江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学 空间线面关系的判定(1)教案 苏教版选修2-2
苏教版高中数学选修2-1：空间线面关系的判定_课件1
设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则 α∥β⇔u∥v⇔__u_＝__k_v__⇔__a_1_＝__k_a_2，__b_1_＝__k_b_2_，__c_1＝___k_c_2_，__k_∈__R_
2． 空间垂直关系的向量表示
(1)线线垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则 l⊥m⇔ _a_⊥__b_ ⇔ _a_·b_＝__0⇔__a_1b_1_＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3_＝__0__
课前探究学习
课堂讲练互动
③根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个
向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明平面外的一条直线和一个
平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即
可．
(3)面面平行
①转化为线线平行、线面平行处理．
②证明这两个平面的法向量是共线向量．
课堂讲练互动
解 以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在的 直线分别为 x、y、z 轴，建立如图所示空 间直角坐标系，则 A(1，0，0)，D(0，0， 0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，D1(0，0， 1)，M(1，0，12)，O(12，12，12)．
(1)B→D1＝(－1，－1，1)，A→C＝(－1，1，0)， 所以B→D1·A→C＝(－1)×(－1)＋1×(－1)＋1×0＝0， 所以B→D1⊥A→C，即 BD1⊥AC.
课前探究学习
课堂讲练互动
(2)线面垂直
设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2，b2，c2)，则 l⊥α⇔u∥v⇔__u_＝__k_v．
江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学 直线的方向向量和法向量教案 苏教版选修2-2
证：设正方体棱长为1，以 为单位正交基底，
建立如图所示空间坐标系
， ，
，所以
同理
所以 平面
从而 是平面 的法向量。
2、例2在空间直角坐标系内，设平面 经过点 ，平面 的法向量为 ， 为平面 内任意一点，求 满足的关系式。
解：由题意可得
即
化简得
3、课堂练习
2、如何用向量描述空间的两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系？
二、建构数学
1、直线的方向向量
我们把直线 上的向量 以及与 共线的向量叫做直线 的方向向量
2、平面的法向量
如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作 ，如果 ，那么向量 叫做平面α的法向量。
三、数学运用
江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学选修2-2教案：ห้องสมุดไป่ตู้线的方向向量和法向量
教学
目标
1．理解直线的方向向量和平面的法向量；
2．会用待定系数法求平面的法向量。
重点难点
重点：直线的方向向量和平面的法向量
难点：求平面的法向量
教学过程
一、创设情景
1、平面坐标系中直线的倾斜角及斜率，直线的方向向量，直线平行与垂直的判定；
已知点 是平行四边形 所在平面外一点，如果 ， ，
（1）求证： 是平面 的法向量‘
（2）求平行四边形 的面积．
（1）证明：∵ ，
，
∴ ， ，又 ， 平面 ，
∴ 是平面 的法向量．
（2） ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
四、回顾总结
1、直线得方向向量与平面法向量得概念；
2、求平面法向量得方法
江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学 空间向量基本定理教案 苏教版选修2-2
三、数学运用
1、例1如图，在正方体 中，，点E是AB与OD的交点,M是OD/与CE的交点，试分别用向量 表示 和
在平面 内，过点 作直线 ，分别与直线 相交于点 ，于是，存在三个实数 ，使
∴
所以
（唯一性）假设还存在 使
∴
∴
不妨设 即 ∴
∴ 共面此与已知矛盾∴该表达式唯一
综上两方面，原命题成立
由此定理，若三向量 不共面，那么空间的任一向量都可由 线性表示，我们把{ }叫做空间的一个基底， 叫做基向量。
