线性同余方程
数论线性同余方程,欧拉函数》
欧拉定理与费马小定理
• 若(k,m)=1，则 k m 1modm 。
• 对于素数p和任意的整数a，有 a amod p
p
• 反过来若a和p满足上面的式子，则p几乎一 定是素数（可以用来做素数测试）。
其他公式
若p是一个质数，则：
0mod p (1 k p 1) C 1mod p (k 0或k p)
一元线性同余方程组 与中国剩余定理
问题： 如果m1、m2、…、mk两两互质这个条件不满 足，怎么办？
一元线性同余方程组 与中国剩余定理
如果已知一元线性同余方程组：
x a2 mod m2 ... x ak 1 mod mk 1 x a1 mod m1 x%m1 a1 x%m2 a2 ... x%mk 1 ak 1
商的模与乘法逆元
那么还剩下的问题就是(b,m)=m时的状况。 • 一种策略是想办法得到a和b包含的m因子的个数 ，当a和b都是一列数的连乘时，这个方法是可行 的：
– 首先对m做因式分解。设 若 ，则只需 s k e a ai m mi 要将每个ai包含的mi的因子个数累加一下，最后就能得 i 1 i 1 到a包含的m因子的个数了，并且还可以知道a除开这些 因子之外的部分累乘的积模m的结果。 – 于是当a包含的m的个数大于b时，(a/b)%m=0 – 否则他们包含的m因子的个数一定相等。可以设 b=b’*mk，a=a’*mk ，此时(a/b)%m=(a’/b’)%m，且 b’%m<>0，于是就可以用前几页的方法了。
回到了一元线性同余方程上面来了。 我们已经知道这个同余方程有解当且仅当 (b,m)|a成立，且当此成立时一定有无穷多个 以m/(b,m)为公差的解，且给出一个解就能够 得到所有的解，而要得到一个解只需要用扩 展欧几里德辗转相除法就行。
同余方程的求解问题
同余方程的求解问题同余方程是数论中一个重要的概念，它经常出现在代数、密码学、计算机科学等领域。
同余方程求解的问题也是数学界广泛关注的一个研究方向。
本文将介绍同余方程的基本概念、求解方法和一些应用。
一、同余方程的基本概念同余方程是指形如“ax ≡ b (mod n)”的方程，其中a、b、n都是整数，x是未知数。
符号“≡”表示同余关系，即两个数除以一个正整数所得到的余数相等。
如果a、b、n满足一定条件，那么方程“ax ≡ b (mod n)”就有解。
二、同余方程的求解方法1. 列出同余方程首先需要将题目中给出的同余方程写成标准形式。
“ax ≡ b (mod n)”中，a必须是正整数，n必须是正整数且大于1，b可以是任意整数。
2. 确定最大公约数gcd(a, n)用辗转相除法求出a和n的最大公约数gcd(a, n)。
如果gcd(a, n)不等于1，那么同余方程无解；否则，它有解。
3. 求出特解根据扩展欧几里得算法，求出一个x0值和一个y0值，使得ax0 +ny0 = 1。
那么，ax0 ≡ 1 (mod n)。
通过将等式两边同时乘以b，得到abx0 ≡ b (mod n)。
因此，x = bx0是同余方程的一个特解。
