1．其中正确命题的序号是__________． （把你认为正确的命题序号都填上）15．设)(x f 是定义在R 上的可导函数，且满足0)()('>+x xf x f .则不等式)1(1)1(2-->+x f x x f 的解集为____________．20sin 4xdx =⎰π()0ba f x dx >⎰0()()aa TTf x dx f x dx +=⎰⎰三、解答题16．（12分）已知1z i a b =+，，为实数．（1）若234z z ω=+-，求ω；（2）若2211z az b i z z ++=--+，求a ，b 的值．17、（12分） 20()(28)(0)xF x t t dt x =+->⎰．（1）求()F x 的单调区间； （2）求函数()F x 在[13]，上的最值．18、（12分）已知数列{}n a 的前n 项和*1()n n S na n =-∈N ．（1）计算1a ，2a ，3a ，4a ；（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．19、（12分）某次有奖竞猜活动中，主持人准备了A 、B 两个相互独立的问题， 并且宣布：观众答对问题A 可获奖金a 元，答对问题B 可获奖金2a 元；先答哪个题由观众自由选择；只有第一个问题答对，才能再答第二个问题，否则终止答题．设某幸运观众答对问题A 、B 的概率分别为31、14．你觉得他应先回答哪个问题才能使获得奖金的期望较大？说明理由．20、（13分）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满；房间单价增加10元，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费20元的各种维护费用。
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高中数学选修高二期终模块考试理倾向数学第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1.下面几种推理中是演绎推理．．．．的是 A ．由金、银、铜、铁可导电得到结论：金属都可导电； B ．猜想数列...431,321,211⨯⨯⨯的通项公式为1(1)n a n n =+()n N +∈；C ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=；D ．所有的平行四边形对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分． 2.出租车司机从饭店到火车站途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是.31则这位司机在途中遇到红灯数ξ的方差为A.76B.52C.53 D.1093.下列推理正确的个数为①如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以一定中奖.②因为正方形的对角线互相平分且相等，所以一个四边形的对角线互相平分且相等，则四边形是正方形.③因为,a b a c >>，所以a b a c ->-. ④因为,a b c d >>，所以a d b c ->-. A.1 个 B.2个 C. 3 个 D.4个4.已知,x y 的取值如下表所示：如果y 与x 呈线性相关，且线性回归方程为ˆ2ybx =+，则6x =时y 的估计值为 A ．112 B ．16- C ．132 D ．12-5.将4名刚毕业的大学生分配到3个公司去实习，若每个公司都要有人去，则不同的分配方法有A.36B.64C.72D.816.已知某样本的频率分布直方图如图所示,样本组距是相等 的，则组距是A.0.5B.1C.32D. 2 7.在大小均匀的5个小球中有3个红球，2个白球，每次取一个，有放回地取两次，则在已知第一次取到红球的条件下第二次取到红球的概率为 A.56B.12 C. 518 D.358.已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，且(4)0.9P ξ<=，则(02)P ξ<<=A.0.2B.0.3C.0.4D.0.69.平面内有n 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,则这n 条直线把平面分割成的区域个数为A ．22n n +- B ．22n n + C ．21()12n n ++ D ．2n n + 10.设a b >，函数2()()y x a x b =--的图象可能是11.下列结论正确的是 ①若某离散型随机变量ξ满足(,)B n pξ，则()E np ξ=；②组合数!!()!mnn Cm n m =-；③若事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，则称这两个事件为互斥事件; ④若10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有c b a >>cA ．③④B ．①②④C ．①③④D ．①②③④12.设函数1()ln 3f x x x =+, 则()f x A ．在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点 B ．在区间1(,1)e 内有零点,在区间(1,)e 内无零点C ．在区间1(,1)e内无零点,在区间(1,)e 内有零点 D ．在区间 1(,1),(1,)e e 内均无零点第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中相应题的横线上． 13.在所有的无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字大2的数共有__________个.14.22(1sin )x dx ππ-⎰-=_________.15.已知不等式|2||3|x x a ++-≤的解集不是空集，则实数a 的取值范围是__________.16.现有一块边长为a 的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方形的无盖容器，为使其容积最大，则截下的小正方形的边长应为_____ ____. 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知2n 展开式的二项式系数之和比ny x )(+展开式的所有项系数之和大56．（Ⅰ）求2n展开式中二项式系数最大的项；（Ⅱ）求2n展开式的所有有理项. 18．（本题共两个小题，每小题6分，共12分） （1）求证：5321232log 19log 19log 19++<．（2）下面是某同学用数学归纳法证明等式11124462(22)4(1)nn n n +++=⨯⨯++的步骤，请你判断整个证明过程有没有错误，若有错误请指出并帮他订正（只需把错误的步骤写在答题卡上）．证明：（1）当1n =时，左边11248==⨯，右边114(11)8==+，所以等式成立． （2）假设n k =时等式成立，即11124462(22)4(1)k k k k +++=⨯⨯++成立， 那么当1n k =+时，左边111124462(22)2(1)[2(1)2]k k k k =++++⨯⨯++++111111111()2244622222(22)2k k k k =-+-++-+-++++ 111111()22(22)22(22)24[(1)1]k k k k k ++=-=⨯=++++++ 即1n k =+时等式也成立由（1）（2）知，对任何n N *∈，等式均成立．19. (本小题满分12分)某项业务考试按科目A 、科目B 依次分别进行，只有当科目A 成绩合格时，才可以继续参加科目B 的考试．每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得该项合格证书．现在某人将要参加这项考试，已知他每次考科目A 成绩合格的概率均为34，每次考科目B 成绩合格的概率均为13．