安徽省示范高中培优联盟2020-2021学年冬季联赛高二数学文科试卷(图片版,无答案)
安徽省示范高中培优联盟2020-2021学年高二上学期冬季联赛数学试题 理(PDF)
（在此卷上答题无效）
绝密★启用前
安徽省示范高中培优联盟２０２０年冬季联赛（高二）
数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第１至第２页，第Ⅱ卷第３至 第４页。全卷满分１５０分，考试时间１２０分钟。 考生注意事项：
１．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡 上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
２．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
３ ４．．獉题清字答考笔獉卷晰第试描。、Ⅱ结獉草清作卷 束獉稿楚图，时獉纸务。题，獉上必必必可獉答须将须先獉题使试在用獉无用题题铅獉效卷０．号笔。和５所在答毫指答獉题米示题獉卡的的卡獉一黑答规并色定题上墨的区交水位域。签置作字绘答笔出，在超獉，确獉答出獉认獉题答獉后獉卡题獉再獉上区獉用书獉域０写书獉．５，写獉要毫的獉求米答獉字的案獉体黑无獉工色獉效整墨，、在獉水笔试迹签獉
（Ｄ）犳（狓）＝狓１２－狓２
（ ）
第（４）题图
第（７）题图
（５）四边形犃犅犆犇中，犃→犅＋２犆→犇＝０，设犅犆的中点为犕，犃→犅＝犪，犃→犇＝犫，则向量犇犕→＝ （ ）
（ ） （Ａ）３ ４犪－犫 （Ｂ）３ ４犪－１ ２犫 （Ｃ）犪－１ ２犫 （Ｄ）１ ２犪－犫
（ （６７） ）“ （（某φＣＡ几））＝充何充３π分体分＋必由不２要犽必若π条要干（犽件条大∈件小犣相）”同是的“正函方数体犳（组狓合）＝而ｓ成（ （ｉＢＤｎ，））其狓２必既三＋要不视φ不充图充分的均分也图为条不象如件必关图要于所条狓示件＝的３π图形对，称设”该的几何（ 体 的）
∑ ∑ ∑ 犻＝５１狓犻２－５狓－２＝１０，犻＝４１狓犻狔犻＝６６５３，犻＝４１狔犻＝３．３０．
安徽省示范高中培优联盟2020-2021学年高二上学期冬季联赛文科数学试题(无答案)
绝密★启用前安徽省示范高中培优联盟2020年冬季联赛（高二）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟． 考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、管题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂系．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题．．卡．上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题．．卡．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在．试．题卷．．、草稿．．纸上答题无效．．．．．．． 4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．图中阴影部分所对应的集合是（ ）A ．()UA B ⋃ B ．()()U U A B ⋃ C ．()UA B ⋃ D ．()U A B ⋂2．从50件产品中随机抽取10件进行抽样．利用随机数表抽取样本时，将50件产品按01，02，03……，50进行编号，如果从随机数表的第1行，第6列开始，从左往右依次选取两个数字，则选出来的第4个个体编号为（ ）70 29 17 12 15 40 33 20 38 26 13 89 51 03 74 17 76 37 13 04 07 74 21 19 30 56 62 18 37 35 A ．03 B ．32 C ．38 D ．10 3．命题“所有的二次函数图象都是轴对称图形”的否定是（ ）A ．所有的轴对称图形都不是二次函数图象B ．所有的二次函数图象都不是轴对称图形C ．有些轴对称图形不是二次函数图象D ．有些二次函数图象不是轴对称图形 4．“3πϕ=”是“函数sin 2xf x ϕ=+（）（）的图象关于3x π=对称”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知集合11,,125A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭与1,2,52B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，现分别从集合A ，B 中各任取一数a ，b ，则lg 1a gb +为整数的概率为（ ） A ．19 B ．29 C ．13 D ． 496．已知函数y f x =（）的图象如图所示，则f x （）的解析式可以为（ ）A ．tan f x x =-（）B ．31f x x x=-（） C ．1sin f x x =（） D ．221f x x x=-（）7．某几何体由若干大小相同的正方体组合而成，其三视图均为如图所示的图形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π8．已知函数()2sin xx xe f x x k e e -=+++的图象关于点01（，）对称，则实数k 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．29．直线10x my m R +-=∈（）与圆22420x y x y +-+=相交于A ，B 两点，则AB 弦长的最小值为（ ） A ．3 B ．2 C ．23 D ．4 10．某圆锥的侧面积是底面积的a 倍，则圆锥的高为其底面半径的（ ） A ．2a倍 B ．a 倍 C ．1a -倍 D ．21a -倍 11．卢卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名．卢卡斯数列就是以他的名字命名，卢卡斯数列为：1，3，4，7，11，18，29，47，76；123…，即1213L L ==，，且21n n n L L L n N *++=+∈（）．则卢卡斯数列{}n L 的第2020项除以4的余数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3（在此卷上答题无效）绝密★启用前安徽省示范高中培优联盟2020年冬季联赛（高二）数学（文科）第Ⅱ卷（非选择题共90分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．）13．若x ，y 满足约束条件2403010x y x x y y +≥-⎧-≤⎪⎨⎪+-≥⎩，则5z x y =+的最小值为_________．14．非零向量a b ，满足6a b =，且3b a b ⊥-（），则向量a b ，的夹角大小为_________．15．已知ABC 中，tan sin cos A B B ，，成公比为43的等比数列，则tan C 的值为_________． 16．已知四面体ABCD 的所有棱长均为6，过D 作平面α使得//BC α，且棱AB AC ，分别与平面α交于点E ，F ，若异面直线DE BC ，7，则AE 的长为_________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本题满分10分）某市为促进青少年运动，从2010年开始新建篮球场，某调查机构统计得到如下数据．（1）根据表中数据求得y 关于x 的线性回归方程为0.36y x a =+，求表中数据5y ．并求出线性回归方程； （2）预测该市2020年篮球场的个数（精确到个）．附：可能用到的数据与公式：55152211,10080i ii i i ii x y nx ya yb x b x xnx ===-=-⋅=⋅=-∑∑∑55422111510,6653, 3.30ii i i i i i xx x y y ===-===∑∑∑．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ．点(),n n S 在函数222x xy =+的图象上． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，求数列{}1nn n a b ⋅⋅（-）的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点P ，sin sin PA BAC PC ACB ⋅∠=⋅∠ （1）求证：sin sin ABD CBD ∠=∠；（2）若120BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒，33BC CD ==，求AB ．20．（本小题满分12分）如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥面ABC ，2AB BC ==，120ABC ∠=︒，M 为PC 的中点． （1）求证：MB AC ⊥；（2）若45PBA ∠=︒，求点P 到面MAB 的距离．21.（本小题满分12分）本季度，全球某手机公司生产某种手机，由以往经验表明，不考虑其他因素，该手机全球每日的销售量y （单位：万台）与销售单价x （单位：千元/台，48x <≤），当46x <≤时，满足关系式64ny m x x =-+-（）（m ，n 为常数），当68x <≤时，满足关系式20200y x =-+．已知当销售价格为5千元/台时，全球每日可售出该手机70万台，当销售价格定为6千元/台时，全球每日可售出该手机80万台． （1）求m ，n 的值，并求出该手机公司每日销售量的最小值；（2）若该手机的成本为4000元/台，试确定销售价格x 为何值时，该手机公司每日销售手机所获利润最大． 22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，P 为圆22:8120C x y x +-+=上的动点，线段OP 中点M 的轨迹记为曲线Γ （1）求曲线Γ的方程；（2）已知动点Q 在y 轴上，直线l 与曲线Γ交于A ，B 两点．求证：若直线QA QB ，均与曲线Γ相切，则直线l 恒过定点．。
2020-2021学年安徽省示范高中培优联盟高二冬季联赛数学(文)试题(含解析版答案)
