高二数学(理科)解答题精选

高二数学（理科）解答题精选1．已知z ∈C ，2z i +和2z i-都是实数．（１）求复数z ；（２）若复数2()z ai +在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围． 2．如图，直三棱柱111ABC A B C -中， AB =1，AC =(1)证明：1A B A C ⊥；（2）求二面角A —1A C —B 的余弦值。

3．某兴趣小组的3名指导老师和7名同学站成前后两排合影，3名指导老师站在前排，7名同学站在后排．（１）若甲，乙两名同学要站在后排的两端，共有多少种不同的排法？ （２）若甲，乙两名同学不能相邻，共有多少种不同的排法？（３）在所有老师和学生都排好后，摄影师觉得队形不合适，遂决定从后排7人中抽2人调整到前排．若其他人的相对顺序不变，共有多少种不同的调整方法？（本题各小题都要求列出算式，并用数字作答）4 如图，,A B 两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4 现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量（I ）设选取的三条网线由A 到B 可通过的信息总量为x ，当6x ≥时，则保证信息畅通求线路信息畅通的概率；（II ）求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望5．已知231111()(1)(1)(1)(1)3333nf n =---鬃- ，11()(1)23ng n =+，其中n ∈N*．（１）分别计算(1)f ，(2)f ，(3)f 和(1)g ，(2)g ，(3)g 的值；（２）由（１）猜想()f n 与()g n （n ∈N*）的大小关系，并证明你的结论．6.已知函数3()3()f x x ax x =-∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的极小值；（Ⅱ）若直线0x y m ++=对任意的m ∈R 都不是．．．曲线()y f x =的切线，求a 的取值范围.7. 已知函数()3f x ax =-，2()(,)b c g x a b x x=+∈R ，且1()(1)(0)2g g f --=.（1）试求,b c 所满足的关系式；（2）若0b =，方程），在（∞+=0)()(x g x f 有唯一解，求a 的取值范围. 8.已知椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率22=e ，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为.2（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线l 与椭圆相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ 。

试探究点O到直线l 的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由。

高二数学（理科）解答题参考答案1．解：（１）设(,)z a bi a b R =+ ，…………………………………………………1分 则2(2)z i a b i +=++，()(2)2222(2)(2)55z a b i a b i iaba bi ii i i +++-+===+---+，………………３分 ∵2z i +和2z i-都是实数，∴20205b a b ì+=ïïïí+ï=ïïî，解得42a b ì=ïïíï=-ïî， …………………………………………6分∴42z i =-． …………………………………………………7分（２）由（１）知42z i =-，∴222()[4(2)]16(2)8(2)z ai a i a a i +=+-=--+-，………………8分 ∵2()z ai +在复平面上对应的点在第四象限，∴216(2)08(2)0a a ìï-->ïíï-<ïî， …………………………………………………9分即241202a a a ìï--<ïíï<ïî，∴262a a ì-<<ïïíï<ïî， ………………………………12分 ∴22a -<<，即实数a 的取值范围是(2,2)-． ………………………14分2．解：因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱所以1AB A A ⊥ 在ABC 中1A B=0,60A C A B C =∠=………………2分由正弦定理得030ACB ∠=所以090BAC ∠=………………4分 即A B A C ⊥，所以11AB AA C C ⊥平面，又因为111A C A A C C ⊂平面，所以1A B A C ⊥…………6分（2）如图所示，作1AD A C ⊥交1A C 于D ，连B D ，由三垂线定理可得1B D A C ⊥所以A B D ∠为所求二面角的平面角，在1Rt AA C ∆中，112A A A CAD A C===g 8分在R t B A D ∆中，2BD ===，…………10分所以cos 52A D AB D B D===………………11分即 二面角A —1A C —B5。

