西安交大概率论2016-2017期末试题解答

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西安交大西工大考研备考期末复习概率论与数理统计第一部分随机事件及其概率(带答案)

第一部分随机事件及其概率基础练习一．填空1 设====)(,7.0)(,5.0)(,4.0)(B A P B A P B P A P 则若答案：0.552 三次独立重复射击中，至少有一次击中的概率为则每次击,6437中的概率为答案：1/43箱中盛有8个白球6个黑球，从其中任意地接连取出8个球，若每球被取出后不放还，则最后取出的球是白球的概率等于_________________。

答案：8144 任取两个正整数，则它们之和为偶数的概率是_______ 答案：1/25 设10件产品中有3件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为__________答案：2/96已知P （A ）=0.8,P(A-B)=0.5,且A 与B 独立，则P （B ）= 答案：3/87从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________ 答案：9876104⨯⨯⨯=0.3024 8箱中盛有8个白球6个黑球，从其中任意地接连取出8个球，若每球被取出后不放还，则最后取出的球是白球的概率等于_________________ 答案：8149平面上有10个点，其中任何三点都不在一直线上，这些点可以确定_____个三角形。

答案：12010设样本空间U={1，2， 10}，A={2，3，4，}，B={3，4，5，}，C={5，6，7}，则()C B A 表示的集合=______________________。