4. 求出通解同余方程的通解为：x ≡ bx0 + kn，其中k为任意整数。
因此，同余方程有无穷多个解。
三、同余方程的应用1. 进行密码加密同余方程可以用于密码学中信息的加密和解密。
某些密码算法使用了求解同余方程的思想，如RSA加密算法、古典密码的变种等。
2. 求解中国剩余定理中国剩余定理可以用同余方程求解。
这个问题可以归结为一组同余方程的求解问题，使用同余方程求解算法可以非常高效地解决中国剩余定理问题。
3. 优化计算机算法在计算机科学和信息工程领域中，同余方程也有重要的应用。
例如，在编写程序时，如何通过一些特定的处理，让计算机能够更快地求解同余方程，加快程序的执行速度是一个重要的研究问题。
结语同余方程的求解问题是数学领域广泛关注的一个重要研究领域。
n元线性同余方程的解法
第１ ７卷 第 ４期 ２０ ０ ８年 ｌ Ｏ月
云南民族 大学学报 （ 自然科 学版）
Ｊｕ ａ ｏ Ｙ ｎ ａ ａ ｏ ａ ｔ ｓ Ｕ ｉｅｓ ｙ Ｎ ｔｒｌＳ ｉｎ ｅ ｄｔ ｎ ｏ ｒ ｌ ｆ ｕ ｎ ｎ Ｎ ｔ ｎｌ ｉ ｎｖ ｒ ｔ（ ａ ａ ｃｅ ｃ ｓ Ｅ ｉｏ ） ｎ ｉ ｉｅ ｉ ｕ ｉ
ＬｉＺｈ ｎ ｂｉｏ ｅ ｇ ａ
（ ｅａｔ ｎ ｆ ｔｅ ａ ｃ ，Ｑ ｊ ｇＴ ａｈｒ Ｕ ｉｅ ｉ ， ｕｉｇ６ ５ １ ，Ｃ ｉａ Ｄ ｐ ｒ ｔ ｈ ｍ ｔ ｓ ｕｉ ｅｃ ｅｓ ｎｖｒ ｔ Ｑ ｊ ５ ０ ｈｎ ） ｍｅ ｏ Ｍａ ｉ ｎ ｓｙ ｎ １
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｎ ｔ ｅ ｂ ｓ ｆｔ ｅ ｔ ｅ ｒ ｏ ｅ ｉ ｄ ｆ ｉ ｑ ａｉｎ，ａ ｐ ｏ ｆｉ ｇｖ ｎ ｆ ｒｔ ｅ ｎ ｃ ｓａ ｙ ａ ｄ ｓ ｆ — ｓｒ ｃ ：Ｏ ｈ ａ ｅ ｏ ｈ ｏ ｙ ｆ ｒｔ ｎ ｅ ｎ ｔ ｅ ｕ ｔ ｈ ｈ ｉ ｅ ｏ ｒｏ ｓ ｉｅ ｏ ｈ ｅ ｅ ｓ ｒ ｎ ｕ ｆ ｉ
关 于模 ｍ 的 ｎ元线 性 同余 方程 的一 般形 式为 ａ ＋ａｘ １ １ ２２＋… ＋。 兰 ｂ ｍ ｄｍ） （ ｏ ，
（） １
其 中 ａ（ １２ … ，）不 同余 ０对模 ｍ． ｉ＝ ，， ｎ 很 多数论 著作 ¨ 都讨 论过 线性 同余方 程 ， 对 一般 的 ｎ元 线性 同余 方 程 ， 没 有进 行 讨 论 ， 但 都 而且 也 查 不到相 关 的文 献． 文在 文献 ［ ］的基 础上 ， 本 ５ 对一 般 的 ｎ 线性 同余方 程进行 研究 ． 助不定 方程 理论 ， 元 借 首先
ａＩ ＋ ａ ｘ ＋ … ＋ ａ Ｘｎ — ｂ ＝ 一 ｍ ＋ ， ＋ ∈ Ｚ ｌ ２， ２ ｎ １ １
第二章同余与同余式
足 abl(mod p), 故得2·3…(p-2) (mod p), 即可得
(p-1)! -1 (mod p).
定理 (威尔逊定理) p为素数 iff (p-l)!-1(mod p).
充分性: 若(p-1)! = -l (mod p), 则 p为素数.