空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底
解：
课外作业
教学反思
教学过程
一、创设情景
平面向量基本定理的内容及其理解
如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对
于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ，
使
二、建构数学
1、空间向量的基本定理
如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组 ，使
证明：（存在性）设 不共面，
过点 作
过点 作直线 平行于 ，交平面 于点 ；
江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学选修2-2教案：空间向量基本定理
教学
目标
1．掌握及其推论，理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的；
2．在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量。
重点难点
教学重点：空间向量的基本定理及其推论
教学难点：空间向量的基本定理唯一性的理解
江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学教案空间向量基本定理(苏教版选修2-1)
1e 2e aPOA'P'B'C'BA C四队中学教案纸备课时间教学课题 教时 计划1教学课时 1教学 目标 1．掌握及其推论，理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的；2．在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量。
重点难点教学重点：空间向量的基本定理及其推论 教学难点：空间向量的基本定理唯一性的理解教学过程一、创设情景平面向量基本定理的内容及其理解如果21,e e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21, ， 使a r2211e e 二、建构数学1、空间向量的基本定理如果三个向量321,,e e e 不共面，那么对空间任一向量p r，存在一个唯一的有序实数组),,(z y x ，使321e z e y e x p证明：（存在性）设321,,e e e 不共面， 过点O 作p OP e OC e OB e OA ,,,321过点P 作直线PP 平行于OC ，交平面OAB 于点P ；在平面OAB 内，过点P 作直线//,//P A OB P B OA ，分别与直线,OA OB 相交于点,A B ，于是，存在三个实数,,x y z ，使3/2/1/,,e z OC OC e y OB OB e x OA OA∴OP OA OB OC xOA yOB zOC u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r所以321e z e y e x p。
高二下学期数学苏教版选择性必修第二册6.3.2空间线面关系的判定课件
则 n1⊥O→A，n1⊥O→P，所以12－x－12x12－y＝12y0＋，12z＝0，
解析
取 x＝1，则 n1＝(1,1,2)． 又因为B→D1＝(－1,－1,1)，Q→D1＝(0,－1,1－m)． 设平面 D1BQ 的法向量为 n2＝(a，b，c)，
则 n2⊥B→D1，n2⊥Q→D1，所以－ －ab－ ＋b1＋－cm＝c0＝，0，
解析 答案
4. 已知空间四点A(－2,3,1)，B(2，－5,3)，C(10,0,10)，D(8,4，a)，如果四边形 ABCD为梯形，那么实数a的值为________．
【解析】 由题意知A→B＝(4,－8,2)，B→C＝(8,5,7)，D→C＝(2,－4,10－a)，A→D＝(10,1,a －1)．显然A→D与B→C不平行．又四边形ABCD为梯形，所以A→B∥D→C，解得a＝9.
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(2,0,0)，B(2,3,0)，M(1,0,4)，N2，32，4，E0，32，4，F(1,3,4)， 所以M→N＝1，32，0，E→F＝1，32，0，A→M＝(－1，0,4)，B→F＝(－1,0,4)， 所以M→N＝E→F，A→M＝B→F， 所以 MN∥EF，AM∥BF， 所以易得 MN∥平面 EFBD，AM∥平面 EFBD. 又 MN∩AM＝M，所以平面 AMN∥平面 EFBD.
所以D→A1＝(1,0,1)，A→C＝(－1,1,0)． 设P→Q＝(a，b，c)，
解析
则DA→→CA·1P·→P→QQ＝＝00，，
即a－＋ac＋＝b0＝，0，
取P→Q＝(1,1，－1)．
易知B→D1＝(－1，－1,1)，所以P→Q＝－B→D1， 所以P→Q∥B→D1. 又 PQ，BD1 无公共点，所以 PQ∥BD1.
