高中数学利用相关点法巧解对称问题专题辅导

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利用相关点法巧解对称问题对称问题在高考试题中经常出现，常见的有中心和轴对称两种。

尽管试题年年翻新，情境不断变化，甚至不落俗套，但经研究可以发现，其解法的普遍规律还是可以归纳总结的。

笔者认为，图象对称的原始基础是图象上点与点之间的对称，因此，抓住对称点之间的数量关系及其内在联系，可将几何对称语言转化为代数坐标、方程语言。

代数化地展开研究是解决对称问题的有效方法，亦简称相关点法。

下面通过一些实例加以说明。

一. 函数中的对称问题例1 （2001年高考）设y f x =()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称。

证明y f x =()是周期函数。

证明：设（x ，y ）为y f x =()图象上任意一点，则其关于x =1的对称点可求得：(,)2-x y ，于是根据函数关系有：y f x f x ==-()()2，又因为y f x =()是定义在R 上的偶函数，故有：f x f x ()()=-，因此结合上式有：f x f x f x ()()()=-=-2，故由f x f x ()()-=-+2知：y f x =()是周期函数，T =2。

例 2 （1997年高考文）设y f x =()是定义在R 上的函数，则函数y f x =-()1与f f x =-()1的图象关于（）A. 直线y =0对称B. 直线x =0对称C. 直线y =1对称D. 直线x =1对称解：可设（x 1，y ）为y f x =-()1上任意一点，则有y f x =-()11；若（x 2，y ）为y f x =-()1上一点，也有y f x =-()12，一般地，由f x f x ()()1211-=-可知：x x 1211-=-，所以x x 1221+=，即（x 1，y ）与（x 2，y ）关于直线x =1对称，故选（D ）。

评注：例1是一个函数图象本身内在对称问题，例2是两个函数图象之间的对称问题，尽管问题情境不同，但解法有相通之处，均可抓住对称点（即相关点）加以讨论。

高考数学专题05 解析几何中的对称解法(解析版)

