无穷级数开题报告
开题报告书模板 (66)
4．指导教师审核意见:
指导教师（签字）： 5．学院学术委员会审查意见
年月日
学院学术委员会主任（签字）
学院（签章） 年月日
说明：
1.本报告必须由承担毕业论文（设计）课程任务的学生在正式开始做论文（设计）前 独立撰写完成，交指导教师审阅、学院审查。
2.本报告作为指导教师、学院审查学生能否承担该毕业论文（设计）课题任务的依据， 并随论文（设计）正文一起统一归档。
n→∞ 时的无穷小。因此，我们可以利用无穷小的比较来判断。实际上，级数的收敛 与否，就取决于通项趋于零的速度：公比绝对值小于 1 的等比数.
为检验非协调元的收敛性，1970 年代西方学者 lrons 提出“小片检验”准则，一 直未获证明。
其后，德国数学家 Stummel 指出该准则并非收敛性的充要条件。中国学者石钟慈 分析了工程计算中一些不满足“小片检验”准则却有收敛效果的实例，从理论上证明 了这些实例在某些场合下确为收敛，否定了“小片检验”的必要性，并给出可获收敛 结果的网格剖分条件。从而扩大了非协调元的使用范围，在理论和实际上均具有重大 意义。
石钟慈还发现并首次从理论上研究了非协调元的一种较普遍存在的奇特的错向收 敛现象。即有限元近似解可收敛到非真解的错误极限。他找到若干这种非协调元，具 体给出其错误极限，证实非协调元的解有时强烈依赖于网格剖分的几何形状。
Stummel 后来提出非协调元收敛的充要条件：广义小片检验。因过于理论化，实践 中不便应用。石钟慈采用了小片检验的某些合理内核，并运用广义小片检验严格的数 学论证方法，提出一种理论上严格、又简便实用的非协调元收敛性的 F—E—M 准则。 运用这一准则可以方便地检验包括未通过小片检验的元在内的大量非协调元。
2．本课题主要研究方法、研究手段和需要重点研究的问题及解决的思路:
极限求法的开题报告
极限求法的开题报告极限求法的开题报告一、引言极限求法是数学中的重要概念，是解决各种问题的基础。
本文将从极限的定义、性质以及应用等方面进行探讨，以期深入理解极限求法的本质和意义。
二、极限的定义极限是数学中一个基本的概念，它描述了函数在某一点附近的行为。
在数学中，极限的定义可以从两个方向进行解释：一是从数列的角度，二是从函数的角度。
1. 数列的极限数列的极限是指当数列的项无限逼近某一确定值时，这个确定值就是数列的极限。
数列的极限可以用数学符号表示为：lim(n→∞)an=a。
其中，n表示项的序号，an表示数列的第n项，a表示极限的值。
2. 函数的极限函数的极限是指当自变量无限接近某一确定值时，函数值也无限接近于某一确定值。
函数的极限可以用数学符号表示为：lim(x→a)f(x)=L。
其中，x表示自变量，a表示自变量的极限值，f(x)表示函数，L表示极限的值。
三、极限的性质极限具有一些重要的性质，这些性质在极限求法中起到了重要的作用。
1. 极限的唯一性函数的极限值是唯一的，即一个函数在某一点的极限只有一个确定的值。
2. 极限的保号性如果一个函数在某一点的左侧极限为正数，而右侧极限为负数，那么这个函数在该点必然存在一个零点。
3. 极限的四则运算对于两个函数的极限，可以进行加减乘除等四则运算。
具体而言，如果两个函数的极限都存在，那么它们的和、差、积、商的极限也都存在，并且可以通过已知函数的极限来求解。
四、极限的应用极限的应用广泛存在于数学的各个领域，尤其是微积分、数值计算等方面。
1. 微积分中的极限微积分中的极限是求解导数和积分的基础。
通过对函数在某一点的极限进行求解，可以得到该点的导数值。
而在积分中，也需要利用极限的性质来进行计算。
2. 数值计算中的极限在数值计算中，极限的应用主要体现在数值逼近和误差分析等方面。
通过极限的求解，可以得到数值计算的近似解，并对计算结果的误差进行评估和控制。
五、结论极限求法是数学中的重要概念，它描述了函数在某一点附近的行为。
微积分05无穷级数与微分方程
项目四 无穷级数与微分方程实验1 无穷级数（基础实验）实验目的观察无穷级数部分和的变化趋势,进一步理解级数的审敛法以及幂级数部分和对函数的 逼近. 掌握用Mathematica 求无穷级数的和, 求幂级数的收敛域, 展开函数为幂级数以及展 开周期函数为傅里叶级数的方法.基本命令1. 求无穷和的命令Sum该命令可用来求无穷和. 例如,输入 Sum[1/n^2,{n,l,Infinity}]则输出无穷级数的和为.6/2π 命令Sum 与数学中的求和号∑相当. 2. 将函数展开为幂级数的命令Series 该命令的基本格式为Series[f[x],{x,x0,n}]它将)(x f 展开成关于0x x -的幂级数. 幂级数的最高次幂为,)(0n x x -余项用10)(+-n x x 表 示. 例如,输入Series[y[x],{x,0,5}] 则输出带皮亚诺余项的麦克劳林级数[][][]()[]()[]()[][]654433201201024106102100x O x y x y x y x y x y y ++++''+'+ 3. 去掉余项的命令Normal在将)(x f 展开成幂级数后, 有时为了近似计算或作图, 需要把余项去掉. 只要使用 Normal 命令. 例如,输入Series[Exp[x],{x,0,6}] Normal[%] 则输出765432]x [O !6x !5x !4x !3x !2x x 1+++++++!6x 5x 4x !3x !2x x 165432++++++ 4. 强制求值的命令Evaluate如果函数是用Normal 命令定义的, 则当对它进行作图或数值计算时, 可能会出现问题. 例如,输入fx=Normal[Series[Exp[x],{x,0,3}]] Plot[fx,{x,-3,3}]则只能输出去掉余项后的展开式6x 2x x 132+++ 而得不到函数的图形. 这时要使用强制求值命令Evaluate, 改成输入 Plot[Evaluate[fx],{x,-3,3}] 则输出上述函数的图形.5. 作散点图的命令ListPlotListPlot [ ]为平面内作散点图的命令, 其对象是数集,例如,输入ListPlot[Table[j^2,{j,16}],PlotStyle->PointSize[0,012]]则输出坐标为}16,16{,},3,3{},2,2{},1,1{2222 的散点图(图1.1).图1.1.6. 符号“/；”用于定义某种规则,“/；”后面是条件. 