解： 2001年国庆节到2010年国庆节之间共有2个闰年 7个平年，即有“366×2+365×7”天。 ∵ 366×2≡2×2≡4（mod 7）， 365×7≡1×7≡0（mod 7）， ∴366×2+365×7≡2×2+1×7≡4+0≡4（mod 7） 答：2010年的国庆节是星期五。
同余的应用举例
的弃九数与其模9的余数相等。
利用这种方法可以验算较大整数的加法、减法、乘 法运算的结果是否正确，也可验算除法，但需转化 成乘法。
弃九法
例1 验算 851+346=1198．
解： 先分别求出两个加数的弃九数与和的弃九数．
851、346的弃九数分别是5，4，1198的弃九数1． 两个加数的弃九数相加得4+5=9，弃掉9后是0，而题 目中和的弃九数是1，可以说这道题一定错误。 注：利用弃九法检验运算的结果是否正确时，
同余的应用1：国际图书标准(ISBN编码) ISBN是international standard of book number 的缩写，即国 际标准图书编号。ISBN是国际通用的图书或独立的出版物(除定期出版 的期刊)代码。出版社可以通过ISBN清晰地辨认所有非期刊书籍。一个 ISBN只有一个或一份相应的出版物与之对应。新版本如果在原来旧版 的基础上没有内容上太大的变动，在出版时也不会得到新的ISBN号码。 当平装本改为精装本出版时，原来相应的ISBN号码也应当收回。 国际标准图书编号问世后，很快得到推广，主要是因为它对出版 商、书商的工作有很大的益处，体现在:国际标准书号是机读的编码， 从图书的生产到发行、销售始终如一，对图书的发行系统起了很大的 作用;它的引入使图书的定购、库存控制、账目和输出过程等任何图书 业的分支程序都简化了;国际标准书号也对图书馆和文献中心的订购、 采选、编目和流通程序都有促进作用;ISBN系统的引入也服务于书目信 息的流动和使用，而且为一个国家的图书生产提供经济的书目控 制;ISBN对图书市场更有效率，它能确定国际上出版的任何图书及其出 版社。在书业中习惯称ISBN为库藏码(Stock Number)，就是因为其被 普遍应用于书库管理。
线形同余方程组
线形同余方程组全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：线性同余方程组是数论中的一个重要概念，它与模运算和同余关系密切相关。
线性同余方程组的求解在密码学、计算机科学和数学领域都具有重要的应用价值。
本文将对线性同余方程组的定义、性质、求解方法以及应用进行介绍。
一、线性同余方程组的定义线性同余方程组是指一组同时满足一系列线性同余方程的整数解。
一般形式如下：a1x ≡ b1 (mod m1)a2x ≡ b2 (mod m2)….anx ≡ bn (mod mn)a1，a2，…，an为整数系数，b1，b2，…，bn为整数常量，m1，m2，…，mn为模数，x为未知数。
1. 唯一性：线性同余方程组的解可能有唯一解、无解或者有多个解。
这取决于模数之间是否互素，互素的模数方程组往往有唯一解。
2. 模运算性质：线性同余方程组的解需要满足模运算的性质，即同余式在模数下成立。
3. 解的存在性：线性同余方程组一般都有整数解，但需注意是否存在特解或通解。
1. 逐步求解：通过逐步代入或变换方程，可以得到线性同余方程组的解。
2. 中国剩余定理：中国剩余定理是求解线性同余方程组的一种重要方法，适用于模数互素的情况。
3. 模运算法则：由于线性同余方程组中的运算都是模数进行的，所以模运算的法则也是求解方程组的重要工具。
1. 密码学：在线性同余方程组中，模数一般取素数，这使得线性同余方程组在密码学领域中有着广泛的应用。
例如RSA公钥密码算法就是基于线性同余方程组的。
2. 计算机科学：在计算机算法设计中，线性同余方程组的求解经常涉及到，能够提高算法的效率和准确性。
3. 数学研究：线性同余方程组也是数论研究的一个重要方向，通过研究线性同余方程组的性质和解的特点，能够推动数论领域的发展。
线性同余方程组在数学领域具有重要的地位和应用价值，在实际运用中也有着广泛的应用。
希望本文对线性同余方程组这一概念有所帮助，也能引发更多人对数学理论的研究和探讨。
线性同余方程组的解
