第3章-2：分离紧可数性
《拓扑学》教学大纲
拓扑学课程教学大纲【课程编码】JSZX0500【适用专业】数学与应用数学【课时】54课时【学分】3学分【课程性质、目标和要求】本课程是数学与应用数学专业的一门专业课。
它系统而完整地介绍了点集拓扑学的一些基本概念、基本理论和基本方法。
其主要任务是使学生获得拓扑学的基本思想与拓扑空间、连续映射、连通性、可数性、分离性、紧致性等方面的系统知识。
它既能从较高的观点总结一、二年级学过的有关概念、理论和方法，又能使学生抽象思维能力和逻辑论证能力得到进一步训练，为今后深入学习拓扑、几何、泛函等学科提供基础。
通过学习本课程，使学生理解拓扑学的一些基本概念，掌握拓扑学的基本理论和基本方法，并能运用这些基本概念、基本理论和基本方法解决拓扑学中的相关问题。
从而，有助于培养学生辨证唯物主义基本观点与学生抽象思维能力。
【教学时间安排】本课程计3学分，54学时, 学时分配如下：【教学内容要点】第一章集合论初步一、学习目的要求本章属预备知识，集合的概念与运算已经在数学分析课程中学过了，建议由学生自学。
关系与等价关系、映射、集族及其运算作为重点掌握的内容。
通过本章的学习，使学生正确理解关系与等价关系、映射、集族等基本概念，掌握单射、满射、一一映射的等价刻画及集族的基本运算，了解Cantor-Bernstein 定理、连续统假设及广义连续统假设。
二、主要教学内容1、集合的基本概念；2、集合的基本运算；3、关系；4、等价关系5、映射；6、集族及其运算；7、可数集，不可数集，基数；8、选择公理。
第二章拓扑空间与连续映射一、学习目的要求本章属于拓扑学的重要内容，通过本章的学习，使学生理解度量空间的概念，由度量导出的球邻域、开集，闭集、收敛性等概念，度量空间之间的连续映射概念及其等价描述；掌握拓扑空间的定义，由拓扑导出的邻域与邻域系，集合的聚点与闭包，内部与边界等概念，这些概念之间的联系；正确理解拓扑空间的基，以邻域系为基生成拓扑的方法，由闭包公理生成拓扑，子基概念及由子基生成拓扑的方法；拓扑空间的映射的连续性及其等价描述，同胚映射及同胚的概念。
munkres习题答案
munkres习题答案Munkres习题答案在数学领域中，Munkres的《拓扑学导论》是一本经典的教材，被广泛用于拓扑学的学习和教学。
这本书中的习题是学习者巩固知识和提高技能的重要部分。
然而，对于很多学习者来说，习题的答案并不总是容易找到。
本文将为大家提供一些Munkres习题的答案，帮助学习者更好地理解和掌握拓扑学的知识。
第一章：集合论与逻辑在第一章中，Munkres介绍了集合论和逻辑的基本概念。
他从集合的定义和运算开始，逐步引入了关系、函数和序关系等概念。
在习题中，学习者需要证明一些基本命题，例如集合的交、并、差等运算的性质，以及函数的单射、满射和双射等性质。
这些习题的答案可以通过直接应用定义和基本定理来得到。
第二章：拓扑空间第二章是Munkres的重点章节，介绍了拓扑空间的概念和性质。
在这一章中，学习者将学习到拓扑空间的定义、开集、闭集、连通性等重要概念。
习题中，学习者需要证明一些基本定理，例如开集的性质、闭包和内部的性质、连通集的性质等。
这些习题的答案需要学习者熟练掌握拓扑空间的定义和基本定理，并能够灵活运用这些知识。
第三章：连续函数在第三章中，Munkres介绍了连续函数的概念和性质。
他从实数集上的函数开始，引入了连续函数的定义和性质，并讨论了连续函数的运算和复合。
在习题中，学习者需要证明一些连续函数的性质，例如连续函数的保持开集和闭集的性质，以及连续函数的复合仍然是连续函数等。
