概率论lecture1.1-1.2
概率论2第2讲1.2
第2讲 Ch.1 随机事件与概率§1.2 概率的定义及其确定方法Remarks 本节绪言中的几个问题1.概率的直观定义事件发生的可能性大小称为概率.2.关于概率直观理解的一些经验事实.P.12.3.概率定义的发展过程概率的古典定义概率的频率定义 概率的概率的几何定义 公理化定义概率的主观定义1.2.1 概率的公理化定义(概率理论系统化数学定义) 定义 1.2.1 设),(F Ω是可测空间，若对任意F A ∈，定义在F 上的实值函数)(A P 满足：(1)非负性公理：若F A ∈，则0)(≥A P ；(2)正则性公理：1)(=ΩP ；(3)可列可加性公理：若1A ，2A ，…为同一样本空间下的互斥事件列，则.)()(11∑+∞=+∞==i ii i A P A P我们就称)(A P 为事件A 的概率，而称),,(P F Ω为概率空间.Remark 概率公理化定义并没有具体给出确定事件A 的概率)(A P 的方法，但具有理论价值！具体确定事件A 的概率)(A P 可依据不同场合选用频率定义法，古典定义法，几何定义法和主观定义法.1.2.2 排列与组合公式（确定)(A P 的古典定义法的基础）P.13-15(自行复习！)1.2.3 确定)(A P 的频率定义法1. 频率定义法确定事件A 的概率)(A P 的基本思想(步骤)：(1)大量重复与A 有关的试验；(2)记下试验次数n ，以及A 发生的次数)(A n (称之为事件A 的频数)，则称n A n A f n )()(=为事件A 出现的频率；(3)增加试验次数n ，反复获得更多的)(A f n ，可发现)(A f n 稳定在某个常数a 附近，则可得a A P =)(.Remarks)i 如何理解)(lim )(A f A P n n +∞→≠？(讨论题3)； )ii 频率定义法确定事件A 的概率)(A P 有现实局限性，但也有存在价值；)iii 容易验证频率方法确定的概率满足公理化化定义.2. （“事件A 的频率的稳定值”即为事件A 的概率）利用频率定义法确定事件A 的概率)(A P 举例例1.2.1 .1716.-P(1)试验：掷一枚均匀的硬币.记=A “出现正面”，用频率定义法确定)(A P 的步骤如下：1)取=n 2048, 4040, 10000, 12000, 24000做五批次试验；2)对应记下)(A n 的值，分别为1061，2048，4979，6019，12012，进而利用 n A n A f n )()(=计算出)(A f n 的值分别得0.5181，0.5069，0.4979，0.5016，0.5005；3)容易看出)(A f n 的值稳定在0.5附近，于是，可得5.0)(=A P .(2)(看书理解！)(3) (看书理解！)1.2.4 确定)(A P 的古典定义法(这是确定概率的经典方法)1.古典定义法的特点与基本思想特点：直观且不必大量试验，只基于事实分析.方法步骤：(1)确认与事件A 有关的随机问题为古典概率模型，并确定其Ω包含的样本点总数(记为) n ，同时确定事件A 包含的样本点数(记为) k ；(2)利用nk A P =)( 计算得到事件A 的概率)(A P .Remarks)i 古典概率模型简称古典概型，是指满足以下两个条件的概率模型：1)其Ω包含的样本点总数有限；(即满足有限性)2)其Ω包含的每一个样本点出现具有等可能性；(即满足等可能性))ii 容易验证古典定义法确定的概率满足公理化化定义；)iii 利用古典定义法计算概率的前提是要确认所涉及的模型必须是古典概型.而其关键则是运用枚举法或排列组合方法确定算出n 和k ，值得提醒的是一般而言n 易算k 难求.2. 古典定义法求)(A P 举例一般步骤：(1)给定事件记号A 的含义.(若题目已交待清楚则此步省！) (这一步称为符号准备)(2)确认古典概型，并算出n 和k .(称为数据准备)(3)利用 nk A P =)( (称为依据与计算) 计算得到)(A P .例 1.2.2 同掷两枚均匀的硬币，求掷出一个正面一个反面的概率？解 记=A “掷出一个正面一个反面”. 易见其样本空间为=Ω｛(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)｝. 该Ω包含的样本点总数4=n (有限)，又由于硬币是均匀的可判定该Ω中的每一个样本点具有等可能性.而事件A 包含Ω中的(正,反)和(反,正)这两个样本点，所以有2=k .于是5.042)(===n k A P . Remark本例若认为其样本空间为：=Ω｛(二正),(二反),( 一正一反)｝.则因其中的样本点不具有等可能性，从而不能用古典定义法求)(A P .此外要请大家注意的是，解答过程在熟练后可写得简洁些！但要有条理，希望通过例子体会！