三角函数解题中的六大戒律
高中数学三角函数做题技巧
高中数学三角函数做题技巧高中数学是大多数学生需要面对的一门学科。
其中，三角函数是高中数学相对难度较大的一个重点难点内容，也是考试中经常会出现的重要题型。
因此，掌握做题技巧是非常重要的。
一、掌握公式三角函数公式是我们应当掌握的基础内容。
首先，我们需要掌握基础的三角函数公式，包括：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、基本性质等；其次，我们需要掌握三角函数的诸多公式，包括：倍角公式、半角公式、和差公式、积化和差公式、万能公式等。
具体来讲，倍角公式主要用于解决诸如sin2x，cos2x，tan2x这样的题目；半角公式则是解决诸如sinx/2，cosx/2，tanx/2这样的题目；和差公式则是解决两个三角函数之和或差的问题；积化和差公式则是解决三角函数积的问题；万能公式则是将任意三角函数化成任意一个三角函数。
通过掌握这些公式，我们能够更好地解决各种不同类型的三角函数题目。
二、加强思维训练在解决三角函数题目时，思维训练也同样重要。
首先，我们需要学会分类思维，将习题按照各种分类方式进行划分，有助于找到类似的题型的解题方法；其次，我们需要注重思想方法的训练和锻炼。
在解题的过程中，应不断思考，注重方法，掌握走一步看三步的技能，善于思考一步之后的步骤，并同时注重套路训练，提高解题的速度和准确性。
此外，在解题的过程中，我们还需要有意识地加强应用题的解题思维，锻炼自己的应用能力。
三、注重细节分析在解决三角函数题目时，我们还需要关注细节分析，比如说数值区间。
在解题的过程中，有时候可能会遇到三角函数在某一数值区间内计算值的正负性或大小关系问题，这时就需要特别注意数值区间的问题，尤其是在涉及到三角函数的绝对值、极值、矩形面积等问题时。
此外，还需要注意机巧妙用，让解题过程变得更为简单。
四、注重实践训练除了学习相关的知识和技巧，实践训练也是掌握三角函数技巧的关键。
在平时的学习中，我们需要多做练习题，充分掌握三角函数的用法和相关计算方法，逐渐深化对知识和技巧的理解和应用。
高一数学三角函数答题技巧总结归纳
高一数学三角函数答题技巧总结归纳
掌握了数学三角函数答题技巧对大家解答三角函数题是有很大帮助的，预祝大家在阅读本文之后可以取得优异的成绩。
现在考试必定会考的就是恒等转换，恒等转换用的就是两角和两角差公式，再上去一步就是二倍角，一般先考虑余弦二倍角，没有的就构造，例如2cos²x就要联想到2cos²x-1 但这样跟原来不等了啊，所以就再+1 联立2cos²x-1+1=cos2x+1啦。
记住，题是活的，但是类型是死的，人是活的脑袋更活。
再来就是考函数性质了，求最值单调性之类的，但是这里你要明确一个整体代换，Asin(wx+t)括号内要看成是整体，因为是整体才能跟课本的sinX挂上钩。
三角函数一般考这些，解三角形就是用到正弦余弦定理，这两个定理你结合用，这个不行用那个，绝对解得出来的，三角函数这一块本来就是送分的，但是要看你够不够细心和灵活运用公式，适当多做一些题可以提高一下感悟。
数学三角函数答题技巧的全部内容就是这些，大家一定要结合自己的情况及时学习，在课后也要多多做练习。
第 1 页共1 页。
高考数学中的三角函数解析技巧
高考数学中的三角函数解析技巧高考是每个考生都不能避开的拐角，在准备这场考试的时候，数学的学习显然是一个不能被忽视的方面。
而数学的范围实在太广，许多学生都会对其感到十分不适应。
其中，三角函数解析技巧是一个值得我们详细探究的方面，因为它是高考数学中比较难的部分之一。
首先，什么是三角函数解析技巧？在三角函数中，我们可以用一些基本的函数来描述它们的特征，如正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
解析技巧指的是利用这些函数的特点来解析数字，尤其是需要解决三角方程的时候。
解析技巧的学习有其困难之处，主要是因为它有太多的公式需要记忆。
因此，在学习解析技巧时，我们应该注重记忆公式的方法。
具体来说，我们可以通过将公式分离，理解它的模型和部分，来帮助我们更好地学习和记忆。
另外，我们还可以通过解决练习题来掌握解析技巧，因为只有当我们不断训练并实践时，才能更好地掌握这些技巧，从而在高考中更好地解决一些难题。
在练习时，注意题目中给出的条件，我们可以使用相应的公式进行计算，解决三角方程时，可以将不同的计算方法、公式进行比较，从而找到最合适解决问题的方案。
此外，我们还需要理解一些三角函数的基础知识和相关概念，如正弦、余弦、正切的定义和特点，常见角度的余弦、正弦、正切等值及方向等。
尽可能多地学习和熟悉这些基础知识，有助于我们掌握更多的解析技巧，更好地解决更复杂的问题。
在应对三角函数的解析技巧时，我们还需要注意一些小窍门。
首先，我们需要注意数值范围，不要出现反向的符号。
