【试卷】黑龙江省牡丹江一中高二上学期期末考试数学理 Word版含答案

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2018-2019学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含解析

2018-2019学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．设复数满足，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用复数的除法运算求出Z，进而求出Z的模即可．【详解】∵（3﹣i）Z＝1﹣i，∴Z i，故|Z|，故选：B．【点睛】本题考查了复数求模问题，考查复数的运算，是一道基础题．2．下列关于古典概型的说法中正确的是( )①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则.A．②④B．③④C．①④D．①③④【答案】D【解析】利用随机试验的概念及古典概型及其概率计算公式直接求解．【详解】在①中，由随机试验的定义知：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，故①正确；在②中，由随机试验的定义知：每个基本事件出现的可能性相等，故②错误；在③中，由随机试验的定义知：每个基本事件出现的可能性相等，故③正确；在④中，基本事件总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则由古典概型及其概率计算公式知P（A），故④正确．故选：D．【点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意随机试验的概念及古典概型及其概率计算公式的合理运用．3．153和119的最大公约数是（）A．153 B．119 C．34 D．17【答案】D【解析】利用两个数中较大的一个除以较小的数字，得到商是1，余数是34，用119除以34，得到商是3，余数是17，…，直到余数为0，从而得出两个数字的最大公约数是17．【详解】∵153÷119=1…34，119÷34=3…17，34÷17=2，∴153与119的最大公约数是17．故选：D．【点睛】本题主要考查了用辗转相除法求两个数的最大公约数的运用，属于基础题，解答此题的关键是熟练的掌握辗转相除求最大公约数的方法．4．利用秦九韶算法求当时的值为A．121 B．321 C．283 D．239【答案】C【解析】把条件中的函数式改写为f(x)=(((x+0)x+2)x+3)x+1)x+1，然后逐步计算出x=3时对应的函数值即可．【详解】将函数式变形成一次式的形式可得．当x=3时，，，，，，．所以当x=3时，f(x)=283．故选C．【点睛】（1）秦九韶算法的特点在于把求一个n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值，即把求的值转化为求递推公式：这样可以最多计算n次乘法和n次加法即可得多项式的值，和直接代入多项式相比减少了乘法的运算次数，提高了运算效率．（2）运用秦秋韶算法求值时要注意解题的格式，要重视解题的规范性和计算的准确性．5．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽取60名学生的成绩（均为整数），其成绩的频率分布直方图如图所示，由此估计此次考试成绩的中位数，众数和平均数分别是（）A．73.3，75，72 B．73.3，80，73C．70，70 ，76 D．70，75，75【答案】A【解析】由频率分布直方图，求出这组数据的中位数、众数和平均数．【详解】由频率分布直方图知，小于70的有24人，大于80的有18人，则在[70，80]之间18人，所以中位数为7073.3；众数就是分布图里最高的小矩形底边的中点，即[70，80]的中点横坐标，是75；平均数为45×0.05+55×0.15+65×0.20+75×0.30+85×0.25+95×0.05＝72．故选：A．【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求中位数、平均数和众数的应用问题，是基础题．6．某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为l到24,现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，著抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】试题分析：系统抽样的抽取间隔为，设抽到的最小编号为x，则，∴.【考点】系统抽样.7．在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】设阴影部分的面积约为S，由几何概型可得，解之可得．【详解】由题意可得正方形的面积为2×2＝4，设阴影部分的面积约为S，则由几何概型可得，解得S故选：C．【点睛】本题考查几何概型，考查模拟方法估计概率，属基础题．8．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg【答案】D【解析】根据y与x的线性回归方程为y=0.85x﹣85.71，则=0.85＞0，y 与x 具有正的线性相关关系，A正确；回归直线过样本点的中心（），B正确；该大学某女生身高增加1cm，预测其体重约增加0.85kg，C正确；该大学某女生身高为170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D 错误．故选：D．9．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：将张奖票不放回地依次取出共有种不同的取法，若获恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到张中奖票，第四次抽的最后一张奖票，共有种取法，所以概率为，故选C.【考点】古典概型及其概率的计算.。

黑龙江省牡丹江市高二上学期期末数学试卷(理科)

黑龙江省牡丹江市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）随机抽取某中学甲，乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图，则下列关于甲，乙两班这10名同学身高的结论正确的是（）A . 甲班同学身高的方差较大B . 甲班同学身高的平均值较大C . 甲班同学身高的中位数较大D . 甲班同学身高在175以上的人数较多2. （2分） (2015高二下·集宁期中) 若抛物线y2=﹣16x上一点P到x轴的距离为12，则该点到焦点的距离为（）A . 5B . 8C . ﹣5D . 133. （2分）设（x1 ， y1），（x2 ， y2），…，（xn ， yn）是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），则下列结论正确的是（）A . x和y成正相关B . 若直线l方程为 = x+ ，则＞0C . 最小二乘法是使尽量多的样本点落在直线上的方法D . 直线l过点4. （2分）等轴双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点为F（c，0），方程ax2+bx-c=0的实根分别为x1和x2 ，则三边长分别为｜x1｜，｜x2｜，2的三角形中，长度为2的边的对角是（）A . 锐角B . 直角C . 钝角D . 不能确定5. （2分）椭圆的左、右焦点分别为F1、F2 ，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·衡阳模拟) 将一条均匀木棍随机折成两段，则其中一段大于另一段三倍的概率为（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·上海模拟) 对数列{an}，如果∃k∈N*及λ1 ，λ2 ，…，λk∈R，使an+k=λ1an+k ﹣1+λ2an+k﹣2+…+λkan成立，其中n∈N* ，则称{an}为k阶递归数列．给出下列三个结论：①若{an}是等比数列，则{an}为1阶递归数列；②若{an}是等差数列，则{an}为2阶递归数列；③若数列{an}的通项公式为，则{an}为3阶递归数列．其中，正确结论的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 38. （2分）抛物线的焦点为F，点A，B在抛物线上，且，弦AB中点M在准线上的射影为，则的最大值为（）A .B .C .D .9. （2分）(2019·淮南模拟) 已知点是双曲线右支上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，为的内心，若成立，则双曲线的渐近线方程为A .B .C .D .10. （2分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；④AB与CD所成的角为60°．其中错误的结论是（）A . ①B . ②C . ③D . ④11. （2分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB：BB1= ，则AB1与平面BB1C1C所成角的大小为（）A . 45°B . 60°C . 30°D . 75°12. （2分） (2018高三上·云南期末) 已知双曲线C：的左焦点为F ，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H ，点P在双曲线上，且则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分） (2017高一下·桃江期末) 如图是某班50名学生身高的频率分布直方图，那么身高在区间[150，170）内的学生约有________人．14. （1分）△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的________ 条件．15. （1分） (2016高二上·武邑期中) 抛物线y=4x2的准线方程为________16. （1分）执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为________ ．17. （1分）(2016·江苏模拟) 在平面直角坐标系xOy中，与双曲线有相同渐近线，且一条准线方程为的双曲线的标准方程为________．18. （1分） (2019高二上·双流期中) 已知F1 ， F2分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，过原点O且倾斜角为60°的直线l与椭圆C的一个交点为M ，且| + |=| - |，椭圆C的离心率为________．三、解答题 (共4题；共35分)19. （5分） (2016高二下·宜春期末) 已知命题P：方程表示双曲线，命题q：点（2，a）在圆x2+（y﹣1）2=8的内部．若pΛq为假命题，¬q也为假命题，求实数a的取值范围．20. （5分） (2016高二上·莆田期中) 已知命题p：方程 =1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线﹣ =1的离心率e∈（1，2）．若命题p、q有且只有一个为真，求m的取值范围．21. （10分）(2017·白山模拟) 在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥CD，BC⊥平面PAB，且E，M，N分别为PD，CD，AD的中点， =3 ．（1）证明：PB∥平面FMN；（2）若PA=AB，求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．22. （15分）设C1：y2=4mx（m＞0）的准线与x轴交于点F1 ，焦点为F2；椭圆C2以F1 ， F2为焦点，离心率e= ．设P是C1 ， C2的一个交点．（1）当m=1时，求椭圆C2的方程；（2）在（1）的条件下，直线l过C2的右焦点F2，与C1交于A1，A2两点，且|A1A2|等于△PF1F2的周长，求l的方程；（3）求所有正实数m，使得△PF1F2的边长是连续正整数．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共6题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共4题；共35分) 19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。

