初等数论作业
初等数论作业(3)答案
第三次作业答案：一、选择题1、整数5874192能被( B )整除.A 3B 3与9C 9D 3或92、整数637693能被(C )整除.A 3B 5C 7D 93、模5的最小非负完全剩余系是( D ).A -2,-1,0,1,2B -5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5D 0,1,2,3,44、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则（A ）A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(m od m bcD b a ≠二、解同余式（组）（1）)132(mod 2145≡x .解 因为(45,132)=3¦21,所以同余式有3个解.将同余式化简为等价的同余方程)44(mod 715≡x .我们再解不定方程74415=-y x ,得到一解(21,7).于是定理4.1中的210=x .因此同余式的3个解为)132(mod 21≡x ,)132(mod 65)132(mod 313221≡+≡x , )132(mod 109)132(mod 3132221≡⨯+≡x .（2）)45(mod 01512≡+x解 因为(12,45)=3¦15,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于)15(mod 054≡+x ,即y x 1554=+. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3),即定理4.1中的100=x .因此同余式的3个解为)45(mod 10≡x ,)45(mod 25)45(mod 34510≡+≡x , )45(mod 40)45(mod 345210≡⨯+≡x .（3）)321(m od 75111≡x . 解 因为(111,321)=3¦75,所以同余式有3个解.将同余式化简为等价的同余方程)107(mod 2537≡x .我们再解不定方程2510737=+y x ,得到一解(-8,3).于是定理4.1中的80-=x .因此同余式的3个解为)321(mod 8-≡x ,)321(mod 99)321(mod 33218≡+-≡x , )321(mod 206)321(mod 332128≡⨯+-≡x .（4）⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡)9(mod 3)8(mod 2)7(mod 1x x x .解 因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理5.1.我们先解同余式)7(mod 172≡x ,)8(mod 163≡x ,)9(mod 156≡x ,得到)9(mod 4),8(mod 1),7(mod 4321-=-==x x x .于是所求的解为).494(mod 478)494(mod 510 )494(mod 3)4(562)1(631472=-=⨯-⨯+⨯-⨯+⨯⨯≡x（5）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡≡)9(mod 5)7(mod 3)5(mod 2)2(mod 1x x x x . (参考上题)三、证明题1、 如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.证明 设a 是一正整数,并将a 写成10进位数的形式:a =1101010n n n n a a a --+++,010i a ≤.因为10≡0(mod5), 所以我们得到)5(mod 0a a ≡所以整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .证明 因为)3(mod 12-≡,所以)3(mod 1)1(12+-≡+n n .于是,当n 是奇数时,我们可以令12+=k n .从而有)3(mod 01)1(1212≡+-≡++k n , 即)12(3+n .。
初等数论练习题一（含答案）
初等数论练习题⼀（含答案）《初等数论》期末练习⼆⼀、单项选择题1、=),0(b （）.A bB b -C bD 02、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（）.A aB bC 1D b a +3、⼩于30的素数的个数（）.A 10B 9C 8D 74、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C (mod )ac bc m ≡/D b a ≠5、不定⽅程210231525=+y x （）.A 有解B ⽆解C 有正数解D 有负数解6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或97、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≥D b a ±=8、公因数是最⼤公因数的（）.A 因数B 倍数C 相等D 不确定9、⼤于20且⼩于40的素数有（）.A 4个B 5个C 2个D 3个10、模7的最⼩⾮负完全剩余系是( ).A -3，-2,-1,0,1,2，3B -6，-5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5，6D 0,1,2,3,4，5，611、因为( ),所以不定⽅程71512=+y x 没有解.A [12，15]不整除7B （12，15）不整除7C 7不整除（12，15）D 7不整除[12，15]12、同余式)593(m od 4382≡x （）.A 有解B ⽆解C ⽆法确定D 有⽆限个解⼆、填空题1、有理数ba ，0,(,)1ab a b <<=，能写成循环⼩数的条件是（）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，⽽且解的个数为( ). 3、不⼤于545⽽为13的倍数的正整数的个数为( ).4、设n 是⼀正整数，Euler 函数)(n ?表⽰所有( )n ，⽽且与n （）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （）=ab .6、⼀个整数能被3整除的充分必要条件是它的（）数码的和能被3整除.7、+=][x x （）.8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,⽽且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ).11、b a ,的最⼩公倍数是它们公倍数的( ).12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( ).三、计算题1、求24871与3468的最⼩公倍数?2、求解不定⽅程2537107=+y x .（8分）3、求??563429,其中563是素数. （8分） 4、解同余式)321(m od 75111≡x .（8分） 5、求[525,231]=?6、求解不定⽅程18116=-y x .7、判断同余式)1847(m od 3652≡x 是否有解？8、求11的平⽅剩余与平⽅⾮剩余.四、证明题1、任意⼀个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.