初等数论教案
初等数论教案
厦门大学教案__________ 学年度第—学期院（系）数学科学学院任课教师祝辉林课程名称初等数论授课章节: 第4.3节一次同余方程组和孙子定理授课教材: 《初等数论》，北京大学出版社授课对象: 数学类专业一年级本科生【教学要求】1. 了解孙子定理的历史背景和起源出处，理解用孙子定理求解一次同余方程组的思想方法和公式，掌握求解一次同余方程组的计算步骤；2. 掌握一次同余方程组的模两两不互素时，应当如何转化成模两两互素时的等价一次同余方程组，再用孙子定理求解；3. 理解一次同余方程组的意义，并能用孙子定理的方法解决一些实际应用问题。
【教学重点】1. 孙子定理的思想方法和计算步骤；2. 如何应用孙子定理解决实际应用问题。
【教学难点】理解孙子定理的思想方法。
【教学内容】第三节一次同余方程组和孙子定理本节主要讨论一次同余方程组的解法。
为了解决这类同余方程组，我们需要弄清楚剩余系的结构。
孙子定理（又称中国剩余定理）就是解决这类实际问题的有力工具。
一、“物不知其数”问题及其解法1.1问题的提出例1:（“物不知其数”问题）大约在公元四世纪，我国南北朝时期有一部著名的算术著作《孙子算经》，其中就有一个“物不知其数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：二十三”。
1.2问题的解法及理由明朝程大位编著的《算法统宗》里记载了此题的解法，他是用一首歌谣叙述出来的：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝。
七子团圆正月半，除百零五便得知。
这首诗翻译成数学算式就是：70 2 21 3 15 2 =233，233 -105 2 =23。
解题步骤及理由如下：（1 ）先在5和7的公倍数中找除以3余1的数，进而找到除3余2的数。
因为[5,7] =35，35, 3=11（余2），（35 2）“3=23（余1），而（70 2）“3=46（余2），所以140符合条件。
（2 ）在3和7的公倍数中找除以5余1的数，进而找到除5余3的数。
初等数论教学设计
初等数论教学设计教学目标：1. 学生能够理解和应用基本数论概念，如质数、因数、公因数、最大公因数等。
2. 学生能够理解和应用数论法则，如欧几里德算法、质因数分解等。
3. 学生能够解决实际问题，如找到最大公因数、判断质数等。
4. 学生能够进一步培养数学思维能力和解决问题的能力。
授课内容：1. 质数和合数定义这两个概念，并介绍如何判断一个数是质数还是合数。
掌握一些常见的质数和合数，如2、3、5、7、11、13、17、19等。
2. 因数和公因数定义因数和公因数，并说明如何求一个数的因数和公因数。
通过一些练习，让学生掌握如何应用因数和公因数求解问题。
3. 最大公因数和最小公倍数定义最大公因数和最小公倍数，并介绍两者的计算方法。
引入欧几里德算法，并让学生练习使用该算法求解最大公因数。
还应该介绍最小公倍数的计算方法。
4. 质因数分解定义质因数分解，并介绍如何用质因数分解来计算最大公因数和最小公倍数。
给学生一些编程练习，让他们通过代码来实现质因数分解。
5. 应用问题介绍一些实际问题，如找到两个数的最大公因数、判断一个数是否为质数等。
通过练习，让学生掌握如何将所学知识应用于实际问题。
教学方法：1. 讲授与演示相结合，授课之余，还要让学生亲自动手解题。
2. 通过口头提问，互动引导，帮助学生更好地理解问题。
3. 给学生一些编程练习，巩固他们所学的知识。
4. 在教授实际问题时，引导学生多角度思考，培养问题解决能力。
教学评价：1. 通过平时作业和课堂提问等方式，及时掌握学生的学习情况，并及时指导学生。
2. 对于学生的编程练习，应该认真对其代码进行检查，看是否能够正确地解决问题。
3. 通过考试，对学生的知识运用、思维能力、问题解决能力进行评价。
初等数论教案7范文
初等数论教案7范文初等数论教案7范文课程名称：初等数论学时：2课时教学目标：1.了解数论的基本概念和方法；2.理解并能够应用质数的基本性质；3.掌握素数分解和最大公约数、最小公倍数的计算方法；4.能够解决与数论相关的简单问题。
教学内容：一、数的整除与整数1.基本概念：正整数、负整数、零、奇数、偶数、素数、合数、因数、倍数；2.除法的定义和性质；3.整数的四则运算；4.质数的性质及应用。
二、质因数分解1.质因数分解的定义和性质；2.求解正整数的质因数分解；3.应用质因数分解计算最大公约数和最小公倍数。
三、最大公约数和最小公倍数1.最大公约数的定义和性质；2.求解两个数的最大公约数；3.最小公倍数的定义和性质；4.求解两个数的最小公倍数。