假设他在这项考试中不放弃所有的考试机会，且每次的考试成绩互不影响，记他参加考试的次数为ξ． （Ⅰ）求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）求此人在这项考试中获得合格证书的概率．20. (本小题满分12分)如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，22,901====∠AC BC AA ACB o，D 为线段1AA 上的动点.（Ⅰ）若D 为1AA 中点，求证：平面1B CD ⊥平面11B C D ； （Ⅱ）是否存在一点D ，使得二面角11B CD C --平面角为1arccos 3，请说明理由.21.（本小题满分12分）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知328S =，且123,,4a a a -构成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；C 1B 1A 1 BADC （第20题图）（Ⅱ）令211(2)n n b a n n -=++，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（Ⅲ）试比较1n a -与2n 的大小(*1,n n N >∈)，并给出证明．22. (本小题满分14分)已知直线l 与函数x x f ln )(=的图象相切于点)0,1(，且l 与函数2721)(2++=mx x x g )0(<m 的图象也相切.设函数()(1)()h x f x g x '=+-（其中()g x '是()g x 的导函数.（Ⅰ）求直线l 的方程及m 的值；（Ⅱ）若函数()h x 与直线23y t =-有两个不同的交点，求t 的取值范围； （Ⅲ）当10<<a 时，求证：21)2()1(-<-+a f a f . 高二理科数学参考答案一.选择题： 每小题5分共60分 ,,DDAAA BDCCA BB 二.填空题：13. 448 14. π 15. 5a ≥ 16. 16a三： 17解：（Ⅰ）∵2n 展开式的二项式系数之和为n22 ,n y x )(+展开式的所有项系数之和为n2． ………1分∴22256nn -= 解得：28,3n n =∴=． ………4分由于26n =是偶数，所以展开式中二项式系数最大的项应该为中间一项，即1333246160T C x == ． ………6分（Ⅱ）26n =展开式的通项为1856661662rrrr r rr T C C x ---+=⋅⋅=………8分由1856r-为整数得， 0=r 或6=r ………10分∴有理项为3164T x =和27T x -=． ………12分18(1)证明：因为1log log a b b a=……1分 所以左边191919log 52log 33log 2=++ ……2分231919log (532)log 360=⨯⨯= ……4分因为1919log 360log 3612<= 所以5321232log 19log 19log 19++< ． ……6分18(2)解:证明有错误，错误在证明1n k =+时没有使用假设的结论，……1分 订正如下：那么当1n k =+时，左边111124462(22)2(1)[2(1)2]k k k k =++++⨯⨯++++ 14(1)4(1)(2)k k k k =++++ ……3分2(2)1(1)14(1)(2)4(1)(2)4[(1)1]k k k k k k k k k ++++===++++++ ……6分 19．解：（Ⅰ）设此人“第一次考科目A 成绩合格”为事件1A ，“科目A 补考后成绩合格”为事件2A ，“第一次考科目B 成绩合格”为事件1B ，“科目B 补考后成绩合格”为事件2B . …………1分 由题意知，ξ可能取得的值为：2,3,4 …………2分 1112(2)()()31115.434416P P A B P A A ξ==+=⨯+⨯=…………4分112112121(3)()()()321322131943343344316P P A B B P A B B P A A B ξ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=…………6分12121212(4)()()132113222144334433168P P A A B B P A A B B ξ==+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯== …………8分ξ的分布列为故2341616816E ξ=⨯+⨯+⨯= …………9分（Ⅱ）设“此人在这项考试中获得合格证书”为事件C 则111121211212()()()()()P C P A B P A B B P A A B P A A B B =+++3132113113212543433443443348=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯= 故此人在这项考试中获得合格证书的概率为2548…………12分20. (本小题满分12分)（Ⅰ）解法1证明：∵11190AC B ACB ∠=∠=，∴1111BC AC ⊥又由直三棱柱性质知 1111111,B C CC AC CC C ⊥= ……1分 ∴11B C ⊥平面11ACC A ,又CD ⊂平面11ACC A ∴11B C CD ⊥ ……2分由122AA BC AC ===，D 为1AA 中点，可知1DC DC =，∴222114DC DC CC +==，即1CD DC ⊥ …………4分 又111111,B C CD B C C D C ⊥= ∴ CD ⊥平面11B C D又CD ⊂平面1B CD ，故平面1B CD ⊥平面11B C D ． …………6分（Ⅰ）解法二：因为在直三棱柱111C B A ABC -中，90ACB ∠=，所以1,,CA CB CC 两两互相垂直，如图，以C 为原点，1CA CB CC 、、所在直线为x y z 、、 轴建立空间直角坐标系.则11(0,0,0),(1,0,0),(0,2,2),(0,0,2),(1,0,1)C A B C D .111(0,2,0),(1,01),(1,0,1)C B DC CD ∴==-= ……2分由0000)1,0,1()0,2,0(11=++=⋅=⋅B C 得B C ⊥11 由1(1,0,1)(1,0,1)1010DC CD ⋅=-⋅=-++=得DC ⊥1 ………………4分又1111DC C B C =∴CD ⊥平面11B C D 又CD ⊂平面1B CD∴平面1B CD ⊥平面11B C D ……………6分（Ⅱ）设,[0,2]AD a a =∈，则D 点坐标为(1,0,)a ，1(1,0,),(0,2,2)CD a CB == 设平面1B CD 的法向量为(,,)m x y z =则由 1022000m CB y z x az m CD ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩ 令1z =- 得(,1,1)m a =- ． …………8分（第20题图）又∵11(0,2,0)C B =为平面1C CD 的法向量 则由1111111cos ,32m C B m C B m C B ⋅<>=⇒=⋅…………10分解得[0,2]a =，故不存在满足题意的点D . ……………12分21解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q （1q >）由已知得1232132824a a a a a a ++=⎧⎨=+-⎩， ………1分即211121112824a a q a q a q a a q ⎧++=⎪⎨--=-⎪⎩，两式相除并整理得22520q q -+= ………2分 解得2q =（112q =<舍去） 14a = ………3分 故数列{}n a 的通项为12n n a +=． ………4分 （Ⅱ）∵2211111()2(2)22n n n b a n n n n -=+=-+++ ………5分∴2311111111[(1)()()()](4444)2324352n n T n n =-+-+-++-++++++111114(14)32344(1)22121442(1)(2)3n n n n n n n +-+-=+--+=-+++-++ ……7分 22472312264n n n n +-+=-++． ………8分 （Ⅲ）12n n a -=，所以即比较2n与2n (*1,n n N >∈)的大小，当2n =时，有2222=⨯，3n =时，3223>⨯，4n =时，421624=>⨯，可猜想，2n =时，22n n =，3n ≥时，22n n > ………9分下面证明3n ≥时，22nn >． 