这些习题的答案需要学习者对连续函数的定义和基本性质有深入的理解，并能够应用这些知识解决问题。
第四章：紧性第四章是Munkres的另一个重要章节，介绍了紧性的概念和性质。
在这一章中，学习者将学习到紧集的定义、紧性的等价刻画、紧集的性质等。
习题中，学习者需要证明一些紧集的性质，例如紧集的闭子集和有限并仍然是紧集等。
这些习题的答案需要学习者对紧集的定义和基本性质有充分的理解，并能够运用这些知识解决问题。
第五章：连通性与分离性在第五章中，Munkres介绍了连通性和分离性的概念和性质。
第3章习题答案
“微处理器系统原理与嵌入式系统设计”第三章习题解答3.1什么是冯·诺伊曼计算机结构？其运行的基本原理如何？冯.诺依曼计算机由运算器、控制器、存储器、输入设备和输出设备构成，采用二进制表示信息，以存储器为中心，按存储程序原理工作。
存储程序原理指编好的程序首先放入存储器，开始工作后，由控制器自动、高速依次从存储器中取出指令并执行。
3.2. 微处理器的体系结构可以分为几种？试分别说明各种体系结构的优缺点。
3.3 高级编程语言、汇编语言以及机器语言之间有哪些不同？机器语言是直接用二进制代码表达的计算机语言。
指令用“0”和“1”组成，并分成若干段，各段的编码表示不同的含义。
机器语言面向硬件，是唯一可以由硬件直接执行的语言。
汇编语言采用符号代替机器语言中的二进制码：用助记符(Mnemonic)代替操作码，用地址符号(Symbol)或标号(Label)代替地址码。
汇编语言与机器语言一一对应，因此不具有移植性，但更易于读写和理解。
汇编语言源程序需要汇编成机器语言才能交给硬件执行。
高级编程语言语法和结构更类似普通英文，且由于远离对硬件的直接操作，因此移植性较好。
高级语言源程序需要编译（或解释）成机器语言才能交给硬件执行。
3.5 什么是计算功能指令、数据传输指令以及控制流程指令？计算功能指令：对数据进行处理完成算术运算或逻辑运算等的指令。
数据传输指令：负责把数据、地址或立即数传送到寄存器、I/O端口或存储单元中，或者反方向传送的指令。
控制流程指令：用来控制程序执行流程的指令，有测试、转移、跳转等子类。
3.6 解释跳转、分支、调用以及中断所需进行的操作。
跳转：根据“跳转”指令指计算目的地址，修改程序指针。
分支：根据“分支”指令判断执行条件，计算跳转地址，修改程序指针。
调用：保存断点，根据“调用”指令计算子程序入口地址，修改程序指针，执行完毕后恢复断点。
中断：保护断点及现场，查找中断向量表以确定中断程序入口地址，修改程序指针，执行完毕后恢复现场及断点。
第三章多细胞动物的起源
第3章多细胞动物的起源第1节从单细胞到多细胞一、知识点I、理论：一切高等动物虽然都是多细胞的，但其发展是不平衡的II、动物体复杂化的关键：对称体型和头部的形成III、两侧对称的意义：有利于动物活动；促使身体分为前后、左右、背腹IV、发展过程中3类动物：原生动物、中生动物、后生动物V、中生动物：一类小型的内寄主动物。
结构简单，分为菱形虫纲、直泳虫纲。
1、菱形虫纲：包括双胚虫、异胚虫。
无性生殖或有性生殖。
2、直泳虫纲：寄生在多种海生无脊椎动物体内。
成虫多雌雄异体，少数雌雄同体。
没有轴细胞。
VI、原始的多细胞动物：一般认为是中生动物，因为它和原声动物的纤毛虫类的亲缘关系比较近二、多细胞动物起源于单细胞动物的证据I、古生物学方面：古代动植物的遗体或残骸。
在最古老的地层中，化石种类是最简单的。
