电磁场与电磁波第四章
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电磁场与电磁波(第4版)第4章部分习题参考解答
G G G G G G − j(k x + k y + k z ) 故 E (r ) = E0 e − jk ⋅r = E0 e x y z
GG G G G G − j(k x + k y + k z ) ∇ 2 E (r ) = E0∇ 2 e − jk ⋅r = E0∇ 2 e x y z
G ⎛ ∂2 ∂2 ∂ 2 ⎞ − j(k x + k y + k z ) = E0 ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ e x y z ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ G − j(k x + k y + k z ) G G 2 = (− k x2 − k y − k z2 ) E0 e x y z = − k 2 E (r ) G G G G 代入方程 ∇ 2 E (r ) + ω 2 με E (r ) = 0 ，得 G G − k 2 E + ω 2 με E = 0
G G ω ∂2 ω G (3) ∇ 2 E = ey E0∇ 2 cos(ωt + z ) = ey E0 2 cos(ωt + z ) ∂z c c
ω G ω = −ey ( ) 2 E0 cos(ωt + z ) c c
G ∂2 E G ∂2 ω ω G = e E cos(ωt + z ) = −eyω 2 E0 cos(ωt + z ) y 0 2 2 ∂t ∂t c c G G 1 ∂2 E ω 1 ⎡ G ω ⎤ G ω 2 ∇ E − 2 2 = −ey ( ) 2 E0 cos(ωt + z ) − 2 ⎢ −e yω 2 E0 cos(ωt + z ) ⎥ = 0 c ∂t c c c ⎣ c ⎦
GG G G G G − j(k x + k y + k z ) ∇ 2 E (r ) = E0∇ 2 e − jk ⋅r = E0∇ 2 e x y z
G ⎛ ∂2 ∂2 ∂ 2 ⎞ − j(k x + k y + k z ) = E0 ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ e x y z ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ G − j(k x + k y + k z ) G G 2 = (− k x2 − k y − k z2 ) E0 e x y z = − k 2 E (r ) G G G G 代入方程 ∇ 2 E (r ) + ω 2 με E (r ) = 0 ，得 G G − k 2 E + ω 2 με E = 0
G G ω ∂2 ω G (3) ∇ 2 E = ey E0∇ 2 cos(ωt + z ) = ey E0 2 cos(ωt + z ) ∂z c c
ω G ω = −ey ( ) 2 E0 cos(ωt + z ) c c
G ∂2 E G ∂2 ω ω G = e E cos(ωt + z ) = −eyω 2 E0 cos(ωt + z ) y 0 2 2 ∂t ∂t c c G G 1 ∂2 E ω 1 ⎡ G ω ⎤ G ω 2 ∇ E − 2 2 = −ey ( ) 2 E0 cos(ωt + z ) − 2 ⎢ −e yω 2 E0 cos(ωt + z ) ⎥ = 0 c ∂t c c c ⎣ c ⎦
电磁场与电磁波第四章..
