中考专题复习--旋转 (解析版)

【解答】
∵ 绕直角顶点 顺时针旋转 得到 ，
∴ ＝ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ＝ ， ＝ ＝
∴ ＝ ＝ ，
14.如图，直线________与直线 相交于点 ，与直线 交于点 ， ＝ ， ＝ ．若将直线 绕点 逆时针旋转一定角度，使直线 与直线 平行，则这个旋转角至少是________ ．
【答案】
, , , , , , , , , ,
D.
【答案】
C
【考点】
旋转的性质
【解析】
先过 作 于 ，根据 ，可得 ＝ ＝ ，再根据当 ＝ ＝ 时， ＝ ，即点 与点 重合，即可得出线段 的最小值为 ．
【解答】
如图所示，过 作 于 ，则 ＝ ＝ ，
由旋转可得， ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴当 ＝ ＝ 时， ＝ ，即点 与点 重合，
【答案】
【考点】
等腰直角三角形
旋转的性质
【解析】
先在 中利用勾股定理求出 ，再根据旋转的性质得出 ，然后根据阴影部分的面积 （扇形 的面积 的面积） （ 的面积-扇形 的面积），代入数值解答即可．
【解答】
∵在 中， ， ，
∴ ，
∵把 逆时针旋转 ，得到 ，
∴ ， ， ， ，
∴阴影部分的面积 ，
16.如图，直径 为 的半圆，绕点 逆时针旋转 ，此时点 到了点 ，则图中阴影部分的面积是________．
【答案】
【考点】
扇形面积的计算
旋转的性质
【解析】
根据题意得出 ， ，根据图形得出图中阴影部分的面积 即可得到结论．
【解答】
∵ ，
∴图中阴影部分的面积是：
．
17.如图， ， ，且 边在直线 上，将 绕点 顺时针旋转到位置①可得到 ，再将位置①的三角形绕点 顺时针旋转到位置②可得到 ，将位置②的三角形绕点 顺时针旋转到位置③得到 ，按此规律继续旋转，则 ________．
②点 在 的延长线上时， .
综上所述， 的长为 或 ．
【考点】
旋转的性质
正方形的性质
【解析】
根据正方形的性质可得 ， ，再根据旋转的性质可得 ，然后利用“ ”证明 和 全等，根据全等三角形对应边相等可得 ，再求出正方形的边长为 ，然后分点 在线段 上和 的延长线上两种情况讨论求解．
【解答】
解：在正方形 中， ， ，
【答案】
【考点】
规律型：图形的变化类
规律型：点的坐标
规律型：数字的变化类
旋转的性质
【解析】
由题意可得 ，观察图形可得每 次旋转， 沿水平方向平移 ，则 ．
【解答】
∵ ， ，
∴
由题意可得
∴每 次旋转， 沿水平方向平移
∴
四、解答题（本题共计6小题，每题12分，共计72分）
18.已知， 中， ，点 为 边上的一点.
【解答】
连接 ，
可得 ＝ ＝ ＝ ，
则 ＝ ，
根据弧长公式，可得
弧 的长度等于 ，
7.如图，将等腰直角三角形 绕点 逆时针旋转 后得到 ，若 ＝ ，则图中阴影部分的面积为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【考点】
等腰三角形的性质
旋转的性质
【解析】
根据题意，阴影部分为含 锐角的直角三角形．已知长直角边可求短直角边长，再代入面积公式计算求解．
【解答】
如图，设 ， 交于 ．
∵四边形 和 都为正方形，
∴ ＝ ， ＝ ， ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ；故①②正确；
连பைடு நூலகம் ， ，如图所示，
∴ ＝ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ＝ ，
则 ＝ ＝ ，故③正确．
三、填空题（本题共计6小题，每题4分，共计24分）
以点 为旋转中心，将 逆时针旋转 ，得到 ，请你画出旋转后的图形；
延长 交 于点 ，求证： ；
【答案】
解：如图所示： 为求所作.
证明：∵ 逆时针旋转 得
∴ ，
又∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ .
【考点】
相似三角形的性质
作图-旋转变换
旋转的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图所示： 为求所作.
证明：∵ 逆时针旋转 得 ，
∴ ，
又∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ .
