平面直角坐标系
平面直角坐标系
平面直角坐标系平面直角坐标系是平面上最常用的坐标系统之一，用于描述平面上的点和其它几何图形的位置。
它由两条相互垂直的直线组成，分别称为x轴和y轴，它们的交点被称为原点。
一、坐标系介绍坐标系是用来刻画空间中各点位置的系统，而平面直角坐标系是坐标系中的一种。
平面直角坐标系的构成：1. x轴：水平的直线，向右延伸为正方向，向左延伸为负方向。
2. y轴：垂直于x轴的直线，向上延伸为正方向，向下延伸为负方向。
3. 原点：x轴和y轴的交点，被称为坐标系的原点。
二、坐标的表示方法在平面直角坐标系中，每个点可以表示为一个有序数对，即(x, y)，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。
1. 横坐标：横坐标表示点在x轴上的位置。
在原点的右边为正方向，左边为负方向。
2. 纵坐标：纵坐标表示点在y轴上的位置。
在原点的上方为正方向，下方为负方向。
三、点的位置关系根据坐标系的定义，我们可以判断点的位置关系。
1. 同一直线上的点：如果两个点的横坐标相等，纵坐标不同时，它们在同一条直线上，且与原点的距离相等。
2. 垂直关系：如果两个点的纵坐标相等，横坐标不同时，它们在同一条垂直线上，且与原点的距离相等。
3. 斜率：直线斜率是用来描述直线的倾斜程度的，斜率为0表示水平线，无限大表示垂直线。
4. 象限：根据点的坐标正负关系，可以将平面分为四个象限。
第一象限：x>0，y>0；第二象限：x<0，y>0；第三象限：x<0，y<0；第四象限：x>0，y<0。
四、点、线和图形的表示方法在平面直角坐标系中，我们可以使用坐标来表示点、线和图形。
1. 表示点：一个点的位置可以使用有序数对(x, y)来表示。
如点A(2, 3)表示横坐标为2，纵坐标为3的点A。
2. 表示线段：线段由两个端点组成，可以使用两个点的坐标来表示。
如线段AB由两个点A(2, 3)和B(4, 5)表示。
3. 表示直线：直线的方程可以使用斜率截距形式或一般式来表示。
平面直角坐标系
式中：N———6°带的带号
图2离中央子午线越远，长度变形越大，在要求较小的投影变形时，可采用3°投影带。3°带是在......
应当注意的是，高斯投影没有角度变形，但有长度变形和面积变形，离中央子午线越远，变形就越大。其主 要特点有以下三点：
（1）投影后中央子午线为直线，长度不变形，其余经线投影对称并且凹向于中央子午线，离中央子午线越远， 变形越大。
第一象限还可以写成Ⅰ，第二象限还可以写成Ⅱ，第三象限还可以写成Ⅲ，第四象限也可以写成Ⅳ。 .第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
1.关于x轴成轴对称的点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。（横同纵反） 2.关于y轴成轴对称的点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。（横反纵同） 3.关于原点成中心对称的点的坐标，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数。（横纵皆反）
发展历程
笛卡尔坐标的思想是法国数学家、哲学家笛卡尔所创立的。
传说：
有一天，笛卡尔（Descartes 1596—1650，法国哲学家、数学家、物理学家）生病卧床，但他头脑一直没 有休息，在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？ 这里，关键是如何把组成几何的图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩。他就拼命琢磨。通过什么样的办法、 才能把“点”和“数”联系起来。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝 爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”，使笛卡尔思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子 里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地 面交出了三条直线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位 置，不是都可以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示吗？反过来，任意给一组三个有顺序的数，例如3、 2、1，也可以用空间中的一个点 P来表示它们。同样，用一组数（a， b）可以表示平面上的一个点，平面上的 一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示。于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系。百科x混知：图解 笛卡尔