E ) E 2 t 2 E 无源区电场 2 E 2 0 波动方程 t
同理，可以推得无源区磁场波动方程为：
2 H H 2 0 t
2
22:48
电磁场与电磁波
第4章
时变电磁场
面对的问题 单一媒质环境！ 波动方程的求解！ 分析方法： 利用时变电磁场特性 关联的一般性物理问题？ 典型问题的应用？
2 E 2 E 2 0 t
无源区电场 波动方程
2 H 2 H 2 0 t
无源区磁场 波动方程
波动方程反映了时变电磁场中电场场量和磁场场量的空间分布规律。
22:48
电磁场与电磁波
第4章
时变电磁场
电场波动方程的推导：
B E t
E ( H ) t 2 E 2 ( E ) E 2 t
1 A t
B A
结论： 无源区两种方法一样简单 有源区位函数方程更简单
22:48
A E t
电磁场与电磁波
第4章
时变电磁场
面对的问题！ 分析方法： 求解区无源，用场的波动方程 求解区有源，用位函数方程 关联的一般性物理问题？ 典型问题的应用？
j t
第 4章
22:48
第 5、 6章
第 7章
第 8章
电磁场与电磁波
第4章
时变电磁场
面对的问题？ 分析方法？ 关联的一般性物理问题？ 典型问题的应用？
22:48
电磁场与电磁波
第4章
时变电磁场
第四章 时变电磁场
本章主要内容： 时变电场和磁场满足的方程——波动方程 时变电磁场的辅助函数——标量电位和矢量磁位 时变电磁场的能量守恒定律
同理，可以推得无源区磁场波动方程为：
2 H H 2 0 t
2
22:48
电磁场与电磁波
第4章
时变电磁场
面对的问题 单一媒质环境！ 波动方程的求解！ 分析方法： 利用时变电磁场特性 关联的一般性物理问题？ 典型问题的应用？
2 E 2 E 2 0 t
无源区电场 波动方程
2 H 2 H 2 0 t
无源区磁场 波动方程
波动方程反映了时变电磁场中电场场量和磁场场量的空间分布规律。
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电磁场与电磁波
第4章
时变电磁场
电场波动方程的推导：
B E t
E ( H ) t 2 E 2 ( E ) E 2 t
1 A t
B A
结论： 无源区两种方法一样简单 有源区位函数方程更简单
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A E t
电磁场与电磁波
第4章
时变电磁场
面对的问题！ 分析方法： 求解区无源，用场的波动方程 求解区有源，用位函数方程 关联的一般性物理问题？ 典型问题的应用？
j t
第 4章
22:48
第 5、 6章
第 7章
第 8章
电磁场与电磁波
第4章
时变电磁场
面对的问题？ 分析方法？ 关联的一般性物理问题？ 典型问题的应用？
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电磁场与电磁波
第4章
时变电磁场
第四章 时变电磁场
本章主要内容： 时变电场和磁场满足的方程——波动方程 时变电磁场的辅助函数——标量电位和矢量磁位 时变电磁场的能量守恒定律
电磁场与电磁波第四章习题及参考答案
第四章 习题4-1、 电量为nC 500的点电荷，在磁场)(ˆ2.1T zB =中运动，经过点)5,4,3(速度为 s m y x/ˆ2000ˆ500+ 。
求电荷在该点所受的磁场力。
解：根据洛仑兹力公式B v q F⨯=N x y z y x 4491012ˆ103ˆ2.1ˆ)ˆ2000ˆ500(10500---⨯+⨯-=⨯+⨯⨯= N y x4103)ˆˆ4(-⨯-= 4-2、真空中边长为a 的正方形导线回路，电流为I ，求回路中心的磁场。
解：设垂直于纸面向下的方向为z 方向。
长为a 的线电流I 在平分线上距离为a/2的点上的磁感应强度为aIzB πμ2ˆ01= 因而，边长为a 的正方形导线回路在中心点上的磁感应强度为aIz B B πμ24ˆ401==题4-2图 题4-3图4-3、真空中边长为a 的正三角形导线回路，电流为I ，求回路中心的磁场.解：设垂直于纸面向下的方向为z 方向。
