13.4最短路径问题
13.4轴对称之最短路径问题人教版2024—2025学年八年级上册
13.4轴对称之最短路径问题人教版2024—2025学年八年级上册二、例题讲解例1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知线段AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE最小？最小为多少？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式的最小值．变式1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8．（1）请问点C什么位置时AC+CE的值最小？最小值为多少？（2）设BC＝x，则AC+CE可表示为，请直接写出的最小值为．例2.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A．B．C．D．变式1.如图，在⊥ABC中，BA＝BC，BD平分⊥ABC，交AC于点D，点M、N 分别为BD、BC上的动点，若BC＝10，⊥ABC的面积为40，则CM+MN的最小值为．变式2.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF 上一动点，则⊥CDM的周长的最小值为（）A．7B．8C．9D．10变式3.如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．（1）点D的坐标为；（2）若E为边OA上的一个动点，当⊥CDE的周长最小时，求点E的坐标．例3.如图，⊥AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若⊥PMN的周长是6cm，则P1P2的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm变式1.已知点P在⊥MON内．如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P 关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．（1）若⊥MON＝50°，求⊥GOH的度数；（2）如图2，若OP＝6，当⊥P AB的周长最小值为6时，求⊥MON的度数．变式2.如图，⊥MON＝45°，P为⊥MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当⊥P AB的周长取最小值时，⊥APB的度数为（）A．45°B．90°C．100°D．135°变式3.如图，⊥AOB＝30°，P是⊥AOB内的一个定点，OP＝12cm，C，D分别是OA，OB上的动点，连接CP，DP，CD，则⊥CPD周长的最小值为．变式4.如图，在五边形中，⊥BAE＝140°，⊥B＝⊥E＝90°，在边BC，DE上分别找一点M，N，连接AM，AN，MN，则当⊥AMN的周长最小时，求⊥AMN+⊥ANM 的值是（）A．100°B．140°C．120°D．80°例4.如图，在⊥ABC中，AB＝AC，⊥A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，⊥DNM+⊥EMN的大小是（）A．45°B．90°C．75°D．135°变式1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（4，0），C（m+2，2），D（m，2），当四边形ABCD的周长最小时，m的值是（）A．B．C．1D．变式2.如图，在四边形ABCD中，⊥B＝90°，AB⊥CD，BC＝3，DC＝4，点E 在BC上，且BE＝1，F，G为边AB上的两个动点，且FG＝1，则四边形DGFE 的周长的最小值为．例5.如图，⊥AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记⊥MPQ＝α，⊥PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10°B．20°C．40°D．60°变式1.如图，∠AOB＝20°，M，N分别为OA，OB上的点，OM＝ON＝3，P，Q分别为OA，OB上的动点，求MQ+PQ+PN的最小值。
13.4最短路径问题1--两点(两定点)一轴型
13.4最短路径问题1--两点(两定点）一轴型一．【知识要点】 2. 主要类型有“两点一线”，“一点两线”，“两点两线” 模型。
3.方法：①“两点一线，两点在异侧，连接两点，交点为所求”；②“两点一线，两定点在同侧，先作对称，连接另一点，交点为所求”。
二．【经典例题】1．如图，牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B 地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？2.已知点P 、Q 分别是△ABC 边AB 、AC 上的两定点，在BC 边上求作一点M ，使△PQM 周长最短。
画出图形，不写作法。
3.如图所示，△ABC 为等边三角形，D 为AB 的中点，高AH=10cm ，P 为AH 上一动点，则PD+PB 的最小值为___________cm.【问题 1】作法作图 原理在直线 l 上求一点 P ，使PA+PB 值最小。
连 AB ，与 l 交点即为 P ．两点之间线段最短． PA+PB 最小值为 AB ．【问题 2】作法作图 原理在直线 l 上求一点 P ，使PA+PB 值最小．作 B 关于 l 的对称点 B ＇连 A B ＇，与 l 交点即为 P ．两点之间线段最短． PA+PB 最小值为A B ＇．4．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（）A．（0，0）B．（0，1） C．（0，2） D．（0，3）5．（绵阳2021年期末10题）已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝60°，CD＝2AD，AB＝4．（1）在AB边上求作点P，使PC+PD最小；（2）求出（1）中PC+PD的最小值．6．(2022年绵阳期末第11题）如图，在正五边形ABCDE中，点F是CD的中点，点G在线段AF上运动，连接EG，DG，当△DEG的周长最小时，则∠EGD＝（）A．36°B．60°C．72°D．108°三．【题库】【A】1．如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）。
13.4 课题学习-最短路径问题 人教版八年级数学上册作业课件
A.(0,4)
)
B.(0,3) C.(0,2) D.(0,0)
答案
4.A 如图,作点B关于y轴的对称点B',连接AB'交y轴于点C',当点C运动到C'处
时,△ABC的周长最小.过点A作AE⊥x轴于点E,∵点A,B的坐标分别为(1,5)和(4,0),∴点
PA+PB最短.由图可知点P应选在C点.