法一数学归纳法，3n =时，已证.若n k =（3k ≥）成立，即22kk >，………10分当1n k =+时有，122222222(1)k k k k k k +=⋅>⋅=+>+成立.故有3n ≥时，22nn > ，所以猜想成立，即2n =时，12n a n -=，3n ≥时，12n a n ->． ………12分法二用二项展开式证当3n ≥时， 01232(11)n n n n n n c c c c =+=++++…1n nn n c c -+112n n nc c n ->+=． ……12分22解：（Ⅰ）∵xx f 1)(='，直线l 是函数()ln f x x =的图象在点(1,0)处的切线， ∴其斜率为1)1(='=f k∴直线l 的方程为1y x =-． ……………2分又因为直线l 与()g x 的图象相切∴ 2212(1)901722y x x m x y x mx =-⎧⎪⇒+-+=⎨=++⎪⎩，得24(1)3602m m ∆=--=⇒=-（4m =不合题意，舍去） ……………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，27221)(2+-=x x x g ∴()(1)()ln(1)2h x f x g x x x '=+-=+-+（1x >-）， ∴1()111x h x x x -'=-=++．（1x >-） ……………6分 当10x -<<时，()0h x '>；当0x >时，()0h x '<．于是，()h x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减． ……………8分 所以，当0x =时，()h x 取得最大值(0)2h =； ……………9分 且1,(),,()x h x x h x →-→-∞→+∞→-∞所以若()h x 与直线23y t =-有两个不同的交点，则必有232,t t -<< 所以t的取值范围(； ……………11分（Ⅲ）由（Ⅱ）知：当10x -<<时，2)(<x h ，即ln(1)x x +<，…………12分 当10<<a 时，0211<-<-a ∴21211ln 21ln)2()1(-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=-+a a a f a f ． ……………14分，。
高二数学选修2-2模块综合测试题(理科)
选修2-2 期中测试卷（本科考试时间为120分钟，满分为100分）说明：本试题分有试卷Ⅰ和试卷Ⅱ，试卷Ⅰ分值为30分，试卷Ⅱ分值为70分。
班级 姓名第I 卷一．选择题1．在“近似替代”中，函数)(x f 在区间],[1+i i x x 上的近似值（ ）（A ）只能是左端点的函数值)(i x f （B ）只能是右端点的函数值)(1+i x f （C ）可以是该区间内的任一函数值()∈i i f ξξ(],[1+i i x x ）（D ）以上答案均正确2．已知22123i 4(56)i z m m m z m =-+=++，，其中m 为实数，i 为虚数单位，若120z z -=，则m 的值为 （ ） (A) 4(B) 1-(C) 6(D) 03．设*211111()()123S n n n n n n n =+++++∈+++N L ，当2n =时，(2)S =（ C ） Ａ．12 Ｂ．1123+Ｃ．111234++ Ｄ．11112345+++4．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（ B ）A 、假设至少有一个钝角B ．假设至少有两个钝角Ｃ．假设没有一个钝角 Ｄ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角5．给出以下命题： ⑴若()0b af x dx >⎰，则f (x )>0； ⑵20sin 4xdx =⎰π;⑶已知()()F x f x '=，且F (x )是以T 为周期的函数，则0()()a a T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；其中正确命题的个数为( B )A.1B.2C.3D.06．若'0()3f x =-，则000()(3)limh f x h f x h h →+--=（ B ）A ．3-B ． 12-C ．9-D ．6- 7.已知1,1x y <<,下列各式成立的是 （ D ）（A ）2x y x y ++-> （B ）221x y +< （C ）1x y +< （D ）1xy x y +>+8. 定积分π220sin 2xdx ⎰的值等于（ A ） A ．π142- B ．π142+ C ．1π24- D ．π12-【第9题2选1】9.曲线32y x =-+上的任意一点P 处切线的斜率的取值范围是（ ）A ．,)3+∞ B. ,)3+∞ C. ()+∞ D. [)+∞ 9.设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ ）A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， B ．[]10-， C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10. 已知数列{}n a 满足12a =，23a =，21||n n n a a a ++=-，则2016a ＝（ ） A ．1 B.2 C.3 D.0 11. 已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f 的前n 项和为n S ,则2011S 的值为（D ）20122011.20112010.20102009.20092008.D C B A12. 平面几何中，有边长为a ，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（ B ）Ａ．3a 第Ⅱ卷二．填空题13．若复数1111i iz i i-+⋅=+-，则复数z= 14．已知等腰梯形OABC 的顶点A B ，在复平面上对应的复数分别为12i +、26i -+，且O 是坐标原点，OA BC ∥．求顶点C 所对应的复数z【15题2选1】15.已知可导函数))((R x x f ∈的导函数)('x f 满足)()('x f x f >，则当0>a 时，)(a f 和)0(f e a （e 是自然对数的底数）大小关系为15.若函数24()1xf x x =+在区间(21)m m +，上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是 ． 答案：10m -<≤16.仔细观察下面图形：图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是 91三 解答题（本大题共5小题，共54分） 17（本小题满分10分） (1) 求定积分1222x dx --⎰的值； 【2选1】(2)若复数12()z a i a R =+∈，234z i =-，且12z z 为纯虚数，求1z （2）已知复数z 满足()iii z z z +-=++232，求z ． 由已知得()i i z z z -=++12，设()R y x yi x z ∈+=,,代人上式得i xi y x -=++1222所以⎩⎨⎧-==+12122x y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=-=2321y x故i z 2321±-=18.