由例4-1知，长为a 的线电流I 在平分线上距离为b 的点上的磁感应强度为2201)2(ˆa b a bIz B +=πμ所以220)2(3ˆa b a bIz B +=πμ ，其中)6(2πtg a b =4-4、真空中导线绕成的回路形状如图所示，电流为I 。
求半圆中心处的磁场。
(c)题4-4 图解：设垂直于纸面向内的方向为z 方向。
由例4-2知，半径为a 的半圆中心处的磁场为aIz B 4ˆ01μ= （1）因为在载流长直导线的延长线上磁场为零，因此aIz B 4ˆ0μ= （2）由例4-1知，本题半无限长的载流长直导线在距离为a 处的磁场为aIz B πμ4ˆ02= 因此本题磁场为半圆环的磁场与两半无限长的直导线的磁场之和)2(4ˆ0+-=ππμaIz B （3）本题磁场为电流方向相反的两不同半径的半圆环的磁场之和，即)11(4ˆ0ba I zB -=μ 4-5、 在真空中将一个半径为a 的导线圆环沿直径对折，使这两半圆成一直角。
电磁场与电磁波 第4章 静态场的边值问题
像电荷 q’ 应位于球内。由对 称性， q’ 在球心与 q 的连线上。
设 q’ 距球心为b，则 q 和 q’ 在球外 任一点(r,,)处产生的电位为
第四章 静态场的边值问题
1 ( q q) 4π 0 R R
1(
q
4π 0 r 2 d 2 2rd cos
q
)
r 2 b2 2rb cos
径为a 的圆的反演点。
第四章 静态场的边值问题
将式(4-2-3)代入(4-2-2)，可得球外任意点(r,,)的电位
q (
1
a
)
4π 0 r 2 d 2 2rd cos d r 2 b2 2rb cos
（4-2-5）
若导体球不接地且不带电，则当球外放置点电荷 q 后，它的
电位不为零，球面上净电荷为零。此情形下，为满足边界条件，
第四章 静态场的边值问题
第四章 静态场的边值问题
在给定的边界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程称为边 值问题。根据场域边界面上所给定的边界条件的不同，边值问 题通常分为 3 类：
第一类边值问题，给定位函数在场域边界面上的值； 第二类边值问题，给定位函数在场域边界面上的法向导数值； 第三类边值问题又称混合边值问题，一部分边界面上给定的 是位函数值，另一部分边界面上给定的是位函数的法向导数 值。
4.3.1 直角坐标系中的分离变量
直角坐标系中，标量拉普拉斯方程为
2 2 2
0 x2 y2 z2
（4-3-1）
第四章 静态场的边值问题
设 (x,y,z) = X (x)Y(y)Z(z)，代入方程(4-3-1)，整理可得
1 X
d2 X dx2
1 Y
d 2Y dy2
1 Z
d2Z dz2
设 q’ 距球心为b，则 q 和 q’ 在球外 任一点(r,,)处产生的电位为
第四章 静态场的边值问题
1 ( q q) 4π 0 R R
1(
q
4π 0 r 2 d 2 2rd cos
q
)
r 2 b2 2rb cos
径为a 的圆的反演点。
第四章 静态场的边值问题
将式(4-2-3)代入(4-2-2)，可得球外任意点(r,,)的电位
q (
1
a
)
4π 0 r 2 d 2 2rd cos d r 2 b2 2rb cos
（4-2-5）
若导体球不接地且不带电，则当球外放置点电荷 q 后，它的
电位不为零，球面上净电荷为零。此情形下，为满足边界条件，
第四章 静态场的边值问题
第四章 静态场的边值问题
在给定的边界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程称为边 值问题。根据场域边界面上所给定的边界条件的不同，边值问 题通常分为 3 类：
第一类边值问题，给定位函数在场域边界面上的值； 第二类边值问题，给定位函数在场域边界面上的法向导数值； 第三类边值问题又称混合边值问题，一部分边界面上给定的 是位函数值，另一部分边界面上给定的是位函数的法向导数 值。
4.3.1 直角坐标系中的分离变量
直角坐标系中，标量拉普拉斯方程为
2 2 2
0 x2 y2 z2
（4-3-1）
第四章 静态场的边值问题
