140419高二数学圆锥曲线中的数学思想(单清春老师)
数学思想在高中圆锥曲线教学中的应用策略
数学思想在高中圆锥曲线教学中的应用策略摘要：在高中课程之中，数学属于重要内容，同时数学也是高考重点考查的一个科目。
圆锥曲线在高中数学当中属于一个重点内容，而且也是一个难点内容，很多高中生对圆锥曲线有关知识进行学习期间都遇到不少困难，进而影响其学习兴趣以及积极性。
为此，教师可在圆锥曲线课堂教学当中对数学思想加以渗透，这样不仅能够帮助高中生对圆锥曲线有关知识进行理解以及掌握，同时还能有效培养高中生良好学习习惯与解题思维。
基于此，本文旨在对圆锥曲线课堂教学当中应用数学思想的策略展开探究，希望能为实际教学提供些许参考。
关键词：高中数学；圆锥曲线；数学思想前言：在圆锥曲线方面教学当中，因为问题考查方式具有多样性，而且圆锥曲线有关知识具有较大的抽象性，这加大了高中生的学习以及理解难度。
为此，教学期间，数学教师单纯通过知识讲解难以促使高中生对圆锥曲线有关知识进行正确以及高效掌握，进而影响其实际学习效果。
数学教师可在圆锥曲线方面教学当中对转化、分类以及数形结合这些思想加以渗透，帮助高中生对所学知识加以透彻理解，有效培养高中生综合素养以及解题能力。
为此，对圆锥曲线课堂教学当中应用数学思想的策略展开探究有着重要意义。
一、圆锥曲线课堂教学当中应用数学思想的必要性在高中数学当中，圆锥曲线属于重点内容，同时也是难点内容，占据重要位置。
圆锥曲线是历年高考必考的一项内容，而且分值比较大。
所以，数学教师除了要让高中生对圆锥曲线有关解题思路加以熟练掌握之外，同时还需着重培养高中生数学思维，促使其借助数学思想对圆锥曲线有关内容加以学习，有效培养高中生知识迁移这一能力。
高中生只有学会举一反三，才可对圆锥曲线有关问题加以有效解决，促使其解题能力不断提高，逐渐消除高中生对圆锥曲线有关知识进行学习期间存在的畏惧心理。
为此，教学期间，数学教师需通过恰当方法对数学思想加以渗透，降低高中生的解题难度，帮助其对相关题型及对应的解题方法加以有效掌握，促使高中生运用有关策略对圆锥曲线这类问题进行高效解决。
例说巧用数学思想解决圆锥曲线综合问题
例说巧用数学思想解决圆锥曲线综合问题圆锥曲线作为数学中非常重要的一个概念，在实际生活和工程问题中有着广泛的应用。
对于初学者来说，理解和解决圆锥曲线问题可能会比较困难。
本文将通过例题的方式，介绍一些巧用数学思想解决圆锥曲线综合问题的方法，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一概念。
我们来看一个关于椭圆的问题。
假设有一条长为10米，宽为8米的椭圆形跑道，现在需要在跑道内部设计一个长方形的草坪，使得长方形的面积最大。
如何设计草坪的尺寸呢？解决这个问题，我们可以利用数学思想中的最值问题来进行分析。
我们可以设长方形的长为x，宽为y，则长方形的面积S为S=x*y。
由于长方形必须位于椭圆内部，因此有不等式约束条件：x^2/25+y^2/16<=1。
现在我们的目标是求出长方形的面积S的最大值。
通过数学计算，我们可以列出函数S=x*y和约束条件x^2/25+y^2/16<=1，然后利用拉格朗日乘数法或者坐标变换等方法进行求解，最终得到长方形的最大面积S=40平方米。
通过这个例子，我们可以看到，利用数学思想和方法，我们可以比较轻松地解决圆锥曲线的应用问题。
类似地，我们可以利用数学思想中的最值问题来进行分析。
假设双曲线的方程为x^2/16-y^2/9=1，我们需要求出在这个双曲线内部的一条最长路径。
为了简化问题，我们可以假设这条路径是从双曲线的一个焦点到另一个焦点，并且经过双曲线的中心点。
这样，我们就可以利用双曲线的性质，求出这条路径的最长长度。
通过数学计算，我们可以得到这条路径的最长长度为10米。
在这个过程中，我们同样是通过数学方法，利用双曲线的性质和方程，来解决实际应用问题。
这表明，数学思想在解决圆锥曲线问题中的重要性和应用性。
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习例谈圆锥曲线中的数学思想