此外，我们还要注意数学表达式的精度问题，小数点的位数越高，数据之间的差距就会越大。
因此，我们在计算过程中要具备较高的数值化、合理化处理能力。
总之，在高考数学中，三角函数解析技巧是一个许多同学都需要注意的方面，同时它也是一个十分有趣和细致的部分。
当我们积极学习和实践时，我们将能够更好地运用解析技巧来解决各种难题，从而,最终取得优异的分数。
2023年高考数学解题技巧及规范答题：三角函数大题
202 年高考数学解题技巧及规范答题三角函数大题【规律方法】1、正弦定理、余弦定理：正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分基本量的情况下求解其余基本量，基本思想是方程思想.正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.正弦定理、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，其解题方法主要有： （1）化边为角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，如：，等，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时要注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如：，或等．（2）化角为边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，如，等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．注意：（1）注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能．（2）在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．2、三角恒等变换综合应用的解题思路(1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式；(2)构造；(3)和角公式逆用，得(其中φ为辅助角)；(4)利用研究三角函数的性质；2sin a R A =2222cos a b c ab C +-=sin sin A B A B =⇔=sin 2sin 2A B A B =⇔=2A B π+=sin 2a A R =222cos 2b c a A bc+-=())f x x x =+())f x x ϕ=+())f x x ϕ=+3(5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．【核心素养】以三角形为载体，以正弦定理、余弦定理为工具，以三角恒等变换为手段考查解三角形问题是高考一类热点题型，考查的核心素养主要有“逻辑推理”、“数学运算”、“数据分析”．【典例】【2020年全国II 卷】中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C.（1）求A ；（2）若BC =3，求周长的最大值.【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；（2）利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得：，，，. （2）由余弦定理得：，即.ABC ABC cos A A ()29AC AB AC AB +-⋅=AC AB +222BC AC AB AC AB --=⋅2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅()0,A π∈ 23A π∴=222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=()29AC AB AC AB +-⋅=第二步，用定理、公式、性质：利用正弦定理、余弦定理、二倍角公式、辅助角公式等进行三角形中边角（当且仅当时取等号），，解得：（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为【解题方法与步骤】1、解三角形问题的技巧：（1）解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． ①应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍；②求角时易忽略角的范围而导致错误，因此需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图进行判断．