专题05 解析几何中的对称解法一．【学习目标】1.掌握点关于直线，直线关于直线，曲线关于点，曲线关于直线的对称2.对称思想的应用二．【知识点】 1．中心对称(1)设平面上的点M (a ，b )，P (x ，y )，P ′(x ′，y ′)，若满足：x ＋x ′2＝a ，y ＋y ′2＝b ，那么，我们称P ，P ′两点关于点M 对称，点M 叫做对称中心．(2)点与点对称的坐标关系：设点P (x ，y )关于M (x 0，y 0)的对称点P ′的坐标是(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x 0－xy ′＝2y 0－y . 2．轴对称(1)设平面上有直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和两点P (x ，y )，P ′(x ′，y ′)，若满足下列两个条件：①__________________；②_______________________，则点P ，P ′关于直线l 对称． (2)对称轴是特殊直线的对称问题对称轴是特殊直线时可直接通过代换法得解：①关于x 轴对称(以_____代______)； ②关于y 轴对称(以_______代_______)； ③关于y ＝x 对称(_______互换)；④关于x ＋y ＝0对称(以_______代_____，以_____代______)； ⑤关于x ＝a 对称(以______代______)； ⑥关于y ＝b 对称(以________代________)． (3)对称轴为一般直线的对称问题可根据对称的意义，由垂直平分列方程，从而找到坐标之间的关系：设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(AB ≠0)对称，则三．【题型】（一）点关于直线的对称（二）光线的对称问题（三）圆关于直线的对称（四）利用对称求最值（五）圆锥曲线的对称（六）椭圆的中点弦问题（七）双曲线的中点弦（八）抛物线的对称问题（九）椭圆中的对称方法（十）对称的综合应用四．【题型解法】（一）点关于直线的对称例1.已知坐标原点()0,0O 关于直线L 对称的点()3,3M -，则直线L 的方程是（） A ．210x y -+= B ．210x y --= C ．30x y -+= D ．30x y --=【答案】D【解析】由(0,0)O , (3,3)M -, 可得OM 的中点坐标为33,22⎛⎫-⎪⎝⎭,又313OMk-==-, OM∴的垂直平分线的斜率为1, ∴直线L的方程为33122y x⎛⎫+=⨯-⎪⎝⎭,即30x y--=，故选D.练习1．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称为欧拉线，已知ABC∆的顶点(20)(04)A B，，，,若其欧拉线方程为20x y-+=, 则顶点C的坐标为(）A．04-（，）B．4,0-（）C．4,0（）或4,0-（）D．4,0（）【答案】B【解析】设C坐标x,y（），所以重心坐标为2+4(,)33x y+，因此2+4204033x yx y+-+=∴-+=，从而顶点C的坐标可以为4,0-（），选B.（二）光线的对称问题例2．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A.5B.33C.6D.210【答案】D【解析】点P关于y轴的对称点P'坐标是()2,0-，设点P关于直线:40AB x y+-=的对称点()",P a b，由()112204022baa b-⎧⨯-=-⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩，解得42ab=⎧⎨=⎩，故光线所经过的路程()22'"242210P P=--+=，故选D.练习1.一条光线从点()2,3-射出，经x轴反射后与圆2264120x y x y+--+=相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．65或56B．45或54C．43或34D．32或23【解析】点()2,3-关于x 轴的对称点Q 的坐标为()2,3--，圆2264120x y x y +--+=的圆心为()3,2，半径为1R =.设过()2,3--且与已知圆相切的直线的斜率为k ，则切线方程为()23y k x =+-即230kx y k -+-=，所以圆心()3,2到切线的距离为25511k d R k-===+，解得43k =或34k =，故选C.（三）圆关于直线的对称例3.．直线1l ：y x =、2l ：2y x =+与C e ：22220x y mx ny +--= 的四个交点把C e 分成的四条弧长相等，则(m = ) A ．0或1 B ．0或1-C ．1-D ．1【答案】B【解析】直线l 1：y=x 与l 2:y=x+2之间的距离为2，⊙C ：22220x y mx ny +--=的圆心为（m ，m ），半径r 2=m 2+m 2，由题意可得222222222()()22{22()()2m nm n m n m n -+=+-++=+解得 m=0或m=-1，故选B.练习1．已知圆关于对称，则的值为 A ．B ．1C ．D ．0【答案】A 【解析】化圆为．则圆心坐标为，圆关于对称，所以直线经过圆心，，得．当时，，不合题意，．故选A ．练习2.已知直线3420x y ++=与圆2240x y y ++=相交于,A B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程为A ．4360x y --=B ．4320x y --=C ．4360x y ++=D ．3480x y ++= 【答案】A【解析】圆2240x y y ++=的圆心坐标为()0,2C -，AB 的中垂线垂直于AB 且过C ，故可设中垂线的方程为：430x y m -+=，代入()0,2C -可得6m =-，故所求的垂直平分线的方程为4360x y --=，故选A.（四）利用对称求最值例4．已知点P ，Q 分别在直线1:20l x y ++=与直线2:10l x y +-=上，且1PQ l ⊥，点()3,3A --，31,22B ⎛⎫⎪⎝⎭，则AP PQ QB ++的最小值为（）．A ．130B ．3213+C ．13D ．32【答案】B【解析】因为112,P l l l Q ⊥P ，故()21322PQ --==1AA k '=，故1AA l '⊥，所以A P A Q 'P ，又322AA '=，所以AA PQ '=，故四边形AA QP '为平行四边形， 322AP PQ QB A Q QB '++=++，因为13A Q QB A B ''+≥=，当且仅当,,A Q B '三点共线时等号成立，AP PQ QB ++的最小值为32132+，选B.（五）圆锥曲线的对称例5.已知F 是双曲线2218y C x -=：的右焦点，P 是C 左支上一点，)66,0(A ，当APF ∆周长最小时，则点P 的纵坐标为（） A ．66 B ．26C ．46D ．86-【答案】B【解析】如图：由双曲线C 的方程可知：a 2=1，b 2=8，∴c 2=a 2+b 2=1+8=9，∴c=3，∴左焦点E （-3，0），右焦点F （3，0）， ∵|AF|=223(66)15+=，所以当三角形APF 的周长最小时，|PA|+|PF|最小．由双曲线的性质得|PF|-|PE|=2a=2，∴|PF|=|PE|+2，又|PE|+|PA|≥|AE|=|AF|=15，当且仅当A ，P ，E 三点共线时，等号成立． ∴三角形APF 的周长：|AF|+|AP|+|PF|=15+|PE|+|AP|+2≥15+15+2=32．此时，直线AE 的方程为y=2666x +，将其代入到双曲线方程得：x 2+9x+14=0，解得x=-7（舍）或x=-2，由x=-2得6（负值已舍）故选：B ．练习1．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 关于直线0x y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆的离心率为（） ABC1 D1【答案】A【解析】∵点()0F c -，关于直线0x y +=的对称点A 为()0,A c ，且A 在椭圆上，即22b c =，∴c b =，∴椭圆C的离心率2e ===．故选A ．（六）椭圆的中点弦问题例1．如果椭圆22193x y +=的弦被点(1,1)M 平分，则这条弦所在的直线方程是（）A ．340x y +-=B ．320x y -+=C ．320x y --=D ．