例1.2.3 (抽样模型) 一批产品共N 件，其中M 件是次品，其余为合格品，从中随机取出n 件，求事件=m A “取出的n 件产品中有m 件次品”的概率？解 判断可知，该模型为古典概型，其Ω包含的样本点总数(记为)n N C n =*，而事件m A 包含的样本点数为m n M N m M C C k --=，于是n Nm n M N m M m C C C n k A P --==*)(， 其中))(,0max(n N M m --=，1))(,0max(+--n N M ，…，),min(M n .☆举一个具体例子：取7,3,9===n M N ，则有此表中m 的实际上是一个..V R ，概率论(在本教材第二章)中称该表为m V R ..的(概率)分布.例1.2.4 (有放回抽样模型) 一批产品共N 件，其中M 件是次品，其余为合格品，从中有放回随机抽检n 件，求事件=m B “抽检的n 件产品中有m 件次品”的概率？解 判断可知，该有放回抽样模型也为古典概型，其Ω包含的样本点总数(记为)n N n =*，而事件m B 包含的样本点数为m n m n mn m m n M N C M C k ----=)(，于是 m n m m n n m n m m n m NM N M C N M N M C n k B P ---=-==)1()()()(*， n m ,,2,1,0 =.又若记N M p =(次品率)，则m n m m n m p p C B P --=)1()(，n m ,,2,1,0 =.◆举一个具体例子：取4,3,9===n M N ，则有此表理解为m V R ..的(概率)分布，且易见271681328116)1()0()"1""0(")1(=+==+===⋃==≤m P m P m m P m P .例1.2.5 (彩票问题)彩票游戏“35选7”的七个中奖等级“设置”见教材.20.P 表6.2.1，试求：投入2元购买1注(从1～35号码选择7个号码来买)中得各等级奖的概率？解 记=i A “投入2元购买1注中得i 等级奖”，7,6,5,4,3,2,1=i .而判断可知，彩票问题为古典概率模型问题，其Ω包含的样本点总数为735C n =，而事件1A ,2A ,3A ,4A ,5A ,6A ,7A 包含的样本点数分别为,0270177C C C ,0271167C C C ,1270167C C C ,1271157C C C ,2270157C C C ,2271147C C C .32711373270147C C C C C C + 于是，由古典定义方法可算出投入2元购买1注中得各等级奖的概率可列表如下：Remarks)i 上表是彩票游戏“35选7”的中奖情况及其对应概率表，一般彩民不具体知道，投注站也不会挂出此类表.)ii 若记=A “中奖”，则=A “不中奖”，根据上表提前用§1.3的结论可得033485.0)(=A P , 966515.0033485.01)(1)(=-=-=A P A P . 可见“中奖”是小概率事件，“中大奖”更是小概率事件.概率论关于小概率事件发生情况的实际推断原理指出：小概率事件实际上在一次或少数几次试验中是不可能发生的(因之小概率事件常被称为实际不可能事件)；然而小概率事件在大量的试验中至少发生一次的概率几乎为1.)iii .23.P 中的有关说明欠妥！应该说“随机购买100注这种彩票平均有约3注中奖；…”例1.2.6 (盒子模型，也称分房模型) 设有n 个球，每个球都等可能地放到N 个盒子中的任一个，每一个盒子的放球数不限，试求(1)指定的n (N n ≤)个盒子中各有一个球的概率1p ；(2)恰好有n (N n ≤)个盒子中各有一个球的概率2p .解 判断可知，盒子模型为古典概率模型，其Ω包含的样本点总数为n N n =*.于是(1)由于事件“指定的n 个盒子中各有一个球”包含的样本点数为!1n k =，可得n N n n k p !*11==.(2)由于事件“恰有n 个盒子中各有一个球” 包含的样本点数为!2n C k n N =，可得)!(!!*22n N N N N n C n k p n n n N -===.Remark盒子模型的研究对统计物理的研究有很好的启发作用.例1.2.7 (生日问题) 观察n 个人的生日情况，求n 个人生日全不相同的概率n p .解 易见该问题实际可看成“n 个球=N 365个盒子的盒子模型”，于是，利用上例的结论得)!365(365!365n p n n -=.Remarkn p 的近似计算与结果说明：.2524.-P1.2.5 确定)(A P 的几何定义法1. 方法简介几何方法用于解决几何概型(指满足这样两个条件的概率模型：)1其Ω包含的样本点充满某个区域；)2其Ω包含的每一个样本点出现具有等可能性.)的概率计算问题.2. 