四、线性同余方程1.同余关系的基本概念和性质；2.同余方程的基本概念和求解方法；3.模线性方程的应用。
教学重点：1.质数的基本性质和应用；2.质因数分解的计算方法；3.最大公约数和最小公倍数的求解；4.线性同余方程的基本求解方法。
教学方法：1.讲授与互动式教学相结合，让学生参与讨论和演算，培养学生的数学思维能力；2.通过多种形式的练习，提高学生的运算能力；3.引导学生运用数学知识解决实际问题。
教学资源：1.教师课件和讲义；2.学生练习册和作业本；3.黑板和粉笔。
教学过程：第一课时：教学内容教学方法时间分配数的整除与整数讲授15分钟质因数分解讲授+互动20分钟最大公约数与最小公倍数讲授10分钟练习与作业导学+讲授15分钟第二课时：教学内容教学方法时间分配质数的性质及应用讲授10分钟线性同余方程讲授+互动20分钟练习与作业导学+讲授20分钟课堂扩展活动小组讨论15分钟教学反思：本节课的教学重点是质因数分解和最大公约数、最小公倍数的求解方法。
在教学过程中，我结合了讲授和互动式教学，使学生更加活跃地参与其中。
通过讲授、练习和讲解作业，学生对课程的重要概念和方法有了更好的理解，并通过实际问题的应用来巩固所学知识。
初等数论 教案
初等数论教案教案标题：初等数论教学目标：1. 了解数论的基本概念和原理；2. 掌握数论中常见的数学方法和技巧；3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力；4. 培养学生对数学的兴趣和探究精神。
教学内容：1. 数的整除性质与整数的性质；2. 最大公约数与最小公倍数；3. 质数与合数；4. 素因数分解；5. 同余与模运算；6. 一次同余方程；7. 基本定理与欧拉函数。
教学步骤：第一步：导入（5分钟）引入数论的基本概念，介绍数论在数学中的重要性和应用领域，激发学生的学习兴趣。
第二步：知识讲解与讨论（20分钟）1. 数的整除性质与整数的性质：介绍整数的基本性质，包括奇偶性、约数、倍数等概念。
2. 最大公约数与最小公倍数：讲解最大公约数和最小公倍数的定义、性质和计算方法，并通过例题进行实际操作和讨论。
3. 质数与合数：介绍质数和合数的定义，让学生了解它们的特征和性质。
4. 素因数分解：讲解素因数分解的概念和方法，并通过实例演示如何进行素因数分解。
第三步：案例分析与解决问题（25分钟）1. 同余与模运算：介绍同余的概念和性质，讲解模运算的基本规则和应用。
2. 一次同余方程：讲解一次同余方程的定义和解法，并通过例题引导学生进行练习和思考。
3. 基本定理与欧拉函数：讲解基本定理和欧拉函数的定义和性质，通过实例演示如何应用基本定理和欧拉函数解决问题。
第四步：练习与巩固（15分钟）布置一些练习题，让学生独立完成，并及时给予指导和解答。
第五步：总结与拓展（10分钟）对本节课所学内容进行总结，并提出一些拓展问题或思考题，鼓励学生进一步思考和探究。
教学资源：1. 教材：根据教学内容选择合适的初等数论教材；2. 板书：用于记录重要知识点和解题思路；3. 练习题：提供给学生进行巩固和拓展练习。
评估方式：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与度和回答问题的能力；2. 练习题成绩：评估学生对所学知识的掌握程度；3. 拓展问题回答：评估学生对数论知识的理解和应用能力。
初等数论教学设计
初等数论教学设计引言：初等数论是数学的一个分支，研究自然数的性质及其关系。
初等数论不仅是数学的基础，也是许多领域的基础，如密码学、计算机科学和工程学等。
因此，在教学中，初等数论的教学设计非常重要。
本文旨在介绍一个初等数论教学设计，帮助教师有效地教授初等数论的相关内容。
一、教学目标本教学设计的目标如下：1. 学生能够理解和应用基本数论概念，如素数、互质数等。
2. 学生能够解决与初等数论相关的问题，如质因数分解、最大公约数和最小公倍数等。
3. 学生能够运用初等数论知识，解决实际问题，如应用数论中的知识来解决密码学中的问题。
二、教学内容本教学设计的主要内容包括以下几个方面：1. 数的分类与性质：介绍正整数、负整数、零及它们之间的关系。
重点介绍自然数、整数、有理数和无理数等的性质。
2. 素数与合数：详细解释素数和合数的概念，并引导学生找出一定范围内的素数和合数。
探索素数分布的规律。
3. 质因数分解：介绍将一个正整数表示为质数的乘积的方法，即质因数分解。
解释质因数分解在实际问题中的应用。
4. 最大公约数和最小公倍数：介绍最大公约数和最小公倍数的概念，并展示求解最大公约数和最小公倍数的方法。