………………………12分3．解（１）144061202335522=⨯⨯=A A A …………………4分答：共有1440种不同的排法． ……………………………………………5分 （２）21600630120332655=⨯⨯=A A A答：共有21600种不同的排法．……………………………………………10分 （３）227576544202C A ´=创= 答：共有420种不同的调整方法．…………………………………………14分（说明：没有答，则扣1分，列式正确而运算出错，一处扣1分）4.解：（I ）411)6(,6321411361212=⋅+==∴=++=++CC C x P431012034141)6(101202)9(,9432203)8(,842243141205)7(,7322421=+++=≥∴===∴=++==∴=++=++===∴=++=++x P x P x P x P（II ）203)5(,5221311,101)4(,4211===++=++===++x P x P∴线路通过信息量的数学期望 5.61019203841741620351014=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=答：（I （II ）线路通过信息量的数学期望是6.55．解（１）∵231111()(1)(1)(1)(1)3333nf n =---鬃- ，11()(1)23ng n =+，其中n ∈N*∴()121133f =-=， ()211162(1)(1)3327f =--=， ()2311116264163(1)(1)(1)3332727729f =---=?，112(1)1233g 骣÷ç=+=÷ç÷ç桫， 2115(2)1239g 骣÷ç=+=÷ç÷ç桫， 31114(3)12327g 骣÷ç=+=÷ç÷ç桫． ……………………3分（２）由（１）知()21(1)3f g ==，()51516(2)292727g f ==<= ，14378416(3)27729729g ==<……………………5分由此可以猜想：对任意n ∈N*，)()(n g n f >，当且仅当1n =时取“=”．……7分 证明：①当1n =和2n =时，猜想显然成立． ……………………8分 ②假设当k n =（k ∈N*且2≥k ）时， ()()f k g k >，即23111111(1)(1)(1)(1)1333323kk 骣÷ç---鬃->+÷ç÷ç桫 ……………………10分 则当1n k =+时，23111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)33333kk f k f ++=---鬃--1111(1)(1)233kk +>+? ……………………12分1211111(1)2333k k k++=-+-121121(1)233k k ++=+-11211111(1)2333k k k +++=++-12111131(1)2323kk k ++-=++111(1)(1)23k g k +>+=+，即1n k =+时猜想也成立． ……………………15分 由①②知，对任意对任意n ∈N*，)()(n g n f >恒成立，当且仅当1n =时取“=”． …………………………………………16分6.解：（Ⅰ）因为当1=a 时，33)(2-='x x f ，令0)(='x f ，得1x =-或1=x .…………………………………………………………….3分当(1,1)x ∈-时，0)(<'x f ；当(,1)(1,)x ∈-∞-+∞ 时，0)(>'x f .所以)(x f 在(1,1)-上单调递减，在[)(,1],1,-∞-+∞上单调递增. ……………5分 所以)(x f 的极小值为2)1(-=f . ……………………………………7分（Ⅱ）因为2()333f x x a a '=--≥， ……………………………………9分所以，要使直线0=++m y x 对任意的m ∈R 总不是曲线)(x f y =的切线，当且仅当a 31-<-，即31<a . …………………………………12分7.解：（Ⅰ）由)0()1()21(f g g =--，得3)()42(-=+-+-c b c b .所以b 、c 所满足的关系式为01=--c b ． …………………………………3分 （Ⅱ）由0=b ，01=--c b ，可得1-=c ． ……………………………5分 方程)()(x g x f =，即213ax x-=-，可化为331a xx=-.令1t x=，则由题意可得，33t t a -=在),0(+∞上有唯一解.令33)(t t t h -=)0(>t ，由033)(2=-='t t h ，可得1=t . 当10<<t 时，由0)(>'t h ，可知)(t h 是增函数；当1>t 时，由0)(<'t h ，可知)(t h 是减函数．故当1=t 时，)(t h 取极大值2．………………..11分由函数)(t h 的图象知，当2a =或0a ≤时，方程)()(x g x f =有且仅有一个正实数解． 故所求a 的取值范围是{}20.a a a =或≤ ………………………………..14分8.解：（1）设椭圆方程为).0(12222>>=+b a by ax ………………1分因为,)22,(,.22,22在椭圆上点据题意所以c ac e ==则,121222=+bac于是.1,121212==+b b解得 ………………4分因为.2,1,1,2222====-=a cbc a c a 则 ………………5分故椭圆的方程为.1222=+yx………………6分（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为112222222222222121222221212121222,(,),(,).1,(21)4220.72(4)4(21)(22)8(21)0(*)422,.2121()()()2y kx m P x y Q x y x y k x km x m y kx m km k m k m km m x x x x k k y y kx m kx m k x x km x x m m k =+⎧+=⎪+++-=⎨⎪=+⎩∆=-+-=-+>-+=-=++=++=+++=⋅点由得分所以于是2222222222212122222421212.921,2223220,212121km km mk k m k k O P O Q O P O Q m m k m k x x y y k k k --+⋅+++-=+⊥⇔⊥----+=+==+++分因为所以2222223220,.*103,123k m k m O l d d +--====== 即所以代入（）验证成立。