基本思想(方法步骤)：(1)确认与事件A 有关的随机问题为几何概型，并运用初等几何知识确定其Ω及事件A 对应的区域的几何度量(长度、面积或体积)，分别记为ΩS 和A S ；(2)利用Ω=S S A P A )(计算得到事件A 出现的概率)(A P .3. 几何定义法求)(A P 举例一般步骤：(1)给定事件记号A 的含义.(若题目已交待清楚则此步省！) (符号准备)(2)确认几何概型.通过引入必要的坐标变量以此表示集合形式的Ω及事件A ，借助Ω及事件A 对应的几何图形分别表示算出Ω和A 几何度量ΩS 和A S .(数据准备)(3)利用 Ω=S S A P A )(. (计算)计算得到)(A P .例1.2.8(会面问题，也称约会问题) 甲乙两人约定在下午6时到7时之间在某处会面，并约定先到者等候后到者20min,过时不候.求能会面的概率.解 记=A “甲乙能会面”.又设甲乙到达约会地点的时间分别是x 和y (单位：min )，且以下午6时为计时零点，则有}600,600),{(≤≤≤≤=Ωy x y x ，}),(,20),{(Ω∈≤-=y x y x y x A .以此判断可知，会面问题为“几何概型”问题，其Ω和A 对应的几何区域如下图：由此可算出Ω和A 对应的几何区域的面积分别为260=ΩS ，222240604021260-=⨯⨯-=A S . 于是95604060)(222=-==ΩS S A P A . 例1.2.9.2726.-P (自学)Remark了解随机模拟法---- Montecarlo 法(仿真随机试验). .27.P例1.2.10.2827.-P (自己动手仿照例1.2.8的课堂讲解过程写写.)例1.2.11.2928.-P (自学)1.2.6 确定)(A P 的主观定义法1. 了解认同主观概率的贝叶斯学派的观点：.29.P2. 用主观定义法确定概率的例子例1.2.12 .3029.-P☆本节课外作业 习题1.2(.3230.-P )6. 14. 20. 24.。
茆诗松概率论与数理统计1.2第一章1.2
1.2
概率的定义及其确定方法
• 例6 (会面问题)甲乙两人相约在0到T这段时间 内在某处会面. 先到的人等候另一个人, 经过时 间t(t<T)后离去. 设每人在0到T这段时间内各时刻 到达该地是等可能的, 且两人到达的时刻互不牵 连. 求甲,乙两人能会面的概率. • 解:以x,y分别表示甲乙两人到达的时刻, 那末 0xT, 0yT. 若以x,y表示平面上点的坐标，则： （1）所有基本事件可以用一边长为T正方形 内所有点表示. （2）两人能会面的条件是 |x-y|t .
n 个人
结果有点出 乎人们意料
n 20 p 0.41
365个盒子 ,则 n P{ n 个人生日各不相同 } A365n 365 n A P{ 至少有两人生日相同 } 1 365n 365 25 30 40 50 55 100 0.57 0.71 0.89 0.97 0.99 0.9999997
件次品出现在 n 次中的方式有 C n k 种 , 故由乘法
原理，共有 C n k K k ( N - K ) n-k 种取法。故 A 中基本 事件个数为Cnk Kk(N-K)n-k，因此有 n k n k K N K k P ( A) Nn k n k n K K k N 1 N , ( k 0,1,2, , n).
0.0016 0.0010 0.0009 0.0006
N
S
0.0706
0.0634
C
F
0.0268
0.0256
B
V
0.0156
0.0102
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1.2
概率的定义及其确定方法
当 n 很大时,事件 A 的频率 f n ( A) 接近一个常数 ,即有
概率论与数理统计1.1
四、随机事件 定义： 基本结果的恃征(性质 性质) 定义：随机试验基本结果的恃征 性质 称为随机 事件，简称为事件。 显然一个事件是由具有该事件
所要求的特征的那些基本结果所组成，因此， 所要求的特征的那些基本结果所组成，因此，随机事 件的抽象定义为样本空间的子集，并简记为大写英 文字母A，B，C，…。 。
什么是随机试验? 问题 什么是随机试验?
二、随机试验 定义
使随机现象得以实现和对它进行观察的全过 程通称为随机试验 在概率论中， 随机试验, 程通称为随机试验 在概率论中，随机试验也 简称为试验 试验。 简称为试验。 随机试验是对随机现象进行的实验或观察。 随机试验是对随机现象进行的实验或观察。 要完成一个随机试验，主要是要明确它的“ 要完成一个随机试验，主要是要明确它的“一 定条件” 以及由它产生的全部可能的基本结 定条件”，以及由它产生的全部可能的基本结 这里的“一定条件”可以是人为的 人为的， 果。这里的“一定条件”可以是人为的，也可 以是客观存在的 客观存在的。 以是客观存在的。
A I B= ?