340x y +-=【答案】A【解析】设直线与椭圆交点为()11,A x y ，()22,B x y22112222193193x y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得：1212121213ABy y x x k x x y y -+==-⋅-+ 又M 为AB 中点 122x x ∴+=，122y y += 13AB k ∴=-∴直线方程为：()1113y x -=--，即：340x y +-= 本题正确选项：A练习1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于,A B两点，且AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为（）A．22B．12C．14D．32【答案】A【解析】设A（1x，1y），B（2x，2y），又AB的中点为11,2M⎛⎫⎪⎝⎭，则121221x x y y+=+=，，又因为A、B在椭圆上所以22221122222211x y x ya b a b+=+=，两式相减，得：2121221212y y y y bx x x x a-+⋅=--+∵12121212b1c2AB FP OMy y y yk k kx x x x，-+===-==-+,∴22b2cba=，，∴22a bc=，平方可得()42224a a c c=-, ∴22ca=12,c2a2=，故选A.练习2．已知椭圆22142x y+=，则以点（1，1）为中点的弦的长度为（）A．2B．3C30D36【答案】C【解析】设直线方程为y=k（x﹣1）+1，代入椭圆方程，消去y得：（1+2k2）x2﹣（4k2﹣4k）x+2k2﹣4k﹣2=0，设交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，解得k=﹣12，∴x1x2=13，∴221212301()43k x x x x++-=．故选C．练习3．已知椭圆C ：()2222100x y a b a b +=＞，＞的离心率为2，直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，且线段AB 的中点为()21M -，，则直线l 的斜率为（）A.13B.23C.12D.1【答案】C【解析】由c e a ==，得2222234c a b a a -==， ∴224a b =，则椭圆方程为22244x y b +=，设()()1122A x y B x y ，，，，则121242x x y y ，+=-+=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-②得：()()()()121212124x x x x y y y y -+=--+，∴()12121212414422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯．∴直线l 的斜率为12．故选：C ．（七）双曲线的中点弦例7．直线l 与双曲线2212y x -=交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆C 的方程为22240x y x y m ++++=，则m =（）A.-3B.3C.5-D.【答案】A【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y由根据圆的方程可知(1,2)C --，C 为AB 的中点根据双曲线中点差法的结论202021112ABx b k a y -=⨯=⨯=- 由点斜式可得直线AB 的方程为1y x =-将直线AB 方程与双曲线方程联立22121y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩解得34x y =-⎧⎨=-⎩或10x y =⎧⎨=⎩，所以AB =由圆的直径AB ===3m =-故选A.练习1．双曲线221369x y -=的一条弦被点(4,2)P 平分，那么这条弦所在的直线方程是（）A ．20x y --=B ．2100x y +-=C ．20x y -=D ．280x y +-=【答案】C【解析】设弦的两端点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ，则22111369x y -=，22221369x y -=，两式相减得12121212()()()()369x x x x y y y y -+-+=，即121212129()98136()3642y y x x k x x y y -+⨯====-+⨯，∴弦所在的直线方程12(4)2y x -=-，即20x y -=．故选：C练习2．已知双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为y =，过点P ⎫⎪⎪⎝⎭． ()1求双曲线C 的标准方程；()2是否存在被点()1,1B 平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）2212y x -=（2）直线l 不存在．详见解析【解析】()1双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为y =，设双曲线方程为：22y x λ2-=，过点P ⎫⎪⎪⎝⎭．可得λ1=，所求双曲线方程为：22y x 12-=． ()2假设直线l 存在．设()B 1,1是弦MN 的中点，且()11M x ,y ，()22N x ,y ，则12x x 2+=，12y y 2+=．M Q ，N 在双曲线上，22112x y 122222x y 1-=⎧⎪∴-=⎨⎪⎩， ()()()()121212122x x x x y y y y 0∴+---+=，()()12124x x 2y y ∴-=-，1212y y k 2x x -∴==-，∴直线l 的方程为()y 12x 1-=-，即2x y 10--=，联立方程组222x y 22x y 10-=⎧--=⎨⎩，得22x 4x 30-+=1643280QV =-⨯⨯=-<，∴直线l 与双曲线无交点，∴直线l 不存在．练习3．已知双曲线的中心在原点，焦点为，且离心率.（1）求双曲线的方程；（2）求以点为中点的弦所在的直线方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题可得，，∴，,所以双曲线方程 .（2）设弦的两端点分别为，，则由点差法有： , 上下式相减有：又因为为中点，所以，,∴，所以由直线的点斜式可得,即直线的方程为.经检验满足题意.（八）抛物线的对称问题例8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，倾斜角为4π的直线交抛物线C 于A ，B 两点，且线段AB 中点的纵坐标为1，则抛物线C 的准线方程是________ 【答案】12x =-【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2211222,2y px y px ==，两式相减得：()()()1212122y y y y p x x -+=-，又因为直线的斜率为1，所以12121y y x x -=-，所以有122y y p +=，又线段AB 的中点的纵坐标为１，即122y y +=，所以1p =，所以抛物线的准线方程为12x =-．故答案为：12x =-．练习1．如图所示，点P 为抛物线E ：28y x =上的动点，点Q 为圆:M 22430x y x +-+=上的动点，则PQ的最小值为___________.【答案】1【解析】圆:M 22430x y x +-+=可化为22(2)1x y -+=，故圆M 的圆心（2，0），半径为1.设000(,)(0)P x y x ≥为抛物线28y x =上任意一点，故有2008y x =，∴00(,)P x y 与（2，0）的距离2222200000000(2)44844(2)d x y x x x x x x =-+=-++=++=+当00x =时， 00(,)P x y 与（2，0）的距离取最小值2，PQ ∴的最小值为211-=，故答案为：1.（九）椭圆中的对称方法例9．如图,椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ,过F 的直线交椭圆于,A B 两点,点C 是A 点关于原点O 的对称点,若CF AB ⊥且CF AB =,则椭圆的离心率为__________．【答案】63-【解析】作另一焦点F ',连接AF '和BF '和CF ',则四边形FAF C '为平行四边,所以AF CF AB '==,且AF AB '⊥,则三角形ABF '为等腰直角三角形, 设AF AB x '== ,则24x x x a +=,解得(422)x a =-,(222)AF a =,在三角形AFF ' 中由勾股定理得222()()(2)AF AF c '+=,所以2962,63e e =-=,故答案为63-.练习1．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且12PF F ∆面积3 6.