应用最大公约数和最小公倍数解决实际问题。
5. 同余与模运算：引入同余和模运算的概念，解释同余关系及其性质。
介绍模运算的基本运算法则和应用。
三、教学方法1. 概念讲解与示例演示：教师通过直观的例子和图表，解释初等数论的基本概念，帮助学生理解相关概念的含义和应用。
2. 练习与应用：提供一定数量的练习题，让学生独立或协作完成。
通过实际应用问题的解答，帮助学生巩固所学知识并提高解决问题的能力。
3. 探究与发现：鼓励学生积极思考、自主探索，并提供相关素材和引导问题，引导学生从发现中学习初等数论的原理和方法。
4. 讨论与交流：组织小组或全班讨论，让学生分享思路、解决方法、应用案例等。
促进学生之间的交流与合作，增强团队合作和沟通能力。
初等数论课程设计
初等数论课程设计一、教学目标本课程旨在通过数论的学习，使学生掌握数论的基本概念、性质和定理，培养学生解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维和数学素养。
具体的教学目标如下：1.知识目标：（1）了解数论的基本概念，如整数、素数、最大公约数等。
（2）掌握数论的基本性质和定理，如素数的分布、费马小定理等。
（3）学会运用数论知识解决实际问题，如密码学、计算机科学中的问题。
2.技能目标：（1）能够运用数论知识进行计算和证明。
（2）培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
（3）提高学生的数学写作和表达能力。
3.情感态度价值观目标：（1）培养学生对数学的兴趣和热情，提高学生的数学素养。
（2）培养学生团队合作和自主学习的能力。
（3）培养学生的创新精神和批判性思维。
二、教学内容本课程的教学内容主要包括数论的基本概念、性质和定理。
具体安排如下：1.第一章：数论基础（1）整数和分数（2）素数和合数（3）最大公约数和最小公倍数2.第二章：素数的分布（1）素数定理（2）素数的计算（3）素数的存在性3.第三章：同余理论（1）同余的基本概念（2）费马小定理（3）欧拉定理4.第四章：数论应用（1）密码学中的应用（2）计算机科学中的应用（3）实际问题中的应用三、教学方法为了提高教学效果，本课程将采用多种教学方法相结合的方式进行教学。
具体方法如下：1.讲授法：通过教师的讲解，使学生掌握数论的基本概念和定理。
2.讨论法：引导学生进行分组讨论，培养学生的团队合作和分析问题的能力。
3.案例分析法：通过分析实际问题，使学生学会将数论知识应用于解决实际问题。
4.实验法：引导学生进行数学实验，培养学生的动手能力和创新精神。
四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，本课程将采用以下教学资源：1.教材：选用国内权威的数论教材，为学生提供系统的数论知识。
2.参考书：提供相关的数论参考书，丰富学生的学习资料。
3.多媒体资料：制作多媒体课件，提高课堂教学效果。
初等数论教案
第一章 整除理论整除性理论是初等数论的基础。
本章要介绍带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公倍数，算术基本定理以及它们的一些应用。
第一节 数的整除性定义1 设a ，b 是整数，b ≠ 0，如果存在整数c ，使得a = bc成立，则称a 被b 整除，a 是b 的倍数，b 是a 的约数（因数或除数），并且使用记号b ∣a ；如果不存在整数c 使得a = bc 成立，则称a 不被b 整除，记为b |/a 。
显然每个非零整数a 都有约数 ±1，±a ，称这四个数为a 的平凡约数，a 的另外的约数称为非平凡约数。
被2整除的整数称为偶数，不被2整除的整数称为奇数。
定理1 下面的结论成立：(ⅰ) a ∣b ⇔ ±a ∣±b ；(ⅱ) a ∣b ，b ∣c ⇒ a ∣c ；(ⅲ) b ∣a i ，i = 1, 2, , k ⇒ b ∣a 1x 1 + a 2x 2 + + a k x k ，此处x i （i = 1, 2, , k ）是任意的整数； (ⅳ) b ∣a ⇒ bc ∣ac ，此处c 是任意的非零整数；(ⅴ) b ∣a ，a ≠ 0 ⇒ |b | ≤ |a |；b ∣a 且|a | < |b | ⇒ a = 0。
证明 留作习题。
定义2 若整数a ≠ 0，±1，并且只有约数 ±1和 ±a ，则称a 是素数（或质数）；否则称a 为合数。
以后在本书中若无特别说明，素数总是指正素数。
定理2 任何大于1的整数a 都至少有一个素约数。
证明 若a 是素数，则定理是显然的。
