四川省宜宾市2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理)答案
2019-2020学年宜宾市数学高二第二学期期末联考试题含解析
2019-2020学年宜宾市数学高二第二学期期末联考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知21zi i=++，则复数z =（ ）A B ．2C ．13i -D ．13i +【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合复数的运算法则和复数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()()21=1+3i z i i =++，则z ==本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．指数函数x y a =是增函数，而1()2xy =是指数函数，所以1()2xy =是增函数，关于上面推理正确的说法是（ ） A ．推理的形式错误 B ．大前提是错误的 C ．小前提是错误的 D ．结论是真确的【答案】B 【解析】分析: 指数函数xy a =是R 上的增函数，这个说法是错误的，要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同单调性，有演绎推理的定义可知，大前提错误。
详解：指数函数x y a =是R 上的增函数，这个说法是错误的，若a 1>,则xy a =是增函数，若0a 1<<,则xy a =是减函数 所以大前提是错误的。
所以B 选项是正确的。
点睛：本题主要考查指数函数的单调性和演绎推理，意在考查三段论的推理形式和指数函数的图像性质，属于基础题。
3．在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心的极坐标是（ ）A ．,12π⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,2π⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,1D ．()1,0【分析】先把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，确定其圆心的直角坐标再化成极坐标即可． 【详解】圆2sin ρθ=化为22sin ρρθ=,222x y y +=，配方为22(1)1y x +-= ，因此圆心直角坐标为(0,1)，可得圆心的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭故选B 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，点的直角坐标与极坐标的转化，比较基础． 4．王老师在用几何画板同时画出指数函数x y a =（1a >）与其反函数log ay x =的图象，当改变a 的取值时，发现两函数图象时而无交点，并且在某处只有一个交点，则通过所学的导数知识，我们可以求出当函数只有一个交点时，a 的值为（ ） ABC ．2e D．e【答案】B 【解析】 【分析】当指数函数与对数函数只有一个公共点00(,)x y 时，则在该点的公切线的斜率相等，列出关于0,a x 的方程. 【详解】设切点为00(,)x y ，则000000,log ,1ln ln x a x y a y x a a x a ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪⋅=⋅⎪⎩，解得：00,,x e y e a ⎧=⎪=⎨⎪=⎩故选B.【点睛】本题考查导数的运算及导数的几何意义，考查数形结合思想的应用，要注意根据指数函数与对数函数图象的凹凸性，得到在其公共点处公切线的斜率相等.5．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，左右焦点分别为12,F F ，点A 在双曲线C 上，若12AF F ∆的周长为10a ，则12AF F ∆面积为（）A．2B2C ．230aD ．215a点A 在双曲线C 上，不妨设点A 在双曲线C 右支上，所以122AF AF a -=，又12AF F ∆的周长为1212122c 10?AF AF F F AF AF a ++=++=. 得1210?2c AF AF a +=-. 解得126,?4AF a c AF a c =-=-. 双曲线C 的离心率为2，所以2ca=，得2c a =. 所以122,?AF c AF c ==. 所以112AF F F =，所以12AF F ∆为等腰三角形. 边2AF2==. 12AF F ∆的面积为2221122224AF c ===n n n .故选B.6．已知函数()6,2,3log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩ ，()0,1a a >≠且的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是( ) A ．（1,2） B ．(]1,2C ．（1,3）D ．（1,4）【答案】B 【解析】 【分析】先求出当x ≤2时，f （x ）≥4，则根据条件得到当x ＞2时，f （x ）=3+log a x≥4恒成立，利用对数函数的单调性进行求解即可． 【详解】当x ≤2时，f （x ）=﹣x +6≥4， 要使f （x ）的值域是[4，+∞），则当x ＞2时，f （x ）=3+log a x≥4恒成立， 即log a x≥1，若0＜a ＜1，则不等式log a x≥1不成立， 当a ＞1时，则由log a x≥1=log a a ， 则a ≤x ， ∵x ＞2，∴a≤2，【点睛】本题主要考查函数值域的应用，利用分段函数的表达式先求出当x ≤2时的函数的值域是解决本题的关键． 7．如图，在中，是的中点，若，则实数的值是（ ）A ．B ．1C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】 以作为基底表示出，利用平面向量基本定理，即可求出．【详解】 ∵分别是的中点，∴.又，∴.故选C.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，意在考查学生的逻辑推理能力． 8．已知定义在R 上的函数()y f x =满足：函数(1)=-y f x 的图象关于直线1x =对称，且当(,0),()'()0x f x xf x ∈-∞+<成立('()f x 是函数()f x 的导函数), 若11(sin )(sin )22a f =，(2)(2)b ln f ln =，1212()4c f log =, 则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a c b >>【答案】A 【解析】 【分析】由导数性质推导出当x ∈（﹣∞，0）或x ∈（0，+∞）时，函数y=xf （x ）单调递减．由此能求出结果． 【详解】∵ 函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，∴()y f x =关于y 轴对称， ∴函数()y xf x =为奇函数.因为()()()''xf x f x xf x ⎡⎤=+⎣⎦，∴当(),0x ∈-∞时，()()()''0xf x f x xf x ⎡⎤=+<⎣⎦，函数()y xf x =单调递减， 当()0,x ∈+∞时，函数()y xf x =单调递减.Q 110sin22<<，11ln22>>=，121log 24= 12110sin ln2log 24<<<，∴ a b c >>，故选A 【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x e=， ()()0f x f x '+<构造()()xg x e f x =， ()()xf x f x '<构造()()f xg x x=， ()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等 9．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2-x +1≥1．命题q ：若a 2＜b 2，则a ＜b ，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ￢∧C ．p q ∧￢D ．p q ∧￢￢【答案】B 【解析】 【分析】先判定命题,p q 的真假，再结合复合命题的判定方法进行判定. 【详解】命题p ：∃x=1∈R ，使x 2-x+1≥1成立． 故命题p 为真命题；当a=1，b=-2时，a 2＜b 2成立，但a ＜b 不成立， 故命题q 为假命题，故命题p ∧q ，￢p ∧q ，￢p ∧￢q 均为假命题； 命题p ∧￢q 为真命题， 故选：B ． 【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，特称命题，不等式与不等关系，难度中档． 10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M N 、分别是11BC CD 、的中点，则下列说法错误的是（ ）A ．1MNCC ⊥B ．MN ⊥平面11ACC A C ．//MN ABD ．//MN 平面ABCD【答案】C 【解析】 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果． 