II、形态学方面：简单——>复杂；低等——>高等III、胚胎学方面：受精卵——>卵裂——>囊胚——>原肠胚第2节胚胎发育的重要阶段胚胎发育分为：受精与受精卵——卵裂——原肠胚的形成——中胚层及体腔的形成——胚层的分化I、受精与受精卵：精子与卵子结合为一个细胞称为受精卵II、卵裂：1、完全卵裂：多见于少黄卵。
a、等裂：海胆、文昌鱼；b、不等裂：海绵动物、蛙类。
2、不完全等裂：多见于多黄卵。
受精卵只在不含卵黄的部位进行分裂。
a、盘裂：乌贼、鸡卵；b、表面卵裂：昆虫卵III、囊胚的形成：囊胚：囊胚腔、囊胚层。
IV、原肠胚的形成：内陷、内移、内转、外包、分层。
最常见的是内陷和外包同时进行，分层和内移相伴而行V、中胚层及体腔的形成：端细胞法（裂体腔法）；体腔囊法：棘皮动物、毛鄂动物、半索动物、脊索动物VI、胚层的分化：动物体的器官都是由内、中、外胚层发育而来1、内胚层：分化为消化管的大部分上皮、肝、胰、呼吸器官、排泄和生殖器官的小部分2、中胚层：分化为肌肉、结缔组织、生殖和排泄器官的大部分3、外胚层：分化皮肤上皮、神经组织、感觉器官、消化管的两端第3节生物发生律与多细胞起源学说一、生物发生律赫克尔在《普通形态学》中说：生物发展可分为2个密切联系的部分：个体发育和系统发展。
《常微分方程》第三章 一阶微分方程解的存在唯一性定理
1(x) y0 x0 f ( , y0 )d
x
x0 f ( , y0 ) d M (x x0 ) Mh b
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
1 (x) 在 x0 x x0 h 上有定义,连续
现在取 0 (x) y0 ，构造皮卡逐步逼近函数序列如下:
0 (x) y0
n (x) y0
x x0
f ( ,n1( ))d
x0 h x x0 h
(3.1.9)
0 (x) y0
x
1(x) y0 x0 f ( ,0 ( ))d
x0 x x0 h
命题2 对于所有的 (3.1.9) 中函数 n (x) 在
x0 x x0 h 上有定义、连续，即满足不等式:
n (x) y0 b (3.1.10)
证 明: （只在正半区间来证明，另半区间的证明类似）
x
当 n =1 时, 1(x) y0 x0 f (, y0 )d
MLn1 n!
(x
x0 )n
成立，
x
n1(x) n (x) x0 f (,n ( )) f (,n1( ))d
x
L x0 n ( ) n1( )d
MLn
n!
x
(
x0
x0 )n d
MLn (x (n 1)!
x0 ) n1
y0
'.............(3.1.4)
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
拓扑学第三章几种特殊类型的拓扑空间
第三章 几种特殊类型的拓扑空间说明：本章是将教材中“可数性公理”和“分离性公理”两张内容合并在一起，并且将连通性内容放在后面讲，它们之间是独立的。
在前面讨论中已经看到，在度量空间中某些熟知的性质 在一般拓扑空间中看我能不存在，这说明：拓扑学借助度量空间中邻域概念作为公理时，它只概括了度量空间上的最基本性质，而不能概括全部性质，因此，人们提出了另外一些公理来弥补原有公理体系的不足。
本章介绍两个可数性公理和四个较常见的分离公理123,,T T T 和4T 公理。
§ 3-1 第一与第二可数公理基、局部基对于确定X 上的拓扑，以及验证映射的连续性等都有重要意义。
而基、局部基中成员越少，讨论就越方便。
所以，我们试图通过对基或局部基成员加以限制，形成一类较简单的空间。
定义1 若拓扑空间的基或局部基是可数集族，则分别称可数基和局部可数基。
解释：此处可数是指基或局部基中成员数目是可数的，不是指成员本身是可数集。