若a 不是素数，那么它有两个以上的正的非平凡约数，设它们是d 1, d 2, , d k 。
不妨设d 1是其中最小的。
若d 1不是素数，则存在e 1 > 1，e 2 > 1，使得d 1 = e 1e 2，因此，e 1和e 2也是a 的正的非平凡约数。
这与d 1的最小性矛盾。
(完整版)初等数论教案
初等数论教案一、数论发展史数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支， 其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即整数）分布 以及数论函数等内容，统称初等数论（Elementary Number Theory ）。
初等数论的大部分内容早在古希腊欧几里德的《 几何原本》中就已出现。
欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法， 即所谓欧几里得算法。
我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。
近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。
1801年，高斯的《算术探究》是数论的划时代杰作。
“数学是科学之王，数论是数学之王”。
-----高斯由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等 新分支。
而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了 广泛的应用，无疑同时间促进着数论的发展。
二 几个著名数论难题初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想 ；费尔马大定理 ；孪生素数问题 ；完全数问题等。
1、哥德巴赫猜想：1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的。
1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉,正式提出了以下的猜想：一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。
陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”〔所谓的1+2〕，是筛法的光辉顶点，至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。
2、费尔马大定理：费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，世人冠以“业余王子”之美称。
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厦门大学教案学年度第学期院（系）数学科学学院任课教师祝辉林课程名称初等数论授课章节：第4.3节一次同余方程组和孙子定理授课教材：《初等数论》，北京大学出版社授课对象：数学类专业一年级本科生【教学要求】1. 了解孙子定理的历史背景和起源出处，理解用孙子定理求解一次同余方程组的思想方法和公式，掌握求解一次同余方程组的计算步骤；2. 掌握一次同余方程组的模两两不互素时，应当如何转化成模两两互素时的等价一次同余方程组，再用孙子定理求解；3. 理解一次同余方程组的意义，并能用孙子定理的方法解决一些实际应用问题。
【教学重点】1. 孙子定理的思想方法和计算步骤；2. 如何应用孙子定理解决实际应用问题。
【教学难点】理解孙子定理的思想方法。
【教学内容】第三节一次同余方程组和孙子定理本节主要讨论一次同余方程组的解法。
为了解决这类同余方程组，我们需要弄清楚剩余系的结构。
孙子定理(又称中国剩余定理)就是解决这类实际问题的有力工具。
一、“物不知其数”问题及其解法1.1问题的提出例1：（“物不知其数”问题）大约在公元四世纪，我国南北朝时期有一部著名的算术著作《孙子算经》，其中就有一个“物不知其数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：二十三”。
1.2 问题的解法及理由明朝程大位编著的《算法统宗》里记载了此题的解法，他是用一首歌谣叙述出来的：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝。
七子团圆正月半，除百零五便得知。
这首诗翻译成数学算式就是：702213152233⨯+⨯+⨯=，233105223-⨯=。
