九年级数学上册(人教版 课件) 22.3.2 二次函数与几何综合运用
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人教版九年级数学上册《22-3 实际问题与二次函数(第1课时)》教学课件PPT初三优秀公开课
人教版 数学 九年级 上册
22.3 实际问题与二次函数 （第1课时）
导入新知
【思考】 排球运动员从地面竖直向上抛出
球，排球的高排度 h（单位：m）与排球的运动
时 间 t（单位：s）之间的关系式是h= 20t - 5t
2
最（高0≤？t≤排4球）运．动排中球的的最运大动高时度间是多多少h少？时，排球
是
2
课堂检测
基础巩固题
1. 用一段长为15m的篱笆围成一个一边靠墙的
矩形菜园，墙长为18m，这个矩形菜园的最大
225 m2
面积是 8 .
课堂检测
2.如图1，在△ABC中， ∠B=90°,AB=12cm,BC=24cm,动点 P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合）， 动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如
连接中考 如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利
用 旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已
知矩 形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所
利 用旧墙AD的长； 解：设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m， 根据题意得x（100﹣2x）=450，解得x1=5，x2=45. 当x=5时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去； 当x=45时，100﹣2x=10. 答：AD的长为10m；
问题4 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？ 不正确.
问题5 如何求自变量的取值范围？ 0 ＜ x ≤18.
问题6 如何求最值？ 由于30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其
最值.当x=18时，S有最大值是378.
探究新知
22.3 实际问题与二次函数 （第1课时）
导入新知
【思考】 排球运动员从地面竖直向上抛出
球，排球的高排度 h（单位：m）与排球的运动
时 间 t（单位：s）之间的关系式是h= 20t - 5t
2
最（高0≤？t≤排4球）运．动排中球的的最运大动高时度间是多多少h少？时，排球
是
2
课堂检测
基础巩固题
1. 用一段长为15m的篱笆围成一个一边靠墙的
矩形菜园，墙长为18m，这个矩形菜园的最大
225 m2
面积是 8 .
课堂检测
2.如图1，在△ABC中， ∠B=90°,AB=12cm,BC=24cm,动点 P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合）， 动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如
连接中考 如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利
用 旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已
知矩 形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所
利 用旧墙AD的长； 解：设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m， 根据题意得x（100﹣2x）=450，解得x1=5，x2=45. 当x=5时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去； 当x=45时，100﹣2x=10. 答：AD的长为10m；
问题4 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？ 不正确.
问题5 如何求自变量的取值范围？ 0 ＜ x ≤18.
问题6 如何求最值？ 由于30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其
最值.当x=18时，S有最大值是378.
探究新知
人教课标版 初中 数学 九年级上册第22章22.3二次函数的应用(共21张PPT)
反思感悟
通过本节课的学习，我的收获是什么？ 解决问题的关键是：求出函数解析式
二次函数是能指导我们解决生活中的实 际问题，同学们，认真学习数学吧，因为 数学来源于生活，更能优化我们的生活。
问题拓展
• （4）小东身高2.26米，跳起能摸到高度为 32 米，此时他上前封盖，在离小明3米时起跳，9 问能否成功封盖小明的此次投篮？说明理由
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
【实际问题】： 一场篮球赛中,小明跳起投篮,已知球出手 时离地面高 2 0 米,与篮圈中心的水平距离为8米,当球出
9
手后水平距离为4米时到达最大高度4米,设篮球运行的 轨迹为抛物线,篮圈中心距离地面3米。
基础扫描
用待定系数法求函数的一般步骤：
1【设】依题意设函数解析式； 2【代】把已知点代入，得方程（组） 3【解】解方程（组），求出待定的系数； 4【写】把所求的系数代入所设的函数解析
式，写出函数解析式。
；
基础扫描
二次函数解析式表示形式：
1、一般式： y=ax2+bx+c 2、顶点式： y=a(x-h)2+k 3、两根式：y=a(x-x1)(x-x2)
则a=
。
4、抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平移
2个单位得到的抛物线是
。
5、抛物线y=2(x+m)2+n的顶点是
。
6、试判断点（2，3）是否在抛物线 y=3x2+2x-1的图像上。
7、设抛物线的顶点为（1，-2），且经过 点（2，3），求它的解析式。
初中数学人教版九年级上册二次函数图象和性质综合应用
的图象只可能是（D ）
y
1 0
x
y
y
y
y
0x
0x
0x
0x
( A)
(B)
(C )
(D)
