高考数学终极解题策略构造函数

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必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数，巧解导数难题

近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，但在平时的教学和考试中，发现很多学生不会合理构造函数，结果往往求解非常复杂甚至是无果而终．因此笔者认为解决此类问题的关键就是怎样合理构造函数，本文以近几年的高考题和模考题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结，供大家参考．一、作差构造法1．直接作差构造评注：本题采用直接作差法构造函数，通过特殊值缩小参数范围后，再对参数进行分类讨论来求解．2．变形作差构造二、分离参数构造法分离参数是指对已知恒成立的不等式在能够判断出参数系数正负的情况下，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量的不等式，只要研究变量不等式的最值就可以解决问题．三、局部构造法1．化和局部构造2．化积局部构造四、换元构造法换元构造法在处理多变元函数问题中应用较多，就是用新元去代替该函数中的部分（或全部）变元．通过换元可以使变量化多元为少元，即达到减元的目的．换元构造法是求解多变元导数压轴题的常用方法．评注：本题的两种解法通过将待解决的式子进行恰当的变形，将二元字母变出统一的一种结构，然后用辅助元将其代替，从而将两个变元问题转化一个变元问题，再以辅助元为自变量构造函数，利用导数来来求解。

其中解法1、解法2还分别体现了化积局部构造法和变形作差构造法．五、主元构造法主元构造法，就是将多变元函数中的某一个变元看作主元（即自变量），将其它变元看作常数，来构造函数，然后用函数、方程、不等式的相关知识来解决问题的方法.六、特征构造法1．根据条件特征构造2．根据结论特征构造七、放缩构造法1．由基本不等式放缩构造2．由已证不等式放缩构造评注：本题第二问是一道典型且难度比较大的求参问题，这类题目很容易让考生想到用分离参数的方法，但分离参数后利用高中所学知识无法解决，笔者研究发现不能解决的原因是分离参数后，出现了“0/0型”的式子，解决这类问题的有效方法就是高等数学中的洛必达法则；若直接构造函数，里面涉及到指数函数、三角函数及高次函数，处理起来难度很大．本题解法中两次巧妙利用第一问的结论，通过分类讨论和假设反正，使问题得到解决，本题也让我们再次体会了化积局部构造法的独特魅力．。

高考压轴题解题方法归纳总结之构造函数

高考压轴题解题方法归纳总结之构造函数一、构造差函数h (x )＝f (x )－g (x )证明不等式f (x )>g (x ) 二、参变分离后构造函数例1．(2016·沈阳一模)已知函数f (x )＝a ln x (a >0)，e 为自然对数的底数． (1)若过点A (2，f (2))的切线斜率为2，求实数a 的值；(2)当x >0时，求证：f (x )≥a ⎝⎛⎭⎫1－1x ； (3)若在区间(1，e)上存在x 使得01<-x e e aax 成立，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝a x ，f ′(2)＝a2＝2，a ＝4.(2)证明：令g (x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x －1＋1x ，g ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫1x －1x 2. 令g ′(x )>0，即a ⎝⎛⎭⎫1x －1x 2>0，解得x >1，∴g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．∴g (x )的最小值为g (1)＝0，∴f (x )≥a ⎝⎛⎭⎫1－1x . (3)由题意可知01<-x e e aax ，化简得x －1a <ln x ，又x ∈(1，e)，∴a >x －1ln x .令h (x )＝x －1ln x ，则h ′(x )＝ln x －(x －1)·1x (ln x )2＝ln x －1＋1x (ln x )2，由(2)知，当x ∈(1，e)时，ln x －1＋1x>0，∴h ′(x )>0，即h (x )在(1，e)上单调递增，由洛毕达法则，可知111lim ln 1lim11==-→→xx x x x ，∴a >1.变式训练1当0≥x 时，若不等式1+≥ax e x 恒成立，则实数a 的取值范围是_________. 略解：1≤a 。