答案：{1,2,5,6,7,8,9,10} 二．计算题1 一打靶场备有5支某种型号的枪,其中3支已经校正,2支未经校正.某人使用已校正的枪击中目标的概率为1p ,使用未经校正的枪击中目标的概率为2p .他随机地取一支枪进行射击,已知他射击了5次,都未击中,求他使用的是已校正的枪的概率(设各次射击的结果相互独立).解以M 表示事件“射击了5次均未击中”,以C 表示事件“取得的枪是已经校正的”，则,5/3)(=C P,5/2)(=C P 又,按题设,)1()|(51p C M P -=52)1()|(p C M P -=,由贝叶斯公式 ,)()()|(M P MC P M C P =)()|()()|()()|(C P C M P C P C M P C P C M P +=52)1(53)1(53)1(525151⨯-+⨯-⨯-=p p p.)1(2)1(3)1(3525151p p p -+--= 2 某人共买了11只水果,其中有3只是二级品,8只是一级品.随机地将水果分给C B A 、、三人,各人分别得到4只、6只、1只. (1)求C 未拿到二级品的概率.(2)已知C 未拿到二级品,求B A ,均拿到二级品的概率. (3)求B A ,均拿到二级品而C 未拿到二级品的概率.解以，，，C B A 分别表示事件C B A ，，取到二级品,则C B A ，，表示事件C B A ，，未取到二级品.(1).11/8)(=C P(2)就是需要求).|(C AB P 已知C 未取到二级品,这时B A ,将7只一级品和3只二级品全部分掉.而B A 、均取到二级品,只需A取到1只至2只二级品,其它的为一级品.于是.5441027234103713)|(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C AB P(3).55/32)()|()(==C P C AB P C AB P3 一系统L 由两个只能传输字符0和1的独立工作的子系统1L 和2L 串联而成(如图13-1),每个子系统输入为0输出为0的概率为)10(<<p p ;而输入为1输出为1的概率也是p .今在图中a 端输入字符1,求系统L 的b 端输出字符0的概率.ab解 “系统L 的输入为1输出为0”这一事件(记)01(→L )是两个不相容事件之和,即),00()01()01()11()01(2121→→→→=→L L L L L 这里的记号“)11(1→L ”表示事件“子系统1L 的输入为1输出为1,其余3个记号的含义类似.于是由子系统工作的独立性得)}00()01({)}01()11({)}01({2121→→+→→=→L L P L L P L P)}00({)}01({)}01({)}11({2121→→+→→=L P L P L P L P).1(2)1()1(p p p p p p -=-+-=4 甲乙二人轮流掷一骰子,每轮掷一次,谁先掷得6点谁得胜,从甲开始掷,问甲、乙得胜的概率各为多少?解以i A 表示事件“第i 次投掷时投掷者才得6点”.事件i A 发生,表示在前1-i 次甲或乙均未得6点,而在第i 次投掷甲或乙得6点.因各次投掷相互独立,故有.6165)(1-⎪⎭⎫⎝⎛=i i A P 因甲为首掷,故甲掷奇数轮次,从而甲胜的概率为}{}{531 A A A P P =甲胜+++=)()()(531A P A P A P ),(21两两不相容因 A A⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 426565161.116)6/5(11612=-=同样,乙胜的概率为}{}{642 A A A P P =乙胜+++=)()()(642A P A P A P.1156565656153=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=5 将一颗骰子掷两次,考虑事件=A “第一次掷得点数2或5”,=B “两次点数之和至少为7”，求),(),(B P A P 并问事件B A ,是否相互独立.解将骰子掷一次共有6种等可能结果,故.3/16/2)(==A P 设以i X 表示第i 次掷出骰子的点数,则}).6({1})7({)(2121≤+-=≥+=X X P X X P B P因将骰子掷两次共有36个样本点,其中621≤+X X 有6,5,4,3,221=+X X 共5种情况,这5种情况分别含有1,2,3,4,5个样本点,故.12/712/5136/)54321(1)(=-=++++-=B P以),(21X X 记两次投掷的结果,则AB 共有(2,5),(2,6),(5,2),(5,3)(5,4),(5,5),(5,6)这7个样本点.故 .36/7)(=AB P今有).(36/7)12/7)(3/1()()(AB P B P A P === 按定义B A ,相互独立.6 B A ，两人轮流射击,每次各人射击一枪,射击的次序为A B A B A ,,,,,射击直至击中两枪为止.设各人击中的概率均为p ,且各次击中与否相互独立.求击中的两枪是由同一人射击的概率.解 A 总是在奇数轮射击,B 在偶数轮射击.先考虑A 击中两枪的情况.以12+n A 表示事件“A 在第12+n 轮),2,1( =n 射击时又一次击中,射击在此时结束”. 12+n A 发生表示“前n 2轮中A 共射击n 枪而其中击中一枪,且A 在第12+n 轮时击中第二枪”（这一事件记为C ），同时“B 在前n 2轮中共射击n 枪但一枪未中”(这一事件记为D )，因此)()()()(12D P C P CD P A P n ==+nn p p p p n )1()1(11-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=- .)1(122--=n p np注意到 ,,,753A A A 两两互不相容,故由A 击中了两枪而结束射击(这一事件仍记为A )的概率为∑∑∞=-∞=++∞=-===1122112121)1()()()(n n n n n n p np A P A P A P1122])1[()1(-∞=∑--=n n p n p p.)2(1])1(1[1)1(2222p pP p p --=---(此处级数求和用到公式.1,)1(1112<=-∑∞=-x nx x n n 这一公式可自等比级数1,11<=-∑∞=x x x n n 两边求导而得到.) 若两枪均由B 击中,以)1(2+n B 表示事件 “B 在第)1(2+n 轮),2,1( =n 射击时又一次击中,射击在此时结束”. )1(2+n B 发生表示在前12+n 轮中B 射击n 枪其中击中一枪,且B 在第)1(2+n 轮时击中第2枪，同时A 在前12+n 轮中共射击1+n 枪,但一枪未中.注意到 ,,,864A A A 两两互不相容,故B 击中了两枪而结束射击(这一事件仍记为B )的概率为∑∞=+-+∞=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==111)1(21)1()1(1)()(n n n n n p p p p n B P B P 12112222])1[()1()1(-∞=∞=--=-=∑∑n n n np n p p p np.)2()1(])1(1[1)1(222222p p p p p --=---= 因此,由一人击中两枪的概率为222)2()1()2(1)()()(p p p p B P A P B A P --+--=+= .21pp --= 7 有3个独立工作的元件1,元件2,元件3,它们的可靠性分别为.,,321p p p 设由它们组成一个“3个元件取2个元件的表决系统”,记为2/3].[G 这一系统的运行方式是当且仅当3个元件中至少有2个正常工作时这一系统正常工作.求这一2/3][G 系统的可靠性. 解以i A 表示事件“第i 个元件正常工作”，以G 表示事件“2/3][G 系统正常工作”，则G 可表示为下述两两互不相容的事件之和： 321321321321A A A A A A A A A A A A G = 因321,,A A A 相互独立,故有)()()()()(321321321321A A A P A A A P A A A P A A A P G P +++=)()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P +++=.)1()1()1(321321321321p p p p p p p p p p p p +-+-+-= 8 甲、乙、丙三部机床独立工作由一名工人照看，某段时间内甲、乙、丙三部机床不需要照看的概率依次为3/4、2/3、1/2，求在这段时间内有机床需要工人照看的概率及恰有1台机床需要工人照看的概率。