【详解】∵在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，棱长为2，则B （2，2，0），C 1（0，2，2），M （1，2，1），D 1（0，0，2），C （0，2，0），N （0，1，1），1110002MN CC =--=u u u u v u u u u v （，，），（，，），10MN CC ∴⋅=u u u u v u u u u v，∴MN⊥CC 1，故A 正确；112002202200A AC AC MN AC MN MN CC AC CC C =-⋅=-+=∴⊥⊥⋂=u u u v u u u v u u u u v（，，），（，，），，，又，，∴MN⊥平面ACC 1A 1，故B 成立；∵ 020110AB MN ==--u u u v u u u u v（，，），（，，），∴MN 和AB 不平行，故C 错误；平面ABCD 的法向量 0010n MN n =⋅=u u u u v vv（，，），， 又MN ⊄平面ABCD ，∴MN∥平面ABCD ，故D 正确． 故选C ． 【点睛】本题考查命题的真假判断，考空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．11．设向量(,4)a x r=-，(1,)b x r=-，若向量a r与b r同向，则x =（ ） A ．2 B ．-2C ．±2D ．0【答案】A 【解析】 【分析】由a v与b v平行，利用向量平行的公式求得x,验证a v与b v同向即可得解 【详解】由a v与b v平行得24x -=-，所以2x =±，又因为同向平行，所以2x =. 故选A 【点睛】本题考查向量共线（平行）的概念，考查计算求解的能力，属基础题． 12．下列有关结论正确的个数为（ ）①小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则()2|9P A B =； ②设,a b ∈R ，则“22log log a b >”是“21a b ->的充分不必要条件；③设随机变量ξ服从正态分布(),7N μ，若()()24P P ξξ<=>，则μ与D ξ的值分别为3,7D μξ==． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D 【解析】对于①，4344443273()()464432A PB P AB ⨯====，，所以()2()()9P AB P A B P B ==，故①正确；对于②，当22log log a b >，有0a b >>，而由21a b ->有a b >，因为0,0a b a b a b a b >>⇒>>≠>>> ，所以22log log a b >是21a b ->的充分不必要条件，故②正确；对于③，由已知，正态密度曲线的图象关于直线3ξ=对称，且27σ= 所以3,7D μξ==，故③正确．点睛：本题主要考查了条件概率，充分必要条件，正态分布等，属于难题．这几个知识点都是属于难点，容易做错．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．若()f x =，则()f x 的定义域为____________.【答案】1(,0)2-【解析】 【分析】根据幂函数和对数函数的性质即可求得． 【详解】由题12210log (21)0x x +>⎧⎪⎨+>⎪⎩解得1(,0)2-【点睛】本题考查函数定义域，属于基础题． 14．函数，且是上的减函数，则的取值范围是____.【答案】【解析】试题分析：因为函数 且是上的减函数，即⇒．故其每一段都为减函数，且前一段的最小值须大于等于后一段的最大值；故答案为．考点：分段函数的单调性.【方法点晴】本题是对分段函数单调性的考查，难度适中，容易进入陷阱，要想整个函数单调递减，前提必须为分段函数的每一段都有自己的单调性，所以在研究整函数的单调性时每一段都在考查范围内．当函数为减函数时，故其每一段都为减函数，且前一段的最小值须大于等于后一段的最大值；当函数为增函数时，故其每一段都为增函数，且前一段的最大值须小于等于后一段的最小值.15．一个口袋里装有5个不同的红球，7个不同的黑球，若取出一个红球记2分，取出一个黑球记1分，现从口袋中取出6个球，使总分低于8分的取法种数为__________种． 【答案】112 【解析】根据题意,设取出x 个红球,则取出6x -个黑球,此时总得分为()26x x +-， 若总分低于8分,则有()268x x +-<，即2x <， 即x 可取的情况有2种，即0x =或1x =， 即总分低于8分的情况有2种：①、取出6个黑球,有677C=种取法，②、取出1个红球,5个黑球,有1510557C C ⨯=种取法， 故使总分低于8分的取法有7+105=112种； 故答案为：112.16．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若12a =且12n n S S +=，设2log n n b a =，则122320172018111b b b b b b +++L 的值是__________． 【答案】40332017【解析】 【分析】根据{}n S 是等比数列得出2nn S =，利用数列项与和的关系，求得n a ，从而得出n b ，利用裂项相消法求出答案. 【详解】由12n n S S +=可知，数列{}n S 是首项为112S a ==，公比为2的等比数列，所以2nn S =.2n ≥时， 111222n n n n n n a S S ---=-=-=.211log 1,2n n n b a n n =⎧==⎨-≥⎩，.2n ≥时,()1111111n n b b n n n n+==--- 12232017201811111111140331122232016201720172017b b b b b b +++=+-+-++-=-=L L . 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列通项公式，数列项与和的关系，裂项相消法求和，属于简单题目.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球(不放回)，则实验结束(1)求第一次实验恰好摸到1个红球和1个白球的概率； (2)记实验次数为X ，求X 的分布列及数学期望．【答案】（1）37；（2）x 的分布列为 x1234p1328928528128()14E x =【解析】 【分析】 【详解】（I ）1126283()7C C P A C == （II ）1122622813(1)28C C C P X C +===；2112642222869(2)28C C C C P X C C +==⋅=； 22112642222228645(3)28C C C C C P X C C C +==⋅⋅=；；X 的分布列为 X 1234P1328928528128()12342828282814E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 点评：对于古典概型的问题，主要是理解试验的基本事件空间，以及事件发生的基本事件空间利用比值来求解概率，结合排列组合的知识得到．而分布列的求解关键是对于各个概率值的求解，属于中档题．18．已知抛物线Ω：24y x =的焦点为F ，过F 作互相垂直的直线AB ,CD 分别与Ω交于点A 、B 和C 、D .（1）当AB 的倾斜角为45o 时，求以AB 为直径的圆的标准方程；（2）问是否存在常数λ，使得||||||||AB CD AB CD λ+=⋅恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22(3)(2)16x y -+-=（2）存在14λ=，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立，详见解析【解析】【分析】（1）由题意可设AB 的方程为1y x =-，代入Ω可得2610x x -+=，通过韦达定理与中点坐标公式求出AB 的中点坐标，即圆心坐标，由焦点弦公式求出直径，进而得出答案。
2019-2020学年四川省宜宾市数学高二第二学期期末综合测试试题含解析
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知空间不重合的三条直线 、 、 及一个平面 ，下列命题中的假命题是（）．
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】B
7．在三棱锥 中， 平面 ， ， ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出 的外接圆的半径，然后取 的外接圆的圆心 ，过 作 ，且 ，由于 平面 ，故点 为三棱锥 的外接球的球心， 为外接球半径，求解即可.
【详解】
在 中， ， ，可得 ，
则 的外接圆的半径 ，取 的外接圆的圆心 ，过 作 ，且 ，
【解析】
【分析】
根据线线、线面有关定理对选项逐一分析，由此确定是假命题的选项.
【详解】
对于A选项，根据平行公理可知，A选项正确.
对于B选项，两条直线平行与同一个平面，这两条直线可以相交、平行或异面，故B选项是假命题.
对于C选项，由于 ， ，根据空间角的定义可知， ，C选项正确.
对于D选项，由于 ，所以 平行于平面 内一条直线 ，而 ，所以 ，所以 ，即D选项正确.
故选：B.
【点睛】
本小题主要考查空间线线、线面有关命题真假性的判断，属于基础题.
2．设 ，下列不等式中正确的是（ ）
①D．②和④
【答案】C
【解析】
分析：利用绝对值三角不等式等逐一判断.
详解：因为ab>0,所以a,b同号.
对于①，由绝对值三角不等式得 ，所以①是正确的；对于②，当a,b同号时， ，所以②是错误的；对于③，假设a=3,b=2,所以③是错误的；对于④，由绝对值三角不等式得 ，所以④是正确的.