（11分）2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .（10分）3、⼀个能表成两个平⽅数和的数与⼀个平⽅数的乘积,仍然是两个平⽅数的和;两个能表成两个平⽅数和的数的乘积,也是⼀个两个平⽅数和的数.（11分）4、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.5、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯⼀的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.《初等数论》期末练习⼆答案⼀、单项选择题1、C2、C3、A4、A5、A6、B7、D8、A9、A 10、D 11、B 12、B⼆、填空题1、有理数ba ，1),(,0=b a b a ，能写成循环⼩数的条件是（ 1)10,(=b ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，⽽且解的个数为( 3 ). 3、不⼤于545⽽为13的倍数的正整数的个数为( 41 ).4、设n 是⼀正整数，Euler 函数)(n ?表⽰所有( 不⼤于 )n ，⽽且与n （互素）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （ ],[b a ）=ab .6、⼀个整数能被3整除的充分必要条件是它的（⼗进位）数码的和能被3整除.7、+=][x x （ }{x ）.8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,⽽且解的个数( 3 ). 9、在176与545之间有( 12 )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ab ).11、b a ,的最⼩公倍数是它们公倍数的( 因数 ).12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( 1 ).三、计算题1、求24871与3468的最⼩公倍数?解：因为（24871,3468）=17所以[24871,3468]= 17346824871?=5073684 所以24871与3468的最⼩公倍数是5073684。
《初等数论》网络作业
《初等数论》网络作业11、证明整数105L02个3001能被1001 整除。
n n n 1 n 2 n 2 n 1 证明：利用公式：若n 是正奇数，则a b (a b)(a a b L ab b ) ∴ 10L2 301 10511 (103)171 (103 1)[(103)16 (103)15 L 103 1] 50个03∴ 103 1 1001 能够整除10L2 30150个02、若n 是奇数，证明8|(n2 1)。
证明：设n 2k 1,k Z ，则n2 1 (2k 1)2 1 4k(k 1)∵ k，k ＋1 中必有一个是偶数∴ 8|(n2 1)3、设正整数n 的十进制表示为n a k L a1a0 ，其中0 a i 9,0 i k,a k 0 ，且S(n) a k a k 1 L a1 a0，证明9 | n的充分必要条件是9|S(n) 。
k证明：∵ n a k L a1a0 a k 10 L a1 10 a0，S(n) a k a k 1 L a1 a0k∴ n S(n) a k (10k 1) L a1 (10 1)对所有的0 i k ，有9|(10i 1)∴ 9|(n S(n))∴ 9|n 的充分必要条件是9|S(n)4 、设r 是正奇数，证明对任意的正整数n，n 2不能整除(1r 2r L n r) 。
证明：当n＝1 时，结论显然成立。
面设n 2，令S 1r 2r L n r则2S 2 (2r n r) [3r (n 1)r] L (n r 2r )利用公式：若n 是正奇数，则a n b n (a b)(a n 1 a n 2b L ab n 2 b n 1)∴ 对2 i n，(n 2) |(i r (n 2 i)r )∴ 2S 2 (n 2)q ，q 是整数∵ n 2 2∴ n＋ 2 不能整除2S∴ n＋ 2 不能整除S5 、设n 为正整数，证明(n! 1,(n 1)! 1) 1。
《初等数论》习题集及答案
《初等数论》习题集第1章 第 1 节1. 证明定理1。
2. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。
3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。
4. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。
5. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为a 2 + p （a > 0是整数，p 为素数）的形式。
第 2 节1. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。
2. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。
3. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。
4. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。
5. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2 + 9是素数还是合数？6. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。
第 3 节1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。
2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。
3. 证明定理4的推论1和推论3。
4. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。
5. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。
6. 设n 是正整数，求1223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。
第 4 节1. 证明定理1。
2. 证明定理3的推论。
3. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。
4. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。
5. 设a ，b ，c 是正整数，证明：),)(,)(,(),,(],][,][,[],,[22a c c b b a c b a a c c b b a c b a =。
初等数论期末练习