三、利用目标不等式构造函数例2．(2018·张掖一诊)定义在R 上的可导函数f (x )满足f (1)＝1，且2f ′(x )＞1，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2时，不等式f (2cos x )＞32－2sin 2x 2的解集为( ) A.⎝⎛⎭⎫π3，4π3 B.⎝⎛⎭⎫－π3，4π3 C.⎝⎛⎭⎫0，π3 D.⎝⎛⎭⎫－π3，π3 解析：选D 令g (x )＝f (x )－x 2－12，则g ′(x )＝f ′(x )－12＞0，∴g (x )在R 上单调递增，且g (1)＝f (1)－12－12＝0，∵f (2cos x )－32＋2sin 2x 2＝f (2cos x )－2cos x 2－12＝g (2cos x )，∴f (2cos x )＞32－2sin 2x2，即g (2cos x )＞0，∴2cos x ＞1.又x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－π3，π3. 变式训练2函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)解析：设m (x )＝f (x )－(2x ＋4)，则m ′(x )＝f ′(x )－2＞0，∴m (x )在R 上是增函数． ∵m (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0，∴m (x )＞0的解集为{}x |x ＞－1，即f (x )＞2x ＋4的解集为(－1，＋∞)． [答案] B四、利用导函数构造原函数例3．（1）(2015·全国卷Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，x f ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1，0)D ．(0，1)∪(1，＋∞)[解析] 设y ＝g (x )＝f （x ）x (x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0.∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴g (x )的图象的示意图如图所示．当x >0时，由f (x )>0，得g (x )>0，由图知0<x <1，当x <0时，由f (x )>0，得g (x )<0，由图知x <－1，∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A. [答案] A（2）已知函数f (x )的定义域为R ，且f ′(x )＋f (x )＝2x e －x ，若f (0)＝1，则函数)()('x f x f 的取值范围为( )A ．[－1，0]B ．[－2，0]C ．[0，1]D ．[0，2]解析：选B 由f ′(x )＋f (x )＝2x e －x ，得e x f ′(x )＋e x f (x )＝2x ，∴[e x f (x )]′＝2x ，设e x f (x )＝x 2＋c ，由于f (0)＝1，因而c ＝1，∴f (x )＝x 2＋1e x ，f ′(x )＝2x e x －（x 2＋1）e x e 2x ＝－（x －1）2e x，∴f ′（x ）f （x ）＝－（x －1）2x 2＋1＝－1＋2x x 2＋1，当x ＝0时，f ′（x ）f （x ）＝－1，当x ≠0时，2x x 2＋1＝2x ＋1x∈[－1，1]，当x ＝－1时取得最小值，当x ＝1时取得最大值，从而f ′（x ）f （x ）的取值范围为[－2，0]，故选B.（3）(2016·沈阳模拟)已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (1)＝0，当x >0时，x f ′(x )<2f (x )，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：根据题意，设函数g (x )＝f (x )x 2(x ≠0)，当x >0时，g ′(x )＝f ′(x )·x －2·f (x )x3<0，说明函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减，又f (x )为偶函数，所以g (x )为偶函数，又f (1)＝0，所以g (1)＝0，故g (x )在(－1,0)∪(0,1)上的函数值大于零，即f (x )在(－1,0)∪(0,1)上的函数值大于零．答案：D变式训练3（1）已知函数f (x )，g (x )在区间[a ，b ]上均有f ′(x )<g ′(x )，则下列关系式中正确的是( )A ．f (x )＋f (b )≥g (x )＋g (b )B ．f (x )－f (b )≥g (x )－g (b )C ．f (x )≥g (x )D ．f (a )－f (b )≥g (b )－g (a ) 答案：B（2）已知函数y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，y ＝f ′(x )是y ＝f (x )的导数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )＜0成立．已知a ＝f (log 32)log 32，b ＝f (log 52)log 52，c ＝2f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b 解析：选B 由函数y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，可知y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，即y ＝f (x )为偶函数．令g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，由题意知g (x )在(－∞，0)上单调递减．又y ＝f (x )为偶函数，则g (x )为奇函数，故g (x )在(0，＋∞)上单调递减．又0＜log 52＜log 32＜1＜2，所以g (log 52)＞g (log 32)＞g (2)，即b ＞a ＞c .（3）若的导数为,且满足则与的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．不能确定答案：C ．（4）定义在区间(0，＋∞)上的函数y ＝f (x )使不等式2f (x )<xf ′(x )<3f (x )恒成立，其中y ＝f ′(x )为y ＝f (x )的导函数，则( )A ．8<f (2)f (1)<16B ．4<f (2)f (1)<8C ．3<f (2)f (1)<4D ．2<f (2)f (1)<3解析：选B ∵xf ′(x )－2f (x )>0，x >0，∴⎣⎡⎦⎤f (x )x 2′＝f ′(x )·x 2－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3>0，∴y ＝f (x )x 2在(0，＋∞)上单调递增，∴f (2)22>f (1)12，即f (2)f (1)>4.∵xf ′(x )－3f (x )<0，x >0，∴⎣⎡⎦⎤f (x )x 3′＝f ′(x )·x 3－3x 2f (x )x 6＝xf ′(x )－3f (x )x 4<0，∴y ＝f (x )x 3在(0，＋∞)上单调递减，∴f (2)23<f (1)13，即f (2)f (1)<8.综上，4<f (2)f (1)<8.五、构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子，根据“相同结构”构造辅助函数；例4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，若x 2f ’(x )＋xf (x )＝sin x (x ∈(0，6))，f (π)＝1，则下列结论正确的是( )A ．)1(31)3(f f x xx f πD ．以上结论都不对解析：选D 因为x 2f ′(x )＋xf (x )＝sin x ，x ∈(0，6)，所以xf ′(x )＋f (x )＝sin xx，设g (x )＝xf (x )，x ∈(0，6)，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＝sin xx，由g ′(x )>0得0<x <π，g ′(x )<0得π<x <6，所以当x ＝π时，函数g (x )＝xf (x )有最大值g (π)＝πf (π)＝π.变式训练4 f (x )是定义在(0，＋∞)上的可导函数，且满足xf ′(x )－f (x )<0，对任意正数a ，b ，若a ++=b x bx f x F ．对任意2121],2,0(,x x x x ≠∈，都有1)()(2121-<--x x x F x F ，求实数b 的取值范围.()f x ()f x '()(),f x f x '<(3)f 3(0)e f 3(3)(0)f e f >3(3)(0)f e f =3(3)(0)f e f <解：当1=a 时，x x x g ln 21)(--=，定义域为），（∞+0，xx x x g 221)(-=-=' 当)2,0(∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减，当)2(∞+∈，x 时，0)(>'x g ,)(x g 单调递增，综上，)(x g 的单调递增区间为)2(∞+，，单调递减区间为)2,0(，所以2ln 21)2(-==g y 极小值（2）由题意得01)()(2121<+--x x x F x F ，即112212()[()]0F x x F x x x x +-+<-，若设x x F x G +=)((），则）x G (在]2,0(上单调递减， ①当]2,1[∈x 时，x x bx x G +++=1ln (），011-1(2≤++='）（）x b x x G ， 313)1()1(222+++=+++≥xx x x x x b 在]2,1[上恒成立，设313)(21+++=x x x x G ，则211-32)(xx x G +='，当]2,1[∈x 时，0)(1>'x G ， )(1x G 在]2,1[上单调递增，2272)(11=≤）（G x G ，∴227≥b②当]1,0（∈x 时，x x bx x G +++-=1ln (），011-1(2≤++-='）（）x b x x G ， 11)1()1(222--+=+++-≥xx x x x x b 在]1,0(上恒成立，设1-1-)(22x x x x G +=，则0112)(22>++='xx x G ，即)(2x G 在]1,0(上单调递增，01)(22=≤）（G x G ，∴0≥b . 综上，由①②可得227≥b变式训练5 (2017·洛阳模拟)已知函数f (x )＝e x ＋m ln x (m ∈R ，e 为自然对数的底数)，若对任意正数x 1，x 2，当x 1＞x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)＞x 1－x 2成立，则实数m 的取值范围是________．[解析] 依题意得，对于任意的正数x 1，x 2，当x 1＞x 2时，都有f (x 1)－x 1＞f (x 2)－x 2，因此函数g (x )＝f (x )－x 在区间(0，＋∞)上是增函数，于是当x ＞0时，g ′(x )＝f ′(x )－1＝e x ＋mx－1≥0，即x (e x －1)≥－m 恒成立．设h (x )＝x (e x－1)，x ＞0，则有h ′(x )＝(x ＋1)e x －1＞(0＋1)e 0－1＝0(x ＞0)，故h (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，h (x )的值域是(0，＋∞)，因此－m ≤0，m ≥0. 故所求实数m 的取值范围是[0，＋∞)． [答案] [0，＋∞)六、利用点的轨迹构造函数例6．设2222)4(ln )(4),(a a m a m m a f +-+-=，当正数m ，实数a 变化时，),(m a f 的最小值为____________．解析：设点)ln ,(m m P ，)4,(2a a Q ，则点P 在函数x y ln =的图象上，点Q 在函数42x y =的图象上。