高中数学：12(空间线面关系的判定)学案(苏教版必修2) 学案
【课题】3.2.2空间线面关系的判定【上课时间】【学习目标】1.能用向量语言描述线线、线面、面面的平行与垂直关系2.能用向量方法证明空间线面位置关系的一些定理3.能用向量方法判定线线、线面垂直【学习重点】能用向量方法判定线线、线面垂直一、课前预习1.用向量描述空间线面关系设空间两条直线21,l l 的方向向量分别为21,e e ，两个平面21,αα的法向量分别为21,n n ，则由如下结论2.证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直（三垂线定理）.如图，已知：， 求证：. 证明：αOABCD二、例题选讲例1.证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面（直线与平面垂直的判定定理）. 已知：， 求证：. 证明：例2.在正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，求证：EF ⊥面B 1AC例3.在直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠ACB ,030=∠BAC ,M A A BC ,6,11==A BC D A 1B 1C 1D 1E Fαlm n B是棱1CC 的中点，求证：AM B A ⊥1三、巩固练习1.在正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，M 为D D 1的中点，O 为正方形ABCD 的中心， 求证：O A 1⊥AM2.在正方体1111D C B A ABCD -中,E,F 分别是BB 1,,CD 中点，求证：D 1F ⊥平面ADEABC A 1B 1C 1M ABC D A 1B 1C 1D 1 O M ABC D A 1B 1C 1D 1E F3.棱长为a的正方体ABCD–A1B1C1D1，在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？A BCDA1B1C1D1。
连云港市灌云县四队中学高中数学教案：空间线面关系的判定 (苏教版)
四队中学教案纸
备课 时间
教
学 课题
教时
计划
1
教学 课时
1
教学 目标
1．能用向量语言描述线线、线面、面面的平
行与垂直关系；
2．能用向量方法证明空间线面位置关系的一些定理;
3．能用向量方法判断空间线面垂直关系。
重点难点 重点:用向量方法判断空间线面垂直关系 难点:用向量方法判断空间线面垂直关系 教学过程 一、创设情景
1、空间直线与平面平行与垂直的定义及判定
2、直线的方向向量与平面的法向量的定义 二、建构数学
1、用向量描述空间线面关系
设空间两条直线2
1
,l l 的方向向量分别为2
1
,e e ，两个平面
21,αα的法向量分别为21,n n ，则由如下结论
平 行
垂 直
1l 与2
l
21//e e 21e e ⊥ 1
l 与1
α
11n e ⊥
11//n e
x。
教学设计1：空间线面关系的判定全国优质课一等奖
由
得到
因为MN不在平面CDE内
所以NM//平面CDE
四、回顾总结
本课主要研究垂直问题
五、布置作业
设存在点P（0，0，z），
=(-a,0,z)，=(-a,a,0)，=(a,a,a)，
∵B1D⊥面PAC，∴ ，
∴－a2+az=0∴z=a，即点P与D1重合
∴点P与D1重合时，DB1⊥面PAC
例4 如图，已知矩形 和矩形 所在平面互相垂直，点分别在对角线 上，且 ,求证： 平面
证明：建立如图所示空间坐标系，设AB,AD,AF长分别为3a,3b,3c
主备人
主导教师
章第 课时
总第 课时
备课日期
课题
空间线面关系的判定
课型
新授
教学目标：
1．能用向量语言描述线线、线面、面面的平行与垂直关系；
2．能用向量方法证断空间线面垂直关系。
教学重点：用向量方法判断空间线面垂直关系
教学难点：用向量方法判断空间线面垂直关系
三、数学运用
1、例1 证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理）
已知：如图,OB是平面的斜线，O为斜足， ，A为垂足，
求证：
证明：
2、例2 证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（直线于平面垂直的判定定理）
已知： ，
求证：
证明：在内任作一条直线，在直线 上分别取向量
所以
因为
所以
可得
即
例3 在直三棱柱 中， , , 是得中点。
求证：
证明：如图，建立空间坐标系
总结：用向量证明比几何方法证明简单、明了。
2020—2021数学苏教版选修2-1课件：第3章空间线面关系的判定
[方法归纳] 向量法证明几何中的平行问题，可以有两个途径：一是在平 面内找一向量与已知直线的方向向量共线；二是通过建立空 间直角坐标系，依托直线的方向向量和平面的法向量的垂直 ，来证明平行．
1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C 、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
用向量语言表述空间直线与平面的位置关系 设α2的空法间向两量条分直别线为l1，n1l，2的n方2，向则向有量下分表别：为l1，l2，两个平面α1，
平行
垂直
l1与l2
l1∥l2
__l_1_⊥__l_2___
l1与α1
__l_1_⊥__n__1 __
l1∥n1
α1与α2
n1∥n2
__n_1_⊥__n__2__
[方法归纳] 证明面面垂直通常有两种方法：一是利用面面垂直的判定定 理，转化为线面垂直、线线垂直去证明；二是证明两个平面 的法向量互相垂直．
规范解答 向量法证明空间的平行与垂直关系
2020—2021数学苏教版 选修2-1课件：第3章空
间线面关系的判定
2020/9/15
第3章 空间向量与立体几何
学习导航
学习 目标
学法 指导
1.能用向量语言表述线线、线面、面面的位置关 系．(重点) 2．利用直线的方向向量、平面的法向量证明线 、面的平行与垂直．(重点、难点)
用向量解决几何问题，可以建立直线、平垂直关系.