(2)三角形解个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角规则进行判断．2、三角恒等变换要遵循的“三看”原则:一看“角”：通过看角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式; 二看“函数名称”：看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”;三看“结构特征”：分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”等.3、解三角形与三角函数综合问题一般步骤：第一步，转化：正确分析题意，提炼相关等式，利用等式的边角关系合理将问题转化为三角函数的问题； 22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭AC AB =()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭AC AB +≤AC AB =ABC ∴ 3L AC AB BC =++≤+ABC ∴ 3+的的关系的互化；第三步，得结论：利用三角函数诱导公式、三角形内角和定理等知识求函数解析式、角、三角函数值，或讨论三角函数的基本性质等.【好题演练】1.（2021·河南中原高三模拟）在中，，，所对的角分别为，，，已知. （1）求；（2）若，为的中点；且，求的面积.【分析】（1）根据题意，由正弦定理得出，再由两角和的正弦公式化简得，由于，从而可求得，最后根据同角三角函数的平方关系，即可求出；（2）法1：在中由余弦定理得出，再分别在和中，由余弦定理得出和，再由，整理ABC a b c A B C 3cos 3a b A c +=sin B 3a =D AC BD =ABC sin 3sin cos3sin A B A C +=sin 3sin cos A A B =sin 0A >1cos 3B =sin B ABC 221936c b c+-=ABD △BCD △2cos ADB ∠=2cos CDB ∠=cos ADB cos DB 0∠+∠=C化简的出边，最后根据三角形的面积公式，即可求出结果. 法2：由平面向量的加法运算法则得出，两边平方并利用平面向量的数量积运算化简得，从而可求出边，最后根据三角形的面积公式，即可求出结果.【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为， 所以，因为，所以，所以，因为，所以（2）法1：在中，由余弦定理得，即， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得因为，c 1sin2ABC S ac B =△12BD BA BC →→→⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()213294c c =++c 1sin 2ABC S ac B =△3cos 3a b A c +=sin 3sin cos 3sin A B A C +=()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+sin 3sin cos A A B =()0,A π∈sin 0A >1cos 3B =()0,B π∈sin B ===ABC 222cos 2a c b B ac +-=221936c b c+-=ABD △2cos ADB ∠=BCD △2cos CDB ∠=πADB CDB ∠+∠=220=即，所以， 整理得，解得：或（舍去）， 所以. 法2：因为为的中点，所以，两边平方得，即，即，解得或（舍）， 所以. 2.记中内角，，的对边分别为，，.已知. （1）求；（2）点，位于直线异侧，，.求的最大值.【分析】（1，利用正弦定理化边为角结合利用两角和的正弦公式展开整理可求得的值，即可得角； （2）结合（1化角为边可得，即，在中由余弦定理求，利用三角恒等式变换以及三角函数的性质可得最大值.2262b c =+()222296219366c c c b c c+-++-==2230c +c -=1c =3c =-11sin 3122ABC S ac B ==⨯⨯=△D AC 12BD BA BC →→→⎛⎫=+ ⎪⎝⎭222124B BD B BA C BC A →→→→→⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭()213294c c =++2230c +c -=1c =3c =-11sin 3122ABC S ac B ==⨯⨯=△ABC A B C a b c a =3cos sin B b A =+A A D BC BD BC ⊥1BD =AD cos sin B b A =+sin sin()C A B =+tan A A cos sin sin C A B B A =+cos sin B a B =+sin c B B =ABD △2AD（1）求 A ；【详解】（1，.. 