【3选1】（1）已知a ，b 是正实数，求证：b a ab ba +≥+只需证)(b a ab b b a a +≥+即证)())((b a ab b a ab b a +≥+-+即证ab ab b a ≥-+即证ab b a 2≥+，即0)(2≥-b a该式显然成立，所以b a ab ba +≥+（2）求证：(1)223)a b ab a b ++≥++; 证明：（1） ∵222a b ab +≥,23a +≥, 23b +≥ ;将此三式相加得222(3)2a b ab ++≥++,∴223)a b ab a b ++≥+.（3）已知c b a ,,均为实数，且62,32,22222πππ++=++=++=x z c z y b y x a ，求证：c b a ,,中至少有一个大于0. 证明：（反证法）假设c b a ,,都不大于0，即0,0,0≤≤≤c b a ，则0≤++c b a ， 因为62,32,22222πx z c πz y b πy x a ++=++=++= 03)1()1()1()62()32()22(222222>-++++++=++++++++=++∴πz y x πx z πz y πy x c b a 即0>++c b a ，与0≤++c b a 矛盾，故假设错误，原命题成立.19.设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+． （1）求()y f x =的表达式；（2）若直线(01)x t t =-<<把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值． 解：（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠， 则()2f x ax b '=+．由已知()22f x x '=+，得1a =，2b =．2()2f x x x c ∴=++．又方程220x x c ++=有两个相等的实数根，440c ∴∆=-=，即1c =．故2()21f x x x =++； （2）依题意，得221(21)(21)ttx x dx x x dx ---++=++⎰⎰，3232011133ttx x x x x x ---⎛⎫⎛⎫∴++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理，得3226610t t t -+-=，即32(1)10t -+=，1t ∴=20.已知函数11()ln()xf x x x =+-+（1）求()f x 的单调区间； （2）求曲线()y f x =在点（1，1()f ）处的切线方程；（3）求证：对任意的正数a 与b ，恒有1ln ln ba b a-≥-．21.已知数列{}n a 的前n 项和*1()n n S na n =-∈N ．（1）计算1a ，2a ，3a ，4a ；（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 解：（1）依题设可得111212a ==⨯，211623a ==⨯，3111234a ==⨯，4112045a ==⨯；（2）猜想：1(1)n a n n =+．证明：①当1n =时，猜想显然成立． ②假设*()n k k =∈N 时，猜想成立， 即1(1)k a k k =+．那么，当1n k =+时，111(1)k k S k a ++=-+， 即111(1)k k k S a k a +++=-+． 又11k k kS ka k =-=+， 所以111(1)1k k ka k a k +++=-++， 从而111(1)(2)(1)[(1)1]k a k k k k +==+++++．即1n k =+时，猜想也成立． 故由①和②，可知猜想成立．21（本小题满分12分）设数列{}n a 满足211123,,,,,n n n a a na n +=-+=L（1） 当12a =时，求234,,a a a ，并由此猜想出{}n a 的一个通项公式； （2） 当13a ≥时，证明对所有1n ≥，有 ①2n a n ≥+②1211111112n a a a ++≤+++L18、设函数32()33(0)3x f x x x a a =--->（12分） （1）如果1a =，点P 为曲线()y f x =上一个动点，求以P 为切点的切线斜率取得最小值时的切线方程； （2）若[,3]x a a ∈时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围。
高二数学选修精选综合练习题
高二数学选修精选综合练习题Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】普通高中课程标准实验教材（选修2-2）数 学 综 合 测 试时量100分钟 满分100分 拟题：增城中学李祥钧一． 选择题（本大题8小题，每题4分，共32分，每小题所给选项中只有一项符合题目要求）1．一物体沿直线作匀速直线运动，其位移与时间的关系为62+=t s ，则在某时间段的平均速度与任一时刻的瞬时速度 （ A ） A ）相等 B ）不等 C ）有时相等 D ）无法比较 2．复数i m m m )1(322-+-+ (m R ∈)为纯虚数，则 （ C ） A ）m=1,m=-3 B ）m=1 C ）m=-3 D ）m=33.曲线)1,1(1323-+-=在点x x y 处的切线方程为 （ B ） A ）3x-y-4=0 B ）3x+y-2=0 C ）4x+y-3=0 D ）4x-y-5=04．曲线y=cosx(0π≤≤x )与坐标轴所围成的面积是 （ C ） A ）0 B ）1 C ）2 D ）3 5．下列在演绎推理中可以作为证明数列n n n a 1+=上是递增数列的大前题的有（ D ）个 A ）0 B ）1 C ）2 D ）3①函数y=f(x)在对于区间（a,b ）中任意两个数,1x ﹤2x 若21x x 都有)(1x f ﹤)(2x f 则函数为增函数，②函数y=f(x)在对于区间（a,b ）中的导数)('x f ﹥0则函数为增函数，③数列{}n a 中若对任意正整数都有1+n a ＞n a 6.函数y=13++x ax 有极值的充要条件是 （ B ） A ）a ＞0 B ）a ＜0 C ）a ≥0 D ）a ≤07.如图所示是函数y=f(x)的导函数y=)('x f 图象，则下列哪一个判断是正确的 （ C ）A ）在区间（-2，1）内y=f(x)B ）在区间（1，3）内y=f(x)C ）在区间（4，5）内y=f(x)D ）当x=2时y=f(x)有极小值8．做一个底面为正三角形的体积为长为（C ）A ）3VB ）32VC ）34VD ）23V二．填空题（本大题共6个小题，每小题4分，满分24分）9． =+⎰dx x x )23(233610．复数3+5i 的共轭复数为 3-5i11．归纳推理，类比推理,演绎推理中从一般到特殊的推理过程的是演绎推理 12．关于x 的方程033=--a x x 有三个不同的根，则a 的取值范围是 (-2,2) 13．设n 27的个位数为n a ，如,......9,.721==a a 则=2007a 314．不等式 241)1ln(x x -+≤M 恒成立，则M 的最小值为 41-9 36 10 3-5i 11 演绎推理12 (-2,2) 13 3 1441- 三.解答题(本大题共4题,满分34分)15.已知都是正数,求证a b b a 11...++ 这2个数中至少有一个不小于2 (6分) 证明：假设a b b a 11...++这两个数都小于2，则a b b a 11+++＜4 但与b a a b b a b a 1111+++=+++≥4矛盾，故假设不成立。
高二下学期理科数学综合测试题选修2-2,2-3(带详细答案)
第16题答案
或 （其他化简式不扣分）
第16题解析
由题意， 时，左边为 ； 时，左边为 ；从而增加两项为 ，且减少一项为 ，故填写
第17题答案
（I） ；（II） .