初等数论练习题一、单项选择题2、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）.A aB bC 1D b a + 3、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 74、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(m od m bcD b a ≠ 5、不定方程210231525=+y x （ ）.A 有解B 无解C 有正数解D 有负数解 6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或9 8、公因数是最大公因数的（ ）.A 因数B 倍数C 相等D 不确定 9、大于20且小于40的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 2个 D 3个 11、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解. A [12，15]不整除7 B （12，15）不整除7 C 7不整除（12，15） D 7不整除[12，15]二、填空题1、有理数ba，1),(,0=b a b a ，能写成循环小数的条件是（ ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( ).3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ).4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ϕ表示所有( )n ，而且与n （ ）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （ ）=ab .6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除.7、+=][x x （ ）.8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ). 11、b a ,的最小公倍数是它们公倍数的( ). 12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( ).三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?2、求解不定方程2537107=+y x .（8分）3、求⎪⎭⎫⎝⎛563429,其中563是素数. （8分）5、求[525,231]=?6、求解不定方程18116=-y x .8、求11的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.（11分）2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .（10分）3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分）4、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.5、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.《初等数论》练习答案一、单项选择题2、C3、A4、A5、A6、B 8、A 9、A 11、B 二、填空题1、有理数ba，1),(,0=b a b a ，能写成循环小数的条件是（ 1)10,(=b ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( 3 ).3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( 41 ).4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ϕ表示所有( 不大于 )n ，而且与n （ 互素 ）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （ ],[b a ）=ab .6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ 十进位 ）数码的和能被3整除.7、+=][x x （ }{x ）.8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,而且解的个数( 3 ). 9、在176与545之间有( 12 )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ab ).11、b a ,的最小公倍数是它们公倍数的( 因数 ). 12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( 1 ).三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数? 解：因为（24871,3468）=17 所以 [24871,3468]=17346824871⨯=5073684 所以24871与3468的最小公倍数是5073684。
(0346)《初等数论》网上作业题及答案
（0346）《初等数论》网上作业题及答案1：第一次作业2：第二次作业3：第三次作业4：第四次作业5：第五次作业1：[论述题]数论第一次作业参考答案：数论第一次作业答案2：[单选题]如果a|b，b|c，则（）。
A：a=cB：a=-cC：a|cD：c|a参考答案：C马克思主义哲学是我们时代的思想智慧。
作为时代的思想智慧，马克思主义哲学主要具有反思功能、概括功能、批判功能和预测功能。
（1）“反思”是哲学思维的基本特征，是以思想的本身为内容，力求思想自觉其为思想。
通过不断的反思，揭示自己时代的本质和规律，达到对事物本质和规律性的认识。
（2）概括是马克思主义哲学的重要功能，是马克思主义哲学把握人与世界总体性关系的基本思维方式。
（3）马克思主义哲学的批判功能主要是指对现存世界的积极否定。
（4）马克思主义哲学的预测功能在于预见现存世界的发展趋势。
3：[单选题]360与200的最大公约数是（）。
A：10B：20C：30D：40参考答案：D数论第一次作业答案4：[单选题]如果a|b，b|a ，则（）。
A：a=bB：a=-bC：a=b或a=-bD：a，b的关系无法确定参考答案：C数论第一次作业答案5：[单选题]-4除-39的余数是（）。
A：3B：2C：1D：0参考答案：C数论第一次作业答案6：[单选题]设n，m为整数，如果3整除n，3整除m，则9（）mn。
A：整除B：不整除C：等于D：小于参考答案：A数论第一次作业答案7：[单选题]整数6的正约数的个数是（）。
A：1B：2C：3D：4参考答案：D数论第一次作业答案8：[单选题]如果5|n ，7|n，则35（）n 。
A：不整除B：等于C：不一定D：整除参考答案：D数论第一次作业答案1：[论述题]数论第二次作业参考答案：数论第二次作业答案2：[单选题]288与158的最大公约数是（）。
A：2B：4C：6D：8参考答案：A数论第二次作业答案3：[单选题]-337被4除余数是（）。
《初等数论》习题集
第1章第 1 节1. 证明定理1。
2. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。
3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。
4. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。
5. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为a 2 + p （a > 0是整数，p 为素数）的形式。