四川省宜宾市2019-2020学年数学高二下期末综合测试试题含解析
四川省宜宾市2019-2020学年数学高二下期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，在已知两次的点数均为偶数的条件下，两次的点数之和不大于8的概率为（ ）A ．13B ．49C ．59D ．23【答案】D【解析】【分析】求出两次点均为偶数的所有基本事件的个数，再求出在两次均为偶数而且和不大于8的基本事件的个数后可得概率．【详解】记{}A =两次的点数均为偶数，{}8B =两次的点数之和不大于，因为()339n A =⨯=，()6n AB =， 所以()()()6293n AB P B A n A ===． 故选：D.【点睛】本题考查条件概率，本题解题关键是求出两次的点数均为偶数的条件下，两次的点数之和不大于8所含有的基本事件的个数．2．若集合{|2,}x M y y x R ==∈，2{|,}N y y x x R ==∈，则有（ ）A ．M N R ⋃=B ．M N ⊆C ．M N ⊇D ．M N = 【答案】B【解析】分析：先分别求出集合M 和N ，由此能求出M 和N 的关系.详解：{}{}|2,0x M y y x R y y ==∈=， {}{}2|,|0N y y x x R y y ==∈=≥，故M N ⊆.故选：B.点睛：本题考查两个集合的包含关系的判断，考查指数函数、一元二次函数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.3．如图所示，在一个边长为2.的正方形AOBC 内，曲2y x =和曲线y =(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ）A ．12B ．14C ．13D ．16【答案】C【解析】【分析】欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式求解．【详解】 联立2y x y x⎧=⎪⎨=⎪⎩(1,1)C . 由图可知基本事件空间所对应的几何度量1OBCA S =正方形，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S （A ）3123120021()()|33x x dx x x ==-⎰13=． 所以P （A ）1()1313OBCA S A S ===正方形． 故选：C ．【点睛】 本题综合考查了几何概型及定积分在求面积中的应用，考查定积分的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且423S S =，715a =，则{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，由条件得111463(2),615a da d a d +=++=，由此可得d 的值，即可得答案．【详解】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得427315S S a =⎧⎨=⎩，即111463(2)615a d a d a d +=+⎧⎨+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩． 故选B ．【点睛】 本题考查等差数列的前n 项和，关键是掌握等差数列的前n 项和公式的形式特点，属于基础题． 5．某班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决4个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”，则在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（ ）A ．141种B ．140种C ．51种D ．50种【答案】A【解析】分析：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，都是0、1、2、3天，共四种情况，利用组合知识可得结论．详解：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，所以共有01122336656463C C C C C C C +++=141种． 故选：A ．点睛：本题考查组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定中间“多一个”或“少一个”的天数必须相同是关键．6．双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为60︒的直线与圆222x y b +=相交的，则椭圆C 的离心率为( )ABCD【答案】B【解析】【分析】求出直线方程,利用过过点1F 作倾斜角为60o 的直线与圆222x y b +=相交的弦长为列出方程求解即可.【详解】 双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的左焦点1(,0)F c - 过点1F 作倾斜角为60o的直线)y x c =+与圆222x y b +=,可得：222222,a b a b c ⎫+=+=⎪⎪⎝⎭, 可得:227a c =则双曲线的离心率为: c e a ==故选:B.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用,直线与圆的位置关系的应用,考查离心率的求法,考查计算能力. 7．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是异面直线且m n ⊥，则下列条件能推出αβ⊥的是（ ） A ．//m α，//n β B ．m α⊥，//n β C ．//m α，n β⊥ D ．m α⊥，n β⊥【答案】D【解析】分析：根据线面垂直的判定定理求解即可.详解：A. //m α，//n β，此时α，β两平面可以平行，故错误；B. m α⊥，//n β，此时α，β两平面可以平行，故错误；C. //m α，n β⊥，此时α，β两平面仍可以平行，故错误，故综合的选D. 点睛：考查线面垂直的判定，对答案对角度，多立体的想象摆放图形是解题关键，属于中档题. 8．已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】设切点为()00x ,y ，则300y x =，由于直线l 经过点()1,1，可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点0x 处的切线斜率，建立关于0x 的方程，从而可求方程．【详解】若直线与曲线切于点()()000x ,y x 0≠，则32000000y 1x 1k x x 1x 1x 1--===++--， 又∵2y'3x =，∴200y'x x 3x ==，∴2002x x 10--=，解得0x 1=，01x 2=-， ∴过点()P 1,1与曲线3C :y x =相切的直线方程为3x y 20--=或3x 4y 10-+=，故选C ．【点睛】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 9．已知i 是虚数单位，21i z =+，则复数z 的共轭复数为（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+ 【答案】A【解析】【分析】先由复数的除法，化简z ，再由共轭复数的概念，即可得出结果.【详解】因为22(1)11(1)(1)i z i i i i -===-++-， 所以1z i =+.故选A【点睛】本题主要考查复数的运算，以共轭复数的概念，熟记运算法则与概念即可，属于基础题型.10．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．48种 【答案】C【解析】试题分析：先将甲、乙两机看成一个整体，与另外一机进行全排列，共有种排列方法，且留有三个空；再从三个位置中将丙、丁两机进行排列，有种方法；由分步乘法计数原理，得不同的着舰方法有种.考点：排列组合.11．设01a b <<<，b x a =，a y b =，log b z a =，则（ ）A ．x y z <<B ．y x z <<C ．z x y <<D ．z y x <<【答案】A【解析】【分析】 根据条件01a b <<<，令11,32a b ==，代入,x y 中并取相同的正指数，可得,x y 的范围并可比较,x y 的大小；由对数函数的图像与性质可判断z 的范围，进而比较,,x y z 的大小. 【详解】因为01a b <<< 令11,32a b == 则1213b x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭=1312a y b ⎛⎫= ⎪⎝⎭=12log log 13b a z == 将式子变形可得61321113327⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，6123111224⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为111274<< 所以x y < 由对数函数的图像与性质可知112211log log 132>= 综上可得x y z <<故选：A.【点睛】本题考查了指数式与对数式大小比较，指数幂的运算性质应用，对数函数图像与性质应用，属于基础题. 12．记函数()ln(1)f x x =+A ，函数3()221x x g x x -=-++，若不等式(2)(1)2g x a g x ++->对x A ∈恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．(4,)+∞B ．(2,4]-C ．[4,)+∞D ．(,2)-∞-【答案】C【解析】【分析】列不等式求出集合(1,1]A =-，设3()22x x F x x -=-+，可得()F x 既是奇函数又是增函数，故原题等价于(2)(1)0F x a F x ++->，结合奇偶性和单调性以及分离参数思想可得13a x >-在(]1,1-上恒成立，根据13x -的范围即可得结果.【详解】由1010x x +>⎧⎨-≥⎩得11x -<≤，即(1,1]A =- 设3()22x x F x x -=-+，()()322x x F x x F x --=-=--，即函数()F x 在R 上为奇函数，又∵22x x y -=-和3y x =为增函数，∴3()22x x F x x -=-+既是奇函数又是增函数由(2)(1)2g x a g x ++->得(2)(1)0F x a F x ++->，则(2)(1)(1)F x a F x F x +>--=-，∴21x a x +>-即13a x >-在(]1,1-上恒成立，∵13[2,4)x -∈-，∴4a …， 故选C .【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性以及单调性的应用，恒成立问题，构造函数3()22x x F x x -=-+是解题的关键，属于中档题.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X ，则P(X≤6)＝________. 【答案】1335【解析】根据题意可知取出的4只球中红球个数可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个，其分值X 相应为4，6，8，1．∴()()31404343447713(6)4635C C C C P X P X P X C C ≤==+==+=. 14．已知P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点，点M ，N 分别在直线11:3l y x =与21:3l y x =-上，且2//PM l ，1//PN l ，若22PM PN +为定值，则椭圆的离心率为______.