例如,输入Clear[g,gf];g[x_]:=x/;0<=x<1 g[x_]:=-x/;-1<=x<0 g[x_]:=g[x –2]/;x>=1则得到分段的周期函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤<≤--=1x ),2x (g 1x 0,x 0x 1,x )x (g再输入gf=Plot[g[x],{x,-1,6}] 则输出函数)(x g 的图形1.2.图1.2注:用Which 命令也可以定义分段函数, 从这个例子中看到用“…(表达式)/; …(条件)”来 定义周期性分段函数更方便些. 用Plot 命令可以作出分段函数的图形, 但用Mathematica 命 令求分段函数的导数或积分时往往会有问题. 用Which 定义的分段函数可以求导但不能积 分. Mathematica 内部函数中有一些也是分段函数. 如:Mod[x,1],Abs[x],Floor[x]和UnitStep[x]. 其中只有单位阶跃函数UnitStep[x]可以用Mathematica 命令来求导和求定积分. 因此在求分 段函数的傅里叶系数时, 对分段函数的积分往往要分区来积. 在被积函数可以用单位阶跃函数UnitStep 的四则运算和复合运算表达时, 计算傅里叶系数就比较方便了.实验举例数项级数例1.1 (教材 例1.1)(1) 观察级数∑∞=121n n的部分和序列的变化趋势.(2) 观察级数∑∞=11n n 的部分和序列的变化趋势.输入s[n_]=Sum[1/k^2,{k,n}];data=Table[s[n],{n,100}]; ListPlot[data];N[Sum[1/k^2,{k,Infinity}]] N[Sum[1/k^2,{k,Infinity}],40]则输出(1)级数的近似值为1.64493.输入s[n_]=Sum[1/k,{k,n}];data=Table[s[n],{n,50}]; ListPlot[data,PlotStyle->PointSize[0.02]];则输出(2)例1.2 画出级数∑∞=--111)1(n n n的部分和分布图. 输入命令Clear[sn,g];sn=0;n=1;g={};m=3;While[1/n>10^-m,sn=sn+(-1)^(n-1)/n;g=Append[g,Graphics[{RGBColor[Abs[Sin[n]],0,1/n],Line[{{sn,0},{sn,1}}]}]];n++];Show[g,PlotRange->{-0.2,1.3},Axes->True];则输出所给级数部分和的图形,从图中可观察到它收敛于0.693附近的一个数.例1.3 设,!10n a nn = 求∑∞=1n na.输入Clear[a];a[n_]=10^n/(n!);vals=Table[a[n],{n,1,25}];ListPlot[vals,PlotStyle->PointSize[0.012]]则输出n a 的散点图,从图中可观察n a 的变化趋势. 输入 Sum[a[n],{n,l,Infinity}] 则输出所求级数的和.求幂级数的收敛域 例1.4 求∑∞=+-021)3(4n nn n x 的收敛域与和函数.输入Clear[a];a[n_]=4^(2n)*(x-3)^n/(n+1); stepone=a[n+1]/a[n]//Simplify则输出n2)x 3)(n 1(16++-+再输入steptwo=Limit[stepone,n->Infinity] 则输出)x 3(16+-这里对a[n+1]和a[n]都没有加绝对值. 因此上式的绝对值小于1时, 幂级数收敛; 大于1 时发散. 为了求出收敛区间的端点, 输入ydd=Solve[steptwo==1,x] zdd=Solve[steptwo==-1,x]则输出⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧→1647x 1649x 与由此可知,当16491647<<x 时,级数收敛,当1647<x 或1649>x 时,级数发散.为了判断端点的敛散性, 输入 Simplify[a[n]/.x->(49/16)] 则输出右端点处幂级数的一般项为1n 1+ 因此,在端点1649=x 处,级数发散. 再输入Simplify[a[n]/.x->(47/16)] 则输出左端点处幂级数的一般项为1n )1(n+- 因此,在端点1647=x 处, 级数收敛.也可以在收敛域内求得这个级数的和函数. 输入 Sum[4^(2n)*(x-3)^n/(n+1),{n,0,Infinity}] 则输出)x 3(16)]x 3(161[Log +-+---函数的幂级数展开例1.5 求x cos 的6阶麦克劳林展开式. 输入Series[Cos[x],{x,0,6}] 则输出7642]x [o 720x 24x 2x 1+-+- 注:这是带皮亚诺余项的麦克劳林展开式. 例1.6 求x ln 在1=x 处的6阶泰勒展开式.输入Series[Log[x],{x,1,6}] 则输出.]x [o 6)1x (5)1x (4)1x (3)1x (2)1x ()1x (765432+---+---+--- 例1.7 求x arctan 的5阶泰勒展开式. 输入serl=Series[ArcTan[x],{x,0,5}]; Poly=Normal[serl]则输出x arctan 的近似多项式5x 3x x 53+- 通过作图把x arctan 和它的近似多项式进行比较. 输入Plot[Evaluate[{ArcTan[x],Poly}],{x,-3/2,3/2},PlotStyle->{Dashing[{0.01}],GrayLevel[0]},AspectRatio->l]则输出所作图形, 图中虚线为函数x arctan ,实线为它的近似多项式.实验习题1.求下列级数的和:(1);21∑∞=k kk(2);)12(112∑∞=-k k (3);)2(112∑∞=k k (4).)1(11∑∞=--k k k2. 求幂级数∑∞=+--012)5()1(n nn x 的收敛域与和函数.3. 求函数)1ln()1(x x ++的6阶麦克劳林多项式.4. 求x arcsin 的6阶麦克劳林多项式.5. 设1)(2+=x xx f ,求)(x f 的5阶和10阶麦克劳林多项式,把两个近似多项式和函数的图形作在一个坐标系内.实验2 微分方程（基础实验）实验目的 理解常微分方程解的概念以及积分曲线和方向场的概念,掌握利用 Mathematica 求微分方程及方程组解的常用命令和方法.