40
互不相容(互斥)
A I B =∅
A B
Ω
50 对立事件 逆事件
A I B =∅ A U B =Ω
A
Ω
B= A
A=A AA = ∅ A+ A = Ω
n个事件互不相容 Ai A j = ∅ (i ≠ j , i , j = 1, 2, L , n ) 可列无穷个事件互不相容
Ai A j = ∅ (i ≠ j , i, j = 1, 2, L)
概率论与数理统计
第 1 章
随机事件与概率
§1.1 随机事件 §1.2 随机事件的概率 §1.3 古典概型与几何概型 §1.4 条件概率 §1.5 事件的独立性
概率论与数理统计课件：1-2 概率论的基本概念 频率和概率
古典概型问题中，样本空间的构造必须 保证其中的每个样本点发生的可能性都相同。
练习1.4.1 抛一枚均匀硬币三次，计算P { 恰好出现一次正面 }。 提示：这里有两种构造样本空间的形式， ① 以随机试验的全部结果构造 S1 = { HHH，HHT，HTH，HTT，THH， THT，TTH，TTT } 因此 P (A ) = 3/8 ； ② 以正面出现的次数构造 S2 = { 0，1，2，3 } 因此 P (A ) = 1/4 。
概率P (B – A) 的值。பைடு நூலகம்
解。分析：由减法公式， P (B – A ) = P (B ) – P (AB ) 只需要计算出概率 P (AB ) 。
(1) A、B互不相容即 AB = ，得到 P (B – A ) = 0.5；
(2) A B 等价于 AB = A，得到 P (B – A ) = 0.2；
频率的这种稳定性表明了随机现象也具有规律性， 称为是统计规律(大量试验下体现出来的规律)。
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概率的频率定义
自然地，可以采用一个随机事件的频率的稳定值 去描述它在一次试验中发生的可能性大小，即用频率 的极限来作为概率的定义。
然而实际上，我们不可能对每一个随机事件都去 做大量的试验后得到它的频率，并且有些随机事件也 无法去定义它们的频率。
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例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率 相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A表示事件至少有一个男孩,以H表示某个孩子 是男孩
N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT} N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}
P( A) N ( A) 7 N(S) 8
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概率论 第一章1.1-1.2
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英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾 对概率论大加赞美：“ 概率论是生活真正 概率论大加赞美： 大加赞美 的领路人, 如果没有对概率的某种估计 那 的领路人 如果没有对概率的某种估计, 么我们就寸步难行, 无所作为. 么我们就寸步难行 无所作为
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3. 寻求最佳生产方案要进行《实验设计》 寻求最佳生产方案要进行《实验设计》 数据处理》 和《数据处理》； 4. 电子系统的设计 火箭卫星的研制及其 电子系统的设计, 发射都离不开《可靠性估计》 发射都离不开《可靠性估计》; 5. 处理通信问题 需要研究《信息论》； 处理通信问题, 需要研究《信息论》 6. 探讨太阳黑子的变化规律时 《时间 探讨太阳黑子的变化规律时,《 序列分析》方法非常有用; 序列分析》方法非常有用
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概率论产生于17世纪， 概率论产生于 世纪，本来是由保险事业发 世纪 展而产生的，但是来自赌博者的请求， 展而产生的，但是来自赌博者的请求，却是数学 家们思考概率论问题的源泉. 早在1654年，有一个 家们思考概率论问题的源泉 早在 年 赌徒梅勒向当时的数学家帕斯卡提出了一个使他 苦恼了很久的问题： 苦恼了很久的问题： “两个赌徒相约赌若干局，谁先赢m局就算获 两个赌徒相约赌若干局，谁先赢m 全部赌本就归胜者， 胜，全部赌本就归胜者，但是当其中一个人甲赢 a(a<m)局的时候 赌博中止， 局的时候， 了a(a<m)局的时候，赌博中止，问赌本应当如何 分配才算合理？ 分配才算合理？”
概率论第一章PPT课件
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费尔马的解法
费尔马注意到，如果继续赌下去，最多只要再赌4轮便可 决出胜负，如果用“甲”表示甲方胜，用“乙”表示乙方胜， 那么最后4轮的结果，不外乎以下16种排列。
甲甲甲甲 甲甲甲乙 甲甲乙甲 甲乙甲甲 乙甲甲甲 乙甲甲乙
甲甲乙乙 甲乙甲乙 甲乙乙甲 乙乙甲甲 乙甲乙甲
甲乙乙乙 乙甲乙乙 乙乙甲乙 乙乙乙甲 乙乙乙乙
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直到1654年，一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的 亲身经历向帕斯卡请教“赌金分配问题“，求助其对这种现 象作出解释，引起了这位法国天才数学家的兴趣，帕斯卡接 受了这些问题，但他没有立即去解决它，而是把它交给另一 位法国数学家费尔马。之后，他们频频通信，互相交流，围 绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后 来被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他也开 始就这方面展开研究。
若每次试验中，事件A与事件B不能同时发生， 即A∩B= 。则称事件A与事件B互斥或互不相 容。
有时，我们也称满足以上三个特点的试验为随机 试验。
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§1.1.2 样本空间 随机事件
一、样本空间
随机试验E的所有可能的结果组成的集合称为E的 样本空间，记为Ω。Ω的每个元素，即Ω的每一个可能 的结果，称为E的一个样本点或基本事件。
指的是基本 结果
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样本点
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特征：条件不能完全决定结果。
确定性现象与随机现象的共同特点是事物本身的含 义确定。随机现象与模糊现象的共同特点是不确定性， 随机现象的不确定性是指试验的结果不确定，而模糊现 象的不确定性有两层含义，一是指事物本身的定义不确 定，二是结果不确定。
概率论第一讲
A ∪ B = A ∪ ( B A) = A ∪ ( B AB )
A = AB ∪ AB
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第一章 随机事件与概率
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样本空间的分割
若 A1，A2，……，An 有 1. Ai互不相容； 2. A1∪A2 ∪ ……∪An= Ω 则称 A1，A2，……，An 为Ω的一组分割.