3.如图,直线m是△ABC中BC边的垂直平分线,点P是直线m上的一动点,若
AB=5,AC=4,BC=6,则△APC周长的最小值是 (
A.9
答案
3.A
B.10
C.11
D.12.5
)
4. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(1,5)和(4,0),点C是y轴上的一个动点,
(2)作点B关于直线l2的对称点B';
(3)连接A'B',分别交直线l1,l2于点C,D,连接AC,BD,此时AC+CD+BD最小.
所以先到点C处设卡检查,再到点D处设卡检查,最后到B处执行任务,按这样的路线所走
的总路程最短.
能力练
1. 如图,在等边三角形ABC中,D为AC的中点,P,Q分别为AB,AD上的点,且
5. 某大学建立分校,校本部与分校隔着两条平行的小河(甲和乙),如图所示,A为校本部大
门,B为分校大门.为了方便人员来往,要在两条小河上各建一座桥,桥面垂直于河岸.为使
A,B两点间来往路段最短,试在图中画出符合条件的路径,并标明桥的位置.
答案
5.解:如图,设在小河甲上建桥CD,小河乙上建桥EF,则A,B两
13.4将军饮马——最短路径问题
A
BP
河
B'
最短路线：A ---P--- B.
将军饮马：
例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B， 途中马要到 河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？
BP B'
A
P'
河
AP + BP < AP' + BP'
将军饮马：
例2变式：已知：P、Q是△ABC的边AB,AC上的点，你能
在BC上确定一点R,使△PQR的周长最短吗？
将军饮马：
例4：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要 从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河 边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的 最短路线。
将军饮马：
A'
P
NQ
B'
A
M
B将军饮马：
例4变式：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两 球分别位于B、A两点的位置上,试问怎样撞击白球，使 白球A依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？
将军饮马：
例3.如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地
OM吃草，再牵马去河边ON喝水， 最后回到驻地A，
问：这位将军怎样走路程最短？
A' M 草地
最短路线：
P
O
. A ---P--- Q---A 驻地A
Q
N 河边
A''
将军饮马：
例3变式：已知P是△ABC的边BC上的点，你能在
AB、AC上分别确定一点Q和R，使△PQR的周 长最短吗？
八年级 上册
13.4 课题学习 最短路径问题
恩施州清江外国语学校 教师：刘玉兰
将军饮马：
人教版八年级数学13.4最短路径问题(包含答案)
13.4最短路径问题知识要点：1．求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置．2．求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置．一、单选题1．A，B，C三个车站在东西方向笔直的一条公路上，现要建一个加油站使其到三个车站的距离和最小，则加油站应建在()A．在A的左侧B．在AB之间C．在BC之间D．B处【答案】D2．A、B是直线l上的两点，P是直线l上的任意一点，要使PA+PB的值最小，那么点P 的位置应在（）A．线段AB上B．线段AB的延长线上C．线段AB的反向延长线上D．直线l上【答案】A3．如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A．B．C．D．【答案】D4．已知：如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，△A＜△B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM 沿直线CM折叠，点A落在点A1处，CA1与AB交于点N，且AN=AC，则△A的度数是（）A．30° B．36° C．50° D．60°【答案】A5．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是△BAC的平分线．若P，Q 分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．2.4B．4 C．4.8D．5【答案】C6．如图所示,△ABC中,AB=AC,△EBD=20°,AD=DE=EB,则△C的度数为()A．70°B．60°C．80°D．65°【答案】A7．如图所示,在Rt△ABC中,△ACB=90°,△B=15°,AB边的垂直平分线交AB于点E,交BC于点D,且BD=13 cm,则AC的长是()A．13 cm B．6.5 cmC．30 cm D．cm【答案】B8．如图所示，从点A到点F的最短路线是()A．A→D→E→F B．A→C→E→FC．A→B→E→F D．无法确定【答案】C9．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是△BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．125B．4 C．245D．510．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（0，3）【答案】D11．如图，直线l是一条河，A、B两地相距10km，A、B两地到l的距离分别为8km、14km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A、B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短．．的是（）二、填空题12在平面直角坐标系中，已知点A（0，2）、B（4，1），点P在轴上，则PA+PB的最小值是______________。