线性同余方程组的解学生：罗腾，江汉大学数计学院（数学与应用数学系） 指导老师：许璐，江汉大学摘要“孙子算经”一书中写于公元前三世纪，这个谜题如下：有堆东西不知道有多少，如果三个三地数，最后余下两个；五个五个的数，最后余下三个；七个七个的数，最后余下二个，问这堆东西共有多少？我们可以把这个问题用数学符号表示成同余式的形式：()()().7m od 3,5m od 2,3m od 1≡≡≡x x x定理1 设,,,,,a b c d e f 和m 均为整数，0m >，若(,)1m ∆=，其中ad bc ∆=-.则线性同余方程组(mod )(mod )ax by e m cx dy f m +≡⎧⎨+≡⎩，有唯一一组关于模m 的解为()(mod )()(mod )x de bf m y af ce m ⎧≡∆-⎪⎨≡∆-⎪⎩， 其中∆是∆关于模m 的逆，即1(mod )m ∆∆≡.证 首先，将同余式(mod )ax by e m +≡两边都乘以d ，将同余式(mod )cx dy f m +≡两边都乘以b ，得到(mod )(1)(mod )(2)adx bdy de m bcx bdy bf m +≡⎧⎨+≡⎩()()12-得到()()mod ad bc x de bf m -≡-令ad bc ∆=-，则()mod x de bf m ∆⋅≡-.下面我们把同余式两边都乘以∆，其中1(mod )m ∆∆≡∴()()mod x de bf m ≡∆-同理，将同余式(mod )ax by e m +≡两边都乘以c ，将同余式(mod )cx dy f m +≡两边都乘以a ，得到(mod )(3)(mod )(4)acx bcy ce m acx ady af m +≡⎧⎨+≡⎩()()43-得到()()mod ad bc y af ce m -≡-即()mod y af ce m ∆⋅≡-∴()()mod y af ce m ≡∆-关键词孙子定理；中国剩余定理；同余；线性；方程组AbstractSuch systems arose in ancient Chinese puzzles such as the following problem, which appears in Master Sun ’s Mathematical Manual , written late in the third century c.e.. Find a number that leaves a remainder of 1 when divided by 3, a remainder of 2 when divided by 5, and a remainder of 3 when divided by 7. This puzzle leads to the following system of congruences:()()().7m od 3,5m od 2,3m od 1≡≡≡x x xTheorem 4.15. Let a,b,c,d,e,f, and m be integers, m>0, such that (),1m ∆=, where.ad bc ∆=- Then the system of congruences()()mod mod ax by e m cx dy f m +≡+≡has a unique solution modulo m, given by()(mod )()(mod ),x de bf m y af ce m ≡∆-≡∆-where ∆ is an inverse of ∆ modulo m.Proof. We multiply the first congruence of the system by d and the second by b, to conclude that(mod )(mod ),adx bdy de m bcx bdy bf m +≡+≡Then we subtract the second congruence from the first, to tind that()()mod ad bc x de bf m -≡-,or, since ad bc ∆=-，()mod x de bf m ∆≡-.Next, we multiply both sides of this congruence by ∆, an inverse of ∆ modulo m, to conclude that()()mod x de bf m ≡∆-In a similar way, we multiply the first congruence by c and