2020-2021学年安徽省示范高中培优联盟高二冬季联赛数学（文）试题一、单选题1．已知全集U =R ，{}2A x x x =<，{}210B x x =-≤，则()UAB 等于（ ）．A ．112x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭B ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．102x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ D ．112xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】分别解出不等式,可得{}|01A x x =<<,1|2B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭,再根据集合的补集、交集定义求解即可 【详解】由题,可得{}|01A x x =<<,1|2B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭, 则U1|2B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭,所以()1|12UA B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭故选：D 【点睛】本题考查集合的交集、补集运算,考查解不等式2．如图，选自我国古代数学名著《周髀算经》．图中大正方形边长为5，四个全等的直角三角形围成一个小正方形（阴影部分），直角三角形较长的直角边长为4．若将一质点随机投入大正方形中，则质点落在阴影部分的概率是（ ）．A ．125B ．225C ．325D ．425【答案】A【解析】由勾股定理,可得阴影部分,即小正方形的边长为1,所求即为小正方形与大正方形的面积比【详解】由题,大正方形边长为5,直角三角形较长的直角边长为4,根据勾股定理可得直角三角形较短的直角边长为3,则阴影部分,即小正方形边长为431-=,根据面积型的几何概型公式计算可得,质点落在阴影部分的概率为1115525P ⨯==⨯ 故选：A 【点睛】本题考查面积型的几何概型的概率公式的应用,属于基础题 3．设sin 2cos αα=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan2α的值是( )A B ．C ．3D ．-【答案】A 【解析】2cos ,0,,2sin πααα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭2cos cos sin ααα∴=，1,26sin παα∴==，tan 2tan3πα== A.4．下列命题正确的是（ ）．A ．若p q ∧为假命题，则p ，q 都是假命题B ．a b >是ln ln a b >的充分不必要条件C ．命题“若cos cos αβ≠，则αβ≠” 的逆否命题为真命题D ．命题“0x R ∃∈，060x +<”的否定是“0x R ∀∉，060x +≥” 【答案】C【解析】由逻辑联结词的性质判断A 选项；由不等式的性质判断B 选项；由原命题判断逆否命题的真假来判断C 选项；由存在性命题的否定的定义来判断D 选项 【详解】对于选项A,若p q ∧为假,则p ,q 中有一个是假命题即可,故A 错误；对于选项B,当0a b >>时,无法推出ln ln a b >,故a b >不是ln ln a b >的充分条件,故B 错误；对于选项C,命题“若cos cos αβ≠,则αβ≠”的逆否命题为“若αβ=,则cos cos αβ=”,该命题正确,故C 正确；对于选项D,命题“0x R ∃∈,060x +<”的否定是“,60x R x ∀∈+≥”,故D 错误 故选：C 【点睛】本题考查命题真假的判定,考查对逻辑联结词,充分不必要条件,逆否命题,存在性命题的否定的理解5．已知函数()1108101x xf x ++=+，则()()()()3336log log 6log log 3f f +的值为（ ）． A ．7 B ．9C ．14D ．18【答案】D【解析】因为631log 3log 6=,原式可整理为()()()()3333log log 6log log 6f f +-,分析()f x 的性质可得()()18f x f x +-=,即可求解 【详解】 由题,631log 3log 6=,则 ()()()()()()33363333log log 6log log 3log log 6log log 61f f f f ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()3333log log 6log log 6f f =+-,因为()1108210101101x xx f x ++==-++,则()22101010101101xx xf x -⋅-=-=-++, 所以()()2210221010102020218101101101x x x x xf x f x ⎛⎫⋅+⋅⎛⎫+-=-+-=-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 则()()()()3333log log 6log log 618f f +-= 故选：D 【点睛】本题考查函数对称性的应用,考查对数的性质,考查观察分析的能力,处理该题时不应直接代入数据处理,而是观察所求之间的关系,利用函数性质求解,以此简化运算 6．为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像 （ ） A ．向左平移π6个长度单位 B ．向右平移π6个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位 D ．向右平移5π6个长度单位 【答案】C【解析】先化简变形把sin y x =变为πcos 2y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，然后由平移公式有πππcos cos cos ()222y x y x x ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-→=+-=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭平移个单位（）对应相等可得56πϕ=，显然是向左平移．7．如图，在四边形ABCD 中，对角线BD 垂直平分AC ，垂足为O ，若4AC =，则AB AC ⋅= （ ）．A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】C【解析】由图可得12AB AO OB AC OB =+=+,转化12AB AC AC OB AC ⎛⎫⋅=+⋅ ⎪⎝⎭,根据OB 与AC 的位置关系进而求解即可 【详解】因为对角线BD 垂直平分AC ,垂足为O ,所以12AO AC =,BO AC ⊥,即 0BO AC ⋅=,所以12AB AO OB AC OB =+=+, 则22211110482222AB AC AC OB AC AC OB AC AC ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=+=⨯= ⎪⎝⎭, 故选：C 【点睛】本题考查向量的数量积,考查平面向量基本定理的应用,考查垂直向量的应用8．函数f （x ）=ln|11xx+-|的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为()()11lnln 11x xf x f x x x-+-==-=-+-，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，可排除,A C ；由()2ln30f =>,可排除B ，故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.9．若实数x ，y 满足约束条件02322302x x y xy <≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，若()0z x ky k =+>的最大值为152，则z 的最小值为（ ）．A ．72B ．4C ．256D ．92【答案】C【解析】设0x ky +=,即1=-y x k ,且10k-<,画出可行域,平移直线,由图可得截距最大时的点坐标,进而求出2k =,代回直线方程,再平移直线找到截距最小时的点,从而求得z 的最小值 【详解】由题,设0x ky +=,即1=-y x k ,因为0k >,所以10k-<,可行域如图所示,平移直线1=-y x k ,在点3,32⎛⎫⎪⎝⎭处截距最大,则此时153322k =+,即2k =,则12y x =-；再平移直线12y x =-,在点34,23⎛⎫ ⎪⎝⎭处截距最小,此时min 34252236z =+⨯=故选：C 【点睛】本题考查线性规划的应用,考查数形结合思想 10．已知函数()2f x x mx =-+，且()()ff x 的最大值与()f x 的最大值相等，则实数m 的取值范围是（ ）． A ．(][),20,-∞-+∞B ．[]2,0-C ．(][),02,-∞+∞D ．[]0,2【答案】C【解析】先求出()f x 的对称轴和最大值,将问题转化为存在x ,使()2mf x ≥恒成立,再解不等式即可 【详解】由题,当2m x =时,()2max 4m f x =,因为()()ff x 的最大值与()f x 的最大值相等,所以存在x ,使()2m f x ≥恒成立,则()max 2m f x ≥,即242m m≥,解得0m ≤或2m ≥,故选：C 【点睛】本题考查二次函数的最值问题,考查利用二次函数的性质处理含参问题,考查转化思想 11．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出了体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异．”教材中的“探究与发现”利用祖暅原理将半球的体积转化为一个圆柱与一个圆锥的体积之差，从而得出球的体积计算公式．如图（1）是一种“四脚帐篷”的示意图，用任意平行于帐篷底面ABCD 的平面截帐篷，得截面四边形为正方形，该帐篷的三视图如图（2）所示，其中正视图的投影线方向垂直于平面AOC ，正视图和侧视图中的曲线均为半径为1的半圆．模仿上述球的体积计算方法，得该帐篷的体积为（ ）．图（1） 图（2）A ．23B ．43C ．π3D ．2π3【答案】B【解析】由题,“祖暅原理”为两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等,则可将该四角帐篷的体积等价于一个棱柱减去一个棱锥的体积,根据三视图的数据,求解即可 【详解】由“祖暅原理”可得这个四角帐篷的体积等价于一个四棱柱减去一个四棱锥的体积,底面积为正方形,对角线长为2,2；高为1,所以(2212421212333V =⨯-⨯⨯=-= 故选：B 【点睛】本题考查类比推理的应用,考查几何体的体积,考查分析推理能力12．若数列{}n a 满足：对任意的()3n Nn *∈≥，总存在,i j N *∈，使(),,n i j a a a i j i n j n =+≠<<，则称{}n a 是“F 数列”．现有以下数列{}n a ：①2n a n =；②2n a n =；③3n n a =；④1n n a -=⎝⎭；其中是F 数列的有（ ）．A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④【答案】D【解析】利用特殊值的方法可以否定②③,再根据通项公式的特点证明①④即可 【详解】①2n a n =,则12a =,()12122n a n n -=-=-,则11n n a a a -=+()3n ≥,故①是“F 数列”；②2n a n =,则2339a ==,若(),,n i j a a a i j i n j n =+≠<<,则,i j 只能是1,2,但2111a ==,2224a ==,此时312a a a ≠+,故②不是“F 数列”；③3n n a =,则33327a ==,若(),,n i j a a a i j i n j n =+≠<<,则,i j 只能是1,2,但13a =,2239a ==,此时312a a a ≠+,故③不是“F 数列”；④112n n a -⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,则11211122n n n a ----⎛⎛-== ⎝⎭⎝⎭,21321122n n n a ----⎛⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则23121121111122222n n n n n a a -------⎡⎤⎛⎛⎫⎛⎛⎫⎛-⎢⎥+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111111n n n na ------⎡⎤⎢⎥=⨯⨯+=⨯⨯==⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()3n ≥,故④是“F 数列”故选：D 【点睛】本题考查数列的通项公式的应用,考查对新定义的理解,考查分析阅读能力,考查推理论证能力二、填空题13．