1.1.3集合中元素的个数(阅读与思考)
人教A版高中数学必修1《1.1 集合 阅读与思考 集合中元素的个数》_8
阅读材料集合中元素的个数教材分析本节课是高中数学子教材“阅读与思考”的内容，主要是渗透了一些常见的数学概念与数学思想。
让学生利用韦恩图解决生活实际问题，并且在这一过程中，感悟集合的思想和方法，而不是追求计算的方法与结果。
作为第二课堂活动，本节课能很好地调动学生的学习兴趣，开发学生的创造潜能，有助于学生探究能力和创新能力的提高。
学情分析学生通过前面内容的学习，已经掌握集合的基本概念及基本运算，对于集合的应用，有求知欲，运用知识解决问题的意识较高。
学生具备一定的探究能力，能接受新的学习方式、方法。
教学设计思考1. 重视“情景—问题”教学设计，激发学生探究热情、落实学生主体地位。
2. 突出知识本质和建构过程，培育学生数学核心素养。
教学目标1. 知识目标：学会借助韦恩图、利用集合的思想方法，解决简单的实际问题，并在此过程中，发散思维，培养全面思考问题的能力。
提高阅读理解能力。
2. 素养目标：通过本课的学习，在“思考、体验、表达”的教学理念下，旨在培育学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养。
教学重难点1. 重点：体会集合的有关思想方法并能用之来解决实际问题。
3. 难点：公式的猜想、推广及问题解决。
教学过程：一、知识回顾，引入新知1. 集合的元素个数与分类2. 用card(A)来表示有限集A 中的元素个数.如:A={a,b,c} 则card(A)=3集合 有限集无限集二、创设情境，引起认知冲突问题1. 学校小卖部进了两次货,第一次进的货是圆珠笔,钢笔,橡皮,笔记本,方便面,汽水共6种,第二次进的货是圆珠笔,铅笔,火腿肠,方便面共4种,两次一共进了几种货物?仔细阅读以上材料，你从中了解到哪些数学信息？尝试用新知card(A)准确表述相关信息【设计意图】让学生感受生活处处有数学，直观感受集合思想，提高阅读理解能力。
【教学活动】教师引导，学生畅所欲言师：第一次进货多少种？（6种）第二次进货多少种？（4种）两次进货一共多少种？（8种）师：请问为什么“6+4=8”？是我们算错还是另有原因？（多算2种）师：很明显，因为多算了圆珠笔和方便面两种，所以应该是：6+4-2=8师：如何用新知card(A)准确表述上述信息？（讨论、尝试）师生达成共识：card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)三、合作交流，渗透集合思想问题2. 请设计一个既清晰又简洁的图来解决问题1中的问题【设计意图】体现以学生为主体的教学思想，学生通过画图的方式直观表达自己的思考，感悟学习方法的多样性。
人教A版高中数学必修1《1.1 集合 阅读与思考 集合中元素的个数》_30
教学设计1.1.1集合的含义与表示教学分析集合语言是现代数学的基本语言，同时也是一种抽象的数学语言．教材将集合的初步知识作为初、高中数学课程的衔接，既体现出集合在高中数学课程中举足轻重的作用，又体现出集合在数学中的奠基性地位．课本除了从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发，结合实例给出元素、集合的含义、性质、表示方法之外，还特别注意渗透了“概括”与“类比”这两种常用的逻辑思考方法．因此，建议教学时，应引导学生从大量的实例中概括出集合的含义；多创设让学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，以便学生在实际应用中逐渐熟悉自然语言、集合语言和图形语言各自的特点和表示方法，能进行相互转换并且灵活应用，充分掌握集合语言．与此同时，本小节作为高一数学教学的第一节新授课，知识体系中的新概念、新符号较多，建议教学时先引导学生阅读课本，然后进行交流、讨论，让学生在阅读与交流中理解概念并熟悉新符号的使用．这样，既能够培养学生自我阅读、共同探究的能力，又能提高学生主动学习、合作交流的精神．三维目标1．了解集合的含义；理解元素与集合的“属于”关系；熟记常用数集专用符号．2．深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题．3．能选择不同的形式表示具体问题中的集合．重点难点教学重点：集合的基本概念与表示方法．教学难点：选择适当的方法表示具体问题中的集合．课时安排1课时教学过程导入新课思路1．集合对我们来说可谓是“最熟悉的陌生人”．说它熟悉，是因为我们在现实生活中常常用到“集合”这个名词；比如说，军训的时候，教官是不是经常喊：“高一(4)班的同学，集合啦！”那么说它陌生，是因为我们还未从数学的角度理解集合，从数学的层面挖掘集合的内涵．那么，在数学的领域中，集合究竟是什么呢？集合又有着怎样的含义呢？就让我们通过今天这堂课的学习，一起揭开“集合”神秘的面纱．思路2．你经常会谈论你的家庭，你的班级．其实在讲到你的家庭、班级的时候，你必定在联想构成家庭、班级的成员，例如：家庭成员就是被你称为父亲、母亲、哥哥、姐姐、妹妹、弟弟……的人；班级成员就是与你在同一个教室里一起上课、一起学习的人；一些具有特定属性的人构成的群体，在数学上就是一个集合．那么，在数学中，一些对象的总体怎样才可以构成集合、集合中的元素有哪些特性？集合又有哪些表示方法呢？这就是本节课我们所要学习的内容．思路3．