解题步骤及理由如下：（1）先在5和7的公倍数中找除以3余1的数，进而找到除3余2的数。
因为[5,7]35=，35311÷=(余2)，(352)323⨯÷=(余1)，而(702)346⨯÷=(余2)，所以140符合条件。
（2）在3和7的公倍数中找除以5余1的数，进而找到除5余3的数。
因为[3,7]21=，2154÷=(余1)，(213)512⨯÷=(余3)， 所以63就是符合条件的数。
（3）在3和5的公倍数中找除以7余1的数，进而找到除7余2的数。
因为[3,5]15=，1572÷=(余1)，(152)74⨯÷=(余2)，所以30就是符合条件的数。
（4）将上面得到的分别符合上面三个条件的三个数相加：702213152233⨯+⨯+⨯=。
因为70(或140)是5和7的倍数，而3除余1(或余2)的数。
21(或63)是3和7的倍数，而5除余1(或余3)的数。
15(或30)是3和5的倍数，而7除余1(或余2)的数。
所以233是除以3余2、除以5余3和除以7余2的数。
又因为[357]105=，，，233210523-⨯=也是它的解，而且23105<， 所以23是最小解，其所有解为10523x k =+(k =0,1,2,⋅⋅⋅)。
1.3 注释“物不知其数”问题及其解答，是我国古代研究一次同余方程组并取得辉煌成果的经典例证。
上面的解法中，总是先求出余1的数，再求出余几的数，这种解法逐渐被总结成简洁实用的“求一术”。
“物不知其数”又名“鬼谷算”，“秦王暗点兵”，“剪管术”，“隔墙算”，“神奇妙算”，“大衍求一术”等等。
方法总结如下：例1中，13m =，25m =，37m =均为定母，105m =为衍母，135M =，221M =，315M =为衍数，乘率112M -=，121M -=，131M -=分别满足“求一术”中的1111(mod 3)M M -≡，1221(mod 5)M M -≡，1331(mod 7)M M -≡，用数分别为 11170M M -=，12221M M -=，13315M M -=，剩数为12a =，23a =，32a =，各总分别为1111140M M a -=，1222M M a -63≡，133330M M a -=，所求率为111111222333233M M a M M a M M a ---++=，所以11111122233370221315223(mod105)x M M a M M a M M a ---≡++=⨯+⨯+⨯≡。
二、一次同余方程组和孙子定理 2.1 一次同余方程组我们本节要讨论的是形如1122(mod )(mod )(mod )k k x a m x a m x a m ≡⎧⎪≡⎪⎨⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪≡⎩ (1)的一次同余方程组的解法。
前面的“物不知其数问题”，其实就是一次同余方程组2(mod 3)3(mod 5)2(mod 7)x x x ≡⎧⎪≡⎨⎪≡⎩。
(2) 它的解为23(mod105)x ≡。
2.2 孙子定理定理1：设12,,,k m m m ⋅⋅⋅是两两互素的正整数，那么对于任意整数12,,,k a a a ⋅⋅⋅，一次同余方程组 1122(mod )(mod )(mod )k k x a m x a m x a m ≡⎧⎪≡⎪⎨⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪≡⎩ 必定有解，其解为111111222(mod )k k k x M M a M M a M M a m ---≡++⋅⋅⋅+。
这里12k m m m m =⋅⋅⋅j j m M =，11(mod )j j j M M m -≡，1j k ≤≤。
证明：由于12,,,k m m m ⋅⋅⋅两两互素，所以1212[,,,]k k m m m m m m m =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
若一次同余方程组有解12,c c ，则12(mod )c c m ≡。
因为12,,,k m m m ⋅⋅⋅两两互素，12(mod )j c c m ≡，1j k ≤≤，这就证明了同余方程若有解，则其解数为1。
下面证明111111222(mod )k k k x M M a M M a M M a m ---≡++⋅⋅⋅+确实是同余方程的解。
显然(,)1j j m M =，根据扩展的欧几里德算法，满足11(mod )j j j M M m -≡的1j M -必存在。