高考数学终极解题策略-构造函数

高考数学终极解题策略-构造函数构建函数专题关系式为“加”型（1）'()()0f x f x +≥ 构造[()]'['()()]xxe f x e f x f x =+ （2）'()()0xf x f x +≥ 构造[()]''()()xf x xf x f x =+ （3）'()()0xf x nf x +≥ 构造11[()]''()()['()()]nnn n x f x x f x nx f x x xf x nf x --=+=+（注意对x 的符号进行讨论）关系式为“减”型（1）'()()0f x f x -≥ 构造2()'()()'()()[]'()x x x x xf x f x e f x e f x f x e e e --==（2）'()()0xf x f x -≥ 构造2()'()()[]'f x xf x f x x x -=（3）'()()0xf x nf x -≥ 构造121()'()()'()()[]'()n n n n n f x x f x nx f x xf x nf x x x x-+--== （注意对x 的符号进行讨论）小结：1.加减形式积商定 2.系数不同幂来补 3.符号讨论不能忘典型例题：例1.设()()f x g x 、是R 上的可导函数，'()()()'()0f x g x f x g x +<，(3)0g -=，求不等式()()0f x g x <的解集变式：设()()f x g x 、分别是定义在R 上的奇函数、偶函数，当0x <时，'()()()'()0f x g x f x g x +>，(3)0g -=，求不等式()()0f x g x <的解集.例2.已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()()x f x a g x =，且'()()()'()f x g x f x g x <，(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-，若有穷数列*()()()f n n N g n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭的前n 项和等于3132，则n 等于 .变式：已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()()x f x a g x =，且'()()()'()f x g x f x g x <，若若(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-，求关于x 的不等式log 1a x >的解集.例 3.已知定义域为R 的奇函数()f x 的导函数为'()f x ，当0x ≠时，()'()0f x f x x+>，若111(),2(2),ln (ln 2)222a fb fc f ==--=，则关于,,a b c 的大小关系是例4.已知函数()f x 为定义在R 上的可导奇函数，且()'()f x f x <对于任意x R ∈恒成立，且f （3）=e ，则()f x /e^x<1的解集为变式：设()f x 是R 上的可导函数，且'()()f x f x ≥-，(0)1f =，21(2)f e=.求(1)f 的值.例5.设函数()f x 在R 上的导函数为'()f x ，且22()'()f x xf x x +>，变式：已知()f x 的导函数为'()f x ，当0x >时，2()'()f x xf x >，且(1)1f =，若存在x R +∈，使2()f x x =，求x 的值.巩固练习:1.定义在R 上的函数()f x ，其导函数()'f x 满足()'1f x >，且()23f =，则关于x 的不等式()1f x x <+的解集为 ▲ ．2.已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为/()f x ，满足/()()f x f x <，且(1)y f x =+为偶函数，(2)1f =，则不等式()x f x e <的解集为 ▲3.设)(x f '和)(x g '分别是()f x 和()g x 的导函数，若()()0f x g x ''≤在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性相反.若函数31()23f x x ax =-与2()2g x x bx =+在开区间(,)a b 上单调性相反（0a >），则b a -的最大值为 ▲4.设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，对任意的R x ∈有2)()(x x f x f =+-，且在()+∞,0 上，.)(x x f >'，若,22)()2(a a f a f -≥--则实数a 的取值范围为 ▲ ；一些常见的导数小题1．已知函数32()f x x bx cx d =+++（b 、c 、d 为常数），当(0,1)x ∈时取极大值，当(1,2)x ∈时取极小值，则221()(3)2b c ++-的取值范围是（）4b+c+12=02b+c+3=0B DAobcA. 37(,5)2 B. (5,5) C. 37(,25)4D. (5,25) 2．已知)(x f 、)(x g 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，()()()()f x g x f x g x ''<，)()(x g a x f x =，25)1()1()1()1(=--+g f g f ，则关于x 的方程2520((0,1))2abx x b ++=∈有两个不同实根的概率为（） A.51 B.52 C.53 D.543．设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则12n x x x ⋅⋅⋅的值为A. 1nB. 1n n +C. 11n + D. 14．定义在R 上的函数()x f y=，满足()()2f x f x -=，()1x f -'()0x <，若()()313f a f +<，则实数a 的取值范围是（）A ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．22,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．已知函数()sin ()f x x x x R =+∈，且22(23)(41)0f y y f x x -++-+≤，则当1y ≥时，1yx + 的取值范围是（）A ． 13[,]44B ．3[0,]4C ．14[,]43D ．4[0,]36．已知函数32()132x mx m n x y +++=+的两个极值点分别为x 1，x 2，且x 1(0, 1)，x 2(1, +)，记分别以m ，n 为横、纵坐标的点P(m,n)表示的平面区域为D ，若函数log (4)(1)a y x a =+>的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,3]B ．(1,3)C ． (3,)+∞D ．[3,)+∞7．已知函数()3111,0,36221,,112x x f x x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪+⎝⎦⎩，函数()()sin 220,6g x a x a a π⎛⎫=-+>⎪⎝⎭若存在[]12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围（）A. 14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知3,ln 3ln ln -==-bd c a ，则22)()(c d b a -+-的最小值为（）A ．5103B ．518C ．516D ．5129．已知21()ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数12,x x ，都有1212()()2f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(0,1]B ．(1,)+∞C ．(0,1)D ．[1,)+∞10．已知定义在R 上的函数)(x f 和)(x g 分别满足222'(1)()2(0)2x f f x e x f x -=⋅+-⋅，0)(2)('<+x g x g ，则下列不等式成立的是（）A.(2)(2015)(2017)f g g ⋅<B.(2)(2015)(2017)f g g ⋅>C.(2015)(2)(2017)g f g <⋅D.(2015)(2)(2017)g f g >⋅11．若函数[]1)2(33)(23++++=x a ax x x f 有极大值又有极小值,则a 的取值范围是______．12．已知函数()()263,x e exf x x xg x ex+=---=，实数,m n 满足0m n <<，若[]1,x m n ∀∈， ()20,x ∃∈+∞，使得()()12f x g x =成立，则n m -的最大值为__________．答案1．D 【解析】试题分析：因为函数32()f x x bx cx d =+++的导数为2'()32f x x bx c =++.又由于当(0,1)x ∈时取极大值，当(1,2)x ∈时取极小值.所以'(1)0'(0)0'(2)0f f f <⎧⎪>⎨⎪>⎩即可得2304120b c c b c ++<⎧⎪>⎨⎪++>⎩，因为221()(3)2b c ++-的范围表示以1(,3)2-圆心的半径的平方的范围.通过图形可得过点A 最大，过点B 最小，通过计算可得221()(3)2b c ++-的取值范围为(5,25).故选D.考点：1.函数的导数问题.2.极值问题.3.线性规划问题.4.数形结合的思想. 2．B 【解析】试题分析：令()()()x f x h x a g x ==，则2()()()()()0[()]f x g x f x g x h x g x ''-'=<，所以()()()xf x h x ag x ==是减函数， 01a <<.又25)1()1()1()1(=--+g f g f ，所以151,22a a a +==.由0∆>得25b <.又(0,1)b ∈，由几何概型概率公式得：25p =.选B. 考点：1、导数的应用；2、指数函数及方程；3、几何概型. 3．C 【解析】试题分析：曲线1*()n y xn N +=∈，1)1(,)1(+='+='n f x n y n ，∴曲线y=x n+1（n ∈N *）在（1，1）处的切线方程为)1)(1(1-+=-x n y ，该切线与x 轴的交点的横坐标为1+=n nx n ，因此。