“同学们，在小学和初中的学习过程中，我们已经接触过一些集合的例子，比如说：有理数集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合(圆)，那么大家是否能够举出更多关于集合的例子呢？”(通过两个简单的例子，引导大家进行类比，运用发散性思维思考说出更多的关于集合的实例，然后教师予以点评．)“那么，集合的含义究竟是什么？它又该如何表示呢？这就是我们今天要研究的课题．”推进新课新知探究提出问题①中国有许多传统的佳节，那么这些传统的节日是否能构成一个集合？如果能，这个集合由什么组成？②全体自然数能否构成一个集合？如果能，这个集合由什么组成？③方程x2－3x＋2＝0的所有实数根能否构成一个集合？如果能，这个集合由什么组成？④你能否根据上述几个问题总结出集合的含义？讨论结果：①能．这个集合由春节、元宵节、端午节等有限个种类的节日组成，称为有限集．②能．这个集合由0,1,2,3，……等无限个元素组成，称为无限集．③能．这个集合由1,2两个数组成．④我们把研究对象统称为“元素”，把一些元素组成的总体叫做“集合”．提出问题通过以上的学习我们已经知道集合是由一些元素组成的总体，那么是否所有的元素都能构成集合呢？请看下面几个问题.①近视超过300度的同学能否构成一个集合？②“眼神很差”的同学能否构成一个集合？③比较问题①②，说明集合中的元素具有什么性质？④我们知道冬虫夏草既是一种植物，又是一种动物.那么在所有动植物构成的集合中，冬虫夏草出现的次数是一次呢还是两次？⑤组成英文单词every的字母构成的集合含有几个元素？分别是什么？⑥问题④⑤说明集合中的元素具有什么性质？⑦在玩斗地主的时候，我们都知道3，4，5，6，7是一个顺子，那比如说老师出牌的时候把这五张牌的顺序摆成了5，3，6，7，4，那么这还是一个顺子么？类比集合中的元素，一个集合中的元素是3，4，5，6，7，另外一个集合中的元素是5，3，6，7，4，这两个集合中的元素相同么？集合相同吗？这体现了集合中的元素的什么性质？讨论结果：①能．②不能．③确定性．问题②对“眼神很差”的同学没有一个确定的标准，到底怎样才算眼神差，是近视300度？400度？还是说“眼神很差”只是寓意？我们不得而知．因此通过问题①②我们了解到，对于给定的集合，它的元素必须是确定的，即任何一个元素要么在这个集合中，要么不在这个集合中，这就是集合中元素的确定性．④一次．⑤4个元素．e，v，r，y这四个字母．⑥互异性．一个集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素不能重复出现．⑦是．元素相同．集合相同．体现集合中元素的无序性，即集合中的元素的排列是没有顺序的．只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．提出问题①如果用A表示所有的自然数构成的集合，B表示所有的有理数构成的集合，a＝1.58，那么元素a和集合A，B分别有着怎样的关系？②大家能否从问题①中总结出元素与集合的关系？③A表示“1～20内的所有质数”组成的集合，那么3__________A，4__________A.讨论结果：①a是集合B中的元素，a不是集合A中的元素．②a是集合B中的元素，就说a属于集合B，记作a∈B；a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.因此元素与集合的关系有两种，即属于和不属于．③3∈A,4∉A.提出问题①从这堂课的开始到现在，你们注意到我用了几种方法表示集合吗？②字母表示法中有哪些专用符号？③除了自然语言法和字母表示法之外，课本还为我们提供了几种集合的表示方法？分别是什么？④列举法的含义是什么？你能否运用列举法表示一些集合？请举例！⑤能用列举法把下列集合表示出来吗？小于10的质数；不等式x－2＞5的解集.⑥描述法的含义是什么？你能否运用描述法表示一些集合？请举例！⑦集合的表示方法共有几种？讨论结果：①两种，自然语言法和字母表示法．②非负整数集(或自然数集)，记作N；除0的非负整数集，也称正整数集，记作N*或N＋；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R.③两种，列举法与描述法．④把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．例如“地球上的四大洋”组成的集合可以用列举法表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}，方程x2－3x＋2＝0的所有实数根组成的集合可以用列举法表示为{1,2}．⑤“小于10的质数”可以用列举法表示出来；“不等式x－2＞5的解集”不能够用列举法表示出来，因为这个集合是一个无限集．因此，当集合是无限集或者其元素数量较多而不便于无一遗漏地列举出来的时候，如果我们再用列举法来表示集合就显得不够简洁明了．⑥用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．例如，不等式x－2＞5的解集可以表示为{x∈R|x＞7}；所有的正方形的集合可以表示为{x|x是正方形}，也可写成{正方形}．⑦自然语言法、字母表示法、列举法、描述法．应用示例例1 下列所给对象不能构成集合的是__________．(1)高一数学课本中所有的难题；(2)某一班级16岁以下的学生；(3)某中学的大个子；(4)某学校身高超过1.80米的学生．活动探究：教师首先引导学生通过读题、审题，了解本题考查的基本知识点——集合中元素的确定性；然后指导学生对4个选项进行逐一判断；判断所给元素是否能构成集合，关键是看是否满足集合元素的确定性．