设 (x,y,z) = X (x)Y(y)Z(z)，代入方程(4-3-1)，整理可得
1 X
d2 X dx2
1 Y
d 2Y dy2
1 Z
d2Z dz2
电磁场与电磁波第四章
1 [ q q' ]0 4 d a a d '
P(r, )
R q
q d
' '
a d
a2 d
q
结论：点电荷q对接地导体球面的镜像电荷为
电量：q ' a q 位置：d ' a2
d
d
球外电位：
q
[
1
4 r2 d 2 2rd cos
a
] (r a)
d r2 a4 / d 2 2r(a2 / d ) cos
唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊松方程） 的理论依据。
第二节 直角坐标系中的分离变量法
分离变量法：根据边界面的形状，选择合适的坐标 系，假定待求的位函数可表示为三个函数的乘积， 且其中每个函数分别仅是一个坐标的函数，将这个 函数代入拉普拉斯方程，通过分离变量将原来的偏 微分方程化为常微分方程。
a
] (r a)
d r2 a4 / d 2 2r(a2 / d ) cos
球壳外电位： 0 (r a)
2、点电荷对不接地球面导体边界的镜像
不接地：导体球面电位不为0，
球面上存在正、负感应电荷（感应
r
电荷总量为0）。 处理方法：电位叠加原理
q ' O
q'
d
P(r, ) R q
处理过程：
1、先假设导体球面接地，则球面上存在电量为q '的感应电荷，
镜像电荷可采用前面的方法确定。
2、断开接地。将电量为q ' 的电荷加到导体球面上，这些电荷必
然均匀分布在球面上，以使导体球为等势体。
3、均匀分布在导体球面上的电荷q ' 可以用位于球心的等量点
电荷等效。
P(r, )
R q
q d
' '
a d
a2 d
q
结论：点电荷q对接地导体球面的镜像电荷为
电量：q ' a q 位置：d ' a2
d
d
球外电位：
q
[
1
4 r2 d 2 2rd cos
a
] (r a)
d r2 a4 / d 2 2r(a2 / d ) cos
唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊松方程） 的理论依据。
第二节 直角坐标系中的分离变量法
分离变量法：根据边界面的形状，选择合适的坐标 系，假定待求的位函数可表示为三个函数的乘积， 且其中每个函数分别仅是一个坐标的函数，将这个 函数代入拉普拉斯方程，通过分离变量将原来的偏 微分方程化为常微分方程。
a
] (r a)
d r2 a4 / d 2 2r(a2 / d ) cos
球壳外电位： 0 (r a)
2、点电荷对不接地球面导体边界的镜像
不接地：导体球面电位不为0，
球面上存在正、负感应电荷（感应
r
电荷总量为0）。 处理方法：电位叠加原理
q ' O
q'
d
P(r, ) R q
处理过程：
1、先假设导体球面接地，则球面上存在电量为q '的感应电荷，
镜像电荷可采用前面的方法确定。
2、断开接地。将电量为q ' 的电荷加到导体球面上，这些电荷必
然均匀分布在球面上，以使导体球为等势体。
3、均匀分布在导体球面上的电荷q ' 可以用位于球心的等量点
电荷等效。
电磁场与电磁波第四章 时变电磁场优秀课件
J
)
t
同样
D
D
E、E
A
t
( A )
t
A
0
t
2 2
t 2
2
A
2 A t 2
J
说明
2
2
t 2
应用洛仑兹条件的特点：① 位函数满足的方程在形式上是对称 的，且比较简单，易求解；② 解的物理意义非常清楚，明确地 反映出电磁场具有有限的传递速度；③ 矢量位只决定于J，标
量位只决定于ρ，这对求解方程特别有利。只需解出A，无需
解出 就可得到待求的电场和磁场。
电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应
用不同的规范条件，矢量位A和标量位 的解也不相同，但最终
得到的电磁场矢量是相同的。
问题 若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程? 具有什么特点?