the second by a, to obtain(mod )(mod ),acx bcy ce m acx ady af m +≡+≡We subtract the first congruence from the second, to find that()()mod ad bc y af ce m -≡-or()mod y af ce m ∆≡-Finally, we multiply both sides of this congruence by ∆ to see that()()mod y af ce m ≡∆-.keywordMaster Sun ’s Mathematical Manual ；The Chenese Remainder Theorem ；congruences ；Linear ；Equations目录绪论 (1)线性同余方程组解的判定及其结构 (5)1.二元一次同余方程组解的判定及其结构 (5)2.三元一次同余方程组的解 (12)3.线性同余方程组的解在n元中的推广 (18)致谢 (24)参考文献 (25)绪论（一）研究问题的背景数论中的同余式理论，以我国古代的研究为最早，当二整数之差能被正整数m除尽时，便称这两个数对于“模”m同余。
线性同余方程解法讲解
线性同余方程解法讲解
线性同余方程是数学中非常重要的概念，它的概念和公式非常简单，但是如何正确的计算，解决线性同余方程涉及到一些数学知识，本文将讲解线性同余方程的概念及一些计算方法。
1.什么是线性同余方程
线性同余方程是一类数学方程，它的形式可以写作：ax=c (mod b)，其中a，b，C为任意的实数，a，b不全为0。
这个式子表示a除以b 的余数等于c。
简单的讲就是找出这个方程的整数解。
2.线性同余方程的解法
当a, b, c是任意的实数时，解线性同余方程的一般方法是将其化为分数除法的形式，即a/b = c/m，其中m的值可以通过最大公约数确定，然后令a/b = c/m，可以求得x = m/b。
另外，当a，b，c
都是正整数时，可以使用贝祖定理解决线性同余方程。
3.贝祖定理
贝祖定理是解线性同余方程的一种重要方法，它的公式为：ax
c(mod b)，其中a，b，C为正整数，a，b不全为0。
这个定理表明，当a，b，c都是正整数时，可以使用贝祖定理来求解线性同余方程，即可以求出方程的解。
4.线性同余的实例
例如，求解3x 5 (mod 7)。
由贝祖定理可得，x=5*71=34，即3x 5 (mod 7)的解为x=34。
5.小结
本文讲解了线性同余方程的概念和解法，包括简单的分数除法和贝祖定理。
最后，给出了一个线性同余方程的例子，来说明如何正确的求解。
通过本文，读者可以了解线性同余方程的解法，从而能够正确地求解线性同余方程。
sagemath求解同余方程
同余方程是数论中重要的概念，它在密码学、离散数学和计算机科学等领域有着重要的应用。
SageMath是一款开源的数学软件，它提供了丰富的数学函数和工具，可以用于解决同余方程。
本文将介绍同余方程的基本概念和SageMath中求解同余方程的方法。
一、同余方程的定义同余方程是指两个整数在模n的情况下具有相同的余数。
具体来说，对于整数a、b和正整数n，如果a与b除以n得到的余数相同，即a≡b(mod n)，则称a与b在模n意义下同余。
同余关系可以用数学符号“≡”来表示。
对于整数a、b和模数n，如果a与b除以n得到的余数相同，则可以表示为a≡b(mod n)。
二、SageMath中同余方程的表示在SageMath中，可以使用符号“%”来表示同余关系。
对于整数a、b和模数n，可以使用表达式“a % n == b % n”来表示a与b在模n意义下同余。
对于整数a=7、b=17和模数n=5，可以使用表达式“7 % 5 ==17 % 5”来判断7与17在模5意义下是否同余。
三、SageMath中求解同余方程的方法1. 求解一元同余方程一元同余方程是指形如“ax≡b(mod n)”的方程，其中a、b和n 为已知整数，x为未知整数。
在SageMath中，可以使用“x =Mod(b, n).solve_congruence(a)”来求解一元同余方程。
对于方程“3x≡2(mod 5)”，可以使用“x = Mod(2,5).solve_congruence(3)”来求解x的取值。