【答案】3 【解析】【分析】设00(,)P x y ，求出M ，N 的坐标，得出22PM PN +关于00,x y 的式子，根据P 在椭圆上得到,a b 的关系，进而求出离心率.【详解】设00(,)P x y ，则直线PM 的方程为00133x y x y =-++，直线PN 的方程为00133x y x y =-+，联立方程组0013313x y x y y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得00003(,)2262x x y M y ++， 联立方程组0013313x y x y y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得00003(,)2262x x y N y --+，则 222222220000000000335()()()()5226222629x y x y x x y PM PN y x y +=-++-++++=+ 又点P 在椭圆上，则有22222200b x a y a b +=，因为2200559x y +为定值，则2251959b a ==，222289a b e a -==，3e =【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，有一定的难度.15．101)2x dx ⎰= . 【答案】14π+ 【解析】，则221x y +=（y≥0），∴10dx ⎰表示的是上半圆在第一象限的部分的面积，其值等于4π，1201111)|0244x dx x ==⎰，所以1201(1)2x x dx -+⎰=120(1)x dx -⎰+1011)244x dx π=+⎰=14π+. 考点：定积分.16．用1,2,3,4,5,6组成没有重复数字，且至少有一个数字是奇数的三位偶数，这样的三位数一共有______个.【答案】54【解析】【分析】运用排列组合，先求出偶数的可能一共有多少个，然后减去三个数字都是偶数的情况【详解】当个位是偶数的时候共有215360A C ⋅=种可能三个数字都是偶数时，有336A =种可能则满足题意的三位数共有60654-=种故答案为54【点睛】本题考查了排列组合的数字的排序问题，只要按照题目要求进行分类求出一共的情况，然后减去不符合情况即可得出结果三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入27．万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且22110.8,01030()1081000,103x x R x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩. （1）写出年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）【答案】（1）（2）当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装生产中获利最大【解析】试题分析：解：（Ｉ）当010x <≤时，3()(10 2.7)8.11030x W xR x x x =-+=--； 当10x >时，1000()(10 2.7)98 2.73W xR x x x x=-+=--． ∴ 年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数关系式为38.110,010,30{100098 2.7,10.3x x x W x x x--<≤=--> （Ⅱ）当010x <≤时，由28.100910x W x =->⇒<<'， 即年利润W 在(0,9)上单增，在(9,10)上单减∴ 当9x =时，W 取得最大值，且max 38.6W =（万元）．当10x >时，100098( 2.7)98383W x x =-+≤-=，仅当1009x =时取“=” 综上可知，当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大，最大值为38.6万元．考点：本试题考查了函数模型在实际生活中的的运用。
2019-2020学年宜宾市数学高二下期末联考试题含解析
2019-2020学年宜宾市数学高二(下)期末联考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节五个中国传统节日中，随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节恰有一个被选中的概率是（ ） A ．310 B ．25 C ．35 D ．7102．当a 输入a 的值为16，b 的值为12时，执行如图所示的程序框图，则输出的a 的结果是( )A ．2B ．3C ．4D ．63．设,a b r r 是两个平面向量，则“a b =r r ”是“a b =r r ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若:p “直线+b y x =与圆221x y +=相交”，:q “01b <<”；则p 是q ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，点M ，N 分别是线段1A E 与线段1DD 上的动点，当点M ，N 之间的距离最小时，异面直线AM 与1CD 所成角的余弦值为（ ）A 7B 42C 3D 1841 6．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1－i)·z ＝2i ，z 是复数z 的共轭复数，则下列关于复数z 的说法正确的是( )A ．z ＝1－iB ．2z =C ．2z z ⋅=D ．复数z 在复平面内表示的点在第四象限 7．已知()f x '是函数()f x 的导函数，且满足1(1)f e =，32351()()x x x x f x f x e'-+-+=，若2()x e f x m x -=有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(,0]-∞B ．(,0)-∞C ．[0,)+∞D ．(0,)+∞8．设函数()()()ln f x x x ax a R =-∈在区间()0,2上有两个极值点，则的取值范围是A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．ln210,4+⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ln211,42+⎛⎫ ⎪⎝⎭ 9．设是虚数单位，表示复数的共轭复数.若，则（ ） A ．-2 B ． C ．2 D ．10．已知0,0,2,a b a b >>+=则14y a b=+的最小值是 ( ) A ．72 B ．4 C ．92 D ．511． “中国梦”的英文翻译为“China Dream ”，其中China 又可以简写为CN ，从“CN Dream ”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea ”字母组合（顺序不变）的不同排列共有（ ）A ．360种B ．480种C ．600种D ．720种12．已知某一随机变量ξ的概率分布列如图所示，且E(ξ)＝6.3，则a 的值为( )ξ 4a 9 P0.5 0.1 b A ．5 B ．6C ．7D ．8 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．二项式1893x x ⎛+ ⎝的展开式的常数项为________(用数字作答). 14．设()3f x x x =-，过下列点()()()()3230,0,0,2,2,1,,2,0A B C D E --⎝⎭分别作曲线()f x 的切线，其中存在三条直线与曲线()y f x =相切的点是__________．15．已知F 为抛物线2:C y x =的焦点，点A 、B 在抛物线上位于x 轴的两侧，且12OA OB ⋅=u u u v u u u v（其中O 为坐标原点），若ABO ∆的面积是1S ，AFO ∆的面积是2S ，则124S S +的最小值是______.16．在正四棱锥P-ABCD 中，PA=2，直线PA 与平面ABCD 所成角为60°，E 为PC 的中点，则异面直线PA 与BE 所成角的大小为___________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知{}2|230A x x x =--≤，{|()(4)0}B x x k x k =--+≤.（1）若[]0,3A B =I ，求实数k 的值；（2）若:p x A ∈，:q x B ∈，若p 是q ⌝的充分条件，求实数k 的取值范围.18．某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．19．（6分）已知复数31(1)z i i =-，i 为虚数单位．（1）求1z ；（2）若复数z 满足2z =，求1z z -的最大值．20．（6分）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （Ⅰ）证明：EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与C 1交于P ,Q 两点， 求证：11MN PQ+是定值，并求出该定值. 21．（6分）已知函数()4f x x x =-+.（1）解关于x 的不等式()12f x <；（2）对任意的R x ∈，都有不等式()()+1(49R )f x t m t t ⎛⎫ +⎪⎝⎭≥--∈恒成立，求实数m 的取值范围.22．（8分）在极标坐系中，已知圆C 的圆心4C π⎫⎪⎭，，半径r =（1）求圆C 的极坐标方程；（2）若0,4a π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，直线l 的参数方程为22x tcosa y tsina=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线l 交圆C 于,A B 两点，求弦长|AB|的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．C【解析】分析：先根据组合数确定随机选取两个节日总事件数，再求春节和端午节恰有一个被选中的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：因为五个中国传统节日中，随机选取两个节日共有2510C =种，春节和端午节恰有一个被选中的选法有11236C C =,所以所求概率为63.105= 选C. 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.2．C【解析】【分析】模拟程序的运行，根据程序流程，依次判断写出a ，b 的值，可得当a=b=4时，不满足条件a≠b，输出a 的值为4，即可得解．【详解】模拟程序的运行，可得a=16，b=12满足条件a ≠b ，满足条件a>b ，a=16−12=4， 满足条件a ≠b ，不满足条件a>b ，b=12−4=8， 满足条件a ≠b ，不满足条件a>b ，b=4−4=4， 不满足条件a ≠b ，输出a 的值为4.故选：C.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.3．A【解析】【分析】由a b =r r ，则a b =r r 是成立的；反之，若a b =r r ，而a b =r r 不一定成立，即可得到答案.