小明从右边的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象观察
得出下面的五条信息：① a＜ 0；② c＝0；③ 函
数的最小值为-3； ④当x＜0时，y>0； ⑤当0＜x1
＜x2＜2时，y1 > A．2 B．3
y2
你认为其中正确的个数有(
所以其解析式为:
(1) y=(x-1)2+5
(2) y=(x-1)2-5
(3) y=-(x-1)2+5
(4) y=-(x-1)2-5
课堂小结：
1、二次函数的定义及表达式； 2、二次函数的一般形式； 3、二次函数的特殊形式 4、二次函数的图像及性质 5、二次函数与一元二次方程的关系。
二次函数
开口方向 对称轴 顶点坐标
y = a（x+h) 2+k a ＞ 0 向上 直线X=-h （-h，k） a ＜ 0 向下
练习巩固2:
（1）抛物线 y = 2 (x –３ ) 2+1 的开口向 上,
对称轴 X=３ , 顶点坐标是（３，1）
（2）若抛物线y = a (x+m) 2+n开口向下，顶
点在第四象限，则a〈 0, m〈 0, n〈 0。
对称轴在y轴左侧
a、b同号
对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴
a、b异号 b=0
（4）b2-4ac的符号： 由抛物线与x轴的交点个数确定
与x轴有两个交点
与x轴有一个交点 与x轴无交点
b2-4ac>0 b2-4ac=0
九年级数学上册人教版(课件)：22.3.2 二次函数与几何综合运用
问题2：如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园， 墙长32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积 是多少？
分析： 提问1：问题2与问题1有什么不同？ 提问2：我们可以设面积为S，如何设自变量？ 提问3：面积S的函数关系式是什么？ 答案：设垂直于墙的边长为x米，S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x. 提问4：如何求解自变量x的取值范围？墙长32 m对此题有什么作用？ 答案：0＜60－2x≤32，即14≤x＜30. 提问5：如何求最值？
22.3 实际问题与二次函数
第2课时 二次函数与几何综合运用
能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数关系式，并能 应用二次函数的相关性质解决实际几何问题，体会二次函数是刻画 现实世界的有效数学模型．
重点 应用二次函数解决几何图形中有关的最值问题． 难点 函数特征与几何特征的相互转化以及讨论最值在何处取得．
答案：设矩形面积为 S m2，与墙平行的一边为 x 米，则 S＝
60－ 2 x·x＝－x22＋30x. 提问 4：当 x＝30 时，S 取最大值．此结论是否正确？ 提问 5：如何求自变量的取值范围？ 答案：0＜x≤18. 提问 6：如何求最值？ 答案：由于 30＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值．当
答案：x＝－2ba＝－2×（6－ 0 2）＝15 时，Smax＝450.
问题3：将问题2中“墙长为32 m”改为“墙长为18 m”，求这个矩 形的ห้องสมุดไป่ตู้、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
提问1：问题3与问题2有什么异同？ 提问2：可否模仿问题2设未知数、列函数关系式？ 提问3：可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？
一、引入新课 上节课我们一起研究用二次函数解决利润等代数问题，这节课我们共 同研究二次函数与几何的综合应用．
人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》课件(共22张)
解：因为第1档次的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元，每 提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件， 所以第 x 档次，提高了(x−1)档，利润增加了 2(x−1)元． 所以 y＝[6＋2(x−1)][95−5(x−1)]， 即 y＝−10x2＋180x＋400(其中 x 是正整数，且1≤x≤10)．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一 元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值 为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
人教版数学九年级上册 二次函数的图象和性质综合应用课件
C
QB
所以，当P、Q同时运动2秒后ΔPBQ的面积y最大，
最大面积是 4 cm2
训练2： 现有一根80厘米长的线， 需要用它围成一个矩形，
问矩形的长和宽各取多少厘米，才 能使场地的面积最大？
二、根据已知函数的表达式解 决实际问题：
炮弹从炮口射出后，飞行的高度h(m)与飞行时间t(s)
之间的函数关系式是
• ①求这条抛物线所对应的函数关系式。
• ②如图，在对称轴右边 1m 处，桥洞 离水面的高是多少？
驶向胜 利的彼
岸
41.该来的始终会来，千万别太着急，如果你失去了耐心，就会失去更多。 30.收获是怎样的？收获是美好的，是辛勤的，是愉快的，是自尊心的维护。但，成功是要付出代价的。每一个人都希望自己成功，自己能收 获，但在这条路上要洒许多辛勤的汗水。
要少卖出10件。该商品应定价为多少元时， 商场能获得最大利润？
解：设每件加价为x元时获得的总利润为y元.
y =(60-40+x)(300-10x) =(20+x)(300-10x) =-10x2+100x+6000 =-10(x2-10x-600) =-10［(x-5)2-625］ =-10(x-25)2+6250
(4)∵开口向上,顶点(2,-1)为最低点, ∴有最小值-1
亮出你的风采
1、已知二次函数的顶点是（-1，2)且经过点（3， 9）求函数的解析式
2、已知二次函数经过点（0，-3） （1，-2）和点 （3，0),求函数的解析式
3.已知抛物线与 轴交于点A（0，3），与 轴 分 别交于B（1，0），C（5，0）两点，求此抛 物线的解析式．
当x=5时，y的最大值是6250.