（1）求椭圆C 的方程，并求椭圆C 的离心率；（2）已知直线l ：1(0)y kx k =+>与椭圆C 交于不同的两点AB ，若在x 轴上存在点(,0)M m ，使得M 与AB 中点的连线与直线l 垂直，求实数m 的取值范围【答案】（1）22143x y +=，椭圆的离心率12e =（2）3,012⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【解析】（1）由题意得2223226bc c a a b c ⎧=⎪+=⎨⎪=+⎩，解之得2a =，3b =1c =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=，椭圆的离心率12e =；（2）由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2243880k x kx ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122843kx x k -+=+，122643y y k +=+，所以线段AB 中点的坐标为2243,4343k k k -⎛⎫⎪++⎝⎭，则223143443k k k m k -+=-++，整理得213434k m k k k=-=-++，因为0k >，所以34k k +≥=34k k =，即k =时上式取得等号，此时m取得最小值12-，因为0k >，所以2043k m k =-<+，所以实数m的取值范围是⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 练习2．已知椭圆22:194x y C +=，若不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点.(1)若线段MN 的中点坐标为()1,1，求直线l 的方程；(2)若直线l 过点()6,0，点()0,0P x 满足0PM PN k k +=（,PM PN k k 分别是直线,PM PN 的斜率），求0x 的值.【答案】（1）49130x y +-=（2）32【解析】（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，由点,M N 都在椭圆22:194x y C +=上，故22112222194194x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22222121094x x y y --⇒+=，则()()212121214499x x y y k x x y y +-==-=--+故直线l 的方程为()411491309y x x y -=--⇒+-= （2）由题可知，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为()6y k x =-，()0,0P x ，则()()()()1212021010200660PM PN y y k k k x x x k x x x x x x x +=+=⇒--+--=--即()()12012026120x x x x x x -+++=①联立()()222222149108936360946x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+-+⨯-=⎨⎪=-⎩，则21222122108499363649k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⨯-⎪=⎪+⎩将其代入①得()()2220003546964902k k x x k x --+++=⇒=故0x 的值为32（十）对称的综合应用例10．在直角坐标系xOy 中，抛物线2:4x C y =与直线:4l y kx =+ 交于M ，N 两点.（1）当0k =时，分别求抛物线C 在点M 和N 处的切线方程；（2）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由.【答案】(1) 过点M 和点N 的切线方程分别为24,24y x y x =-=--.(2)存在点()0,4P -，理由见解析【解析】（1）由题意知0k =时，联立244y x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得()4,4M ，()4,4N -．设过点()4,4M 的切线方程为(4)4y k x =-+，联立2444y kx kx y =+-⎧⎪⎨=⎪⎩得：2416160x kx k -+-=，由题意：2164(1616)0k k ∆=--=，即2440k k -+=，解得2k =，根据对称性，过点()4,4N -的切线斜率为2k =-，所以过点M 和点N 的切线方程分别为24,24y x y x =-=--. （2）存在符合题意的点，证明如下：设点P ()0,b 为符合题意的点，()11,M x y ，()22,N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ．联立方程244y kx x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得24160x kx --=，故124x x k +=，1216x x =-，从而121212y b y b k k x x --+=+=()()12121224kx x b x x x x +-+=()44k b +．当4b =-时，有120k k +=，则直线PM 与直线PN 的倾斜角互补，故OPM OPN ∠=∠，所以点()0,4P -符合题意．练习2．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F，点(,B m 在抛物线C上，A ，且||2||BF AF =.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点(1,2)P 作直线PM ，PN 分别交抛物线C 于M ，N 两点，若直线PM ，PN 的倾斜角互补，求直线MN 的斜率.【答案】（1）24y x =（2）1-【解析】（1）由题得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则||2p BF m =+，||AF =因为|2||BF AF =，所以2P m +=因为点B 在抛物线C 上，所以122pm =，即6pm =.②联立①②得428480p p +-=，解得2p =或2p =-（舍去），所以抛物线C 的标准方程为24y x =.（2）由题知直线PM ，PN 的斜率存在，且不为零，且两直线的斜率互为相反数设()11,M x y ，()22,N x y ，直线:(1)2(0)PM y k x k =-+≠由2(1)24y k x y x =-+⎧⎨=⎩，得()2222244440k x k k x k k --++-+=，则()222222444(2)16(1)0k k k k k ∆=-+--=->，又点P 在抛物线C 上，所以21244k k x k -+=同理得22244k k x k++=.则212228kx xk+ +=，12288kx xk k---==，()()12121212y y k x k x⎡⎤⎡⎤-=-+---+⎣⎦⎣⎦()122k x x k=+-22282kk kk+=⋅-8k=，所以1212818MNy y kkx xk-===---即直线MN的斜率为-1.练习3．如图, 直线12y x=与抛物线2148y x=-交于,A B两点, 线段AB的垂直平分线与直线5y=-交于Q点.（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含,A B）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.【答案】(1) ()5,5Q-；(2) 最大值30【解析】(1) 解方程组212148y xy x⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得11-4-2xy=⎧⎨=⎩或2284xy=⎧⎨=⎩即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).由12ABK=,直线AB的垂直平分线方程()122y x-=--令5y=-, 得5x=, ∴()5,5Q-(2)直线OQ的方程为x+y=0, 设21,48P x x⎛⎫-⎪⎝⎭∵点P 到直线OQ 的距离2832x +-,OQ =, ∴12OPQ S ∆=OQ d =2583216x x +-. ∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上, ∴－4≤x4或4< x ≤8.∵函数2832y x x =+-在区间[]4,8-上单调递增,∴当x =8时, ΔOPQ 的面积取到最大值30。

