几何专题图形的运动.
六年级上奥数第9讲 几何图形中的运动
六秋第9讲几何图形中的运动一、教学目标1. 熟练分析题目的意思找到突破口；2. 熟练掌握几种常见的解决“动点问题”的办法；3. 培养综合分析问题的能力。
二、例题精选【例1】一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A点开始爬行一周。
在三条边上每分钟分别爬行50厘米、20厘米、40厘米（如图）。
它爬行一周的平均速度是多少？【巩固1】一个长方形，长是宽的2倍。
一只蜗牛沿着这个长方形的四条边爬行，如果它在长边和宽边上爬行的速度每分钟分别是50厘米和40厘米，求这只蜗牛爬行一周的平均速度。
【例2】两个铁环，滚过同一段距离，一个转了50圈，另一个转了40圈，如果一个铁环的周长比另一个铁环的周长少44厘米，这段距离是多少米？【巩固2】滚过同一段距离.甲轮转了5圈.乙轮转的圈数是甲轮的80%.已知乙轮周长比甲轮周长多3.14厘米.这两种车轮的直径各是多少?【例3】三角形的每边长都是3厘米，现将三角形ABC沿着一条直线翻滚763次（如图所示翻滚一次），求A点所经过的总路程。
【巩固3】下图中正方形的周长是圆环周长的3倍，当圆环绕正方形无滑动滚动一周又回到原来位置时，这个圆环转了几周？【例4】一个圆的周长为70厘米，甲、乙两只爬虫，从同一地点同时出发，同向爬行。
甲以每秒4厘米的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在离出发点30厘米处与甲相遇，问乙原来的爬行速度是多少？【巩固4】如图，甲乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲速度的4倍，则它们第2007次相遇在哪条边？【例5】图中是甲、乙、丙三个互相咬合的齿轮，若甲齿轮转5圈时，乙齿轮转7圈，丙齿轮转2圈。
那么这三个齿轮的齿数最少应分别是多少个？（注：相同时间内转的圈越多，说明齿数越少）【例6】某工厂围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形。
甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发。
北师大版数学六年级下册《图形的运动》说课稿
北师大版数学六年级下册《图形的运动》说课稿一. 教材分析北师大版数学六年级下册《图形的运动》这一章节，主要让学生理解平移和旋转的概念，以及它们在实际生活中的应用。
通过这一章节的学习，学生能够掌握平移和旋转的性质，能够辨别和判断图形是否发生了平移或旋转，并能够运用平移和旋转的知识解决实际问题。
二. 学情分析六年级的学生已经具备了一定的空间观念和几何知识，对于图形的运动已经有了初步的认识。
但是，对于平移和旋转的定义和性质，以及它们在实际生活中的应用，还需要进一步的学习和掌握。
因此，在教学过程中，我将会以学生已有的知识为基础，引导学生进一步深入学习平移和旋转的概念和性质。
三. 说教学目标1.知识与技能：理解平移和旋转的概念，掌握平移和旋转的性质，能够辨别和判断图形是否发生了平移或旋转。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间观念和几何思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和问题解决能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：平移和旋转的概念及其性质。
2.教学难点：平移和旋转在实际生活中的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等。
2.教学手段：多媒体课件、实物模型、几何画板等。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些实际生活中的平移和旋转现象，引导学生对平移和旋转产生兴趣，激发学生的学习动机。
2.新课导入：介绍平移和旋转的概念，并通过实例讲解平移和旋转的性质。
3.案例分析：分析一些实际生活中的平移和旋转现象，让学生理解和掌握平移和旋转的性质。
4.练习与讨论：设计一些练习题，让学生巩固所学知识，并通过小组合作学习，培养学生的合作意识和问题解决能力。
5.总结与拓展：总结平移和旋转的性质，并引导学生思考平移和旋转在实际生活中的应用。
七. 说板书设计板书设计主要包括平移和旋转的概念、性质以及实际应用。
通过板书，让学生一目了然地了解平移和旋转的特点和应用。
图形与几何知识内容梳理
图形与几何知识内容梳理 Prepared on 22 November 2020小学阶段图形与几何知识内容梳理图形与几何包括四个方面：一、图形的认识二、测量三、图形的运动四、图形与位置一、图形的认识第一学段：1、能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体。
2、能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体。
3、能辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形。
4、通过观察、操作，初步认识长方形、正方形的特征。
5、会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图。
6、结合生活情境认识角，了解直角、锐角和钝角。
7、能对简单几何体和图形进行分类。
第二学段：1、结合实例了解线段、射线和直线。
2、体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间的距离。
3、知道平角与周角，了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。
4、结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系。
5、通过观察、操作，认识平行四边形、梯形和圆，知道扇形，会用圆规画圆。
6、认识三角形，通过观察、操作，了解三角形两边之和大于第三边、三角形内角和是180°。
7、认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。
8、能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）看到的物体的形状图。
9、通过观察、操作，认识长方体、正方体、圆柱和圆锥，认识长方体、正方体和圆柱的展开图。