例谈圆锥曲线中的数学思想山东省枣庄市第二中学（邮编:277400） 赵钦荣数学思想方法是数学的灵魂，它始终伴随在数学学习和研究的过程中，蕴涵在每一个知识板块中，学习数学就是要学习数学的解题思想以及解题方法。
圆锥曲线是解析几何的核心内容，在圆锥曲线的学习中主要有以下数学思想方法值得我们注意。
一、数形结合思想数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
例1. 直线L 的方程为：x ＝－p 2 (p>0),椭圆中心D(2＋p 2,0)，焦点在x 轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A 。
问p 在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A 的距离等于该点到直线L 的距离？【分析】 由抛物线定义，可将问题转化成：p 为何值时，以A 为焦点、L 为准线的抛物线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题（研究方程组解的情况）。
【解】 由已知得：a ＝2，b ＝1, A(p 2,0)，设椭圆与双曲线方程并联立有： y pxx p y 22222241=-++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪[()]，消y 得：x 2－(4－7p)x ＋(2p ＋p 24)＝0 所以△＝16－64p ＋48p 2>0,即6p 2－8p ＋2>0，解得：p<13或p>1。
结合范围(p 2,4+p 2)内两根，设f(x)＝x 2－(4－7p)x ＋(2p ＋p 24)， 则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+>+<-<>0)24(0)2(2427420p f p f p p p p 2100821210<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<∈<<->⇒p p p R p p p 或，结合上面的p<13或p>1，有0<p<31. 结合以上，满足题意的p 的范围是0<p<31. 【注】本题利用方程的曲线将曲线有交点的几何问题转化为方程有实解的代数问题。
圆锥曲线运算的几种数学思想
专题：简化圆锥曲线运算的几种数学思想（一）极端思想通过考察圆锥曲线问题的极端元素，灵活地借助极限状态解题，则可以避开抽象及复杂运算，优化解题过程，降低解题难度。
这是简化运算量的一条重要途径。
[例1] 求已知离心率52=e ，过点（1，0）且与直线l ：032=+-y x 相切于点（35,32-），长轴平行于y 轴的椭圆方程。
解：把点（35,32-）看作离心率52=e 的椭圆0)35(51)32(22=-++y x （“点椭圆”），则与直线l ：032=+-y x 相切于该点的椭圆系即为过直线l 与“点椭圆”的公共点的椭圆系方程为：0)32()35(51)32(22=+-+-++y x y x λ又由于所求的椭圆过点（1，0），代入上式得，32-=λ因此，所求椭圆方程为：1522=+y x（二）补集思想有些圆锥曲线问题，从正面处理较难，常需分类讨论，运算量大，且讨论不全又容易出错，如用补集思想考虑其对立面，可以达到化繁为简的目的。
[例2] k 为何值时，直线l ：)1(1-=-x k y 不能垂直平分抛物线x y =2的某弦。
解：设}|{R k k I ∈=，|{k A =直线l 垂直平分抛物线x y =2的某弦}。
若直线l 垂直平分抛物线的弦AB ，且A ),(11y x ，B ),(22y x ，则121x y =，222x y =上述两式相减得：212121))((x x y y y y -=+-即21212111y y x x y y k +=--=-又设M 是弦AB 的中点，且),(00y x M ，则22210ky y y -=+=因为点M 在直线l 上，所以k x 1210-=由于M 在抛物线的内部，所以020x y <，即042121)2(32<+-⇒-<-k k k k k 020)22)(2(2<<-⇒<+-+⇒k k k k k故原命题中k 的取值范围是2-≤k 或0≥k（三）整体思想对有些圆锥曲线问题，注意其整体结构特点，设法将问题整体变形转化，以达到避免一些不必要的运算，降低解题难度。