第 2 节1. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。
2. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。
3. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。
4. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。
5. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2 + 9是素数还是合数？6. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。
第 3 节1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。
2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。
3. 证明定理4的推论1和推论3。
4. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。
5. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。
6. 设n 是正整数，求1223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。
第 4 节1. 证明定理1。
2. 证明定理3的推论。
3. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。
4. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。
5. 设a ，b ，c 是正整数，证明：),)(,)(,(),,(],][,][,[],,[22a c c b b a c b a a c c b b a c b a =。
(完整版)初等数论练习题答案
初等数论练习题一一、填空题1、d(2420)=12;(2420)=_880_ϕ2、设a,n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2.3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4}.4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。
5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。
.6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_ϕ(m )_。
7、18100被172除的余数是_256。
8、 =-1。
⎪⎭⎫⎝⎛103659、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为 p-1 。
二、计算题1、解同余方程：3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 105)。
解：因105 = 3⋅5⋅7，同余方程3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 3)的解为x ≡ 1 (mod 3)，同余方程3x 2+11x -38 ≡ 0 (mod 5)的解为x ≡ 0，3 (mod 5)，同余方程3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 7)的解为x ≡ 2，6 (mod 7)，故原同余方程有4解。
作同余方程组：x ≡ b 1 (mod 3)，x ≡ b 2 (mod 5)，x ≡ b 3 (mod 7)，其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6，由孙子定理得原同余方程的解为x ≡ 13，55，58，100 (mod 105)。
2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？11074217271071107713231071107311072107710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==⨯⨯≡-∙--∙-（）（）（）（），（）（）（）（，（（）（）（（）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。
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《初等数论》作业第一次作业：一、单项选择题1、=),0(b （ ）.A bB b -C bD 02、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=3、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）.A aB bC 1D b a +4、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 75、大于10且小于30的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 6个 D 7个6、如果n 3，n 5，则15（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定7、在整数中正素数的个数（ ）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定二、计算题1、求24871与3468的最大公因数?2、求[24871,3468]=?3、求[136,221,391]=?三、证明题1、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.2、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数.3、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.4、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.第二次作业一、单项选择题1、如果( A ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a Da b a ),(2、不定方程210231525=+y x （A ）.A 有解B 无解C 有正数解D 有负数解二、求解不定方程1、144219=+y x .解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；化简得4873=+y x ；考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ，所以原方程的特解为48,96=-=y x ，因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。