二、测量第一学段：1、结合生活实际，经历用不同方式测量物体长度的过程，体会建立统一度量单位的重要性。
2、在实践活动中，体会并认识长度单位千米、米、厘米，知道分米、毫米，能进行简单的单位换算，能恰当地选择长度单位。
3、能估测一些物体的长度，并进行测量。
4、结合实例认识周长，并能测量简单图形的周长，探索并掌握长方形、正方形的周长公式。
5、结合实例认识面积，体会并认识面积单位厘米2、分米2、米2，能进行简单的单位换算。
6、探索并掌握长方形、正方形的面积公式，会估计给定简单图形的面积。
中考数学压轴题专题07几何图形动点运动问题(学生版+解析版)
专题七几何图形动点运动问题【考题研究】几何动点运动问题，是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量关系位置关系看作是在变化的、相互依存的状态之中，要求对运动变化过程伴随的数量关系的图形的位置关系等进行探究．对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用．动态问题，以运动中的几何图形为载体所构建成的综合题，它能把几何、三角、函数、方程等知识集于一身，题型新颖、灵活性强、有区分度，受到了人们的高度关注，同时也得到了命题者的青睐，动态几何问题，常常出现在各地的中考数学试卷中．【解题攻略】几何动点运动问题通常包括动点问题、动线问题、面动问题，在考查图形变换(含三角形的全等与相似)的同时常用到的不同几何图形的性质，以三角形四边形为主，主要运用方程、函数、数形结合、分类讨论等数学思想．【解题类型及其思路】动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题,利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。
解题类型：几何动点运动问题常见有两种常见类型：(1)利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质直接转化为函数或方程；(2)根据运动图形的位置分类，把动态问题分割成几个静态问题，再将几何问题转化为函数和方程问题【典例指引】类型一【探究动点运动过程中线段之间的数量关系】【典例指引1】在△ABC中，∠ACB＝45°，点D为射线BC上一动点（与点B、C不重合），连接AD，以AD为一边在AD右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，如图1，且点D在线段BC上运动，判断∠BAD∠CAF（填“＝”或“≠”），并证明：CF⊥BD（2）如果AB≠AC，且点D在线段BC的延长线上运动，请在图2中画出相应的示意图，此时（1）中的结论是否成立？请说明理由；（3）设正方形ADEF的边DE所在直线与直线CF相交于点P，若AC＝42，CD＝2，求线段CP的长．【举一反三】如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P（1）观察猜想：①线段AE与BD的数量关系为_________；②∠APC的度数为_______________（2）数学思考：如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明（3）拓展应用：如图3，分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，其中∠ACD=∠BCE=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE=BD交于点P，则线段AE与BD的关系为________________类型二【确定动点运动过程中的运动时间】【典例指引2】已知：如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的项点B的坐标是(6,4).（1）直接写出A点坐标（______，______），C点坐标（______，______）；P m，且四边形OADP的面积是（2）如图，D为OC中点.连接BD，AD，如果在第二象限内有一点(),1∆面积的2倍，求满足条件的点P的坐标；ABC（3）如图，动点M从点C出发，以每钞1个单位的速度沿线段CB运动，同时动点N从点A出发.以每秒2t>，在M，个单位的連度沿线段AO运动，当N到达O点时，M，N同时停止运动，运动时间是t秒()0N运动过程中.当5MN=时，直接写出时间t的值.【举一反三】如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ⊥AC ，AB ＝3，BC ＝5，点P 从点A 出发，沿AD 以每秒1个单位的速度向终点D 运动．连结PO 并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒． （1）求BQ 的长，（用含t 的代数式表示）（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值（3）当点O 在线段AP 的垂直平分线上时，直接写出t 的值．类型三 【探究动点运动过程中图形的形状或图形之间的关系】【典例指引3】已知矩形ABCD 中，10cm AB =，20cm BC =，现有两只蚂蚁P 和Q 同时分别从A 、B 出发，沿AB BC CD DA =--方向前进，蚂蚁P 每秒走1cm ，蚂蚁Q 每秒走2cm ．问：（1）蚂蚁出发后△PBQ 第一次是等腰三角形需要爬行几秒?（2）P 、Q 两只蚂蚁最快爬行几秒后，直线PQ 与边AB 平行?如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（AO<AB）且AO、AB的长分别是一元二次方程x2-3x+2=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1:2.（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．类型四【探究动点运动过程中图形的最值问题】【典例指引4】如图，抛物线y＝ax2﹣34x+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴相交于点C，连接AC，BC，以线段BC为直径作⊙M，过点C作直线CE∥AB，与抛物线和⊙M分别交于点D，E，点P 在BC下方的抛物线上运动．