平面直角坐标系
平面直角坐标系简介平面直角坐标系是数学中一种常见的坐标系，用于描述平面上的点的位置。
它由两条相互垂直且共同交于原点的直线构成，分别称为x轴和y轴。
通过x、y轴上的数值，可以确定平面上的每一个点的坐标。
坐标轴平面直角坐标系由两个垂直的坐标轴组成，分别是x轴和y轴。
x轴是从左到右水平延伸的直线，y轴是从下到上垂直延伸的直线。
两轴交于原点O，原点是坐标系的起点，它的坐标为(0, 0)。
坐标轴上的点的坐标是由数值决定的，正方向上的数值代表右移或上移，负方向上的数值代表左移或下移。
x轴上的正方向可以取右移，y轴上的正方向可以取上移。
在平面上的点的位置是通过坐标值的组合来表示的。
坐标值在平面直角坐标系中，每个点的位置都有唯一的坐标值来确定。
一个坐标值由两个实数(x, y)组成，x表示该点在x轴上的位置，y表示该点在y轴上的位置。
坐标值的顺序可以是(x, y)或者y，x。
根据坐标轴和原点的位置，可以将坐标值分为四个象限。
第一象限的点具有正的x和y值，第二象限的点具有负的x值和正的y值，第三象限的点具有负的x 和y值，第四象限的点具有正的x和负的y值。
坐标变换平面直角坐标系除了可以用来表示点的位置外，还可以进行坐标变换。
坐标变换包括平移、旋转、缩放和倾斜等操作，这些操作可以改变坐标轴的位置和方向，从而达到变换坐标的目的。
平移是将整个坐标系在平面上沿着一个方向移动一定的距离。
例如，将坐标系向右平移3个单位，则所有点的x坐标都会增加3个单位。
类似地，将坐标系向上平移2个单位，则所有点的y坐标都会增加2个单位。
旋转是将整个坐标系绕原点或者其他点旋转一定的角度。
例如，将坐标系逆时针旋转90度，则x轴会变为新的y轴，y轴会变为新的-x轴。
通过旋转，可以改变坐标系中点的位置。
缩放是将整个坐标系沿着x轴和y轴的方向分别进行比例缩放。
例如，对x轴进行2倍缩放，则所有点的x坐标都会乘以2，从而使整个坐标系在x轴方向拉长。
类似地，对y轴进行2倍缩放，则所有点的y坐标都会乘以2，从而在y轴方向拉长。
平面直角坐标系
平面直角坐标系平面直角坐标系是数学中常用的坐标系之一，用于描述平面上点的位置。
它由两个互相垂直的坐标轴组成，分别称为x轴和y轴。
x轴是平行于地面的水平线，y轴是垂直于地面的竖直线。
两个轴的交点称为原点O，坐标轴上的单位长度分别称为单位长度，在坐标轴上的点用有序数对(x,y)来表示。
概念距离公式是平面直角坐标系中求两点之间距离的一种方法，它利用勾股定理的原理得出。
即：两点之间的距离等于横坐标的差的平方加纵坐标的差的平方再开平方根。
假设平面直角坐标系上有两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则A和B之间的距离d可以表示为：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)这个公式可以用来计算直线上两个点的距离，也可以用来计算任意两个点之间的距离。
中点公式是指在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点的坐标，求线段的中点坐标的一种方法。
中点公式的原理是利用两点的坐标分别求出横坐标的平均值和纵坐标的平均值，得到线段的中点坐标。
假设平面直角坐标系上有线段的两个端点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则线段的中点M的坐标可以表示为：M=((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)中点公式可以简单地通过将两个端点的横坐标和纵坐标进行平均来计算出线段的中点坐标。
通过概念距离公式和中点公式，我们可以在平面直角坐标系中方便地计算出两点之间的距离和线段的中点坐标。
这些公式在几何学、物理学和计算机图形学等学科中都有广泛的应用。
平面直角坐标系是数学中基础而重要的工具之一，它不仅可以用来描述几何图形和计算空间中的点、线、面，还可以应用于解决实际问题，如测量距离、计算速度等。
同时，平面直角坐标系还可以与其他数学概念和方法相结合，如向量、导数等，形成更加完整和强大的数学分析体系。
总之，平面直角坐标系是数学中重要的工具之一，概念距离公式和中点公式是在平面直角坐标系中求解距离和中点问题时常用的方法。
通过运用这两个公式，我们可以方便地计算出两点之间的距离和线段的中点坐标，以及应用到各种实际问题中。
平面直角坐标系
02
点在平面直角坐标系中的表示
点在平面直角坐标系中的表示方法