因为，，所以，，，又因为， 可得：，所以； （2）由（1，， 即，由余弦定理得，所以当且仅当时，取得最大值，所以.3.在中，内角的对边分别为，且满足. 3cos sin B b A =+a =cos sin B b A =+cos sin sin C A B B A =+πA B C ++=,,(0,π)A B C ∈sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+cos s cos sin s i in n A B A B A B B A +=+sin sin sin A B B A =sin 0B ≠sin A A =tan A =0πA <<π3A =cos sin sin C AB B A =+cos sin B a B =+cos sin c a B B B =+=+2222cos AD c BD c BD ABD =+-⋅∠()()()2sin 12sin sin B B B B B =+--222sin 3cos 212sin 2B B B B B =+++++42B =+π4B =2AD )241+=+AD 1+ABC 、、A B C ,,a b c 2sin cos b A B ()2sin c b B =-（2）若l 的取值范围.【分析】（1）由正弦定理得，化简得， 利用的范围可得答案；（2）由正弦定理得，利用的范围和三角函数的性质可得答案.【详解】（1）由正弦定理得， 因为，所以， 所以，即，解得，因为，所以.（2）由正弦定理得， 所以，所以，因为，所以， a =()2sin sin cos 2sin sin sin B A B CB B =-1cos2A =A 4sin ,4sin bB cC ==()4sin sin l B C =++B ()2sin sin cos 2sin sin sin BA B C B B=-0B π<<sin 0B ≠2sincos 2sin sin A BC B =-2sin cos 2sin cos 2sin cos sin A B A B B A B =+-1cos 2A =0A π<<3A π=4sin sin sin a b cAB C===4sin ,4sin b B c C ==()24sin sin sin sin 3l B C B B π⎡⎤⎛⎫=+++-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦314sin cos 22B B B B ⎛⎫⎫=+++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭5,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以， 所以.4.（2021·天津高考）在，角所对的边分别为，已知． （I ）求a 的值；（II ）求的值；（III ）求的值．【分析】（I ）由正弦定理可得（II ）由余弦定理即可计算；（III ）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.【详解】（I ）因为，由正弦定理可得，；（II ）由余弦定理可得； （III ），， ，， 所以. 1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦(l ∈ABC ,,A B C ,,a bc sin:sin :sin 2A B C =b =cos C sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭::2a b c =2C sin :sin :sin 2A B C =::2:1:ab c=b =2a c ∴==2223cos 24a b c C ab +-===3cos 4C =sin C ∴==3sin 22sin cos 24C C C ∴===291cos 22cos 121168C C =-=⨯-=sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1182=⨯=5.（2021·南京市中华中学）在中，分别为内角的对边，且满足． （1）求的大小；（2）从①，②，③这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决问题．问题：已知___________，___________，若存在，求的面积，若不存在，请说明理由．