高中数学解题方法系列：解析几何中对称问题的常见求解方法

高中数学解题方法系列：解析几何中对称问题的常见求解方法解析几何中的对称问题在现行中学数学材料中没有按章节进行系统编排，只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。

但这部分知识是解析几何中重要的基础内容，也是近年来的高考热点之一。

对称点、对称直线的求法，对称问题的简单应用及其解题过程中所体现的思想和方法是学生必须掌握的。

这就要求教师在讲完直线、曲线部分后，需对对称问题进行适当的归纳、总结。

使学生对这部分知识有一个较完整的、系统的认识，从而解决起对称问题才能得心应手。

本文谈一下中学解析几何中常见的对称问题和解决办法。

一、关于点对称。

1、点关于点对称。

①点(,)P a b 关于原点的对称点坐标是(,)a b --；②点(,)P a b 关于某一点00(,)M x y 的对称点的坐标，利用中点坐标式求得为00(2,2)x a y b --。

2、直线关于点对称。

① 直线L ：0Ax By C ++=关于原点的对称直线。

设所求直线上一点为(,)P x y ，则它关于原点的对称点为(,)Q x y --，因为Q 点在直线L 上，故有()()0A x B y C -+-+=，即0Ax By C +-=；② 直线1l 关于某一点00(,)M x y 的对称直线2l 。

它的求法分两种情况：1、当00(,)M x y 在1l 上时，它的对称直线为过M 点的任一条直线。

2、当M 点不在1l 上时，对称直线的求法为：解法（一）：在直线2l 上任取一点(,)P x y ，则它关于M 的对称点为00(2,2)Q x x y y --，因为Q 点在1l 上，把Q 点坐标代入直线在1l 中，便得到2l 的方程。

解法（二）：在1l 上取一点11(,)P x y ，求出P 关于M 点的对称点Q 的坐标。

再由12l l K K =，可求出直线2l 的方程。

解法（三）：由12l l K K =，可设1:0l Ax By C ++=关于点00(,)M x y 的对称直线为'0Ax By C ++==求设'C 从而可求的及对称直线方程。

