人教A版数学必修三教案：§1.3算法案例(秦九韶算法)
1.3算法案例-秦九韶算法教学设计
1.3算法案例(二)__秦九韶算法一、内容及其解析本节的教学内容是算法案例中的秦九韶算法，它是求一元多项式的值的一种方法.在初中，学生已经学习了多项式的有关知识，那里是把多项式看作代数式.因此在本段内容的教学之前，应当先向学生说明，这里是函数的观点考察多项式，因此，求自变量取某个实数时的函数值问题，即求多项式的值就是一个常规问题.二、教学目标及其解析目标定位知识与技能:了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质.过程与方法:模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙.了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用.情感态度与价值观目标:通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学对世界数学发展的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久.目标解析1 秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的代表作《数书九章》中提出的一种用于计算一元n 次多项式的值的方法.三、问题诊断分析在本节主要存在的问题是学生不能对秦九韶算法的先进性及其程序设计的理解，所以教师要强调当多项式的次数增大时，此种方法的先进性就体现出来了，所以教师要找到规律，让学生体会此种解法的先进性.四、教学支持条件分析的一般模式在本节课的教学中准备使用多媒体辅助教学.五、教学过程设计问题一 什么事了解秦九韶算法？小问题1 怎样求多项式1)(2345+++++=x x x x x x f 当x=5时的值呢？(设计意图：通过具体的例子引入秦九韶算法.)结论：第一种一共用了10次乘法运算，5次加法运算.而第二种一共用了5次乘法运算，5次加法运算.小问题2 用秦九韶算法求n 次多项式0111...)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--当0x x =（0x 是任意实数）时的值，需要多少次乘法运算，多少次加法运算？小问题 3 如何用秦九韶算法完成一般多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++的求值问题？要求多项式的值，我们可以把它改写成：11101210()(()))n n n n n n n f x a x a x a x a a x a x a x a x a ----=++++=+++++.首先计算最内层括号内一次多项式的值，即11n n v a x a -=+，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即212n v v x a -=+，323n v v x a -=+，，10n n v v x a -=+.例题1 （课本第38页例2）(设计意图：从实例到一般，先总结实例进而引申到一般) 变式巩固 用秦九韶算法求多项式1432)(2367+-+-=x x x x x f 当x=2时的函数值.小问题4 你是怎么理解秦九韶算法的？结论：秦九韶算法将求n 次多项式的值转化为求n 个一次多项式的值.课堂小结(提问方式)秦九韶算法计算多项式的值及程序设计上述的整个过程只需n 次乘法运算和n 次加法运算；观察上述n 个一次式，可发出k v 的计算要用到1k v -的值，若令0n v a =，可得到下列递推公式：01,(1,2,,)n k k n k v a v v x a k n --=⎧⎨=+=⎩. 这是一个反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现.【程序框图】：六 目标检测1、利用秦九韶算法求多项式1153723+-+x x x 在23=x 的值时，在运算中下列哪个值用不到（ ）A 、164B 、3767C 、86652D 、851692、利用秦九韶算法求多项式1352.75.38123)(23456-++-++=x x x x x x x f 在2=x 的值，写出详细步骤.七 配餐作业A 组②秦九韶算法计算多项式f(x)=12+35x-8x 2+79x 3+6x 4+5x 5+3x 6，当x=-4时的值时，υ3的值为（ ）A ．-845B ．220C ．-57D ．34③用秦九韶算法，求当x=2时，f(x)=x 5-5x 4+x 3-1的函数值.B 组1．秦九韶算法与直接计算相比较，下列说法错误的是（ ）A 、秦九韶算法与直接计算相比较，大大减少了乘法的次数，使计算量减少，并且逻辑结构简单.B 、秦九韶算法减少了做乘法的次数，在计算机上也就加快了计算的速度.C 、秦九韶算法减少了做乘法的次数，在计算机上也就降低了计算的速度.D 、秦九韶算法避免对自变量x 单独做幂的计算，而是与系数一起逐次增长幂次，从而可提高计算的精度.2.用秦九韶算法和直接算法求当0x x =时()654323126016024019264f x x x x x x x =-+-+-+的值,做的乘法次数分别为( )A.6,20B.7,20C.7,21D.6,21C 组求15.033.016.041.083.0)(2345+++++=x x x x x x f 当x=5时的值.八、教学反思1、学生还是不会分析运算次数的问题，应该给学生详细讲解.2、学生在多项式 11101210()(()))n n n n n n n f x a x a x a x a a x a x a x a x a ----=++++=+++++按照秦九韶算法写成标准形式是容易出错，且速度很慢，应教会学生快速的写法及检验方法.3、应多给学生介绍一些有关秦九韶算法的背景知识，这样更能吸引学生的注意力和学习兴趣，另外介绍历史名人的大致成就，扩大学生的文化视野.。