2、18176=-y x .解：因为 18)17,6(,所以有解; 考虑1176=-y x ,1,3==y x ;所以18,54==y x 是特解,即原方程的解是 t y t x 618,1754-=-=3、2537107=+y x .解：因为（107，37）=125，所以有解；考虑137107=+y x ， 有26,9-==y x ，所以，原方程特解为259⨯=x =225，2526⨯-=y =-650，所以通解为t y t x 107650,37225--=+=4.求不定方程471325=++z y x 的整数解.解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解 25x+13y=t, t+7z=4.利用求二元一次不定方程的方法,因为 25(-t)+13(2t)= t, 32+7⨯(-4)=4,所以,上面两个方程的解分别为⎩⎨⎧-=+-=1125213k t y k t x , ⎩⎨⎧--=+=224732k z k t . 消去t 就得到所求的解⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=-+-=22121414256471332k z k k y k k x ,这里21,k k 是任意整数.5.求不定方程8594=+-z y x 的整数解.解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解4x-9y=t, t+5z=8.利用求二元一次不定方程的方法,因为4(-2t)-9(-t)= t, 48+5⨯(-8)=8,所以,上面两个方程的解分别为⎩⎨⎧--=--=11492k t y k t x , ⎩⎨⎧--=+=228548k z k t .消去t 就得到所求的解⎪⎩⎪⎨⎧--=---=---=221218544810996k z k k y k k x ,这里21,k k 是任意整数.第三次作业：一、选择题1、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或92、整数637693能被( )整除. A 3 B 5 C 7 D 93、模5的最小非负完全剩余系是( ).A -2,-1,0,1,2B -5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5D 0,1,2,3,44、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(mod m bcD b a ≠二、解同余式（组）（1）)132(mod 2145≡x .（2）)45(mod 01512≡+x（3）)321(mod 75111≡x .（4）⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡)9(mod 3)8(mod 2)7(mod 1x x x .（5）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡≡)9(mod 5)7(mod 3)5(mod 2)2(mod 1x x x x . 三、证明题1、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .第四次作业：一、计算：1、判断同余式)593(mod 4382≡x 是否有解？2、判断同余式)1847(mod 3652≡x 是否有解？3、求11的平方剩余与平方非剩余.4、计算⎪⎭⎫ ⎝⎛563429,其中563是素数. 5、计算⎪⎭⎫ ⎝⎛443383 二、证明题：1、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.2、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.4、素数写成两个平方数和的方法是唯一的.答案：第一次作业：一、单项选择题1、=),0(b （C ）.A bB b - D 02、如果a b ，b a ，则(D ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=3、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（C A a B b C 1 D b a +4、小于30的素数的个数（A ）. A 10 B 9 C 8 D 75、大于10且小于30的素数有（ C ）. A 4个 B 5个 C 6个 D 7个6、如果n 3，n 5，则15（A ）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定7、在整数中正素数的个数（C ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定二、计算题1、 求24871与3468的最大公因数?解： 24871=3468⨯7+5953468=595⨯5+493595=493⨯1+102493=102⨯4+85102=85⨯1+1785=17⨯5, 所以,(24871,3468)=17.2、 求[24871,3468]=?解：因为 （24871,3468）=17所以 [24871,3468]= 17346824871⨯ =5073684 所以24871与3468的最小公倍数是5073684。
3、求[136,221,391]=?解： [136,221,391]=[[136,221],391]=[391,17221136⨯]=[1768,391] = 173911768⨯=104⨯391=40664. 三、证明题6、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.证明 ：首先证明唯一性.设q ',r '是满足条件的另外整数对,即r q b a '+'=,b r '≤0.所以r bq r q b +='+',即()r r q q b '-=-',r r q q b '-=-'.又由于b r ≤0,b r '≤0,所以b r r '-.如果q q '≠,则等式r r q q b '-=-'不可能成立.因此q q '=,r r '=.其次证明存在性.我们考虑整数的有序列……,,3,2,,0,,2,3b b b b b b ---……则整数a 应介于上面有序列的某两数之间,即存在一整数q 使()b q a qb 1+≤ .我们设qb a r -=,则有r bq a +=,b r ≤0.7、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数. 证明： 因为62332n n n ++=)32(62n n n ++=)2)(1(61++n n n , 而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数,并且(2,3)=1, 所以从)2)(1(2++n n n 和)2)(1(3++n n n 有)2)(1(6++n n n , 即62332n n n ++是整数. 8、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数. 证明： 因为=-121a a a a n n 12211101010a a a a n n n n +⨯++⨯+⨯--- ,n n a a a a 121- =n n n n a a a a +⨯++⨯+⨯---10101012211 ,所以,121a a a a n n --n n a a a a 121- =).101()101(10)110(10)110(1132311------+-⨯++-⨯+-⨯n n n n n n a a a a而上面等式右边的每一项均是9的倍数,于是所证明的结论成立.9、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.