牡丹江高二上期末数学试卷理科有答案-新课标人教版-名校版

2017-2018学年黑龙江省牡丹江高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）1．（5分）两个整数1908和4187的最大公约数是（）A．53 B．43 C．51 D．672．（5分）要从已编号（1～70）的70枚最新研制的某型导弹中随机抽取7枚进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的7枚导弹的编号可能是（）A．5，10，15，20，25，30，35 B．3，13，23，33，43，53，63C．1，2，3，4，5，6，7 D．1，8，15，22，29，36，433．（5分）下列各组事件中，不是互斥事件的是（）A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B．统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分C．播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒D．检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%4．（5分）=（）A．B．C．D．5．（5分）执行如图的程序框图，那么输出的S值是（）A．54 B．56 C．90 D．1806．（5分）某电子元件电路有一个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某一焊点脱落，电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（）A．5种B．6种C．63种D．64种7．（5分）随机调查某校50个学生在学校的午餐费，结果如表：）A．7.2，0.56 B．7.2，C．7，0.6 D．7，8．（5分）一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为（）A．4种B．12种C．24种D．120种9．（5分）把十进制的23化成二进制数是（）A．00 110（2）B．10 111（2）C．10 1111（2）D．11 101（2）10．（5分）某公司在2012﹣2016年的收入与支出情况如表所示：根据表中数据可得回归直线方程为=0.8x+，依次估计如果2017年该公司收入为7亿元时的支出为（）A．4.5亿元B．4.4亿元C．4.3亿元D．4.2亿元11．（5分）如图中，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P为该题的最终得分．当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（）A．11 B．10 C．8 D．712．（5分）甲、乙两枚骰子先后各抛一次，a，b分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所出现的点数，当点P（a，b）落在直线x+y=m（m为常数）上的概率最大时，则m的值为（）A．6 B．5 C．7 D．8二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．（5分）某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%．”你认为下面两个解释中能代表教练的观点的为．①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标②该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%x＜1”的概率为．14．（5分）在数轴上0和4之间任取一个实数x，则使“log215．（5分）张明与张华两人做游戏，下列游戏中不公平的是．①抛掷一枚均匀的骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则张华获胜②同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则张华获胜③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则张华获胜④张明、张华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同张明获胜，否则张华获胜．16．（5分）用数字1、2、3、4、5构成数字不重复的五位数，要求数字1，3不相邻，数字2、5相邻，则这样的五位数的个数是（用数字作答）．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）如图，正方形ABCD内的图形自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，求此点取自黑色部分的概率．18．（12分）为了选拔参加自行车比赛的选手，对自行车运动员甲、乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度（单位：m/s）的数据如下：（2）估计甲、乙两运动员的最大速度的平均数和方差，并判断谁参加比赛更合适．19．（12分）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后再根据统计数m估计π的值．假如统计结果是m=56，请计算此时π的估计值．20．（12分）某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如所示．（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．21．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧面PAB为等边三角形，侧棱．（1）求证：平面PAB⊥平面ABC；（2）求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．22．（12分）已知抛物线C：y2=4x，点M（m，0）在x轴的正半轴上，过M点的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点．（1）若m=1，且直线l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；（2）是否存在定点M，使得不论直线l：x=ky+m绕点M如何转动，恒为定值？2017-2018学年黑龙江省牡丹江高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）1．（5分）两个整数1908和4187的最大公约数是（）A．53 B．43 C．51 D．67【解答】解：∵4187=1908×2+371，1908=371×5+53，371=53×7+0，∴两个整数1908和4187的最大公约数是53，故选A．2．（5分）要从已编号（1～70）的70枚最新研制的某型导弹中随机抽取7枚进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的7枚导弹的编号可能是（）A．5，10，15，20，25，30，35 B．3，13，23，33，43，53，63C．1，2，3，4，5，6，7 D．1，8，15，22，29，36，43【解答】根据系统抽样的定义则编号间距为70÷7=10，则满足条件是3，13，23，33，43，53，63，故选：B3．（5分）下列各组事件中，不是互斥事件的是（）A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B．统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分C．播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒D．检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%【解答】解：A中，一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6，不可能同时发生，故A中两事件为互斥事件．B中，当平均分等于90分时，两个事件同时发生，故B中两事件不为互斥事件．C中，播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒，不可能同时发生，故C中两事件为互斥事件．D中，检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%，不可能同时发生，故C中两事件为互斥事件．故选B4．（5分）=（）A．B．C．D．【解答】解：===．故选：D．5．（5分）执行如图的程序框图，那么输出的S值是（）A．54 B．56 C．90 D．180【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S=22+32+42+52+62的值，S=22+32+42+52+62=90．故选：C．6．（5分）某电子元件电路有一个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某一焊点脱落，电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（）A．5种B．6种C．63种D．64种【解答】解：根据题意，这个回路中共6个焊点，按其脱落与否，共2×2×2×2×2×2=26=64种情况，如果电路畅通，则每个焊点都不能脱落，有一种情况，现今回路不通，至少有一个焊点脱落，与电路畅通对立，故焊点脱落情况的可能有64﹣1=63种，故选C．7．（5分）随机调查某校50个学生在学校的午餐费，结果如表：）A．7.2，0.56 B．7.2，C．7，0.6 D．7，【解答】解：根据题意，计算这50个学生午餐费的平均值是=×（6×10+7×20+8×20）=7.2，方差是s2=×[10×（6﹣7.2）2+20×（7﹣7.2）2+20×（8﹣7.2）2]=0.56．故选：A．8．（5分）一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为（）A．4种B．12种C．24种D．120种【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、老师站在正中间，有1种情况，4=24种排法，②、将四名学生全排列，安排在两边的4个位置，有A4则5人不同的站法有1×24=24种；故选：C．9．（5分）把十进制的23化成二进制数是（）A．00 110（2）B．10 111（2）C．10 1111（2）D．11 101（2）【解答】解：23÷2=11 (1)11÷2=5 (1)5÷2=2 (1)2÷2=1 01÷2=0 (1)故23（10）=10111（2）．故选：B．10．（5分）某公司在2012﹣2016年的收入与支出情况如表所示：根据表中数据可得回归直线方程为=0.8x+，依次估计如果2017年该公司收入为7亿元时的支出为（）A．4.5亿元B．4.4亿元C．4.3亿元D．4.2亿元【解答】解：根据表中数据，计算=×（2.2+2.6+4.0+5.3+5.9）=4，=×（0.2+1.5+2.0+2.5+3.8）=2，∴=2﹣0.8×4=﹣1.2，∴回归直线方程为=0.8x﹣1.2，计算x=7时=0.8×7﹣1.2=4.4（亿元），即2017年该公司收入为7亿元时的支出为4.4亿元．故选：B．11．（5分）如图中，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P为该题的最终得分．当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（）A．11 B．10 C．8 D．7【解答】解：根据提供的该算法的程序框图，该题的最后得分是三个分数中差距小的两个分数的平均分．根据x1=6，x2=9，不满足|x1﹣x2|≤2，故进入循环体，输入x3，判断x3与x1，x2哪个数差距小，差距小的那两个数的平均数作为该题的最后得分．因此由8.5=，解出x3=8．故选C．12．（5分）甲、乙两枚骰子先后各抛一次，a，b分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所出现的点数，当点P（a，b）落在直线x+y=m（m为常数）上的概率最大时，则m的值为（）A．6 B．5 C．7 D．8【解答】解：甲、乙两枚骰子先后各抛一次，a，b分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所出现的点数，基本事件总数n=6×6=36，当点P（a，b）落在直线x+y=m（m为常数）上，∴m=2的概率为，m=3的概率为，m=4的概率为，m=5的概率为，m=6的概率为，m=7的概率为，m=8的概率为，m=9的概率为，m=10的概率为，m=11的概率为，m=12的概率为．∴当点P（a，b）落在直线x+y=m（m为常数）上的概率最大时，则m的值为7．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．（5分）某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%．”你认为下面两个解释中能代表教练的观点的为②．①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标②该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%【解答】解：某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%．”能代表教练的观点的为该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%．故答案为：②．x＜1”的概率为．14．（5分）在数轴上0和4之间任取一个实数x，则使“log2x＜1，得0＜x＜2，区间长为2，【解答】解：由log2区间[0，4]的长度为4，所以所求的概率为P==．故答案为：．15．（5分）张明与张华两人做游戏，下列游戏中不公平的是②．①抛掷一枚均匀的骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则张华获胜②同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则张华获胜③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则张华获胜④张明、张华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同张明获胜，否则张华获胜．【解答】解：在①中，抛掷一枚均匀的骰子，向上的点数为奇数和向上的点数为偶数的概率均为，故在①中的游戏公平；在②中，同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上的概率p==，两枚都正面向上的概率p′==，故在②中的游戏不公平；在③中，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率均为，故在③中的游戏公平；在④中，张明、张华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同的概率p==，故在④中的游戏公平．故答案为：②．16．（5分）用数字1、2、3、4、5构成数字不重复的五位数，要求数字1，3不相邻，数字2、5相邻，则这样的五位数的个数是24 （用数字作答）．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：2=2种情况，①、将2、5看成一个整体，考虑其顺序，有A22=2种排法，排好后有3个空位，②、将这个整体与4全排列，有A22=6种情况，③、在3个空位中任选2个，安排1、3，有A3则符合条件的五位数有2×2×6=24个；故答案为：24．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）如图，正方形ABCD内的图形自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，求此点取自黑色部分的概率．【解答】解：设正方形的边长为2a（a＞0），则黑色部分的面积为：，结合几何概型的计算公式可得，满足题意的概率值为：．18．（12分）为了选拔参加自行车比赛的选手，对自行车运动员甲、乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度（单位：m/s）的数据如下：（2）估计甲、乙两运动员的最大速度的平均数和方差，并判断谁参加比赛更合适．【解答】解：（1）茎叶图如下：甲的中位数为：=33，乙的中位数为：=33.5．（2）甲的平均数为：==33，乙的平均数为：=（28+29+33+34+36+38）=33，甲的方差为：=，乙的方差为：=甲、乙的平均数相等，乙的方差更小，则乙的发挥更稳定，故乙参加比赛更合适．19．（12分）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后再根据统计数m估计π的值．假如统计结果是m=56，请计算此时π的估计值．【解答】解：由题意，200对都小于1的正实数对（x，y），满足，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＜1，且，区域面积为，由已知，解得．20．（12分）某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如所示．（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．【解答】解：（1）①由题可知，第2组的频数为0.35×100=35人，②第3组的频率为=0.300，频率分布直方图如图所示，（4分）（2）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：第3组：×6=3人，第4组：×6=2人，第5组：×6=1人，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试．（7分）（3）设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从这六位同学中抽取两位同学有15种选法，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），其中第4组的2位同学B1，B2中至少有一位同学入选的有9，分别为：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），∴第4组至少有一名学生被考官A面试的概率为=．（12分）21．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧面PAB为等边三角形，侧棱．（1）求证：平面PAB⊥平面ABC；（2）求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）设AB中点为D，连结PD，CD，∵AP=BP，∴PD⊥AB．又AC=BC，∴CD⊥AB，∴∠PDC就是二面角P﹣AB﹣C的平面角．又由已知∠ACB=90°，AC=BC=2，∴AD=BD=CD=，AB=2．又△PAB为正三角形，且PD⊥AB，∴PD==．∵PC=2，∴PC2=CD2+PD2．∴PD⊥CD．又AB∩CD=D，∴PD⊥平面ABC，∵PD⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC．解：（2）由（1）知DC，DB，DP两两垂直．以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系．D（0，0，0），C（，0，0），A（0，﹣，0），P（0，0，）．∴=（，0），=（）．设平面PAC的法向量为=（x，y，z），则，令x=1，则y=﹣1，z=．平面PAC的一个法向量为=（1，﹣1，）．平面PAB的一个法向量为=（）．∴cos ＜＞==．由图可知，二面角B ﹣AP ﹣C 为锐角． ∴二面角B ﹣AP ﹣C 的余弦值为．22．（12分）已知抛物线C ：y 2=4x ，点M （m ，0）在x 轴的正半轴上，过M 点的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．（1）若m=1，且直线l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程；（2）是否存在定点M ，使得不论直线l ：x=ky+m 绕点M 如何转动，恒为定值？【解答】解：（1）当m=1时，M （1，0），此时，点M 为抛物线C 的焦点，直线l 的方程为y=x ﹣1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立，消去y 得，x 2﹣6x+1=0，∴x 1+x 2=6，y 1+y 2=x 1+x 2﹣2=4， ∴圆心坐标为（3，2）；又|AB|=x 1+x 2+2=8，∴圆的半径为4，∴圆的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2=16．（2）由题意可设直线l 的方程为x=ky+m ，则直线l 的方程与抛物线C ：y 2=4x 联立，消去x得：y2﹣4ky﹣4m=0，则y1y2=﹣4m，y1+y2=4k，+=+=+，====，对任意k∈R恒为定值，于是m=2，此时=．∴存在定点M（2，0），满足题意．。