高中数学 1.3 第1课时 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法课件 新人教A版必修3
二
②程序框图如图所示．
③程序：
INPUT m，n
DO
r＝m MOD n
m＝n
n＝r
LOOP UNTIL _______
PRINT _______ r＝0
END
m
(2)更相减损术．
算法步骤：
第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是 ________．若是，用______约简；若不是，执行第二步．
[答案] 用2约简
[解析] 由于294和84都是偶数，先用2约简．
3．设计程序框图，用秦九韶算法求多项式的值，所选用的结 构是( )
A．顺序结构
B．条件结构
C．循环结构
D．以上都有
[答案] D
4．(2013～2014·云南省景洪一中月考)用秦九韶算法计算多 项式f(x)＝3x6＋2x5＋4x4＋5x3＋7x2＋8x＋1在x＝0.5时的值， 需做乘法和加法的次数分别是________．
序如下：
S＝0 i＝1 WHILE S<＝10^6
i＝i＋1 S＝S＋1/i^2 WEND PRINT i END
新知导学 1．辗转相除法与更相减损术 (1)辗转相除法． ①算法步骤： 第一步，给定两个正整数m，n. 第二步，计算m除以n所得的余数r. 第三步，m＝n，n＝r. 第四步，若r＝______，则m，n的最大公约数等于m；否则返
求值比较先进的算法，其实质是转化为求n个________多项
式的值，共进行________次乘法运算和____一__次_次加法运 算．其过程是：
n
nHale Waihona Puke 改写多项式为：f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0 ＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0 ＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝… ＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0. 设v1＝__________， v2＝v1x＋ana－nx2＋，an－1 v3＝v2x＋an－3， …，
1.3.2算法案例(秦九韶算法)
学生交流、补充回答自学指导中的问题，教师进行补充及纠正总结，引导学生加强对知识的理解深度。
1．强调利用常规自然的运算方法，运算量大，若用前面的计算结果，直接计算后面的式子，可以减少运算量，提高运算效率。
2．强调作为常识性的知识，让学生了解到计算机进行乘法运算比加法运算花的时间要长的多，故而在程序编写中，需要进行运算，尽量使用加法。
3．让学生明确秦九韶算法的作用和意义。
4．通过交流关于秦九韶的简介，突破本节课的情感态度与价值观目标，教师鼓励学生要增强学习数学的信心。附：
秦九韶（公元1202－1261），字道古，安岳人。秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。其父秦季栖，进士出身，官至上部郎中、秘书少监。秦九韶聪敏勤学。宋绍定四年（1231），秦九韶考中进士，先后担任县尉、通判、参议官、州守、同农、寺丞等职。先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州（今广东梅县），不久死于任所。他在政务之余，对数学进行虔心钻研，并广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等资料，进行分析、研究。宋淳祜四至七年（1244至1247），他在为母亲守孝时，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了闻名的巨著《数学九章》，并创造了“大衍求一术”。这不仅在当时处于世界领先地位，在近代数学和现代电子计算设计中，也起到了重要作用，被称为“中国剩余定理”。他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”。现在，世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则。秦九韶在数学方面的研究成果，比英国数学家取得的成果要早800多年。秦九韶字道古．普州安岳(今四川安岳)人．南宋嘉泰二年(1202年)生；约景定二年(1261年)卒于梅州(今广东梅县)．
示标
1．学会用秦九韶算法求多项式的值。
(人教a版)必修三同步课件：1.3算法案例
故加法次数要减少一次，为5－1＝4.故选D.