注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，再结合辅助角公式化简运算，可求出角的范围.（2）若选择条件①②，由余弦定理可计算的值，面积公式计算面积；若选择条件②③，正弦定理计算边，两角和的正弦计算，可求面积；若选择条件①③，由大边对大角可知三角形不存在. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得因为即因为所以因为即ABC ,,a b c ,,A B C b a =B 2a c =2b =4A π=ABC ABC ABC a c 、a sin C b a =sin sin B A =sin 0A ≠cos 1B B -=1sin()62B π-=0B π<<5666B πππ-<-<66B ππ-==3B π第 11 页 共 11 页（2）若选择条件①②，由余弦定理可得，解得， 故所以若选择条件②③由正弦定理可得，可得所以若选择条件①③这样的三角形不存在，理由如下： 在三角形中，， 所以， 所以，所以又因为所以与矛盾，所以这样的三角形不存在.2222cos b a c ac B=+-222442c c c +-=c =a =11sin sin 223ABC S ac B π=== sin sin a b A B =sin sin b A a B ==11sin 2sin 2234ABC S ab C ππ⎛⎫==⨯+= ⎪⎝⎭ ABC 43A B ππ==，53412C ππππ=--=A C <a c <2a c=a c >a c <。
中考数学复习技巧如何应对复杂的三角函数题目
中考数学复习技巧如何应对复杂的三角函数题目数学是中考必考科目之一，对于很多学生来说，数学中的三角函数是比较复杂的知识点。
在中考数学复习中，如何应对复杂的三角函数题目，成为学生们面临的难题。
本文将介绍几个数学复习技巧，帮助学生们有效应对复杂的三角函数题目。
一、理解三角函数的基本概念在应对复杂的三角函数题目前，首先要对三角函数的基本概念有一个清晰准确的理解。
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，学生们应掌握其定义、性质以及与角度的关系等内容。
只有对这些基本概念有深入理解，才能够在解题过程中正确运用。
二、熟练掌握常见的三角函数公式掌握常见的三角函数公式是解决复杂题目的关键。
例如，学生们应该熟练掌握正弦函数与余弦函数的和差化积公式、倍角公式、半角公式等。
这些公式在解题时起到了简化计算的作用，能够提高解题效率。
三、灵活运用三角函数的性质在应对复杂的三角函数题目时，学生们应能够根据题目要求，灵活运用三角函数的性质。
例如，根据三角函数的周期性，可以将题目中的角度转化为一个周期内的角度，从而简化计算。
此外，学生们还应注意特殊角的性质，如30°、45°、60°等角的三角函数值可直接得到，可以简化计算过程。
四、细心审题，注意问题的隐含条件解决复杂的三角函数题目时，细心审题显得尤为重要。
学生们应仔细阅读题目，理解题目中的条件和要求，并找出与解题相关的信息。
在解题过程中，如果遇到难以处理的问题，可以反复审题，尝试寻找问题的隐含条件，这有助于准确解题。
五、多做题，强化练习在复习阶段，多做题是提高解题能力的有效途径。
学生们可以通过做大量的三角函数题目，熟悉各类题型的解法，掌握解题技巧。
同时，做题时要注重题目的分类，有针对性地进行练习，从而更好地应对各种复杂的题目。
六、掌握解题思路，学会总结归纳复杂的三角函数题目通常都有一定的解题思路，学生们可以通过总结归纳，掌握解题的一般思路。
例如，在解决三角函数方程时，可以将其转化为关于三角函数的方程，并利用三角函数的性质求解。
三角函数问题解题思想总结
三角函数问题解题思想总结三角函数是高中数学中的重要内容之一，它在几何图形的变化和物理问题的求解中有着广泛的应用。
解决三角函数问题要掌握以下几点思想。
第一，几何意义。
三角函数中的正弦、余弦和正切等函数都可以用来描述角度和边长之间的关系。
在解决问题时，要根据题目中给出的条件，通过几何意义来确定所需要求解的函数和关系。
第二，特殊角的性质。
在三角函数中，经常会遇到特殊角度的计算。
对于0度、30度、45度、60度和90度等特殊角度，要熟练掌握它们的函数值和特点，从而能够快速计算出结果。
第三，三角函数的性质。
三角函数具有周期性和对称性的性质。
周期性意味着函数值在一定范围内重复出现，对称性则表示函数关于某一点对称。
利用这些性质，可以简化计算，减少求解的范围。
第四，化简与换元。
对于复杂的三角函数式子，可以通过化简和换元的方法简化计算。
化简过程中可以利用三角恒等式和函数的基本定义等性质来进行推导，从而得到简洁的结果。
换元则是通过引入新的变量或函数，将原问题转化为更简单的形式。
第五，解方程与解不等式。
三角函数问题中常常涉及方程和不等式的求解。