高中数学教案解析几何专题提升课三对称问题

专题提升课三对称问题类型一点关于点的对称点问题【典例1】已知点A (x ,5)关于点(1,y )的对称点为(-2,-3),则点P (x ,y )到原点的距离是( )A .2B .4C .5D .√17 【解析】选D .根据中点坐标公式得到x -22=1且5-32=y ,解得x =4,y =1,所以点P 的坐标为(4,1),则点P (x ,y )到原点的距离d =√(4-0)2+(1-0)2=√17.【思维提升】运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.类型二点关于直线的对称点问题【典例2】过点A (2,3)的光线在直线l :x +y +1=0上反射后的反射光线经过点B (1,1),试求入射光线和反射光线所在直线的方程.【思路分析】先求点关于直线l 的对称点,再由点斜式求直线的方程.【解析】设点A (2,3)关于直线l 的对称点为A'(x 0,y 0),则{2+x 02+3+y 02+1=0y 0-3x 0-2=1, 解得{x 0=-4y 0=-3,所以A'(-4,-3). 因为反射光线经过点A'(-4,-3)和B (1,1),所以反射光线所在直线的方程为y -1=(x -1)·1+31+4,即4x -5y +1=0. 联立{4x -5y +1=0x +y +1=0, 解得{x =-23y =-13,所以反射点的坐标为-23,-13,所以入射光线所在直线的方程为5x -4y +2=0.综上,入射光线和反射光线所在直线的方程分别为5x -4y +2=0,4x -5y +1=0.【思维提升】点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸,处理这类问题主要抓住两个方面:(1)两点连线与已知直线斜率乘积等于-1;(2)两点的中点在已知直线上.类型三直线关于点的对称直线问题【典例3】已知直线l :x +2y -2=0,试求:(1)点P (-2,-1)关于直线l 的对称点坐标;(2)直线l 关于点A (1,1)对称的直线方程.【解析】(1)设点P 关于直线l 的对称点为P'(x 0,y 0),则线段PP'的中点在直线l 上,且PP'⊥l.所以{y 0+1x 0+2×(-12)=-1,x 0-22+2×y 0-12-2=0, 解得{x 0=25,y 0=195.即P'点的坐标为25,195. (2)设直线l 关于点A (1,1)的对称直线为l',则直线l 上任意一点P 2(x 1,y 1)关于点A 的对称点 P 2'(x ,y )一定在直线l'上,反之也成立.由{x+x 12=1,y+y 12=1, 得{x 1=2-x ,y 1=2-y .将(x 1,y 1)代入直线l 的方程得,x +2y -4=0,即直线l'的方程为x +2y -4=0.【思维提升】直线关于点的对称问题,可转化为直线上的点关于某点对称的问题,这里需要注意的是两对称直线是平行的.类型四直线关于直线的对称直线问题【典例4】直线2x -y +3=0关于直线x -y +2=0对称的直线方程是 ( )A .x -2y +3=0B .x -2y -3=0C .x +2y +1=0D .x +2y -1=0【解析】选A .设所求直线上任意一点P (x ,y ),则P 关于x -y +2=0的对称点为P'(x 0,y 0),由{x+x 02-y+y 02+2=0,x -x 0=-(y -y 0), 得{x 0=y -2,y 0=x +2,由点P'(x 0,y 0)在直线2x -y +3=0上, 所以2(y -2)-(x +2)+3=0,即x -2y +3=0.【思维提升】直线关于直线对称问题,包含两种情形:①两直线平行,②两直线相交.对于①,可转化为点关于直线的对称问题去求解;对于②,其一般解法为先求交点,再转化为点关于直线的对称问题.。

高中数学对称性解题技巧

高中数学对称性解题技巧在高中数学中，对称性是一个非常重要的概念。

它不仅可以帮助我们解决问题，还可以提高我们的思维能力和创造力。

本文将介绍一些常见的对称性解题技巧，并通过具体的题目进行说明和分析，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用对称性解题技巧。