【详解】由题意,a b r r 是两个平面向量，若a b =r r ，则a b =r r 是成立的； 反之，若a b =r r ，则向量,a b r r 可能是不同的，所以a b =r r 不一定成立，所以a b =r r 是a b =r r 是成立的充分而不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查了向量的概念以及向量模的概念的应用，以及充分条件与必要条件的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．B【解析】【分析】直线y ＝x+b 与圆x 2+y 2＝1相交1，解得b ．即可判断出结论． 【详解】直线y ＝x+b 与圆x 2+y 2＝1相交1，解得b∴“直线y ＝x+b 与圆x 2+y 2＝1相交”是“0＜b ＜1”的必要不充分条件．故选：B ．【点睛】本题考查了充分必要条件，直线与圆的位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．A【解析】【分析】以A 为坐标原点，以AB u u u r ，AD u u u r ，1AA u u u r 为x ，y ，z 轴正向建系，设12AA =，(0,2,)N a ，(2,1,0)E ,1(0,0,2)A ,1(2,1,2)A E =-u u u r ,设11A M t A E =u u u u r u u u r ，得(2,,22)M t t t -，求出2MN 取最小值时t 值，然后求1,AM CD u u u u r u u u u r 的夹角的余弦值．【详解】以A 为坐标原点，以AB u u u r ，AD u u u r ，1AA u u u r为x ，y ，z 轴正向建系，设12AA =，(0,2,)N a ，(2,1,0)E ,1(0,0,2)A ,1(2,1,2)A E =-u u u r ,设11A M t A E =u u u u r u u u r ，由11AM AA A E =+u u u u r u u u r u u u r 得(2,,22)M t t t -， 则2222222164(2)(22)5(22)55MN t t t a t t a ⎛⎫=+-+--=-++-- ⎪⎝⎭， 当205220t t a ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩即25t =，65a =时，2MN 取最小值165.此时1(2,0,2)CD =-，4262,,(2,1,3)5555AM ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭u u u u r ，令(2,1,3)n =r ．得1111cos ,cos ,14n CD AM CD n CD n CD ⋅<>=<>===u u u u r r u u u u r u u u u r u u u u r r u u u u r r ． 故选：A.【点睛】本题考查求异面直线所成的角，解题关键求得MN 的取最小值时M 的位置．解题方法是建立空间直角坐标系，用空间向量法表示距离、求角．6．C【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求出z ，然后逐一核对四个选项得答案．【详解】(1)2,22(1)1,1(1)(1)2,1(1)(1)112i z i i i i z i i i i z z izz i i -⋅=+∴===-+--+∴==--=-+--=+=Q复数z 在复平面内表示的点在第二象限，故选C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．7．D【解析】【分析】根据2()x e f x m x -=进行参变分离，构造函数()()2x g x e f x x =-，利用已知条件得到()g x '，并判断()g x 单调性，因而求出m 范围【详解】若2()x e f x m x -=有两个不同的零点，则()2x m e f x x =-， 设()()2x g x e f x x =-，则y m =与()y g x =有两个交点，()()()2x x g x e f x e f x x ''∴=+- 由题，32351()()x x x x f x f x e'-+-+=，()()32351x x e f x e f x x x x '∴+=-+- ()()3323311g x x x x x '∴=-+-=-令()0g x ¢=，则1x =，故()g x 在(),1-∞递减，在()1,+?递增，()()11110m g e f ∴>=-=，故选D【点睛】本题考查构造函数判断单调性，用参变分离的方法转化零点为交点问题，及利用单调性求参 8．D【解析】令()'()ln 21g x f x x ax ==-+，则()0g x =在(0,2)上有两个不等实根，1'()20g x a x=-=Q 有解，故0a >,10221{()02(2)0a g ag <<∴>⇒<ln 211(,)42a +∈ 点晴:本题主要考查函数的单调性与极值问题，要注意转化，函数()()ln f x x ax =-(a R ∈)在区间()0,2上有两个极值点，则()0g x =在(0,2)上有两个不等实根，所以1'()20g x a x=-=有解，故0a >,只需要满足10221{()02(2)0ag ag <<><解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，注意分类讨论和数形结合思想的应用 9．C【解析】试题分析：因为，所以，所以，故选C.考点：复数的运算.视频10．C【解析】【分析】由题意结合均值不等式的结论即可求得14y a b=+的最小值，注意等号成立的条件. 【详解】由题意可得： 14y a b =+()11414522b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯++=⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭152⎛≥⨯+ ⎝92=， 当且仅当24,33a b ==时等号成立. 即14y a b =+的最小值是92. 故选：C.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．11．C【解析】从其他5个字母中任取4个,然后与“ea ”进行全排列,共有4555600C A =,故选B.12．C【解析】分析：先根据分布列概率和为1得到b 的值，再根据E(X)=6.3得到a 的值.详解：根据分布列的性质得0.5+0.1+b=1,所以b=0.4.因为E(X)=6.3，所以4×0.5+0.1×a+9×0.4=6.3，所以a=7.故答案为C.点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和随机变量的期望的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 分布列的两个性质：①0i P ≥，1,2,3,,,i n =L L ；②121n P P P ++++=L L .二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．18564【解析】由已知得到展开式的通项为：318183632(9)31818r r r r r r C x C x ---=，令r=12,得到常数项为01231856418C=；故答案为：18564. 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.14．CE .【解析】【分析】设切点坐标为()3,t t t -，求出切线方程，将点()00,x y 代入切线方程，整理得32000230t x t x y -++=，令()3200023h t t x t x y =-++，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求得极值，利用数形结合列不等式，将五个点逐一代入检验即可得结果.【详解】设切点坐标为()3,t t t -，则切线方程为()()()3231y t t t x t --=--， 设切线过点()00,x y ，代入切线方程方程可得()()()320031y t t t x t --=--， 整理得32000230t x t x y -++=， 令()3200023h t t x t x y =-++， 则()()200'666h t t x t t t x =-=-， 过()00,x y 能作出三条直线与曲线()y f x =相切的充要条件为：方程32000230t x t x y -++=有三个不等的实数根，即函数()3200023h t t x t x y =-++有三个不同的零点， 故只需()()000h h x <，分别把()()()0,0,0,2,2,1A B C -，(),2,039D E ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭代入可以验证，只有,C E 符合条件，故答案为CE .【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值以及函数的零点，属于中档题.对于与“三次函数”的零点个数问题，往往考虑函数的极值符号来解决,设函数的极大值为()f M ，极小值为()f m ：一个零点()0f M <或()0f m >；两个零点()0f m =或()0f M =；三个零点()()0f m f M <. 15．【解析】【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设10y >，则20y <，利用12OA OB ⋅=uu r uu u r，可得出124y y =-，并设直线AB 的方程为x my b =+，将此直线与抛物线的方程联立，利用韦达定理可求出b 的值，可得出直线AB 过定点()4,0E ，再利用三角形的面积公式以及基本不等式可求出124S S +的最小值.【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设10y >，则20y <，221212121212OA OB x x y y y y y y ⋅=+=+=uu r uu u r ，则()21212120y y y y +-=，易知120y y <，得124y y =-，214y y ∴=-. 设直线AB 的方程为x my b =+，代入抛物线的方程得20y my b --=，则124y y b =-=-，得4b =，所以直线AB 的方程为4x my =+，直线AB 过x 轴上的定点()4,0E ，12121111111114158444222422S S y y y y y y y y ⎛⎫+=⨯⨯-+⨯⨯⨯=++=+≥ ⎪⎝⎭=，当且仅当15y =时，等式成立，因此，124S S +的最小值为【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，常规思路就是设出直线方程，将其与抛物线的方程联立，利用韦达定理求解，另外在求最值时，充分利用基本不等式进行求解，难点在于计算量较大，属于难题.16．45°【解析】【分析】先确定直线PA 与平面ABCD 所成的角，然后作两异面直线PA 和BE 所成的角，最后求解．【详解】∵四棱锥P －ABCD 是正四棱锥，∴PAC ∠就是直线PA 与平面ABCD 所成的角，即PAC ∠＝60°，∴PAC ∆是等边三角形，AC ＝PA ＝2，设BD 与AC 交于点O ，连接OE ，则OE 是PAC ∆的中位线，即//OE PA ，且112OE PA ==， ∴OEB ∠是异面直线PA 与BE 所成的角，正四棱锥P －ABCD 中易证BD ⊥平面PAC ，∴BD EO ⊥， EOB ∆中，OE OB =，∴EOB ∆是等腰直角三角形，∴OEB ∠＝45°．∴异面直线PA 与BE 所成的角是45°．故答案为45°．