对于方程，可以通过化简、换元和迭代等方法，求得满足方程条件的解；对于不等式，可以通过绘图、判断符号等方法，确定其解的范围。
第六，图像与性质。
三角函数的图像与函数的性质有着密切关系。
通过绘制函数图像，可以观察函数的周期、极值、单调性等特点，从而对问题的求解提供有益的线索。
在解决三角函数问题时，需要结合以上的思想，并灵活运用各种计算、推导和判断方法。
通过不断的练习与实践，提高对三角函数的理解和运用能力，才能在解决问题中更加得心应手。
同时，也需要注意审题，理解题目中的条件和要求，准确地转化为数学语言，从而得到正确的解答。
初三数学公式和规律口诀大全(二)
初三数学公式和规律口诀大全（二）?巧记三角函数定义：初中所学的三角函数有正弦、余弦、正切、余切，它们实践是直角三角形的边的比值，可以把两个字用/隔开，再用下面的.一句话记定义：一位不拙劣的厨子教徒弟杀鱼，说了这么一句话：〝正对鱼磷(余邻)直刀切。
正：正弦或正切，对：对边即正是对;余：余弦或余弦，邻：邻边即余是邻;切是直角边.三角函数的增减性：正增余减特殊三角函数值记忆：首先记住30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2、正切、余切的分母都是3，分子记口诀〝123，321，三九二十七〞既可。
平行四边形的判定：要证平行四边形，两个条件才干行一证对边都相等，或证对边都平行，一组对边也可以，必需相等且平行。
对角线，是个宝，相互平分〝跑不了〞，对角相等也有用，〝两组对角〞才干成。
梯形效果的辅佐线：移动梯形对角线，两腰之和成一线;平行移动一条腰，两腰同在〝△〞现;延伸两腰交一点，〝△〞中有平行线;作出梯形两高线，矩形显示在眼前;腰上一中线，莫忘作出中位线。
添加辅佐线歌：辅佐线，怎样添?找出规律是关键，题中假定有角(平)分线，可向两边作垂线; 线段垂直平分线，引向两端把线连，三角形两边中点，衔接那么成中位线;三角形中有中线，延伸中线翻一番。
圆的证明歌：圆的证明不算难，常把半径直径连;有弦可作弦心距，它定垂直平分弦;直径是圆最大弦，直圆周角立上边，它假定垂直平分弦，垂径、射影响耳边;还有与圆有关角，勿忘相互有关联，圆周、圆心、弦切角，细找关系把线连;同弧圆周角相等，证题用它最多见，圆中假定有弦切角，夹弧找到就好办;圆有内接四边形，对角互补记心间，外角等于内对角，四边形定内接圆;直角相对或共弦，试试加个辅佐圆;假定是证题打转转，四点共圆可解难;要想证明圆切线，垂直半径过外端，直线与圆有共点，证垂直来半径连，直线与圆未给点，需证半径作垂线;四边形有内切圆，对边和等是条件;假设遇到圆与圆，弄清位置很关键，两圆相切作公切，两圆相交连公弦。
高中数学三角函数求解技巧
高中数学三角函数求解技巧在高中数学中，三角函数是一个重要的概念，对于学生来说，掌握三角函数的求解技巧是非常关键的。
本文将通过具体的例题，分析和说明高中数学中常见的三角函数求解技巧，并给出一些解题的指导建议。
一、解三角函数方程解三角函数方程是高中数学中的常见考点，常见的方程类型包括正弦函数、余弦函数和正切函数的方程。
下面我们通过具体的例题来说明解题的技巧。
例题1：解方程sin(x) = 1/2，其中x∈[0, 2π]。
解法：首先，我们需要确定sin(x) = 1/2的解在给定区间内的个数。
根据单位圆上的正弦函数值的特点，我们知道在第一象限和第二象限中，sin(x) = 1/2的解分别是π/6和5π/6。
因此，方程sin(x) = 1/2的解在给定区间内有两个。
接下来，我们需要确定这两个解的具体取值。
根据sin函数的周期性，我们知道在给定区间内，sin函数的解有无数个。
所以，我们需要找到一个特解，然后根据sin函数的周期性确定其他解。
在给定区间内，sin(x) = 1/2的特解是π/6。
根据sin函数的周期性，我们知道在给定区间内，sin(x) = 1/2的其他解是特解加上2π的整数倍。
因此，方程sin(x) =1/2的解在给定区间内是π/6 + 2πn和5π/6 + 2πn，其中n为整数。
例题2：解方程cos(2x) = sin(x)，其中x∈[0, 2π]。
解法：首先，我们可以将cos(2x)和sin(x)用sin和cos的公式进行转化。
根据sin和cos的和差化积公式，我们有cos(2x) = 2cos^2(x) - 1和sin(x) = 2sin(x)cos(x)。
将方程cos(2x) = sin(x)转化为2cos^2(x) - 1 = 2sin(x)cos(x)。
接下来，我们可以将方程转化为一个关于cos(x)的二次方程。
令t = cos(x)，则方程变为2t^2 - 1 = 2t√(1 - t^2)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中版
第 7/ 8 期
辨析释疑