西安交大西工大考研备考期末复习概率论与数理统计习题课

12. 条件概率
设 A, B 是两个事件,且 P(B) 0, 称 P( A | B) P( AB) P(B)
为在事件B 发生的条件下事件A发生的条件概率.
A AB B
13. 乘法定理
设 P( A) 0, 则有 P( AB) P(B A)P( A). 设 A, B,C 为事件,且 P( AB) 0, 则有
2 若事件A与B相互独立, 则以下三对事件
① A与 B；
② A 与 B；
③ A 与 B.
18. 独立试验序列概型
设{Ei }(i=1,2,…)是一列随机试验,Ei的样本空间为i ,设Ak 是Ek 中的任一事件,Ak k , 若Ak出
现的概率都不依赖于其它各次试验Ei (ik)的结果,
则称{Ei } 是相互独立的随机试验序列,简称独立试验序列.
(2) 问：哪个系统的可靠性更大？
系统Ⅰ.
①1 2 … n
② n+1 n+2 …
2n
1
系统Ⅱ.
2
n
…
n+1
n+2
2n
解设 Ai {第i个元件正常工作}, 则 P( Ai ) r
i 1,2,n 设 B1={ 系统Ⅰ正常工作}
j 1
称此为贝叶斯公式.
i 1,2,, n.
16.四个公式之间的联系
条件概率 P(B A) P( AB) P( A)
全概率公式
乘法定理
P( AB) P( A)P(B A)
P(A) P(B1)P(A B1) P(B2 )P(A B2) P(Bn)P(A Bn)
贝叶斯公式
P ( Bi
A)

概率论与数理统计期末考试试卷答案

《概率论与数理统计》试卷A（考试时间：90分钟；考试形式：闭卷）（注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。

答案填写在试卷和草稿纸上无效）一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则AB =()A 、AB B 、A BC 、A BD 、A B2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示()A 、A ，B ，C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生C 、A ，B ，C 中不多于一个发生D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P AB =，()0.2P A =，()0.4P B =，则()成立A 、()0.32P AB = B 、()0.2P A B =C 、()0.4P B A -=D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则()A 、()()()P AB P A P B -=- B 、()()()P AB P A P B =+C 、()()()P AB P A P B =D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是()A 、A 与B 独立 B 、A 与B 独立C 、()()()P AB P A P B =D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为其分布函数为()F x ，则(3)F =()A 、0B 、0.3C 、0.8D 、17、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1]()0,cx x f x ⎧∈=⎨⎩其它，则常数c =()A 、15 B 、14C 、4D 、58、设X ～)1,0(N，密度函数22()x x ϕ-=，则()x ϕ的最大值是()A 、0B 、1 C、9、设随机变量X 可取无穷多个值0,1,2,…,其概率分布为33(;3),0,1,2,!k p k e k k -==，则下式成立的是()A 、3EX DX ==B 、13EX DX == C 、13,3EX DX == D 、1,93EX DX ==10、设X 服从二项分布B(n,p),则有()A 、(21)2E X np -=B 、(21)4(1)1D X np p +=-+C 、(21)41E X np +=+D 、(21)4(1)D X np p -=-11、独立随机变量,X Y ，若X ～N(1,4)，Y ～N(3,16)，下式中不成立的是()A 、()4E X Y +=B 、()3E XY =C 、()12D X Y -= D 、()216E Y += 12、设随机变量X 的分布列为：则常数c=()A 、0B 、1C 、14 D 、14- 13、设X ～)1,0(N ,又常数c 满足{}{}P X c P X c ≥=<,则c 等于()A 、1B 、0C 、12D 、-1 14、已知1,3EX DX =-=,则()232E X ⎡⎤-⎣⎦=()A 、9B 、6C 、30D 、36 15、当X 服从( )分布时,EX DX =。