黑龙江省牡丹江市2022学年高二数学上学期期末考试理

牡一中2022-2022学年上学期期末考试高二学年数学（理科）试题一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。

）1．程序框图中表示计算的是．A ．B ．C ．D ．2．用随机数表法从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的机率是 A1001 B251 C 51 D 41 3 给出以下一个算法的程序框图（如图所示），该程序框图的功能是 ,b,c 三数的最大数 ,b,c 三数的最小数 ,b,c 按从小到大排列 ,b,c 按从大到小排列4．已知向量⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x a ,21,8，()2,1,x b =→，其中0>x 若→→b a //，则x 的值为A ．8B ．4C ．2D ．05 当3=a 时，右面的程序段输出的结果是（）A9 B 3106()()()[]222212333201-++-+-=n x x x s 123,,,...,n a a a a 2σ1232,2,2, (2)a a a a 24 4 C ''''D C B A ABCD -F ''C CDD →-→-→-→-++='AA y AB x AD AF y x - 1C .36C ()1,0,1-=→n αα()1,3,2A ()2,3,4P α1A 2A m A 2A cm cm cm cm 9i <8i <7i <6i <0.18C ()()()1,4,1,4,2,2,2,-5,1--C B A →-AC →-AB()()()2,1,1,1,1,2,3,2,1===→-→-→-OP OB OA →-→-⋅QBQA 100321++++= s [1.381.50)， 1.42[1.301.34)，4[1.341.38)，25装订线第8题IF 10a < THEN 2y a =* ELSE y a a =*PRINTEND IF第11题第3题是否是开始 i ＝2，＝0 ① i ＝i ＋1② 结束输出S第16题第20题AC AB ,a AC AB ,a3a111ABC A B C -11A ACC 2,23,22BC AC AB ===116AA AC ==1A D ⊥ABC 1C ，求证：AM 图，四棱柱1111D C B A ABCD -60⎪⎭⎫ ⎝⎛37,67,67 10117（1）图略；（2）；；（3）；；18、（1）73S =；（2）()1,1,1a →=或()1,1,1a →=---19、解：（1）甲网站的极差为：73-8=65；乙网站的极差为：71-5=66 （2）甲网站点击量在[10，40]间的频率为4/14=2/7= 乙网站点击量的众数是423甲网站的点击量集中在茎叶图的下方，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方，所以甲网站更受欢迎。

黑龙江省牡丹江市第一高级中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试题含答案

高二学年期末考试数学试题一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分,共60分）1.设i 是虚数单位，则复数i i -12在复平面内所对应的点位于（） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限2。

在区间]5,5[-内随机取出一个实数a ,则)1,0(∈a 的概率为（）A 0.1B 0。

2C 0。

3D 0.53. 225与135的最大公约数是( ）A 5B 9C 15D 454. 现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率:先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（）A 0。

852B 0。

8192C 0。

8D 0。

755。

投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上"为事件A,“骰子向上的点数是3"为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是（）A 125B 127C 21D 436. 执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（ )A 5B 6C 7D 87．下列说法中，正确的个数为（）①线性回归方程对应的直线∧∧∧+=a x b y 至少经过其样本数据点),(),(),,(2211n n y x y x y x 中的一个点； ②在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高；③在回归分析中，2R 为98.0的模型比2R 为80.0的模型拟合的效果好; ④线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；⑤残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；⑥随机误差e 是衡量预报精确度的一个量，它满足E （e ）＝0.A 2个B 3个C 4个D 5个8。