由11(mod )j j j M M m -≡及|()j i m M j i ≠就推出1(mod )j j j j j c M M a a m -≡≡，即c 是解。
注释：(1)从孙子定理的算法思想来看，整个计算的难点集中在求1j M -上， 需要扩展的欧几里德算法来实现，当然在实际解题中我们通常采用拼凑法。
(2)孙子定理要求一次同余方程组的模12,,,k m m m ⋅⋅⋅两两互素，如果出现了某两个模不互素的情形，则应该将其转化为模互素的情形下的等价的一次同余方程组。
例如：一次同余方程组7(mod9)1(mod15)x x ≡⎧⎨≡⎩就是模9和15不互素的一次同余方程组。
我们将9和15完全素因子分解为293=，1535=⨯，则原方程组等价于7(mod 9)1(mod 3)1(mod 5)x x x ≡⎧⎪≡⎨⎪≡⎩，显然7(mod9)x ≡是1(mod3)x ≡的特殊情形，不是矛盾方程(否则无解)，故原方程组等价于7(mod9)1(mod5)x x ≡⎧⎨≡⎩，再应用孙子定理求解。
三、孙子定理的应用孙子定理是数论中最重要的基本定理之一，它实质上刻画了剩余系的结构。
它的应用是非常广泛的，在数学计算、保密通讯、测距和日常生活中都通常会用到。
例2. 求相邻的四个整数，它们依次可被22，23，25及27整除。
解：设这四个相邻整数是1x -，x ，1x +，2x +，按要求应满足22221(mod 2)0(mod 3)1(mod 5)2(mod 7)x x x x ⎧≡⎪≡⎪⎨≡-⎪⎪≡-⎩。
所以，这是一个解同余方程组问题，212m =，223m =，235m =，247m =两两互素，满足孙子定理的条件。
这里11a =，20a =，31a =-，42a =-。
2221357M =，2222257M =，2223237M =，2224235M =。
由211(mod 2)M ≡知，1121111(mod 2)M M M --≡≡，因此可取111M -=。
同理，由224(mod 3)M ≡知，11222214(mod 3)M M M --≡≡，因此可取122M -=-。
由2311(mod 5)M ≡-知，112333111(mod 5)M M M --≡≡-，12323(mod 5)M -≡，12316(mod 5)M -≡-，因此可取139M -=。
由2418(mod 7)M ≡知112444118(mod 7)M M M --≡≡，12435(mod 7)M -≡，12430(mod 7)M -≡，因此可取1419M -=-。
我们将计算数据列表如下：由孙子定理得22222222235711257(2)02379(1)x ≡⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-⋅+⋅⋅⋅⋅-2223+⋅25⋅⋅2222(19)(2)(mod 2357)-⋅-⋅⋅⋅，即11025158763420029349(mod 44100)x ≡-+≡。
所以满足要求的四个相邻整数有无穷多组，它们是：2934844100t +，2934944100t +，2935044100t +，2935144100t +，0,1,2,t =±±⋅⋅⋅。
最小的这样四个相邻正整数是：29348，29349，29350，29351。
下面这个问题是陈景润《初等数论I 》中的趣味数学题，可以应用孙子定理求解。
例3. 甲、乙两港的距离不超过5000公里，今有三只轮船于某天零时同时从甲港开往乙港。
假定三只轮船每天24小时都是匀速航行，若干天后的零时第一只轮船首先到达，几天后的18时第二只轮船也到达，再过几天后的8时第三只轮船也到达了。
假若每天第一只轮船走300公里，第二只轮船走240公里，第三只轮船走180公里，问甲、乙两港实际距离是多少公里，三只轮船各走了多长时间？解：设甲、乙两港距离x 公里。
第二只轮船18小时走的距离是1824018024⨯=公里，第三只轮船8小时走的距离是81806024⨯=公里。
按照题意有 0(mod 300)180(mod 240)60(mod180)x x x ≡⎧⎪≡⎨⎪≡⎩。
因为(300,240)60=， (300,180)60=， (240,180)60=，所以该一次同余方程组不能直接用孙子定理求解。
由于22300235=⨯⨯，4240235=⨯⨯，22180235=⨯⨯，所以原一次同余方程组与4224(mod 2)6(mod 3)0(mod 5)x x x ⎧≡⎪≡⎨⎪≡⎩有相同的解。
此处412m =，223m =，235m =，14a =，26a =，30a =。