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PDE是以DE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）当四边形ACPB的面积最大时，求点P的坐标并求出最大值．已知：如图.在△ABC中.AB=AC=5cm，BC=6cm.点P由B出发，沿BC方向匀速运动.速度为1cm/s.同时，点Q从点A出发，沿AC方向匀速运动.速度为1cm/s，过点P作PM⊥BC交AB于点M，过点Q作QN⊥BC，垂足为点N，连接MQ，若设运动时间为t(s)(0<t<3)，解答下列问题：（1）当t为何值时，点M是边AB中点?（2）设四边形PNQM的面积为y(cm2)，求出y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PNQM:S△ABC=4:9?若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使四边形PNQM为正方形?若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.【新题训练】1．如图①，△ABC是等边三角形，点P是BC上一动点（点P与点B、C不重合），过点P作PM∥AC交AB于M，PN∥AB交AC于N，连接BN、CM．（1）求证：PM+PN＝BC；（2）在点P的位置变化过程中，BN＝CM是否成立？试证明你的结论；（3）如图②，作ND∥BC交AB于D，则图②成轴对称图形，类似地，请你在图③中添加一条或几条线段，使图③成轴对称图形（画出一种情形即可）．2．如图，在矩形ABCD中，AB=18，AD=12，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点G，点E，F分别是CD与DG上的点，连结EF，(1)求证：CG=2AG.(2)若DE=6，当以E，F，D为顶点的三角形与△CDG相似时，求EF的长.(3)若点E从点D出发，以每秒2个单位的速度向点C运动，点F从点G出发，以每秒1个单位的速度向点D运动.当一个点到达，另一个随即停止运动.在整个运动过程中，求四边形CEFG的面积的最小值.3．知识链接：将两个含30°角的全等三角尺放在一起，让两个30°角合在一起成60°，经过拼凑、观察、思考，探究出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．如图，等边三角形ABC的边长为4cm，点D从点C出发沿CA向A运动，点E从B出发沿AB的延长线BF 向右运动，已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P，设运动时间为x秒．(1)请直接写出AD长．（用x的代数式表示）(2)当△ADE为直角三角形时，运动时间为几秒？(3)求证：在运动过程中，点P始终为线段DE的中点．4．如图所示，已知抛物线2(0)y ax a =≠与一次函数y kx b =+的图象相交于(1,1)A --，(2,4)-B 两点，点P 是抛物线上不与A ，B 重合的一个动点.（1）请求出a ，k ，b 的值；（2）当点P 在直线AB 上方时，过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，设点P 的横坐标为m ，PC 的长度为L ，求出L 关于m 的解析式；（3）在（2）的基础上，设PAB ∆面积为S ，求出S 关于m 的解析式，并求出当m 取何值时，S 取最大值，最大值是多少？5．已知：如图，在矩形ABCD 中，AC 是对角线，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ．点P 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm /s ，同时，点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动，速度为2cm /s ，过点Q 作QM ∥AB 交AC 于点M ，连接PM ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，∠CPM ＝90°；（2）是否存在某一时刻t ，使S 四边形MQCP ＝ABCD 1532S 矩形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （3）当t 为何值时，点P 在∠CAD 的角平分线上．6．在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究：问题初探：（1）如图1，小明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为；问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论：①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明．成果运用:（3）若边长AB＝8，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝DE+EA+AF+FD，则周长L取最大值和最小值时E点的位置?7．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形；(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积．8．如图，O为菱形ABCD对角线的交点，M是射线CA上的一个动点（点M与点C、O、A都不重合），过点A、C分别向直线BM作垂线段，垂足分别为E、F，连接OE，OF．（1）①依据题意补全图形；②猜想OE与OF的数量关系为_________________.（2）小东通过观察、实验发现点M在射线CA上运动时，（1）中的猜想始终成立．小东把这个发现与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明（1）中猜想的几种想法：想法1：由已知条件和菱形对角线互相平分，可以构造与△OAE全等的三角形，从而得到相等的线段，再依据直角三角形斜边中线的性质，即可证明猜想；想法2：由已知条件和菱形对角线互相垂直，能找到两组共斜边的直角三角形，例如其中的一组△OAB和△EAB，再依据直角三角形斜边中线的性质，菱形四边相等，可以构造一对以OE和OF为对应边的全等三角形，即可证明猜想．……请你参考上面的想法，帮助小东证明（1）中的猜想（一种方法即可）．