第17题解析
（I） 由已知，则 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，设 ，则 ，
由 得 ，∴ 当 时 ， 单调递减，
当 时 ， 单调递增，则 最小值为 ，从而 ；
∴实数k的取值范围是（-1，1）．
第11题答案
A
第11题解析
可分为两类，第一类：甲、乙两个盒子恰有一个被选中，有 种；第二类：甲、乙两个盒子都被选中，有 种，所以共有12+4=16种不同的情况.
第12题答案
D
第12题解析
因为 所以 故 在 上为单调递减函数，又 所以 解得 .
第13题答案
24
第13题解析
第7题答案
C
第7题解析
即 由 对任意的 恒成立，知 对任意的 恒成立，令 ，只需 即可.由 得 或 （不符合题意舍去）， 在 上单调递增，在 上单调递减， 在 上的最大值为 .故应选C.
第8题答案
C
第8题解析
令 ，可得 ，所以 ，所以 ，则展开式中常数项为 .
第9题答案
D
第9题解析
因为随机变量 ，所以正态曲线关于 对称，又 ，则 ，所以 ，所以 正确；随机变量 ，且 所以 解得 ，所以 也正确.
B.在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“爱好游泳运动与性别无关”
C.有 以上的把握认为“爱好游泳运动与性别有关”
D.有 以上的把握认为“爱好游泳运动与性别无关”
7、已知函数 若 的最小值为 ，且 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
高二理科数学综合测试题(含参考答案)
2017学年高二第1次月考------理科数学一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求．1．已知集合{}21≤≤-=x x A ，{}1B <=x x ，则R AC B =（ ）A. {}1x x <B. {}11x x -≤<C. {}11x x -≤≤D. {}12x x ≤≤ 2．抛物线24y x =的焦点坐标是（ ）A. (0, 2)B. (0, 1)C. (1, 0)D. (2, 0) 3．为了得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象 （ ）A. 向左平移3π个单位长度 B. 向右平移3π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D. 向右平移6π个单位长度4．函数()ln f x x x =的大致图象是（ ）A. B.C. D.5．已知向量a 与b 的夹角为30°，且3,2a b ==，则b a-2等于（ ）A ．4B ．2C ．13D ．726．已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则直线l 的方程为（ ）A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+= 7．在等差数列{}n a 中，18153120a a a ++=，则9113a a -的值为( ) A. 6 B. 12 C. 24 D. 488．函数86)(2+-=x x x f ，[]5,5x ∈-，在定义域内任取一点o x ，使()0o f x ≤的概率是（ ）A.110 B. 51 C.310 D.459．直线1:(1)30l kx k y +--=和2:(1)(23)20l k x k y -++-=互相垂直，则k =( ) A. 1 B. -3 C. -3或1 D. 54-10．一个机器零件的三视图如图所示，其中侧视图是一个半圆与边长为2的正方形，俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为（ ） A. 83π+ B. 48π+C. 348π+D. 34π+11．若实数,x y 满足约束条件220,240,2,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则x y 的取值范围是( )A. 2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.[]1,212．若实数x a x x x f cos 2sin 61)(-+=在[]44，-单调递增，则a 的取值范围是（ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3232， B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3131， C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6161， D.[]22，-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分 13．定积分dx e x x⎰-1)2(的值为____________14．函数xxx f ln )(=的单调增区间 15．已知()1cos 3θ+π=-，则sin 22θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．16．设(),()f x g x 分别是R 上的奇函数和偶函数, 当0x <时,0)()()()(>'+'x g x f x g x f ,且0)3(=-g ，则不等式()()0f x g x <解集是CBAM三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．(本小题满分10分)求这个函数的极值。
高二理数 选修2-3综合测试题 Word版含解析
选修综合测试题时间分钟，满分分。
一、选择题(本大题共个小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)．【甘肃宁夏平罗中学期末】已知随机变量服从正态分布，且，则（）．．．．．．．．．【山西忻州一中期末】若随机变量，,则( )．．．．．【广西南宁二模】设随机变量的概率分布表如下图，则（）．．．．．【甘肃宁夏平罗中学期末】在二项式的展开式中，含的项的系数是（）．．．．．【甘肃宁夏平罗中学期末】若为奇数，则的展开式中各项系数和为（）．．．．．【河南天一大联考段考】某高中要从该校三个年级中各选取名学生参加校外的一项知识问答活动，若高一、高二、高三年级分别有个学生备选，则不同选法有（）．种．种．种．种．【黑龙江牡丹江一中月考】名同学分别从个风景点中选择一处游览，不同的选法种数是（）．．．．．【山东烟台二中月考】从，，，，，这六个数字中选两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）．．．．．【贵州遵义四中月考】将名实习教师分配到某校高一年级的个班级实习，要求每个班至少一名，最多两名，则不同的分配方案有（）．种．种．种．种．【河北石家庄二中三模】是展开式的常数项为（）．．．．．【河北石家庄四模】已知是等差数列的前项和，且，若的展开式中项的系数等于数列的第三项，则的值为（）．．．．．【河南南阳一中月考】将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数是（）．．．．二、填空题(本大题共个小题，每小题分，共分，把正确答案填在题中横线上)．【河南豫南九校联考】的展开式中的系数为．（用数字填写答案）．【重庆八中月考】某学校开设校本选修课，其中人文类门，自然类门，其中与上课时间一致，其余均不冲突．一位同学共选门，若要求每类课程中至少选一门，则该同学共有种选课方式．（用数字填空）．【浙江三校联考】从装有大小相同的个红球和个白球的袋子中，不放回地每摸出个球为一次试验，直到摸出的球中有红球时试验结束．则第一次试验恰摸到一个红球和一个白球概率是；若记试验次数为，则的数学期望＝．．【河南南阳一中月考】已知随机变量服从正态分布，，则．．【河南豫南九校联考】若随机变量服从正态分布，，，设，且，在平面直角坐标系中，若圆。
高中数学人教a版选修新编综合测试含答案高二数学理科