【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查直线与平面所成的角，考查正四棱锥的性质．要注意在求空间角时，必须作出其“平面角”并证明，然后再计算．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）4k =（2）7k >或1k <-【解析】【分析】（1）求解出集合B ，再根据交集范围计算k 的值；（2）由p 是q ⌝的充分条件，得到集合A B 、之间的关系，然后再计算k 的取值.【详解】解：{|13}A x x =-剟， {}|4B x k x k =-剟，（1）[]0,3A B =I∴403k k -=⎧⎨⎩… ∴43k k =⎧⎨⎩…∴4k =； （2）∵p 是q ⌝的充分条件，∴{|4R A B x x k ⊆=<-ð或}x k >，∴43k ->或1k <-即7k >或1k <-.【点睛】现有集合A B 、，且:p x A ∈，:q x B ∈，若集合A 是集合B 的充分条件，则有：A B ⊆；若集合A 是集合B 的必要条件，则有：A B ⊇.18．（1）43,55； （2）能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.【解析】【分析】（1）从题中所给的22⨯列联表中读出相关的数据，利用满意的人数除以总的人数，分别算出相应的频率，即估计得出的概率值；（2）利用公式求得观测值与临界值比较，得到能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.【详解】（1）由题中表格可知，50名男顾客对商场服务满意的有40人， 所以男顾客对商场服务满意率估计为1404505P ==, 50名女顾客对商场满意的有30人， 所以女顾客对商场服务满意率估计为2303505P ==, （2）由列联表可知22100(40203010)100 4.762 3.8417030505021K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， 所以能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.【点睛】该题考查的是有关概率与统计的知识，涉及到的知识点有利用频率来估计概率，利用列联表计算2K 的值，独立性检验，属于简单题目.19． (1) 122.z i =-(2) 2.【解析】分析：（1）化简复数即可；（2）设z x yi =+，则224x y +=，则复数z 对应点的轨迹是以为()0,0O 圆心，2为半径的圆，复数1z 对应点()2,2A -，所以即可先求点到圆心的距离再减去半径即可.详解：（1）()()()()2111212 2.z i i i i i i i =--=--=-（2）设z x yi =+，因为2z =，所以224x y +=， 在复平面中，复数1z 对应点()2,2A -，复数z 对应点的轨迹是以为()0,0O 圆心，2为半径的圆；因为AO=22,所以1z z -的最大值为222+． 点睛：与复数几何意义、模有关的解题技巧(1)只要把复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)与向量对应起来，就可以根据平面向量的知识理解复数的模、加法、减法的几何意义，并根据这些几何意义解决问题． (2)有关模的运算要注意灵活运用模的运算性质． 20．（I ）22143x y +=（0y ≠）；（II ）712 【解析】【分析】（I ）根据几何关系，即可证明EA EB +为定值，再利用椭圆的定义即可求出点E 的轨迹方程； （Ⅱ）利用点斜式设出直线l 的方程，与椭圆方程联立方程组，得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数关系以及弦长公式表示出MN ，同理可得PQ ，代入11MN PQ +中进行化简即可证明11MN PQ+为定值。
四川省宜宾市2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理、文)试题 含答案
高二理科数学答案 第 2 页 共 4 页
x (1,) ， f '(x) 0 ， f (x) 递增；
┈┈┈┈┈┈9 分
②当 0 a 1时， x (a,1) ， f '(x) 0 ， f (x) 递减；
x (0, a) 或 x (1,) ， f '(x) 0 ， f (x) 递增.
┈┈┈┈┈┈11 分
（Ⅱ）求 f (x) 在 3,1上的最大值和最小值．
19.（本小题满分 12 分）
在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ，且 2a cos B b cos C c cos B . （I）求证： B ；
3 （Ⅱ）若 a ， b ， c 成等比数列，求证： ABC 为正三角形.
见制订相应的评分细则．
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题
的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分
数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
一、选择题
ACDBCB
二、填空题
13．一
三．解答题
CBADCD
14．0
15． 2n 1 n
16． a 1 2 ln 2
17.解：（I)若 q 为真，则 c x 2 在 x [2,3] 上恒成立，
c
x2 min
4 ， c 的取值范围是{c | 0
c
4} ；
（II） “ p q ”为真，“ p q ”为假， p ， q 一真一假；
┈┈┈6 分
当
p
真
q
假时，
0 c
c 4
1
无解；当
宜宾市2019-2020学年数学高二第二学期期末联考试题含解析
宜宾市2019-2020学年数学高二第二学期期末联考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．在方程sin {cos 2x y θθ==（θ为参数）所表示的曲线上的点是 （ ） A ．(2,7) B ．12(,)33C ．(1,0)D ．11(,)222．设复数21iz =+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i -B ．iC ．1-D ．13．抛掷一枚均匀的骰子两次，在下列事件中，与事件“第一次得到6点”不互相独立的事件是（ ） A ．“两次得到的点数和是12” B ．“第二次得到6点” C ．“第二次的点数不超过3点” D ．“第二次的点数是奇数”4．某校有高一学生n 名，其中男生数与女生数之比为，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多12人，则（ ）A ．990B ．1320C ．1430D ．15605．角α的终边与单位圆交于点52555⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,则cos2=α（ ） A ．15B ．-15C ．35D ．356．0121834521C C C C ++⋯++的值等于（ ）A ．7351B ．7355C ．7513D ．73157．分配4名工人去3个不同的居民家里检查管道，要求4名工人都分配出去，并且每名工人只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（ ） A ．34A 种 B ．3134A A 种C ．2343C A 种 D ．113433C C A 种8．在中，，且，则的面积为（ ）A ．B ．C ．3D ．9．集合}{220A x x x =--≤，{}10B x x =-<，则AB =( )A ．}{1x x < B ．}{11x x -≤< C ．{}2x x ≤D ．{}21x x -≤<10．已知1x 是函数()()1ln 2f x x x =+-+的零点，2x 是函数()2244g x x ax a =-++的零点，且满足121x x-≤，则实数a 的最小值是（ ）.A ．-1B ．122-C ．222-D ．22-11．如图，在正方体1AC 中，,,,E F G H 分别是11,AA BB ,11,CD C D 的中点，则四面体EFGH 在平面11CC D D 上的正投影是A ．B ．C ．D ．12．若函数()1ln f x x ax x=++在[)1,+∞上是单调函数，则a 的取值范围是( ) A ．1(,0][,)4-∞⋃+∞B ．1(,][0,)4-∞-⋃+∞C ．1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(,1]-∞二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．将一个总体分为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5：3：2，若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C 中抽取_________个个体．14．若三角形内切圆半径为r ，三边长为a,b,c ，则1()2S a b c r =++，利用类比思想：若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为1234,,,S S S S ，则四面体的体积V =________．15．已知二项式7x x 展开式的第4项与第5项之和为零，那么x 等于____________.16．某单位招聘员工，有２００名应聘者参加笔试，随机抽查了其中２０名应聘者笔试试卷，统计他们的成绩如下表： 分数段 [)60,65[)65,70[)70,75[)75,80[)80,85[)85,90[)90,95人数１３６６２１１若按笔试成绩择优录取４０名参加面试，由此可预测参加面试的分数线为 分 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）3个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，一共有多少种不同的放法？ （2）3个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有2个空盒的放法共有多少种？ 18．某快递公司（为企业服务）准备在两种员工付酬方式中选择一种现邀请甲、乙两人试行10天两种方案如下：甲无保底工资送出50件以内（含50件）每件支付3元，超出50件的部分每件支付5元；乙每天保底工资50元，且每送出一件再支付2元分别记录其10天的件数得到如图茎叶图，若将频率视作概率，回答以下问题：（1）记甲的日工资额为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望；（2）如果仅从日工资额的角度考虑请利用所学的统计学知识为快递公司在两种付酬方式中作出选择，并说明理由．19．（6分）已知()y f x =在()0,+∞上有意义，单调递增且满足()()()()21,f f xy f x f y ==+. (1)求证：()()22f xf x =；(2)求()1f 的值；(3)求不等式的()()()34f x x f +≤的解集20．（6分）按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在[)100120，内，则为合格品，否则为不合格品．某企业有甲乙两套设备生产这种产品，为了检测这两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本对规定的质量指标值进行检测．表1是甲套设备的样本频数分布表，图1是乙套设备的样本频率分布直方图．表1：甲套设备的样本频数分布表（1）将频率视为概率，若乙套设备生产了5000件产品，则其中合格品约有多少件？（2）填写下面2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为这种产品的质量指标值与甲乙两套设备的选择有关：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++21．（6分）中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了解人们]对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在1565岁的人群中随机调查100人，调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下： 年龄 [)15,25 [)25,35 [)35,45 [)45,55 [)55,65支持“延迟退休”的人数155152817（1）由以上统计数据填22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率. ②记抽到45岁以上的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望.22．（8分）某球员是当今CBA 国内最好的球员之一，在20172018-赛季常规赛中，场均得分达23.9分。