定义2 拓扑空间X 在它的每一点处都有可数局部基，则称X 为满足第一可数性公理的空间，简称为1C 空间。
定义3 如果拓扑空间X 有可数基，则称X 为满足第二可数性公理的空间，简称为2C 空间。
例1 （1C 空间的例子）结论：每个度量空间都是1C 空间（τ为度量诱导的拓扑）。
解释：因为，设(,)x X d ∈，记 1{(,)}x B x n N n =∈B （注：1(,)B x n为半径1n的球形邻域）则x B 为x 的邻域族。
设U 是x 的任一邻域（即，以x 为内点的集合），则存在0ε>，使得(,)B x U ε⊂。
因此，x B 为x 处的局部基，且是可数的集族。
即X 是1C 空间。
例2 （非1C 空间的例子）结论：设X 为不可数无穷集，{CC AA τ=是X 的可数子集}{}⋃∅ 为X 上的余可数拓扑，(,)C X τ为拓扑空间，则X 不满足1C 公理。
解释：首先，对于x 的每一邻域x U （即C τ中的开集），Cx U 是可数集。
可数SP-紧集的性质
［—］ １ ２ 引入 了多种 模 糊紧性 。文 ［ ］ 一 般拓 扑空 ３将 间中的半 准开 集 与半 准 连续 推 广 到 了 一拓 扑 空
间。 ［ 文 ４—５ 在 一拓扑空 『 中引入 了 Ｓ ］ 白 Ｊ Ｐ一紧性与
定 义 １ ５４ 设 （ 是 一拓扑 空 间 ， ∈ ．【 Ｌ，
射， 若对 任意 Ａ ∈ Ｓ Ｃ Ｌ ） 有 ＩＡ）∈ Ｓ Ｃ Ｌ ） Ｐ （ ， 厂 （ Ｐ （’。
在本 文 中 ， 示 Ｆ格 （ ， 有逆 序 对 合 的完 表 即 具
全分 配格 ）Ｌ 示 上 的 Ｆ ｚｙ集 全 体 ， （ ）与 ， 表 ｕｚ Ｌ （ Ｌ ）分别 表示 Ｌ与 ∥ 中的所 有分 子之 集 。 Ａ ， 用 。
一
２ 可 数 Ｓ 一紧 集 的性 质 尸
定理２ １ 设厂（ ６ 一 （ ，） ． ：Ｌ ，） 丁 是半准闭的Ｌ
型 Ｚ ｄｈ函数 ， ＶＹ ａｅ 且 ∈Ｍ（ Ｌ）
一
表示 Ａ的 内部与 闭包 。 余未 声 明的概 念 与符号 其
定 义 １１ ． 设 （ 是 一拓扑 空 间 ， Ｌ， Ａ Ｅ∥
（Ｊ ， ， Ａ∈Ｌ ， ） 如果 Ａ对 的每个 可数 —Ｓ Ｃ远 域族 Ｐ
，
都有 有 限子族 ， 使 是 Ａ的 一 Ｐ 一Ｓ Ｃ远域
可数 Ｓ 一紧性 的概 念 ， Ｐ 并讨 论 ＿其 基本 性 质 。 文 ｒ 本 进 一步讨论 了可数 Ｓ Ｐ一紧子集 在 ， Ｚ ｄ ｈ 函数 Ｊ ａｅ 型 值
文章 编 号 ：０ ６— ４ ４ ２０ ）６— ５ ２— ２ １０ ０ ６ （０ ８ ０ ０ ５ ０
可 数 ． 一紧 集 的 性 质
陈 波
（ 西南大学 数学与统计学院 ， 重庆 ４０１ ） ０ ７ ５
拓扑教案
嵌入在 6.6 中介绍 例 3.3.3 起不讲 习题课时 1
道路连通分支不讲 习题课时 1 定理 5.2.1 不讲
例 6.2.2 讲部分 不讲定理 6.3.1, 6.3.4 的证明
定理 6.6.1 讲部分 习题课时 3(含总复习) 定理 7.1.6 讲部分 引理 7.3.2 用分析中的结论
定理 7.6.8 不讲
4
第二章 拓扑空间与连续映射
本章是点集拓扑学基础中之基础, 从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两 个概念 : 拓扑空间、连续映射, 分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边 界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性.