在边长为1的正六边形的六个顶点中任取两个点，则这两点之间距离大于1的概率为______． 【答案】35【解析】由边长为1的正六边形,根据三角形两边之和大于第三边可得对角线均大于1,进而得到所求 【详解】由题,根据三角形两边之和大于第三边可得正六边形的对角线均大于1,如图,六个顶点中任取两个点的情况数为15,对角线的条数为9,则顶点中两点之间距离大于1的概率为93155P ==, 故答案为：35【点睛】本题考查概率的求解,考查古典概型的应用,属于基础题14．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 2cos b A a B =，且cos 3cos c A a C =，则cos A =_____________． 【答案】22【解析】因为cos 2cos b A a B =，cos 3cos c A a C =，所以由正弦定理可得sin cos 2sin cos B A A B =，sin cos 3sin cos C A A C =， 整理得tan 2tan B A =，tan 3tan C A =，所以()2tan tan 5tan tan tan 1tan tan 16tan B C AA B C B C A +=-+=-=---，又tan 0A ≠，所以25116tan A =--，解得tan 1A =（负值舍去），所以4A π=，所以2cos 2A =． 15．已知曲线:21C x y =+与直线:l y kx m =+，对任意的m R ∈，直线l 与曲线C都有两个不同的交点，则实数k 的取值范围为______． 【答案】()2,2-【解析】先分类讨论画出曲线C 的图象,再根据对任意的m R ∈,直线l 与曲线C 都有两个不同的交点,变换直线找到符合条件的情况,即可得到斜率k 的范围 【详解】由题,因为曲线:21C x y =+,则 当0,0x y >>时,21y x =-； 当0,0x y ><时,21y x =-+； 当0,0x y <>时,21y x =--；当0,0x y <<时,21y x =+；画出图象,如下图所示,若对任意的m R ∈,直线l 与曲线C 都有两个不同的交点,则直线l 与曲线C 分别交于两支,故22k -<<, 故答案为：()2,2- 【点睛】本题考查已知交点个数求参问题,考查数相结合能力,考查分类讨论思想16．如图，设Ox 、Oy 是平面内相交成60︒角的两条数轴，1e 、2e 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量．若向量12OP xe ye =+，则把有序实数对,x y 叫做向量OP 在斜坐标系xOy 中的坐标，记作,OP x y =．在此斜坐标系xOy 中，已知2,3=a ，5,2=-b ， ,a b 夹角为θ，则θ=______．【答案】23π 【解析】由题意,1223a e e =+,1252b e e =-+,分别求出a b ⋅,a ,b ,进而利用数量积求出夹角即可 【详解】由题,1223a e e =+,1252b e e =-+, 所以()()21221211221195210116101162223a b e e e e e e e e ⋅=⋅-+=--⋅+=--⨯+=+-()212112222214129412931922e e e e e e a ==+⋅+=++⨯+=,则19a =,()22221211221522520425204192b e e e e e e =-+=-⋅+=-⨯+=,则19b =,所以1912cos 21919a b a bθ-⋅===-⨯⋅,则23θπ= 故答案为：23π 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用,考查利用数量积求向量的夹角,考查运算能力三、解答题17．某蛋糕店计划按天生产一种面包，每天生产量相同，生产成本每个6元，售价每个8元，未售出的面包降价处理，以每个5元的价格当天全部处理完．（1）若该蛋糕店一天生产30个这种面包，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：个，n N ∈）的函数解析式；（2）蛋糕店记录了30天这种面包的日需求量（单位：个），整理得下表：假设蛋糕店在这30天内每天生产30个这种面包，求这30天的日利润（单位：元）的平均数及方差．【答案】(1) 330,3060,30n n y n -<⎧=⎨≥⎩,n N ∈.(2)平均数为59,方差为3.8.【解析】（1）当需求量小于30时,利润为卖出的利润减去亏损的部分；当需求量大于等于30时,利润即为30个面包的利润；（2）将需求量代入解析式求出利润,再利用平均数公式及方差公式运算即可 【详解】（1）由题,当30x <时,()()()866530330y n n n =----=-； 当30x ≥时,()308660y =⨯-=,所以330,3060,30n n y n -<⎧=⎨≥⎩,n N ∈ （2）由题,则所以平均数为()15435746066745930⨯+⨯+⨯+++⨯=⎡⎤⎣⎦； 方差为()()()()2221545935759460596674 3.830⎡⎤-⨯+-⨯+-⨯+++⨯=⎣⎦ 【点睛】本题考查分段函数在实际中的应用,考查平均数与方差,考查运算能力与数据处理能力,考查分类讨论思想18．设数列{}n a 满足123232n a a a na n ++++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．【答案】（1）2n a n=（2）()121nn S n =-⋅+ 【解析】（1）先求出1a ,再由2n ≥,可得()()123123121n a a a n a n -++++-=-,与题干中条件作差,整理后即可得到通项公式；（2）由（1）可设122nn n nb n a -==⋅,利用错位相减法求前n 项和即可 【详解】解：（1）当1n =时,1212a =⨯=； 当2n ≥时,()()123123121n a a a n a n -++++-=-②,因为123232n a a a na n ++++=①,则①-②得,2n na =,即2n a n=, 检验,1221a ==,符合,故2n a n =（2）由（1）,设12222n nn n nb n a n-===⋅, 则121n n n S b b b b -=++++()0121=1222122n n n n --⨯+⨯++-⋅+⋅,所以()12121222122n n n S n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅,所以012122222n n n S n --=+++-⋅()0212212n n n ⨯-=-⋅-212n n n =--⋅()121n n =-⋅-,则()121nn S n =-⋅+【点睛】本题考查求数列通项公式,考查错位相减法求数列的和,考查运算能力19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别是面11ADD A ，面11CDD C ，面1111D C B A 的中心，11AD AA ==，2CD =．（1）求证：平面//MNP 平面1ACB ； （2）求三棱锥1D MNP -的体积；（3）在棱11C D 上是否存在点Q ，使得平面MNP ⊥平面1QBB ？如果存在，请求出1D Q 的长度；如果不存在，求说明理由． 【答案】（1）证明见解析（2）224（3）存在,1322D Q = 【解析】（1）延长,,DM DN DP 分别至1,,A C B ,由中心可得到中点,利用中位线证明相交直线平行即可证得面面平行；（2）先求出三棱锥11D AB C -的体积,再由三棱锥各边的比求出1D MNP -的体积即可；（3）将平面MNP ⊥平面1QBB 转化为平面1ACB ⊥平面1QBB ,由长方体可得1BB AC ⊥,因为11//AC A C ,作出111B Q AC ⊥即可,进而求得1D Q【详解】（1）证明：延长,,DM DN DP 分别至1,,A C B ,M ,N ,P 分别是面11ADD A ,面11CDD C ,面1111D C B A 的中心,∴M ,N ,P 是1D A ,1D C ,11D B 的中点,//MN AC ∴,1//MP AB ,又MN MP M ⋂=,1AC AB A ⋂=,,MN MP ⊂平面MNP ,1,AC AB ⊂平面1ACB , ∴平面//MNP 平面1ACB（2）由题,11111111111111111114D AB C ABCD A B C D A D B A D D AC C B D C B ABC ABCD A B C D B ABCV V V V V V V V --------=----=-1121124112323⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭, 由（1）可得,三棱锥1D MNP -的各棱长为三棱锥11D AB C -的12, 111112288324D MNP D AB C V V --∴==⨯=（3）存在,1322D Q =1BB 是长方体的侧棱,1BB ∴⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,1BB AC ∴⊥,连接11A C ,作111QB AC ⊥,垂足为O ,因为长方体,∴11//AC A C ,112A B =111B C =,1B Q AC ∴⊥,11B Q BB B ⋂=,11,B Q BB ⊂平面1QBB ,AC ∴⊥平面1QBB , AC ⊂平面1ACB ,∴平面1ACB ⊥平面1QBB ,由（1）,平面//MNP 平面1ACB ,∴平面MNP ⊥平面1QBB ,此时,1111111112C A B A B O QB C A B O π∠+∠==∠+∠,11111C A B QB C ∴∠=∠, 11111tan tan QB C C A B ∴∠=∠,即1111111QC B C B C A B =,则111Q C =12QC ∴=, 111122D Q D C QC ∴=-==, 【点睛】本题考查面面平行的证明,考查面面垂直的证明,考查三棱锥的体积,考查运算能力与几何体的分析能力20．已知函数()()2log 23f x ax a =++．（1）若()f x 在()1,2上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若存在[]2,1t ∈--使得()12f t f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求a 的取值范围． 