2019-2020年高二下学期期末考试数学理试题 含答案
2019-2020年高二下学期期末考试数学理试题 含答案参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）。
如果事件A 、B 相互独立，那么P （A·B ）=P （A ）·P （B ）。
若（x ，y ），…，（x ，y ）为样本点，=+为回归直线，则 =，==∑∑=-=-----ni ini i ix xy y x x121)())((=∑∑=-=----ni i ni iixn x yx n yx 1221，=－。
K=))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n ++++-，其中n=a+b+c+d 为样本容量一、选择题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 函数f （x ）=3x －x 的单调增区间是A. （0，+）B. （－，－1）C. （－1，1）D. （1，+）2. （x+1）的展开式中x 的系数为A. 4B. 6C. 10D. 203. 在复平面内，复数6+5i ，－2+3i 对应的点分别为A ，B 。
若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是A. 4+8iB. 8+2iC. 4+iD. 2+4i4. 用数字0，1，2，3组成无重复数字的四位数，这样的四位数的个数为A. 24B. 18C. 16D. 125. =A. 1B. e －1C. eD. e+16. 高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计人数后，得到2×2列联表：则随机变量K 的观测值为班组与成绩统计表 优秀 不优秀 总计 甲班 11 34 45 乙班 8 37 45 总计1971 90A. 0.600B. 0.828C. 2.712D. 6.0047. 设随机变量~N （0，1），若P （≥1）=p ，则P （－1<<0）=A. 1－pB. pC. +pD. －P8. 某游戏规则如下：随机地往半径为l的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于且小于，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为A. B. C. D.9. 从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A，B，C，D四项不同的工作，每人承担一项。
2019-2020学年宜宾市数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析
2019-2020学年宜宾市数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．由2y x =-与直线23y x =-围成的图形的面积是（ ）A ．53B ．643C ．323D ．9【答案】C【解析】分析：先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出y=﹣x 2与直线y=2x ﹣3的面积，即可求得结论．详解：由y=﹣x 2与直线y=2x ﹣3联立，解得y=﹣x 2与直线y=2x ﹣3的交点为（﹣3，﹣9）和（1，﹣1）因此，y=﹣x 2与直线y=2x ﹣3围成的图形的面积是S=12-3-23)x x dx -+⎰（ =（﹣13x 3﹣x 2+3x ）13|-=323 ． 故答案为：C ．点睛：（1）本题主要考查利用定积分的几何意义和定积分求面积，意在考查学生对这些知识的掌握水平.（2）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续，且函数()y f x =的图像有一部分在x 轴上方，有一部分在x 轴下方，那么定积分()ba f x dx ⎰表示x 轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积. 2．已知m ∈R ，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上是减函数”的（ ）． A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 【答案】B【解析】试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B ．考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.3．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.） 附表：则下列选项正确的是（ ）A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响【答案】A【解析】分析：根据列联表中数据利用公式求得2K ，与邻界值比较，即可得到结论.详解：根据卡方公式求得()223081281020101218K -==⨯⨯⨯，27.89710.828K <<，∴该研究小组有99.5%的把握认为中学生使用智能手机对学生有影响，故选A.点睛：独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断. 4．若6ax⎛- ⎝展开式的常数项为60，则a 值为( ) A ．4B ．4±C ．2D ．2± 【答案】D【解析】【分析】由二项式展开式的通项公式写出第k 1+项，求出常数项的系数，列方程即可求解.【详解】因为6ax⎛- ⎝展开式的通项为()()3666622166T 11k k k k k k k k k k C a x x C a x -----+=-=-， 令3602k -=，则4k =，所以常数项为()44646160C a --=，即21560a =，所以2a =±. 故选D【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项展开式的通项即可求解，属于基础题型.5．随着现代科技的不断发展，通过手机交易应用越来越广泛，其中某群体的每位成员使用微信支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用微信支付的人数，已知方差2.4DX =，(4)(6)P X P X =>=，则期望EX =（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】【分析】 X 服从二项分布，由二项分布的方差公式计算出p 的可能值，再根据(4)(6)P X P X =>=，确定p 的值，再利用均值计算公式计算()E X 的值.【详解】因为()(1)10(1)0.24D X np p p p =-=-=，所以0.4p =或0.6，又因为 (4)(6)P X P X =>=，则4646461010C (1)C (1)p p p p ->-，解得0.5p <，所以0.4p =，则()100.44E X =⨯=.故选：A.【点睛】二项分布的均值与方差计算公式：()E X np =，()(1)D X np p =-.6．设实数，满足约束条件，已知的最大值是，最小值是，则实数的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】 试题分析：画出不等式组表示的区域如图，从图形中看出当不成立，故，当直线经过点时,取最大值，即，解之得，所以应选D.考点：线性规划的知识及逆向运用．【易错点晴】本题考查的是线性约束条件与数形结合的数学思想的求参数值的问题,解答时先构建平面直角坐标系,准确的画出满足题设条件的平面区域,然后分类讨论参数的符号,进而移动直线,发现当该直线经过点时取得最大值,以此建立方程,通过解方程求出参数的值.7．函数()x f x xe -=在[0,4]x ∈上的极大值为（ ）A ．1eB ．0C ．44eD ．22e【答案】A【解析】【分析】 先算出1()x x f x e-'=，然后求出()f x 的单调性即可 【详解】由()x f x xe -=可得1()x x f x e-'= 当(]0,1x ∈时()0f x '>，()f x 单调递增当(]1,4x ∈时()0f x '<，()f x 单调递减所以函数()x f x xe-=在[0,4]x ∈上的极大值为()11f e= 故选：A【点睛】本题考查的是利用导数求函数的极值，较简单.8．已知06π⎛⎫⎪⎝⎭，为()()sin 2f x x ϕ=-+2πϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭的一个对称中心，则()f x 的对称轴可能为（ ） A ．2x π= B ．12x π=- C ．3x π=- D ．23x π= 【答案】B【解析】【分析】由题意首先确定ϕ的值，然后求解函数的对称轴即可.【详解】 由题意可知，当6x π=时，()226x k k Z πϕϕπ-+=-⨯+=∈， 据此可得：()3k k Z πϕπ=+∈，令0k =可得3πϕ=，则函数的解析式为()2sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 函数的对称轴满足：()232x k k Z πππ-=+∈，解得：()5212k x k Z ππ=+∈， 令1k =-可知函数的一条对称轴为12x π=-，且很明显选项ACD 不是函数()f x 的对称轴.本题选择B 选项.【点睛】 本题主要考查三角函数解析式的求解，三角函数对称轴方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ） A ．[)(]3,24,5--⋃ B ．()()3,24,5--⋃ C ．(]4,5D ．（4,5）【答案】A【解析】【分析】 不等式等价转化为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，当1a <时，得1<<a x ，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a 的取值范围。
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所以 x (1, x0 ) 时 h(x) h(1) 0 ，不满足条件； 综上所述，当 a 0 时， f (x) a ln x 1对 x 1恒成立.