证明: 设相邻两个偶数分别为)22(,2+n n所以)22(2+n n =)1(4+n n而且两个连续整数的乘积是2的倍数 即)1(4+n n 是8的倍数.第二次作业答案：一、单项选择题1、 如果( A ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),(B ),(b a cC c aD a b a ),(2、不定方程210231525=+y x （A ）. A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解二、求解不定方程1、144219=+y x .解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；化简得4873=+y x ；考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ，所以原方程的特解为48,96=-=y x ，因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。
2、18176=-y x .解：因为 18)17,6(,所以有解;考虑1176=-y x ,1,3==y x ;所以18,54==y x 是特解,即原方程的解是t y t x 618,1754-=-=3、2537107=+y x .解：因为（107，37）=125，所以有解；考虑137107=+y x ，有26,9-==y x ，所以，原方程特解为259⨯=x =225，2526⨯-=y =-650，所以通解为t y t x 107650,37225--=+=4.求不定方程471325=++z y x 的整数解.解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解25x+13y=t, t+7z=4.利用求二元一次不定方程的方法,因为25(-t)+13(2t)= t, 32+7⨯(-4)=4,所以,上面两个方程的解分别为⎩⎨⎧-=+-=1125213k t y k t x , ⎩⎨⎧--=+=224732k z k t . 消去t 就得到所求的解⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=-+-=22121414256471332k z k k y k k x ,这里21,k k 是任意整数.5.求不定方程8594=+-z y x 的整数解.解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解 4x-9y=t, t+5z=8.利用求二元一次不定方程的方法,因为 4(-2t)-9(-t)= t, 48+5⨯(-8)=8,所以,上面两个方程的解分别为 ⎩⎨⎧--=--=11492k t y k t x , ⎩⎨⎧--=+=228548k z k t .消去t 就得到所求的解 ⎪⎩⎪⎨⎧--=---=---=2212185********k z k k y k k x , 这里21,k k是任意整数.第三次作业答案：一、选择题1、整数5874192能被( B )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或92、整数637693能被(C )整除. A 3 B 5 C 7 D 93、模5的最小非负完全剩余系是( D ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5D 0,1,2,3,4 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则（A ）A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(mod m bcD b a ≠二、解同余式（组）（1）)132(mod 2145≡x .解 因为(45,132)=3¦21,所以同余式有3个解.将同余式化简为等价的同余方程)44(mod 715≡x .我们再解不定方程74415=-y x ,得到一解(21,7).于是定理4.1中的210=x .因此同余式的3个解为)132(mod 21≡x ,)132(mod 65)132(mod 313221≡+≡x ,)132(mod 109)132(mod 3132221≡⨯+≡x .（2）)45(mod 01512≡+x解 因为(12,45)=3¦15,所以同余式有解,而且解的个数为3.又同余式等价于)15(mod 054≡+x ,即y x 1554=+.我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3),即定理4.1中的100=x .因此同余式的3个解为)45(mod 10≡x , )45(mod 25)45(mod 34510≡+≡x , )45(mod 40)45(mod 345210≡⨯+≡x .（3）)321(mod 75111≡x .解 因为(111,321)=3¦75,所以同余式有3个解.将同余式化简为等价的同余方程 )107(mod 2537≡x .我们再解不定方程2510737=+y x ,得到一解(-8,3).于是定理4.1中的80-=x .因此同余式的3个解为)321(mod 8-≡x , )321(mod 99)321(mod 33218≡+-≡x , )321(mod 206)321(mod 332128≡⨯+-≡x .（4）⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡)9(mod 3)8(mod 2)7(mod 1x x x .解 因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理5.1.我们先解同余式)7(mod 172≡x ,)8(mod 163≡x ,)9(mod 156≡x ,得到)9(m o d 4),8(m od 1),7(m od 4321-=-==x x x .于是所求的解为).494(mod 478)494(mod 510 )494(mod 3)4(562)1(631472=-=⨯-⨯+⨯-⨯+⨯⨯≡x（5）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡≡)9(mod 5)7(mod 3)5(mod 2)2(mod 1x x x x . (参考上题)三、证明题1、 如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.证明 设a 是一正整数,并将a 写成10进位数的形式:a =1101010n n n n a a a --+++,010i a ≤.因为10≡0(mod5),所以我们得到 )5(mod 0a a ≡所以整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .证明 因为)3(mod 12-≡,所以 )3(m od 1)1(12+-≡+n n .于是,当n 是奇数时,我们可以令12+=k n .从而有)3(m od 01)1(1212≡+-≡++k n , 即)12(3+n .第四次作业答案：一、计算： 1、 判断同余式)593(mod 4382≡x 是否有解？(答：无解。