4.3 电磁能量守恒定律 讨论内容
t0
t1
t2
t3
t4
t5
0
vt1
vt2
vt3
vt4 vt5 z
不同时刻波形最大值出现的位置
沿z方向传播
t=0，zmax=0； t=t1 ＞0，zmax= vt1＞0；
zmax vt1 vt2 v
t
t1 t2
… … t=t2 ＞t1，zmax= vt2＞vt1＞0；图形移动速度，即电磁波速度
相速度，即等相位面的传播速度
H Ε
J
D
t
B
A
t
为任意可微函数
A ( A ) A
即
A t
(
t
)
t
(
A
)
A t
也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。
(完整版)《电磁场与电磁波》(第4版)谢处方第四章_时变电磁场00
在于内外导体之间的理想介质中，内外导体表面的电场无切向分量，
只有电场的径向分量。利用高斯定理和安培环路定理，容易求得内
外导体之间的电场和磁场分别为
rr U
E
e
ln(b
, a)
r rI
H e 2
(a b)
内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量
r S
rr EH
r [e
U
ln(b
a
)
]
r (e
I )
11
4.3 电磁能量守恒定律 讨论内容
电磁能量及守恒关系 坡印廷定理 坡印廷矢量
第4章 时变电磁场
12
电磁能量及守恒关系
电场能量密度：
we
1 2
rr ED
磁场能量密度：
wm
1
r H
r B
2
dW
dt V
S
电磁能量密度：
w
we
wm
1 2
rr ED
1
r H
r B
2
空间区域V中的电磁能量：
W
V
w dV
V
r H
(
r E
)
t
r
r ( H )
r 2H
2H
t 2
r
r 2H
2H t 2
0
若为有源空间，结果如何？
若为导电媒质，结果如何？
第4章 时变电磁场
4
4.2 电磁场的位函数
讨论内容
位函数的定义 位函数的性质 位函数的规范条件 位函数的微分方程
第4章 时变电磁场
5
引入位函数的意义 引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。
(1 2
高中物理选择性必修件第四章电磁场与电磁波
距离防护
尽量远离电磁辐射源，如减少使用手 机、电脑等电子设备的时间，避免长 时间接触。
时间防护
合理安排作息时间，避免在电磁辐射 较强的环境下长时间停留。
屏蔽防护
采用屏蔽材料对电磁辐射进行屏蔽， 如穿戴防辐射服、使用防辐射眼镜等 。
提高公众对电磁辐射认知水平
加强科普宣传
通过媒体、学校等途径加强电磁 辐射相关知识的科普宣传，提高
电磁波的发射、传播和接收
变化的电流在空间激起电磁波，以光速向四周传播。接收电磁波的过程也是电磁感应现象 。
解题技巧分享
理解电磁场和电磁波的基本概念及性 质，掌握电磁波的产生机理和传播特 性。
掌握电磁波在真空和介质中的传播速 度、波长、频率等参量之间的关系， 理解电磁波的反射、折射、衍射等现 象。
熟悉电磁波谱中各波段的特点及应用 ，了解不同波段电磁波的产生、传播 和接收方式。
场力。电场强度的方向与正电荷在电场中受到的电场力方向相同。
02 03
磁感应强度
描述磁场的力的性质的物理量，其大小等于单位电流元在磁场中所受安 培力的最大值。磁感应强度的方向与小磁针静止时N极所指的方向相同 。
电磁感应
当穿过闭合电路的磁通量发生变化时，闭合电路中就会产生感应电流。 感应电流的磁场总是阻碍引起感应电流的磁通量的变化。
电磁场
变化的电场和磁场总是相互联系的，形成一个不可分割的统一体，即电磁场。电磁场由近 及远以电磁波的形式传播。
电磁波