基本命令1. 求微分方程的解的命令DSolve对于可以用积分方法求解的微分方程和微分方程组,可用Dsolve 命令来求其通解或特解. 例如,求方程023=+'+''y y y 的通解, 输入DSolve[y ''[x]+3y '[x]+2y[x]==0,y[x],x]则输出含有两个任意常数C[1]和C[2]的通解:{}{}]2[C e ]1[C e ]x [y x x 2--+→注:在上述命令中,一阶导数符号 ' 是通过键盘上的单引号 ' 输入的,二阶导数符号 '' 要 输入两个单引号,而不能输入一个双引号.又如,求解微分方程的初值问题:,10,6,03400='==+'+''==x x y y y y y输入Dsolve[{y''[x]+4 y'[x]+3y[x]==0,y[0]==6, y'[0]==10},y[x],x](*大括号把方程和初始条件放在一起*) 则输出{}{}x 2x 3e 148(e ]x [y +-→-2. 求微分方程的数值解的命令NDSolve对于不可以用积分方法求解的微分方程初值问题,可以用NDSolve 命令来求其特解.例如 要求方程5.0,032=+='=x y x y y 的近似解)5.10(≤≤x , 输入NDSolve[{y'[x]==y[x]^2+x^3,y[0]==0.5},y[x],{x,0,1.5}] (*命令中的{x,0,1.5}表示相应的区间*) 则输出{{y->InterpolatingFunction[{{0.,1.5}},< >]}}注:因为NDSolve 命令得到的输出是解)(x y y =的近似值. 首先在区间[0,1.5]内插入一系 列点n x x x ,,,21 , 计算出在这些点上函数的近似值n y y y ,,,21 , 再通过插值方法得到)(x y y =在区间上的近似解.3. 一阶微分方程的方向场一般地,我们可把一阶微分方程写为),(y x f y ='的形式,其中),(y x f 是已知函数. 上述微分方程表明:未知函数y 在点x 处的斜率等于函数 f 在点),(y x 处的函数值. 因此,可在Oxy 平面上的每一点, 作出过该点的以),(y x f 为斜率 的一条很短的直线(即是未知函数y 的切线). 这样得到的一个图形就是微分方程),(y x f y ='的方向场. 为了便于观察, 实际上只要在Oxy 平面上取适当多的点,作出在这些点的函数的 切线. 顺着斜率的走向画出符合初始条件的解,就可以得到方程),(y x f y ='的近似的积分曲 线.例如,画出0)0(,12=-=y y dxdy的方向场. 输入<<Graphics`PlotField`g1=PlotVectorField[{1,1-y^2},{x,-3,3},{y,-2,2}, Frame->True,ScaleFunction->(1&),ScaleFactor->0.16, HeadLength->0.01,PlotPoints->{20,25}];则输出方向场的图形,从图中可以观察到, 当初始条件为2/10=y 时, 这个微分方程的解介 于1-和1之间, 且当x 趋向于-∞或∞时, )(x y 分别趋向于1-与1.下面求解这个微分方程, 并在同一坐标系中画出方程的解与方向场的图解. 输入sol=DSolve[{y'[x]==1-y[x]^2,y[0]==0},y[x],x];g2=Plot[sol[[1,1,2]],{x,-3,3},PlotStyle->{Hue[0.1],Thickness[0.005]}]; Show[g2,g1,Axes->None,Frame->True];则输出微分方程的解xxe e x y 2211)(++-=,以及解曲线与方向场的图形. 从中可以看到, 微分方程的解与方向场的箭头方向相吻合.实验内容用Dsolve 命令求解微分方程例2.1 求微分方程 22x xe xy y -=+'的通解. 输入Clear[x,y];DSolve[y '[x]+2x*y[x]==x*Exp[-x^2],y[x],x]或DSolve[D[y[x],x]+2x*y[x]==x*Exp[-x^2],y[x],x] 则输出微分方程的通解:⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧+→--]1[C e x e 21]x [y 22x 2x其中C[1]是任意常数.例2.2 求微分方程0=-+'x e y y x 在初始条件e y x 21==下的特解.输入Clear[x,y];DSolve[{x*y ' [x]+y[x]-Exp[x]==0,y[1]==2 E},y[x],x]则输出所求特解:⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+→x e e ]x [y x 例2.3 求微分方程x e y y y x 2cos 52=+'-''的通解.输入DSolve[y ''[x]-2y '[x]+5y[x]==Exp[x]*Cos[2 x],y[x],x]//Simplify则输出所求通解:⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧-++→])x 2[Sin ])1[c 4x (2]x 2[Cos ])2[c 81((e 81]x [y x例2.4 求解微分方程x e x y +=''2, 并作出其积分曲线. 输入g1=Table[Plot[E^x+x^3/3+c1+x*c2,{x,-5,5},DisplayFunction->Identity],{c1,-10,10,5},{c2,-5,5,5}];Show[g1,DisplayFunction->$DisplayFunction];则输出积分曲线的图形.例2.5 求微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=++02y x dtdy e y x dt dx t 在初始条件0,100====t t y x 下的特解.输入Clear[x,y,t];DSolve[{x' [t]+x[t]+2 y[t]==Exp[t], y'[t] -x[t]- y[t]==0,x[0]==1,y[0]==0},{x[t],y[t]},t]则输出所求特解:⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-→→])t [Sin ]t [Cos e (21]t [y ],t [Cos ]t [x t例2.6 求解微分方程,)1(122/5+=+-x x y dx dy 并作出积分曲线. 