§ 2.1 度量空间与连续映射 在 R 上 , |x-y|表示点 x 与 y 之间的距离 . 绝对值是一非负函数, 具有三条重要性质. 定义 2.1.1 设 X 是一集合 , : X X R . 如果 满足正定性、 对称性和三角不等式, 则称 是X 的一个度量 . (X, )称为度量空间, (x, y)表示两点 x, y 之间的距离. 例 2.1.1 实数空间 R . (x,y)=|x-y|, R 的通常度量 . 例 2.1.2 n 维欧氏空间 R n=R R … R. 对于 x R n, 记 x=(xi). 定义 (x, y)= 平面或平面 . 例 2.1.3 Hilbert 空间 H. H={x=(x1 , x2 , … ) | xi R , i Z+; 称为 Hilbert 空间. 例 2.1.4 离散度量空间. 度量空间(X, )称为离散的 , 若 x X, δ x, 满足 (x, y)< δ x >0, 使得不存在 X 中的点 y x. 如 对集合 X, 按如下方式定义 : X X R 是 X 上的离散度量:
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第3章几类重要的拓扑性质3.1 可度量性3.2 连通性3.3 道路连通性3.4 分离性定义3.4.1 设X是拓扑空间. 如果X中任意两个不同点的每一点都有一个邻域不包含另外一点, 则称X满足T1分离公理或X是T1空间.并非任一空间都是T1空间. X={a, b}, T={, {a}, X}定理3.4.1 对拓扑空间X, 下列条件等价:(1) X是T1空间;(2) X中的单点集是闭集;(3) X中的有限子集是闭集.定理3.4.2 设X是T1空间. 若AX且xX, 则x是A的聚点当且仅当x的每个邻域都包含A的无限个点.定义3.4.2设X是拓扑空间. 如果X中任意两个不同点有不相交的邻域, 则称X满足T2分离公理或X是T2空间.T2空间也常称为Hausdorff空间.例3.4.1 设X是包含无限个元素的有限补空间. 由于X的有限集都是闭集, 所以X是T1空间. 而X中任意两个非空开集都相交. 事实上, 假设A, B是X的两个非空开集, 则X-A, X-B都是有限集, 所以X-(A∩B)=(X-A) ∪(X-B)是有限集, 从而A与B相交. 因此X不是Hausdorff空间.定理3.4.3 如果X是Hausdorff空间, 则X中的每个序列至多收敛于一点.定义3.4.3 设X是T1空间.(1) 如果对任意的xX及X中不包含x的闭集F, 存在X的不相交的开集U, V分别含有x与F, 则称X满足正则分离公理或X是正则空间.(2) 如果对X中的任意不相交的闭集A, B, 存在X的不相交的开集U, V分别含有A, B则称X满足正规分离公理或X是正规空间.例3.4.2 Smirnov删除序列空间R K是Hausdorff空间, 但不是正则空间.定理3.4.4若X是T1空间. 则X是正则的当且仅当对任意xX及x的任意邻域U, 存在x的开邻域V使得cl(V)U.定理3.4.5 若X是T1空间. 则X是正规的当且仅当对X中的每个闭集F 及包含F的任意一个开集U, 存在包含F的开集V使得cl(V)U.定理3.4.6 度量空间是正规的.可度量性是遗传性, 连通性是有限可积性.定理3.4.7 良序空间是正规的.定理3.4.8 T1、T2和正则分离公理都具有遗传性.定理3.4.9 T1、T2和正则分离公理都是有限可积性.例3.4.3下限拓扑空间R l是正规的, 但它的积空间R l2不是正规的.补充: 定理3.4.10 T1、T2、正则性、正规性都是拓扑性质.3.5 Urysohn引理与Tietze扩张定理定理3.5.1 (Urysohn引理, 1925) 设X是正规空间. 