高二下学期数学期末考试试卷(理)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1.在某项测量中，测量结果X 服从正态分布)0)(,1(2>σσN ，若X 在)2,0(内取值的概率为8.0，则X 在),0[+∞内取值的概率为A ．9.0B ．8.0C ．3.0D ．1.0 2.曲线x y sin =与x 轴在区间]2,0[π上所围成阴影部分的面积为A ． 4-B ．2-C ．2D ．4 3. 若复数z 满足 (1)i z i +⋅=，则z 的虚部为A ． 2i -B ．12C ．2iD ． 12-4.用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设.否定“自然数c b a ,, 中恰有一个偶数”时正确的反设为A ．自然数c b a ,,都是奇数B ．自然数c b a ,,都是偶数C ．自然数c b a ,, 中至少有两个偶数D ．自然数 c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数5.已知在一次试验中，()0.7P A =，那么在4次独立重复试验中，事件A 恰好在前两次发生的概率是 A ．0441.0 B ．2646.0 C ．1323.0 D ．0882.06.某单位为了制定节能减排的目标，先调查了用电量y （单位：度）与气温x （单位：c ︒）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：x (单位：c ︒)y (单位：度)由表中数据得线性回归方程：a x y +-=2.当气温为c ︒20时，预测用电量约为A.20B. 16C.10D.57.从6,5,4,3,2,1这六个数字中,任取三个组成无重复数字的三位数,但当三个数字中有2 和3时,2必须排在3前面(不一定相邻),这样的三位数有 A.108个 B.102个 C.98个 D.96个 8.在吸烟与患肺病这两个事件的统计计算中，下列说法正确的是A.若2χ的观测值为,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；B.从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；C.若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5% 的可能性使得推判出现错误；D.以上三种说法都不正确.9.有6个座位连成一排，安排3个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有A.36种B.60种C.72种D.80种 10.一个袋子里装有编号为12,,3,2,1K的12个相同大小的小球，其中1到6号球是红色球，其余为黑色球．若从中任意摸出一个球，记录它的颜色和号码后再放回到袋子里，然后再摸出一个球，记录它的颜色和号码，则两次摸出的球都是红球，且至少有一个球的号码是偶数的概率是A ．163B ． 41C ．167D ．43 11.若函数x cx x x f +-=232)(有极值点，则实数c 的范围为A ．),23[+∞ B ．),23(+∞ C ．),23[]23,(+∞--∞Y D ．),23()23,(+∞--∞Y 12.下列给出的命题中：①如果三个向量c b a ,,不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序数组z y x ,,使c z b y a x p ++=.②已知)1,1,1(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,0(C B A O .则与向量和都垂直的单位向量只有)36,66,66(-=n . ③已知向量OC OB OA ,,可以构成空间向量的一个基底，则向量可以与向量+和向量-构成不共面的三个向量.④已知正四面体OABC ,N M ,分别是棱BC OA ,的中点，则MN 与OB 所成的角为4π. 是真命题的序号为A ．①②④B ．②③④C ．①②③D ．①④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应题的横线上． 13.函数52)(24--=x x x f 在]2,1[-上的最小值为_____________________.14.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知0,01514><S S ，则=n _____时此数列的前n 项和取得最小值．15.已知长方体1111D C B A ABCD -中，E AD AA AB ,2,11===为侧面1AB 的中心，F 为11D A 的中点，则=⋅1FC EF ．16.在数列}{n a 中，2,121==a a 且)()1(12*+∈-+=-N n a a n n n ,则=50S ．三、解答题：本大题共6小题，共70分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知n x x )2(32+的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数之比是2:7.（Ⅰ）求展开式中含211x 项的系数； （Ⅱ）求展开式中系数最大的项.18.（本小题满分12分）为培养高中生综合实践能力和团队合作意识，某市教育部门主办了全市高中生综合实践知识与技能竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的团队按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，共选拔出甲、乙等六个优秀团队参加决赛.（Ⅰ）求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在第六位的概率；（Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的团队数记为X ，求X 的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）观察下列等式11= 第一个式子 9432=++ 第二个式子2576543=++++ 第三个式子 4910987654=++++++ 第四个式子照此规律下去 （Ⅰ）写出第6个等式；（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想.20. 已知点B （2，0），)22,0(=OA ，O 为坐标原点，动点P34=-++．（Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）当m 为何值时，直线l ：m x y +=3与轨迹C 相交于不同的两点M 、N ，且满足BN BM =？（Ⅲ）是否存在直线l ：)0(≠+=k m kx y 与轨迹C 相交于不同的两点M 、N ，且满足BN BM =？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D - 的底面ABCD 是平行四边形，45DAB ∠=o，12AA AB ==，AD =，点E 是 11C D 的中点，点F在11B C 上且112B F FC =.（Ⅰ）证明：1AC ⊥平面EFC ；（Ⅱ）求锐二面角E FC A --平面角的余弦值． 22.（本小题满分14分）已知函数)1()(2+-+=a ax x e x f x，其中a 是常数. (Ⅰ) 当1=a 时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若)(x f 在定义域内是单调递增函数，求a 的取值范围；（Ⅲ）若关于x 的方程k e x f x+=)(在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.ABCC 1ED 1A 1DFB 1高二下学期数学期末考试试卷(理)参考答案一.选择题： 每小题5分共60分 DD AACCA ADBDA ,, 二.填空题：13. 6- 14. 7 15.2116. 