变化的电场和磁场在周围空间产生电磁波，电磁波向外传播的过程也是传播能量的过程。 电磁波中的电场能量最大时，磁场能量最小；磁场能量最大时，电场能量最小。电磁波中 的电场和磁场互相垂直，电磁波则与电场、磁场垂直。
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（4. 14）
第四章 恒定电流的磁场
§4.1 静磁场的基本方程 式 B 0 两边同时对任意体积进行体积分，并利用高斯定律得
磁通连续性原理
B dS 0
S
（4. 15）
由于在媒质中有 B H 根据安培环路定律，有
H dl I
l
（4. 16）
上式也称为媒质中的安培环路定律
A(r ) 称为矢量磁位，单位Wb/m
A = 0
B 0
（4. 7） （4. 8）
结 论 磁 场 是 无 散 场
B A A 2 A
第四章 恒定电流的磁场
§4.1 静磁场的基本方程 A 0
2 A 2 Axex 2 Ay ey 2 Az ez
第四章 恒定电流的磁场
§4.1 静磁场的基本方程
由 J(r ' ) 0 可得
0 J (r ' ) ' B dV V R 4 0 J ( r ' ) ' A(r ) dV V 4 R
（4. 3） （4. 4） （4. 5）
假设 则
B A(r )
m m 设通过该线圈截面的磁通为1 ，则 1 N11 与导线线圈回路l1中电流铰链是由两个电流回路的磁场贡献的，则 m
m m （4.21） 1m 11 21 21 为第二电流回路的作用。 其中 11 为第一电流回路的作用，
如果空间的媒质是线性的，则磁链 1 分别与电流I1、I2成正比，即
m
1m L1 I1 M 21 I 2
（4.22）
第四章 恒定电流的磁场
§4.3 导体的自感和互感
定义 Lk、M jk 分别被称为导线回路的自感和互感，单位为 H（亨 m m 利，简称亨） Lk kk M jk jk 当系统仅有一个导线回路时，只有自感，也称为电感。
Ik
Ij
第四章 恒定电流的磁场
§4.1 静磁场的基本方程
由毕奥－萨伐定律，可知磁场强度为
1 e R2 R R
0 B 4
V
J ( r ' ) eR ' dV 2 R
（4. 1）
B
0 4
1 ' ' J ( r ) dV V R
由旋度运算规则
J (r ' ) 1 1 ' ' J ( r ) J ( r ) R R R
自感和互感特性
在线性媒质中，导线回路系统自感和互感的大小取决于导 线回路的形状、匝数、媒质等，而与导线回路中的电流无关； 自感始终是正值； 互感可正可负，取决于电流的取向。当在回路曲面上互磁 场与原磁场方向一致时，互感为正，否则互感为负。
第四章 恒定电流的磁场
§4.3 导体的自感和互感
在工程技术和日常生活中，自感现象有广泛的应用。无线 电技术和电工中常用的扼流圈，日光灯上用的镇流器等，都 是利用自感原理控制回路中电流变化的。在许多情况下，自 感现象也会带来危害，在实际应用中应采取措施予以防止。 互感在电工和电子技术中应用很广泛。通过互感线圈可以 使能量或信号由一个线圈方便地传递到另一个线圈；利用互 感现象的原理可制成变压器、感应圈等。但在有些情况中， 互感也有害处。 自感和互感的应用
I 2
根据安培定律，则有
z
e
H
通过安培定律验证了毕奥－萨伐定律
I
0
x
第四章 恒定电流的磁场
§4.2 安培环路定律的应用
例4.2 一根极长的沿z轴放置的空心导体，其外径为b，内径为a， 载有沿z轴方向的电流I。若电流是均匀分布的，试求在空间任 一点的磁场强度。
解 由于电流为均匀分布，因而任意一点可用体电流密度表示为
§4.2 安培环路定律的应用
H dl 2H
c
因此由安培环路定律可得
I 2 a2 H e 2 b 2 a 2 a b
（3） b ， 在此区域的磁场强度为
H I 2 e
第四章 恒定电流的磁场
§4.3 导体的自感和互感