解析：(1)不能构成集合．“难题”的概念是模糊的，不确定的，无明确的标准，对于一道数学题是否是“难题”无法客观地判断．实际上一道数学题是“难者不会，会者不难”，因而“高一数学课本中所有的难题”不能构成集合．(2)能构成集合，其中的元素是某班级16岁以下的学生．(3)因为未规定大个子的标准，所以(3)不能组成集合．(4)由于(4)中的对象具备确定性，因此，能构成集合．答案：(1)(3)变式训练1．下列几组对象可以构成集合的是()A．充分接近π的实数的全体B．善良的人C．某校高一所有聪明的同学D．某单位所有身高在1.7 m以上的人答案：D2．已知集合S的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是() A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形答案：D3．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是() A．1B．－2C．6D．2答案：C点评：本题主要考查集合元素的性质．当所描述的对象明确的时候就能构成集合，若元素不明确就不能构成集合，称为元素的确定性；同时，一个集合中的元素是互不相同的，称为元素的互异性；此外还要注意元素的无序性.例2 用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；(3)由1～20以内的所有质数组成的集合．活动探究：讲解例2的过程中，可以设计如下问题引导学生：针对例2(1)：①自然数中是否含有0？②小于10的自然数有哪些？③如何用列举法表示小于10的所有自然数组成的集合？针对例2(2)：①解一元二次方程的方法有哪些？分别是什么？②方程x2＝x的解是什么？③如何用列举法表示方程x2＝x的所有实数根组成的集合？针对例2(3)：①如何判断一个数是否为质数(即质数的定义是什么)？②1～20以内的质数有哪些？③如何用列举法表示由1～20以内的所有质数组成的集合？在用列举法表示集合的过程中，应让学生先明确集合中的元素，再把元素写入“{}”内，并用逗号隔开．解：(1)小于10的自然数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}；(2)方程x2＝x的两个实根为x1＝0，x2＝1，设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}；(3)1～20以内的质数有2,3,5,7,11,13,17,19，设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C ＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．点评：本题主要考查了集合表示法中的列举法，通过本题的教学可以体会利用集合表示教学内容的严谨性和简洁性. 变式训练1．用列举法表示下列集合：(1)一年之中的四个季节组成的集合；(2)满足不等式1＜1＋2x ＜19的素数组成的集合．答案：(1){春季，夏季，秋季，冬季}；(2){2,3,5,7}．2．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪ 86－x ∈N ，试用列举法表示集合A . 解：由题意可知6－x 是8的正约数，当6－x ＝1时，x ＝5；当6－x ＝2时，x ＝4；当6－x ＝4时，x ＝2；当6－x ＝8时，x ＝－2；而x ≥0，∴x ＝2,4,5，即A ＝{2,4,5}． 点评：变式训练1主要对列举法进行了考查；变式训练2考查了两个方面的知识点，一是元素与集合的关系，二是列举法的应用，体现了对知识综合应用的能力.例3 试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程x 2－2＝0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．活动探究：讲解例3的过程中，可以设计如下问题引导学生：针对例3(1)——列举法①方程x 2－2＝0的解是什么？②如何用列举法表示方程x 2－2＝0的所有实数根组成的集合？针对例3(1)——描述法①描述法的定义是什么？②所求集合中元素有几个共同特征？分别是什么？③如何用描述法表示所求集合？针对例3(2)——列举法①大于10小于20的所有整数有哪些？②由大于10小于20的所有整数组成的集合用列举法如何表示？针对例3(2)——描述法①所求集合中元素有几个共同特征？分别是什么？②如何用描述法表示所求集合？解：(1)设方程x 2－2＝0的实数根为x ，并且满足x 2－2＝0，因此，用描述法表示为A ＝{x ∈R |x 2－2＝0}；方程x 2－2＝0的两个实根为x 1＝－2，x 2＝2，因此，用列举法表示为A＝{－2，2}．(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z且10＜x＜20，因此，用描述法表示为B＝{x∈Z|10＜x＜20}；大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19，因此，用列举法表示为{11,12,13,14,15,16,17,18,19}．点评：例2和例3是通过“问题引导”的方式，使学生逐步逼近答案的过程．