一、轴对称和中心对称轴对称和中心对称是对称性的两种基本形式。

轴对称是指物体或图形相对于某条轴线对称，而中心对称是指物体或图形相对于某个中心点对称。

在解题过程中，我们可以利用轴对称和中心对称的性质来简化问题，找到问题的对称部分，从而得到解题的关键。

例如，考虑以下数学题目：题目：已知平面上有一个正方形 ABCD，点 M 为边 AB 的中点，点 N 为边 BC 的中点。

若点 P 在边 CD 上，并且满足角 MPN = 90°，求证：三角形 MPN 是等腰直角三角形。

解析：首先，我们可以通过观察发现，正方形 ABCD 是以对角线 BD 为轴对称的。

因此，我们可以将问题简化为只考虑正方形的一半，即三角形 MPN。

接下来，我们观察到点 M 和点 N 是以对角线 BD 的中点为中心对称的。

因此，我们可以得出结论：三角形 MPN 是以边 MN 为中心对称的，即 MN 是三角形MPN 的中线，且 MN 垂直于边 PN。

由于 MN 是三角形 MPN 的中线，根据中线定理，我们可以得知三角形 MPN是等腰三角形。

又因为 MN 垂直于边 PN，所以三角形 MPN 是直角三角形。

通过以上分析，我们可以得出结论：三角形 MPN 是等腰直角三角形。

二、图形的旋转对称性除了轴对称和中心对称外，图形的旋转对称性也是解题中常用的对称性。

通过图形的旋转对称性，我们可以找到图形的重叠部分，从而简化问题。

考虑以下数学题目：题目：已知正方形 ABCD 的边长为 a，点 M 在边 AB 上，且满足 AM = a/3。

连接点 M 和点 D，延长线段 MD 到点 E，使得 ME = MD。

2025高考数学专项复习运用“对称变换”的思想方法解题含答案

运用“对称变换”的思想方法解题在中学数学中，对称的问题主要有以下4种形式:1.中心对称:①点关于点的对称；②曲线关于点的对称。

2.轴对称:①点关于直线的对称；②曲线关于直线的对称。

3.平面对称:①点关于平面的对称；②曲线关于平面的对称。

4.多项式对称:①一般轮换对称；②顺序轮换对称。

几何中的轴(面)对称和中心对称是最直观的对称，平面图形绕其内一定点旋转2πnn ∈N *的变换，也是常见的对称变换。

典型例题1定理一:函数y =f x 满足f a +x =f a -x 的充要条件是y =f x 的图像关于直线x =a 对称。

定理二:函数y =f x 满足f a +x -b =b -f a -x 的充要条件是y =f x 的图像关于点a ，b 成中心对称。

定理三:函数y =f x 满足F x =f x +a -f a 为奇函数的充要条件是y =f x 的图像关于点a ，f a 成中心对称(注:若a 不属于x 的定义域，则f a 不存在．依次解答如下问题:(1)设函数y =f x 的图像关于直线x =1对称，若x ≤1时，y =x 2+1，求x >1时y 的解析式；(2)若函数y =x 2+mx +1x的图像关于点0，1 中心对称，求m 的值；(3)已知函数f x 在-∞，0 ∪0，+∞ 上的图像关于点0，1 中心对称，且当x ∈0，+∞ 时f x =x 2+x +1.根据定理二求出f x 在-∞，0 上的解析式；(4)设函数y =f x ，y =g x 在定义域R 上的图像都是关于点a ，b 中心对称，则对于函数y =f x +g x ，y =f x -g x ，y =f x ⋅g x 及y =f xg x ，指出其中一个函数的图像一定关于点成中心对称，再指出其中一个函数的图像可以不关于点中心对称，并分别说明理由；(5)讨论函数f x =x -23 x +53 +x -3 -2x -83的图像的对称性。

【高中数学】高中数学对称问题指导

【高中数学】高中数学对称问题指导【编者按】对称问题是高中数学的重要内容之一，在高考数学试题中常出现一些构思新颖解法灵活的对称问题，为使对称问题的知识系统化，本文特作以下归纳。

一、点关于已知点或已知直线对称点问题1、设点P(x，y)关于点(a,b)对称点为P′(x′，y′)，x′=2a-x由中点坐标公式可得：y′=2b-y2、点P(x，y)关于直线L：Ax+By+C=O的对称点为x′=x-(Ax+By+C)P′(x′，y′)则y′=y-(AX+BY+C)事实上：∵PP′⊥L及PP′的中点在直线L上，可得：Ax′+By′=-Ax-By-2C解此方程组可得结论。

(- )=-1(B≠0)特别地，点P(x，y)关于1、x轴和y轴的对称点分别为(x，-y)和(-x，y)2、直线x=a和y=a的对标点分别为(2a-x，y)和(x，2a-y)3、直线y=x和y=-x的对称点分别为(y，x)和(-y，-x)例1 光线从A(3,4)发出后经过直线x-2y=0反射，再经过y轴反射，反射光线经过点B(1,5)，求射入y轴后的反射线所在的直线方程。

解：如图，由公式可求得A关于直线x-2y=0的对称点A′(5,0)，B关于y轴对称点B′为(-1,5)，直线A′B′的方程为5x+6y-25=0`C(0, )`直线BC的方程为：5x-6y+25=0二、曲线关于已知点或已知直线的对称曲线问题求已知曲线F(x，y)=0关于已知点或已知直线的对称曲线方程时，只须将曲线F(x，y)=O上任意一点(x，y)关于已知点或已知直线的对称点的坐标替换方程F(x，y)=0中相应的作称即得，由此我们得出以下结论。

1、曲线F(x，y)=0关于点(a,b)的对称曲线的方程是F(2a-x，2b-y)=02、曲线F(x，y)=0关于直线Ax+By+C=0对称的曲线方程是F(x-(Ax+By+C)，y-(Ax+By+C))=0特别地，曲线F(x，y)=0关于(1)x轴和y轴对称的曲线方程分别是F(x，-y)和F(-x，y)=0(2)关于直线x=a和y=a对称的曲线方程分别是F(2a-x，y)=0和F(x，2a-y)=0(3)关于直线y=x和y=-x对称的曲线方程分别是F(y，x)=0和F(-y，-x)=0除此以外还有以下两个结论：对函数y=f(x)的图象而言，去掉y轴左边图象，保留y轴右边的图象，并作关于y轴的对称图象得到y=f(x)的图象;保留x轴上方图象，将x轴下方图象翻折上去得到y=f(x)的图象。

高中数学对称求法问题教案

高中数学对称求法问题教案
主题：高中数学对称求法问题
教学目标：
1. 了解对称求解方法在数学问题中的应用；
2. 掌握对称性质的判断和运用；
3. 提高学生分析问题和解决问题的能力。

教学准备：
1. 教师准备板书、教具等教学资料；
2. 学生准备笔、本等学习用具；
3. 教师准备相关练习题和案例。

教学过程：
一、导入（5分钟）
教师引导学生思考一个问题：什么是对称？对称在数学中有什么作用？
二、讲解对称性质（10分钟）
1. 讲解对称的定义和性质；
2. 介绍对称求法在数学问题中的应用；
3. 通过实例讲解对称性质在几何中的运用。

三、练习对称性质（15分钟）
教师给学生出几道简单的练习题，让学生自己尝试使用对称性质解题。

四、拓展应用（15分钟）
1. 提出一些对称求法的数学问题，让学生分组合作解答；
2. 引导学生探究数学问题的对称性质，并找出对称求解的方法。

五、讨论总结（10分钟）
教师和学生一起讨论对称性质的应用，总结对称求法在解答问题中的重要性和效果。

六、作业布置（5分钟）
布置相关的作业练习，巩固对称性质的理解和应用。

教学反馈：
根据学生的学习情况，及时进行反馈和指导，帮助学生提高对对称性质的理解和应用能力。

【教案结束】。

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高中数学利用相关点法巧解对称问题
尤新建
对称问题在高考试题中经常出现，常见的有中心和轴对称两种。