输入<<Graphics`PlotField`DSolve[y' [x]-2y[x]/(x+1)==(x+1)^(5/2),y[x],x]则输出所给积分方程的解为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++→]1[C )x 1()x 1(32]x [y 22/7下面在同一坐标系中作出这个微分方程的方向场和积分曲线(设),3,2,1,0,1,2,3---=C 输入t=Table[2(1+x)^(7/2)/3+(1+x)^2c,{c,-1,1}];g1=Plot[Evaluate[t],{x,-1,1},PlotRange->{{-1,1},{-2,2}},PlotStyle->RGBColor[1,0,0],DisplayFunction->Identity];g2=PlotVectorField[{1,-2y/(x+1)+(x+1)^(5/2)},{x,-0.999,1},{y,-4,4},Frame->True,ScaleFunction->(1&), ScaleFactor->0.16,HeadLength->0.01, PlotPoints->{20,25},DisplayFunction->Identity];Show[g1,g2,Axes->None,Frame->True,DisplayFunction->$DisplayFunction];则输出积分曲线的图形.用NDSolve 命令求微积分方程的近似解例2.7 求初值问题:1,0)1()1(2.1=='-++=x y y xy y xy 在区间[1.2,4]上的近似解并作图. 输入fl=NDSolve[{(1+x*y[x])*y[x]+(1-x*y[x])*y'[x]==0,y[1.2]==1},y,{x,1.2,4}]则输出为数值近似解(插值函数)的形式:{{y->InterpolatingFunction[{{1.2,4.}},< >]}}用Plot 命令可以把它的图形画出来.不过还需要先使用强制求值命令Evalu-ate, 输入 Plot[Evaluate[y[x]/.fl],{x,1.2,4}] 则输出近似解的图形.如果要求区间[1.2,4]内某一点的函数的近似值, 例如8.1=x y ,只要输入y[1.8]/.fl则输出所求结果{3.8341}例2.8 求范德波尔(Van der Pel)方程5.0,0,0)1(02-='==+'-+''==x x y yy y y y在区间[0,20]上的近似解. 输入Clear[x,y];NDSolve[{y''[x]+(y[x]^2-1)*y'[x]+y[x]==0,y[0]==0,y'[0]==-0.5},y,{x,0,20}]; Plot[Evaluate[y[x]/.%],{x,0,20}]可以观察到近似解的图形.例2.9 求出初值问题⎪⎩⎪⎨⎧='==+'+''0)0(,1)0(cos sin 22y y xy x y y 的数值解, 并作出数值解的图形.输入NDSolve[{y''[x]+Sin[x]^2*y'[x]+y[x]==Cos[x]^2,y[0]==1,y'[0]==0},y[x],{x,0,10}]Plot[Evaluate[y[x]/.%],{x,0,10}];则输出所求微分方程的数值解及数值解的图形例2.10 洛伦兹(Lorenz)方程组是由三个一阶微分方程组成的方程组.这三个方程看似简 单, 也没有包含复杂的函数, 但它的解却很有趣和耐人寻味. 试求解洛伦兹方程组,0)0(,4)0(,12)0()(4)()()()()(45)()()()(16)(16)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-='-+-='-='z y x t z t y t x t z t y t x t z t x t y t x t y t x 并画出解曲线的图形.输入Clear[eq,x,y,z]eq=Sequence[x'[t]==16*y[t]-16*x[t],y'[t]==-x[t]*z[t]-y[t]+45x[t],z'[t]==x[t]*y[t]-4z[t]];sol1=NDSolve[{eq,x[0]==12,y[0]==4,z[0]==0},{x[t],y[t],z[t]},{t,0,16},MaxSteps->10000];g1=ParametricPlot3D[Evaluate[{x[t],y[t],z[t]}/.sol1],{t,0,16},PlotPoints->14400,Boxed->False,Axes->None];则输出所求数值解的图形. 从图中可以看出洛伦兹微分方程组具有一个奇异吸引子, 这个吸 引子紧紧地把解的图形“吸”在一起. 有趣的是, 无论把解的曲线画得多长, 这些曲线也不 相交.改变初值为,10)0(,10)0(,6)0(=-==z y x 输入sol2=NDSolve[{eq,x[0]==6,y[0]==-10,z[0]==10},{x[t],y[t],z[t]},{t,0,24},MaxSteps->10000];g2=ParametricPlot3D[Evaluate[{x[t],y[t],z[t]}/.sol2],{t,0,24},PlotPoints->14400,Boxed->False,Axes->None];Show[GraphicsArray[{g1,g2}]];则输出所求数值解的图形. 从图中可以看出奇异吸引子又出现了, 它把解“吸”在某个区域 内, 使得所有的解好象是有规则地依某种模式缠绕.实验习题1. 求下列微分方程的通解:(1) ;0136=+'+''y y y (2) ();024=+''+y y y (3) ;2sin 52x e y y y x =+'-''(4) .)1(963x e x y y y +=+'-'' 2. 求下列微分方程的特解:(1) ;15,0,029400='==+'+''==x x y y y y y (2) .1,1,02sin ='==++''==ππx x y y x y y3. 求微分方程0cos 2)1(2=-+'-x xy y x 在初始条件10==x y下的特解.分别求精确解和数值解)10(≤≤x 并作图.4. 