【答案】（1）304a -≤<（2）1616,,1515⎛⎤⎡⎤-∞-⋃-- ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】（1）根据复合函数单调性的处理原则“同增异减”可知2log y x =单调递增,函数()f x 单调递减,则求23y ax a =++单调递减,进而求解即可； （2）当0a =时为常数函数,符合条件；当0a ≠时可得()12f t f ⎛⎫=-⎪⎝⎭,代入可得()1232312at a a a ⎛⎫++++=⎪⎝⎭,整理为关于t 的方程,即()()22561027160aa t a a ++++=,设()()()2256102716g t a a t a a =++++,由()()120g g -⋅-≤求解即可【详解】（1）由题,设2log y u =,()23u x ax a =++，2log y u =单调递增,且()f x 在()1,2上单调递减,()u x ∴在()1,2上单调递减,()020a u <⎧∴⎨≥⎩,即02230a a a <⎧⎨++≥⎩,解得304a -≤<（2）当0a =时,()2log 3f x =,是个常数函数,存在[]2,1t ∈--使得()12f t f ⎛⎫=⎪⎝⎭； 当0a ≠时,()f x 单调,若存在[]2,1t ∈--使得()12f t f ⎛⎫=⎪⎝⎭,则有()12f t f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,即()221log 23log 232at a a a ⎛⎫++=-++⎪⎝⎭, 则()1232312at a a a ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭, ()()252329160t a t a ∴++++=,()()22561027160a a t a a ∴++++=在[]2,1t ∈--有解,设()()()2256102716g t a a t a a =++++,则()()()()()222156102716521165161g a a a a a a a a -=-++++=++=++,()()()2222561027161516g a a a a a -=-++++=+,()()120g g ∴-⋅-≤,即()()()516115160a a a +++≤,1616,,1515a ⎛⎤⎡⎤∴∈-∞-⋃-- ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【点睛】本题考查复合函数已知单调性求参数问题,考查对数函数性质的应用,考查转化思想,考查运算能力21．有一块半径为10cm ，圆心角为2π3的扇形钢板，需要将它截成一块矩形钢板，分别按图1和图2两种方案截取（其中方案二中的矩形关于扇形的对称轴对称）．图1：方案一 图2：方案二（1）求按照方案一截得的矩形钢板面积的最大值；（2）若方案二中截得的矩形ABCD 为正方形，求此正方形的面积；（3）若要使截得的钢板面积尽可能大，应选择方案一还是方案二？请说明理由，并求矩形钢板面积的最大值． 【答案】（1）25（2）1200300313-（3）方案二,最大值为10033,理由见解析【解析】（1）连接AC ,设CAB α∠=,则10cos AB α=,10sin BC α=,则矩形面积为关于α的函数,求出最值即可；（2）连接OC ,设COB θ∠=,利用正弦定理和三角形的对称性质可得3BC =20sin 3AB πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,利用AB BC =解得2sin θ,进而求出正方形面积即可；（3）由（2）得到sin 2633S πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,求出最大值,与（1）的最值比较即可【详解】解：（1）连接AC ,设CAB α∠=,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则10cos AB α=,10sin BC α=,10cos 10sin 25sin 2S AB BC ααα∴=⋅=⋅=,()20,απ∈,∴当22πα=,即4πα=时,max 25S = （2）连接OC ,设COB θ∠=03πθ⎛⎫<<⎪⎝⎭,正方形关于扇形轴对称,∴3OBA π∠=2sin 20sin 33AB CD OC ππθθ⎛⎫⎛⎫∴==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则23OBC π∠=, 在OBC 中,由正弦定理可得sin sin OC BC OBC COB=∠∠,即102sin sin 3BCπθ=, 则3BC =正方形,AB BC ∴=,即20sin 33πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭则33cos 1sin 22θθ⎛=+ ⎝⎭, 代入22sin cos 1θθ+=可得2sin 1643θ=+,则2240040012003003sin 33131643S BC θ-==⨯==+ （3）选择方案二, 由（2）,对于方案二1120sin sin 22326463333S AB BC πππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦52,666πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,∴当262ππθ+=,即6πθ=时,max S ==由（125>, 应选择方案二 【点睛】本题考查三角函数与正弦定理在几何中的应用,考查利用三角函数求最值,考查运算能力,考查数形结合能力22．已知圆M 的圆心在射线()600x y x +-=≥上，截直线1:6l x =所得的弦长为6，且与直线2:60l x y -+=相切． （1）求圆M 的方程；（2）已知点()1,1N ，在直线MN 上是否存在点Q （异于点N ），使得对圆M 上的任一点P ，都有PQ PN为定值λ？若存在，请求出点Q 的坐标及λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()()223318x y -+-=（2）存在,Q 为33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭,32λ=【解析】（1）由题,设圆心为()00,6x x -+,由相切关系求得半径,再由弦长公式求出0x ,进而得到圆的方程；（2）假设存在满足条件的点和定值,设Q 为(),a a ()1a ≠,P 为(),x y ,利用两点间距离公式得到222PQ PN λ=,再根据P 在圆M 上,待定系数法求得系数的关系,进而求解即可 【详解】 （1）圆M 的圆心在射线()600x y x +-=≥上,∴设圆心为()00,6x x -+,圆心到直线1:6l x =的距离为06d x =-,又圆M 与直线2:60l x y -+=相切,2100r ∴====,圆M 截直线1:6l x =所得的弦长为6,6∴=则229rd =-,即)()22069x --=,20012450x x ∴+-=,解得03x =或015x =-（舍）r ∴=圆心为()3,3, ∴圆M 为()()223318x y -+-=（2）存在,Q 为33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭,32λ=,假设存在直线MN 上点Q （异于点N ）,使得对圆M 上的任一点P ,都有PQ PN为定值λ,由题,设Q 为(),a a ()1a ≠,(0PQ PNλλ=>且1)λ≠,222PQ PNλ∴=,设P 为(),x y ,则()()222PQ x a y a =-+-,()()22211PNx y =-+-,则()()()()2222211x a y a x y λ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦,整理可得()()()()()22222222112222220x y a x a y aλλλλλ-+-----+-=,P 在圆M 上,()()223318x y ∴-+-=,即22660x y x y +--=,()()()()2222221161610x y x y λλλλ∴-+-----=,()22226122220a a λλλ⎧-=-⎪∴⎨-=⎪⎩,解得3232a λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,此时Q 为33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查两点间距离公式的应用,考查运算能力,考查数形结合能力。
安徽省示范高中培优联盟2019_2020学年高二数学冬季联赛试题文含解析
安徽省示范高中培优联盟2019-2020学年高二数学冬季联赛试题 文（含解析）一、选择题（本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.已知全集U =R ，{}2A x x x =<，{}210B x x =-≤，则()UAB 等于（ ）．A. 112x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭B. 112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C. 102x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ D. 112xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】 【分析】分别解出不等式,可得{}|01A x x =<<,1|2B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭,再根据集合的补集、交集定义求解即可【详解】由题,可得{}|01A x x =<<,1|2B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭, 则U1|2B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭,所以()1|12UA B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭故选：D【点睛】本题考查集合的交集、补集运算,考查解不等式2.如图，选自我国古代数学名著《周髀算经》．图中大正方形边长为5，四个全等的直角三角形围成一个小正方形（阴影部分），直角三角形较长的直角边长为4．若将一质点随机投入大正方形中，则质点落在阴影部分的概率是（ ）．A.125B.225C.325D.425【答案】A【解析】 【分析】由勾股定理,可得阴影部分,即小正方形的边长为1,所求即为小正方形与大正方形的面积比 【详解】由题,大正方形边长为5,直角三角形较长的直角边长为4,根据勾股定理可得直角三角形较短的直角边长为3,则阴影部分,即小正方形边长为431-=,根据面积型的几何概型公式计算可得,质点落在阴影部分的概率为1115525P ⨯==⨯ 故选：A【点睛】本题考查面积型的几何概型的概率公式的应用,属于基础题 3.设sin2cos αα=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan2α的值是( )B. D. -【答案】A 【解析】2cos ,0,,2sin πααα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭2cos cos sin ααα∴=，1,26sin παα∴==，tan 2tan3πα== A.4.下列命题正确的是（ ）．A. 若p q ∧为假命题，则p ，q 都是假命题B. a b >是ln ln a b >的充分不必要条件C. 命题“若cos cos αβ≠，则αβ≠” 的逆否命题为真命题D. 命题“0x R ∃∈，060x +<”的否定是“0x R ∀∉，060x +≥” 【答案】C 【解析】 【分析】由逻辑联结词的性质判断A 选项；由不等式的性质判断B 选项；由原命题判断逆否命题的真假来判断C 选项；由存在性命题的否定的定义来判断D 选项【详解】对于选项A,若p q ∧为假,则p ,q 中有一个是假命题即可,故A 错误；对于选项B,当0a b >>时,无法推出ln ln a b >,故a b >不是ln ln a b >的充分条件,故B 错误；对于选项C,命题“若cos cos αβ≠,则αβ≠”的逆否命题为“若αβ=,则cos cos αβ=”,该命题正确,故C 正确；对于选项D,命题“0x R ∃∈,060x +<”的否定是“,60x R x ∀∈+≥”,故D 错误 故选：C【点睛】本题考查命题真假的判定,考查对逻辑联结词,充分不必要条件,逆否命题,存在性命题的否定的理解5.