高考数学导数构造秒杀技巧

导数构造一、基础知识常见导数结构1. 对于不等式)0(,)(≠>'k k x f ，构造函数b kx x f x g +−=)()(2. 对于不等式,0)()(>+'x f x f x ，构造函数)()(x xf x g =3. 对于不等式,0)()(>−'x f x f x ，构造函数xx f x g )()(=4. 对于不等式,0)()(>+'x nf x f x ，构造函数)()(x f x x g n= 5. 对于不等式,0)()(>−'x nf x f x ，构造函数n)()(x x f x g =6. 对于不等式,0)()(>+'x f x f ，构造函数)()(x f e x g x= 7. 对于不等式,0)()(>−'x f x f ，构造函数xe xf xg )()(=8. 对于不等式,0)()(>+'x kf x f ，构造函数)()(x f e x g kx= 9. 对于不等式,0)(2)(>+'x xf x f ，构造函数)()(2x f ex g x =10. 对于不等式,0)(ln )(>⋅+'x f a x f ，构造函数)()(x f a x g x= 11. 对于不等式,0tan )()(>⋅'+x x f x f ，构造函数)(sin )(x f x x g ⋅= 12. 对于不等式,0)(tan )(>⋅−'x f x x f ，构造函数)(cos )(x f x x g ⋅=13. 对于不等式,0)()(>'x f x f ，构造函数)(ln )(x f x g = 14. 对于不等式,0)(ln )(>+'xx f x x f ，构造函数)(ln )(x f x x g ⋅=二、课堂练习 1. 加减构造法例1.已知函数21()2f x x alnx =+，若对任意两个不相等的正数1x ，2x ，都有1212()()4f x f x x x −>−恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．[4，)+∞B ．(4,)+∞C ．(−∞，4]D ．(,4)−∞变式1.已知函数()2x f x e ax =+−，其中a R ∈，若对于任意的1x ，2[1x ∈，)+∞，且12x x <，都有211212()()()x f x x f x a x x −<−成立，则a 的取值范围是( ) A ．[1，)+∞ B ．[2，)+∞C ．(−∞，1]D ．(−∞，2]2．指数乘除法构造例1. 已知()f x 为R 上的可导函数，且x R ∀∈，均有()()f x f x >'，则以下判断正确的是（） A ．2019(2019)(0)f e f > B ．2019(2019)(0)f e f < C ．2019(2019)(0)f e f =D ．(2019)f 与2019(0)e f 大小无法确定变式1.函数()y f x =的导函数为()f x '，满足x R ∀∈，()()f x f x '>且f （1）e =，则不等式()f lnx x >的解集为( )A ．(,)e +∞B ．(1,)+∞C ．(0,)eD ．(0,1)变式2.定义在[0，)+∞上的可导函数，且()()x f x f x '+<，则对任意正实数a ，下列式子恒成立的是( )A ．f （a ）(0)a e f C ．a e f （a ）(0)f <D ．a e f （a ）(0)f > 3.指数升级构造法例1.对定义在R 上的可导函数()f x 恒有(4)()()0x f x xf x −+'>，则()(f x ) A ．恒大于等于0 B ．恒小于0C ．恒大于0D ．和0的大小关系不能确定变式1.设()f x '是函数()f x 的导函数，且()2()()f x f x x R '>∈，1()(2f e e =为自然对数的底数），则不等式2()f lnx x <的解集为( )A ．(0,)2eB ．C ．1(e ，)2eD ．(2e4.幂函数乘除法构造例题1．已知函数()y f x =对任意的(0,)x ∈+∞满足()()f x xf x >'（其中()f x '为函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是( )A ．1()22f f >（1）B ．1()22f f <（1）C ．12()(12f f <D ．12()2f f >（1）变式1．已知定义在R 上的偶函数()y f x =的导函数为()f x '，函数()f x 满足：当0x >时，()()1x f x f x '+>，且f （1）2018=．则不等式2017()1||f x x <+的解集是( ) A ．(1,1)−B ．(,1)−∞C ．(1−，0)(0⋃，1)D ．(−∞，1)(1−⋃，)+∞5．对数乘除法构造例1.已知定义在[e ，)+∞上的函数()f x 满足()()0f x xf x lnx '+<且f （4）0=，其中()f x '是函数()f x 的导函数，e 是自然对数的底数，则不等式()0f x >的解集为( ) A ．[e ，4)B ．(4,)+∞C ．(,4)eD ．[e ，1)e +变式1.已知定义在[e ，)+∞上的函数()f x 满足()()0f x xf x lnx '+<且f （4）0=，其中()f x '是函数()f x 的导函数，e 是自然对数的底数，则不等式()0f x >的解集为( )A ．[e ，4)B ．(4,)+∞C ．(,4)eD ．[e ，1)e +6.对数升级构造法例1．已知函数()f x 的导函数为()f x '，e 为自然对数的底数，若函数()f x 满足()()lnxxf x f x x '+=，且f （e ）1e=，则不等式(1)(1)f x f e x e +−+>−的解集是( ) A ．(0,)e B ．(0,1)e + C ．(1,)e − D ．(1,1)e −+变式1．设()f x 是R 上的连续可导函数，当0x ≠时，()()0f x f x x '+>，则函数1()()g x f x x=+的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．37.三角函数乘除构造法例1.定义在(0,)2π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有()()tan 0f x f x x +'<成立，则下列结论一定正确的是( )A(1)()4f f π>B．()()63f ππ>C()()46f ππ>D()()34ππ>变式1.定义在(0,)2π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有()()tan f x f x x '<−成立，则( )A()()36f ππ>B()()36f ππ<Cf （1）cos1()4f π> D()()64ππ<例2定义在(0,)2π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有()()tan f x f x x <'成立，则（）A()()43ππ>B ．f （1）2()sin16f π>C ()()64f ππ>D ()()63f ππ>变式1.定义在(0,)2π上的函数()f x ，已知()f x '是它的导函数，且恒有cos ()sin ()0x f x x f x '+<成立，则有( )A ．()()64f ππ>B ()()63f ππ>C ．()()63f ππ>D ．()()64f ππ>二、课后练习1．已知()f x '为函数()f x 的导函数，当0x >时，有()()0f x xf x '−>恒成立，则下列不等式成立的是( ) A ．1()2(1)2f f >B ．1()2(1)2f f <C ．12()(1)2f f <D ．12()(1)2f f >2．已知()f x '是函数()(f x x R ∈且0)x ≠的导函数，当0x >时，()()0xf x f x '−<，记0.2220.222(log 5)(2)(0.2),,20.2log 5f f f a b c ===，则( ) A ．a b c <时，()()0f x x f x +'>（其中()f x '是()f x 的导函数）恒成立．若2211()()a ln f ln e e =，2(2)b f =，5(5)c lg f lg =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．a c b >>4．已知函数()f x 的定义域为R ，()f x '为函数()f x 的导函数，当[0x ∈，)+∞时，2sin cos ()0x x f x −'>且x R ∀∈，()()cos21f x f x x −++=．则下列说法一定正确的是（） A ．1532()()4643f f ππ−−>−− B ．1534()()4643f f ππ−−>−− C ．313()()4324f f ππ−>− D ．