求微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=++t te y x dt dye y x dt dx235的通解.5. 求微分方程组⎪⎪⎩⎪⎨⎧==+-==-+==4,081,0300t t y y x dt dyx y x dt dx的特解.6. 求欧拉方程组324x y y x y x =-'+''的通解.7. 求方程5,0,011='==+'+''==x x y y y y x y 在区间[0,4]上的近似解.实验3 抛射体的运动（综合实验）实验目的 通过微分方程建模和Mathematica 软件,在项目一实验5的基础上,进一步研 究在考虑空气阻力的情况下抛射体的运动.问题 根据侦察,发现离我军大炮阵地水平距离10km 的前方有一敌军的坦克群正以每小 时50km 向我军阵地驶来,现欲发射炮弹摧毁敌军坦克群. 为在最短时间内有效摧毁敌军坦 克,要求每门大炮都能进行精射击,这样问题就可简化为单门大炮对移动坦克的精确射击 问题. 假设炮弹发射速度可控制在0.2km/s 至0.5km/s 之间,问应选择怎样的炮弹发射速度和 怎样的发射角度可以最有效摧毁敌军坦克.说明 本节我们研究受到重力和空气阻力约束的抛射体的射程. 用))(),((t y t x 记抛射体 的位置, 其中x 轴是运动的水平方向, y 轴是垂直方向. 通过在0=y 的约束下最大化x , 可以 计算出使抛射体的射程最大的发射角. 假设0=t 时抛射体(炮弹)在原点(0,0)以与水平线夹角 为,α初始速度为0v 发射出去. 它受到的空气阻力为.,⎪⎭⎫⎝⎛-=-=dt dy dt dx k kv F r (3.1)重力为).,0(mg F g -= (3.2) 在推导)(t x 和)(t y 所满足的微分方程之前, 补充一点说明:虽然我们将位置变量),(t x )(t y 仅写作t 的函数,但实际上位置变量还依赖于几个其它的变量或参数. 特别是,x 和y 也依赖于发射角α、阻力系数k 、质量m 及重力加速度g 等.为了推导x 和y 的方程, 按照牛顿定律,ma F =并结合重力的公式(3.2)和空气阻力的公 式(3.1), 得到微分方程0)()(='+''t x k t x m (3.3)0)()(=+'+''mg t y k t y m (3.4)根据前面所述假设知, ),(t x )(t y 满足下列初始条件0)0(,0)0(==y x ,.sin )0(,cos )0(00ααv y v x ='=' (3.5)先求解)(t x ,由方程(3.3),令,x v '=可将其化为一阶微分方程.0=+'kv v m易求出其通解 .)(t m k Ce t v -=由,cos )0()0(0αv x v ='= 得αcos 0v C =,所以 .cos )(0t m k e v t v -=α从,x v '=通过积分得到x , 即 .cos )(0D e v k m t x t m k+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-α 由,0)0(=x 得,cos 0αv k m D ⎪⎭⎫ ⎝⎛= 所以 )1(cos )(0t m ke v k m t x --⎪⎭⎫ ⎝⎛=α (3.6) 类似地,可从方程(3.4)解出y . 令,y v '= 方程化为一阶微分方程, 两端除以m ,得.g v m k v -=+' 再在上述方程两端乘以积分因子.t m k e 得,t m k t m k t m k ge v e mk v e -=+' 即 ,)(t m k t m k ge ve dtd -= 两端积分得 .Ce kgm ve t m k t m k +-= 所以 .t m k Ce kgm v -+-= 利用初始条件αsin )0()0(0v v y =='确定其中的常数C 后, 积分v 得到y ,再次利用初始条 件0)0(=y 确定任意常数后,则得到.sin )1(0αt m kt m k e v k m e k m t k m k gm y ---+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--= (3.7) 下面我们利用公式(3.6)与(3.7)来描绘炮弹运行的典型图形. 假定炮弹发射的初速度为0.25km/s, 发射角为 55, 输入Clear[a,t,x,y,g,m,k]x[v_,a_,t_]:=(m/k)*v*Cos[a Pi/180]*(1-Exp[-(k/m)*t])y[v_,a_,t_]:=(g*m/k)((m/k)-t-(m/k)*Exp[-(k/m)*t])+(m/k)*v*Sin[a Pi/180]*(1-Exp[-(k/m)*t])g=9.8;m=5.0;k=0.01;炮弹飞行的时间由炮弹落地时的条件0y所确定. 输入=FindRoot[y[350,55,t]==0,{t,50}]则输出炮弹飞行的时间{t->57.4124}α时, 输入当发射角=65x[350,55, 57.4124]//N则输出炮弹的最大射程为10888.5现在我们可以画出炮弹运行的典型轨迹了. 输入ParametricPlot[{x[350,55,t],y[350,55,t]},{t,0,57.4124},PlotRange->{0,11000},AxesLabel->{x,y}]图3-1实验报告在上述假设下,进一步研究下列问题:(1) 选择一个初始速度和发射角,利用Mathematica画出炮弹运行的典型轨迹.(2) 假定坦克在大炮前方10km处静止不动,炮弹发射的初速度为0.32km/s,应选择什么样的发射角才能击中坦克?画出炮弹运行的几个轨迹图,通过实验数据和图形来说明你的结论的合理性.(3) 假定坦克在大炮前方10km处静止不动,探索降低或调高炮弹发射的初速度的情况下,应如何选择炮弹的发射角?从上述讨论中总结出最合理有效的发射速度和发射角.(4) 在上题结论的基础上,继续探索,假定坦克在大炮前方10km处以每小时50km向大炮方向前进,此时应如何制定迅速摧毁敌军坦克的方案?注:在研究过程中,还要包括适当改变阻力系数k与炮弹的质量m所带来的变化.实验4 蹦极跳运动（综合实验）实验目的利用Mathematica软件,通过微分方程建模,研究蹦极跳运动.问题在不考虑空气阻力和考虑空气阻力等多种情况下,研究蹦极跳运动中,蹦极者与蹦极绳设计之间的各种关系.说明 蹦极绳相当于一根粗橡皮筋或有弹性的绳子. 