19.已知正方形 中，点 在边 上， ， ，把线段 绕点 旋转，使点 落在直线 上的点 处，则 的长是多少？
【答案】
解：在正方形 中， ， ，
由旋转的性质得， ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴正方形的边长为 .
有以下两种情况，如图所示：
①点 在线段 上时， ；
由旋转的性质得， ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴正方形的边长为 .
有以下两种情况，如图所示：
①点 在线段 上时， ；
②点 在 的延长线上时， .
综上所述， 的长为 或 ．
20.如图， 由 绕点 旋转得到， ， ， 三点在同一条直线上， ．求证： 是等腰三角形．
【答案】
证明：由旋转知 ，
∵ ，
∵ ＝ ，
而 ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ；所以 选项正确；
∵ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ 平分 ，所以 选项正确；
6.如图，边长为 的菱形 绕点 旋转，当 、 两点恰好落在扇形 的弧 上时，弧 的长度等于（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
D
【考点】
菱形的性质
弧长的计算
旋转的性质
【解析】
连接 ，根据题意可得 为等边三角形，从而可得到 的度数，再根据弧长公式求得弧 的长度．
此时 ＝ ＝ ，
∴线段 的最小值为 ，
11.如图，正方形 和正方形 边长分别为 和 ，正方形 绕点 旋转，给出下列结论：① ＝ ；② ；③ ＝ ，其中正确结论有（）
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
【答案】
D
【考点】
全等三角形的性质与判定
勾股定理
正方形的性质
旋转的性质
【解析】
由四边形 与四边形 都为正方形，得到四条边相等，四个角为直角，利用 得到三角形 与三角形 全等，利用全等三角形对应边相等即可得到 ＝ ，利用全等三角形对应角相等得到 ＝ ，利用等角的余角相等及直角的定义得到 为直角，利用勾股定理求出所求式子的值即可．
【答案】
解：∵长方形 绕点 顺时针旋转至 ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
证明：∵ 为 中点，
∴ ，
∴ ，
∵长方形 绕点 顺时针旋转至 ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中
∴ ，
∴ ；
解：能．理由如下：
∵四边形 为正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ 与 为腰相等的两等腰三角形，
当 时，
，
当 与 为钝角三角形时，
【解答】
∵ 绕点 顺时针旋转 得到 ，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ＝ ，
∵ ＝ ，
∴ ＝（4）
9.如图，等边 绕点 逆时针旋转 时，点 转到 的位置，且 与 交于点 ，则 的值为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【考点】
等边三角形的性质
旋转的性质
【解析】
设等边三角形的边长为 ，利用旋转的性质得 ＝ ， ＝ ＝ ，再利用等边三角形的性质得 ＝ ，所以 平分 ，根据等边三角形的性质得到 ＝ ， ，则 ＝ ，然后计算 即可．
在 和 中
，
∴ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
即 ＝ ．
22.如图①，将一个边长为 的正方形 和一个长为 ，宽为 的长方形 拼在一起，构成一个大的长方形 ．现将小长方形 绕点 顺时针旋转至 ，旋转角为 ．
当点 恰好落在 边上时，求旋转角 的值；
如图②， 为 中点，且 ，求证： ；
小长方形 绕点 顺时针旋转一周的过程中， 与 能否全等？若能，直接写出旋转角 的值；若不能说明理由．
【解答】
∵等腰直角 绕点 逆时针旋转 后得到 ，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴阴影部分的面积 ，
8.如图， 中， ＝ ， ＝ ， ＝ ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，则 的长为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【考点】
旋转的性质
【解析】
根据旋转的性质可得 ＝ ， ＝ ，然后判断出 是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得 ＝ ．
【解答】
设等边三角形的边长为 ，
∵等边 绕点 逆时针旋转 ，
∴ ＝ ， ＝ ＝ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ＝ ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∴ ＝ ， ，
∴ ＝ ＝
∴ ．
10.如图，在 中， ＝ ， ＝ ， ＝ ， 为 中点， 为 上的动点，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连 ，则线段 的最小值为（）
A.
B.
C.
【解答】
中， ，
由旋转的性质，设 ，则 ，
∵ 绕 边上的点 顺时针旋转 得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ ，
5.如图，将 绕点 顺时针旋转，使点 落在 边上点 处，此时点 的对应点 恰好落在 的延长线上，下列结论错误的是（）