要点三 进位制
例3 (1)把二进制数1110011(2)化为十进制数．
(2)将8进制数314706(8)化为十进制数．
解
(1)1110011(2)＝1×26＋1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋
1×21＋1＝115. (2)314706(8)＝3×85＋1×84＋4×83＋7×82＋0×81＋6×80 ＝104902.所以，化为十进制数是104902.
所以80与36的最大公约数为4.
要点二
例2
秦九韶算法
已知一个5次多项式为f(x)＝4x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x－0.8，用秦九韶算法求这个
多项式当x＝5时的值．
解
将f(x)改写为f(x)＝((((4x＋2)x＋3.5)x－2.6)x＋1.7)x－
0.8， 由内向外依次计算一次多项式当x＝5时的值： v0＝4；
2．注意：当多项ห้องสมุดไป่ตู้中n次项不存在时，可将第n次项看作0· xn.
跟踪演练2
用秦九韶算法计算f(x)＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x，需要加法(或减法)与乘法运算 ( )
的次数分别为
A．5，4 B．5，5 C．4，4 D．4，5 答案 D
解析
n次多项式需进行n次乘法；若各项均不为零，则需进
行n次加法，缺一项就减少一次加法运算．f(x)中无常数项，
v2x＋an－3
vn－1x＋a0 n个一次多项式
4．进位制
运算方便 进位制是人们为了_____和_________ k进一”就是k进制，k进 计数 而约定的记数系统，“满
制的基数是k.把十进制转化为k进制数时，通常用除k取余法．
2017版人教A版高中数学必修3全册教案
人教A版高中数学必修3全册教案目录§1.1.1算法的概念§1.1.2程序框图与算法的基本逻辑结构（1）§1.1.2程序框图与算法的基本逻辑结构（2）§1.1.2程序框图与算法的基本逻辑结构（3）§1.1.2程序框图与算法的基本逻辑结构（4）§1.2.1输入语句、输出语句和赋值语句§1.2.2条件语句§1.2.3循环语句§1.3算法案例（复习）§1.3算法案例（秦九韶算法）§1.3算法案例（辗转相除法与更相减损术）§1.3算法案例（进位制）§2.1.1简单随机抽样§2.1.2系统抽样§2.1.3分层抽样§2.2.1用样本的频率分布估计总体分布§2.2.2众数中位数平均数§2.2.2标准差§2.3变量间的相关关系（1）§2.3变量间的相关关系（2）§3.1.1随机事件的概率§3.1.2概率的意义§3.1.3概率的基本性质§3.2.1古典概型§3.2.2（整数值）随机数的产生§3.3.1几何概型§3.3.2均匀随机数的产生第一章算法初步本章教材分析算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础.算法的应用是学习数学的一个重要方面.学生学习算法的应用,目的就是利用已有的数学知识分析问题和解决问题.通过算法的学习,对完善数学的思想，激发应用数学的意识,培养分析问题、解决问题的能力，增强进行实践的能力等，都有很大的帮助.本章主要内容：算法与程序框图、基本算法语句、算法案例和小结.教材从学生最熟悉的算法入手，通过研究程序框图与算法案例，使算法得到充分的应用，同时也展现了古老算法和现代计算机技术的密切关系.算法案例不仅展示了数学方法的严谨性、科学性，也为计算机的应用提供了广阔的空间.让学生进一步受到数学思想方法的熏陶，激发学生的学习热情.在算法初步这一章中让学生近距离接近社会生活，从生活中学习数学，使数学在社会生活中得到应用和提高，让学生体会到数学是有用的，从而培养学生的学习兴趣.“数学建模”也是高考考查重点.本章还是数学思想方法的载体，学生在学习中会经常用到“算法思想” “转化思想”，从而提高自己数学能力.因此应从三个方面把握本章：（1）知识间的联系；（2）数学思想方法；（3）认知规律.§1.1 算法与程序框图§1.1.1 算法的概念一、教材分析算法在中学数学课程中是一个新的概念，但没有一个精确化的定义，教科书只对它作了如下描述：“在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.”为了让学生更好理解这一概念，教科书先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程出发，归纳出了二元一次方程组的求解步骤，这些步骤就构成了解二元一次方程组的算法.教学中，应从学生非常熟悉的例子引出算法，再通过例题加以巩固.二、教学目标1、知识与技能：（1）了解算法的含义，体会算法的思想。