133()()2443f f ππ−−>− 5．已知偶函数()f x 是定义在{|0}x R x ∈≠上的可导函数，其导函数为()f x '．当0x <时，()()f x f x x '<恒成立．设1m >，记4(1)1mf m a m +=+，b =，4(1)()1mc m f m =++，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c <>C ．b a c <<D ．b a c >>6．已知定义在R 上的奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x <时，()f x 满足2()()f x xf x x +'<，则()f x 在R 上的零点个数为( ) A ．1B ．3C ．5D ．1或37．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，1()()lnx f x f x x'<−，则使得2(1)()0x f x −>成立的x 的取值范围是( )A ．(1−，0)(0⋃，1)B ．(−∞，1)(1−⋃，)+∞C ．(1−，0)(1⋃，)+∞D ．(−∞，1)(0−⋃，1)8．已知偶函数()f x 是定义在{|0}x R x ∈≠上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x <时，()()f x f x x '>恒成立，设1m >，记4(1)1m f m a m +=+，2(2)b m f m =，4(1)()1mc m f m =++，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c <>C ．b a c <<D ．b a c >> 9．已知()y f x =为R 上的可导函数，当0x ≠时，()()0f x f x x'+>，则关于的函数2()()g x f x x=+的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或 210．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，()()0f x xlnx f x '+<，则使得2(1)()0x f x −<成立的x 的取值范围是( )A ．(−∞，1)(1−⋃，)+∞B ．(−∞，1)(0−⋃，1)C ．(1−，0)(0⋃，1)D ．(1−，0)(1⋃，)+∞11．已知()f x 的导函数为()f x '，当0x >时，2()()f x xf x >'，且f （1）1=，若存在x R +∈，使2()f x x =，则x 的值为．12．设函数()f x '是函数()()f x x R ∈的导函数，(0)1f =，且3()()3f x f x '=−，则6()()f x f x '>的解集为( ) A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,)e +∞D ．(,)3e+∞13．知函数()f x 的定义域为R ，(2)2021f −=，对任意(,)x ∈−∞+∞，都有()2f x x '>成立，则不等式2()2017f x x >+的解集为( ) A ．(2,)−+∞B ．(2,2)−C ．(,2)−∞−D ．(,)−∞+∞14．已知定义在R 上的函数()y f x =可导函数，满足当0x ≠时，()()0f x f x x'+>，则关于x 的函数2()()g x f x x=−的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定15．定义在R 上的函数()f x ，()f x '是其导函数，且满足()()2f x f x +'>，f （1）42e=+，则不等式()42x x e f x e >+的解集为( ) A ．(,1)−∞B ．(1,)+∞C ．(,2)−∞D ．(2,)+∞16．已知函数()f x 在(0,)2π上单调递减，()f x '为其导函数，若对任意(0,)2x π∈都有()()tan f x f x x <'，则下列不等式一定成立的是( )A ．()()36f ππ>B ．()()46f f ππ>C ．()()326f f ππ>D ．()()46f ππ>16．已知函数()f x 是R 上的可导函数，且()f x 的图象是连续不断的，当0x ≠时，有()()0f x f x x '=>，则函数1()()F x xf x x=+的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．317．设函数()f x '是函数()()f x x R ∈的导函数，(0)1f =，且3()()3f x f x ='−，则4()()f x f x >'的解集为( )A ．4(3ln ，)+∞ B ．2(3ln ，)+∞ C ．(2，)+∞ D ．(3，)+∞ 18．设函数()f x '是函数()()f x x R ∈的导函数，(0)1f =，且3()()3f x f x ='−，则4()()f x f x >'的解集为( )A ．4(3ln ，)+∞ B ．2(3ln ，)+∞ C ．，)+∞ D ．，)+∞ 19．已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()(23)()x f x e x f x '=++，(0)1f =，则不等式()5x f x e <的解集为( )A ．(4,1)−B ．(1,4)−C ．(−∞，4)(1−⋃，)+∞D ．(−∞，1)(4−⋃，)+∞20．设函数()f x '是函数()()f x x R ∈的导函数，e 为自然对数的底数，若函数()f x 满足()()lnx xf x f x x '+=，且1()f e e =，则不等式1()x x f e e e e>−+的解集为( ) A ．(,1)−∞ B ．(0,1) C ．(1,)+∞ D ．(,0)−∞21．定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x >'，且(0)3f =，则不等式()3x f x e <的解集为( ) A ．(,0)−∞B ．(,2)−∞C ．(0,)+∞D ．(2,)+∞22．若对定义在R 上的可导函数()f x ，恒有(4)(2)2(2)0x f x xf x −+'>，（其中(2)f x '表示函数()f x 的导函数()f x '在2x 的值），则()(f x ) A ．恒大于等于0 B ．恒小于0C ．恒大于0D ．和0的大小关系不确定23．已知定义在R 上的连续奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x >时，()()0f x f x x'+>，则使得2(2)(13)(31)0xf x x f x +−−>成立的x 的取值范围是( ) A ．(1,)+∞ B ．1(1,)(1,)5−+∞C ．1(,1)5D ．(,1)−∞24．设函数()f x 满足()2()xe xf x f x x'+=，2(2)4e f =，则0x >时()(f x )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值25．定义在(0,)2π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有cos ()sin ()0x f x x f x '+<成立，则有( )A ()2()64f ππ>B ()()63f ππ>C ．()()63f ππ>D ()()64ππ>26．设()f x '是函数()f x 的导函数，且()2()()f x f x x R '>∈，1()(2f e e =为自然对数的底数），则不等式2()f lnx x <的解集为．27．已知()f x 是定义在R 上的函数，()f x '是()f x 的导函数．给出如下四个结论：①若()()0f x f x x'+>，且(0)f e =，则函数()xf x 有极小值0； ②若()2()0xf x f x '+>，则14(2)(2)n n f f +<，*n N ∈；③若()()0f x f x '−>，则(2017)(2016)f ef >；④若()()0f x f x '+>，且(0)1f =，则不等式()x f x e −<的解集为(0,)+∞．所有正确结论的序号是．28．已知函数()f x 的导函数为()f x '，e 为自然对数的底数，若函数()f x 满足()()lnxxf x f x x'+=，且f （e ）1e =，则不等式(1)(1)f x f e x e +−+>−的解集是．29．已知函数()f x 的导函数为()f x '，e 为自然对数的底数，若函数()f x 满足()()lnxxf x f x x'+=，且f （e ）1e =，则不等式1()f x x e e −>−的解集是．。