例说巧用数学思想解决圆锥曲线综合问题
槡［（ｘ１ ＋ｘ２）２ －４ｘ１ｘ２］，化 简 方 程 可 得 槡ａ＋ｂ －ａｂ／（ａ ＋ｂ）＝１，由于题目 明 确 表 示 ＯＣ 的 斜 率 为槡２／２，及 ａ／ｂ ＝
槡２／２，将该等式关系代入 槡ａ＋ｂ －ａｂ／（ａ ＋ｂ）＝ １ 中 可 得
点 分别为Ａ 点和Ｂ 点，且ＡＢ 的中点为Ｃ，若｜ＡＢ｜＝２ 槡２，且
ＯＣ 的斜率为槡２／２，求该椭圆的方程”这一 数 学 题 目 时，便 可
以引导学生合理地应用方程思想来解决，先 从 该 数 学 题 目 中 找 出不同变量之间的等式关系，将ａｘ２＋ｂｙ２ ＝１与ｘ＋ｙ－１ ＝ ０联立可得出方程式（ａ＋ｂ）ｘ２ －２ｂｘ＋ｂ－１＝０，由于题
关 键 词 ：数 学 思 想 ；圆 锥 曲 线 问 题 ；应 用 策 略
对于高中阶段的学生而言，数学思想 的 培 养 是 该 阶 段 数 学教师的重要教学任务，如何帮助学生熟 练 地 掌 握 不 同 的 数 学思想来解决相应的数学问题是数学教师在课堂教学活动 中的主要教学目标，接下来笔者以圆锥曲 线 这 一 课 程 内 容 为 主体，对一些常见数 学 思 想 的 应 用 展 开 详 细 的 论 述，希 望 这 些意见和 建 议 可 以 对 相 关 教 师 提 供 一 些 新 的 教 学 思 路 和 方向。 一 、方 程 思 想
周刊
例说巧用数学思想解决圆锥曲线综合问题
丁立新
摘 要：圆锥曲线是高中数学课程内容中的重点，同时也是难点，学生在解决圆锥 曲 线 相 关 的 数 学 问 题 时，常 常 会 找 不 到 突 破点而难以在较短的时间内解出正确的答案 。针对这种情况，教师可以培养学生对于 数 学 思 想 的 认 知 和 应 用，在 遇 到 难 度 较 高 的圆锥曲线问题时 ，巧妙地运用数 学 思 想 对 其 进 行 快 速 地 解 决，提 高 解 题 效 率，这 也 是 笔 者 将 要 与 大 家 进 行 重 点 探 究 的 核 心 内容。
例说巧用数学思想解决圆锥曲线综合问题
例说巧用数学思想解决圆锥曲线综合问题数学是一门独特而美妙的学科，它不仅能够解决实际问题，还能够培养我们的逻辑思维能力和抽象思维能力。
在数学中，圆锥曲线是一类经典的曲线，包括椭圆、抛物线和双曲线。
在本文中，我们将讨论如何巧用数学思想解决圆锥曲线综合问题。
让我们来看一个典型的圆锥曲线问题：已知一条直线和一个焦点，如何确定一个椭圆，使得这条直线经过椭圆的两个焦点？解决这个问题的关键在于利用椭圆的几何定义和焦点的性质。
根据定义，椭圆是一条平面上的闭合曲线，其到两个焦点的距离之和为常数。
我们可以先确定椭圆的长轴和短轴的长度，然后利用这些信息来确定椭圆的位置。
假设直线与两个焦点的距离分别为d1和d2，且椭圆的长轴为a，短轴为b。
根据椭圆的几何定义，我们可以得到以下两个方程：(d1 + d2)/2 = a(d1 - d2)/2 = b通过解这个方程组，我们可以得到椭圆的长轴和短轴的长度。
然后，我们可以利用这些信息确定椭圆的位置。
在解圆锥曲线问题时，数学还能帮助我们简化问题、优化算法和找到突破口。
在解决椭圆问题时，我们可以将其转化为一个代数方程求解问题。
具体来说，我们可以构造一个关于椭圆的方程后，利用代数方法求解该方程。
这样一来，我们就能够利用代数的工具和技巧解决问题，而无需画图和几何概念。
数学还能够帮助我们理解圆锥曲线的性质和特点。
通过分析曲线的方程和参数，我们可以研究曲线的对称性、焦点位置、渐近线等特点，并利用这些特点解决问题。
在解决抛物线问题时，我们可以利用抛物线的焦点和准线的性质，将问题转化为一个求最值的问题，然后利用数学分析方法求解。
数学还能帮助我们验证和验证答案。
在解决圆锥曲线问题时，我们通常会得到一个代数方程的解。
为了验证这个解是否正确，我们可以将解代入原方程中，然后检查是否满足等式。