黑龙江省牡丹江市第一高级中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含解析

牡一中2018级高二学年上学期期末考试数学（理）试卷一、选择题（每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.复数()()122z i i =++，则z =（） A. 5i - B. 5i C. 15i + D. 15i -【答案】B 【解析】【分析】根据复数的运算法则求解即可.【详解】()()21222425z i i i i i i =++=+++=故选：B【点睛】本题考查复数的运算，属于容易题. 2.把二进制数(2)10110化为十进制数为（） A. 22 B. 44 C. 24 D. 36【答案】A 【解析】【分析】利用二进制数的定义将二进制数(2)10110可化为十进制数.【详解】由二进制数的定义可得421(2)1011012121222=⨯+⨯+⨯=，故选A.【点睛】本题考查二进制数化十进制数，充分利用二进制数的定义进行转化，此外在将十进制数化为()2,k k k N*≥∈进制数，要利用除k 取余法，考查计算能力，属于基础题.3.经调查，在某商场扫码支付的老年人、中年人、青年人的比例为2:3:5，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中中年人人数为9，则n =（） A. 30 B. 40C. 60D. 80【答案】A 【解析】【分析】根据用分层抽样的方法特点，各层比例相等，即可求出答案.【详解】老年人、中年人、青年人的比例为2:3:5，用分层抽样的方法中年人人数为9，所以93,3010n n =∴=. 故选:A【点睛】本题考查分层抽样，解题关键是各层按比例分配，属于基础题.4.某入伍新兵在打靶训练中，连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的互斥事件是（） A. 至多有一次中靶 B. 2次都中靶 C. 2次都不中靶 D. 只有一次中靶【答案】C 【解析】【详解】事件“至少有一次中靶”包含两次都中靶和两次中有一次中靶，连续射击2次有“至少有1次中靶”和“2次都不中靶”，这两个事件不能同时发生，是互斥事件并且是对立事件. 故选C.5. 2.5PM 是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即 2.5PM 日均值在335/g m μ以下空气质量为一级，在335~75/g m μ空气量为二级，超过375/g m μ为超标．如图是某地12月1日至10日的 2.5PM （单位：3/g m μ)的日均值，则下列说法不正确．．．的是（）A. 这10天中有3天空气质量为一级B. 从6日到9日 2.5PM 日均值逐渐降低C. 这10天中 2.5PM 日均值的中位数是55D. 这10天中 2.5PM 日均值最高的是12月6日【答案】C【解析】【分析】认真观察题中所给的折线图，对照选项逐一分析，求得结果.【详解】这10天中第一天，第三天和第四天共3天空气质量为一级，所以A 正确；从图可知从6日到9日 2.5PM 日均值逐渐降低，所以B 正确；从图可知，这10天中 2.5PM 日均值最高的是12月6日，所以D 正确；由图可知，这10天中 2.5PM 日均值的中位数是4145432+=，所以C 不正确；故选C.【点睛】该题考查的是有关利用题中所给的折线图，描述对应变量所满足的特征，在解题的过程中，需要逐一对选项进行分析，正确理解题意是解题的关键. 6.执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】【分析】根据框图模拟程序运算即可.【详解】第一次执行程序，2111S =⨯-=，25S >-，继续循环，第二次执行程序，2k =，2121S =⨯-=-，25S >-，继续循环，第三次执行程序，3k =，2(1)35S =⨯--=-，25S >-，继续循环，第四次执行程序，4k =，2(5)414S =⨯--=-，25S >-，继续循环，第五次执行程序，5k =，2(14)532S =⨯--=-，25S <-，跳出循环，输出5k =，结束.故选C.【点睛】本题主要考查了程序框图，涉及循环结构，解题关键注意何时跳出循环，属于中档题.7.若样本数据1x ，2x ，…，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，…，1021x -的标准差为（） A. 32 B. 16C. 31D. 15【答案】B 【解析】【分析】根据数据1x ，2x ，…，n x 的方差为2S ，则数据1Ax B +，2Ax B +，…，n Ax B +的方差22A S 计算即可.【详解】因为样本数据1x ，2x ，…，10x 的标准差为8 所以数据121x -，221x -，…，1021x -的标准差为2816⨯= 故选：B【点睛】本题考查样本的数字特征，属于较易题.8. 如果下边程序执行后输出的结果是990，那么在程序中UNTIL 后面的“条件”应为A. i>10B. i<8C. i<=9D. i<9【答案】D 【解析】试题分析：根据程序可知，因为输出的结果是990，即s=1×11×10×9，需执行4次，则程序中UNTIL 后面的“条件”应为i ＜9．故选D考点：本题主要考查了直到型循环语句，语句的识别问题是一个逆向性思维，一般认为学习是从算法步骤（自然语言）至程序框图，再到算法语言（程序）．如果将程序摆在我们的面前时，从识别逐个语句，整体把握，概括程序的功能．点评：解决该试题的关键是先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据s=1×11×10×9=990得到程序中UNTIL后面的“条件”．9.对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )A. r2<r4<0<r3<r1B. r4<r2<0<r1<r3C. r4<r2<0<r3<r1D. r2<r4<0<r1<r3【答案】A【解析】【分析】根据正相关和负相关以及相关系数的知识，选出正确选项.【详解】由散点图可知图(1)与图(3)是正相关，故r1>0，r3>0，图(2)与图(4)是负相关，故r2<0，r4<0，且图(1)与图(2)的样本点集中在一条直线附近，因此r2<r4<0<r3<r1.故选:A.【点睛】本小题主要考查散点图，考查相关系数、正相关和负相关的理解，属于基础题. 10.谋士梅长苏与侠女霓凰郡主约好在公元958年的某一天下午5点—6点之间在城门口见面，他们约定：谁先到谁先等20分钟，20分钟内不见另一人的到来则离去.请你计算他们能见面的概率是（）A. 13B.49C.59D.1136【答案】C 【解析】【分析】先分别设梅长苏与霓凰郡主到达城门口的时刻为x，y，根据题意得到5656xy≤≤⎧⎨≤≤⎩，求出其对应区域的面积，再由两人能见面需满足201603-≤=x y ，求出其对应区域的面积，面积比即为所求概率.【详解】分别设梅长苏与霓凰郡主到达城门口的时刻为x ，y ，由题意可得：5656x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，作出其表示的平面区域，显然对应区域面积为211==S ，若两人能见面，则必有201603-≤=x y ，其对应区域如图中阴影部分所示，所以阴影部分面积为2111452112399⎛⎫=-⨯⨯-=-= ⎪⎝⎭S S ，因此，他们能见面的概率是159==S P S .故选：C【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型. 11.在一次体育兴趣小组的聚会中，要安排6人的座位，使他们在如图所示的6个椅子中就坐，且相邻座位(如1与2，2与3)上的人要有共同的体育兴趣爱好．现已知这6人的体育兴趣爱好如下表所示，且小林坐在1号位置上，则4号位置上坐的是小林小方小马小张小李小周体育兴篮球，网球，足球，排球，篮球，棒球，击剑，网棒球，排球，跆拳道，击趣爱好羽毛球跆拳道乒乓球球，足球羽毛球剑，自行车A. 小方B. 小张C. 小周D. 小马【答案】A 【解析】【分析】根据合情推理，即可推断出4号位置上坐的是小方．【详解】根据题意，相邻座位上的人要有共同的体育兴趣爱好，所以当小林坐在1号位置上时，位置就坐情况可以是 1 2 3 4 5 6 小林小马小李小方小周小张小林小张小周小方小李小马故选：A ．【点睛】本题主要考查合情推理应用，意在考查学生的逻辑推理能力，属于基础题． 12.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 中点，点P 在线段11A C 上，若直线OP 与平面11A BC 所成的角为θ，则sin θ的取值范围是（）．A.23,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.33,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】【分析】设正方体棱长为1，()11101A PACλλ=≤≤，建立空间直角坐标系，用参数λ，表示直线OP的方向向量，求出平面11A BC的一个法向量()11,1,1B D=---，利用线面角的正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量的夹角余弦值的绝对值，从而得到12sin cos,1632OP B Dθλ==⎛⎫-+⎪⎝⎭，再根据λ的取值范围，确定sinθ的取值范围. 【详解】如图，设正方体棱长为1，()11101A PACλλ=≤≤．以D为原点，分别以DA，DC，1DD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则11,,022O⎛⎫⎪⎝⎭，()1,,1Pλλ-，所以11,,122OPλλ⎛⎫=--⎪⎝⎭．在正方体1111ABCD A B C D-中，可证1B D⊥平面11A BC，所以()11,1,1B D=---是平面11A BC的一个法向量．所以1sin cos ,OP B D θ===．所以当12λ=时，sin θ取得最大值3，当0λ=或1时，sin θ取得最小值3．所以sin 3θ∈⎣⎦. 故选A ．【点睛】本题考查了利用空间向量求解直线与平面的夹角问题.同时对空间想象能力和运算求解能力也进行了有效地考查，属于较难的一道题. 二、填空题（每小题5分，共20分）13.己知34n n A C =，则n =________.【答案】27 【解析】【分析】根据排列组合的公式化简求解可得结果.详解】由34n n A C =得，(1)(2)(3)(1)(2)4321n n n n n n n =-----⨯⨯⨯，解得，27n =. 所以本题答案为27.【点睛】本题考查排列组合的公式，熟记公式，认真计算，属基础题.14.一个总体容量为60，其中的个体编号为00，01，02，…，59．现需从中抽取一个容量为7的样本，请从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第11～12列的18开始，依次向下，到最后一行后向右，直到取足样本，则抽取样本的号码是_____________． 95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 46 40 62 98 80 54 97 20 56 95 38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 15 74 80 08 32 16 46 70 50 80 82 80 84 25 39 90 84 60 79 80 67 72 16 42 79 71 59 73 05 50 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 08 22 23 71 77 91 01 93 20 49 96 35 23 79 18 05 98 90 07 35 82 96 59 26 94 66 39 67 98 60【答案】18，05，07，35，59，26，39．【解析】【分析】从随机数表的倒数第5行第11～12列开始，依次向下，到最后一行后向右读取两位数，大于等于60的数据应舍去，与前面取到的数据重复的也舍去，直到取足7个样本号码为止．【详解】解：根据题意，60个个体编号为00，01，⋯，59，现从中抽取一容量为7的样本，从随机数表的倒数第5行第11～12列开始，向下读取，到最后一行后向右18，81（舍去），90（舍去），82（舍去），05，98（舍去），90（舍去），07，35，82（舍去），96（舍去），59，26，94（舍去），66（舍去），39共7个；所以抽取样本的号码是18，00，46，40，54，20，56．故答案为：18，05，07，35，59，26，39．【点睛】本题主要考查了抽样方法，随机数表的使用，在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的，属于基础题． 15.540的不同正约数共有______个．【答案】24 【解析】【分析】将540进行质因数分解为23540235=⨯⨯，然后利用约数和定理可得出540的不同正约数个数.【详解】将540进行质因数分解为23540235=⨯⨯，因此，540的不同正约数共有()()()12131124+⨯+⨯+=. 故答案为：24.【点睛】本题考查合数的正约数个数的计算，一般将合数质因数分解，并利用约数和定理进行计算，也可以采用列举法，考查计算能力，属于中等题.16.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦.B .曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，下图是按照一定的分形规律生长成一个数形图，则第13行的实心圆点的个数是________【答案】144 【解析】【分析】观察图像可知每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点,每个空心圆点下一行均为实心圆点.再利用规律找到行与行之间的递推关系即可.【详解】由图像可得每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点,每个空心圆点下一行均为实心圆点.