必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数,巧解导数难题

必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数，巧解导数难题近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，但在平时的教学和考试中，发现很多学生不会合理构造函数，结果往往求解非常复杂甚至是无果而终．因此笔者认为解决此类问题的关键就是怎样合理构造函数，本文以近几年的高考题和模考题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结，供大家参考．一、作差构造法1．直接作差构造评注：本题采用直接作差法构造函数，通过特殊值缩小参数范围后，再对参数进行分类讨论来求解．2．变形作差构造二、分离参数构造法分离参数是指对已知恒成立的不等式在能够判断出参数系数正负的情况下，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量的不等式，只要研究变量不等式的最值就可以解决问题．三、局部构造法1．化和局部构造2．化积局部构造四、换元构造法换元构造法在处理多变元函数问题中应用较多，就是用新元去代替该函数中的部分（或全部）变元．通过换元可以使变量化多元为少元，即达到减元的目的．换元构造法是求解多变元导数压轴题的常用方法．评注：本题的两种解法通过将待解决的式子进行恰当的变形，将二元字母变出统一的一种结构，然后用辅助元将其代替，从而将两个变元问题转化一个变元问题，再以辅助元为自变量构造函数，利用导数来来求解。

数学高考知识点构造函数

数学高考知识点构造函数近年来，数学在高考中的重要性日益凸显。

高考数学试题涉及了多个知识点，其中构造函数作为重要的概念之一，经常在考试中出现。

掌握构造函数的基本概念及其应用是学生提高数学成绩的关键之一。

本文将从构造函数的定义、常见题型以及解题方法等方面进行讨论，帮助读者理解和掌握这个知识点。

什么是构造函数？简单来说，构造函数是一个能够根据给定条件构造出特定对象的函数。

在数学中，我们经常需要根据某种规律或特定的条件来构造出符合要求的函数。

例如，要求构造一个一次函数，过点(2,3)，斜率为2。

我们可以通过构造函数y=2x-1来实现这个要求。

这个函数就是一个构造函数。

常见的构造函数题型包括：线性函数的构造、反比例函数的构造、复合函数的构造等。

线性函数的构造要求根据给定的条件确定斜率和截距，例如给定一个点和斜率，要求构造出线性函数。

反比例函数的构造则要求根据给定的条件，构造出满足反比例关系的函数。

复合函数的构造则需要将两个或多个简单的函数进行组合，构造出满足特定条件的复合函数。

在解决构造函数的问题时，我们可以通过观察给定条件，找到规律，进而构造出满足要求的函数。

以线性函数的构造为例，假设已知函数过点(2,3)，斜率为2。

我们可以根据一次函数的一般式y=kx+b，将已知条件代入得到3=2×2+b，解方程得b=-1。

进而可以构造出满足要求的函数y=2x-1。

除了观察和找规律外，我们还可以使用数学工具和方法来解答构造函数的问题。

例如，反比例函数的构造常常用到消元法。

假设我们已知反比例函数的特点是x和y的乘积为2，并且给定了一个点(1,2)。

我们可以设反比例函数的一般式为y=k/x，将已知条件代入得2=k/1，解方程得到k=2。

进而可以构造出满足要求的函数y=2/x。

除了以上的基本构造函数题目之外，还存在一些更加复杂和有趣的构造函数问题。

例如，有时我们需要构造出满足特定性质的函数，如多个抛物线的交点等。

高考数学终极解题策略-构造函数

高考数学终极解题策略-构造函数构建函数专题关系式为“加”型（1）若'()()0f x f x +≥ 构造[()]'['()()]xxe f x e f x f x =+ （2）若'()()0xf x f x +≥ 构造[()]''()()xf x xf x f x =+ （3）若'()()0xf x nf x +≥ 构造11[()]''()()['()()]nnn n x f x x f x nx f x x xf x nf x --=+=+（注意对x 的符号进行讨论）关系式为“减”型（1）若'()()0f x f x -≥ 构造2()'()()'()()[]'()x x x x xf x f x e f x e f x f x e e e--== （2）若'()()0xf x f x -≥ 构造2()'()()[]'f x xf x f x x x -=（3）若'()()0xf x nf x -≥ 构造121()'()()'()()[]'()n n n n n f x x f x nx f x xf x nf x x x x-+--== （注意对x 的符号进行讨论）小结：1加减形式积商定 2系数不同幂来补 3符号讨论不能忘典型例题：例1设()()f x g x 、是R 上的可导函数，'()()()'()0f x g x f x g x +<，(3)0g -=，求不等式()()0f x g x <的解集。

变式：设()()f x g x 、分别是定义在R 上的奇函数、偶函数，当0x <时，'()()()'()0f x g x f x g x +>，(3)0g -=，求不等式()()0f x g x <的解集。