（3）当∠ADC=120°时，请直接写出线段CF，AE，EF之间的数量关系是_________________．9．（1）（问题情境）小明遇到这样一个问题：如图①，已知ABC ∆是等边三角形，点D 为BC 边上中点，60ADE ∠=︒，DE 交等边三角形外角平分线CE 所在的直线于点E ，试探究AD 与DE 的数量关系．小明发现：过D 作//DF AC ，交AB 于F ，构造全等三角形，经推理论证问题得到解决．请直接写出AD 与DE 的数量关系，并说明理由． （2）（类比探究）如图②，当D 是线段BC 上（除,B C 外）任意一点时（其他条件不变）试猜想AD 与DE 的数量关系并证明你的结论． （3）（拓展应用）当D 是线段BC 上延长线上，且满足CD BC =（其他条件不变）时，请判断ADE ∆的形状，并说明理由．10．如图，直线y =﹣23x +4与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线y =ax 2+103x +c 经过B 、C 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，当△BEC 面积最大时，请求出点E 的坐标； （3）在（2）的结论下，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，连接AM ，点Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得以P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．11．如图，边长为4的正方形ABCD 中，点P 是边CD 上一动点，作直线BP ，过A 、C 、D 三点分别作直线BP 的垂线段，垂足分别是E 、F 、G ．（1）如图（a ）所示，当CP ＝3时，求线段EG 的长；（2）如图（b ）所示，当∠PBC ＝30°时，四边形ABCF 的面积；（3）如图（c ）所示，点P 在CD 上运动的过程中，四边形AECG 的面积S 是否存在最大值？如果存在，请求出∠PBC 为多少度时，S 有最大值，最大值是多少？如果不存在，请说明理由．12．已知：如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，90ACB ∠=︒，10cm AB =，8cm BC =，OD 垂直平分A C .点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点P 作PE AB ⊥，交BC 于点E ，过点O 作//QF AC ，分别交AD ，OD 于点F ，G .连接OP ，EG .设运动时间为()t s ()05t <<，解答下列问题：(1)当t 为何值时，点E 在BAC ∠的平分线上？ (2)设四边形PEGO 的面积为()2mS c ，求S 与t 的函数关系式.(3)连接OE ，OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使OE OQ ⊥？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.13．已知：如图1，矩形OABC 的两个顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，点B 的坐标是（8，2），点P 是边BC 上的一个动点，连接AP ，以AP 为一边朝点B 方向作正方形P ADE ，连接OP 并延长与DE 交于点M ，设CP ＝a （a ＞0）．（1）请用含a 的代数式表示点P ，E 的坐标．（2）连接OE ，并把OE 绕点E 逆时针方向旋转90°得EF ．如图2，若点F 恰好落在x 轴的正半轴上，求a 与EMDM的值． （3）①如图1，当点M 为DE 的中点时，求a 的值．②在①的前提下，并且当a ＞4时，OP 的延长线上存在点Q ，使得EQ +22PQ 有最小值，请直接写出EQ +22PQ 的最小值．14．如图，边长为6的正方形ABCD 中，,E F 分别是,AD AB 上的点，AP BE ⊥，P 为垂足． （1）如图①， AF =BF ，AE =23，点T 是射线PF 上的一个动点，则当△ABT 为直角三角形时，求AT 的长；（2）如图②，若AE AF =，连接CP ，求证：CP FP ⊥．15．边长相等的两个正方形ABCO 、ADEF 如图摆放，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，ED 交线段OC 于点G ，ED 的延长线交线段BC 于点P ，连AG ，已知OA 长为3. （1）求证：AOG ADG ∆≅∆;（2）若12∠=∠，AG =2，求点G 的坐标；（3）在（2）条件下，在直线PE 上找点M ，使以M 、A 、G 为顶点的三角形是等腰三角形，求出点M 的坐标.16．定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“梦想四边形”。
图形的运动内容分析与教学建议
图形的运动内容分析与教学建议运动是世间万物的基本特征,是物质存在的基本形式;图形的运动在义务教育数学课程中最基本的形式有两种：一是形状和大小不变,仅仅位置发生变化合同运动；二是形状不变而大小变化相似运动;数学家.莫肯说过：“数学的运动能量不是推理,而是联想与变换;”通过感知和初步学习图形的运动,不仅有助于学生从运动变化的角度去认识事物,去了解图形之间的关系,从而发展学生的空间观念与几何直观,还有利于学生体验学习“图形与几何”的乐趣,积累几何活动经验,增强学生对数学的好奇心,培养学生的创新精神;几何图形的运动变换是一个复杂的课题;在这一讲,我们主要讨论有关图形的运动内容与教学建议;问题1 为什么要在小学阶段增加“图形的运动”这个内容修订后的标准在“图形与几何”领域仍然保留了“平移,旋转,放大与缩小这些内容”,只是把“图形与变换”改为“图形的运动”;为什么要在小学阶段新增这个内容,学习它的价值呢回答这个问题,我们不妨从学生和数学教育发展的历史视角切入讨论;1、从学生角度来看现实生活中存在着大量的图形的变换的现象,学生有丰富的生活经验,例如,电梯、地铁列车在平行移动；钟面指针、自行车轮、电风扇叶片在旋转运动；许多年画、卡通动物、建筑物的形状具有对称性;这些现象为儿童学习图形的变换提供了丰富多彩的现实背景;我们希望提供给学生一种数学的眼光,去认识和把握这些现象,通过图形的运动探索发现并确认图形的一些性质,有助于学生发展几何直观能力和空间观念,有利于学生提高研究图形性质的兴趣、体会研究图形性质可以有不同的方法;2、从数学发展的角度来看1872年,德国大数学家克莱茵发表“爱乐兰根纲领”的演说,这个里程碑式的论断,改变了近两千年来人们用静止的观点研究几何的传统方法;与静态地研究图形与几何的性质不同,图形的变换是从运动变化的角度去探索和认识图形与几何的性质,哲学与设计图案,是发展学生空间观念和思维能力的重要内容;问题2 “图形的运动”这一部分的要求是什么有什么变化按照标准的要求,小学1~6年级图形的运动主要涉及平移、旋转、对称及简单的图形相似这样一些内容;在第一、二学段中图形的运动主要是合同运动,包括图形的平移、旋转和轴对称;第一学段中,学生借助日常生活中对图形运动现象的观察与直观感受,了解平移、旋转和轴对称；并认识两个图形具有平移或轴对称的关系;提供大量的丰富的图形运动现象,引导学生充分地观察、想象,运用日常生活中已经积累的有关经验,归纳、发现各种运动的特点,是达成这个课程目标的有效途径;新课标提倡我们组织学生分组悼念日常生活中常见的图形如新课标中案例21——生活中的轴对称图形;引导学生观察它们是否有对称轴,若有对称轴,数出或说出有几条对称轴,尝试画出它们的对称轴;在课堂中展示、交流大家的发现,并尝试设计出一些轴对称图形;说明这个活动可以鼓励学生主动观察,设法收集如可以使用数码相机或现场素描等轴对称图形;学生可以结合自己的生活环境发现、找出他们熟悉的图形对象中隐藏的对称轴,并在交流过程中丰富自己的经验;在交流大家收集到的图形的基础上,教师进一步鼓励学生自己设计轴对称图形,并交流自己设计的图形所表达的意思;第二学段中,图形的运动的课程内容及要求主要有以下几个方面：（1）按要求在方格纸上画出一个图形经过平移或旋转后所得的图形,会补全一个轴对称图形图形的运动以小学生的认识水平来说,是比较抽象的,有一定的难度;把抽象的空间意识转化为具体的、容易操作的教与学的过程,方格纸起到了很好的作用,在第一、二学段,方格纸是学生认识图形运动的平台,利用它可以准确地描述图形位置、定量刻画图形的运动,这样的描述和刻画又能加深学生对图形运动的认识和理解;标准只要求图形沿水平或竖直方向平移,图形绕着一点旋转90;;如在方格纸上认识图形的平移与旋转,能在方格纸上按水平或垂直方向将简单图形平移,会在方格纸上将简单图形旋转90;;标准不要求图形沿其他方向平移或绕着一点旋转任意角度;方格纸能帮助学生更准确地认识和理解图形基本特征,能更好地使学生认识和描述空间图形的变换过程,可以有效地促进学生对空间概念的建立;2研究图形的相似运动,即将图形放大或缩小第二学段要求“能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小”,这里的“放大或缩小”不是严格的相似,主要是直观感知,即放大或缩小后图形与原来的图形形状相同而大小不同;这将为第三学段研究图形的相似运动和位似运动奠定基础;3综合运用图形的运动进行图案的欣赏与设计学生对图形运动的特点的了解、能够在方格纸上按要求画出运动后的图形是图案的欣赏和设计的基础;图案的欣赏与设计为学生用数学的眼光看世界、看生活提供了机会,使学生进一步感受数学的美、数学的价值;欣赏或设计一个图案时,不同的学生会有不同的感受、不同的解释、不同的想象,只要是合理的都应予以肯定,并进行交流与分享；但应要求学生用自己的语言表达图案中的图形运动关系,从而更好地体会图形的运动在图案欣赏和设计中的作用;如新课标中例35——图画还原;打乱由几块积木或者几幅图画构成的平面画面,请学生还原并利用平移和旋转记录还原步骤;说明在这个案例中,学生通过实际操作进一步理解平移和旋转,不仅能增加问题的趣味性,还可以让学生感悟几何运动也是可以记录的,体验选取最佳方案的过程;教学设计时,可关注如下要点：（1）完成还原积木的任务一定要从简单到复杂,如图,先打乱四块积木中的下面两块,让学生尝试思考的过程;学生有了一定经验后,可以打乱三块或四块积木,让学生继续尝试;（2）可以分小组进行;为了记录准确,事先要确定每一个步骤的代表符号;（3）小组活动时,可以先讨论,确定一个大概的还原路线,然后操作验证;（4）小组成员共同操作,进行比较,验证确定的路线;标准修订前后具体目标有一些具体变化总体上看,修订后的课标在这部分降低了难度,更加强调观察与操作,积累学生数学活动经验;过程中大量的操作性活动,有利于学生积累数学活动经验,教学中应当予以充分的重视;这些画图和设计图案的活动,既可以加深学生对图形对称性的理解,又能激发他们的学习兴趣,感悟数学的美及其应用价值;问题3 什么是平移、旋转和轴对称对于这部分内容,小学生通过操作活动能直观感受到,平移就是沿着一定的方向移动了一定的距离；旋转就是绕一个点转动一定的角度;在图形的变换中有一个非常重要的变换,就是全等变换,或者叫合同变换;如果图形经过变换后与原来的图形是重合的,也就是图形的形状、大小不发生变化,那么这个图形的变换就叫全等变换,它本质上是两点之间的距离不发生变化,换句话说在原来的图形中,任意两点的距离假设是L,经过变换后的两点之间的距离仍是L,所以全等变换是一个保距变换,距离不变,图形的形状、大小不变;全等变换的几种方式;可以直观地想一想,两个图形是完全一样的,要由一个图形运动得到另一个图形,可以通过怎样的运动;首先可以是平移,平移到一定位置上,或者说对于三角形有一个顶点能够重合,这时候无非有两种情况：一种情况是两个三角形的三个顶点的顺序是一致的,这时需要经过反射番转两个图形就重合了;上面的变换就是我们所说的平移、旋转变换和反射变换;它们是三种基本的全等变换;反射变换有的教师把它叫轴对称变换,实际一个图形经过反射变换后得到另一个图形,这两个图形是成轴对称的;具体的什么叫平移,什么叫旋转,什么叫反射,我们不给出数学上严格的定义,而是直观地给予解释,并指出这些变换的基本要素;如上图,如果原图形中任意一个点到新图形中相对应点的边线方向相同,长度也相等,这样的全等变换称为平移变换,简称平移;也就是说,平移的基本特征是,图形平移前后“每一点与它对应点之间的边线互相平行并且相等”;显然,确定平移变换需要两个要素：一是方向,二是距离;如上图,旋转的基本特征是图形旋转前后“对应点到旋转中心的距离相等,并且各组对应点与旋转中心边线的夹角都等于旋转的角度”;显然,确定旋转变换需要两个要素：一是旋转中心,二是旋转角度有方向;如果连接新图形与原图形中每一组对应点的线段都和同一条直线垂直被该直线平分,这样的例行变换称为反射变换;街平分对称点所边线段的直线叫对称轴;也就是说,反射变换的基本特征是“连接任意一组对应点的线段都被对称轴垂直平分”;显然,确定反射变换的关键在于找到对称轴;问题4 “图形的运动”内容常用的教学策略有哪些1、结合生活实例,在观察与比较中认识图形的运动标准要求课程内容要反映社会的需要,数学学科的特征,也要符合学生的认知规律;课程内容的选择要贴近学生实际,有利于学生体验、思考与探索;因为儿童的抽象思维需要具体形象思维与生活经验给予支撑,对感知图形运动这样的抽象概念来说尤其重要;小学阶段关于图形的运动鞋定位是积累感性体验,形成初步认识;因此结合实例展开教学是一条相当重要的教学策略;在生活中有很多图形或图案呈现出对称、平移或旋转的形式,通过对称、平移、旋转变换同样可以设计制作美丽的图案;因此,在教学中,我收集一些这样的素材,通过学生的观察、比较,引导学生从运动变化的角度去发现不同的图形变换;例如,教学“图形的变换”时丰富教材中的典型素材,注意融入人像道闸、车轮、钟摆等素材,并利用信息技术动态呈现,让学生进一步感知旋转现象;在教学“轴对称变换时”,可借助一组学生在生活中喜闻乐见的民族特点浓厚的素材;这样做,一方面有利于激发学生学习图形运动的兴趣,另一方面使学生进一步体会到数学与生活的密切联系,发展学生的概括能力;2、借助操作活动,加深对图形运动的认识,帮助学生体会变换的特征加强学生操作活动也是提高图形变换教学成效的一个策略;操作是一种重要的实践活动;图形变换的操作主要是在方格低上画一个图形经某变换后的图形和剪对称图形;教师应鼓励学生动手操作,并在操作过程中积极思考、发展思维能力;学生对这部分内容的学习还存在一些困难,比如学生在方格纸上进行图形平移,在找平移距离的时候,不是找平移前后两个对应点之间的距离,而是找中间空白那一段的距离;要克服这个困难,最重要的还是操作;有的教师反映,学生在旋转过程中,对确定旋转角度感觉很困难,我觉得这也是鼓励学生去操作;比如,有的教师在教学中就是这样处理,甭管是什么图形,都套在一个正方形或一个圆上,运动时等于在变换正方形和圆;再如,在教学“线的旋转”环节让学生通过用铅笔表示线段在桌面方格中以三种不同的旋转中心;笔尖、铅笔尾与铅笔中点进行旋转;来感悟旋转中心可以是线段上的任意点;为后面在方格纸上画线段提供实物依据;当然,操作还应该与适应的想象相结合;低年级学生可以先操作然后回想变换的过程,高年级学生可以先想象,再操作,再回想;3、注重从变换的角度,引导学生欣赏图形、设计图案学习图形与变换内容的一个重要目的是使学生运用数学的眼光看待现实世界,因此,教学中应鼓励学生从变换的角度欣赏图形,设计图案;例如,在生活中随处可见的美丽图案,学生在观察这些图案时,可以发现其中包含的熟悉的图形；可以运用数学的眼光分析图案的组成如是否运用了变换；可以欣赏这些各具特色的图案,发现其中蕴涵的对称美、和谐美、简明美；可以以此为出发,发挥自己的修改和创造力,亲自动手设计图案;标准还要求能画出简单平面图形点、线段、直线、三角形等关于线段对称轴的对称图形；认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形、中心对称图形,认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用；运用图形的轴对称旋转,平移进行图案设计;这些画图和设计图案的活动,既可以加深学生对图形对称性的理解,又可以激发他们的学习兴趣,感悟数学的美及其应用价值;如在“图形旋转”一课“感悟旋转的应用”环节中,我借助信息技术,动态体现一些基本图形旋转后形成的美丽图案,鼓励学生从变换的角度哲学图形与图案,感受其中蕴涵的对称美、和谐美、简明美;并能从不同角度观察图形,识别不同的基本图形发生了怎样的变换之后,形成了同一个图形,激发学生的创造性思维,为后面学习灵活应用对称、平移和旋转自己设计、制作方案做了孕伏;在解决问题中注重“图形的运动”和相关知识的联系,发展空间想象力,解决问题的能力;对于图形的认识,可以从静态的角度去认识它,也可以从动态的角度丰富对它的认识;比如对角的认识,曾经有一个教师列举过学生的一个常见错误：低年级学生老有一种混淆,认为角的大小与画出的角的两条边的长短有关,其实,对于低年级学生也是正常的,如果从静态上去观一个角,孩子比较容易关注它的明显因素——两条边,而相对不明显的“角的张口的大小”,学生不容易观察到,如果这时候,教师鼓励学生动态地去认识角,比如利用活动角不断张开,学生会慢慢关注角的张口;事实上,利用图形的运动变换来认识图形,是将静态认识与动态认识相结合的一个途径;（1）从变换角度认识图形在认识图形的教学过程中,可以借助变换,动态直观的刻画图形的属性;例如,长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆、长方体、圆锥等图形,在认识它们的特征时可以通过平移、旋转、对称的变换,清晰直观地发现图形隐含的特点;（2）从变换的角度理解度量小学阶段,在平面几何和立体几何的面积和体积公式的推导过程中,时刻都能感受到变换的重要作用;在三角形、平行四边形、梯形、圆的面积公式的推导过程中,会用到拼凑、割补等多种推导方法,这些方法的裨是图形的变换;总之,小学阶段有关图形的运动的目标的达成是一个循序渐进的过程,教师在课堂教学中应该注重多种策略的运用,以这个内容为载体,帮助学生建立空间观念,注重培养学生的几何直观;。
初中图形的运动知识点总结
初中图形的运动知识点总结图形的运动是几何学中一个重要的概念。
通过对图形的平移、旋转和镜像等运动，我们可以更好地理解图形的性质和特点。
以下是初中图形的运动知识点的总结。
一、平移运动平移运动是指在平面上保持图形形状和大小不变的情况下，将图形移动到另一个位置。
平移运动的特点有：1.平移向量：平移运动的方向和距离可以用平移向量来表示。
平移向量的大小表示平移的距离，方向表示平移的方向。
2.平移图形：通过平移向量，我们可以将图形沿着平移向量的方向移动一定的距离，从而得到一个新的位置。
3.平移的性质：平移运动不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。
二、旋转运动旋转运动是指在平面上围绕一个固定点旋转图形的运动。
旋转运动的特点有：1.旋转中心：旋转运动的中心点被称为旋转中心。
围绕旋转中心进行旋转时，图形上的所有点都按照一定的角度旋转。
2.旋转角度：旋转角度表示图形沿逆时针方向旋转的角度大小。
旋转角度可以是正值，也可以是负值。
3.旋转角度的性质：旋转角度为正时，表示图形按逆时针方向旋转；旋转角度为负时，表示图形按顺时针方向旋转。
三、镜像运动镜像运动是指通过一个镜面将图形翻转的运动。
镜像运动的特点有：1.镜像轴：镜像运动的轴线称为镜像轴。
图形上的每个点关于镜像轴都有一个对应的点，两个点的距离与它们到镜像轴的距离相等。