西安交大西工大考研备考期末复习概率论与数理统计第五章一维随机变量2

2. 随机变量的分类: 离散型、连续型.
一、问题的思考
例1（一个著名的古典概率问题——赌金分配问题）
假如在一个比赛中赢6次才算赢，赌徒甲已经赢5 次，而赌徒乙赢2次，这时中断赌博，问总的赌金应该如何分配？
一、问题的思考
1.试验背景
贝努里试验：只有两个可能结果的随机试验。 n重贝努里试验：重复独立进行n次贝努里试验（n次重复独立试验）。需要考察的问题：
实例6 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过, 如果某人到达该车站的时刻是随机的, 则
(e) 此人的等车时间,
是一个随机变量.
且 ξ(e) 的所有可
能取值为: [0,5].
实例7 随机变量 ξ 为“测量某零件尺寸时的测量
误差”.
则 ξ 的取值范围为 (a, b) .
实例8 随机变量 η 为“射击时偏离靶心的距离”.
若 Y1 ~ B(1, p) ,,Yn ~ B(1, p)，且相互独立， X Y1 Yn ，则 X ~ B(n, p)
结论：服从二项分布的随机变量可以表示成独立的两点分布的随机变量之和。
二项分布描述的是n重贝努里试验中出现“成功” 次数X的概率分布。
二、二项分布的计算
（续）对例1的解答：
设赌徒甲和赌徒乙，他们赢一局的概率分别为p和 q=1-p；X表示赌徒甲在4次试验中赢的次数，Y表示赌徒乙在4次试验中赢的次数，则
2. 随机变量的引入
实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球, 观察摸出球的颜色.
S={红色、白色} ?
非数量可采用下列方法
将 S 数量化
(e)
红色白色
S
1 0R
即有 ξ (红色)=1 ,
ξ (白色)=0.

历年西安交通大学概率论与数理统计试题及答案

2(0,)N σ15)X 是来自225122156)X X X ++++服从的分布是___ 机变量X 服从数为λ的]2)1=，则λ= 设两个随机变量X 与Y 的方差分别为共 4 页第 1 页共4 页第2 页,)X为来自总体n求（1）θ的矩估计；(10分)设ˆθ是一定是θ的相合估计。

共4 页第3 页共4 页第4 页西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A ）课时：48 考试时间：2007 年7 月9 日(200,169)N 180200169P -⎧⎨⎩1.54)＝0.93941()x dx =⎰1X θ=+,得1()(nk f θ==∏,),n1,,),n 当0,)nln k x ∑，求导得似然方程0=其唯一解为2，故θ的极大似然估优于页1(1,F n -(24,19)=0.429,21.507≈∈2的条件下，进一步检验假设：2μ<。

选取检验统计量12(t n n +0.05(43)t =-2.647 1.681-<-)B=)1Y≥=个人在第一层进入十八层楼的电梯，假如每个人以相同的概率从任个人在不同楼层走出电梯的概2=-1Xe-5,,X 都服从参数为分布，若将它们串联成整机，求整机寿命的分布密度。

分）某汽车销售点每天出售的汽车数服从参数为且每天出售的汽车数是相互独立的，西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A）课时：48 考试时间：2008 年7 月9 日三、1exp(),5 X2 (5,)B e-，∴四、设1iX⎧=⎨⎩第,n1n-第 1页1,2,,5min {k X 5,0,x e λ--0,x > exp(5)λ,365,(3652,365iN ⨯⨯3652)3652-⨯=⨯七、()E X dx θθ==+1X θθ=+2⎪⎫； 1)(ni θ==∏()ln nθθ= 第 2 页(0,1)N 的样本9,)X 是来自正态总体N 的置信区间为分）某卡车为乡村小学运送书籍，共装有1,2,,n.设各部件的状态相互独立，以转中同时需要调整的部件数，求(E X,)X是来自总体的一组样本nˆμ,它是否是的极大似然估计量*μ，它是否是西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准(A)n，则X,nX相互独立，1,2,i n= ()E X=()D X: (1)0x y<<<⎰⎰10000,X独立同分布，1,2,n ，因此当,)n x 中最小值时，的极大似然估计量为 ,}n X 2,}n X X 分布函数是1(1(X F z --，分布密度是((Z x f z μμ>≤ ()n x nxe dx μ--=12min{,,}n X X X 不是统计量X T S -=代入数据()Pλ，且已知{(,)=G x y，X）为来自总体服从参数为…,n，λ>服从以λ(0)求该样本的联合密度函数共2 页第1 页5,,X 是独立同分布的随机变量，其共同密度函数为：，试求5,,)Y X =的数学期望和方差。