构造函数法在高考压轴题中的应用

构造函数法在高考压轴题中的应用【摘要】构造函数法是一种在高考压轴题中应用广泛的重要数学方法。

本文首先介绍了构造函数法的基本概念，然后分析了其在数学、物理、化学和生物题中的具体运用。

在高考备考中，熟练掌握构造函数法可以帮助学生快速解决复杂问题，提高解题效率。

构造函数法不仅在高考中具有重要性，也在实际生活和工作中有着广泛的应用价值。

本文总结了构造函数法在高考备考中的策略，提出了有效的学习方法和技巧。

通过深入了解和熟练运用构造函数法，学生们可以更好地备战高考，取得优异成绩。

【关键词】构造函数法、高考压轴题、基本概念、数学题、物理题、化学题、生物题、重要性、实际应用价值、高考备考、策略、应用。

1. 引言1.1 构造函数法在高考压轴题中的应用构造函数法是一种常用的数学解题方法，在高考压轴题中具有重要的应用价值。

通过构造函数法，我们可以将复杂的问题转化为简单的数学形式，从而更容易解决。

在高考数学试题中，构造函数法常常被用来解决一些较难的问题，特别是那些需要创造性思维和灵活性的题目。

构造函数法的基本思想是通过构造一个满足特定条件的函数来解决问题。

这个函数可以是任意的形式，只要它符合题目给出的条件和要求。

通过构造函数，我们可以将问题简化为一个函数的求解问题，从而更容易找到答案。

在高考数学试题中，构造函数法常常被用来解决几何、代数、概率等各种类型的问题。

通过构造一个适当的函数，我们可以更快地找到问题的解，提高解题效率。

构造函数法在高考压轴题中的应用非常重要。

掌握这一方法可以帮助我们更好地解决复杂的数学问题，提高解题的准确性和效率。

在备考高考时，我们应该加强对构造函数法的理解和应用，提高自己的解题能力。

2. 正文2.1 构造函数法的基本概念构造函数法是一种通过构造合适的函数来解决特定问题的数学方法。

在数学中，构造函数法通常被用来解决求解方程、优化问题、函数性质等各种类型的数学题目。

构造函数的选择往往能简化问题的求解过程，提高解题效率。

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文档来源为：从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.高考数学终极解题策略-构造函数构建函数专题关系式为“加”型（1）'()()0f x f x +≥ 构造[()]'['()()]xxe f x e f x f x =+ （2）'()()0xf x f x +≥ 构造[()]''()()xf x xf x f x =+ （3）'()()0xf x nf x +≥ 构造11[()]''()()['()()]nnn n x f x x f x nx f x x xf x nf x --=+=+（注意对x 的符号进行讨论）关系式为“减”型（1）'()()0f x f x -≥ 构造2()'()()'()()[]'()x x x x xf x f x e f x e f x f x e e e --==（2）'()()0xf x f x -≥ 构造2()'()()[]'f x xf x f x x x -=（3）'()()0xf x nf x -≥ 构造121()'()()'()()[]'()n n n n n f x x f x nx f x xf x nf x x x x-+--== （注意对x 的符号进行讨论）小结：1.加减形式积商定 2.系数不同幂来补 3.符号讨论不能忘典型例题：例1.设()()f x g x 、是R 上的可导函数，'()()()'()0f x g x f x g x +<，(3)0g -=，求不等式()()0f x g x <的解集变式：设()()f x g x 、分别是定义在R 上的奇函数、偶函数，当0x <时，'()()()'()0f x g x f x g x +>，(3)0g -=，求不等式()()0f x g x <的解集. 例2.已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()()x f x a g x =，且'()()()'()f x g x f x g x <，(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-，若有穷数列*()()()f n n N g n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭的前n 项和等于3132，则n 等于 . 变式：已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()()x f x a g x =，且'()()()'()f x g x f x g x <，若若(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-，求关于x 的不等式log 1a x >的解集.例 3.已知定义域为R 的奇函数()f x 的导函数为'()f x ，当0x ≠时，()'()0f x f x x+>，若111(),2(2),ln (ln 2)222a fb fc f ==--=，则关于,,a b c 的大小关系是例4.已知函数()f x 为定义在R 上的可导奇函数，且()'()f x f x <对于任意x R ∈恒成立，且f （3）=e ，则()f x /e^x<1文档来源为：从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.的解集为变式：设()f x 是R 上的可导函数，且'()()f x f x ≥-，(0)1f =，21(2)f e=.求(1)f 的值. 例5.设函数()f x 在R 上的导函数为'()f x ，且22()'()f x xf x x +>，变式：已知()f x 的导函数为'()f x ，当0x >时，2()'()f x xf x >，且(1)1f =，若存在x R +∈，使2()f x x =，求x 的值. 巩固练习:1.定义在R 上的函数()f x ，其导函数()'f x 满足()'1f x >，且()23f =，则关于x 的不等式()1f x x <+的解集为 ▲ ．2.已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为/()f x ，满足/()()f x f x <，且(1)y f x =+为偶函数，(2)1f =，则不等式()x f x e <的解集为 ▲3.