三角函数解题中的六大戒律
广东揭阳市揭阳华侨中学 袁伟忠
下面就学生在三角函数解题中的常见 错误 , 提出六大戒律 : 一戒 : 混淆角的概念 , 题目察看欠周 例 1! 则( 若 、 为第三象限角 , 且 > , ( B) cos < cos ( D) 以上都错误 ) ( A) cos > co s ( C) co s = cos
2 2 2 2 2 2
当 cos = - 1 时, sin2 + sin2 取得最小值 - 1 分析 : 所求的最小值错误 , 错误的原因是 未能注意正弦函数的值域 . 正确解法: 由 sin + 2sin = 2cos , 知 cos 2 + 2cos - 1 = 2sin2 % 0, 解得 2 - 1 & cos & 1, ∀ sin 2 + sin 2 的最大值为 1, 最小值为 2( 2 - 1) . 39
2 2 2 2 2
= 1 ( 1 - co s2 ) + cos 2 = - 1 ( cos - 1) 2 + 1 2 ∀ 当 co s = 1 时 , sin
2
z x + x y % 2x yz ,
2 2 2 2 2
+ sin
2
取得最大值 1;
x 2 y 2 + y 2 z 2 % 2 xy 2 z , ∀ 2( y 2 z 2 + z 2 x 2 + x 2 y 2 ) % 2xy z ( x + y + z ) . # x , y, z ∃ R+ , ∀ x + y + z > 0. 两边同除以 2( x + y + z ) , 得y z + z x + x y % xy z , x+ y+ z ( 当且仅当 x = y = z 时取) = ∗ 号 ) . ∀ 原不等式成立 .
错解 : # t an = sin cos 2sin cos = 2cos2 = sin2 m = 1 + cos2 1+ n 4 + ) = 1 + tan 1 - tan ) n ) n
[ 2k -
∀ t an( (1+
则由 2k 得- k -
& x &- k + 3
m 1 + = (1- m 1+
| m | < 1 且 m ∋ 0 的情形 , 遗漏了界限角 . 当 | m | = 1 时, = k + 2 ( k ∃ Z) , cos = 0
当 m = 0 时, = k ( k ∃ Z) , cos = 1 或 cos = - 1 四戒 : 隐含条件欠掘 , 扩大角的范围 已知锐角 、 , 且 sin - sin = - 1 , 2 1 cos - cos = , 则 t an ( - ) = ( ) 2 例4 ! ( A) ( 7 ( B) 7 3 3 ( C) 7 ( D) - 7 3 4
10sin( !+
即所求值域为[ -ห้องสมุดไป่ตู้
错解: 将 sin - sin = - 1 , cos - cos = 1 , 2 2 两边平方相加得 2 - 2cos( - ) = 1 2 37
分析 : 上述解答虽巧用三角替换解题, 却 默认了 ! ∃ R, 忽视了替换后 !的取值范围,
数学大世界 2005
故函数 y = 2sin( 为[ k -
- 2x ) 的单调增区间
= 1+ m + n 1- m + n 分析 : 由欲求的 t an ( 4 + )
, k + 5 ] ( k ∃ Z) 12 12 38
数学大世界 2005 知 + 4 ∋k + 2 ,即 ∋ k + 4 ( k ∃ Z) ,
高中版
高中版
第 7/ 8 期 分析 : 实质上 , 当 x 增大时 , 作为整体 , t= 0, ∃ 2 2 , 2 7 4 7 , 选 ( A) . 3 0, 2 2 3 - 2 x 是减小的, 因此所求的区间是函
∀ cos( - ) = 3 4 # 、∃ ∀ -
数 y = 2sin (
- 2 x ) 的单调减区间 . 3 正确解法 : 将原有函数变形化为 y = - 2sin( 2 x 3 ) , 所以只要求函数
错解 : 因函数 y = cos x 在第三象限是增 函数 , 又 > ∀ cos > cos , 选( A) 分析 : 混淆角的概念, 审题不细致, 误将 , 3 中的角而出错 , 如取 2 7 4 = 2 + , = , 可验算得 ( A) 错误. 6 3 用排除法 , 可知应选 ( D) . 象限角看成区间 二戒 : 三角替换失当 , 改变角的范围 例 2! 的值域. 错解 : # ( 2- x = 则y = = x + 3) 2 + ( 5cos ! , 5sin ! 4 ) ∃ [10 , 10, 10 ] 10] . 5sin ! 2 - x ) 2 = 5, ∀ 令 x+ 3= 5cos!+ 求函数 y = x + 3+ 2- x
忽视定义域的约束, 改变求值结果 . 正确解法: t an ( sin ( = 4 + ) = tan 2 + 2 2
例 6!