2. 求解线性同余方程组线性同余方程组是指形如“{ax≡b(mod n)cx≡d(mod m)}”的方程组，其中a、b、c、d、n和m为已知整数，x为未知整数。
在SageMath中，可以使用“Chinese_remainder_theorem([(b, n), (d, m)])”来求解线性同余方程组。
对于方程组“{2x≡1(mod 3)3x≡2(mod 5)}”，可以使用“Chinese_remainder_theorem([(1, 3), (2, 5)])”来求解x的取值。
线性同余法
线性同余法这是《建模与仿真》课的作业，还是很有启发的，所以整理出来和大家分享。
问题1:X_{i}=(aX_{i-1}+c)\%M\\设X_{0}为初始随机种子，从公式可以看出只要确定了a,c,M整个系列也就完全确定了，这对于生成随机数显然是不利的，曾经也有人破解过老虎机的随机数生成器从而获利。
但是只要参数对使用者保密，还是能产生很均匀的随机数的，但是如何科学的选取随机数参数是一个很难的问题。
这里令S为计算机位数。
令M是1～2^{s}中最大的素数，数论表明，若a是M的原根，则乘同余法随机数发生器的循环周期p=M-1，也就是说，这样的随机数发生器达成了完成周期，而且其中不包括0，这里原根的定义为:满足a^{M-1}\%M=1且与M互素的数a。
所以在S=32时可取以下参数:M=2^{32}-1,a=16807或者a=630360016。
而c的选取原则是与M互素。
所以确定最后参数如下:\begin{cases}M=2^{31}-1\\a=630360016\\c=7\end{cases}\\python代码如下:def random(seed, num, a=630360016, c=7, m=2 ** 31 - 1):# a 比例 c 常数 m 余数ans = np.zeros(num)n = 0x = seedwhile n < num:x = (a * x + c) % my = x / mans[n] = yn += 1return ans, x问题2.1均匀性检验:对 seed=15 生成的 10000 个随机数进行均匀性与独立性检验:随机性检验可以先使用粗略的统计检验，即检验其均值，方差等参数，若连这些简单的对比都相差很大的话，也没有下一步检验均匀性的必要了。
检验了均值和方差以及平方值的均值后通过卡方检验验证均匀性，这里将0～1的区间划分成10个均匀的区间，得频数如下:\bar{C}=\sum_{i=1}^{n}{\frac{(n_{i}-m_{i})^2}{m_{i}}}\\最后计算出 \bar{C}=2.94599采用5%置信度，查 \chi^{2}_{n-1} 分布表得\chi^{2}_{0.05,9}=16.919 ，显然 \bar{C}<\chi^{2}_{0.05,9} ，所以认为这10000个随机数载均匀性上是95%可信的。
西尔维斯特方程唯一解
西尔维斯特方程唯一解西尔维斯特方程，又称为线性同余方程，是指形如ax ≡ b (mod m)，其中a，b，m为已知整数，x为未知整数。
解这种方程可以用到数论中的非常重要的概念——同余。
同余指两个数除以同一个正整数后余数相同，即a ≡ b(mod n)表示a与b同余于模n，可以表示为n | (a-b)。
同余关系是一种等效关系，可以利用同余关系把无限集划分为有限的几个等价类。
因此，求解线性同余方程的唯一解就显得尤为重要。
本文将讲述关于西尔维斯特方程的求解方法。
首先需要明确的是，只有在gcd（a，m）= 1的情况下，方程ax≡ b(mod m) 才有解。
如果gcd（a，m）> 1，方程则称为不完全同余方程。
在这种情况下，如果b是gcd（a，m）的倍数，则方程有解，否则方程无解。
因此，我们将重点放在gcd（a，m）= 1的情况下的求解方法上。
1. 扩展欧几里得算法扩展欧几里得算法求解的是ax + by = gcd（a，b）的最小非负整数解x和y。
在求解西尔维斯特方程时，我们可以利用扩展欧几里得算法求出gcd（a，m）= 1时的x0和y0，则ax0 + my0 = 1。
然后乘以b，得到bax0 + mby0 = b，即ax ≡ b(mod m)的一个特殊解。
接下来，利用模m的加减运算规则，可以得到通解为x ≡ x0b (mod m)。
2. 费马小定理当m是质数且a与m互质时，可以利用费马小定理求解。
费马小定理指的是，对于任意不是m的倍数的a，a^(m-1) ≡ 1(mod m)。