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第一章 随机事件与概率
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1.1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示. 2. 基本事件 —— Ω的单点集. 3. 必然事件 (Ω) 4. 不可能事件 (φ) —— 空集.
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abababab交换律结合律分配律对偶律abccacabccbc记号a?babababa?ba概率论集合论空间空集元素a是b的子集a与b无相同元素a与b的并集a与b的交集a与b的差集a的余集样本空间必然事件不可能事件样本点a发生必然导致b发生a与b互不相容a与b至少有一发生a与b同时发生a发生且b不发生a不发生对立事件基本事件互不相容基本事件之并注意点注意点11aa?aaaaaaaaababab????注意点注意点22ababbaba??abaab??ababaabab??aabab若a1a2
当且仅当集合A中的一个样本点出现时,称 事件A发生. 如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .
样本空间为 : S = {1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6} .
B发生当且仅当 B中的样本点1, 3,5中的某一个 事件 B={掷出奇数点} = {1,3,5}
3 September 2007
概率论与数理统计第1讲1.1
概率论与数理统计第1讲1.1第1讲Ch.1 随机事件与概率§1.1 随机事件及其运算导学：随机现象、样本空间…揭示随机现象统计规律1.1.1 随机现象（也称偶然现象）1.概率论与数理统计的研究对象随机现象（的统计规律）.2.随机现象及其特点随机现象：一定条件下，出现的可能结果不止一个的现象.特点：i)可能结果不止一个；ii)结果不可预先准确预测.3.必然现象：(P.1.简单关注！)4.随机现象实例例1.1.1(1)掷一枚均匀的硬币，观察朝上一面；(2)掷一颗均匀的骰子，观察掷出的点数；(3)观察一天中进出某超市的顾客数；(4)检测某种型号电视机的寿命时数；(5)测量某物理量的误差.稍作判断易见，本例中的5种现象均为随机现象，且容易明白，随机现象广泛存在于人们的工作与生活中.5.随机试验(简称试验)定义：P.1. (试验?随机现象)1.1.2 样本空间1.定义：试验的所有可能基本可能结果组成的集合称为样本空间，其中的元素称为样本点.记号：样本空间常用Ω记，对Ω的描述方法有两种：代表元法：Ω＝{ω|iω表示试验的第i种基本可能结果，i=1，i2，3，…}列举（区间）法：通过以下例子体会.2.写出随机现象对应的样本空间例1.1.2写出“例1.1.1”所列5种随机现象对应的样本空间解首先写代表元形式，再写列举（区间）形式：(1)1Ω＝{iω|1ω＝“掷出正面”，2ω＝“掷出反面”}＝{掷出正面，掷出反面}；(2)2Ω＝{i|i表示掷出i点，i=1,2,3,4,5,6}＝{掷出1点，掷出2点，…，掷出6点}＝{1,2,3,4,5,6}；(3)3Ω＝{i |i 表示有i 人进出，i =0,1,2,…}＝{0,1,2,…}；(4)4Ω＝{t |t 表示寿命时数为t ，t ≥ 0}＝[0,＋∞ )；(5)5Ω＝{x |x 表示测量误差为x ，+∞<<∞-x }＝),(+∞-∞.3.样本空间的分类i)分有限与无限（P.2.）ii)分离散与连续（P.2.）1.1.3 随机事件1.定义：样本空间Ω的子集称为随机事件. 这是基于样本空间给出的定义. 也可以基于随机现象给出定义为：可能发生，也可能不发生的可能结果，概率论抽象称之为随机事件. 随机事件简称为事件.2.记号：概率论约定用大写英文字母A ，B ，C ，…作为事件的记号.3.Venn 图表示：4.例子：对应于例1.1.2中的(2)Ω＝{1,2,3,4,5,6}2记A＝“掷出奇数点”＝{1,3,5}，显然A为2Ω的子集，所以A为事件.Remarks事件定义的进一步解读i)“事件A发生”意谓“在试验中A包含的某个样本点出现了”. 反之亦然.Ω＝{1,2,3,4,5,6} 例：对应于“例1.1.2”中的(2)2事件A＝“掷出奇数点”发生，表明：一次抛掷中掷出了1点或3点或5点.ii)事件的描述方法有三种：(我们要视场合选用！) 方法1：集合表示法；方法2：用明白无误语言(加以引号)表述法；方法3：用随机变量取值表示法.(在1.1.4中给出解释！)iii)三种特别事件基本事件----Ω的单元素子集必然事件----Ω本身(每次试验必然发生的事件)不可能事件----Φ(每次试验都不发生的事件)5.