若A, B是X中不相交的闭集, 则存在连续函数f: X[0, 1], 使得当xA时, f(x)=0; 当xB时, f(x)=1.定义3.5.1 设X是拓扑空间, A, BX. 如果存在连续函数f: X[0, 1], 使得当xA时, f(x)=0; 当xB时, f(x)=1, 则称A与B能用连续函数分离.定义3.5.2 设X是T1空间. 如果对任意xX及X中任意不包含x的闭集A, {x}与A能用连续函数分离, 则称X满足完全正则分离公理, 也称X是完全正则空间或Tychonoff空间.定理3.5.2 完全正则性是遗传性和有限可积性.例3.5.1 下限拓扑空间R l的积空间R l2是非正规的完全正则空间.定理3.5.3 (Tietze扩张定理, 1925) 设X是正规空间. 若A 是X的闭子集, 则任何连续函数f: A[a, b]都存在连续扩张g: X[a, b].推论3.5.1 设X是正规空间. 若A 是X的闭子集, 则任何连续函数f: A R 都存在连续扩张g: X R.3.6 紧性定义3.6.1 设X是拓扑空间, A是X的子集族. 如果∪A A=X, 则称A覆盖X, 或称A是X的覆盖. 如果A的每个元素是X的开子集, 则称A是X的开覆盖.定义3.6.2 设X是拓扑空间. 如果X的每个开覆有有限子覆盖, 则称X 是紧空间.例3.6.1 (1) 平庸空间是紧空间.(2) 有限的空间是紧的.(3) 离散空间是紧空间当且仅当它是有限的空间.(4) 实空间R不是紧空间.(5) [a, b]是紧子集.(6) X={0}∪{1/n: nZ+}作为R的子空间是紧的.定理3.6.1若(X, <)是具有上确界性质的全序集, 则序拓扑空间X的每个闭区间是紧的.引理3.6.1 如果Y是拓扑空间X的子空间, 则Y是紧的当且仅当由X中开集组成的Y的每个覆盖有有限子覆盖.定理3.6.2 紧空间的每个闭子集是紧的.引理3.6.2 如果A, B是Hausdorff空间X中不相交的紧子集, 则存在X的开集U, V使得AU, BV且U∩V=.定理3.6.3 Hausdorff空间的每个紧子集是闭的.定理3.6.4 紧的Hausdorff空间是正规的.定理3.6.5紧空间的连续像是紧的, 即连续映射保持紧性.紧性是拓扑性质.定理3.6.6 (最值定理)设f: XY函数连续, Y是序拓扑空间. 如果X是紧空间, 则X中存在点x0和x1, 使得对任意xX, 有f(x0)≤f(x)≤f(x1).定理3.6.7 紧空间到Hausdorff空间的连续映射是闭映射.推论3.6.1 紧空间到Hausdorff空间的连续双射是同胚.引理3.6.3 (管形引理)设X是拓扑空间, Y是紧空间, x0X, 如果积空间XY中的开集U{x0}Y, 则存在X中包含x0的开集W, 使得WYU.定理3.6.8 紧空间性质是有限可积性.环面、Möbius带、Klein瓶都是紧空间.例3.6.2 正规空间[0, 1]2的非正规子空间[0, 1) [ 0, 1].定义3.6.3 设(X, d)是度量空间, AX, 如果存在实数M>0, 使得任意x, yA有d(x, y)≤M, 则称A是X的有界集, M是A的界, 如果A不是有界集, 则称A是无界集.定理3.6.9 如果A是n维欧氏空间R n的子空间, 则A是紧的当且仅当A 是闭的且关于R n上的欧氏度量d或平方度量ρ是有界的.3.7 可数性定义3.7.1 设X是拓扑空间. 如果xX且x在X中具有可数的邻域基, 则称X在点x是第一可数的. 如果X中的每一点是第一可数的, 则称X满足第一可数公理或X是第一可数空间.定理3.7.1 第一可数性是遗传性.定义3.7.2 如果拓扑空间X有一个基由可数个元素组成, 简称X具有可数基, 则称X满足第二可数公理或X是第二可数空间.