如果等式成立，那么我们的解是正确的；如果等式不成立，那么我们需要重新检查计算过程。
巧用数学思想可以帮助我们解决圆锥曲线综合问题。
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习圆锥曲线中的数学思想
圆锥曲线中的数学思想山东 秦振数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁。
解决圆锥曲线问题经常用到各种基本数学思想，掌握这些数学思想有利于提高我们分析问题和解决问题的能力。
下面介绍数学思想在圆锥曲线中的应用，供大家参考。
一、函数思想利用函数的有关性质，解决圆锥曲线的有关问题。
即以运动和变化的观点，分析圆锥曲线问题的数量关系，建立函数关系，运用函数的图象和性质求解，从而使问题获得解决。
例1 如图1所示，曲边梯形由曲线21y x =+及直线0y =，x=1，x =2所围成，试问通过曲线21y x =+，[]12x ∈，上的哪一点作切线，能使此切线从曲边梯形上切出一个最大面积的普通梯形。
分析 先求出适合条件[]12x ∈，的一条切线方程，再求出这条切线与直线x=1，x =2的交点坐标，根据梯形面积公式列出函数关系式，再求最值。
解 设[]012x ∈，，点()2001x x +，为曲线21y x =+上一点，过这点的切线的斜率是002y x '=，故切线方程是20021y x x x =-+①。
切线①与x=1，的交点纵坐标是210021y x x =-+，与x =2的交点的纵坐标是22041y x x =-+。
所以切线①在曲边梯形上切出梯形的中位线长21200312y y x x +=-+，梯形的高为1。
故普通梯形的面积20031S x x =-+2031324x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭。
当032x =时，S 最大。
故过点31324⎛⎫ ⎪⎝⎭，作切线能切出最大面积的普通梯形。
评注 在解圆锥曲线中的最值或次数的取值范围问题时，通常转化为函数问题，结合具体的函数性质求解，这样可以使问题化难为易，化繁为简，是一个重要的解题策略。
如果函数解析式中含有参数，一般要根据定义域和参数的特点分类讨论。
二、方程思想圆锥曲线问题，大部分题目都以二元二次方程形式给出的，因此，根据题目中的其它数量关系再列出方程与原方程联立，并运用方程（组）的有关性质求解，从而简化解题过程，减少运算量。
高考数学复习点拨 圆锥曲线中的数学思想
圆锥曲线中的数学思想一、整形结合思想例1 一动圆与圆221:(3)1O x y ++=外切，与圆222:(3)81O x y -+=内切，试求动圆圆心的轨迹方程．分析：根据题意，画出图形，找到圆心距与半径的关系，从而得出思路．解：如图1，设动圆圆心为()M x y ，，半径为R ． 由题意，得11MO R =+，29MO R =-， 1210MO MO +=∴． 由椭圆定义知M 在以12O O ，为焦点的椭圆上，且53a c ==，，22225916b a c =-=-=∴．∴动圆圆心的轨迹方程为2212516x y +=． 二、分类讨论思想例2 求满足下列条件的双曲线方程：离心率为54，虚半轴长为2． 分析：由于焦点在x 轴还是y 轴不确定，故应分两种情况讨论． 解：由题意，得524c b e a ===，，令54c k a k ==，， 则由222294b c a k =-==，得249k =， 2264169a k ==∴． 故所求的双曲线方程为2291644x y -=或2291644y x -=．三、等价转化思想例3 在抛物线22y x =上求一点P ，使点P 到焦点F 与到点(32)A ，的距离之和最小． 分析：数形结合，利用抛物线的定义转化为几何知识求解，问题就容易解决了． 解：如图2，设抛物线上的点P 到准线的距离为PQ ，由抛物线的定义知PF PQ =， PF PA PQ PA +=+∴．显然当P Q A ，，三点共线时，PQ PA +最小，由(32)A ，，可设0(2)P x ，代入22y x =， 得02x =，故点P 的坐标为(22)，．注：除去以上三种思想外，圆锥曲线中的数学思想还包括参数思想、对称思想等等，学好这些思想可极大提高我们的数学素质，拓展数学思维．。