675 三：17解：（Ⅰ）解由题意知4272n n C C = ，整理得42(2)(3)n n =--，解得9n =… 2分∴ 通项公式为6279912r rr r xC T +-+⋅= 4分 令211627=+r ，解得6=r . ∴展开式中含211x项的系数为67226969=⋅-C . ……………6分（Ⅱ）设第1+r 项的系数最大，则有⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅-+----r r r r rr r r C C C C 819991019992222 ……………8分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤∴37310r r ，390=∴≤≤∈r r N r 且Θ. ……………10分∴展开式中系数最大的项为55639453762x x C T =⋅=. ……………12分 18（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件A ， 1分则1072)(66445566=+-=A A A A A P …………3分 所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为107. …………4分（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为4,3,2,1,0 …………………5分31)0(665522===A A A X P ， 154)1(66442214===A A A C X P 51)2(6633222224===A A A A C X P ,152)3(6633222234===A A A A C X P 151)4(664422===A A A X P ， (每个式子1分)…………………………10分随机变量X 的分布列为：因为 31541535215130=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX，所以随机变量X 的数学期望为34. ……………………12分 19.解：（Ⅰ）第6个等式21116876=++++K …………2分（Ⅱ）猜测第n 个等式为2)12()23()2()1(-=-+++++n n n n n K …………4分证明：（1）当1=n 时显然成立； （2）假设),1(+∈≥=N k k k n 时也成立，即有2)12()23()2()1(-=-+++++k k k k k K …………6分那么当1+=k n 时左边)13()3()13()23()2()1(+++-+-++++=k k k k k k K 而右边2]1)1(2[-+=k这就是说1+=kn 时等式也成立. …………10分根据（1）（2）知，等式对任何+∈N n 都成立. …………12分20解：（Ⅰ）设点),(y x P ，则)22,(+=+y x ，)22,(-=-y x ．由题设得34)22()22(2222=-++++y x y x ．………（3分）即点P 到两定点（0，22）、（0，－22）的距离之和为定值34，故轨迹C 是以（0，22±）为焦点，长轴长为34的椭圆，其方程为112422=+y x ．……（6分） （Ⅱ）设点M ),(11y x 、N ),(22y x ，线段MN 的中点为),(000y x M ，由BN BM =得0BM 垂直平分MN ．联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=.123,322y x m x y 消去y 得01232622=-++m mx x ．由0)12(24)32(22>--=∆m m 得6262<<-m ．………（10分）∴322210m x x x -=+=，2)32(30m m m y =+-=．即)2,32(0mm M -． 由0BM ⊥MN 得1323220-=⋅--=⋅m m k k MN BM ．故32=m 为所求．（14分） （Ⅲ）若存在直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ),(11y x 、N ),(22y x ，且满足BN BM =，令线段MN 的中点为),(000y x M ，则0BM 垂直平分MN ．联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.123,12322222121y x y x 两式相减得))(())((321212121y y y y x x x x -+-=-+．∴k y x y y x x x x y y k MN =-=++-=--=021*******)(3． 又由0BM ⊥MN 得k x y k BM 12000-=-=．∴10-=x ，k y 30=．即)3,1(0kM -．又点0M 在椭圆C 的内部，故1232020<+y x ．即12)3()1(322<+-⋅k．解得1>k .又点)3,1(0kM -在直线l 上，∴m k k +-=3．∴3233≥+=+=kk k k m （当且仅当3=k 时取等号）． 故存在直线l 满足题设条件，此时m 的取值范围为），∞+⋃--∞32[]32,(．21（本小题满分12分）解:（Ⅰ）以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -．则依题意,可得以下各点的坐标分别为1(0,0,0),(4,20)(4,2,2),(32,2),A C C E ，，，10(,2)3F 4，3． ………………3分∴ 112(42,2)(,0),(1,0,2),33AC EF EC ==-=-u u u u r u u u r u u u r ，，，∴ 112(42,2)(,0)0.33AC EF ⋅==⋅-=u u u u r u u u r ，， 1(42,2)(1,0,2)0AC EC ⋅==⋅-=u u u u r u u u r ，∴1AC EF ⊥，1AC EC ⊥．又EFC EC EF 平面⊆, ∴ 1AC ⊥平面EFC ． ………………6分（Ⅱ）设向量),,(z y x =是平面AFC 的法向量，则 ⊥⊥,，而)2,34,310(),0,2,4(==AF AC ∴ 0234310,024=++=+z y x y x ，令1=x 得)31,2,1(--=． ………………9分又∵1AC u u u u r是平面EFC 的法向量，∴ 13869441691413244||||,cos 111-=++⋅++--=⋅>=<AC n AC ．… 11分所以锐二面角E FC A --平面角的余弦值为13869．………………12分22.（本小题满分14分）解：(Ⅰ)由)1()(2+-+=a ax x e x f x 可得 ]1)2([)(2+++='x a x e x f x .…2分当1a =时,e f e f 5)1(,2)1(='=所以 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为)1(52-=-x e e y1A即035=--e y ex ……………………………4分（Ⅱ） 由(Ⅰ)知]1)2([)(2+++='x a x e x f x ，若)(x f 是单调递增函数，则0)(≥'x f 恒成立， ……………………5分即01)2(2≥+++x a x 恒成立，∴04)2(2≤-+=∆a ，04≤≤-a ，所以a 的取值范围为]0,4[-. ………………………7分（Ⅲ）令)()()(2a ax x e e x f x g x x -+=-=，则关于x 的方程k x g =)(在[0,)+∞上有两个不相等的实数根.令0))2(()(2=++='x a x e x g x，解得(2)x a =-+或0x =.……………9分当(2)0a -+≤，即2a ≥-时，在区间[0,)+∞上，0)(≥'x g ，所以)(x g 是[0,)+∞上的增函数.所以 方程k x g =)(在[0,)+∞上不可能有两个不相等的实数根.…………10分 当(2)0a -+>，即2a <-时，)(),(x g x g '随x 的变化情况如下表由上表可知函数)(x g 在[0,)+∞上的最小值为2))2((+=+-a e a g . …………12分 因为 函数)(x g 是(0,(2))a -+上的减函数，是((2),)a -++∞上的增函数， 且当+∞→x 时，+∞→)(x g所以要使方程k x g =)(即k e x f x+=)(在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，k 的取值范围必须是],4(2a ea a -++.…………14分。
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2006－2007学年高二数学（选修2－3）训练题
派潭中学
（全卷满分100分，考试时间100分钟）
2007．4
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）
（1）在100件产品中，有3件是次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法