2.镜像图形：通过镜像轴，我们可以将图形关于轴线翻转，从而得到一个新的图形，称为镜像图形。
3.镜像轴的性质：镜像轴可以是水平线、垂直线或者是斜线。
镜像轴可以是图形本身的一条边，也可以是图形上的一条虚线。
四、组合运动组合运动是指将平移、旋转和镜像等运动组合起来进行的运动。
通过组合运动，我们可以得到更复杂的图形变化。
组合运动的特点有：1.运动顺序：不同的运动顺序会得到不同的图形变化。
在进行组合运动时，我们可以先进行平移，再进行旋转和镜像，也可以先进行旋转和镜像，再进行平移。
2.运动效果：不同的运动组合会得到不同的图形效果。
《图形的运动》公开课课件1
答：几何体①至少还需要58块小正方体； 下面3个几何体都是由棱长1cm的小正方体摆成的。
（3）如果要把①、②、③分别继续补搭成一个大正方 （教科书第116页2）
用图形变换还原基本图形 （教科书第117页3）
几何体②至少还需要54块小正方体；
几何体③至少还需要16块小正方体。
图形
旋转的意义和三要素
物体绕某一点按顺时针（或逆 时针）方向转动一定的角度，这种 运动叫做旋转。 旋转的三要素：
图形旋转，图形中所有点和线段都旋转相应的度数，对应点到旋转点的距离相等，对应线段相等，对应角相等。 （1）下面的图形是聪聪从上面看到的，它们分别是从
体，每个几何体至少还需要多少个小正方体？ 几何体③至少还需要16块小正方体。
图形旋转后，形状、大小都没有变化，只有位置和方向变了。
根据从正面、左面和上面看到的图形摆几何体：先根据从上面看到的图形确定小正方体的列数和行数，再根据从正面和左面看到的图
一个由6个小正方体拼成的立体图形，从上面、 正面看到的图形如下。请你画出从左边看到的所有 可能的图形。
从上面看 从正面看
画一画。
（1）将图形A像右平移5格，得到图形B。 （2）将图形A绕点O顺时针旋转90°，得到图形C。
C
B
O1
（教科书第117页3）
①
②
体，每个几何体至少还需要多少个小正方体？
③
几（何1）体下③①面至的少、图还形②需是要聪、1聪6块从③小上正面的方看体体到。的积，它分们分别别是是从多少？①的体积是③的体积的几分之几？
①：6cm³ （教科书第116页2）
第1课时 观察物体、图形的运动
②：10cm³ ③：11cm³
观察原图，灵活运用平移和旋转还原基本图形。
部编六年级数学《图形与几何—图形的运动》蒋明红PPT课件 一等奖新名师优质课获奖比赛公开北京
图形 长方形 正方形 等腰三角形 等边三角形 等腰梯形 圆
对称轴数 量/条
2
4
1
3
1 无数条
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是
是
不
不
轴
轴
是
是
对
对
轴
轴
称
称
对
对
图
图
称
称
形形Biblioteka 图图形形
一个低水平的教师, 只是向学生奉献真理, 而一个优秀的教师是让 生自己去发现真理”
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12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
比赛优秀课件”
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北师大版六年级下册
怀宁县高河镇中心学校 蒋明红
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课前活动
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复习提纲：
1、图形的运动方式有哪些？ 2. 各种运动方式的意义是什么？ 3、每种运动方式的要素是什么？ 4、图形运动的特点是什么？
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2.在学过的图形中，哪些图形是轴对称图形？它们分别有多少对称轴？
再向下平移2格得到图3。 （4）答：图A绕点o顺时针旋转900，
再向右平移2格，再向下平移2格得到图4。
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3.淘气的枕席是用竹篾(miè)编织成的， 如图是枕席的一部分图案，它可以看成是由 一个长方形经过怎样的变换得到的？
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A
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5.把一张长方形白纸连续对折2次，然后用针 在上面扎出“田”字，展开后， 共可得到 多少个“田”字？
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A
D
E G
F
B
C
如图，正方形ABCD中，∠MAN=450，∠MAN绕点A顺时针旋 转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N。 （1）当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），求证：
BM+DN=MN （2）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、 DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明。 （3）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN 和MN之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想。
DM A
Q 图1
C P B
Q D
A
P C
B
H
图2
D
M
5-2x
Q
4-x
C P
A
NB
M
D
A
5-2x 4+x
Q C
P BN
如图，在Rt⊿ABC中，∠C=900，BC=2，AC=4， P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB交边AC于点D， （点D与A、C都不重合），E是射线DC上的一点， 且∠EPD=∠A，设AP=x，⊿BEP的面积为y， （1）求证：AE=2PE； （2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）当⊿BEP与⊿ABC相似时，求⊿BEP的面积。
（3）将⊙O绕着点E旋转1800得到⊙P，如果⊙P与
⊙M内切，求x的值。
C
P
E