由法拉第电磁感应定律可知，一载有时变电流的导线回路产生 的变化磁场，可在该导线回路和附近的另一导线回路中产生感应电 压。我们称前 一种现象为自感应，后一种为互感应。 假设由细导线分别密绕N1、 N2圈形成的两个导线线圈 回路，两个导线线圈回路 中分别载有时变电流I1和I2第Fra bibliotek章 恒定电流的磁场
§4.3 导体的自感和互感
对于导线线圈回路l1根据法拉第电磁感 d 应定律得到 E dl B dS
l
其中右端的积分表示和线圈电流回路相铰链的磁通，称为磁通链， （4.19） 用 1m表示 1m B dS
S1
dt S1
S1是以导线线圈回路 路径为边界的曲面
（4. 11）
根据 函数的性质，可得矢量磁位所满足的方程为 2 A 0 J (r ) （4. 12） 将上式代入式（4. 8），得磁感应强度的旋度为
B 2 A 0 J
（4. 13）
泊松方 程
由此可见，恒定磁场是无散有旋场，磁场的旋度源为电流密度。 利用斯托克斯定理，得安培环路定律 l B dl 0 I
第四章 恒定电流的磁场
§4.2 安培环路定律的应用
安培环路定律阐明了沿一闭合路径的磁场强度的线积分等于它 所包围的电流，即
H dl I
l
此处I为闭合路径所包围面积内的净电流。这个电流可以是任 意形状导体所载的电流，或者是电荷的流动（真空管中的电 子束）。 高斯定律 静电学 静磁学
用安培环路定律求磁场
安培环路定律
第四章 恒定电流的磁场
§4.2 安培环路定律的应用
例4.1 一根细而长的导线沿z轴放置，载有电流I。求出自由空间任 一点的磁场强度。
解 由于对称，磁力线必然是同心圆。沿每个圆的磁场强度是恒定值， 因此对于任意半径 ,有
H dl
c
2
0
H d 2H
JV I ez 2 2 (b a )
（1） a ，H＝0
a b ，半径为 的闭合圆环所包围的净电流为 （2）
I JV dS
s
2 I d d 2 2 a 0 (b a )
I ( 2 a 2 ) b2 a2
第四章 恒定电流的磁场
第四章 恒定电流的磁场
§4.1 静磁场的基本方程 式 B 0 两边同时对任意体积进行体积分，并利用高斯定律得
磁通连续性原理
B dS 0
S
（4. 15）
由于在媒质中有 B H 根据安培环路定律，有
H dl I
l
（4. 16）
上式也称为媒质中的安培环路定律
A(r ) 称为矢量磁位，单位Wb/m
A = 0
B 0
（4. 7） （4. 8）
结 论 磁 场 是 无 散 场
B A A 2 A
第四章 恒定电流的磁场
§4.1 静磁场的基本方程 A 0
2 A 2 Axex 2 Ay ey 2 Az ez
第四章 恒定电流的磁场
§4.1 静磁场的基本方程
由 J(r ' ) 0 可得
0 J (r ' ) ' B dV V R 4 0 J ( r ' ) ' A(r ) dV V 4 R
（4. 3） （4. 4） （4. 5）
假设 则
B A(r )
m m 设通过该线圈截面的磁通为1 ，则 1 N11 与导线线圈回路l1中电流铰链是由两个电流回路的磁场贡献的，则 m
m m （4.21） 1m 11 21 21 为第二电流回路的作用。 其中 11 为第一电流回路的作用，
如果空间的媒质是线性的，则磁链 1 分别与电流I1、I2成正比，即
m
1m L1 I1 M 21 I 2
（4.22）
第四章 恒定电流的磁场
§4.3 导体的自感和互感
定义 Lk、M jk 分别被称为导线回路的自感和互感，单位为 H（亨 m m 利，简称亨） Lk kk M jk jk 当系统仅有一个导线回路时，只有自感，也称为电感。
Ik
Ij
第四章 恒定电流的磁场
§4.1 静磁场的基本方程
由毕奥－萨伐定律，可知磁场强度为
1 e R2 R R