1．已知m＝(8，3，a)，n＝(2b，6，5)，若m∥n，则a＋b的 值为____________．
2．已知m＝(1，5，－2)，n＝(a，2，a＋2)，若m⊥n，则a的 值为__6______． 解析：∵m⊥n，∴1×a＋5×2－2×(a＋2)＝0，∴a＝6.
2019-2020学年苏教版选修2-1第3章 3.2 3.2.2 空间线面关系的判定学案
3.2.2 空间线面关系的判定向量法判定线面关系设空间两条直线l 1，l 2的方向向量分别为e 1，e 2，两个平面α1，α2的法向量分别为n 1，n 2，则有下表：思考：若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面是否垂直？[提示] 垂直1．若直线l 的方向向量a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α斜交B [∵n ＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a ，∴n ∥a ，∴l ⊥α.]2．已知不重合的平面α，β的法向量分别为n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，－1，n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，－1，13，则平面α与β的位置关系是________． 平行 [∵n 1＝－3n 2，∴n 1∥n 2，故α∥β.]3．设直线l 1的方向向量为a ＝(3,1，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－1,3,0)，则直线l 1与l 2的位置关系是________．垂直 [∵a·b ＝(3,1，－2)·(－1,3,0)＝－3＋3＋0＝0，∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2.] 4．若直线l 的方向向量为a ＝(－1,2,3)，平面α的法向量为n ＝(2，－4，－6)，则直线l 与平面α的位置关系是________．垂直 [∵n ＝－2a ，∴n ∥a ，又n 是平面α的法向量，所以l ⊥α.]【例1】 如图所示，在正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1和BB 1的中点．求证：四边形AEC 1F 是平行四边形．[证明] 以点D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，C 1(0,1,1)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，FC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，EC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12， ∵AE →＝FC 1→，EC 1→＝AF →， ∴AE →∥FC 1→，EC 1→∥AF →，又∵F ∉AE ，F ∉EC 1，∴AE ∥FC 1，EC 1∥AF ， ∴四边形AEC 1F 是平行四边形．1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面．2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．3．两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直．1．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是面对角线B 1D 1，A 1B 上的点，且D 1E ＝2EB 1，BF ＝2F A 1.求证：EF ∥AC 1.[证明] 如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设DA ＝a ，DC ＝b ，DD 1＝c ，则得下列各点的坐标：A (a ，0,0)，C 1(0，b ，c )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，23b ，c ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，b 3，23c .∴FE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，b 3，c 3，AC 1→＝(－a ，b ，c )，∴FE →＝13AC 1→.又FE 与AC 1不共线，∴直线EF ∥AC 1.在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？ 提示：可设几何体的棱长为1或a ，再求点的坐标．【例2】 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CC 1，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .[思路探究][证明] 法一：如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，于是DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12.设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ⊥DA 1→，n ⊥DB →，即⎩⎨⎧n ·DA 1→＝x ＋z ＝0，n ·DB →＝x ＋y ＝0，取x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，∴平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)．又MN →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN →⊥n .∴MN ∥平面A 1BD .法二：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→，∴MN →∥DA 1→，∴MN ∥平面A 1BD .