在此过程中，既帮助学生理清了解答问题的基本思路，又使得列举法和描述法在实例中得到进一步的巩固.变式训练用适当的方法表示下列集合：(1)Welcome中的所有字母组成的集合；(2)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；(3)由所有非负偶数组成的集合；(4)直角坐标系内第三象限的点组成的集合；(5)不等式2x－3＞2的解集．解：(1)列举法：{W，e，l，c，o，m}；(2)列举法：{3,5,7,11,13,17,19}；(3)描述法：{x|x＝2n，n∈N}；(4)描述法：{(x，y)|x＜0，且y＜0}；(5)描述法：{x|x＞2.5}.知能训练课后练习1,2.【补充练习】1．考查下列对象能否构成集合：(1)著名的数学家；(2)某校2013年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点；(6)3的近似值的全体．答案：(1)(2)(5)(6)不能组成集合，(3)(4)能组成集合．2．用适当的符号填空：(1)0__________N，5__________N，16__________N；(2)－12__________Q，π__________Q，e__________∁R Q(e是个无理数)；(3)2－3＋2＋3＝__________{x |x ＝a ＋6b ，a ∈Q ，b ∈Q }．答案：(1)∈ ∉ ∈ (2)∈ ∉ ∈ (3)∈3．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，求实数m 的值． 解：∵2∈A ，∴m ＝2或m 2－3m ＋2＝2.若m ＝2，则m 2－3m ＋2＝0，不符合集合中元素的互异性，舍去．若m 2－3m ＋2＝2，求得m ＝0或3.m ＝0不合题意，舍去．∴m 只能取3.4．用适当方法表示下列集合：(1)函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象上所有点的集合；(2)一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点组成的集合；(3)不等式x －3＞2的解集；(4)自然数中不大于10的质数集．答案：(1)描述法：{(x ，y )|y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，a ≠0}．(2)描述法：⎩⎨⎧ (x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ＝x ＋3y ＝－2x ＋6＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝4. 列举法：{(1,4)}．(3)描述法：{x |x ＞5}(4)列举法：{2,3,5,7}．拓展提升问题1：设集合P ＝{x －y ，x ＋y ，xy }，Q ＝{x 2＋y 2，x 2－y 2,0}，若P ＝Q ，求x ，y 的值及集合P ，Q .活动探究：首先，应让学生思考两个数集相等的条件——集合中的元素分别对应相等；然后，再引导学生讨论：本题中集合P ，Q 对应相等时，其元素可能出现的几种情况，并根据讨论的结果进行计算；最后，应当指导学生自主探究，应用集合中元素的性质检验所求结果是否符合要求．解：∵P ＝Q 且0∈Q ，∴0∈P .若x ＋y ＝0或x －y ＝0，则x 2－y 2＝0，从而Q ＝{x 2＋y 2,0,0}，与集合中元素的互异性矛盾，∴x ＋y ≠0且x －y ≠0；若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0.当y ＝0时，P ＝{x ，x,0}，与集合中元素的互异性矛盾，∴y ≠0；当x ＝0时，P ＝{－y ，y,0}，Q ＝{y 2，－y 2,0}，由P ＝Q 得⎩⎪⎨⎪⎧ －y ＝y 2，y ＝－y 2，y ≠0， ① 或⎩⎪⎨⎪⎧ －y ＝－y 2，y ＝y 2，y ≠0.②由①得y ＝－1，由②得y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1， 此时P ＝Q ＝{1，－1,0}．点评：本题综合性地考查了两数集相等的条件、集合中元素的性质以及学生的运算能力和分类讨论能力．问题2：已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}，若A 中的元素至多只有一个，求a 的取值范围．活动探究：讨论关于x 的方程ax 2－3x ＋2＝0实数根的情况，从中确定a 的取值范围，依题意，方程有一个实数根或两个相等的实数根或无实数根．解：(1)a ＝0时，原方程为－3x ＋2＝0，x ＝23，符合题意． (2)a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0为一元二次方程．由Δ＝9－8a ≤0，得a ≥98. ∴当a ≥98时，方程ax 2－3x ＋2＝0无实数根或有两个相等的实数根． 综合(1)(2)，知a ＝0或a ≥98. 点评：“a ＝0”这种情况最容易被忽视，只有在“a ≠0”的条件下，方程ax 2－3x ＋2＝0才是一元二次方程，才能用判别式Δ解决问题．问题3：设S ＝{x |x ＝m ＋2n ，m ，n ∈Z }．(1)若a ∈Z ，则a 是否是集合S 中的元素？