当受到张力使之超过其自然长度,绳 子会产生一个线性回复力, 即绳子会产生一个力使它恢复到自然长度, 而这个力的大小与它 被拉伸的长度成正比. 在一次完美的蹦极跳过程中, 蹦极者爬上一座高桥或高的建筑物, 把 绳的一头系在自己身上, 另一头系在一个固定物体如桥栏杆上, 当他跳离桥时, 激动人心的 时刻就到来了. 这里要分析的是蹦极者从跳出那一瞬间起他的运动规律.首先要建立坐标系. 假设蹦极者的运动轨迹是垂直的, 因此我们只要用一个坐标来确 定他在时刻t 的位置. 设y 是垂直坐标轴, 单位为英尺, 正向朝下, 选择0=y 为桥平面, 时间 t 的单位为秒, 蹦极者跳出的瞬间为,0=t 则)(t y 表示t 时刻蹦极者的位置. 下面我们要求出 )(t y 的表达式.由牛顿第二定律, 物体的质量乘以加速度等于物体所受的力. 我们假设蹦极者所受的力 只有重力、空气阻力和蹦极绳产生的回复力. 当然, 直到蹦极者降落的距离大于蹦极绳的自 然长度时, 蹦极绳才会产生回复力. 为简单起见, 假设空气阻力的大小与速度成正比, 比例 系数为1, 蹦极绳回复力的比例系数为0.4. 这些假设是合理的, 所得到的数学结果与研究所 做的蹦极实验非常吻合. 重力加速度./322s ft g =现在我们来考虑一次具体的蹦极跳. 假设绳的自然长度为,200ft L = 蹦极者的体重为 160lb ①,则他的质量为532/160==m 斯②. 在他到达绳的自然长度(即)200-=-=L y 前, 蹦 极者的坠落满足下列初值问题:,1v mg dt dy --= .0)0(=v 利用Mathematica 求解上述问题. 输入g=32; m=5; L=200;{{v1[t_],y1[t_]}}={v[t],y[t]}/.DSolve[{v'[t]==-g-v[t]/m,y'[t]==v[t],v[0]==0,y[0]==0},{v,y},t]则输出)}}t e e 55(e 160),e 1(e 160{{5/t 5/t 5/t 5/t 5/t +--+----蹦极者坠落L 英尺所用的时间为t1=t/.FindRoot[y1[t]==-L,{t,2}]4.00609现在我们需要找到当蹦极绳产生回复力后的运动初始条件. 当1t t >时, 蹦极者的坠落 满足方程)(4.01y L mv m g dt dv +---= 初始条件为).1(1)1(,)1(t v t v L t y =-=解初值问题:{{v2[t_],y2[t_]}}={v[t],y[t]}/.DSolve[{v'[t]==-g-v[t]/m-0.4*(L+y[t])/m,y'[t]==v[t],v[t1]==v1[t1],y[t1]==-L},{v,y},t]则输出所求解, 这个解是用复指数函数来表示的.现在蹦极者的位置由命令bungeey[t_]=If[t<t1,y1[t],y2[t]]给出, 输入命令Plot[bungeey[t],{t,0,40},PlotRange->All]则输出位置-时间图形(图4-1)图4-1从上图可以看出, 蹦极者在大约13s内由桥面坠落770ft, 然后弹回到桥面下550ft, 上下振动几次, 最终降落到桥面下大约600ft处.实验报告1.在上述问题中(),=wL求出需要多长时间蹦极者才能到达他运动轨迹上的,200=160最低点, 他能下降到桥面下多少英尺?2.用图描述一个体重为195lb, 用200ft长绳子的蹦极者的坠落. 在绳子对他产生力之前, 他能做多长时间的“自由”降落?3.假设你有一根300ft长的蹦极索, 在一组坐标轴上画出你所在实验组的全体成员的运动轨迹草图.4.一个55岁, 体重185lb的蹦极者, 用一根250ft长的蹦极索. 在降落过程中, 他达到的最大速度是多少? 当他最终停止运动时, 他被挂在桥面下多少英尺?5.用不同的空气阻力系数和蹦极索常数做实验, 确定一组合理的参数, 使得在这组参数下, 一个160lb的蹦极者可以回弹到蹦极索的自然长度以上.6.科罗拉多的皇家乔治桥(它跨越皇家乔治峡谷)距谷底1053ft, 一个175lb的蹦极者希望能正好碰到谷底, 则他应使用多长的绳子?7.假如上题中的蹦极者体重增加10lb, 再用同样长的绳子从皇家乔治桥上跳下, 则当他撞到乔治峡谷谷底时, 他的坠落速度是多少?参考文献[1] 吴赣昌等. 高等数学多媒体学习系统, 海南出版社, 2005[2] 吴赣昌等. 线性代数多媒体学习系统, 海南出版社, 2005[3] 吴赣昌等. 概率论与数理统计多媒体学习系统, 海南出版社, 2005[4] A.D.Andrew, G.L.Cain, S.Crum, T.D.Morley. 用Mathematica 做微积分实验. 俞正光, 章纪民译. 清华大学出版社, 2003[5] 章栋恩,许晓革. 高等数学实验, 高等教育出版社, 2004[6] 上海市教育委员会组编. 高等数学. 科学出版社, 1998[7] 赵静等. 工科数学实验. 高等教育出版社, 1999[8] 乐经良, 向隆万, 李世栋. 数学实验. 高等教育出版社, 1999[9] 李尚志, 陈发来等. 数学实验. 高等教育出版社, 1999[10] 梁浩云. Mathematica 软件与数学实验. 华南理工大学出版社. 2001[11] 张韵华. 符号计算系统Mathematica 教程. 科学出版社. 2001[12] 邓建松. Mathematica 使用指南. 彭冉冉译. 麦格劳－希尔出版社. 2002。
二阶常微分方程无穷多点边值问题的可解性的开题报告
二阶常微分方程无穷多点边值问题的可解性的开题报告1.选题背景与意义常微分方程是数学中重要的研究对象，它是描述自然现象的基础模型之一。
在实际应用中，很多问题可以转化为常微分方程，因此研究常微分方程的性质对于解决实际问题具有重要意义。
而边值问题是研究常微分方程时经常遇到的问题，它是在给定区间的边界条件下求解方程的一种方法。
在边值问题中，一般需要求解的是在一个区间上满足某些边界条件的方程解。
二阶常微分方程无穷多点边值问题是边值问题的一个重要分支，在许多实际问题中都具有重要应用，例如物理学中的波动方程、量子力学中的定态薛定谔方程等。
研究二阶常微分方程无穷多点边值问题的可解性，对于深入理解边值问题、发展解析方法及探索实际问题的解决方案具有重要的理论和应用价值。
2.研究目的和内容本文旨在研究二阶常微分方程无穷多点边值问题的可解性，并探讨其求解方法。