已知函数()1108101x xf x ++=+，则()()()()3336log log 6log log 3f f +的值为（ ）． A. 7 B. 9C. 14D. 18【答案】D 【解析】 【分析】 因为631log 3log 6=,原式可整理为()()()()3333log log 6log log 6f f +-,分析()f x 的性质可得()()18f x f x +-=,即可求解 【详解】由题,631log 3log 6=,则 ()()()()()()33363333log log 6log log 3log log 6log log 61f f f f ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()3333log log 6log log 6f f =+-,因为()1108210101101x xx f x ++==-++,则()22101010101101xx xf x -⋅-=-=-++, 所以()()2210221010102020218101101101x x x x xf x f x ⎛⎫⋅+⋅⎛⎫+-=-+-=-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 则()()()()3333log log 6log log 618f f +-= 故选：D【点睛】本题考查函数对称性的应用,考查对数的性质,考查观察分析的能力,处理该题时不应直接代入数据处理,而是观察所求之间的关系,利用函数性质求解,以此简化运算 6.为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像 （ ） A. 向左平移π6个长度单位 B. 向右平移π6个长度单位 C. 向左平移5π6个长度单位D. 向右平移5π6个长度单位【答案】C 【解析】先化简变形把sin y x =变为πcos 2y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，然后由平移公式有πππcos cos cos ()222y x y x x ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-→=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭平移个单位（）对应相等可得56πϕ=，显然是向左平移．7.如图，在四边形ABCD 中，对角线BD 垂直平分AC ，垂足为O ，若4AC =，则AB AC ⋅= （ ）．A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】C 【解析】 【分析】由图可得12AB AO OB AC OB =+=+,转化12AB AC AC OB AC ⎛⎫⋅=+⋅ ⎪⎝⎭,根据OB 与AC 的位置关系进而求解即可【详解】因为对角线BD 垂直平分AC ,垂足为O ,所以12AO AC =,BO AC ⊥,即 0BO AC ⋅=,所以12AB AO OB AC OB =+=+, 则22211110482222AB AC AC OB AC AC OB AC AC ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=+=⨯= ⎪⎝⎭, 故选：C【点睛】本题考查向量的数量积,考查平面向量基本定理的应用,考查垂直向量的应用 8.函数f （x ）=ln|11xx+-|的大致图象是（ ） A. B.C. D.【答案】D 【解析】 因为()()11lnln 11x xf x f x x x-+-==-=-+-，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，可排除,A C ；由()2ln30f =>,可排除B ，故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.9.若实数x，y满足约束条件02322302xx yxy<≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，若()0z x ky k=+>的最大值为152，则z的最小值为（）．A.72B. 4C.256D.92【答案】C【解析】【分析】设0x ky+=,即1=-y xk,且1k-<,画出可行域,平移直线,由图可得截距最大时的点坐标,进而求出2k=,代回直线方程,再平移直线找到截距最小时的点,从而求得z的最小值【详解】由题,设0x ky+=,即1=-y xk,因为0k>,所以1k-<,可行域如图所示,平移直线1=-y xk,在点3,32⎛⎫⎪⎝⎭处截距最大,则此时153322k=+,即2k=,则12y x=-；再平移直线12y x=-,在点34,23⎛⎫⎪⎝⎭处截距最小,此时min34252236z=+⨯=故选：C【点睛】本题考查线性规划的应用,考查数形结合思想10.已知函数()2f x x mx=-+，且()()f f x的最大值与()f x的最大值相等，则实数m的取值范围是（ ）． A. (][),20,-∞-+∞B. []2,0-C. (][),02,-∞+∞D. []0,2【答案】C 【解析】 【分析】先求出()f x 的对称轴和最大值,将问题转化为存在x ,使()2mf x ≥恒成立,再解不等式即可 【详解】由题,当2m x =时,()2max 4m f x =,因为()()ff x 的最大值与()f x 的最大值相等,所以存在x ,使()2m f x ≥恒成立,则()max 2m f x ≥,即242m m≥,解得0m ≤或2m ≥,故选：C【点睛】本题考查二次函数的最值问题,考查利用二次函数的性质处理含参问题,考查转化思想11.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出了体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异．”教材中的“探究与发现”利用祖暅原理将半球的体积转化为一个圆柱与一个圆锥的体积之差，从而得出球的体积计算公式．如图（1）是一种“四脚帐篷”的示意图，用任意平行于帐篷底面ABCD 的平面截帐篷，得截面四边形为正方形，该帐篷的三视图如图（2）所示，其中正视图的投影线方向垂直于平面AOC ，正视图和侧视图中的曲线均为半径为1的半圆．模仿上述球的体积计算方法，得该帐篷的体积为（ ）．图（1） 图（2）A. 23B.43C.π3D.2π3【答案】B【解析】【分析】由题,“祖暅原理”为两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等,则可将该四角帐篷的体积等价于一个棱柱减去一个棱锥的体积,根据三视图的数据,求解即可【详解】由“祖暅原理”可得这个四角帐篷的体积等价于一个四棱柱减去一个四棱锥的体积,底面积为正方形,对角线长为2,即边长为；高为1,所以22124112333V=⨯-⨯⨯=-=故选：B【点睛】本题考查类比推理的应用,考查几何体的体积,考查分析推理能力12.若数列{}n a满足：对任意的()3n N n*∈≥，总存在,i j N*∈，使(),,n i ja a a i j i n j n=+≠<<，则称{}n a是“F数列”．现有以下数列{}n a：①2na n=；②2na n=；③3nna=；④112nna-⎛=⎝⎭；其中是F数列的有（）．A. ①③B. ②④C. ②③D. ①④【答案】D【解析】【分析】利用特殊值的方法可以否定②③,再根据通项公式的特点证明①④即可【详解】①2na n=,则12a=,()12122na n n-=-=-,则11n na a a-=+()3n≥,故①是“F 数列”；②2na n=,则2339a==,若(),,n i ja a a i j i n j n=+≠<<,则,i j只能是1,2,但2111a==,2224a==,此时312a a a≠+,故②不是“F数列”；③3nna=,则33327a==,若(),,n i ja a a i j i n j n=+≠<<,则,i j只能是1,2,但13a =,2239a ==,此时312a a a ≠+,故③不是“F 数列”；④1152n n a -⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭,则1121151522n n n a ----⎛⎫⎛⎫--== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,2132151522n n n a ----⎛⎫⎛⎫--== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2312112151515151522222n n n n n a a -------⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎢⎥+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111111151515151515151n n n na ------⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-------⎢⎥=⨯⨯+=⨯⨯== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()3n ≥,故④是“F 数列”故选：D【点睛】本题考查数列的通项公式的应用,考查对新定义的理解,考查分析阅读能力,考查推理论证能力二、填空题（本大题共4小题，把答案填在答题卡的相应位置．）13.在边长为1的正六边形的六个顶点中任取两个点，则这两点之间距离大于1的概率为______． 【答案】35【解析】 【分析】由边长为1的正六边形,根据三角形两边之和大于第三边可得对角线均大于1,进而得到所求 【详解】由题,根据三角形两边之和大于第三边可得正六边形的对角线均大于1,如图,六个顶点中任取两个点的情况数为15,对角线的条数为9,则顶点中两点之间距离大于1的概率为93155P ==,故答案为：35【点睛】本题考查概率的求解,考查古典概型的应用,属于基础题14.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 2cos b A a B =，且cos 3cos c A a C =，则cos A =_____________．【解析】因为cos 2cos b A a B =，cos 3cos c A a C =，所以由正弦定理可得sin cos 2sin cos B A A B =，sin cos 3sin cos C A A C =， 整理得tan 2tan B A =，tan 3tan C A =，所以()2tan tan 5tan tan tan 1tan tan 16tan B C AA B C B C A +=-+=-=---， 又tan 0A ≠，所以25116tan A =--，解得tan 1A =（负值舍去），所以4A π=，所以cos 2A =． 15.已知曲线:21C x y =+与直线:l y kx m =+，对任意的m R ∈，直线l 与曲线C 都有两个不同的交点，则实数k 的取值范围为______． 【答案】()2,2- 【解析】 【分析】先分类讨论画出曲线C 的图象,再根据对任意的m R ∈,直线l 与曲线C 都有两个不同的交点,变换直线找到符合条件的情况,即可得到斜率k 的范围 【详解】由题,因为曲线:21C x y =+,则 当0,0x y >>时,21y x =-； 当0,0x y ><时,21y x =-+； 当0,0x y <>时,21y x =--；当0,0x y <<时,21y x =+；画出图象,如下图所示,若对任意的m R ∈,直线l 与曲线C 都有两个不同的交点,则直线l 与曲线C 分别交于两支,故22k -<<,故答案为：()2,2-【点睛】本题考查已知交点个数求参问题,考查数相结合能力,考查分类讨论思想16.