尽管试题年年翻新，情境不断变化，甚至不落俗套，但经研究可以发现，其解法的普遍规律还是可以归纳总结的。

代数化地展开研究是解决对称问题的有效方法，亦简称相关点法。

下面通过一些实例加以说明。

一. 函数中的对称问题
例1 （2001年高考）设y f x =()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称。

证明y f x =()是周期函数。

例 2 （1997年高考文）设y f x =()是定义在R 上的函数，则函数y f x =-()1与f f x =-()1的图象关于（）
A. 直线y =0对称
B. 直线x =0对称
C. 直线y =1对称
D. 直线x =1对称
解：可设（x 1，y ）为y f x =-()1上任意一点，则有y f x =-()11；
若（x 2，y ）为y f x =-()1上一点，也有y f x =-()12，一般地，由
f x f x ()()1211-=-可知：x x 1211-=-，所以x x 1
22
1+=，即（x 1，y ）与（x 2，y ）关于直线x =1对称，故选（D ）。

二. 三角函数中的对称问题
例3 （2003年高考江苏卷）已知函数f x x ()sin()(,)=+>≤≤ωϕωϕπ00是R 上的偶函数，其图象关于点M (
,)340π对称，且在区间02,π⎡⎣⎢⎤⎦
⎥上是单调函数，求ϕω和的值。

解：由f x ()是偶函数，得f x f x ()()-=
即sin()sin()-+=+ωϕωϕx x
所以-=cos sin cos sin ϕωϕωx x
对任意x 都成立，且ω>0，所以得
cos ϕ=0 依题设0≤≤ϕπ，所以解得ϕπ
=2，这时f x x ()sin()=+ωπ
2
由y f x =()的图象关于点M 对称，可设P （x ，y ）是其图象上任意一点，P 点关于M (
,)340π的对称点可求得为：(,)32
π--x y 即有y f x f x ==--()()32π，（*）
取x ＝0，得f f ()(
)032=-π，所以，sin sin()ππωπ23221=-+= 所以sin()322
1πωπ+=- 所以ω=-=23
21123(),,,...k k 当k =1时，ωππ==+⎡⎣⎢⎤⎦
⎥2323202,()sin(),f x x 在上是减函数；当k =2时，ωπ==+
222,()sin()f x x 在02,π⎡⎣⎢⎤⎦
⎥上是减函数；当k ≥2时，ωωππ≥=+⎡⎣⎢⎤⎦
⎥103202,()sin(),f x x 在上不是单调函数；所以，综合得ωω==232或评注：本题是三角函数中含有中心对称问题，抓住对称点之间的中心对称关系，利用中点坐标公式求出对称点（或称相关点），寻求两相关点（对称点）之间的函数等量关系（见*）是解决问题的关键。

三. 解析几何中的对称问题
例4 （1998年高考理）设曲线C 的方程是y x x =-3，将C 沿x 轴、y 轴正向分别平行移动t 、s 单位长度后得曲线C 1
（I ）写出曲线C 1的方程；
（II ）证明曲线C 与C 1关于A t s (,
)22
点对称；（I ）解：曲线C 1的方程为：
y x t x t s =---+()()3
（II ）证明：在曲线C 上任取一点B 1（x 1，y 1）。

设B 2（x 2，y 2）是B 1关于点A 的对称点，则有：
x x t y y s 12122222
+=+=, 所以x t x y s y 1212=-=-, 代入曲线C 的方程，得x 2和y 2满足方程：
s y t x t x y x t x t s
-=---=---+22322232()()
()()即
可知点B x y 222(,)在曲线C 1上反过来，同样可以证明，在曲线C 1上的点关于点A 的对称点在曲线C 上。

因此，曲线C 与C 1关于点A 对称。

例5 （1997年高考文）椭圆C 与椭圆C 1：()()x y -+-=3924
122
关于直线x y +=0对称，椭圆C 的方程是（） A. ()()x y +++=2439122 B. ()()x y -+-=2934
122
C. ()()x y +++=2934122
D. ()()x y -+-=2439
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解：设（x ，y ）是椭圆C 上任意一点，则其关于直线x y +=0的对称点可求得为(,)--y x ，该点在椭圆C 1上，故其坐标适合椭圆C 1的方程，将其代入有：()()--+--=y x 3924
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，化简后知选A 。

从以上几个方面的研究可以发现，相关点法是解决数学对称问题的有效方法，因为它抓住了图象对称的基本元素（即图象上点与点之间的一一对应的对称关系）和核心，并且将几何问题代数化的基本数学思想得到很好地体现运用。

此外，相关点法在解决几何中才被得以提出并加以运用于解决对称问题，这一点从例4，例5可以感觉到，实际上，函数及三角函数中的对称与解析几何中的对称是相通的，因此，相关点法完全可以加以推广，实行方法共享。

哈尔滨师范大学（150080）。