(2)对S 中的任意两个x 1，x 2，则x 1＋x 2，x 1·x 2是否属于S?活动探究：针对问题(1)——首先引导学生仔细观察集合S 中元素的共同特征与构成方式；然后，再引导学生思考题中所给的元素a 能否表示成m ＋2n 的形式；如果能，m 和n 分别是多少，如果不能，请说明理由；最后小结，判断一个元素是否属于集合时，转化为判断这个元素是否满足集合元素的特征即可．针对问题(2)——首先引导学生将x 1，x 2分别表示出来，再引导大家根据正确的表示结果，推断x 1＋x 2，x 1·x 2是否是集合S 中的元素．解：(1)a 是集合S 中的元素，a ＝a ＋2×0∈S .(2)不妨设x 1＝m ＋2n ，x 2＝p ＋2q ，m ，n ，p ，q ∈Z .则x1＋x2＝(m＋2n)＋(p＋2q)＝(m＋p)＋2(n＋q)，m，n，p，q∈Z.∴x1＋x2∈S；x1·x2＝(m＋2n)·(p＋2q)＝(mp＋2nq)＋2(mq＋np)，m，n，p，q∈Z.∴x1·x2∈S.综上，x1＋x2，x1·x2都属于S.点评：本题考查集合的描述法以及元素与集合间的关系．课堂小结本节学习了：(1)集合的含义；(2)集合中元素的性质；(3)元素与集合的关系；(4)集合的表示方法．课后作业习题1.1A组3,4.设计感想本节教学设计是以数学课程标准的要求为指导，结合生活中的一些实例，重视引导学生积极思考，主动参与到教学中，体现了学生的主体地位．同时结合高考的要求适当拓展了教材，使学生的发散性思维得到拓展，最大限度地挖掘了学生的学习潜力，真正做到了对教材的“活学活用”．备课资料集合论的诞生集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的.17世纪，数学中出现了一门新的分支：微积分．在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果．其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础.19世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动．正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端．到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念．他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的(不论是具体的或抽象的)事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素．人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日．康托尔把无穷集这一词汇引入数学．对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子．“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示．”学过集合的所有人应该对这句话不会感到陌生．但在接受这句话时我们根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作．在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释．无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在的．这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限.18世纪数21世纪教育网子高斯就持这种观点．由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是不足为怪的．然而康托尔并未就此止步，他以前所未有的方式，继续正面探讨无穷．他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数．他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势．由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应关系——也就是说无穷集可以与它的真子集等势，即具有相同的个数．这与传统观念“全体大于部分”相矛盾．而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征．在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集．又可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集．后来当他又证明了实数集合也是可数集时，一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集．但出乎意料的是，他在1873年证明了实数集的势大于自然数集．有人嘲笑集合论是一种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱”．然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认．在1900年第二次国际数学家大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了．从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等．而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的．因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结．“它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一．康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献．”。