人教版八年级数学上册教学设计：13.4 课题学习 最短路径问题
人教版八年级数学上册教学设计：13.4 课题学习最短路径问题一. 教材分析人教版八年级数学上册第十三章第四节“课题学习最短路径问题”主要是让学生了解最短路径问题的背景和意义，掌握利用图的性质和算法求解最短路径问题的方法。
通过本节课的学习，学生能够将所学的图的知识应用到实际问题中，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了图的基本概念和相关性质，如顶点、边、连通性等。
同时，学生也学习了一定的算法知识，如排序、查找等。
因此，学生在学习本节课时，能够将已有的知识和经验与最短路径问题相结合，通过自主探究和合作交流，理解并掌握最短路径问题的求解方法。
三. 教学目标1.了解最短路径问题的背景和意义，能运用图的性质和算法求解最短路径问题。
2.提高学生将实际问题转化为数学问题的能力，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
3.增强学生合作交流的意识，提高学生的团队协作能力。
四. 教学重难点1.教学重点：最短路径问题的求解方法及其应用。
2.教学难点：理解并掌握最短路径问题的求解算法，能够灵活运用到实际问题中。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
2.算法教学法：以算法为主线，引导学生了解和掌握最短路径问题的求解方法。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和合作交流，共同解决问题，提高团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关实际问题的案例，如城市间的道路网络、网络通信等。
2.准备算法教学的PPT，以便在课堂上进行讲解和演示。
3.准备练习题和拓展题，以便进行课堂练习和课后巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示实际问题案例，如城市间的道路网络，引导学生了解最短路径问题的背景和意义。
提问：如何找到两点之间的最短路径？引发学生的思考和兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解最短路径问题的求解方法，如迪杰斯特拉算法、贝尔曼-福特算法等。
通过PPT演示算法的具体步骤和过程，让学生清晰地了解算法的原理和应用。
13.4 课题学习 最短路径问题
A
点B“移”到l 的另一侧B′处，
l
满足直线l 上的任意一点C，
都保持CB 与CB′的长度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
方法揭晓
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
B
则点C 即为所求．
A
C l
B′
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动
点，则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点 C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小 值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长 即为BF+EF的最小值.
问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如 何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的 和最短？
连接AB,与直线l相交于一点C.
A
根据是“两点之间，线段
C
最短”，可知这个交点即
l
为所求.
B
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如 何解决？
B
想一想：对于问题2，如何将
方法归纳 解决最短路径问题的方法
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对 称等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而 作出最短路径的选择.
课堂小结
原理 线段公理和垂线段最短
最 短 牧马人饮 路 径 马问题 问题
解题方法 轴对称知识+线段公理
造桥选 址问题
13.4课题学习++最短路径问题-讲练课件-2023-2024学年+人教版+八年级数学上册
(1)涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；
(2)涂黑部分成轴对称图形．如图2是一种涂法，请在图4－6中分别设计
出另外三种涂法．(在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一
种涂法，如图2与图3)
解：如图所示．(答案不唯一，合理即可)
数学活动
活动3 等腰三角形中相等的线段
例3 综合探究探索等腰三角形中相等的线段．
3．如图，点A，点B为直线MN外两点，且在MN异侧，点A，B到直
线MN的距离不相等，试求一点P，同时满足下面两个条件：
①点P在MN上；②PA＋PB最小．
解：如图所示，点P即为所求．
4．如图，铁路l的同侧有A，B两个工厂，要在路边建一个货物站C，
使A，B两厂到货物站C的距离之和最小，那么点C应该在l的哪里呢？画出
数学（RJ）版八年级上册
第十三章 轴对称
课题学习
最短路径问题
新课学习
单动点问题—— 两点在直线异侧
例1 如图，在直线l上找一点P，使得PA＋PB的和最小．
解：如图，连接AB，AB与l的交点即为所求点P.