具体包括以下内容：（1）介绍二阶常微分方程无穷多点边值问题的基本概念和相关理论。
（2）研究二阶常微分方程无穷多点边值问题的唯一性和存在性。
（3）讨论二阶常微分方程无穷多点边值问题解的逼近方法及其误差估计。
（4）探讨边值问题的数值解法及其算法实现。
3.研究方法和步骤本文将主要采用以下方法和步骤：（1）理论分析：运用函数分析、微分方程理论等数学方法，推导二阶常微分方程无穷多点边值问题的一般形式、适定性条件及解的逼近方法。
（2）算法设计：基于上述理论分析，设计求解边值问题的数值方法，并探讨其算法实现。
（3）数值实验：通过典型例子的数值实验，验证所提出的求解方法和算法的正确性和可行性。
4.预期研究结果本文预期得到以下研究结果：（1）建立二阶常微分方程无穷多点边值问题的数学模型，研究其唯一性和存在性。
（2）提出求解二阶常微分方程无穷多点边值问题的逼近方法及误差估计，并进行数值验证。
（3）探讨边值问题的数值解法及其算法实现，并通过数值实验验证其正确性和可行性。
5.研究意义及参考价值本文研究二阶常微分方程无穷多点边值问题的可解性，对于深入理解边值问题、发展解析方法及探索实际问题的解决方案具有重要的理论和应用价值。
无穷级数实验报告
一、实验目的1. 理解无穷级数的概念及其在数学和工程中的应用。
2. 掌握MATLAB软件在求解无穷级数中的应用。
3. 通过实际操作，加深对无穷级数收敛性、收敛域的理解。
二、实验原理无穷级数是数学中一种重要的数学工具，它将无限多个数按照一定的规律排列起来，形成一种表达形式。
在数学分析、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
无穷级数分为收敛级数和发散级数，其中收敛级数是指当项数无限增加时，级数的和趋于某一固定值。
傅里叶级数是无穷级数的一种，它将周期函数表示为一系列不同频率的正弦和余弦函数的叠加。
通过傅里叶级数，我们可以了解周期函数的频谱特性以及各个频率分量对函数形状的贡献程度。
三、实验内容1. 实验一：求解e的近似值（1）原理：利用e的泰勒级数展开式 e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...，通过计算前n项的和来逼近e的值。
（2）操作步骤：a. 定义一个函数，计算n项泰勒级数的和；b. 在MATLAB中，对不同的n值进行计算，观察逼近程度；c. 分析n与逼近程度的关系。
2. 实验二：求解π的近似值（1）原理：利用π的莱布尼茨级数展开式π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...，通过计算前n项的和来逼近π的值。
（2）操作步骤：a. 定义一个函数，计算n项莱布尼茨级数的和；b. 在MATLAB中，对不同的n值进行计算，观察逼近程度；c. 分析n与逼近程度的关系。
3. 实验三：求解无穷级数收敛性（1）原理：判断无穷级数的收敛性，可以通过比值法则、根值法则等方法。
（2）操作步骤：a. 定义一个函数，计算级数的通项；b. 利用比值法则或根值法则，判断级数的收敛性；c. 分析级数的收敛域。
四、实验结果与分析1. 实验一：计算e的近似值通过MATLAB计算，当n=10时，e的近似值为2.71828，与实际值相差很小。
随着n的增加，近似值越来越接近实际值。
2. 实验二：计算π的近似值通过MATLAB计算，当n=10时，π的近似值为3.14159，与实际值相差很小。
高等数学数学实验报告无穷级数
高等数学数学实验报告实验人员：院（系） _电子科学与工程学院_ 学号_06211623_ 姓名_吴晓锋_ 实验地点：计算机中心机房实验一一、实验题目观察∑∞=1!n n n n 的部分和序列的变化趋势，并求和二、实验目的和意义学会如何利用幂级数的部分和对函数进行逼近以及函数值的近似计算。
三、计算公式∑∞=1!n n n n四、程序设计（1）逼近（2）求和五、程序运行结果N[Sum[n!/n n,{n,Infinity}],50]Output= 1.87985386217525853349六、结果的讨论和分析通过利用mathematics可以直观的看出逼近图像，利用Table命令可以生成部分和的序列的数据点，同时控制点的疏密程度以利于观测。
利于软件求部分和十分快速，精确，不失为一种求和的好方法。
实验二一、实验题目观察函数,0()1,0x xf xxππ--≤<⎧=⎨≤<⎩展成的Fourier级数的部分和逼近()f x的情况。
二、实验目的和意义本实验的目的是用Mathematica显示级数部分和的变化趋势；学会如何利用幂级数的部分和对函数进行逼近以及函数值的近似计算；展示Fourier级数对周期函数的逼近情况。
三、计算公式⎰=ππ-f(x )dx π1a ⎰=ππ-nx dx x )cos (f π1n a ⎰=ππ-nx dx x )sin (f π1n b四、程序设计五、程序运行结果六、结果的讨论和分析如初值对结果的影响；不同方法的比较；该方法的特点和改进；整个实验过程中（包括程序编写，上机调试等）出现的问题及其处理等广泛的问题，以此扩大 知识面和对实验环节的认识。
数学中的无穷奥秘无穷级数的探索
数学中的无穷奥秘无穷级数的探索数学中的无穷奥秘：无穷级数的探索数学是一门广泛且深奥的学科，包含了许多深入研究的领域。
其中，无穷级数是数学中的一个重要概念，它引发了许多数学家的探索和研究。
本文将围绕无穷级数展开，介绍其定义、性质、应用以及相关的数学奥秘。
一、无穷级数的定义无穷级数是由一系列无穷多个数相加或相减而得到的数学表达式。
一般情况下，无穷级数可以表示为：S = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ + ...其中，a₁、a₂、a₃等为级数的各个项。
级数的和S可以是有限的或者无限的，取决于各个项的取值和相加的方式。
二、无穷级数的性质无穷级数具有许多有趣的性质，其中包括收敛性和发散性。
1. 收敛性当无穷级数的部分和有极限存在时，称该无穷级数是收敛的。
换句话说，如果存在一个有限数L，使得当n趋近于无穷大时，级数的部分和Sn趋近于L，那么该无穷级数收敛，表示为：lim(n→∞)Sn = L其中，Sn表示级数的第n项部分和。
2. 发散性当无穷级数的部分和没有极限存在时，称该无穷级数是发散的。
也就是说，如果无论n取多大，级数的部分和Sn都不趋近于任何有限数，那么该无穷级数发散。
三、无穷级数的应用无穷级数在数学中有着广泛的应用，尤其是在微积分、概率论、数理统计等领域。