人教A版高中数学必修1《1.1 集合 阅读与思考 集合中元素的个数》_12
《集合中元素的个数》教学设计
知识目标：
1、掌握有限集合中元素个数之间的关系，并能够应用集合中元素个数的关系解决实际问题。
2、探究两个无限集合元素个数的比较方法。
能力目标：
1、培养学生多方面、多角度、多层面独立探究问题的能力。
2、培养学生发散思维和创新思维能力。
3、培养学生归纳总结能力。
4、培养学生从实际生活中发现数学问题，并应用数学知识解决生活中的实际问题的能力。
情感目标：
1、通过小组活动培养学生的合作团队精神。
2、通过生活中实例的引入激发学生的学习兴趣。
3、通过探究让学生享受成功的乐趣。
4、通过总结方法培养学生科学学习态度。
教学重点：掌握有限集合中元素个数之间的关系，并能够应用集合中元素个数的关系解决实际问题。
教学难点：问题一、三个有限集合中元素个数的求法。
2、探究两个无限集合元素个数的比较方法。
教学过程：
Card(A
A
A
Card(A
答：喜欢篮球但不喜欢乒乓球运动有12人
由题意，设全班同学为全集U，画出Venn图，
A的集合，B表示答错B的集合，C表示答错集合，将其集合中元素数目填入图中，自中心区域向四周的各区域数目分别为1,2,3,4,10,7,5，因此A∪B∪C
32，从而至少错一题的共32人，因此A，
B={2,4,6,8,
B={2,4,6,8, Card(A。
人教A版高中数学必修1《1.1 集合 阅读与思考 集合中元素的个数》_4
学生参与活动，明确“集合”的概念
从实际生活实例入手，引起学生注意，导入课题
思
1.观察下面4个实例：
（1） 以内的所有素数；
（2）我国从 年的13年内所发射的所有人造卫星；
（3）所有的正方形；
（4）武汉为明高级中学2018年9月入学的所有的高一学生。
思考：
（1）它们研究的对象确定吗？
板书设计
1.集合的概念；例1.
2.集合元素的特性；例2
3.集合元素与集合关系；例3.
4.常见集合的记法；
教学反思
检查结果及修改意见：合格[ ]不合格[ ]
组长（签字）：
检查日期：年月日
A.1B.2C.3D.4
4.下列结论不正确的是()
A.0∈NB. ∉QC.0∉QD.－1∈Z
5.已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为()
A.2 B.3 C.0或3 D.0,2,3均可
B组：
6.已知集合 中含有三个元素 ，集合N中含有三个元素 ，且 ，求 的值.
1.下列给出的对象孩D.方程x2－1＝0的实数根
2.下面说法正确的是()
A.所有在 中的元素都在 中B.所有不在 中的数都在 中
C.所有不在 中的实数都在R中D.方程 的解既在 中又在 中
3.由“book中的字母”构成的集合中元素个数为()
数学学科课时教学设计
课题名称
1.1.1集合的含义与表示（1）
授课时间
学生年级
高一
课时
第1课时
课程标准描述
理解集合的含义，与元素的关系、表示，掌握集合的表示方法及常用集合的记法。
考试大纲描述
理解集合的含义，与元素的关系、表示；
阅读与思考集合中元素的个数
②图解法
当集合元素个数较少而不具体时， 据题意画出集合的韦恩图，从而解 决实际问题。并归纳得出： 这一结 论：card(A∪B)=card（A）+card（B） -card(A∩B)
问题3：某班共30人，其中15人喜爱篮球运
动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运 动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓
五：作业
A={1，2，3，4，…，n，…}， B={2，4，6，8，…，2n，…}， 集合A、B中元素的个数有什么关系？ 这两个集合中元素的个数能进行比较吗？ 你采用的是什么方法？
四、小结：
•①列举法 •②图解法 •③数形结合法 •④归纳、猜想法
1、一般的，对任意两个有限集A，B有 card(A∪B)=card（A）+card（B）card(A∩B) 2、一般的，对任意两个有限集A，B，C有 card(A∪B∪C)=card（A）+card（B）+ card（C）-card(A∩B)-card(B∩C)card(A∩C)+card(A∩B∩C)
④归纳、猜想法
通过对问题（3）的求解，并结合问题 （1）、（2）的求解，归纳、猜想出： card(A∪B∪C)=card（A）+card（B） +card（C）-card(A∩B)-card(B∩C)card(A∩C)+card(A∩B∩C)
三、练习
某班54名学生参加三角,代数考试,已知 三角合格的有39人,代数合格的有33人, 两科都不合格的7人,问这两科考试都合 格的有多少人?