如图，设Ox 、Oy 是平面内相交成60︒角的两条数轴，1e 、2e 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量．若向量12OP xe ye =+，则把有序实数对,x y 叫做向量OP 在斜坐标系xOy 中的坐标，记作,OP x y =．在此斜坐标系xOy 中，已知2,3=a ，5,2=-b ， ,a b夹角为θ，则θ=______．【答案】23π 【解析】 【分析】由题意,1223a e e =+,1252b e e =-+,分别求出a b ⋅,a ,b ,进而利用数量积求出夹角即可【详解】由题,1223a e e =+,1252b e e =-+,所以()()21221211221195210116101162223a b e e e e e e e e ⋅=⋅-+=--⋅+=--⨯+=+- ()212112222214129412931922e e e e e e a ==+⋅+=++⨯+=,则19a =,()22221211221522520425204192b e e e e e e =-+=-⋅+=-⨯+=,则19b =,所以1912cos 219a b a bθ-⋅===-⨯⋅,则23θπ= 故答案为：23π 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用,考查利用数量积求向量的夹角,考查运算能力 三、解答题（本大题共6小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程演算步骤．） 17.某蛋糕店计划按天生产一种面包，每天生产量相同，生产成本每个6元，售价每个8元，未售出的面包降价处理，以每个5元的价格当天全部处理完．（1）若该蛋糕店一天生产30个这种面包，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：个，n N ∈）的函数解析式；（2）蛋糕店记录了30天这种面包的日需求量（单位：个），整理得下表：假设蛋糕店在这30天内每天生产30个这种面包，求这30天的日利润（单位：元）的平均数及方差．【答案】(1) 330,3060,30n n y n -<⎧=⎨≥⎩,n N ∈.(2)平均数为59,方差为3.8. 【解析】 【分析】（1）当需求量小于30时,利润为卖出的利润减去亏损的部分；当需求量大于等于30时,利润即为30个面包的利润；（2）将需求量代入解析式求出利润,再利用平均数公式及方差公式运算即可 【详解】（1）由题,当30x <时,()()()866530330y n n n =----=-； 当30x ≥时,()308660y =⨯-=,所以330,3060,30n n y n -<⎧=⎨≥⎩,n N ∈ （2）由题,则所以平均数为()15435746066745930⨯+⨯+⨯+++⨯=⎡⎤⎣⎦； 方差为()()()()2221545935759460596674 3.830⎡⎤-⨯+-⨯+-⨯+++⨯=⎣⎦ 【点睛】本题考查分段函数在实际中的应用,考查平均数与方差,考查运算能力与数据处理能力,考查分类讨论思想18.设数列{}n a 满足123232n a a a na n ++++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．【答案】（1）2n a n=（2）()121nn S n =-⋅+ 【解析】 【分析】（1）先求出1a ,再由2n ≥,可得()()123123121n a a a n a n -++++-=-,与题干中条件作差,整理后即可得到通项公式；（2）由（1）可设122nn n nb n a -==⋅,利用错位相减法求前n 项和即可 【详解】解：（1）当1n =时,1212a =⨯=；当2n ≥时,()()123123121n a a a n a n -++++-=-②,因为123232n a a a na n ++++=①,则①-②得,2n na =,即2n a n=, 检验,1221a ==,符合,故2n a n =（2）由（1）,设12222n nn n nb n a n-===⋅, 则121n n n S b b b b -=++++()0121=1222122n n n n --⨯+⨯++-⋅+⋅,所以()12121222122n n n S n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅,所以012122222n n n S n --=+++-⋅()0212212n n n ⨯-=-⋅-212n n n =--⋅()121n n =-⋅-,则()121nn S n =-⋅+【点睛】本题考查求数列通项公式,考查错位相减法求数列的和,考查运算能力19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别是面11ADD A ，面11CDD C ，面1111D C B A 的中心，11AD AA ==，2CD =．（1）求证：平面//MNP 平面1ACB ；（2）求三棱锥1D MNP -的体积；（3）在棱11C D 上是否存在点Q ，使得平面MNP ⊥平面1QBB ？如果存在，请求出1D Q 的长度；如果不存在，求说明理由． 【答案】（1）证明见解析（2）224（3）存在,1322D Q = 【解析】 【分析】（1）延长,,DM DN DP 分别至1,,A C B ,由中心可得到中点,利用中位线证明相交直线平行即可证得面面平行；（2）先求出三棱锥11D AB C-的体积,再由三棱锥各边的比求出1D MNP -的体积即可；（3）将平面MNP ⊥平面1QBB 转化为平面1ACB ⊥平面1QBB ,由长方体可得1BB AC ⊥,因为11//AC A C ,作出111B Q AC ⊥即可,进而求得1D Q【详解】（1）证明：延长,,DM DN DP 分别至1,,A C B ,M ,N ,P 分别是面11ADD A ,面11CDD C ,面1111D C B A 的中心,∴M ,N ,P 是1D A ,1D C ,11D B 的中点,//MN AC ∴,1//MP AB ,又MN MP M ⋂=,1AC AB A ⋂=,,MN MP ⊂平面MNP ,1,AC AB ⊂平面1ACB , ∴平面//MNP 平面1ACB（2）由题,11111111111111111114D AB C ABCD A B C D A D B A D D AC C B D C B ABC ABCD A B C D B ABC V V V V V V V V --------=----=-1121124112323⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭, 由（1）可得,三棱锥1D MNP -的各棱长为三棱锥11D AB C -的12, 111112288324D MNP D AB C V V --∴==⨯=（3）存在,132D Q =1BB 是长方体的侧棱, 1BB ∴⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,1BB AC ∴⊥,连接11A C ,作111QB AC ⊥,垂足为O ,因为长方体,∴11//AC A C ,112A B 111B C =,1B Q AC ∴⊥,11B Q BB B ⋂=,11,B Q BB ⊂平面1QBB ,AC ∴⊥平面1QBB , AC ⊂平面1ACB ,∴平面1ACB ⊥平面1QBB ,由（1）,平面//MNP 平面1ACB ,∴平面MNP ⊥平面1QBB ,此时,1111111112C A B A B O QB C A B O π∠+∠==∠+∠,11111C A B QB C ∴∠=∠, 11111tan tan QB C C A B ∴∠=∠,即1111111QC B C B C A B =,则111Q C =12QC ∴=, 111122D Q D C QC ∴=-==, 【点睛】本题考查面面平行的证明,考查面面垂直的证明,考查三棱锥的体积,考查运算能力与几何体的分析能力20.已知函数()()2log 23f x ax a =++．（1）若()f x 在()1,2上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若存在[]2,1t ∈--使得()12f t f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求a 的取值范围． 【答案】（1）304a -≤<（2）1616,,1515⎛⎤⎡⎤-∞-⋃-- ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】 【分析】（1）根据复合函数单调性的处理原则“同增异减”可知2log y x =单调递增,函数()f x 单调递减,则求23y ax a =++单调递减,进而求解即可；（2）当0a =时为常数函数,符合条件；当0a ≠时可得()12f t f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,代入可得()1232312at a a a ⎛⎫++++=⎪⎝⎭,整理为关于t 的方程,即()()22561027160aa t a a ++++=,设()()()2256102716g t a a t a a =++++,由()()120g g -⋅-≤求解即可【详解】（1）由题,设2log y u =,()23u x ax a =++，2log y u =单调递增,且()f x 在()1,2上单调递减,()u x ∴在()1,2上单调递减,()020a u <⎧∴⎨≥⎩,即02230a a a <⎧⎨++≥⎩,解得304a -≤<（2）当0a =时,()2log 3f x =,是个常数函数,存在[]2,1t ∈--使得()12f t f ⎛⎫=⎪⎝⎭； 当0a ≠时,()f x 单调,若存在[]2,1t ∈--使得()12f t f ⎛⎫=⎪⎝⎭,则有()12f t f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 即()221log 23log 232at a a a ⎛⎫++=-++⎪⎝⎭, 则()1232312at a a a ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭, ()()252329160t a t a ∴++++=,()()22561027160a a t a a ∴++++=在[]2,1t ∈--有解,设()()()2256102716g t a a t a a =++++,则()()()()()222156102716521165161g a a a a a a a a -=-++++=++=++,()()()2222561027161516g a a a a a -=-++++=+,()()120g g ∴-⋅-≤,即()()()516115160a a a +++≤,1616,,1515a ⎛⎤⎡⎤∴∈-∞-⋃-- ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【点睛】本题考查复合函数已知单调性求参数问题,考查对数函数性质的应用,考查转化思想,考查运算能力21.有一块半径为10cm ，圆心角为2π3的扇形钢板，需要将它截成一块矩形钢板，分别按图1和图2两种方案截取（其中方案二中的矩形关于扇形的对称轴对称）．图1：方案一 图2：方案二（1）求按照方案一截得的矩形钢板面积的最大值；（2）若方案二中截得的矩形ABCD 为正方形，求此正方形的面积；（3）若要使截得的钢板面积尽可能大，应选择方案一还是方案二？请说明理由，并求矩形钢板面积的最大值． 