直角坐标法
在平面内选定一个原点O和x、y轴，对于平面内的任意一点P ，通过原点O作一直角与x轴正方向夹角为α，再作一直角与y 轴正方向夹角为β，两直角的交点即为点P的坐标。
极坐标法
以原点O为极点，x轴正方向为极轴，建立极坐标系。对于平 面内的任意一点P，通过原点O作一直线与极轴夹角为θ，再 作一直线与极轴夹角为α，两直线的交点即为点P的极坐标。
点的坐标与位置关系
点的横坐标
表示点在x轴上的投影距离 。
点的纵坐标
表示点在y轴上的投影距离 。
点的位置关系
通过比较点的坐标值，可 以确定点在平面直角坐标 系中的位置关系，如平行 、垂直、相交等。
点在平面直角坐标系中的变换
平移变换
将点沿着x轴或y轴方向移动一定的距离，点的坐 标值会相应地增加或减少。
几何图形的性质研究
利用平面直角坐标系，可以研究几何图形的性质和特点，例如对称性、中心对 称等。
04
平面直角坐标系与极坐标系的 关系
极坐标系的基本概念
1 2
极坐标系
在平面内，以一个固定点为极点，一个固定射线 为极轴，用来研究点的位置的一种坐标系。
极坐标表示
在极坐标系中，一个点的位置由一个实数r和一 个角度θ来确定，记作(r, θ)。
旋转变换
将点绕原点旋转一定的角度，点的坐标值会发生 变化。
缩放变换
将点在x轴或y轴方向上放大或缩小一定的倍数， 点的坐标值会相应地增加或减少。
03
平面直角坐标系的应用
解析几何问题
直线方程的求解
通过平面直角坐标系，可以确定 直线上任意两点的坐标，从而求 出直线的方程。
平面直角坐标系
平面直角坐标系在数学中，平面直角坐标系是一种用于描述平面内点的坐标系统。
它由两条互相垂直的直线（通常是水平的x轴和垂直的y轴）形成，它们相交于一个点，称为原点。
本文将介绍平面直角坐标系的基本概念、坐标表示和使用方法。
一、基本概念平面直角坐标系由两个轴组成，通常称为x轴和y轴。
这两个轴的交点就是原点，用O表示。
x轴向右延伸正无穷远，用正数表示；x轴向左延伸负无穷远，用负数表示。
y轴向上延伸正无穷远，用正数表示；y轴向下延伸负无穷远，用负数表示。
二、坐标表示平面直角坐标系中，每个点都可以用一个有序数对(x,y)来表示，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
x和y分别称为点的横坐标和纵坐标。
三、使用方法在平面直角坐标系中，可以进行一些简单的计算和几何分析。
1. 距离计算可以通过坐标计算两点之间的距离。
假设点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2, y2)，则点A和点B之间的距离d可以通过以下公式计算：d = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)2. 点的位置关系可以比较两个点的坐标来判断它们的位置关系。
例如，如果点A的横坐标等于点B的横坐标并且点A的纵坐标小于点B的纵坐标，那么可以说点A在点B的上方。
3. 垂直和平行关系可以通过判断两个直线的斜率（或是特殊情况下的截距）来确定它们的关系。
如果两条直线的斜率相同，那么它们是平行的；如果两条直线的斜率的乘积为-1，那么它们是垂直的。
四、坐标系拓展除了普通的平面直角坐标系，还有其他类型的坐标系可以应用于不同的数学和物理问题。
例如，极坐标系以点到原点的距离和该点与正x 轴的角度来描述点的位置。
其他坐标系还包括球坐标系、柱坐标系等。
总结：平面直角坐标系是用于描述平面内点的坐标系统。
通过横坐标和纵坐标的数值，可以表示点在平面中的位置。
在平面直角坐标系中，可以进行距离计算、点的位置关系判断以及直线的垂直和平行关系确定。
此外，还存在其他类型的坐标系，用于解决不同的数学和物理问题。
平面直角坐标系平面直角坐标系
在有些情况下，1个单位长度表示的单位量可能 不是1，需要具体问题具体分析。）
3
特点
坐标轴上的单位长度是等长的，即1个单位长度 上对应的坐标值是等距的。
象限与八分区
• 象限：将平面分成四个区域，左上、右上、左下、右下分别称为第一、第二、第三、第四象限。 • 八分区：将平面分成八个区域，类似于象限的划分方法，但是增加了两条坐标轴上的奇数和偶数分区。具
平面直角坐标系的优化算法
平面直角坐标系也可以用于解决优化问题，例如线 性规划、非线性规划等。
线性规划问题可以定义一个目标函数和一组约束条 件，通过求解目标函数的最大值或最小值，以及满
足约束条件的最优解得到最优解。
非线性规划问题可以定义一个非线性目标函数和 一组约束条件，通过求解目标函数的最小值或最 大值，以及满足约束条件的最优解得到最优解。
特点
平面直角坐标系具有简单易行、直观形象、易于理解与运用 等优点。
平面直角坐标系的重要性
数学科学的基础
平面直角坐标系是数学科学中最为基础和重要的概念之一，它为代数、几何 、分析等多个分支提供了桥梁和工具。