交通学院概率论与数理统计教程答案

概率论与数理统计第一章随机事件及其概率第三节事件的关系及运算一、选择1.事件AB 表示（ C ）（A ）事件A 与事件B 同时发生（B ）事件A 与事件B 都不发生（C ）事件A 与事件B 不同时发生（D ）以上都不对2.事件B A ,，有B A ⊂，则=B A Y （ B ）（A ） A （B ）B （C ） AB （D ）A B U二、填空1.设,,A B C 表示三个随机事件，用,,A B C 的关系和运算表示⑴仅A 发生为ABC⑵,,A B C 中正好有一件发生为ABC ABC ABC ++⑶,,A B C 中至少有一件发生为A B C ++三、简答题1.任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数。

事件A 表示“出现点数为偶数”，事件B 表示“出现点数可以被3整除”，请写出下列事件是什么事件，并写出它们包含的基本事件,,,,A B A B AB A B ++解：A 表示“出现点数为偶数”，{}2,4,6A =B 表示“出现点数可以被3整除”，{}3,6B =A B +表示“出现点数可以被2或3整除”，{}2,3,4,6A B += AB 表示“出现点数既可以被2整除，也可以被3整除”，{}6AB =A B +表示“出现点数既不可以被2整除，也不可以被3整除”，{}1,5A B +=2.向指定目标射击两次。

设事件,,,A B C D 分别表示“两次均未击中”、“击中一次”、“击中两次”、“至少击中一次”，请写出所有基本事件，并用基本事件表示事件,,,A B C D解：基本事件为 1w ：“第一次击中，第二次击中”2w ：“第一次未击中，第二次击中”3w ：“第一次击中，第二次未击中” 4w ：“第一次未击中，第二次未击中”4{}A w =，23{,}B w w =，1{}C w =，123{,,}D w w w =3.袋中有10个球，分别写有号码1---10，其中1，2，3，4，5号球为红球；6，7，8号球为白球；9，10号球为黑球。

西安交通大学概率论与数理统计考试及答案

2(0,)N σ15)X 是来自225122156)X X X ++++服从的分布是___ 机变量X 服从数为λ的]2)1=，则λ= 设两个随机变量X 与Y 的方差分别为共 4 页第 1 页,)X为来自总体n求（1）θ的矩估计；共4 页第4 页西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A ）课时：48 考试时间：2007 年7 月9 日(200,169)N 180200169P -⎧⎨⎩1.54)＝0.93941()x dx =⎰1X θ=+,得1()(nk f θ==∏,),n1,,),n 当0,)nln k x ∑，求导得似然方程0=其唯一解为2，故θ的极大似然估优于第 1 页1(1,F n -(24,19)=0.429,221.507≈∈2的条件下，进一步检验假设：2μ<。

分）某汽车销售点每天出售的汽车数服从参数为且每天出售的汽车数是相互独立的，西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A）课时：48 考试时间：2008 年7 月9 日三、1exp(),5 X2 (5,)B e-，∴四、设1iX⎧=⎨⎩第,n1n-第 1页1,2,,5min {k X 5,0,x e λ--0,x > exp(5)λ,365,(3652,365iN ⨯⨯3652)3652-⨯=⨯七、()E X dx θθ==+1X θθ=+2⎪⎫； 1)(ni θ==∏()ln nθθ=第 2 页(0,1)N 的样本9,)X 是来自正态总体N1,2,,n.设各部件的状态相互独立，以转中同时需要调整的部件数，求(E X,)X是来自总体的一组样本nˆμ,它是否是的极大似然估计量*μ，它是否是西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准(A)n ，则X ,n X 相互独立，1,2,i n = ()E X =()D X : (1)0x y <<<⎰⎰ 10000,X 独立同分布，1,2,n ，因此当,)n x 中最小值时，的极大似然估计量为 ,}n X 2,}n X X 分布函数是1(1(X F z --，分布密度是((Z x f z μμ>≤ ()n x nxe dx μ--=12min{,,}n X X X 不是统计量X T S -=代入数据()Pλ，且已知{(,)=G x y，X）为来自总体服从参数为…,n，λ>服从以λ(0)求该样本的联合密度函数共2 页第1 页,,X是独立同分布的随机变量，其共同密度函数为：55,,)X 的数学期望和方差。

