南京市2014届高三数学12月阶段调研卷2013.12

南京市2014届高三年级12月阶段调研卷2013.12
时间：120分钟，试卷满分：160分
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请将答案填写在答题卡指定位置．．．．．．．处。

1、已知复数1
2+=
i i
z （其中i 为虚数单位），则
z 2+ 2、小明手上有五条细绳，其长度分别为1、2、4、5、7，现任取两条， 则这两条细绳的长度之和为偶数的概率是 ． 3、执行右边的程序框图，若15p =，则输出的
n = ． 4、观察下列不等式：
111111111
1,11,122232372315>++>++++>+++> ，
1115
1,,23312
++++> 由此猜想第n 个不等式为 ．
5、某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4,现用分层抽样的方法从该校高中三个 年级学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取 名学生.
6、已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．
①若m ⊂α，m ⊥β，则α⊥β； ②若m ⊂α，α∩β＝n ，α⊥β，则m ⊥n ； ③若m ⊂α，n ⊂β，α∥β，则m ∥n ； ④若m ∥α，m ⊂β，α∩β＝n ，则m ∥n ． 上述命题中为假命题的是 （填序号）．
7、设x ，y 满足约束条件2,
23,0,x y x y x +⎧⎪
+⎨⎪⎩
≤3≥≥则2z x y =-的取值范围是 ．
8、己知集合2220,2(52)50x x M x x Z x k x k ⎧⎫⎧-->⎪⎪=∈⎨⎨⎬+++<⎪⎪⎩⎩⎭
且={－2}，则k 的取值范围为 ．
9、若函数()()
ln 3x f x ae x =--的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 ．
10、在平面直角坐标系xOy 中,已知圆4)1()1(2
2
=-+-y x ，C 为圆心，点P 为圆上任意一点， 则CP OP ⋅的最大值为 ．
11、已知对于任意R k ∈，直线01=--kx y 与椭圆
152
2=+m
y x 恒有公共点，则实数m 的取值 （第3题）
范围是 ． 12、已知0,0x y >>，且
1212x x y
+=+，则x y +取最小值时对应的x 值为 ． 13、设等差数列{}{}n n b a ,的前n 项和分别为n n T S ,，且
3457++=
n n T S n n ，则使得n
n b a
为整数的正整 数n 的所有可能取值的集合为 ．
14、 若关于x 的不等式022
＜a x ax -+的解集中仅有4个整数解，则实数a 的取值范围为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题．．卡指定区域内．．．．．．作答，解答时应写出必要的．．．文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．
. 15、（本小题满分14分）已知函数1cos sin 32
sin cos )(2
2
++-=x x x x x f （1）求函数()f x 的最小正周期和单调区间； （2）若1323)(=αf ，且,42ππα⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求sin 2α的值．
16、（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ‖CD ,2CD AB =.AB ⊥平面
PAD ,E 为PC 的中点.
（1）求证：BE ‖平面PAD ；
（2）若AD PD ⊥，求证：PA ⊥平面ABCD ．
P
B E
A
C
17、（本小题满分14分） 某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示:图1是单层玻璃厚度为8mm ;图2是双层中空玻璃,厚度均为4mm ,中间留有厚度为x 的空气隔层.根据热传导知识,对于厚度为d 的均匀介质,两侧的温度差为T ∆,单位时间内,在单位面积上通过的热量T Q k d ∆=⋅,其中k
为热传导系数.假定单位时间内,在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等.(注:玻璃的热传导系数为3410 J mm/C -⨯⋅ ,空气的热传导系数为42.510 J mm/C -⨯⋅ .)
(1)设室内,室外温度均分别为1T ,2T ,内层玻璃外侧温度为1T ',外层玻璃内侧温度为2T ',且1122T T T T ''>>>.试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量(结
果用1T ,2T 及x 表示);
(2)为使双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%,应如何设计x 的大小?
图1
图2
（第17题）
18、（本小题满分16分） 设数列{}n a 满足:11a =,*11
(14)16
n n a a n N +=+∈. （1）求2a ,3a ；
（2）令n b {}n b 的通项公式； （3）已知1()63n n f n a a +=-，求证：1(1)(2)()2
f f f n ⋅> ．
19、（本小题满分16分）已知椭圆E：
22
22
1(0) x y
a b
a b
+=>>
上任意一点到两焦点距离之和为
3
，左、右焦点分别为
12
,F F，点P是右准线上任意一点，过
2
F作直线
2
PF的
垂线
2
F Q交椭圆于Q点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；
（3）点P的纵坐标为3，过P作动直线l与椭圆交于两个
不同点N
M,，在线段MN上取点H，满足
MP MH
PN HN
=，
试证明点H恒在一定直线上．
（第19题）
20、（本小题满分16分）设函数()x a x f ln =，()2
12
g x x =
． (1)记()()()h x f x g x =-，若4a =，求()x h 的单调递增区间；
(2)记()g x '为()x g 的导函数，若不等式()()()()23f x g x a x g x '+≤+-在[]e x ,1∈上有解，求实数a 的取值范围；
(3)若在[]1,e 上存在一点0x ，使得()()()
00001
()f x f x g x g x ''->+
'成立，求a 的取值范围.
南京市2014届高三年级12月阶段调研卷
数学附加题
注意事项：
1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3. 答题前考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡上。

考试结束后，交回答题卡。

21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡．．．
指定区域内．．．．．作答．解答应写出必要的．．．文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．
． A 、选修4—1：几何证明选讲
如图，AD 是∠BAC 的平分线，⊙O 过点A 且与BC 边相切于点D ，与AB ，AC 分别交于E ，F ，求证：EF ∥BC ．
B 、选修4—2：矩阵与变换
已知a ，b ∈R ，若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－1 a b 3 所对应的变换把直线l ：2x －y ＝3变换为自身，求a ，b
的值．
C 、选修4—4：坐标系与参数方程
将参数方程⎩⎨⎧x ＝2(t ＋1
t )，
y ＝4(t －1
t )
(t 为参数)化为普通方程．
D 、选修4—5：不等式选讲
已知a ，b 是正数，求证(a ＋1b )(2b ＋12a )≥9
2．
A B
D
E
F
O
·
（第21－A 题）
2013.12
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．
作答．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．
． 22、袋中装着标有数字1，2，3，4的卡片各1张，甲从袋中任取2张卡片(每张卡片被取出的可
能性都相等)，并记下卡面数字和为X ，然后把卡片放回，叫做一次操作． （1）求在一次操作中随机变量X 的概率分布和数学期望E (X )； （2）甲进行四次操作，求至少有两次X 不大于E (X )的概率．
23、已知n n x x f )1()(+
=，n N *∈.
(1) 若)(3)(2)()(654x f x f x f x g ++=，求)(x g 中含2
x 项的系数；
(2) 若n p 是)(x f n 展开式中所有无理项的系数和，数列}{n a 是各项都大于1的数组成的数 列，试用数学归纳法证明：12(1)n n a a a p +⋅ ()()()12111n a a a ≥+++ .。