故从第三行开始,每行的实心圆点数均为前两行之和. 即()12,3n n n a a a n --=+≥ .故第1到第13行中实心圆点的个数分别为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144.故答案为：144【点睛】本题主要考查了递推数列的实际运用,需要观察求得行与行之间的实心圆点的递推关系,属于中等题型.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.共70分）17.某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100分成5组，制成如图所示频率分直方图.（1）求图中x 的值及这组数据的众数；（2）已知满意度评分值在[)50,60内的男生数与女生数的比为3:2，若在满意度评分值为[)50,60的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.【答案】（1）0.020x =，众数为75；（2）()310P A = 【解析】【分析】（1）根据小矩形面积和为1，求解x ，根据最高小矩形的组中值为众数，求解即可. （2）先根据频率分布直方图求解在[)50,60内有5人，其中男生3人，女生2人，记为1A ，2A ，3A ，1B ，2B ，古典概型概率公式，求解即可.【详解】（1）由()0.0050.0100.0350.030101x ++++⨯=，解得0.020x =.这组数据的众数为75.（2）满意度评分值在[)50,60内有1000.005105⨯⨯=人. 其中男生3人，女生2人，记为1A ，2A ，3A ，1B ，2B .记满意度评分值为[)50,60的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生为事件A . 总基本事件空间为：()()()()()()()()()(){}12131112232122313212,,,,,,,,,A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B Ω=则总基本事件个数为10个，A 包含的基本事件个数为3个. 根据古典概型概率公式可知()310P A =. 【点睛】本题考查频率分布直方图，古典概型，属于中档题.18.为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系,现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究,且分别记录了每天昼夜温差与每100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下表格:(Ⅰ)从这5天中任选2天,若选取的是4月1日与4月30日的两组数据,请根据这5天中的另3天的数据,求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+(Ⅱ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的两组检验数据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠.(参考公式, 1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑, ˆˆay bx =-),参考数据211977,434nni ii i i x yx ====∑∑【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据所给的数据，先做出x ，y 的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．（Ⅱ）根据估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，就认为得到的线性回归方程是可靠的，根据求得的结果和所给的数据进行比较，得到所求的方程是可靠的．试题解析：(1)由已知中表格得, 4月7日, 4月15日, 4月21日这3天的数据的平均数为,所以,所以y 关于x 的线性回归方程为, (2)依题意得,当时,;当时,,所以(2)中所得的线性回归方程是可靠的.19.如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，点,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点.(1)求证：PA EF ⊥；(2)求二面角D FG E --的余弦值. 【答案】（1）证明略；（2）10-【解析】（1）证法1：∵PD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴CD PD ⊥．又ABCD 为正方形，∴CD AD ⊥．∵PD AD D ⋂=，∴CD ⊥平面PAD ．……………………………………………3分 ∵PA ⊂平面PAD ，∴CD PA ⊥．∵EF CD ，∴PA EF ⊥．…………………………………………………………6分证法2：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,1)F ，(0,1,1)E (0,0,2)P ，(2,0,0)A ，111(,,)x y z =m ，111(,,)x y z =m ．………4分∵()()·2,0,2?0,1,00PA EF =--=，∴PA EF ⊥．………6分（2）解法1：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D ，(0,0,1)F ，(0,0,1)F ，(0,1,1)E ，(0,0,1)DF =，111(,,)x y z =m ，……………8分设平面DFG 的法向量为111(,,)x y z =m ， ∵11110,0,{{20.0.z m DF x y z m FG =⋅=∴+-=⋅=令11y =，得(0,0,1)DF =是平面DFG 的一个法向量．…………………………10分设平面EFG 的法向量为111(,,)x y z =m ，∵11110,0,{{20.0.z m DF x y z m FG =⋅=∴+-=⋅=令11y =，得()1,0,1n =是平面DFG 的一个法向量．……………………………12分 ∵10cos ,55210m n m n m n ⋅====-⋅⋅．设二面角D FG E --的平面角为θ，则D FG E --．所以二面角D FG E--的余弦值为105-．………………………………………14分解法2：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，W则(0,0,0)D ，(0,0,1)F ，(0,0,1)F ，(0,1,1)E ，(0,0,1)DF =，(0,0,1)DF =111(,,)x y z =m ，(1,1,1)EG =-，(1,1,1)EG =-．………………………………8分过D 作FG 的垂线，垂足为M ，∵(0,1,1)E 三点共线，∴()1DM DF DG λλ=+-，∵·0DM FG =，∴()·1?0DF FG DG FG λλ+-=，即()()1150λλ⨯-+-⨯=，解得56λ=． ∴51115,,66636DM DF DG ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．………………………………………………10分再过D 作FG 的垂线，垂足为M ，∵,,F G M 三点共线，∴()1EN EF EG μμ=+-， ∵·0DM FG =，∴，即()1EN EF EG μμ=+-，解得23μ=． ∴21111,,33333EN EF EG ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭．……………………………………………12分 ∴·10cos ,5DM EN DM EN DM EN〈〉==-⋅． ∵DM 与EN 所成角就是二面角D FG E --的平面角，所以二面角D FG E --的余弦值为10-．………………………………………14分20.微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，将男性、女性使用微信的时间分成5组：(]0,2,(]2,4,(]4,6,(]6,8,(]8,10分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）根据女性频率分布直方图，估计女性使用微信的平均时间；（2）若每天玩微信超过4小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，请你根据已知条件完成22⨯的列联表，并判断是否有90%的把握认为“微信控”与“性别”有关？参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：【答案】(1)4.76小时(2) 有90%的把握认为“微信控”与“性别”有关．【解析】分析：（1）根据平均数的计算公式得到结果；（2）根据公式计算得到()2210038203012 2.941 2.70650506832K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，从而做出判断.详解：（1）女性平均使用微信的时间为：0.1610.2430.2850.270.129 4.76⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（小时）（2）20.040.1420.121a +++⨯=（），解得0.08a =由列联表可得()2210038203012 2.941 2.70650506832K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ ，所以有90%的把握认为“微信控”与“性别”有关．点睛：本题考查了平均数的计算，卡方的计算和应用；频率分布直方图中平均数的计算是，将每个长方条的中点乘以长方条的高，再乘以组距，相加即可.21.已知在平面直角坐标系xOy 中，动点P 与两定点(2,0),(2,0)A B -连线的斜率之积为12-，记点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）若过点(1,0)-的直线l 与曲线C 交于,M N 两点，曲线C 上是否存在点E 使得四边形OMEN 为平行四边形？若存在，求直线l 的方程，若不存在，说明理由.【答案】（1）22142x y +=(2)x ≠±；（2）不存在，见解析【解析】【分析】（1）设(,)P x y ，由题意可得12PA PB k k ⋅=-，运用直线的斜率公式，化简即可得到点P 的轨迹曲线C ；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，由题意知l 的斜率一定不为0，设1x my =-，代入椭圆方程整理得关于y 的二次方程，假设存在点E ，使得四边形OMEN 为平行四边形，其充要条件为OE OM ON =+，利用韦达定理可求出点E 的坐标，将点E 的坐标代入椭圆方程即可求出m ，由此可求出点E 的坐标，发现矛盾，故不存在．【详解】解：（1）设(,)P x y ，有12PA PB k k ⋅=-，得1222y y x x ⋅=-+-，整理得22142(2)x y x +=≠±，∴曲线C 的方程为22142x y +=(2)x ≠±；（2）假设存在符合条件的点()00,E x y ，由题意知直线l 的斜率不为零，设直线l 的方程为()()11221,,,,x my M x y N x y =-由22124x my x y =-⎧⎨+=⎩，得：()222230,0m y my +--=∆> 12222my y m ∴+=+则()12122422x x m y y m +=+-=-+由四边形OMEN 为平行四边形，得OE OM ON =+2242,22m E m m -⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭点E 坐标代入C 方程得：4220m m +=，解得20m =∴此时(2,0)E ，但2x ≠±，所以不存在点E 使得四边形OMEN 为平行四边形.【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出1C 的极坐标方程；（2）设曲线222:14x C y +=经伸缩变换1,2x x y y ⎧'='=⎪⎨⎪⎩后得到曲线，曲线(0)3πθρ=>分别与1C 和3C 交于A ，B 两点，求AB ．【答案】（1）4cos ρθ= （2）1AB = 【解析】【分析】（1）根据公式求出消去参数α，得到1C 的普通方程，再把cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入，得到1C 的极坐标方程；（2）根据伸缩变换得到2C 的方程，从而得到1OB =，再得到4cos 23OA π==，从而求出AB 的长.【详解】解：（1）将22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩消去参数α，化为普通方程为22(2)4x y -+=，即221:40C x y x +-=，将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入221:40C x y x +-=，得24cos ρρθ=，所以1C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（2）因为1,2x x y y⎧'='=⎪⎨⎪⎩，所以得到2,x x y y '=='⎧⎨⎩，将2,x x y y '=='⎧⎨⎩代入2C 得221x y ''+=，所以3C 的方程为221x y +=． 3C 的极坐标方程为1ρ=，所以1OB =．又4cos23OA π==，所以1AB OA OB =-=．【点睛】本题考查极坐标方程和参数方程，伸缩变换等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.。

黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二数学上学期期末考试

黑龙江省牡丹江市第一高级中学2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题理一、选择题（每题5分） 1、下列结论不正确的是( )A ．若3,y =则0y '=B ．若,y x=则2x y '=-C ．若,y x =则2y x'=D ．若,y x =则1y '=2、奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是( )A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．不是互斥事件3、从某实验班45名同学中随机抽取5名同学参加“挑战杯”竞赛，用随机数法确定这5名同学，现将随机数表摘录部分如下：16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25从随机数表第一行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第5个同学的编号为( )A.23B.37C.35D.174、函数()f x 的定义域为R ，导函数()f x '的图象如图所示，则函数()f x ( )A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点5、对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品。

用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )A.0.09B.0.20C.0.25D.0.456、已知2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '＝( )A ．0B ．－4C ．－2D ．27、如图是把二进制数(2)11111转化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是( )A. 4?i >B. 4?i ≤C. 5?i >D. 5?i ≤8、某同学5次上学途中所花的时间(单位：分钟)分别为,,10,11,9x y ，已知这组数据的平均数10，方差为2，则||x y -的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 79、已知实数a 满足下列两个条件：①关于x 的方程2310ax x ++=有解； ②代数式2log (3)a +有意义。

2017-2018学年黑龙江省牡丹江一中高二(上)期末数学试卷(理科)