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主讲老师：单清春
方法与思想梳理
1、数形结合的思想：合理画出图形，运用基本图形的几何性质
分析问题，可以直观地分析与解决问题；
2、方程思想及运用：分清变量与常数字母； 减少变量个数可优
化解题过程；两变量的关系相当于一个变量； 3、函数思想及运用：把问题化归成变化过程中的自变量与 函数，从而建立函数求最值与范围、证明定值等；
M 是椭圆左准线上的动点，若三角形 PQM 是正三角形，求 e 值。
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变式训练（当堂练习三）
x2 y2 椭圆 2 2 1(a b 0) 中。P，Q 是过左焦点的直线与椭圆的交点， a b
M 是椭圆左准线上的动点，若三角形 PQM 满足 MQ=MP，PMQ 求 e 值。
y2=4x上的点A（1，2），B、C在抛物线上使得AB⊥AC， 则BC一定通过定点______________________
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课后训练
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更多详细讲解，相关视频课程 （由简单网编辑负责,讲座老师不填写）
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答疑时间
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千难万阻简单应对 人生必定不简单！
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，
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典型问题四
x2 y2 已知椭圆 1 的左右焦点分别为 F1，F2，点 M（0，2）是椭圆的一个顶点。 8 4
过点 M 分别作直线 MA、MB 交椭圆于 A、B 两点，设两直线的斜率分别是 k1,k2, 且 k1+k2=8,证明：直线 AB 过定点。
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变式训练（当堂练习四）
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答疑时间
课后训练参考答案
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典型问题一
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变式训练（当堂练习一）
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典型问题二
x2 2 已知椭圆 2 y 1 ，P（2，t）是右准线上一点，F1，F2 是左右焦
点，过 F2 作 OP 的垂线 F2H，且与以 OP 为直径的圆交于点 Q。 （1）求 Q 点所在的曲线 C 的方程； （2）A、B 是 C 上不同于 Q 的两点， QF 1 m F1 A, QF 2 n F2 B ，求 m+n 的值。
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变式训练（当堂练习二）
x2 y2 椭圆 2 2 1(a b 0) 中。P，Q 是关于（0，0）对称的两点，M 是 a b
椭圆上的动点，若直线 PM，QN 的斜率存在，求证：kPMkQM 为定值。
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典型问题三
x2 y2 椭圆 2 2 1(a b 0) 中。P，Q 是过左焦点的直线与椭圆的交点， a b