法三：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12DA →－12A 1A →＝12⎝⎛⎭⎫DB →＋BA →－12⎝⎛⎭⎫A 1B →＋BA →＝12DB→－12A 1B →.即MN →可用A 1B →与DB →线性表示，故MN →与A 1B →，DB →是共面向量，故MN ∥平面A 1BD .1．本例中条件不变，试证明平面A 1BD ∥平面CB 1D 1. [证明] 由例题解析知，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)， 则CD 1→＝(0，－1,1)，D 1B 1→＝(1,1,0)， 设平面CB 1D 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎨⎧m ⊥CD 1→m ⊥D 1B 1→，即⎩⎨⎧m ·CD 1→＝－y 1＋z 1＝0，m ·D 1B 1→＝x 1＋y 1＝0，令y 1＝1，可得平面CB 1D 1的一个法向量为m ＝(－1,1,1)， 又平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)． 所以m ＝－n ，所以m ∥n ，故平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.2．若本例换为：在如图所示的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE ⊥EB ，AD ∥EF ，EF ∥BC ，BC ＝2AD ＝4，EF ＝3，AE ＝BE ＝2，G 是BC 的中点，求证：AB ∥平面DEG .[证明] ∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ， ∴EF ⊥AE ，EF ⊥BE .又∵AE ⊥EB ，∴EB ，EF ，EA 两两垂直．以点E 为坐标原点，EB ，EF ，EA 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，A (0,0,2)，B (2,0,0)，C (2,4,0)，F (0,3,0)，D (0,2,2)，G (2，2,0)，∴ED →＝(0,2,2)，EG →＝(2,2,0)，AB →＝(2,0，－2)．设平面DEG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧ED →·n ＝0，EG →·n ＝0，即⎩⎨⎧2y ＋2z ＝0，2x ＋2y ＝0，令y ＝1，得z ＝－1，x ＝－1，则n ＝(－1,1，－1)， ∴AB →·n ＝－2＋0＋2＝0，即AB →⊥n . ∵AB ⊄平面DEG ， ∴AB ∥平面DEG .1．向量法证明线面平行的三个思路(1)设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a ⊥u ，即a ·u ＝0.(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v ，则α∥β⇔μ∥v .【例3】ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点． 证明：(1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE . [思路探究] 建系→求相关点的坐标→求相关向量的坐标→判断向量的关系→确定线线、线面关系[证明] AB ，AD ，AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝BC ＝1， 则P (0,0,1)． (1)∵∠ABC ＝60°， ∴△ABC 为正三角形， ∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12. 设D (0，y,0)，由AC ⊥CD ，得AC →·CD →＝0， 即y ＝233，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，0， ∴CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0.又AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，∴AE →·CD →＝－12×14＋36×34＝0，∴AE →⊥CD →，即AE ⊥CD .(2)法一：∵P (0,0,1)，∴PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1. 又AE →·PD →＝34×233＋12×(－1)＝0， ∴PD →⊥AE →，即PD ⊥AE . ∵AB →＝(1,0,0)，∴PD →·AB →＝0.∴PD ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .法二：AB →＝(1,0,0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)．∵PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1，显然PD →＝33n . ∴PD →∥n ，∴PD →⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE .1．证明线线垂直常用的方法证明这两条直线的方向向量互相垂直． 2．证明线面垂直常用的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量； (2)证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直． 3．证明面面垂直常用的方法 (1)转化为线线垂直、线面垂直处理；(2)证明两个平面的法向量互相垂直．2．在例3中，平面ABE 与平面PDC 是否垂直，若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．