西安交大概率论试题及答案080709概率论B

西安交通大学考试题 B课程概率论学院考试日期 2021 年 7月 9 日专业班号姓名学号期中期末一、填空题(每题6分，共30分)1.一个产品须经过两道独立工序，每道工序产生次品的概率分别为3.0和2.0，那么一个产品出厂后是次品的概率为 . 2.随机变量T 在[0，6]上服从均匀分布，那么方程 012=++x T x 有实根的概率为 .3.假设Y X 、的分布列为：Y X 、相互独立，那么α= 。

4.设随机事件~(0.5)X P ，那么=-)23(2X E ____________________.5. D ( X ) = 4, D (Y ) = 9, D ( X Y ) = 12, 那么X+Y 与Y 间的相关系数为=+Y Y X ,ρ___________..二、单项选择题(每题5分，共25分) 1.设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<<<+=其他,020,10,)(),(y x y x a y x f ，那么常数=a(A) 31 (B) 3 (C) 2 (D) 21成绩X Y 1 2 31 61 91 181 2 31 α β√共 3 页第2 页课程概率论学院考试日期 2021 年 7月 9 日一、；2.32；3.92；4.0.25；5.14619. 二、1.A ；2.D ；3.B ；4.D ；5.C三、解：设事件 A 表示“答复是〞，1B 表示骰子掷出1，2，3，4点，2B 表示掷出5或6点。

那么(1分)〔1〕由全概率公式)()()()()(2211B A P B P B A P B P A P +=6132213132+=⋅+⋅=θθ (4分)〔2〕由Bayes 公式144613232)()()()(111+=+==θθθθA P B A P B P A B P(4分) 四、解：1.011()110(1)33z F z dy z ⎡⎤=++=+⎢⎥⎣⎦⎰1201111(0)(0)()12222P z X P X Y X P Y dy ≤==+≤==≤==⎰(2分)2. 当2z ≥时，()1F z =当1z <-时，()0F z =当12z -≤<时，()()()F z P Z z P X Y z =≤=+≤(1)(1)(0)(0)(1P X Y z X P X P X Y z X P X P X Y z X =+≤=-⋅=-++≤=⋅=++≤=[]1(1)()(1)3P Y z P Y z P Y z =≤++≤+≤- (2分)当10z -≤<时，1011()1(1)33z F z dy z +==+⎰当01z ≤<时，011()110(1)33z F z dy z ⎡⎤=++=+⎢⎥⎣⎦⎰当12z ≤<时，1011()111(1)33z F z dy z -⎡⎤=++=+⎢⎥⎣⎦⎰ (2分)所以 0 11()(1) 1231 z 2z F z z z <-⎧⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎩，那么1,12()30,z f z ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其它(1分) 五、2,S R =π由题意得则联合密度函数为22221,(,)0,x y Rf x y R⎧+≤⎪=π⎨⎪⎩其它 (1分)()(,)X f x f x y dy R x R +∞-∞==-≤≤⎰(2分)()(,)Y f y f x y dy R y R +∞-∞==-≤≤⎰(221()(),X Y f x f y R =≠π所以不独立 (1分)2RR EX x dx R -==π⎰0 (1分)RR EY -==⎰0 (1分)2222x y R xyEXY dxdy R +≤==π⎰⎰0 (1分) (,)Cov X Y EXY EX EY =-⋅=0，那么X,Y 不相关 (1分)六、设赴约前t 分钟离开，那么花费⎩⎨⎧>-≤-==tX t X k t X X t c X f C ),(),()(，(3分)⎰==3010)()()(dxx p x f X Ef EC〔2分〕)45050()3010()22(201)(201)(23010k c t k c t kc dx t x k dx x t c t t+++-+=-+-=⎰⎰〔2分〕EC 最小，kc kc t ++=3010*〔2分〕七、解设一年中死亡等人数是X 人，X=,3000,,1,0 死亡的概率P=0.001，把考虑3000个人在一年中是否死亡看成3000重伯努力试验，故X 服从二项分布，即X~B(3000,0.01). 保险公司每年收入3000,3000010=⨯付去2000X 元。