1.如图，高速公路l的两侧有M，N两个城镇，要在高速公路上建一个出
口P，使M，N两城镇到出口P的距离之和最短，请你找出点P的位置．
你找的点C．
解：如图所示，点C即为所求．
5．(2022·珠海市期末)在如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标
为(4，2)，点B的坐标为(1，－3)，在y轴上有一点P使PA＋PB的值最小，
则点P的坐标为(
D
)
A．(2，0)
B．(－2，0)
C．(0，2)
D．(0，－2)
第5题图
6．如图，直线l1与l2交于点O，P为其平面内一定点，OP＝3，M，N
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想一想：对于问题2，如何将点B“移” 到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意 一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？ 利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
方法揭晓
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求． A C l B
Ｎ
B
思维火花
我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？
什么图形变换能帮助我们呢？ 各抒己见 1.把A平移到岸边. 2.把B平移到岸边.
A
Ｍ
Ｎ
B
3.把桥平移到和A相连.
4.把桥平移到和B相连.
1.把A平移到岸边.
A (Ｍ ) A
2.把B平移到岸边.
Ｍ
（Ｎ）B
AM+MN+BN长度改变了
实际问题
l
作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找
到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？ 连接AB,与直线l相交于一点C. 根据是“两点之间，线段最短”， A C l B
可知这个交点即为所求.
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
之为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，
本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题” 及“造桥选址问题”. ① ② A ③ B A B C D l P
牧马人饮马问题
如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到 B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ B B A 抽象成 A C 数学问题 l
M
A
O N
5.如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°， E ， F 分别是 BC ， DC 上的点 ， 当△ AEF 的周长最小时 ， ∠EAF的度数为(
D
)
A．50°
B．60° C．70° D．80°
3.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，
须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都
Ｎ
B AM+MN+BN长度改变了
怎样调整呢？
把A或B分别向下或上平移一个桥长
那么怎样确定桥的位置呢? A
B
问题解决
如图，平移A到A1，使AA1等于河 宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，
A A1 M N
Ｍ１
Ｎ１
B
此时路径AM+MN+BN最短.
理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１. AM+MN+NB转化为AA１＋A１B，而AM１＋M１N１＋BN１转化为 AA１＋A１N１＋BN１. 在△A１N１B中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B. 因此AM１＋M１N１＋BN１＞ AM+MN+BN.
C
l
B′
造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。 桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸 是平行的直线，桥要与河垂直）？ A A
M
N B
B
思维分析 1.如图假定任选位置造桥MN，
A Ｍ
连接AM和BN，从A到B的路
径是AM+MN+BN，那么怎样 确定什么情况下最短呢？ 2.利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？
PC最短，因为垂线段最短
A B C D l
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？
三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边.
4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？ A l A′
最短路径问题
“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与 直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称
是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？ A C D
C′
D′
E B
E′
解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽，连 接GF,与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥.
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，则四边形AFD′D
为平行四边形，于是AD=FD′, 同理，BE=GE′， 由两点之间线段最短可知，GF最小. E B C C′ E′ D D′ A F
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500
米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离
是 1000 米. C D 河
A
B
4.如图，已知点A是锐角∠MON内的一点，试分别在OM，ON
上确定点B，C，使△ABC的周长最小，写出你作图的主要步骤， 并标明你所确定的点．(要求画出草图，保留作图痕迹) 解：如图所示，分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″， 连接A′A″，分别交OM，ON于点B，C，则点B，C即为所求
一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中 实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ） Q Q P P M l P M C M D l
A
Q
B Q
M
l
P
l
2. 图 ， 在四边形 ABCD 中 ， ∠ A ＝ 90° ， AD ＝ 4 ， 连 接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C，若P是BC边上一动 点，则DP长的最小值为____ 4 ．
由平移性质可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,所以A，B两地的距离： AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则AB两地的
距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN, 即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN， A· M N C D
所以桥的位置建在MN处，AB两地的路程最短. 如图，平移B到E，使BE等于河宽，连接AE交河 岸于M作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.
E
B
解决最短路径问题的方法
1.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变 化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的
选择.
2.当涉及含有固定线段“桥”的方法是构造平行四边形， 从而将问题转化为平行四边形的问题解答.
当堂练习
1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建
13.4 学习目标
课题学习
最短路径问题
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点） 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想． （重点）
导入新课
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
②最短，因为两点之间，线段最短
A
① ② ③
B
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有 线段中，哪条最短？为什么？ P
G
课堂小结
原理
线段公理和垂线段最短
最 短 路 径 问 题
牧马人饮 马 问 题
解题方法
轴对称知识+线段公理
造桥选 址问题
关键是将固定线段“桥”平 解题方法 移，构造平行四边形，将问 题转化为平行四形的问题
B′
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接 AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC = AC +B′C = AB′， ∴ AC′+BC′= AC′+B′C′． A 在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， C′ ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短． B