事件例Ω＝{1,2,3,4,5,6}，例1.1.3对应于“例1.1.2”中的(2)2若记i A ＝“掷出i 点”, i =1,2,3,4,5,6，则1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A 均为基本事件；记B ＝“掷出偶数点”，则B 为事件；记C =“掷出点数小于7”，则=C 2Ω为必然事件；记D =“掷出点数大于6”，则=D Φ为不可能事件.1.1.4 随机变量(Remark 随机变量简记为..V R ，在概率论中..V R 是与随机事件同等重要或者更为重要的一个概念，此处对..V R 只作简介，第二章再进行详细讨论！)1. ..V R 的直观定义与记号用来表示随机现象结果的变量称为随机变量. 通常用大写英文字母X ，Y ，Z 记之.Remark 对前面留下的一个问题“用随机变量取值表示随机事件”的理解：对一个具体的随机问题进行研究时，在引入..V R 后，..V R 取某个值或..V R 取值落入某个范围，都具有可能发生也可能不发生的特征，所以都是随机事件. 也就是说，可用..V R 的取值（取某个值或..V R 取值落入某个范围）来表示事件.2.对一个具体的随机问题，引入..V R 后用其取值表示事件举例例1.1.4 对应于“例1.1.2”中的(2) 2Ω＝{1,2,3,4,5,6}，若引入X =“掷出的点数”.则X 为..V R ，且可用i)“3=X ”表示事件“掷出3点”；ii)“3≥X ”表示事件“掷出的点数大于等于3”；iii)“3<=""> iv )“7X ”表示不可能事件“掷出的点数大于6”. Remark 同类关注“掷两颗均匀骰子”的试验.有Ω={),(j i |),(j i 表示第1，2颗骰子分别掷出i 点, j 点那一基本可能结果j i ,＝1,2,3,4,5,6}={(1,1), (1,2), …, (1,6),(2,1), (2,2), …, (2,6),‥‥‥‥‥‥‥‥,(6,1), (6,2), …,(6,6)}易见，这里的Ω共有36个样本点. 若引入X =“第1颗掷出的点数”，Y =“第2颗掷出的点数”，则X ，Y 均为..V R ，且可用i)“Y X +=5”表示事件“两颗骰子掷出的点数和为5”，且显然事件“Y X +=5”包含的样本点集为{(1,4), (2,3), (3,2), (4,1) }(共有4个样本点). ii)“),max(Y X =6”表示事件“掷两颗骰子掷出的点数最大者为6”，同样容易明白事件“),max(Y X =6”＝{(1,6), (2,6), (3,6), (4,6) , (5,6) , (6,6) , (6,5) , (6,4) , (6,3) , (6,2) , (6,1)}.例1.1.5 对“检验10件产品”这一试验，若引入X =“被检10件产品中的次品件数”，则X 为..V R ，其可能取值为0，1，2，…，10，且可用i)“1≤X ”表示事件“10被检件产品中的次品件数不多于1件”；ii)“2>X ”表示事件“被检10件产品中的次品件数超过2件”.例1.1.6 对“检测电视机寿命”的试验，若引入T =“电视机的寿命小时数”，则T 为..V R ，其可能取值充满区间[0,+∞),且容易明白：i)“40000>T ”表示事件“电视机的寿命超过40000小时”；ii)“10000≤T ”表示事件“电视机的寿命不超过10000小时”.1.1.5 事件的关系（Remarksi)一定要在同一Ω下讨论事件间的关系与运算，可借助集合间的关系与运算加以理解.ii)重视事件关系与运算的概率论语言的描述.） 1 包含关系①定义与记号：若事件A 发生必然导致事件B 发生，则称事件A 包含于B ，也称事件B 包含A .记作B A ?或A B ?.(这是用概率论语言对事件包含关系的描述！) ②用集合论语言对事件包含关系的描述：若事件A 包含的样本点全属于事件B ，则称事件A 包含于B ，也称事件B 包含A .③Venn 图表示：B A ?④例子：i)对应于“例1.1.2”中的(2)2Ω＝{1,2,3,4,5,6}，若记A ＝“掷出4点”，B ＝“掷出偶数点”，则B A ?.ii)对应于“例1.1.2”中的(4)4Ω＝[0,+∞)，若记A ＝“电视机的寿命超过10000小时”， AB ΩB ＝“电视机的寿命超过20000小时”，则A B ?.iii)对任意事件A ，都有Ω??ΦA .2 等价关系①定义与记号：若事件A 与事件B 互相包含，则称事件A 与事件B 等价，也称事件A 事件B 相等.记作B A =. ②用集合论语言对事件等价关系的描述：若事件A 与事件B 包含的样本点完全相同，则称事件A 与事件B 等价.③Venn 图表示：B A =④例子：i) 对应于“例1.1.2”中的(2) 2Ω＝{1,2,3,4,5,6}，若记A ＝“掷出非奇数点”，B ＝“掷出偶数点”，则B A =.ii)例1.1.7(1)对“掷两颗均匀骰子”的试验，其Ω共有36个样本点，若记A ＝“掷出点数和为奇数”，B ＝“掷出一奇一偶的点数”，A BΩ则B A =.(2)从有a 只黑球和b 只白球(a>0,b>0)的袋中随机地一只一只作无放回摸球.若记A ＝“最后摸出的几只球全为黑球”，B ＝“最后摸出的1只球为黑球”，则B A = (如何理解？课外讨论题1).本讲课外作业习题1.1 .11.P1.(1)，(3) 4.(1)。