定价:60+5=65（元）
人教版数学九年级上册《22.3实际问题与二次函数》课件 (共20张PPT)
解： 矩形场地的周长是60m,一边长为lm,
所以另一边长为（60 l）m.
l
场地的面积
2
S=l(30-l)
S
即S=-l2+30l (0<l<30)
因此，当
l
b 2a
30 2 (1)
15
时，
S有最大值 4ac b2 302 225.
4a 4 (1)
即当l是15m时，场地的面积S最大.
方法点拨
4
1 2
x(1
x
)
2
x
1 2
2
1 2
(0
x 1)
当x 12时, y有最小值12.
即当E位于AB中点时，正方形EFGH面积最小.
4. 某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形
绿化带ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为40m的栅
栏围住．设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为ym²．
这时设计费最多，为9×1000=9000（元）
0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.
问题5 如何求最值？ 最值在其顶点处，即当x=15m时，S=450m2.
变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩 形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的 面积最大，最大面积是多少？
问题1 变式2与变式1有什么异同？
问题2 可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？ x
人教版数学九年级上册
22.3 实际问题与二次函数 几何面积最值问题
学习目标
1.掌握几何问题中的相等关系的寻找方法。 2.学会应用函数关系式求图形面积的最值。 3.会应用二次函数的性质解决实际问题。
探究新知
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答案：设矩形面积为 S m2，与墙平行的一边为 x 米，则 S＝
60－ 2 x·x＝－x22＋30x. 提问 4：当 x＝30 时，S 取最大值．此结论是否正确？ 提问 5：如何求自变量的取值范围？ 答案：0＜x≤18. 提问 6：如何求最值？ 答案：由于 30＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值．当
问题2：如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园， 墙长32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积 是多少？
分析： 提问1：问题2与问题1有什么不同？ 提问2：我们可以设面积为S，如何设自变量？ 提问3：面积S的函数关系式是什么？ 答案：设垂直于墙的边长为x米，S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x. 提问4：如何求解自变量x的取值范围？墙长32 m对此题有什么作用？ 答案：0＜60－2x≤32，即14≤x＜30. 提问5：如何求最值？
22.3 实际问题与二次函数
第2课时 二次函数与几何综合运用
能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数关系式，并能 应用二次函数的相关性质解决实际几何问题，体会二次函数是刻画 现实世界的有效数学模型．
重点 应用二次函数解决几何图形中有关的最值问题． 难点 函数特征与几何特征的相互转化以及讨论最值在何处取得．
答案：x＝－2ba＝－2×（6－ 0 2）＝15 时，Smax＝450.
问题3：将问题2中“墙长为32 m”改为“墙长为18 m”，求这个矩 形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
提问1：问题3与问题2有什么异同？ 提问2：可否模仿问题2设未知数、列函数关系式？ 提问3：可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？
x＝18 时，Smax＝378. 小结：在实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象
顶点处，要根据自变量的取值范围来确定．通过问题 2 与问题 3 的 对比，希望学生能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以 及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值．
三、回归教材 阅读教材第51页的探究3，讨论有没有其他“建系”的方法？哪 种“建系”更有利于题目的解答？ 四、基础练习 1．教材第51页的探究3，教材第57页第7题． 2．阅读教材第52～54页． 五、课堂小结与作业布置 课堂小结 1．利用求二次函数的最值问题可以解决实际几何问题． 2．实际问题的最值求解与函数图象的顶点、端点都有关系，特 别要注意最值的取得不一定在函数的顶点处． 作业布置 教材第52页 习题第4～7题，究用二次函数解决利润等代数问题，这节课我们共 同研究二次函数与几何的综合应用．
二、教学过程 问题1：教材第49页探究1. 用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l 的变化而变化．当l为多少米时，场地的面积S最大？ 分析： 提问1：矩形面积公式是什么？ 提问2：如何用l表示另一边？ 提问3：面积S的函数关系式是什么？