2017-2018学年黑龙江省牡丹江一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）1．（5分）两个整数1908和4187的最大公约数是（）A．53 B．43 C．51 D．672．（5分）要从已编号（1～70）的70枚最新研制的某型导弹中随机抽取7枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的7枚导弹的编号可能是（）A．5，10，15，20，25，30，35 B．3，13，23，33，43，53，63C．1，2，3，4，5，6，7 D．1，8，15，22，29，36，433．（5分）下列各组事件中，不是互斥事件的是（）A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B．统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分C．播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒D．检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%4．（5分）=（）A．B．C．D．5．（5分）执行如图的程序框图，那么输出的S值是（）A．54 B．56 C．90 D．1806．（5分）某电子元件电路有一个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某一焊点脱落，电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（）A．5种 B．6种 C．63种D．64种7．（5分）随机调查某校50个学生在学校的午餐费，结果如表：这50个学生的午餐费的平均值和方差分别是（）A．7.2，0.56 B．7.2，C．7，0.6 D．7，8．（5分）一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为（）A．4种 B．12种C．24种D．120种9．（5分）把十进制的23化成二进制数是（）A．00 110（2）B．10 111（2）C．10 1111（2）D．11 101（2）10．（5分）某公司在2012﹣2016年的收入与支出情况如表所示：根据表中数据可得回归直线方程为=0.8x+，依次估计如果2017年该公司收入为7亿元时的支出为（）A．4.5亿元 B．4.4亿元 C．4.3亿元 D．4.2亿元11．（5分）如图中，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P为该题的最终得分．当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（）A．11 B．10 C．8 D．712．（5分）甲、乙两枚骰子先后各抛一次，a，b分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所出现的点数，当点P（a，b）落在直线x+y=m（m为常数）上的概率最大时，则m的值为（）A．6 B．5 C．7 D．8二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．（5分）某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%．”你认为下面两个解释中能代表教练的观点的为．①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标②该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%14．（5分）在数轴上0和4之间任取一个实数x，则使“log2x＜1”的概率为．15．（5分）张明与张华两人做游戏，下列游戏中不公平的是．①抛掷一枚均匀的骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则张华获胜②同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则张华获胜③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则张华获胜④张明、张华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同张明获胜，否则张华获胜．16．（5分）用数字1、2、3、4、5构成数字不重复的五位数，要求数字1，3不相邻，数字2、5相邻，则这样的五位数的个数是（用数字作答）．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）如图，正方形ABCD内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，求此点取自黑色部分的概率．18．（12分）为了选拔参加自行车比赛的选手，对自行车运动员甲、乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度（单位：m/s）的数据如下：（1）画出茎叶图，由茎叶图求出甲乙运动员的中位数；（2）估计甲、乙两运动员的最大速度的平均数和方差，并判断谁参加比赛更合适．19．（12分）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后再根据统计数m来估计π的值．假如统计结果是m=56，请计算此时π的估计值．20．（12分）某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如所示．（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．21．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧面PAB为等边三角形，侧棱．（1）求证：平面PAB⊥平面ABC；（2）求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．22．（12分）已知抛物线C：y2=4x，点M（m，0）在x轴的正半轴上，过M点的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点．（1）若m=1，且直线l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；（2）是否存在定点M，使得不论直线l：x=ky+m绕点M如何转动，恒为定值？2017-2018学年黑龙江省牡丹江一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）1．（5分）两个整数1908和4187的最大公约数是（）A．53 B．43 C．51 D．67【分析】先用4187除以1908，求出余数；再用1908除以余数，得到余数；依此类推，直到余数为0，从而可得两个数的最大公约数．【解答】解：∵4187=1908×2+371，1908=371×5+53，371=53×7+0，∴两个整数1908和4187的最大公约数是53，故选：A．【点评】本题考查辗转相除法求解最大公约数，解题的关键是用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大公约数．2．（5分）要从已编号（1～70）的70枚最新研制的某型导弹中随机抽取7枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的7枚导弹的编号可能是（）A．5，10，15，20，25，30，35 B．3，13，23，33，43，53，63C．1，2，3，4，5，6，7 D．1，8，15，22，29，36，43【分析】根据条件求出样本间隔是即可得到结论．【解答】根据系统抽样的定义则编号间距为70÷7=10，则满足条件是3，13，23，33，43，53，63，故选：B．【点评】本题主要考查系统抽样的应用，根据条件求出样本间隔是解决本题的关键．3．（5分）下列各组事件中，不是互斥事件的是（）A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B．统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分C．播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒D．检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%【分析】本题考查的是互斥事件的定义，由互斥事件的定义：如A∩B为不可能事件（A∩B=∅），那么称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．我们对四个答案逐一进行分析，即可得到结论．【解答】解：A中，一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6，不可能同时发生，故A中两事件为互斥事件．B中，当平均分等于90分时，两个事件同时发生，故B中两事件不为互斥事件．C中，播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒，不可能同时发生，故C中两事件为互斥事件．D中，检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%，不可能同时发生，故C 中两事件为互斥事件．故选：B．【点评】概念分析题关键是要熟练掌握概念的核心，如本题中：如A∩B为不可能事件（A∩B=∅），那么称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．不能同时发生就是概念的核心．4．（5分）=（）A．B．C．D．【分析】根据排列数公式计算即可．【解答】解：===．故选：D．【点评】本题考查了排列数公式的应用问题，是基础题．5．（5分）执行如图的程序框图，那么输出的S值是（）A．54 B．56 C．90 D．180【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S=22+32+42+52+62的值，S=22+32+42+52+62=90．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6．（5分）某电子元件电路有一个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某一焊点脱落，电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（）A．5种 B．6种 C．63种D．64种【分析】根据题意，首先分析回路的6个焊点，按其脱落与否的总共情况数目，分析可得电路畅通时有一种情况，进而可得，回路不通时的情况数目．【解答】解：根据题意，这个回路中共6个焊点，按其脱落与否，共2×2×2×2×2×2=26=64种情况，如果电路畅通，则每个焊点都不能脱落，有一种情况，现今回路不通，至少有一个焊点脱落，与电路畅通对立，故焊点脱落情况的可能有64﹣1=63种，故选：C．【点评】本题考查对立事件的意义与运用，一般在其对立事件情况简单便于分析的情况下使用．7．（5分）随机调查某校50个学生在学校的午餐费，结果如表：这50个学生的午餐费的平均值和方差分别是（）A．7.2，0.56 B．7.2，C．7，0.6 D．7，【分析】根据题目中的数据，求出它们的平均数和方差即可．【解答】解：根据题意，计算这50个学生午餐费的平均值是=×（6×10+7×20+8×20）=7.2，方差是s2=×[10×（6﹣7.2）2+20×（7﹣7.2）2+20×（8﹣7.2）2]=0.56．故选：A．【点评】本题考查了计算加权平均数和方差的问题，是基础题．8．（5分）一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为（）A．4种 B．12种C．24种D．120种【分析】根据题意，分2步进行分析：①、由于老师站在正中间，易得其站法数目，②、将四名学生全排列，安排在两边的4个位置，由排列数公式可得学生的站法数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、老师站在正中间，有1种情况，②、将四名学生全排列，安排在两边的4个位置，有A44=24种排法，则5人不同的站法有1×24=24种；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意优先分析受到限制的元素．9．（5分）把十进制的23化成二进制数是（）A．00 110（2）B．10 111（2）C．10 1111（2）D．11 101（2）【分析】利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．【解答】解：23÷2=11 (1)11÷2=5 (1)5÷2=2 (1)2÷2=1 01÷2=0 (1)=10111（2）．故23（10）故选：B．【点评】本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键，属于基础题．10．（5分）某公司在2012﹣2016年的收入与支出情况如表所示：根据表中数据可得回归直线方程为=0.8x+，依次估计如果2017年该公司收入为7亿元时的支出为（）A．4.5亿元 B．4.4亿元 C．4.3亿元 D．4.2亿元【分析】根据表中数据，计算、以及回归系数，写出回归方程，利用回归方程计算x=7时的值即可．【解答】解：根据表中数据，计算=×（2.2+2.6+4.0+5.3+5.9）=4，=×（0.2+1.5+2.0+2.5+3.8）=2，∴=2﹣0.8×4=﹣1.2，∴回归直线方程为=0.8x﹣1.2，计算x=7时=0.8×7﹣1.2=4.4（亿元），即2017年该公司收入为7亿元时的支出为4.4亿元．故选：B．【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．11．（5分）如图中，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P为该题的最终得分．当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（）A．11 B．10 C．8 D．7【分析】利用给出的程序框图，确定该题最后得分的计算方法，关键要读懂该框图给出的循环结构以及循环结构内嵌套的条件结构，弄清三个分数中差距小的两个分数的平均分作为该题的最后得分．【解答】解：根据提供的该算法的程序框图，该题的最后得分是三个分数中差距小的两个分数的平均分．根据x1=6，x2=9，不满足|x1﹣x2|≤2，故进入循环体，输入x3，判断x3与x1，x2哪个数差距小，差距小的那两个数的平均数作为该题的最后得分．因此由8.5=，解出x3=8．故选：C．【点评】本题考查学生对算法基本逻辑结构中的循环结构和条结构的认识，考查学生对赋值语句的理解和认识，考查学生对程序框图表示算法的理解和认识能力，考查学生的算法思想和简单的计算问题．12．（5分）甲、乙两枚骰子先后各抛一次，a，b分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所出现的点数，当点P（a，b）落在直线x+y=m（m为常数）上的概率最大时，则m的值为（）A．6 B．5 C．7 D．8【分析】基本事件总数n=6×6=36，当点P（a，b）落在直线x+y=m（m为常数）上，分别求出m取2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12时的概率，由此能出当点P（a，b）落在直线x+y=m（m为常数）上的概率最大时，则m的值．【解答】解：甲、乙两枚骰子先后各抛一次，a，b分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所出现的点数，基本事件总数n=6×6=36，当点P（a，b）落在直线x+y=m（m为常数）上，∴m=2的概率为，m=3的概率为，m=4的概率为，m=5的概率为，m=6的概率为，m=7的概率为，m=8的概率为，m=9的概率为，m=10的概率为，m=11的概率为，m=12的概率为．∴当点P（a，b）落在直线x+y=m（m为常数）上的概率最大时，则m的值为7．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．（5分）某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%．”你认为下面两个解释中能代表教练的观点的为②．①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标②该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%【分析】利用概率的意义直接求解．【解答】解：某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%．”能代表教练的观点的为该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%．故答案为：②．【点评】本题考查概率的意义，考查概率等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．14．（5分）在数轴上0和4之间任取一个实数x，则使“log2x＜1”的概率为．【分析】以长度为测度，根据几何概型的概率公式计算即可．【解答】解：由log2x＜1，得0＜x＜2，区间长为2，区间[0，4]的长度为4，所以所求的概率为P==．故答案为：．【点评】本题主要考查了几何概型的概率计算问题，也考查了对数的性质与应用问题．15．（5分）张明与张华两人做游戏，下列游戏中不公平的是②．①抛掷一枚均匀的骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则张华获胜②同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则张华获胜③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则张华获胜④张明、张华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同张明获胜，否则张华获胜．【分析】分别求出在游戏中张明与张华两人胜利的概率，由此能求出游戏中不公平的游戏．【解答】解：在①中，抛掷一枚均匀的骰子，向上的点数为奇数和向上的点数为偶数的概率均为，故在①中的游戏公平；在②中，同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上的概率p==，两枚都正面向上的概率p′==，故在②中的游戏不公平；在③中，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率均为，故在③中的游戏公平；在④中，张明、张华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同的概率p==，故在④中的游戏公平．故答案为：②．【点评】本题考查不公平的游戏的判断，考查概率的求法及应用，考查古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、是基础题．16．（5分）用数字1、2、3、4、5构成数字不重复的五位数，要求数字1，3不相邻，数字2、5相邻，则这样的五位数的个数是24（用数字作答）．【分析】根据题意，分3步进行分析：①、将2、5看成一个整体，考虑其顺序，②、将这个整体与4全排列，分析可得排好后有3个空位，③、在3个空位中任选2个，安排1、3，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①、将2、5看成一个整体，考虑其顺序，有A22=2种情况，②、将这个整体与4全排列，有A22=2种排法，排好后有3个空位，③、在3个空位中任选2个，安排1、3，有A32=6种情况，则符合条件的五位数有2×2×6=24个；故答案为：24．【点评】本题考查排列组合的应用，注意常见排列组合问题的处理方法．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）如图，正方形ABCD内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，求此点取自黑色部分的概率．【分析】根据题意知本题是几何概型的计算问题，求出对应区域的面积比即可．【解答】解：设正方形的边长为2a（a＞0），则黑色部分的面积为：，结合几何概型的计算公式可得，满足题意的概率值为：．【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．18．（12分）为了选拔参加自行车比赛的选手，对自行车运动员甲、乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度（单位：m/s）的数据如下：（1）画出茎叶图，由茎叶图求出甲乙运动员的中位数；（2）估计甲、乙两运动员的最大速度的平均数和方差，并判断谁参加比赛更合适．【分析】（1）作出茎叶图，由茎叶图能求出甲乙运动员的中位数．（2）甲的平均数为：=33，乙的平均数为：=33，由此求出甲的方差和乙的方差，由甲、乙的平均数相等，乙的方差更小，则乙的发挥更稳定，故乙参加比赛更合适．【解答】解：（1）茎叶图如下：甲的中位数为：=33，乙的中位数为：=33.5．（2）甲的平均数为：==33，乙的平均数为：=（28+29+33+34+36+38）=33，甲的方差为：=，乙的方差为：=甲、乙的平均数相等，乙的方差更小，则乙的发挥更稳定，故乙参加比赛更合适．【点评】本题考查茎叶图的作法，考查中位数、平均数、方差的求法，考查茎叶图等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．19．（12分）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后再根据统计数m来估计π的值．假如统计结果是m=56，请计算此时π的估计值．【分析】由题意，根据古典概型与几何概型的概率计算公式，计算所求的概率值，由此求出圆周率π的估计值．【解答】解：由题意，200对都小于1的正实数对（x，y），满足，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＜1，且，区域面积为，由已知，解得．【点评】本题考查了古典概型的概率与几何概型的概率计算问题，是基础题．20．（12分）某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如所示．（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．【分析】（1）由频率分布直方图能求出第2组的频数，第3组的频率，从而完成频率分布直方图．（2）第3、4、5组共有60名学生，由此利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试，能求出第3、4、5组分别抽取进入第二轮面试的人数．（3）设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，利用列举法能出从这六位同学中抽取两位同学，第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．【解答】解：（1）①由题可知，第2组的频数为0.35×100=35人，②第3组的频率为=0.300，频率分布直方图如图所示，（4分）（2）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：第3组：×6=3人，第4组：×6=2人，第5组：×6=1人，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试．（7分）（3）设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从这六位同学中抽取两位同学有15种选法，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），其中第4组的2位同学B1，B2中至少有一位同学入选的有9，分别为：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），∴第4组至少有一名学生被考官A面试的概率为=．（12分）【点评】本题考查频率分直方图、分层抽样的应用，考查概率的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题．21．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧面PAB为等边三角形，侧棱．（1）求证：平面PAB⊥平面ABC；（2）求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．【分析】（1）设AB中点为D，连结PD，CD，推导出PD⊥AB，CD⊥AB，PD⊥CD．从而PD⊥平面ABC，由此能证明平面PAB⊥平面ABC．（2）由DC，DB，DP两两垂直．以D为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣AP﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）设AB中点为D，连结PD，CD，∵AP=BP，∴PD⊥AB．又AC=BC，∴CD⊥AB，∴∠PDC就是二面角P﹣AB﹣C的平面角．又由已知∠ACB=90°，AC=BC=2，∴AD=BD=CD=，AB=2．又△PAB为正三角形，且PD⊥AB，∴PD==．∵PC=2，∴PC2=CD2+PD2．∴PD⊥CD．又AB∩CD=D，∴PD⊥平面ABC，∵PD⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC．解：（2）由（1）知DC，DB，DP两两垂直．以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系．D（0，0，0），C（，0，0），A（0，﹣，0），P（0，0，）．∴=（，0），=（）．设平面PAC的法向量为=（x，y，z），则，令x=1，则y=﹣1，z=．平面PAC的一个法向量为=（1，﹣1，）．平面PAB的一个法向量为=（）．∴cos＜＞==．由图可知，二面角B﹣AP﹣C为锐角．∴二面角B﹣AP﹣C的余弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22．（12分）已知抛物线C：y2=4x，点M（m，0）在x轴的正半轴上，过M点的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点．（1）若m=1，且直线l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；（2）是否存在定点M，使得不论直线l：x=ky+m绕点M如何转动，恒为定值？【分析】（1）当m=1时，求得抛物线的焦点坐标，将直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理及中点坐标公式即可求得圆心坐标；（2）设直线l的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及两点之间的距离公式，即可求得+=，对任意k∈R恒为定值，即可求得m的值，此时此时=．【解答】解：（1）当m=1时，M（1，0），此时，点M为抛物线C的焦点，直线l的方程为y=x﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y得，x2﹣6x+1=0，∴x1+x2=6，y1+y2=x1+x2﹣2=4，∴圆心坐标为（3，2）；又|AB|=x1+x2+2=8，∴圆的半径为4，∴圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=16．（2）由题意可设直线l的方程为x=ky+m，则直线l的方程与抛物线C：y2=4x联立，消去x得：y2﹣4ky﹣4m=0，则y1y2=﹣4m，y1+y2=4k，+=+=+，====，对任意k∈R恒为定值，于是m=2，此时=．∴存在定点M（2，0），满足题意．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．。