设 x、 y、 z ∃ R+ ,
2
+ 2 ) 2 + 2 )
y 2 z 2 + z 2 x 2 + x 2y 2 则 % xy z x+ y+ z 错解 : # x 、 y、 z ∃ R+ , ∀ y 2z 2 + z 2x 2 + x 2y 2 % 3 = 3xy z
事实上由 x + 3 % 0, ∀ 0 & !& 例 3!
2- x %0
知 sin ! % 0, cos! % 0, , 故 y ∃ [ 5 , 10] 2 三戒 : 分类讨论不全 , 缩小角的范围 已知 sin = m, 求 cos 的值及 相应的 的取值范围. 错解 : 当 是第一、 四象限角时, cos = cos = 分析 : 把 1 - m2 , 1 - m2 . 限制为象 限角时, 只讨论了 当 是第二、 三象限角时 ,
放宽了角的范围,
事实上, 由 sin - sin = - 1 < 0 , 2 得 sin < sin ∀ < 从而 ∃ 2 ,0 而 、 ∃ 0,
& 2k + 3 2 5 11 得k + & x & k + 12 12 则 y = 2sin ( [k + 例 6! 求 t an ( 4 3 - 2 x ) 的单调增区间为
3 3
1 + cos ( =
x 4 y4 z 4
cos2 n = 1 - sin2 1- m ∋ k + ( k ∃ Z) ,
xy z % 0,
3
这里
x+ y+ z %3
2 2 2 2 2
x y z > 0.
2
4 故 始终如一地在题设的允许值变化范 围之中. sin2 例 7! 若 sin + 2sin = 2cos , 求 + sin2 的最大值与最小值 .
第 7/ 8 期
总之 , 同学们在解三角函数题时, 要十分 注意以上的六大戒律 , 解题时要全方位审清 题意 , 细心观察、 缜密思考, 充分挖掘题设中 的隐含条件, 就不会误入歧途 , 产生错解 . ( 上接第 36 页 )
而错解中的 tan 成立的条件是 ∋ k +
(k 2 ∃ Z) , 导致改变了欲求式中 的允许值范围,
2 2
上面两式两边分别相除, 得 y z + z x + x y % xy z . x+ y+ z 辨析 : 不等式有性质 : a > b > 0, c > d > 0, 则 ac > bd . 错解中把这个性质引申推广 成: a > b > 0, c > d > 0 , 则 a b > . c d
则 sin ( - ) = ( 故 t an ( - ) = ( 分析 : 直接由 、 ∃ 得 ∃ 2 ,
y = 2sin( 2x -
3
) 的单调递减区间即可 .
由 y = sint 的单调减区间为 [ 2k + 把) 2 x 由 2k + 2 , , 2k + 3 ] ( k ∃ Z) 2 2 3 2 ∗ 整体看成 t & 2x 3
∀ sin ( - ) = 故 t an ( - ) = -
7 4 7 应选( C) 3 - 2 x ) 的单
5 11 ,k + ] ( k ∃ Z) 12 12 设 sin2 = m, cos2 = n, + )
六戒 : 忽视两域约束 , 改变求值结果
五戒 : 整体代换不当 , 结果导致出错 例 5! 调增区间 . 错解 : 令 t = - 2x , 3 # y = 2sin t 的单调增区间是 2 , 2k + 2 12 & 2 3 ] ( k ∃ Z) - 2x & 2k + 5 12 2 , 求函数 y = 2sin( 3
错解 : 由已知得 sin 则有 sin2 + sin 2 = sin
2
2
= cos - 1 sin 2 2
+ cos -
1 2 sin 2