﹍﹍﹍﹍﹍﹍12 分
22.解: （I) C1 : x2 4 y 的准线为 l1 ： y 1，极坐标方程为 sin 中教育阶段教学质量监测
高二年级 理科数学参考答案
注意： 一、本解答给出了一种解法仅供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分 意
见制订相应的评分细则． 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题
的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分
2
3
┈┈┈┈┈┈6 分
（II）由（I)可知 cos B a 2 c 2 b 2 a 2 c 2 ac 1 ,
2ac
2ac
2
(a c)2 0, a c, 且B . ABC 为正三角形. 3
┈┈┈┈┈┈12 分
20.解:（I)∵当 a
2
时，
f
(x)
x
2 x
3ln
x
，∴
f
'(x)
y
2 2
2 cos sin
（
为参数），
﹍﹍﹍﹍2 分
曲线 C2 的直角坐标方程为（x 2)2 y2 4 ,
﹍﹍﹍﹍﹍﹍3 分
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将
x
y
cos sin
代入方程（x
2)2
y2
4
,
得曲线 C2 的极坐标方程为 4cos .
（II）设
A(
1,
),
x2
3x x2
2
(x
0)
，
由 f '(x) 0 得 x 1或 x 2 ，
┈┈┈┈┈┈2 分
当 x 变化时， f '(x), f (x) 的变化情况列表如下：
x
(0,1)
1
(1,2)
2
(2,)
f '(x)
0
-
0
f (x) 单调递增↗ 1 单调递减↘ 1 3ln 2 单调递增↗
∴当 x 1 时 f (x) 取极大值-1，当 x 2 时 f (x) 取极小值1 3ln 2 . ┈┈┈6 分
2 ( − 2, 3 )
2 3
(䴀)
+
0
−
0
2 ( 3 ,1]
+
(䴀) 单调递增 12 单调递减
单调递增
2t
又∵ f (3) 7 ， f (2) 12 ， f ( 2) 68 ， f (1) 3 ， 3 27
68 ∴函数的最大值为12 ，最小值为 ．
27
19.解：（该题源于选修 2-2，85 页例 1）
mn m n 2
mn 2 m n
由绝对值不等式得 f (x) | x a | | x 2 | ≥ a 2 ，
当且仅当（x a)(x 2) 0 时取等号，所以 f (x) 的最小值为 a 2 .
由题意得 a 2 2 ，解得 a 4 a 0．
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍10 分
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数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
一、选择题
ACDBCB
二、填空题
13．一 三．解答题
CBADCD
14．0
15． 2n 1 n
16． a 1 2 ln 2
17.解：（I)若 q 为真，则 c x 2 在 x [2,3] 上恒成立，
c
x2 min
4 ， c 的取值范围是{c | 0
当 2 x 2 时， f (x) 4 6 恒成立，则 2 x 2 ；
当 x 2 时，由 f (x) 2x 6 ，得 x 3 ，则 2 x 3 ．
综上，不等式 f (x) 6 的解集为 x | 3 x 3.
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5 分
（II）由题意 m n 2 得
m n 1 1 1 (m n)( 1 1 ) 1 (2 n m ) 2(当m n时取等号）
┈┈┈┈┈┈9 分
②当 0 a 1时， x (a,1) ， f '(x) 0 ， f (x) 递减；
x (0, a) 或 x (1,) ， f '(x) 0 ， f (x) 递增.
┈┈┈┈┈┈11 分
综上所述，当 a 0 时， f (x) 递减区间为 (0,1) ， f (x) 递增区间为 (1,) ；
当 0 a 1时， f (x) 递减区间为 (a,1) , f (x) 递增区间为 (0, a) 和 (1,) . ┈12 分
21.解：（I) f '(x) ex e ，当 x 1时， f '(x) 0 ;当 x 1 时， f '(x) 0 ，
所以 f (x) 在 (,1) 上递减，在 (1,) 上递增， 所以 f (x)min f (1) 1 0 ， 又 f (1) e1 e 1 0 ， f (2) e2 2e 1 0 ，
B(2
,
)
，
（0， 2
），
﹍﹍﹍﹍﹍﹍5 分
则
1
1 sin
, 2
4 cos
，
OB OA
2 1
4sin cos
2sin 2 ，
当 时， OB 的最大值为 2.
4
OA
﹍﹍﹍﹍﹍﹍10 分
23.解：（I) a 2 , 则 f (x) | x 2 | | x 2 | ，
当 x 2 时，由 f (x) 2x 6 ，得 x 3 ，则 3 x 2 ；
（I) 2a cos B b cos C c cos B ，
┈┈┈┈┈12 分
4R sin Acos B 2R sin B cos C 2R sin C cos B ，
2sin Acos B sin(B C) sin( A) sin A ，
0 A ,sin A 0,cos B 1 ,0 B , B
c
4} ；
（II） “ p q ”为真，“ p q ”为假， p ， q 一真一假；
┈┈┈6 分
当
p
真
q
假时，
0 c
c 4
1
无解；当
p
假
q
真时，
c 0
1 c
4
1
c
4
，
综上， c 的取值范围是{c |1 c 4} .
┈┈┈12 分
18.解：（I) f (x) x3 2x2 4x 4 ， f (x) 3x2 4x 4=（3x 2)(x 2)
令 f (x) 0 ，则 x 2 或 x 2 ；令 f (x) 0 ，则 2 x 2 ,
3
3
所以增区间为（-, 2），（ 2 ，+）；减区间为（ 2，2）.
3
3
（II）令 f (x)=0 ，得 x 2 或 x 2 ； 3
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┈┈┈6 分
x [ − 3, − 2) − 2
x h(x) h(1) 0 ，满足条件； ②当 a 0 时， h'(1) a 0 ，又 h'(2 a) e2a e a e2 e 1 0
2a
所以 x0 (1, a 2) ，使得 h'(x0 ) 0 ，且 x (1, x0 ) 时， h'(x) 0 ， h(x) 递减，
（II）
f
'(x)
x2
a
(a x2
1) x
(x a)(x x2
1)
，
┈┈┈┈┈┈7 分
①当 a 0 时， x a 0 ， x (0,1) ， f '(x) 0 ， f (x) 递减；
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x (1,) ， f '(x) 0 ， f (x) 递增；
所以 f (x) 的零点有两个；
┈┈┈┈┈┈5 分
（II） f (x) a ln x 1即 h(x) ex ex a ln x 0 ， (x 1)
h'(x) ex e a (x 1) ， ex e 0 ， x
① 当 a 0 时 ， a 0 ， 所 以 h'(x) 0 ， h(x) 在 1, 上 单 调 递 增 ， 所 以