解决实际问题
平面直角坐标系广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、经济学等，用于 描述和分析实际问题。
体如下 • 第一象限：(+,+) • 第二象限：(-,+) • 第三象限：(-,-) • 第四象限：(+,-) • x轴正半轴：(+,0) • x轴负半轴：(0,-) • y轴正半轴：(0,+) • y轴负半轴：(-,0)
03
平面直角坐标系的应用
描述点的位置
平面直角坐标系由横轴和纵轴构成，原点表示为 (0,0)，可以在此基础上确定任意点的位置。
平面直角坐标系
平面直角坐标系平面直角坐标系是解析几何中常用的坐标系，用于描述平面上的点和其它几何图形。
本文将详细介绍平面直角坐标系的定义、性质及应用。
一、定义平面直角坐标系由两个互相垂直的数轴（x轴和y轴）构成。
x轴水平放置，从左到右逐渐增大；y轴垂直于x轴，从下往上逐渐增大。
两条轴的交点称为原点，记作O。
平面直角坐标系将平面上的点与有序的实数对（x，y）一一对应。
二、性质1. 坐标轴性质：x轴上的点坐标为(x, 0)，y轴上的点坐标为(0, y)。
2. 坐标线性质：对于坐标系内的一点P(x, y)，以x轴和y轴为边，可以得到4个区域，分别对应第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
3. 距离计算公式：两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)之间的距离d可以通过勾股定理求得：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]。
三、应用平面直角坐标系在解析几何中有广泛的应用，常与方程、图形和向量等相关联。
1. 方程：通过坐标系可以解决一元和两元方程的问题。
对于一元方程，可以将其在坐标系中表示为一条直线，并求解其根；对于两元方程，可以表示为一条曲线，通过坐标系求解方程组的解。
2. 图形：通过坐标系，可以准确地表示和描述各种几何图形，如直线、抛物线、双曲线等。
在坐标系中，每个点都有唯一的坐标，因此可以使用坐标来确定图形上的点的位置。
3. 向量：向量是平面直角坐标系中的重要概念之一。
向量的起点可以任意选取，表示为一个有向线段，并通过坐标系表示其方向和大小。
向量可以进行加法、减法、数量积等运算，在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
总结：平面直角坐标系是解析几何中最基本的坐标系之一，通过两个垂直的坐标轴构成。
它具有一些重要的性质，如坐标轴和坐标线的性质，以及距离计算公式。
平面直角坐标系在方程、图形和向量等方面有广泛的应用，能够准确地描述和解决各种几何问题。
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1
-4 -3 -2 -1 0 ● -1 -3 1 2
D(3,0)
● 3 4 5
B(2,1)-2
x
-4●
C (0,4)
二、一起来吧
1、( , )
-4 -3 -2 -1
P·
( , )
4 5 x
( , )
0 -1 -2
1
2
3
-3
-4
( ,)
5、平行于x轴（垂直于y轴）或平行于y轴（垂直于x 轴） 的直线上点的特征：
x轴（垂直 y 轴 平行 y 轴（垂直 x 轴
平行
）的直线上的点：纵坐标相同 ）的直线上的点：横坐标相同
思考：
１点P(a，b)关于x轴、 y轴、原点对称点的坐标特征
２、 点 P1 (a1 , b1 ) 到点 P2 (a2 , b2 ) 的距离
Ｂ●艺术馆
3 2 1 ●毛主席像 ●三教楼 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 ●一教楼 Ｄ● -1 Ｃ 二教楼 （3，-1） （-3，-1） -2
●大门
x
请作出以下几点： D(3,0) E (4,4)
5 ● 4 3 2
A(3,5) B(2,1) C (0,4)
y
● A(3,5)
E (4,4)
●大门
x
谈谈学习了这节课你有哪些收获？
我们的收获：
一、平面直角坐标系的含义及相关概念
１、在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平 面直角坐标系（简称直角坐标系）。