①列举法
问题（1）涉及的集合元素个数较少而 且具体，可用列举法写出，很快可解决 此问题，并由特殊到一般的思维方式概 括得出结论。
问题2：学校先举办了一次田径运动会，
高中数学必修1《阅读与思考集合中元素的个数》
9
• ㈡关于听讲 • 上课的时候准备课本，一只笔，一本草稿。 做不做笔记你们自己决定，不过我不大提倡数学 课抄一大本的笔记。不过有一点，有些知识点比 较重要，课本上又没有的，我要求你们把它写在 课本上的相应的空白地方。还有如果你觉得某个 例题比较新或者比较重要，也可以把它记在书本 的相应位置上，这样以后复习起来就一目了然了。 那么草稿要来干什么的呢？课堂上你可以自己演 算还有做课堂练习。
Hale Waihona Puke 10• ㈢关于作业 • 绝对不允许有抄作业的情况发生。如果我发现有 谁抄作业，那么既然他这样喜欢抄，我就要你把当天 的作业多抄几遍给我。那有人会问，碰到不会做的题 目怎么办？有两个办法：一、向同学请教，请教做题 目的思路，而不是整个过程和答案。同学之间也要相 互帮助。我非常提倡同学之间的相互讨论问题的，这 样才能够相互促进提高。二、向老师请教，要养成多 想多问的习惯。我非常欢迎大家前来与我交流。
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• • • •
第五：养成良好的学习习惯 ㈠关于预习 怎样预习呢？ 就是自己在上课之前把内容先看一遍，把自己不 懂的地方做个记号或者打个问号，以至于上课的 时候重点听，这样才能够很快提高自己的水平。 但是预习不是很随便的把课本看一边，预习有个 目标，那就是通过预习可以把书本后面的练习题 可以自己独立的完成。上课对于大家来说应该是 复习。
• ㈣关于总结 • 准备一本笔记本，作为自己的问题集，每个人的 问题不同，上课时把自己不懂的和不大理解的还有易 错的记录下来，并且要及时总结消化，不懂的地方问 老师。这是一个很好的办法，到考试的时候就可以有 重点、有针对性的自己复习了。 11
三、高中数学学哪些？
1.必修课程：
2.选修课程：
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课后作业：
高一数学必修1目录
高一数学必修1目录高一数学必修1目录第一章集合与函数概念1.1集合——阅读与思考集合中元素的个数1.2函数及其表示——阅读与思考函数概念的开展历程1.3函数的根本性质——信息技术应用用计算机绘制函数图形实习作业小结复习参考题第二章根本初等函数〔1〕2.1指数函数——信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2对数函数——阅读与思考对数的创造探究与发现互为反函数的两个函数图像之间的关系2.3幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3.1函数与方程——阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术求方程的近似解3.2函数模型及其应用——信息技术应用收集数据并建立函数模型实习作业小结复习参考题关于数学：课本上讲的定理，你可以自己试着自己去推理。
这样不但提高自己的证明能力，也加深对公式的理解。
还有就是大量练习题目。
根本上每课之后都要做课余练习的题目(不包括老师的作业)。
数学成绩的提高，数学方法的掌握都和同学们良好的学习习惯分不开的，因此。
良好的数学学习习惯包括：听讲、阅读、探究、作业。
听讲：应抓住听课中的主要矛盾和问题，在听讲时尽可能与老师的讲解同步思考，必要时做好笔记。
每堂课结束以后应深思一下进行归纳，做到一课一得。
阅读：阅读时应仔细推敲，弄懂弄通每一个概念、定理和法那么，对于例题应与同类参考书联系起来一同学习，博采众长，增长知识，开展思维。
探究：要学会思考，在问题解决之后再探求一些新的方法，学会从不同角度去思考问题，甚至改变条件或结论去发现新问题，经过一段学习，应当将自己的思路整理一下，以形成自己的思维规律。
作业：要先复习后作业，先思考再动笔，做会一类题领会一大片，作业要认真、书写要标准，只有这样脚踏实地，一步一个脚印，才能学好数学。
总之，在学习数学的过程中，要认识到数学的重要性，充分发挥自己的主观能动性，从小的细节注意起，养成良好的数学学习习惯，进而培养思考问题、分析问题和解决问题的能力，最终把数学学好。
人教A版高中数学必修1《1.1 集合 阅读与思考 集合中元素的个数》_16
第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：元素的确定性；元素的互异性；元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2．集合的表示方法：列举法与描述法。