设)(x f '和)(x g '分别是()f x 和()g x 的导函数，若()()0f x g x ''≤在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性相反.若函数31()23f x x ax =-与2()2g x x bx =+在开区间(,)a b 上单调性相反（0a >），则b a -的最大值为 ▲4.设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，对任意的R x ∈有2)()(x x f x f =+-，且在()+∞,0 上，.)(x x f >'，若,22)()2(a a f a f -≥--则实数a 的取值范围为 ▲ ；一些常见的导数小题1．已知函数32()f x x bx cx d =+++（b 、c 、d 为常数），当(0,1)x ∈时取极大值，当(1,2)x ∈时取极小值，则221()(3)2b c ++-的取值范围是（）A. 37(,5)2 B. (5,5) C. 37(,25)4D. (5,25) 2．已知)(x f 、)(x g 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，()()()()f x g x f x g x ''<，)()(x g a x f x =，25)1()1()1()1(=--+g f g f ，则关于x 的方程2520((0,1))2abx x b ++=∈有两个不同实根的概率为（） A.51 B.52 C.53 D.54 3．设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则12n x x x ⋅⋅⋅L 的值为A.1n B. 1n n + C. 11n + D. 14．定义在R 上的函数()x f y=，满足()()2f x f x -=，()1x f -'()0x <，若()()313f a f +<，则实数a 的取值范围是（）A ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．22,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 5．已知函数()sin ()f x x x x R =+∈，且22(23)(41)0f y y f x x -++-+≤，则当1y ≥时，1yx + 的取值范围是（）A ． 13[,]44B ．3[0,]4C ．14[,]43D ．4[0,]36．已知函数32()132x mx m n x y +++=+的两个极值点分别为x 1，x 2，且x 1∈(0, 1)，x 2∈(1, +∞)，记分别以m ，n 为横、纵坐标的点P(m,n)表示的平面区域为D ，若函数log (4)(1)a y x a =+>的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,3]B ．(1,3)C ． (3,)+∞D ．[3,)+∞7．已知函数()3111,0,36221,,112x x f x x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪+⎝⎦⎩，函数()()sin 220,6g x a x a a π⎛⎫=-+>⎪⎝⎭若存在[]12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围（）A. 14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知3,ln 3ln ln -==-bd c a ，则22)()(c d b a -+-的最小值为（）A ．5103 B ．518 C ．516 D ．5129．已知21()ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数12,x x ，都有1212()()2f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(0,1]B ．(1,)+∞C ．(0,1)D ．[1,)+∞10．已知定义在R 上的函数)(x f 和)(x g 分别满足222'(1)()2(0)2x f f x e x f x -=⋅+-⋅，0)(2)('<+x g x g ，则下列不等式成立的是（）A.(2)(2015)(2017)f g g ⋅<B.(2)(2015)(2017)f g g ⋅>C.(2015)(2)(2017)g f g <⋅D.(2015)(2)(2017)g f g >⋅11．若函数[]1)2(33)(23++++=x a ax x x f 有极大值又有极小值,则a 的取值范围是______．12．已知函数()()263,x e exf x x xg x ex+=---=，实数,m n 满足0m n <<，若[]1,x m n ∀∈， ()20,x ∃∈+∞，使得()()12f x g x =成立，则n m -的最大值为__________．答案1．D 【解析】试题分析：因为函数32()f x x bx cx d =+++的导数为2'()32f x x bx c =++.又由于当(0,1)x ∈时取极大值，当(1,2)x ∈时取极小值.所以'(1)0'(0)0'(2)0f f f <⎧⎪>⎨⎪>⎩即可得2304120b c c b c ++<⎧⎪>⎨⎪++>⎩，因为221()(3)2b c ++-的范围表示以1(,3)2-圆心的半径的平方的范围.通过图形可得过点A 最大，过点B 最小，通过计算可得221()(3)2b c ++-的取值范围为(5,25).故选D.考点：1.函数的导数问题.2.极值问题.3.线性规划问题.4.数形结合的思想. 2．B 【解析】试题分析：令()()()x f x h x a g x ==，则2()()()()()0[()]f x g x f x g x h x g x ''-'=<，所以()()()x f x h x a g x ==是减函数， 01a <<.又25)1()1()1()1(=--+g f g f ，所以151,22a a a +==.由0∆>得25b <.又(0,1)b ∈，由几何概型概率公式得：25p =.选B. 考点：1、导数的应用；2、指数函数及方程；3、几何概型.3．C 【解析】试题分析：曲线1*()n y xn N +=∈，1)1(,)1(+='+='n f x n y n ，∴曲线y=x n+1（n ∈N *）在（1，1）处的切线方程为)1)(1(1-+=-x n y ，该切线与x 轴的交点的横坐标为1+=n nx n ，因此。