[解] 由例3，可知CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0，PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1，设平面PDC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD →＝－12x ＋36y ＝0，m ·PD →＝233y －z ＝0，令y ＝3，则x ＝1，z ＝2，即m ＝(1，3，2)，由例3知，平面ABE 的法向量为n ＝(0,2，－3)， ∴m·n ＝0＋23－23＝0，∴m ⊥n . 所以平面ABE ⊥平面PDC .1．应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．3．(1)证明线面垂直问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系来证明．(2)证明面面垂直问题，常转化为线线垂直、线面垂直或两个平面的法向量垂直.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．()(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．()(3)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内所有直线的方向向量的数量积为0.()(4)两个平面垂直，则其中一个平面内的直线的方向向量与另一个平面内的直线的方向向量垂直．()[答案](1)√(2)√(3)√(4)×2．已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，a与b分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则()A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝15 2C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝15 2D[∵l1∥l2，∴a∥b，∴存在λ∈R，使a＝λb，则有2＝3λ，4＝λx,5＝λy，∴x＝6，y＝15 2.]3．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,2,3)，b＝(x，－2,3)，且α⊥β，则x＝________.－5[∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝x－4＋9＝0，∴x＝－5.]4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，证明：平面B1ED⊥平11 面B 1BD .[证明] 以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，DB 1→＝(1,1,1)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，设平面B 1DE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝0且y ＋12z ＝0，令z ＝－2，则y ＝1，x ＝1，∴n 1＝(1,1，－2)．同理求得平面B 1BD 的法向量为n 2＝(1，－1,0)，由n 1·n 2＝0，知n 1⊥n 2，∴平面B 1DE ⊥平面B 1BD .。
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证明：如图，建立空间坐标系
A1 ( 3 ,0, 6 ), B(0,1,0), A( 3 ,0,0), M (0,0, AM ( 3 ,0, 6 ), A1 B ( 3 ,1, 6 ) 2
6 ) 2
A1 M
C
B y
AM A1 B 0
总结：用向量证明比几何方法证明简单、明了。 四、回顾总结 本课主要研究垂直问题
A
课外作业 教学反思
书P
D A C B
O
AB CD AB CD AB 0
OB OA AB
CD OB CD (OA AB) CD OA CD AB 0
CD AB
2、例 2 证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 （直 线于平面垂直的判定定理） 已知： m , n , m n B ， l m, l n 求证： l 证明：在 内任作一条直线 g ，在直线 l , g , m, n 上分别取向量 l, m, n, g
g xm y n
所以 l g l ( xm yn) xl m yl n 因为 l m, l n 所以 l m 0, l n 0 可得 l g 0 即l g
l g α l
n ml l
3、例 3 在直三棱柱 ABC A1 B1C1 中， ACB 90 0 , BAC 30 0 , BC 1, A1 A 6 , M 是 CC1 得中点。 求证： A1 B AM
江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学选修 2-2 教案： 空间线面关 系的判定（1）
教学 目标
1．能用向量语言描述线线、线面、面面的平行与垂直关系； 2．能用向量方法证明空间线面位置关系的一些定理； 3．能用向量方法判断空间线面垂直关系。 重点：用向量方法判断空间线面垂直关系 难点：用向量方法判断空间线面垂直关系
重点难 点 教学过程
一、创设情景 1、空间直线与平面平行与垂直的定义及判定 2、直线的方向向量与平面的法向量的定义 二、建构数学 1、用向量描述空间线面关系 设空间两条直线 l1 , l 2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，两个平面 1 , 2 的法向量分别为 n1 , n2 ，则由 如下结论
平
行
垂
直
l1 与 l 2
l1 与 1
e1 // e2
e1 n1e1 // n1
n1 n2
1 与 2
2、相关说明： 上表给出了用向量研究空间线线、线面、面面位置关系的方法，判断的依据是相关的判定与 性质，要理解掌握。 三、数学运用 1、例 1 证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这 条斜线垂直。 （三垂线定理） 已知：如图,OB 是平面 的斜线，O 为斜足， AB ，A 为垂足， CD , CD OA 求证： CD OB 证明： CD OA CD OA 0