算法案例(秦九韶算法)
算法的步骤和流程
01
02
03
04
2. 将 $a_{i+1}$ 加到 $v$ 中。 3. 将 $v$ 存储在变量 $P$ 中。
步骤3：返回 $P$ 作为多项 式的值。
通过以上步骤，秦九韶算法可以 在 $O(n)$ 的时间内计算出一元 多项式的值，其中 $n$ 是多项式 的次数。与直接使用常规的求值 方法相比，秦九韶算法可以显著 减少乘法的次数，从而提高计算
缺点
对大系数多项式不适用
秦九韶算法适用于系数和次数都很大的多项式，但如果多项式的 系数非常大，可能会导致数值溢出或下溢，影响计算精度。
需要额外的存储空间
秦九韶算法需要存储中间结果，如果多项式的次数很大，需要额外 的存储空间。
对某些特殊多项式不适用
秦九韶算法不适用于某些特殊的多项式，如常数、一次多项式等。
秦九韶算法的应用场景
数值分析
秦九韶算法在数值分析中广泛应用于求解多项式方程的根，以及进行 数值积分和微分等计算。
科学计算
在科学计算领域，秦九韶算法被用于计算物理、化学、工程等领域中 的多项式函数值，以及进行数据拟合和插值等操作。
计算机图形学
在计算机图形学中，秦九韶算法被用于计算光线追踪和纹理映射等算 法中的多项式函数值，以提高渲染效率和精度。
05
秦九韶算法的优缺点
优点
高效性
秦九韶算法是一种快速算法，可以在多项式 时间内完成计算，比直接计算更高效。
易于编程实现
秦九韶算法的步骤明确，易于编程实现，可 以方便地应用于计算机程序中。
数值稳定性
秦九韶算法在计算过程中可以减少舍入误差， 提高数值稳定性。
适用范围广
秦九韶算法适用于多项式的系数和次数都很 大的情况，具有较广的适用范围。
1.3算法案例(辗转相除法、更相减损术与秦九韶算法)课件(人教A版必修3)
• 解析： f(x)＝(((((x－5)x＋6)x－3)x＋1.8)x＋ 0.35)x ＋ 2 ， v0 ＝ 1 ， v1 ＝ v0x － 5 ＝－ 6 ， v2 ＝ v1x＋6＝－6×(－1)＋6＝12，v3＝v2x－3＝ －15. • 答案：－15
• 类型三 算法思想的应用 • [ 例 4] 运用秦九韶算法求 7 次多项式 f(x) ＝ a7x7 ＋ a6x6 ＋ a5x5 ＋ a4x4 ＋ a3x3 ＋ a2x2 ＋ a1x ＋ a0 当 x ＝ x0 时 的 值 ， x0 ， a1 ～ a7 都由键盘输入，画出算法的程 序框图． • [解] 程序框图如图1所示： • [点评] 用秦九韶算法对一个n次多项 式变形，可以得到下面的表达式：
计算 方法
v3＝v2x＋an－3，
… vn＝
vn－1x＋a0 ，
这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求
n个一次多项式 的值
自我检测
• 1 ．用辗转相除法求 294 和 84 的最大公 约数时，需要做除法的次数是( ) • A ．1 B．2 • C．3 D．4
• 解析：294＝84×3＋42,84＝42×2＋0. • 答案：B
更相减损术
①都是求最大公约数的方法． 联 ②二者的实质都是递归的过程 系 ． ③二者都要用循环结构来实现.
• 注意：应用更相减损术时，相减之前 先判断两个数是否为偶数，若都是偶 数则要反复除 2 ，直至至少出现一个 奇数为止．最后的公约数也是相减之 后的数乘以约简数． • 2．秦九韶算法的特点 • 秦九韶算法的特点在于把求一个 n 次 多项式的值转化为求 n 个一次多项式 的 值 ， 即 把 求 f(x) ＝ anxn ＋ an － 1xn － 1 ＋…＋a1x＋a0的值转化为求递推公式：
高中数学人教A版必修3第一章1.3算法案例课件
去
9－ 3= 6
6 － 3 = 3 减数与差相等
3×2=6
78与36的最大公约数为6.
