2020年山东省淄博市中考数学试卷(含解析)

2020年山东省淄博市中考数学试卷

（考试时间：120分钟满分：120分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分

1．若实数a的相反数是﹣2，则a等于（）

A．2 B．﹣2 C．D．0

2．下列图形中，不是轴对称图形的是（）

A．B．

C．D．

3．李老师为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德，随机调查了本校10名学生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时）：4，3，4，6，5，5，6，5，4，5．则这组数据的中位数和众数分别是（）

A．4，5 B．5，4 C．5，5 D．5，6

4．如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于（）

A．30°B．35°C．40°D．45°

5．下列运算正确的是（）

A．a2+a3＝a5B．a2?a3＝a5C．a3÷a2＝a5D．（a2）3＝a5

6．已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（）

A．B．C．D．

7．（4分）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）

A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED

8．化简+的结果是（）

A．a+b B．a﹣b C．D．

9．如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（）

A．36 B．48 C．49 D．64

10．如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA ＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（）

A．2π+2 B．3πC．D．+2

11．（4分）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP 的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（）

A．12 B．24 C．36 D．48

12．如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB ＝c，则下列关系式中成立的是（）

A．a2+b2＝5c2B．a2+b2＝4c2C．a2+b2＝3c2D．a2+b2＝2c2

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分

13．计算：+＝．

14．如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处．若EC＝2BE＝2，则CF的长为．

15．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．16．如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点．将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN＝cm．

17．某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面

各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是个．

三、解答题：本大题共7个小题，共52分

18．（5分）解方程组：

19．（5分）已知：如图，E是?ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC．

求证：△ABC≌△DCE．

20．（8分）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯； B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济； E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．

请结合统计图中的信息，解决下列问题：

（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有人；

（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；

（3）最关注话题扇形统计图中的a＝，话题D所在扇形的圆心角是度；

（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？

21．（8分）如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝．

（1）求y1，y2对应的函数表达式；

（2）求△AOB的面积；

（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．

22．（8分）如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，≈1.4，≈1.7等数据信息，解答下列问题：

（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？

（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？

23．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．

（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；

（2）求证：AB?AC＝2R?h；

（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）．

24．（9分）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y ＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是?OABC的面积的，求点R的坐标；

（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．

参考答案与试题解析

一、选择题

1．【解答】解：∵2的相反数是﹣2，

∴a＝2．

故选：A．

2．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；

B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；

C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．

故选：D．

3．【解答】解：这组数据4，3，4，6，5，5，6，5，4，5中，出现次数最多的是5，因此众数是5，

将这组数据从小到大排列后，处在第5、6位的两个数都是5，因此中位数是5．

故选：C．

4．【解答】解：∵AC⊥BC，

∴∠ACB＝90°，

又∵∠B＝50°，

∴∠CAB＝90°﹣∠B＝40°，

∵CD∥AB，

∴∠DCA＝∠CAB＝40°．

故选：C．

5．【解答】解：A．a2+a3≠a5，所以A选项错误；

B．a2?a3＝a5，所以B选项正确；

C．a3÷a2＝a，所以C选项错误；

D．（a2）3＝a6，所以D选项错误；

故选：B．

6．【解答】解：∵已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，sin，0，

∴按下的第一个键是2ndF．

故选：D．

7．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，

∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，

即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，

故选：B．

8．【解答】解：原式＝

＝

＝

＝a﹣b．

故选：B．

9．【解答】解：过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，∵A（0，4），B（3，0），

∴OA＝4，OB＝3，

∴AB＝＝5，

∵△OAB的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，

∴PE＝PC，PD＝PC，

∴PE＝PC＝PD，

设P（t，t），则PC＝t，

∵S△PAE+S△PAB+S△PBD+S△OAB＝S矩形PEOD，

∴×t×（t﹣4）+×5×t+×t×（t﹣3）+×3×4＝t×t，

解得t＝6，

∴P（6，6），

把P（6，6）代入y＝得k＝6×6＝36．

故选：A．

10．【解答】解：如图，

点O的运动路径的长＝的长+O1O2+的长

＝++

＝，

故选：C．

11．【解答】解：由图2知，AB＝BC＝10，

当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），当y＝8时，PC＝＝＝6，

△ABC的面积＝×AC×BP＝8×12＝48，

故选：D．

12．【解答】解：设EF＝x，DF＝y，

∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，

∴点F为△ABC的重心，AF＝AC＝b，BD＝a，

∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，

∵AD⊥BE，

∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，

在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①

在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，②

在Rt△BFD中，x2+4y2＝a2，③

②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），

∴4x2+4y2＝（a2+b2），④

①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，

即a2+b2＝5c2．

故选：A．

二、填空题

13．【解答】解：+＝﹣2+4＝2．

故答案为：2

14．【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移至△DEF处．

∴BE＝CF，

∵EC＝2BE＝2，

∴BE＝1，

∴CF＝1．

故答案为1．

15．【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣1，c＝2m ∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×2m＞0，

解得m＜，

故答案为m＜．

16．【解答】解：连接AC，FC．

由翻折的性质可知，BE垂直平分线段CF，

∵FM⊥BE，

∴F．M，C共线，FM＝MC，

∵AN＝FN，

∴MN＝AC，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，

∴AC＝＝＝10（cm），

∴MN＝AC＝5（cm），

故答案为5．

17．【解答】解：当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，

快递货车上需要卸下已经通过的（x﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x﹣1）个，还要装上下面行程中要停靠的（n﹣x）个服务驿站的货包共（n﹣x）个．