定理3.7.2 第二可数性是遗传性.定义3.7.3(A. Tychonoff, 1930) 设{Xα}α∈J是拓扑空间的族. 记X=∏α∈J Xα, 以集族={α-1(Uα): Uα是Xα中的开集, αJ}为子基生成的拓扑称为X上的积拓扑或Tychonoff拓扑, 其中每个α: XXα都是投射. X具有这个拓扑称为空间族{Xα}αJ的积空间或Tychonoff积空间.引理3.7.1 设{Xα}αJ是拓扑空间的族. 如果对每个αJ, Bα是Xα的基, 则集族B’={∏α∈J Bα: 除有限个αJ有BαBα外, 其余的Bα=Xα}是X=∏α∈J Xα上积拓扑的基.定理3.7.3 第一可数性、第二可数性都是有限可积性.例3.7.1 不可数个实空间R的积空间不是第一可数的.定义3.7.4 设X是拓扑空间, AX. 如果cl(A)=X, 则称A是X的稠密子集.如果X有可数的稠密子集, 则称X是可分空间.定理3.7.4 第二可数空间是可分空间.定义3.7.5 设X是拓扑空间. 如果X的每个开覆都有可数的子覆盖, 则称X是Lindelöf空间.定理3.7.5 第二可数空间是Lindelöf空间.定理3.7.6 正则的Lindelöf空间是正规的.推论3.7.1 第二可数的正则空间是正规的.例3.7.2 下限拓扑空间R l是第一可数的、可分的、Lindelöf空间, 但不是第二可数空间.Sorgenfrey平面R l2不是Lindelöf空间.例3.7.3 良序空间[0, 1)是第一可数空间, 但不是可分空间、Lindelöf 空间.3.8 Urysohn度量化定理定理3.8.1 设(X, d)是度量空间. 定义为则是X上的度量, 且和d诱导出X上相同的拓扑.度量称为相应于d的标准有界度量.定义3.8.1设{(Xα, dα)}α∈J是度量空间的族. 记X=∏α∈J Xα, 对任意的x=(xα) α∈J, y=(yα) α∈J X, 令其中是相应于dα的标准有界度量, 定义函数.是X上的度量, 它称为X 上的一致度量, 由所诱导的度量拓扑称为X上的一致拓扑.例3.8.1 R在一致拓扑下不是第二可数空间.定义3.8.2设{(Xα, τα)}α∈J是拓扑空间的族. 记X=∏α∈J Xα. 令B= {∏α∈J Uα: 对每个αJ, Uατα}. 以B作为基生成X上的拓扑称为箱拓扑.例3.8.2 R在箱拓扑下不是第一可数空间.例3.8.3设J是任意的指标集. 在R J上,(1) 一致拓扑细于积拓扑;(2) 箱拓扑细于一致拓扑.定理3.8.2 可度量性是可数可积性.定理3.8.3 设(X, d)是度量空间. 下列条件等价:(1) X是第二可数空间;(2) X是Lindelöf空间;(3) X是可分空间.推论3.8.1 可分或Lindelöf的度量空间的每个子空间都具有可数基,从而是可分且Lindelöf的.定义3.8.3 设X, Y都是拓扑空间, 函数f: XY. 定义f’: Xf(X)为f’(x)=f(x), 对任意xX. 如果f’是同胚, 则称f: XY是拓扑嵌入或嵌入, 或称X 可同胚嵌入于Y中.引理3.8.1 (嵌入引理)设X是T1空间. 如果X上的实值连续函数族{fα}分离X中的点与闭集, 则由F(x)= (fα(x))α∈J, xX所定义的函数F: X R J是α∈JX到积空间R J的拓扑嵌入.定理3.8.4 X是完全正则空间当且仅当对某个指标集J, X可拓扑嵌入积空间[0, 1]J.定理3.8.5 (Urysohn度量化定理, 1925)具有可数基的正则空间是可度量化的.推论3.8.2 设X是拓扑空间. 下列条件等价:(1) X是可分的可度量化空间;(2) X是具有可数基的正则空间;(3) X同胚于积空间[0, 1]的一个子集.。