更相减损术
问题6.根据更相减损术的过程，设计求两个正整数m，n最 大公约数的算法，需要用到什么逻辑结构？为什么？
第一步：任意给定两个正整 算法分析：
数，判断它们是否都是偶数。第一步，给定两个正整数m，n(m>n).
更相减损术
例2. 用更相减损术求78与36的最大公约数.
解： 78与36都是偶数
“可半”
78 ÷ 2 = 39 36 ÷ 2 = 18
“可半者半之”
除 完
39 － 18 = 21 大减小 21 － 18 = 3
再
18 － 3 = 15
乘
15 － 3 = 12
“更相减损”（辗转相减）
回
12 － 3 = 9
2 18 30 3 9 15 35
18与30的最大公约数为2 3 6 .
问题1. 求8251与6105的最大公约数. 可以使用短除法吗？
困难：两数比较大、公约数不易视察。 （辗转相除法、更相减损术）
知问
思考1：辗转相除法与更相减损术可以用来解 决什么问题？ 可以解决求两个正整数最大公约数的任何问题。
《九章算术》——更相减损术
“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少 减多，更相减损，求其等也，以等数约之。”
《九章算术》
刘徽
《九章算术》其作者已不可 考，现今流传的大多是在三 国时期刘徽为《九章》所作 的注本。它是中国古代第一 部数学专著，系统总结了战 国、秦、汉时期的数学成绩， 收录了246个数学问题及其 解法，是当时世界上最简练 有效的应用数学，它的出现 标志中国古代数学形成了完 整的体系。
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wenjian
时案例2 秦九韶算法
（一）导入新课
思路1（情境导入）
大家都喜欢吃苹果吧，我们吃苹果都是从外到里一口一口de吃，而虫子却是先钻到苹果里面从里到外一口一口de吃，由此看来处理同一个问题de方法多种多样.怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时de值呢？方法也是多种多样de，今天我们开始学习秦九韶算法.
思路2（直接导入）
前面我们学习了辗转相除法与更相减损术，今天我们开始学习秦九韶算法.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
（1）求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时de值有哪些方法？比较它们de特点.
（2）什么是秦九韶算法？
（3）怎样评价一个算法de好坏？
讨论结果：
（1）怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时de值呢？
一个自然de做法就是把5代入多项式f(x)，计算各项de值，然后把它们加起来，这时，我们一共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算.
另一种做法是先计算x2de值，然后依次计算x2·x，（x2·x）·x，（（x2·x）·x）·xde值，这样每次都可以利用上一次计算de结果，这时，我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算.
第二种做法与第一种做法相比，乘法de运算次数减少了，因而能够提高运算效率，对于计算机来说，做一次乘法运算所用de时间比做一次加法运算要长得多，所以采用第二种做法，计算机能更快地得到结果.
（2）上面问题有没有更有效de算法呢？我国南宋时期de数学家秦九韶（约1202~1261）在他de著作《数书九章》中提出了下面de算法：
把一个n次多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0改写成如下形式：
f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0
=（a n x n-1+a n-1x n-2+…+a1）x+ a0
=（（a n x n-2+a n-1x n-3+…+a2）x+a1)x+a0
=…
=（…（（a n x+a n-1）x+a n-2）x+…+a1）x+a0.
求多项式de值时，首先计算最内层括号内一次多项式de值，即
v1=a n x+a n-1，
然后由内向外逐层计算一次多项式de值，即
v2=v1x+a n-2，
v3=v2x+a n-3，
…
v n=v n-1x+a0，
这样，求n次多项式f（x）de值就转化为求n个一次多项式de值.
上述方法称为秦九韶算法.直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进de算法.
（3）计算机de一个很重要de特点就是运算速度快，但即便如此，算法好坏de一个重要标志仍然是运算de次数.如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内de运算次数，那么这样de算法就只能是一个理论de算法.
wenjian 1。