B O AM
D
（08松江）在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=4， AD=BC=2，∠ABC=1200，P、Q分别为射线BC和 线段CD上的动点，且CQ=2BP， （1）如图1，当点P为BC的中点时，求证：⊿CPQ∽⊿DAQ； （2）如图2，当点P在BC的延长线上时，设BP=x， ⊿APQ的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域 （3）以点A为圆心，AQ为半径作⊙A，以点B为圆心， BP为半径作⊙B，当⊙A与⊙B相切时，求BP的长。
B
H
P
A
D
E
C
（08浦东）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=5， AD/BC=2/5，cosB=3/5，P是边BC上的一个动点， ∠APQ=∠B，PQ交射线AD于点Q，设PB=x，DQ=y， （1）用含x的代数式表示AP的长； （2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）⊿CPQ与⊿ABP能否相似？如果能，请求出BP的长； 如不能，请说明理由。
A
D
A
D
A
D
N
N
B M
C
B M
C
MB
C
N
（2008武汉）
如图，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P为对角线AC 上一动点，过点P作PF⊥DC于点F，如图1，当点P与点O重合时， 显然DF=CF。 （1）如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB
且PE交CD于点E，①求证：DF=EF； ②写出线段PC、PA、CE之间的一个数量关系式，并证明你的结论； （2）若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交 直线CD于点E，请完成图3并判断（1）中两个结论是否分别成立？ 若不成立，写出相应的结论（不必证明）。
A
H
M
D
C
N
EB
图3
（07金山）将边长为4的正方形ABCD折叠，使B点 落在边AD上，记作B1（不与A、D重合），EF为折痕， 设AB1=x， （1）用x的代数式表示BE的长； （2）设四边形BCFE的面积为S，求S关于x的函数关系式
并写出定义域；
A B1
DB
A B1
DB
E
C1
E
C1
G
F
F
BD
C
BD
P
（4）当PB=BE时
A
D P
(E) c
B
cE
B
如图，在△ABC中，AC=BC=2,∠C＝90°,将一块等 腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P，将 三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线 AC、CB于D、E两点，图1、2是旋转三角板得到的 图形中的2种情况。
（3）如果将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处， 且AM：MB=1：3，和前面一样操作，试问线段MD 和ME之间有什么数量关系？并结合图3加以证明。
C
（08徐汇）如图，⊙O的半径OA=1，点M是线段OA 延长线上的任意一点，⊙M与⊙O内切于点B，过点A 作CD⊥OA交⊙M于C、D，联结CM、OC，OC交⊙o于E， （1）若设OM=x，S⊿OMC=y，求y关于x的函数解析式，
并写出函数的定义域；
（2）将⊙O沿弦CD翻折得到⊙N，当x=4时，试判断 ⊙N与直线CM位置关系；
（1）如图，点E在线段BC上，求CF的长； （2）求sin∠DAB1的值；
A
B
A
B
E
B1
B1
D
C
M
DM
CF
E
如图，在△ABC中，AC=BC=2,∠C＝90°,将一块
等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P，
将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线 AC、CB于D、E两点，图1、2是旋转三角板得到的 图形中的两种情况。
几何专题——图形的运动
基本形式： 1、图形的旋转
2、图形的翻折
3、点的移动
特 点：1、任何图形经过运动后，其形状、大小都 保持不变，即对应边、对应角都相等， 变化的只是图形的位置。 2、有时解题思路、解题方法都不变
策 略：以”静“制“动”，以“不变”应“万 变”
（2008广东中考题）
（1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO 为边在线段AD的同侧作等边⊿OAB等边⊿OCD，联结AC 和BD，相交于点E，联结BC，求：∠AEB的大小；
（2）如图2，⊿OAB固定不动，保持⊿OCD的形状 和大小不变，将⊿OCD绕着点O旋转（⊿OAB和 ⊿OCD不能重叠），求：∠AEB的大小。
C
B
E1
2
D
O
A
（1）
B
C
E1
F
2
O
A
D （2）
（07嘉定）已知边长为3的正方形ABCD中， 点E在射线BC上，且BE = 2CE，连结AE交射线DC于 点 F，若⊿ABE沿直线AE 翻折，点B落在 B1处，
A
D
Qቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B PE
C
（08闵行）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3， 点E是边CD上任意一点（点E与C、D都不重合）， 过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，联结EF， 交边AB于点G，设DE=x，BF=y， （1）求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域； （2）如果AD=BF，求证：⊿AEF∽⊿DEA； （3）当点E在边CD上移动时，⊿AEG能否成为等腰三角形？ 如果能，请直接写出线段DE的长；如果不能，请说明理由。
研究：（1）三角板绕P点旋转，观察线段PD和PE 之间有什么数量关系？并结合图1加以证明；
A
A
H
P
D
C
GE
B
图1
P
C
BE
D
图2
（2）三角板绕P点旋转，△PBE能否成为等腰三角形？ 如果能，指出所有情况.
（1）当PE=BE时 （3）当PB=BE时
A
A
D
P
c
E
B
P
c
B
E
D
（2）当PE=PB时
(D) A