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课程简介：1.什么是概率论与数理统计？法国数学家拉普拉斯(Laplace)说对了:“生活中最重要的问题 , 其中绝大多数在实质上只是概率的问题.”英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾对概率论大加赞美：“概率论是生活真正的领路人,如果没有对概率的某种估计, 那么我们就寸步难行,无所作为.概率论是研究随机现象客观规律性的数学学科，是高等学校工科本科各专业的一门重要的基础理论课。
通过本课程的教学，为学生提供必要的概率论基础知识，使学生掌握概率论的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法；培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。
我们概率论能解决什么问题呢？举个简单的例子：甲乙两个人打赌，赌100元，5局三胜，谁先胜，谁赢得赌资，比赛进行了三盘，甲赢2盘，乙赢1盘，这时有事无法进行比赛了，问赌资该如何分配？你认为呢：2:1帕斯卡不这么认为，他给费马的通信中，讨论了这个问题：假如能继续比下去，谁赢呢？1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢 m局就算赢，全部赌本就归谁。
但是当其中一个人赢了 a (a<m)局的时候，赌博中止。
问：赌本应该如何分法才合理？”引发了帕斯卡与费马之间探讨概率论问题的多封通信，他们用不同的组合方法给出了这类问题的正确答案。
荷兰数学家惠更斯（C．Huygens，1629～1695）访问巴黎时了解到帕斯卡与费马的通信研究，对这类问题产生兴趣并著《论赌博中的计算》一书（1657），探讨概率问题的原理。
这就是最早的概率论著作。
这些数学家主要以代数方法计算概率，他们的著述中出现了第一批概率论专门概念（如数学期望）与定理（如概率加法、乘法定理），标志着概率论作为一门科学的诞生。
课程的应用几乎已渗透到所有领域，并通过本课程的学习使学生对随机现象的统计规律有初步的认识。
美国有个统计学家叫C.R.劳，2002年获得美国总统奖，他写了一本书叫《统计与真理—怎样运用偶然性》，这本书告诉我们如何利用统计学的眼光看世界。
书的题记就是：宇宙，与其说是由逻辑，不如说是由统计的概率来支配的。
他说：在终极的分析中，一切知识都是历史。
在抽象的意义下，一切科学都是数学。
在理性的基础上，所有的判断都是统计学。
在统计学中还有很多很有趣的例子：据调查，未婚男性少活3500天；惯用左手的人少活3285天，未婚女性少活1600天；长期抑郁少活4-8年，每天喝5杯茶，肥胖的几率减少46%。
作为计算机专业，数据结构、算法等课程里面包含着概率论的影子，比如快速排序。
2.如何教这门课？（1）提升学生的兴趣，引入生活中、专业中的例子。
（2）教学方法：问题驱动式教学（3）教学手段：板书，网站，邮箱3.如何学这门课？（1）提升自己的兴趣：发现数学之美。
（2）做好笔记，做好习题。
4.教学过程提出问题→讲解问题→解决问题→示例讨论→总结解题经验5.考核标准30%平时成绩+70%考试成绩第1章 1.1-1.2主要讲解内容：试验E;e；S；A；事件的关系与运算讲课过程（80分钟）：1.自然界存在很多现象：（1）确定性现象（2）随机现象（3分钟）问：我们如何总结这些现象呢？如何研究这些现象呢？2．试验：一定目的条件和结果的实践活动。
（10分钟）现象：结果两种现象（结果）:(1)确定性现象：结果确定；例：不同气压下给水加温，只有一个结果：沸腾(2)不确定性现象(随机现象)：结果不确定：两种i：个别性随机现象：某个高危病人可能去世的时间ii：大量性随机现象---统计规律性：P1 E1—E7问：概率论中的试验是哪种试验呢？3.随机试验（E）：对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。
（7分钟）它具有以下特性（3个基本性质）：①可以在相同条件下重复进行②事先知道可能出现的结果（结算性）③进行试验前并不知道哪个试验结果会发生注意：我们说的一个试验是指累计试验。