【答案】（1）25（2）12003003-（3）方案二,最大值为1003,理由见解析【解析】 【分析】（1）连接AC ,设CAB α∠=,则10cos AB α=,10sin BC α=,则矩形面积为关于α的函数,求出最值即可；（2）连接OC ,设COB θ∠=,利用正弦定理和三角形的对称性质可得3BC =20sin 3AB πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,利用AB BC =解得2sin θ,进而求出正方形面积即可； （3）由（2）得到sin 2633S πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,求出最大值,与（1）的最值比较即可【详解】解：（1）连接AC ,设CAB α∠=,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则10cos AB α=,10sin BC α=,10cos 10sin 25sin 2S AB BC ααα∴=⋅=⋅=,()20,απ∈,∴当22πα=,即4πα=时,max 25S = （2）连接OC ,设COB θ∠=03πθ⎛⎫<<⎪⎝⎭,正方形关于扇形轴对称,∴3OBA π∠=2sin 20sin 33AB CD OC ππθθ⎛⎫⎛⎫∴==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则23OBC π∠=, 在OBC 中,由正弦定理可得sin sin OC BC OBC COB=∠∠,即102sin sin 3BCπθ=, 则3BC =, 正方形,AB BC ∴=,即20sin 33πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭则33cos 1sin 2θθ⎛= ⎝⎭, 代入22sin cos 1θθ+=可得2sin 1643θ=+,则2240040012003003sin 331643S BC θ-==⨯==+ （3）选择方案二, 由（2）,对于方案二1120sin sin 22326463333S AB BC πππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦52,666πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,∴当262ππθ+=,即6πθ=时,max 3S ==由（1）253>, 应选择方案二【点睛】本题考查三角函数与正弦定理在几何中的应用,考查利用三角函数求最值,考查运算能力,考查数形结合能力22.已知圆M 的圆心在射线()600x y x +-=≥上，截直线1:6l x =所得的弦长为6，且与直线2:60l x y -+=相切．（1）求圆M 的方程；（2）已知点()1,1N ，在直线MN 上是否存在点Q （异于点N ），使得对圆M 上的任一点P ，都有PQ PN 为定值λ？若存在，请求出点Q 的坐标及λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()()223318x y -+-=（2）存在,Q 为33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭,32λ= 【解析】【分析】 （1）由题,设圆心为()00,6x x -+,由相切关系求得半径,再由弦长公式求出0x ,进而得到圆的方程；（2）假设存在满足条件点和定值,设Q 为(),a a ()1a ≠,P 为(),x y ,利用两点间距离公式得到222PQ PN λ=,再根据P 在圆M 上,待定系数法求得系数的关系,进而求解即可【详解】（1）圆M 的圆心在射线()600x y x +-=≥上,∴设圆心为()00,6x x -+,圆心到直线1:6l x =的距离为06d x =-,又圆M 与直线2:60l x y -+=相切00r ∴====, 圆M 截直线1:6l x =所得的弦长为6,6∴=则229r d =-,即)()220069x --=, 20012450x x ∴+-=,解得03x =或015x =-（舍）r ∴=圆心为()3,3,∴圆M 为()()223318x y -+-=（2）存在,Q 为33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭,32λ=, 假设存在直线MN 上点Q （异于点N ）,使得对圆M 上的任一点P ,都有PQ PN 为定值λ, 由题,设Q 为(),a a ()1a ≠,(0PQ PN λλ=>且1)λ≠,222PQ PN λ∴=, 设P 为(),x y ,则()()222PQ x a y a =-+-,()()22211PNx y =-+-, 则()()()()2222211x a y a x y λ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦, 整理可得()()()()()22222222112222220x y a x a y a λλλλλ-+-----+-=, P 在圆M 上,()()223318x y ∴-+-=,即22660x y x y +--=,()()()()2222221161610x y x y λλλλ∴-+-----=, ()22226122220a a λλλ⎧-=-⎪∴⎨-=⎪⎩,解得3232a λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,此时Q 为33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查两点间距离公式的应用,考查运算能力,考查数形结合能力。
安徽省高中教科研联盟2020-2021学年高二下学期期末联考文科数学试卷及答案
（1）由题意得： ，即 ，
，
当 时， ；当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
， ，
又 ， ， ；
综上所述： ， ；
（2）由题意得： ，即 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
在 上单调递增，又 ， ，
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 是棱 靠近点 的三等分点，求直线 与平面 所成角的正弦值．
21．如图，椭圆 ： 的离心率 为 ，左顶点为 ，直线 过其右焦点 且与椭圆交于 两点，已知三角形 面积的最大值为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）直线 、 分别与一条定直线 交于 ， 两点，若点 始终在以 为直径的圆内，求 的取值范围
（1） ,
，
又 ， ；
（2）在等式 两边同时除以 可得 ，即 ，
所以，数列 是以 为首项，公差为 的等差数列，故 ，
所以， ，故 ，
，
则 ，
上式 下式得
，
因此， .
20．（1）证明见解析；（2） ．
解题思路
(1)先求OC长，证得 ，进而证得 平面 即可得解；
(2)由等体积法求出点A到平面PBC的距离，再用比例法求出点S到平面PBC距离即可作答.
在 上单调递减，在 上单调递增， ，
在 上单调递增，
由此可得 图象如下图所示：
结合图象分析可知：当 ，即在 轴截距大于等于 时，对任意实数 ，直线 与 有且仅有一个公共点，
实数 的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】
方法点睛：已知两函数交点的个数求参数值(取值范围)常用的方法：
安徽省示范高中培优联盟2020-2021学年高二上学期秋季联赛文科数学试题(wd无答案)
安徽省示范高中培优联盟2020-2021学年高二上学期秋季联赛文科数学试题一、未知(★★★) 1. 已知全集为，集合，，则（）A．B．C．D．(★★★) 2. 已知角的顶点在坐标原点，始边与 x轴的非负半轴重合，为其终边上一点，则（）A．B．C．D．(★★★) 3. 设，，，，则（）A．B．C．D．(★★★) 4. 在所在平面中，点 O满足，则（）A．B．C．D．(★★★) 5. 已知函数，当时，恒成立，则实数 a的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 6. 有四个命题：（1）对于任意的、，都有；（2）存在这样的、，使得；（3）不存在无穷多个、，使得；（4）不存在这样的、，使得．其中假命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4(★★★) 7. 在中，内角 A， B， C对应的边分别为 a， b， c，且，，则 c的最大值为（）A．2B．1C．D．3(★★★) 8. 已知点关于直线：的对称点为 A，设直线经过点 A，则当点到直线的距离最大时，直线的方程为（）A．B．C．D．(★★★) 9. 如图所示的程序框图模型，则输出的结果是（）A．11B．10C．9D．8(★★★) 10. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是（）A．B．C．D．1(★★★) 11. 实数且，，则连接，两点的直线与圆 C：的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．不能确定(★★★) 12. 2021年开始，部分省市将试行“ ”的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目．为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（）A．甲的物理成绩领先年级平均分最多B．甲的成绩从高到低的前3个科目依次是化学、物理、生物C．甲有3个科目的成绩高于年级平均分D．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果(★★★) 13. 已知的面积为 m，内切圆半径也为 m，若的三边长分别为 a， b，c，则的最小值为（）A．2B．3C．4D．(★★★) 14. 如图，在棱锥中，底面是正方形，，平面．在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（）A．B．C．2D．(★★★) 15. 2020年6月9日，安徽省教育厅宣布，为应对7月高考、中考期间高温天气，给学生创造舒适考场环境，全部地市将在中考、高考考场安装空调．某商场销售某种品牌的空调器，每周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时调剂的每台空调器仅获利润200元．该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量 n（单位：台），整理得表：周需求量n1819202122频数12331以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，X表示当周的利润（单位：元）．则当周的平均利润为（）A．10000元B．9400元C．8800元D．9860元(★★★) 16. 方程解为______．(★★★) 17. 已知平面向量，，则在方向上的投影为______．(★★★) 18. 若对于，不等式有解，则正实数 m的取值范围为______．(★★★) 19. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面组成的多面体．如将正四面体所有棱各三等分，沿三等分点从原几何体割去四个小正四面体如图所示，余下的多面体就成为一个半正多面体，若这个半正多面体的棱长为1，则这个半正多面体的体积为______．(★★★) 20. 