1. 泰勒级数泰勒级数是一种特殊的无穷级数，用于近似表示函数。
利用泰勒级数可以将复杂的函数表示为无穷级数的形式，从而方便计算和分析函数的性质。
2. 级数求和在实际计算中，无穷级数可以通过部分和的计算来逼近其和。
通过截取级数的前n项，可以得到一个与无穷级数足够接近的有限数值结果。
3. 概率论与统计学在概率论和统计学中，无穷级数被广泛应用于计算概率分布和统计模型的性质。
无穷级数的收敛性质和数值结果可为概率分布的计算和统计推断提供重要依据。
四、无穷级数的奥秘无穷级数背后存在许多数学奥秘，其中最著名的是哥德巴赫猜想。
哥德巴赫猜想认为，任何一个大于2的偶数都可以被表示为两个素数之和。
求极限的有关方法开题报告
[4] 郝 梅：求函数极限的方法源自福建教育学校学报..[5] 曹学锋, 孙幸荣. 无穷小量在求极限中的应用[J]. 数学学习与研究(教研版), 2008, (01)
[6]华东师范大学数学系.数学分析.下册.北京:高等教育出版社,2006；
[7] 陈 璋：朱学炎等.《数学分析》.复旦大学数学系.高等教育出版社.2006
[8] 郝 涌：卢士堂等.《数学考研精解》.华中理工大学出版社.2004
指导教师审核意见
签名：
年 月 日
教研室主任（签名）教学学院院长（签名）
2013年 月
xxxx大学数学与信息科学学院09级
学生毕业论文（设计）开题报告
学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学学生姓名：xxx班级：09数xxx学号：
论文题目：求极限的有关方法指导教师：xxx
本题目研究的现状
作为研究函数最基本的方法——极限思想，早在古代就有比较清楚的描述。我国魏晋时期杰出的数学家刘薇于公元263年创立了“割圆术”，是使用了极限的思想。在近代数学许多分支中一些重要的概念与理论都是极限和连续函数概念的推广、延拓和深化。因此只有深刻地理解极限的出发点是至关的无穷小量，19世纪柯西根据微积分研究的需要改进了极限方法。但是前人在对求函数极限的方法都是单一的，而没有一个对求函数极限的方法进行全面的归纳总结。本文就系统而全面地总结了求函数极限的方法，并把各类方法加以综合利用，帮助我们解决求各类函数极限过程中遇到的问题，对某些题目还能够不痛的方法解答。
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五、主要参考文献：
【1】费定晖.周学圣:《数学分析习题集题解》山东科学技术出版社,1987
【2】徐利治.王兴华:《数学分析的方法及例题选讲》.高等教育出版社.1988
【3】陈传璋.金福临等:《数学分析》,人民教育出版社·1983
【4】李素风.关于无穷级数求和问题的探讨[J].邢台学院学报，2008,(4)：12-13.
【5】张春平. 无穷级数的求和探讨[J].沈阳师范大学学报，2008,(3)：12-13.
【6】郑春雨.数项级数和的方法里谈[J].海南广播电视大学学报，2006,24(3):20-21.
【7】蔡炯辉，胡晓敏.收敛级数求和的初等方法[J].玉溪师范学
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【8】刘玉琏.数学分析讲义（下册）[M].北京:高等教育出版社,2003.
【9】华东师范大学数学系.数学分析下册（第四版）[M].北京:高等教育出版社,2010.
【10】汪晓勤，韩祥临$中学数学中的数学史[M].北京:科技出版社,2002.
【11】孙珍，李寿贵，张爱丽．关于无穷级数求和的研究［J］．数学杂志，2009，29( 4) : 490－292．
【12】朱文辉，张亭． P 级数的求和［J］． 大学数学，2005，21( 3) : 114 －116．
开 题 报 告
2013届
浅谈无穷级数求和
学生姓名
学号
院系数学与统计学院
专业数学与应用数学
指导教师
填写日期2013年3月16日
开题报告的内容
一、选题的目的意义及相关研究动态和自己的见解：
无穷级数作为数学中的一种离散型和的表示，一直在数学的发展中起着不可取代的作用。某种个意义上说它确实是经典数学与近代数学中的一种重要技术工具——把数学中的一些连续和有效地表示成较为清晰的离散和；反过来有些时候用这种较为清晰的离散和又可描述一种变量之间的复杂关系，因而无穷级数在经典数学与近代数学中起着重要作用，以至于它伴随着整个数学的发展一直具有特殊的地位。
三、研究方法、手段及步骤：
（1）研究方法、手段：文献研究法。
（2）步骤：①翻阅华东师范版《数学分析》，粗略确定要研究的课题范围，上网 搜集一些相关选题作为参考，进一步明确选题；
②上校园网搜集文献资料，打印资料；
③阅览、归纳、整理资料，将前人的结论记录下来；
④分析前人的结论，选择某一方面或几个方面作进一步的推广、创新。
二、课题的主要内容：
本文首先简单介绍无穷级数的概念级无穷级数的敛散性判定，然后再重点介绍无穷级数求和的各种方法，如赋值法、复数法、积分法、裂项相消法、逐项微分、积分法、转化为代数方程在求解、利用子列的极限求和、三角级数求和法等九种基本求和方法，我将会对以上九种求和方法给予理论及实例说明。这些对无穷级数求和的常用方法及技巧可以帮助我们快速准确地选取最合适的判别法来判别数项级数的敛散性，从而进一步加深我们对数项级数敛散性的理解，把对数项级数敛散性的研究推向更高层次。最后对本论文进行归纳总结。
【13】华东师范大学数学系． 数学分析: 上册［M］． 2 版． 北京: 高等教育出版社，1991: 43．
【14】裴礼文． 数学分析中的典型问题与方法［M］． 北京: 高等教育出版社，1993: 19 －20，338 －340．
六、指导教师审核意见
指导教师（签名）：
2013年3月16日
任何一个级数要么收敛要么发散，收敛的级数都是应该有和或和函数的无穷级数求和方法很多，有很强的技巧性，我将通过例子介绍无穷级数求和的若干方法，如赋值法、复数法、积分法、裂项相消法、逐项微分、积分法、转化为代数方程在求解、利用子列的极限求和、三角级数求和法等等，其目的是让学习者更加熟练地掌握无穷级数求和方法及技巧，从而进一步促进其对该知识的学习和理解。
⑤确定选题题目。
四、完成期限和预期进度：
1、2013年3月15日前，和指导员联系，并完成论文选题。
2、2013年3月16日—3月25日，经过学生查阅相关文献和资提交开题报告。
3、2013年4月1日—5月1日，在老师的悉心指导下，完成论文、初稿、一稿、二稿和定稿。