种数为 A
23397
C C B
2332
397397
C C +C C C
514
100397
C -C C D
55
10097
C -C
（2）5个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为
Ａ 72 Ｂ 48 Ｃ 24 Ｄ 60
（3）
10
1x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为 A 第5项 B 第6项 C 第5项或第6项 D 不存在
（4）将骰子（骰子为正方体，六个面分别标有数字1，2，…，
6）先后抛掷2次，则向上的点数之和为5的概率是
A 415
B 29
C 19
D 118
（5）一个工人看管三台机床，在一小时内，这三台机床需要工人照管的概率分别0.9、0.8、0.7，则没有一台机床需要工人照管的概率为 A 0.018 B 0.016 C 0.014 D 0.006
（6）袋中有5个红球，3个白球，不放回地抽取2次，每次抽1个．已知第一次抽出的是
红球，则第2次抽出的是白球的概率为
A 37
B 38
C 47
D 12
（7）设随机变量ξ服从B （6，1
2），则P （ξ=3）的值是（ ） A 516 B 316 C 58 D 38
（8）某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下：
认为作业多 认为作业不多 总
结
喜欢玩电脑游戏 18 9 27 不喜欢玩电脑游
戏 8 15 23
总计 26 24 50
则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关系的把握大约为 A 99% B 97.5% C 95% D
无充分依据二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） （9）已知
3-21010
C =C x x ，则x = __________．
（10）以正方体的顶点为顶点，能作出的三棱锥的个数是__________．
（11）从1，2，3，…，9九个数字中选出三个不同的数字a ，b ，c ，且a ＜b ＜c ，作抛
物线
y ＝ax 2＋bx ＋c ，则不同的抛物线共有 条（用数字作答）．
（12）有4台设备，每台正常工作的概率均为0.9，则4台中至少有3台能正常工作的概
率为 ．（用小数作答）
（13）已知ξ～N 2
(4,)σ，且(26)0.6826P ξ<<=，则σ＝ ，
(24)
P ξ-<= ．
（14）若p 为非负实数，随机变量ξ的分布为
ξ 0 1 2
P 1
2－p
p 则E ξ的最大值为 ，D ξ的最大值为 ．
三．解答题（本大题共4小题，共36分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程） （15）（本小题满分9分）
已知
57
A 56C n n
=，且（1－2x ）n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋……＋a n x n ．
（Ⅰ）求n 的值；
（Ⅱ）求a 1＋a 2＋a 3＋……＋a n 的值．
16（9分）男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1人,从中 选5人外出比赛,下列情形各有多少种选派方法
⑴男3名,女2名 ⑵队长至少有1人参加 ⑶至少1名女运动员 ⑷既要有队长,又要有女运动员
（17）（本小题满分9分）
已知某类型的高射炮在它们控制的区域内击中具有某种速度敌机的概率为1
5．
（Ⅰ）假定有5门这种高射炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后被击中的概率；
（Ⅱ）要使敌机一旦进入这个区域内有90%以上的概率被击中，至少需要布置几门这类高射炮？（参考数据lg 20.301=，lg30.4771=） （18）（本小题满分9分）
今有甲、乙两个篮球队进行比赛，比赛采用7局4胜制．假设甲、乙两队在每场比
赛中获胜的概率都是21
．并记需要比赛的场数为ξ．
（Ⅰ）求ξ大于5的概率；（Ⅱ）求ξ的分布列与数学期望．
2006－2007学年高二数学（选修2－3）训练题参考答案
一、选择题
二、填空题
（9）1或3 （10）58 （11）84
（12）0.9477 （13）2；0.8390 （14）3
2；1
三、解答题 （17）（Ⅰ）由
57
A 56C n n
=得：
n （n －1）（n －2）（n －3）（n －4）＝56 ·1234567)
6)(5)(4)(3)(2)(1(⋅⋅⋅⋅⋅⋅------n n n n n n n
即（n －5）（n －6）＝90
解之得：n ＝15或n ＝－4（舍去）． ∴ n ＝15．
（Ⅱ）当n ＝15时，由已知有：
（1－2x ）15＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋……＋a 15x 15， 令x ＝1得：a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋……＋a 15＝－1， 令x ＝0得：a 0＝1，
∴a 1＋a 2＋a 3＋……＋a 15＝－2．
(16)解: ⑴从10名运动员中选5人参加比赛，其中男3人，女2人的选法有C 36
C 24
＝120 （种）
⑵从10名运动员中选5人参加比赛，其中队长至少有1人参加的选法有
C 12
C 48
＋C 22
C 38
＝140＋56＝196 （种）
⑶从10名运动员中选5人参加比赛，其中至少有1名女运动员参加的选法有
C 510－C 56
＝2461 （种）
⑷从10名运动员中选5人参加比赛，既要有队长又要有女运动员的选法有
C 5
10
－C 58
－C 45
＝191 （种）
（17）（Ⅰ）设敌机被各炮击中的事件分别记为A 1、A 2、A 3、A 4、A 5，那么5门炮都未击中敌机的事件为54321A A A A A C ⋅⋅⋅⋅=，因各炮射击的结果是相互独立的，所以
因此敌机被击中的概率为
5
42101
()1()153125P C P C ⎛⎫=-=-=
⎪⎝⎭． （Ⅱ）设至少需要置n 门高射炮才能有90%以上的概率击中敌机，由①可知
491510n ⎛⎫-> ⎪⎝⎭ ，即 41510n
⎛⎫
< ⎪
⎝⎭，
两边取常用对数，得
3
.103010.0311
2lg 311≈⨯-≈->
n ， ∴n ≥11．
即至少需要布置11门高射炮才能有90%以上的概率击中敌机．
（18）（Ⅰ）依题意可知，ξ的可能取值最小为4．
当ξ＝4时，整个比赛只需比赛4场即结束，这意味着甲连胜4场，或乙连胜4场，于是，由互斥事件的概率计算公式，可得
P （ξ＝4）＝24
441122C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭＝18．
当ξ＝5时，需要比赛5场整个比赛结束，意味着甲在第5场获胜，前4场中有3场获胜，或者乙在第5场获胜，前4场中有3场获胜．显然这两种情况是互斥的，于是，
P （ξ＝5）＝234334111
222C -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅
⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢
⎥⎣⎦＝14， ∴ P （ξ＞5）＝1－[P （ξ＝4）＋P （ξ＝5）]＝1－[18＋14]＝5
8． 即ξ＞5的概率为5
8．
（Ⅱ）∵ ξ的可能取值为4，5，6，7，仿照（Ⅰ），可得
P （ξ＝6）＝235335111
222C -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅
⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢
⎥⎣⎦＝516， P （ξ＝7）＝236336111
222C -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅
⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢
⎥⎣⎦＝516， ∴ξ的分布列为：
ξ 4 5 6 7 P
ξ的数学期望为：E ξ＝4·
18＋5·14＋6·516＋7·516＝9316． 注：本评分标准仅供参考，其他解法请老师们参考本评分标准给分．
预测全市平均分：55。