问：试验发生的结果如何表示？事件、样本空间、样本点4.样本空间，随机事件（60分钟）（1）什么是样本空间？（10分钟）样本点e：设有试验E，每次试验有一个切只有一个结果出现，此结果即为E 的一个样本点。
样本空间：对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预知试验的结果，但试验的所有可能的结果组成的集合是已知的，将随机试验E的所有可能结果（样本点）组成的集合称为E的样本空间，记为S={e}；S中的元素e为基本事件或样本点．注意：一个样本点就是集合中的一个元素、样本空间就是全集。
举例说明：掷骰子：E={1,2,3,4,5,6}P2的所有示例。
（2）什么是随机事件（10分钟）随机事件：一般我们称样本空间S的子集A为随机试验E的随机事件A，当且仅当A所包含的一个样本点发生，称事件A发生。
特别，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。
注意两点：①事件的发生：样本点出现φ--不可能事件。
（所有集合都有一个共同的子集，就是φ）②S—必然事件；样本空间S 包含所有的样本点，它是S 自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件，空集φ不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。
问：如何表示事件？---集合概念：S —样本空间；事件—集合；基本事件—空间中的点 所以：事件的运算转为集合的运算复习集合中的几个概念：元素e ：客观元素是确定的、并且是相异的；全集S ；子集A ： 并集：多个集合的和；交集：多个集合的乘法注意：事件间的关系就是集合间的关系，事件的运算就是集合的运算。
3.事件间的关系与与事件的运算（40分钟） (1)事件的关系（包含、相等、不相容、互逆）子事件：若A 发生蕴含B 发生，称集合A 是B 的子事件；记为：A 被B 包含B 包含A ，或A 被B 包含，事件A 中所有的样本点都属于事件B 。
事件A 与事件B 含有相同的样本点。
3o 不相容：事件A 、B 中没有相同的样本点。
4o 互逆（相互对立）：事件A 、B 中没有相同的样本点，且，A 和B 的合集为全集。
(2)事件的运算1 A B A B ⊂：事件发生一定导致发生2 A BA B B A⊂⎧⇔⎨⊂⎩＝{A 发生或者B 发生}这个事件成为A 与B 的和。
记为：推广：n 个事件的和：{A1发生，或者A2发生…或者An 发生}={A1…An 中至少有一个发生}称为A1，…，An 事件的和。
记为：事件{A 、B 同时发生}称为事件A 与B 的积。
记为：③多个事件的和、积：⑤事件的差：}x |{_B A x x B A B A ∉∈=-=且 差事件：当且仅当A 发生，B 不发生时，事件 A-B 发生。
,,A B A B AB⋂⋅②A 与B 的积事件，记为 A B ⋃① A 与B 的和事件，记为{ | }A B x x A x B A B ⋃=∈∈或：与至少有一发生。
{ | }A B x x A x B A B ⋂=∈∈且：与同时发生。
121121,,,,n i n i ni n i A A A A A A A A ==⋅⋅⋅⋅⋅⋅：至少有一发生：同时发生④当AB=Φ时，称事件A 与B 不相容的。
⑥对立事件：{A 不发生}为A 的对立事件，记为：A 的逆事件记为{__,_S A A A A A =⋃=φ，若{S B A B A =⋃=φ，称为A,B 互逆、相互对立的。
（3）运算定律：“和”、“交”关系式① 交换律：A ∪B =B ∪A ，A ∩B =B ∩A② 结合律：(A ∪B) ∪C =A ∪(B ∪C) (可记作A ∪B ∪C ） (A ∩B) ∩C =A ∩(B ∩C) (可记作A ∩B ∩C ） ③ 分配律: (A ∩B) ∪C =（A ∪C ）∩(B ∪C)(A ∪B) ∩C =(A ∩C) ∪(B ∩C)④ 摩根(Morgan)律:例题讲解：P5 例3 作业：P24 T1、T21211nni i n i i A A A A A ====；1211n ni i n i i A A A A A ===＝；班级：科目：学号：作业1：P24-25 T1、T2T1：写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）（2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。
T2：设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。
（1）A发生，B与C不发生。
（2）A，B都发生，而C不发生。
（3）A，B，C中至少有一个发生（4）A，B，C都发生（5）A，B，C都不发生（6）A，B，C中不多于一个发生（7）A，B，C中不多于二个发生。
（8）A，B，C中至少有二个发生。