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概率论与数理统计试题2016—2017第一学期（期末）试题解答一、完成下列各题（每小题4分，共24分） 1. 设随机事件A ，B ，C 相互独立，21)()(==B P A P ,41)(=C P ,分别求出)(C B A P 及)(BC A P -的值。

解：)(1)()(1)()(1)(C P C P B P B P A P A P -=-=-=，， ∵C B A ,,相互独立所以C B A ,,也相互独立)()()(),()()(),()()(C P B P C B P C P A P C A P B P A P B A P ===)()()()()()()()(C B A P C B P C A P B A P C P B P A P C B A P +---++=1615= ))()(())(()()(C A B A P C B A P BC A P BC A P ===-167)()()()()()()()()()(=-+=-+=C P B P A P C P A P B P A P C B A P C A P B A P 相关知识：①_)()()()()(1)(AB P B P A P B A P A P A P -+=-= ，（书P11） ②事件的相互独立性：)()()(,B P A P AB P B A =⇔相互独立四对事件}B ,A {,}B {A,B},,A {B},{A,中有一对是相互独立的，则另外三对也相互独立，此结论可推广至n 个事件的情形。

（书P20） ③事件的差：B A B A =- ④De Morgan 律：B A AB =2. 房间内有5个人，每个人在一年中（按12个月计算）每个月出生的概率相等，求5个人中至少有两个人生于同一个月的概率。

解：设人中至少两人生于同月事件5=A则人中无人同月出生5=A则14489)()(11445512)(555512=-==⋅=A P A P A C A P 5人中至少两人生于同月概率14489)(=A P 相关知识：①正难则反：发现某件事情的概率很难求时，可以考虑其对立事件的概率，再应用)(1)(A P A P -=来求解。

②乘法原理：做一件事需经过n 个不同的步骤，而第i 步有i m 种方法，则完成它有∏=ni im1种不同的方法。

3. 设随机变量)(~λP X ，且的值。

，求)3()2(4)1(≥==≤X P X P X P解：)!2(4)1()1()0()1(2λλλλ--⨯=+==+==≤e eX P X P X P两边同除λ-e ，得221λλ=+ 解得1=λ或21-=λ（舍去）因此！，k )k ()1(~1-==e X P P X)2()1()0(1)3(1)3(=-=-=-=<-=≥X P X P X P X P X P 1251--=e综上1251)3(--=≥e X P相关知识：泊松分布：P37设随机变量X 有!)(k e k X P k λλ-==，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为)(~λP X 。

其中且为常数；02,1,0>=λ k 。

4. 将一颗均匀骰子独立上抛两次，观察出现点数。

若两次出现点数和为8或10即可获奖。

求获奖概率。

解：设第一次上抛出现点数为X ,第二次上抛出现点数为Y 。

由上表可见，92368))10()8((===+=+Y X Y X P 则获奖概率92=P 5. 设随机变量X 与Y 相互独立且同分布，X 的概率密度为⎩⎨⎧>=-)(0)0()(其他x e x f xλλ，0>λ，若3)1(-=>e X P ，求)2),(min(≤Y X P 的值。

解：311)()1(--∞+-+∞==-==>⎰e e e dx xf X P xλλ，则3=λ。

)2()2(1)2),(min(1)2),(min(>>-=>-=≤Y P X P Y X P Y X P因为X ,Y 同分布所以62)()2()2(-+∞==>=>⎰e dx xf Y P X P所以121)2),(min(--=≤e Y X P相关知识：二维随机变量函数的概率分布（书本P62~P67）①⎰⎰+∞∞-+∞∞--=-=+=dy y y z f dx x z x f z f YX Z z ),(),()(②dy y yz f y z f YX Z z ),(||)(⎰+∞∞-==③),min(),,max(Y X m Y X M ==))(1))((1(1)()()()(z F z F z F z F z F z F Y X m Y X M ---==6. 设总体X 服从二项分布n x x x p m b ,,,),,(21 是来自x 的简单随机样本。