2、通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向 上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做 x 轴或横 轴，铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴， x 轴和 y 轴统称坐标轴， 它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。 3、两条坐标轴把平面分成四个部分：右上部分叫做第一象限， 其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四 象限。坐标轴上的点不在任何一个象限内。 二、平面直角坐标系中，点的坐标特征： （１）四个象限内的点的坐标特征： 第一象限（＋，＋） 第二象限（－，＋）
第三象限（－，－）
第四象限（＋，－）
（2）坐标轴上点的坐标特征：
x 轴上的点，其纵坐标为0。即（a ，0） y 轴上的点，其横坐标为0。即（0 ，b） 原点的坐标为 （0，0） （3）一、三象限的角平分线上点的特征：（ a ，a ）
二、四象限的角平分线上点的特征： （ b ，-b ） 4、纵坐标相同的点或横坐标相同的点的连线的特征： 纵坐标相同的点的连线平行 x轴（垂直 y 轴 ） 横坐标相同的点的连线平行 y 轴（垂直x轴 ）
作业
1、《轻松》67页
2、习题5•3
1,2
求点Ｐ的坐标
P●
(3,3y 3)
5 4
6
-4 -3 -2 -1
3 2
60 1
0 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 x
-4
y
平行
●四教楼 x轴（垂直 y轴 ）的直线上的点：纵坐标相同
Ａ（4，3） ●科学馆 ●艺术馆 3 ●实验楼 行政楼 平行 y 轴（垂直 x ）的直线上的点：横坐标相同 轴 2 ● ●图书馆
Ｂ（-3，3）
1 ●毛主席像 ●三教楼 -4 -3 -2 -1 0 1 2 ●一教楼 3 4 ● -1 二教楼 Ｃ（3，-1） Ｄ（-3，-1） -2
其横坐标与纵坐标相同。 形如 ( a, a )
● 3 ● 二、四象限的角平分线上的点， 其横坐标与纵坐标互为相反数。 ● 2 ●
形如
● 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ● ● -1 ● -2 ● ●
(b, b)
x
西
y 4、纵坐标相同的点或横坐标相同的点的连线的特征：
●后门 ●四教楼 纵坐标相同的点的连线平行 Ｂ（-3，3） ●艺术馆
2、坐标轴上点的坐标特征：
y
5
x 轴上的点，其纵坐标为0。
形如
(0, b)
形如
(a,0)
b
y 轴上的点，其横坐标为0。 2
(0, b)
-4 -3 -2 1 ● -1 0 -1 1 2
4 ● 3
(a,0)
a3
● 4 5 x
原点的坐标为（0，0） -2
-3
-4
3、角平分线上点的坐标特征：
西
y
一、三象限的角平分线上的点，
下图是我校的示意图： ●后门 （3）如果以“毛主席像”为原点作一条水平数轴，你 （2）“实验楼”在“毛主席像”西、北各多少个格？ （1）你是怎样确定“实验楼”位置的？ 能否确定“实验楼”的位置 ●四教楼
●科学馆 3 ●实验楼 行政楼 2 ● ●图书馆 1 ●毛主席像 ●三教楼 -4 -3-2 -1 0 1 2 3 ●一教楼 ● -1 二教楼 -2 ●艺术馆 ●大门
第Ⅲ象限
注
第Ⅳ象限
意:坐标轴上的点不属于任何象限。
-4
纵轴
y
b
1 0
P点在x 轴上的坐标为 横坐标 P点在y 轴上的坐标为 b 纵坐标 P点在平面直角坐标系中的坐标为 ( a, b) 记作：P ( a, b)
a
· P
注意：X轴上的 坐标（横坐标） 写在前面哟！
1
a
x
横轴
坐标是有序 的实数对。
纵轴
y
北
x
y
3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -1 授课教师：周 强 -2
x
一、这些你都知道吗？ １、在平面内，两条互相垂直且有公共
5 原点的数轴组成平面直角坐标系（简称 直角坐标系）。 4 y 纵轴
第Ⅱ象限
3 2 1
第Ⅰ象限
1 2 3 4 5 x 横轴
-4
-3
-2 原点
-1
0 -1 -2 -3
x轴（垂直 y 轴
）
3 2 y 横坐标相同的点的连线平行 1 ●毛主席像 ●三教楼 -4 -3 -2 -1 0 1 2 ●一教楼 3 4 ● -1 二教楼 Ｃ（3，-1） Ｄ（-3，-1） -2
●大门
Ａ（4，3） ●科学馆 ●实验楼 行政楼 轴（垂直 x 轴 ● ●图书馆 ）
x
●后门 5、平行于x轴（垂直于y轴）或平行于y轴（垂直于x 轴）的 西 直线上点的特征：
y 5 4
A点在x 轴上的坐标为4 A点在y 轴上的坐标为2
A点在平面直角坐标系中的坐标为(4, 2)
记作：A（4，2） A
B（ - 4，1）
B
3 2
1
·
-3 -2 -1
·
4 5 x 横轴
-4
0 -1
1
2
3
-2 -3
-4
西 ●四教楼
●后门
y
（4，3） Ａ ●科学馆 ●实验楼 行政楼 ● ●图书馆
（-3，3）