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高二数学期末（理科）试卷第 1 页共 2页牡一中2012-2013学年上学期期末考试高二学年数学（理科）试题一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。

）1．程序框图中表示计算的是( )．A． B．C． D．2．用随机数表法从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的机率是( )A.1001B.251C.51D.413. 给出以下一个算法的程序框图（如图所示），该程序框图的功能是( )A.求输出a,b,c三数的最大数B.求输出a,b,c三数的最小数C.将a,b,c按从小到大排列D.将a,b,c按从大到小排列4．已知向量⎪⎭⎫⎝⎛=→xxa,21,8，()2,1,xb=→，其中0>x.若→→ba//，则x的值为( )A．8 B．4 C．2 D．05. 当3=a时，右面的程序段输出的结果是（）A. 9B. 3C. 10D. 66．下列说法中，正确的个数是（）(1) 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等。

（2）与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息。

(3) 如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变。

(4)一个样本的方差()()()[]222212333201-++-+-=nxxxs ，则这组数据的总和等于60.(5) 数据123,,,...,na a a a的方差为2σ，则数据1232,2,2,...,2na a a a的方差为24σA. 5B. 4C.3D. 27．已知正方体''''DCBAABCD-中，点F是侧面''CC D D的中心，若→-→-→-→-++='AAyABxADAF，则yx-等于( )A．0 B．1 C.12D．－128、如图是一次考试成绩的样本频率分布直方图（样本容量n=200），若成绩不低于60分为及格，则样本中的及格人数是（）A. 6B.36C. 60D.1209．已知ABCD是四面体，O是△BCD内一点，则AO→＝13(AB→＋AC→＋AD→)是O为△BCD重心的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件10．已知向量()1,0,1-=→n与平面α垂直，且α经过点()1,3,2A，则点()2,3,4P到α的距离为( ) A.32B. 2C.22D.32211．图l是某县参加某年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为1A、2A、…、mA(如2A表示身高(单位：cm)在[150，155)内的学生人数)．图2是统计图l中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm(含160cm，不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）A．9i< B．8i<C．7i< D．6i<12．为调查某地中学生平均每人每天参加体育锻炼时间X（单位：分钟），按锻炼时间分下列四种情况统计：①0～10分钟；②11～20分钟；③21～30分钟；④30分钟以上．有10000名中学生参加了此项活动，下图（见下页）是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是6200，则平均每天参加体育锻炼时间在0～20分钟内的学生的频率是（）A．0.36 B．0.18 C. 0.62 D．0.38姓名学年班级考号装订线IF 10a<THEN2y a=*ELSEy a a=*PRINT yEND IF第11题第3题是二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．管理人员从一池塘内捞出30条鱼，做上标记后放回池塘。

10天后，又从池塘内捞出50条鱼，其中有标记的有2条。

根据以上数据可以估计该池塘内共有条鱼。

14．已知()()()1,4,1,4,2,2,2,-5,1--C B A ，则→-AC 与→-AB 的夹角为______ 15.设O 为坐标原点，向量()()()2,1,1,1,1,2,3,2,1===→-→-→-OP OB OA , 点Q 在直线OP 上运动，则当→-→-⋅QB QA 取最小值时，点Q 的坐标为 16．把求100321++++= s 的值的算法程序补充完整① _;②__三、解答题（本大题共有6个小题，共70分）17．在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：（1）根据表格将频率分布直方图补全；（注：横轴纤度间距0.04，最小是1.30，最大是1.54）（2）估计纤度落在[1.381.50)，中的概率及纤度小于1.42的概率是多少？（3）从频率分布直方图估计出纤度的众数、中位数和平均数．18．已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5) ⑴求以向量AC AB ,为一组邻边的平行四边形的面积S ；⑵若向量a 分别与向量AC AB ,垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标。

19.为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选取了14天，统计上午8：00—10：00间各自的点击量，得如下所示的统计图，根据统计图： ⑴甲、乙两个网站点击量的极差分别是多少？ ⑵甲网站点击量在[10，40]间的频率是多少？乙网站点击量的众数是多少？ ⑶甲、乙两个网站哪个更受欢迎？并说明理由。

20. 如图，已知斜三棱柱（侧棱不垂直于底面）111ABC A B C -的侧面11A ACC 与底面ABC 垂直，2,23,22BC AC AB ===，116AA AC ==. (Ⅰ) 设AC 的中点为D ，证明1A D ⊥底面ABC ；分组频数[1.301.34)， 4 [1.341.38)， 25 [1.381.42)， 30[1.421.46)， 29[1.461.50)， 10 [1.501.54)， 2合计 100 茎叶图第19题纤度频率/组距o 0.51 7.5 7.251.30 1.34 1.54否是开始i ＝2，s ＝0①i ＝i ＋1②结束输出S第16题第20题(Ⅱ) 求异面直线A 1C 与AB 成角的余弦值；21.如图，四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，PD=DC=2AD,AD ⊥DC,∠B CD=45°. （1）设PD 的中点为M ，求证：AM//平面PBC ；（2）求PA 与平面PBC 所成角的正弦值。

22.如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，⊥D A 1平面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱21=AA ．（１）求三棱锥111C B A C -的体积；（２）若棱1AA 上存在一点P ，使得1PA AP λ=，当二面角P C B A --11的大小为︒30时，求实数λ的值．牡一中2012-2013学年上学期期末考试高二学年数学（理科）试题答案AC BBDAADCCBD75060⎪⎭⎫ ⎝⎛37,67,67 S=s+i-1;i>10117.（1）图略；（2）0.69；0.59；（3）1.4；1.408；1.4088 18、（1）73S =；（2）()1,1,1a →=或()1,1,1a →=---19、解：（1）甲网站的极差为：73-8=65；乙网站的极差为：71-5=66D 1B 1DA BC A 1C 1M P D CAB第21题（2）甲网站点击量在[10，40]间的频率为4/14=2/7=0.28571 乙网站点击量的众数是42.(3)甲网站的点击量集中在茎叶图的下方，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方，所以甲网站更受欢迎。

20、解：（方法一）(Ⅰ)证明： ∵23,AC =，116AA AC ==，∴22211AC AA AC =+∴三角形1AAC 是等腰直角三角形，又D 是斜边AC 的中点，∴1A D AC ⊥∵平面11A ACC ⊥平面ABC ，∴A 1D ⊥底面ABC(Ⅱ) ∵2,23,22BC AC AB ===， 222AC AB BC =+∴三角形ABC 是直角三角形，过B 作AC 的垂线BE ，垂足为E ，则22226323AB BC BE AC ⋅⋅===，22823433EC BC BE =-=-= ∴233333DE CD EC =-=-= 以D 为原点，1A D 所在的直线为z 轴，DC 所在的直线为y 轴，平行于BE 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则1263(0,3,0),(0,0,3),,,0,(0,3,0)33A A B C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-=→-→-0,334,362,3,3,01AB C A =⋅⋅=→-→-→-→-ABC A AB C A 11cos θ36,设平面11A ABB 的法向量为(,,)n x y z =， 21、解：如图建立空间直角坐标系.(Ⅰ)设a BC AD CD PD 222====，，则)0,2,(),0,0,1(a a B A -，)2,0,0(),0,2,0(P C ，)1,0,0(M ．设平面PBC 的一个法向量为),,(z y x n =，则,02)2()2,2,(),,(=--+=--⋅=⋅z a y ax a a z y x PB n,022)2,2,0(),,(=-=-⋅=⋅z y z y x PC n令,1=z 得)1,1,1(=n ．而)1,0,1(-=AM ，所以0=⋅n AM ，即n AM ⊥，又AM ⊄平面PBC故//AM 平面PBC ．(Ⅱ))2,0,1(-=PA ，设PA 与平面PBC 所成角为α，由直线与平面所成角的向量公式有ＰＣＢＡＤＭ xzy1515351sin ==⋅⋅=nPA n PA α． 22.解：（1）在AD A Rt 1∆中，.3,1,2,90111=∴===∠D A AD AA DA A63213111111=⨯⨯⨯⨯=∴D A C B B A V . （2）以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -，则()()()()()()()3,1,1,3,0,1,3,1,0,3,0,0,0,1,1,0,0,1,0,0,01111--C D B A B A D()()()3,1,0,0,0,1,3,1,211==--=DB DA BD ,设平面1ADB 的法向量为()z y x m ,,=，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001DB m DA m 得()1,3,0-=m ， (),13.1.11,0,0,1,130,11,1111⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∴=λλλλλλP B C B P PA AP 又，设平面P C B 11的法向量为()c b a n ,,=，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0111P B n C B n 得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=1,13,0λn ，()2,0,131211330cos 2=∴>++++=⋅=∴λλλλ n m n m。