试求①参数p 的矩估计量 ②2p 的无偏估计量。

解：①∑====ni i X n A mp X E 1111)(α由矩估计法可得，)(1ˆˆ211n x x x np m +++== α 所以有)(1ˆ21n x x x mnp+++= ②)()1(2X D p mp =-=μ2μ的无偏估计量是)(11122∑=--=ni i n X n X n S21222111ˆˆˆX n nX n p m p m n i i---=-=∑=μ 承上题，pm ˆ的无偏估计量是X 所以2122111ˆX n n X n p m X n i i---=-∑= )11112(1ˆ1222∑=----=n i i X n X n n m p相关知识：①若),(~p m B X ，则)1()(;)(p mp X D mp X E -==。

②求)(2X E : )()()();()()(2222X E X D X E X E X E X D +=-=③无偏估计量的定义：若θθ=)ˆ(E ，则称θˆ是θ的一个无偏估计量。

（书本P153）矩估计法：（书本P145）二、已知某批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为次品的概率是0.05，次品误认为是合格品的概率是0.02，试求：①一个产品经检查后被认为是合格品的概率。

②一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率。

解：①设。

某产品被认为是合格品某产品是次品；某产品是合格品；===A B B 21 则21B B ，构成一个互斥完备事件组。

则 1.0)(9.0)(21==B P B P02.0)|(95.0)|(21==B A P B A P%7.85)|()()|()()(2211=+=B A P B P B A P B P A P所以某产品被认为是合格品的概率%7.85)(=A P 。

②承上题，即求)|(1A B P 则%8.99857855)|()()|()()|()()()()|(22111111≈=+==B A P B P B A P B P B A P B P A P AB P A B P所以经检查后认为是合格品的确实是合格品的概率为%8.99857855)|(1≈=A B P 相关知识：全概率公式与贝叶斯公式（书本P17）①全概率公式：若事件n B B B ,,21构成互斥完备事件组，则∑=jj j B A P B P A P )|()()(。

用法：可以将复杂事件概率分解为若干互斥的简单事件的分概率。

②贝叶斯公式：∑==jj j i i i B A P B P B P A P AB P A B P )|()()()()()|(。

用法：可以由事情的结果去推测原因。

三、随机变量X 的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他0)20(21)(x xx f ，令12+=X Y ，试求①X 的分布函数)(x F ②Y 的概率密度 ③)31(<<x P解：①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤≤+-<==⎰∞-)2(1)20(41)0(0)()(2x x x x x dx x f x F x所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤≤+-<=)2(1)20(41)0(0)(2x x x x x x F②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤≤-+-<=-=-≤=≤=)5(1)51(16910)1(0)21()21()()(2y y y y y y F y X P y Y P y F X Y 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤+-<==)5(0)51(858)1(0)()('y y y y y F y f Y Y③41431)1()3()31(=-=-=<<X X F F x P 所以41)31(=<<x P 相关知识：连续型随机变量及其性质。

（书本P37）四、设随机变量21,Y Y 相互独立，都服从参数为P 的（0,1）分布，若21=P ，且令⎩⎨⎧≠+-=+=kY Y kY Y X k 212111，2,1=k 。

①求二维随机变量),(21X X 的联合分布律。

②分别求出),(21X X 关于21X X ，的边缘分布律。

③21X X ，是否相互独立？证明你的结论。

解：①由题意得，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-P PY Y 110~21，；21=P 。

则容易得到⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==+≠+==-==≠+≠+=-=-===+=-====+=+===41)21()1,1(41)21()1,1(21)1()1,1(0)21()1,1(2121212121212121212121Y Y Y Y P X X P Y Y Y Y P X X P Y Y P X X P Y Y Y Y P X X P 且且且③21X X ，不相互独立：证明：)1()1()1,1(41)1(,21)1(,0)1,1(21212121==≠=========X P X P X X P X P X P X X P因此，由事件独立性定义，21X X ，不相互独立。