因此，ax ≡ b(mod m)可以化为a^(m-1)x ≡ b^(m-1)(mod m)，即a^(φ(m))x ≡ b^(φ(m)) (mod m)，其中φ(m)表示小于等于m且与m互质的正整数的个数。
因此，我们只需要求出φ(m)和b^(φ(m)) (mod m)，即可解出x。
这里需要注意，φ(m)的求解可以用欧拉定理φ(m) = m(1 - 1/p1)(1 - 1/p2)...(1-1/pk) 进行计算。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
同理
递归求解
{=== 求解模线性方程 ax ≡ n (mod b) 其中n>0 ===} procedure modular_linear_equation_solver(a,b,n:longint); var d,x,y,e,i:longint; begin d:=extended_euclid(a,n,x,y); if n mod d>0 then writeln('No answer!') {输出无解信息} else begin
{=== 扩展的欧几里德算法，求出gcd(a,b)和满足gcd(a,b)=ax+by的整数x和y ===}
function extended_euclid(a,b:longint;var x,y:longint):longint; var t:longint; begin if b=0 then begin result:=a; x:=1; y:=0; end else begin result:=extended_euclid(b,a mod b,x,y); t:=x; x:=y; y:=t-(a div b)*y; end; end;
有等式ax+by=c,已知a、b、 c,求x和y。 (a、b、c、x、 y都是整数)
不定方程ax + by = n的步骤如下:
(1)计算gcd(a, b). 若gcd(a, b)不能整除n，则方程无整数 解；否则，在方程的两边同除以gcd(a, b)， 得到新的不定方程a‘x + b’y = n‘，此时gcd(a’, b‘) = 1 (2)求出不定方程a’x + b‘y = 1的一组整数解x0, y0，则 n’x0，n‘y0是方程a’x + b‘y = n’的一组整数解。 (3)根据拓展欧几里得算法，可得方程a'x + b'y = n'的所 有整数解为： x = n'x0 + b't y = n'y0 - a't (t为整数) 这也就是方程ax + by = n的所有整数解
利用扩展的欧几里德算法，计算(a, b)和满足d = (a, b) = ax0 + by0的x0和y0， 也就是求出了满足a'x0 + b'y0 = 1的一组整数解。 因此可得： x = n/d * x0 + b/d * t y = n/d * y0 - a/d * t (t是整数) a( n/d * x0 + b/d * t) +b( n/d * y0 - a/d * t ) =an/d*x0+ab/d*t+bn/d*y0ab/d*t=n(a/d*x0+b/d*y0)=n(a'x0 + b'y0 )=n
如何求 ax'+by'=1 的一组解？ 设 a>b>0, (a mod b)X.+by.=1 则 (a mod b)x.+(a div b)bx.-(a div b)bx.+by. =[a mod b+ (a div b)*b]x.+[by.- (a div b)bx.] =ax.+b[y.-(a div b)x.] =1 故 ax'+by'=1 有一组解 x'=x. y'=y.-(a div b)x. 对于 ax'+by'=1 若 b>a>0 将x'与y'互换可得 若 ay.+(b mod a)x.=1 则 ay'+bx'=1 有一组解 x'=x. y'=y.-(b div a)x. 将x'与y'互换回来得 ax'+by'=1 当 b>a>0 时 有一组解 x'=x.-(b div a)y. y'=y'
e:=x*(n div d) mod n; for i:=0 to d-1 do writeln( (e+i*(n div d)) mod n ); {输出第i个解 } end; end;
pascal语言的程序： ==========================================================
Байду номын сангаас