0 B 4
V
J ( r ' ) eR ' dV 2 R
（4. 1）
B
0 4
1 ' ' J ( r ) dV V R
由旋度运算规则
J (r ' ) 1 1 ' ' J ( r ) J ( r ) R R R
自感和互感特性
在线性媒质中，导线回路系统自感和互感的大小取决于导 线回路的形状、匝数、媒质等，而与导线回路中的电流无关； 自感始终是正值； 互感可正可负，取决于电流的取向。当在回路曲面上互磁 场与原磁场方向一致时，互感为正，否则互感为负。
第四章 恒定电流的磁场
§4.3 导体的自感和互感
在工程技术和日常生活中，自感现象有广泛的应用。无线 电技术和电工中常用的扼流圈，日光灯上用的镇流器等，都 是利用自感原理控制回路中电流变化的。在许多情况下，自 感现象也会带来危害，在实际应用中应采取措施予以防止。 互感在电工和电子技术中应用很广泛。通过互感线圈可以 使能量或信号由一个线圈方便地传递到另一个线圈；利用互 感现象的原理可制成变压器、感应圈等。但在有些情况中， 互感也有害处。 自感和互感的应用
I 2
根据安培定律，则有
z
e
H
通过安培定律验证了毕奥－萨伐定律
I
0
x
第四章 恒定电流的磁场
§4.2 安培环路定律的应用
例4.2 一根极长的沿z轴放置的空心导体，其外径为b，内径为a， 载有沿z轴方向的电流I。若电流是均匀分布的，试求在空间任 一点的磁场强度。
解 由于电流为均匀分布，因而任意一点可用体电流密度表示为
§4.2 安培环路定律的应用
H dl 2H
c
因此由安培环路定律可得
I 2 a2 H e 2 b 2 a 2 a b
（3） b ， 在此区域的磁场强度为
H I 2 e
第四章 恒定电流的磁场
§4.3 导体的自感和互感
由法拉第电磁感应定律可知，一载有时变电流的导线回路产生 的变化磁场，可在该导线回路和附近的另一导线回路中产生感应电 压。我们称前 一种现象为自感应，后一种为互感应。 假设由细导线分别密绕N1、 N2圈形成的两个导线线圈 回路，两个导线线圈回路 中分别载有时变电流I1和I2第Fra bibliotek章 恒定电流的磁场
§4.3 导体的自感和互感
对于导线线圈回路l1根据法拉第电磁感 d 应定律得到 E dl B dS
l
其中右端的积分表示和线圈电流回路相铰链的磁通，称为磁通链， （4.19） 用 1m表示 1m B dS
S1
dt S1
S1是以导线线圈回路 路径为边界的曲面
（4. 11）
根据 函数的性质，可得矢量磁位所满足的方程为 2 A 0 J (r ) （4. 12） 将上式代入式（4. 8），得磁感应强度的旋度为
B 2 A 0 J
（4. 13）
泊松方 程
由此可见，恒定磁场是无散有旋场，磁场的旋度源为电流密度。 利用斯托克斯定理，得安培环路定律 l B dl 0 I
第四章 恒定电流的磁场
§4.2 安培环路定律的应用
安培环路定律阐明了沿一闭合路径的磁场强度的线积分等于它 所包围的电流，即
H dl I
l
此处I为闭合路径所包围面积内的净电流。这个电流可以是任 意形状导体所载的电流，或者是电荷的流动（真空管中的电 子束）。 高斯定律 静电学 静磁学
用安培环路定律求磁场
安培环路定律
第四章 恒定电流的磁场
§4.2 安培环路定律的应用
例4.1 一根细而长的导线沿z轴放置，载有电流I。求出自由空间任 一点的磁场强度。
解 由于对称，磁力线必然是同心圆。沿每个圆的磁场强度是恒定值， 因此对于任意半径 ,有
H dl
c
2
0
H d 2H
JV I ez 2 2 (b a )
（1） a ，H＝0
a b ，半径为 的闭合圆环所包围的净电流为 （2）
I JV dS
s
2 I d d 2 2 a 0 (b a )
I ( 2 a 2 ) b2 a2
第四章 恒定电流的磁场