注意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a ∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a∉A表示法：列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x| x-3>2}或{x| x-3>2}4、集合的分类：1．有限集含有有限个元素的集合2．无限集含有无限个元素的集合3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B 的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=BA⊂①任何一个集合是它本身的子集。
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A. 70
B. 55
C. 50
D. 无法确定
能力提升
1. 在某校高一(5)班的学生中, 参加物
理课外小组的有20人，参加数学课外小
组的有25人，既参加数学课外小组又参
加物理课外小组的有10人，既未参加物
理小组又未参加数学小组的有15人，则
这ห้องสมุดไป่ตู้班的学生总人数是
A. 70
B. 55
C. 50
D. 无法确定
思考：对任意三个有限集合A、B、C， card(A∪B ∪C)=？
一般地，对任意三个有限集合A、B、C， card(A∪B ∪C) =card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-
card(A∩C)- card(B∩C)+card(A∩B∩C)
例：学校先举办了一次田径运动会， 某班有8名同学参赛，又举办了一次球类
3. 在一次学校综合运动会上，某班共有28 名同学参加了比赛，其中有15人参加了游泳比 赛，8人参加了田径比赛，14人参加了球类比 赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人， 同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有 人同时参加这三项比赛，问同时参加田径比赛 和球类比赛的有几人？仅参加游泳这一项比赛 的又有几人？
其中正确的命题的序号是__________.
2. 给出下列命题： ① 若card(A)=card(B)，则A=B； ② 若card(A)=card(B)， 则card(A∩B)=card(A∪B) ③ 若A∩B= , 则card(A∪B)-card(A)=card(B) ④ 若A= ，则card(A∩B)=card(A) ⑤ 若A B，则card(A∩B)=card(A) ③④ 其中正确的命题的序号是__________.
3. 在一次学校综合运动会上，某班共有28 名同学参加了比赛，其中有15人参加了游泳比 赛，8人参加了田径比赛，14人参加了球类比 赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人， 同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有 人同时参加这三项比赛，问同时参加田径比赛 和球类比赛的有几人？仅参加游泳这一项比赛 的又有几人？
运动会，这个班有12名同学参赛，两次运
动会都参赛的人有3人，两次运动会中，
这个班共有多少名同学参赛？
能力提升
1. 在某校高一(5)班的学生中, 参加物
理课外小组的有20人，参加数学课外小
组的有25人，既参加数学课外小组又参
加物理课外小组的有10人，既未参加物
理小组又未参加数学小组的有15人，则
这个班的学生总人数是
集合中元素的个数
在研究集合时，经常遇到有关集合 中元素的个数问题，我们把含有有限个
元素的集合A叫做有限集，用card来表示
有限集合A中元素的个数，
例如，A={a，b，c}，则card(A)=3.
一般地，对任意两个有限集合A、B，有
card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)
仅参加游泳一项比赛的有9人，同时参 加田径比赛和球类比赛的有3人.
4. 50名学生报名参加A、B两个课外学科小
3 组, 报名参加A组的人数是全体学生的 , 报名 5
参加B组的人数比报名参加A组的人数多3人,
两个组都没有报名的人数比同时报名参加A、
1 B两组人数的 还多1人. 求同时报名参加A、 3
2. 给出下列命题： ① 若card(A)=card(B)，则A=B； ② 若card(A)=card(B)， 则card(A∩B)=card(A∪B) ③ 若A∩B= , 则card(A∪B)-card(A)=card(B) ④ 若A= ，则card(A∩B)=card(A) ⑤ 若A B，则card(A∩B)=card(A)
B两个组的人数和两个组都没有报名的人数.