根据题意，完成下表：

服务驿站序号在第x服务驿站启程时快递货车货包总数

1 n﹣1

2 （n﹣1）﹣1+（n﹣2）＝2（n﹣2）

3 2（n﹣2）﹣2+（n﹣3）＝3（n﹣3）

4 3（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4）

5 4（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5）

……

n 0

由上表可得y＝x（n﹣x）．

当n＝29时，y＝x（29﹣x）＝﹣x2+29x＝﹣（x﹣14.5）2+210.25，

当x＝14或15时，y取得最大值210．

答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．

故答案为：210．

三、解答题

18．【解答】解：，

①+②，得：5x＝10，

解得x＝2，

把x＝2代入①，得：6+y＝8，

解得y＝4，

所以原方程组的解为．

19．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∴∠B＝∠DCE，

在△ABC和△DCE中，

∴△ABC≌△DCE（SAS）．

20．【解答】解：（1）调查的居民共有：60÷30%＝200（人），

故答案为：200；

（2）选择C的居民有：200×15%＝30（人），

选择A的有：200﹣60﹣30﹣20﹣40＝50（人），

补全的条形统计图如右图所示；

（3）a%＝50÷200×100%＝25%，

话题D所在扇形的圆心角是：360°×＝36°，

故答案为：25，36；

（4）10000×30%＝3000（人），

答：该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有3000人．

21．【解答】解：（1）设直线y1＝ax+b与y轴交于点D，

在Rt△OCD中，OC＝3，tan∠ACO＝．

∴OD＝2，

即点D（0，2），

把点D（0，2），C（0，3）代入直线y1＝ax+b得，b＝2，3a+b＝0，解得，a＝﹣，∴直线的关系式为y1＝﹣x+2；

把A（m，4），B（6，n）代入y1＝﹣x+2得，

m＝﹣3，n＝﹣2，

∴A（﹣3，4），B（6，﹣2），

∴k＝﹣3×4＝﹣12，

∴反比例函数的关系式为y2＝﹣，

因此y1＝﹣x+2，y2＝﹣；

（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC，

＝×3×4+×3×2，

＝9．

（3）由图象可知，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集为x＜﹣3．

22．【解答】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，

在直角△BCD中，AB⊥CD，sin30°＝，BC＝1000千米，

∴CD＝BC?sin30°＝100×＝50（千米），

BD＝BC?cos30°＝100×＝50（千米），

在直角△ACD中，AD＝CD＝50（千米），

AC＝＝50（千米），

∴AB＝50+50（千米），

∴从A地到景区B旅游可以少走：AC+BC﹣AB＝50+100﹣（50+50）＝50+50﹣50≈35（千米）．答：从A地到景区B旅游可以少走35千米；

（2）设施工队原计划每天修建x千米，依题意有，

﹣＝50，

解得x＝，

经检验x＝是原分式方程的解．

答：施工队原计划每天修建千米．

23．【解答】解：（1）如图1，连接OD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∴＝，

又∵OD是半径，

∴OD⊥BC，

∵MN∥BC，

∴OD⊥MN，

∴MN是⊙O的切线；

（2）如图2，连接AO并延长交⊙O于H，

∵AH是直径，

∴∠ABH＝90°＝∠AFC，

又∵∠AHB＝∠ACF，

∴△ACF∽△AHB，

∴，

∴AB?AC＝AF?AH＝2R?h；

（3）如图3，过点D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC延长线于P，连接CD，

∵∠BAC＝2α，AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD＝α，

∴＝，

∴BD＝CD，

∵∠BAD＝∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，

∴DQ＝DP，

∴Rt△DQB≌Rt△DPC（HL），

∴BQ＝CP，

∵DQ＝DP，AD＝AD，

∴Rt△DQA≌Rt△DPA（HL），

∴AQ＝AP，

∴AB+AC＝AQ+BQ+AC＝2AQ，

∵cos∠BAD＝，

∴AD＝，

∴＝＝2cosα．

24．【解答】解：（1）OA＝2＝BC，故函数的对称轴为x＝1，则x＝﹣＝1①，将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+②，

联立①②并解得，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+③；

（2）由抛物线的表达式得，点M（1，3）、点D（4，0）；

∵△ADR的面积是?OABC的面积的，

∴×AD×|y R|＝×OA×OB，则×6×|y R|＝×2×，解得：y R＝±④，

联立④③并解得，

故点R的坐标为（1+，4）或（1，4）或（1，﹣4）或（1﹣，﹣4）；（3）作△PEQ的外接圆R，

∵∠PQE＝45°，

故∠PRE＝90°，则△PRE为等腰直角三角形，

当直线MD上存在唯一的点Q，则RQ⊥MD，

点M、D的坐标分别为（1，4）、（4，0），

则ME＝4，ED＝4﹣1＝3，则MD＝5，

过点R作RH⊥ME于点H，

设点P（1，2m），则PH＝HE＝HR＝m，

则圆R的半径为m，则点R（1+m，m），

S△MED＝S△MRD+S△MRE+S△DRE，

即×EM?ED＝×MD×RQ+×ED?y R+×ME?RH，

∴4×3＝×5×m+×4×m×3×m，解得m＝60﹣84，

故点P（1，120﹣168）