明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”.上图是来氏太极图，其大圆半径为4，大圆内部的同心小圆半径为1，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在黑色区域的概率为______.(★★★) 21. 在平行四边形中，，，过 A点作的垂线交的延长线于点 E，．连结交于点 F，如图1，将沿折起，使得点 E到达点 P的位置．如图2．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若 G为的中点， H为的中点，且平面平面，求三棱锥的体积．(★★★) 22. 已知集合，函数的定义域为 B．（Ⅰ）求，；（Ⅱ）已知集合，若，求实数 m的取值范围．(★★★)23. 已知函数，，直线（）与函数，的图象分别交于 M、 N两点．（Ⅰ）当时，求的值；（Ⅱ）求在时的值域．(★★★) 24. 已知公比的等比数列的前 n项和为，且，，．设（）．（Ⅰ）求，；（Ⅱ）设，若对都成立，求正整数的最小值．(★★★) 25. 已知函数，其中，若，，且的最小值为．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）在中，内角 A、 B、 C所对的边分别为 a、 b、 c，已知，，，求的取值范围(★★★) 26. 《宋史·外国传六·天竺国》：“福慧圆满，寿命延长．”杨朔《滇池边上的报春花》：“只有今天，古人追求不到的圆满东西，我们可以追求到了．”若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“圆满函数”．（Ⅰ）判断函数是否为“圆满函数”，并说明理由；（Ⅱ）若函数在定义域（）上是“圆满函数”，求的取值范围．二、解答题(★★) 27. 2020年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标；2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年.（总书记二〇二〇年新年贺词）截至2018年底，中国农村贫困人口从2012年的9899万人减少至1660万人，贫困发生率由2012年的10.2%下降至2018年的1.7%；连续7年每年减贫规模都在1000万人以上；确保到2020年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤.某贫困地区截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康.现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2018年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图.（1）补全频率分布直方图，并求出这50户家庭人均年纯收入的中位数和平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）（精确到元）；（2）2019年7月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入如下表：月份/2019123456（时间代码）人均月纯收275365415450470485入（元）由散点图及相关性分析发现：家庭人均月纯收入与时间代码之间具有较强的线性相关关系，请求出回归直线方程；由于2020年1月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭2020年第一季度（1，2，3月份）每月的人均月纯收人均为预估值的，从4月份开始，每月的人均月纯收人均为预估值的，由此估计该家庭2020年能否达到小康标准，并说明理由；①可能用到的数据：；②参考公式：线性回归方程中，，.。
2020-2021学年安徽省高考数学二模试卷(文科)及答案解析
安徽省高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M={x||x﹣1|＜2，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M∩N=（）A．{0，1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2，3} D．{0，1，2，3}2．已知sin（π﹣α）=﹣2sin（+α），则tanα的值为（）A．B．2 C．﹣D．﹣23．“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知数列{a n}满足：a n+1+2a n=0，且a2=2，则{a n}前10项和等于（）A．B．﹣C．210﹣1 D．1﹣2105．以双曲线﹣y2=1的左右焦点为焦点，离心率为的椭圆的标准方程为（）A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=16．函数y=xsinx+cosx的图象大致为（）A．B．C．D．7．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴正好落入孔中的概率是（）A．B．C．D．8．若执行如图所示的程序框图，输入x1=1，x2=2，x3=3，=2，则输出的数S等于（）A．B．1 C．D．9．若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值是（）A．3 B．1 C．﹣3 D．不存在10．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C、D不重合），若的取值范围是（）A．B．C．D．11．一个三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的体积为（）A．1000πB．125πC．D．12．已知y=f（x）为定义在R上的单调递增函数，y=f′（x）是其导函数，若对任意x∈R的总有＜x，则下列大小关系一定正确的是（）A．＞B．＜C．＞D．＜二、填空题（每题5分，满分20分）13．已知复数z=，则|z|= ．14．求函数f（x）=的单调减区间．15．过点（2，0）引直线l与圆x2+y2=2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB面积取最大值时，直线l的斜率为．16．设数列{a n}的前项和为S n，若为常数，则称数列{a n}为“精致数列”．已知等差数列{b n}的首项为1，公差不为0，若数列{b n}为“精致数列”，则数列{b n}的通项公式为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，边a、b、c分别是内角A、B、C所对的边，且满足2sinB=sinA+sinC，设B的最大值为B0．（1）求B0的值；（2）当B=B0，a=3，b=6时，又=，求CD的长．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分别为A1B1、AA1的中点，点F在棱AB 上，且．（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC1；（Ⅱ）在棱AC上是否存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．19．为了传承经典，促进课外阅读，某市从高中年级和初中年级各随机抽取40名同学进行有关对“四大名著”常识了解的竞赛．如图1和图2分别是高中和初中年级参加竞赛的学生成绩按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到频率分布直方图．（1）若初中年级成绩在[70，80）之间的学生中恰有4名女同学，现从成绩在该组的初中年级的学生任选2名同学，求其中至少有1名男同学的概率；（2）完成下列2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个学段的学生对‘四大名著’的了解有差异”？成绩小于60分人数成绩不小于60分人数合计高一年级高二年级合计附：K2=临界值表：P（K2≥k0）0.10 0.05 0.010 k0 2.706 3.841 6.63520．已知椭圆C：=1，（a＞b＞0）的两个焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0）．其短轴长是2，原点O到过点A（a，0）和B（0，﹣b）两点的直线的距离为．（I）求椭圆C的方程；（II）若点PQ是定直线x=4上的两个动点，且•=0，证明以PQ为直径的圆过定点，并求定点的坐标．21．已知函数g（x）=（2﹣a）lnx，h（x）=lnx+ax2（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x）（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当﹣3＜a＜﹣2时，若对任意λ1，λ2∈[1，3]，使得|f（λ1）﹣f（λ2）|＜（m+ln3）a﹣2ln3恒成立，求m的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．选做题：平面几何已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D点作⊙O的切线交AC于E．求证：（1）DE⊥AC；（2）BD2=CE•CA．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|．（I）当a=1时，求不等式f（x）≥的解集；（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，求实数b的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
2020-2021学年安徽省示范高中培优联盟高二下学期春季联赛数学(文)试题 PDF版
（１５）已知ｓｉｎ３π－α＝槡３３，则ｃｏｓ３π＋２α的值为 ．
（１６）三反角棱形柱（所Ａ组ｎｔｉ成ｐｒ的ｉｓｍ一）个是多由面两体个．如互图相所平示行的且是边一数个相“同正的三多角边反形棱作柱为”，底上面下和底侧面面都的是
体边积长为为１ 的 正 三 角 形．，侧面的三角形都是腰长为槡３的等腰三角形，则其外接球的第（１６）题图
13. 【答案】 2 ． 【解析】 a kb 0 ，知 a 与 b 共线. b 2 ，所以 2 b a ，所以 k 2
14. 【答案】 2 ． 【解析】易知 FP b ，于是 b c a c ，即 a b ，故离心率 e 2 ．
15. 【答案】 1 ． 3
【解析】 cos( π 2 ) 2cos2 ( π ) 1 2sin2 ( π ) 1 1 ．
2a3 ) a4
3 2
2 .
7. 【答案】A．
【解析】不必要的反例为在区间[0, ] 上， f (x) sin x ， g(x) sin x 0.5 .
8. 【答案】A．
【解析】易知 f (x) 为奇函数，且 x (0, π ) 时函数值恒正． 2
9. 【答案】D．
【解析】 y sin(2x ) 的图象向右平移 个单位后得到 y sin(2x 2 ) ，而
命题：马鞍山二中 卢建军 审题：广德中学 王世龙 制卷：等高教育（ｗｗｗ．ｈｆｄｇｊｙ．ｃｏｍ） 第３页（共４页）
不少正有常９９）％的把握认为“ＢＭＩ指标正常与性别有关”．（凡指标不在１６≤ＢＭＩ＜２３．９的均为
附：犓２＝（犪＋犫）（犮狀＋（犪犱犱）－（犪犫犮＋）犮２）（犫＋犱）
犘（犓２≥犽） ０．０５０ ０．０１０ ０．００１
犪２犫２犪狓４２０＋犫狔４２０３ ２．若椭圆犆上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的８倍，则椭圆犆的