常用概率分布
概率论常用分布的概念及应用
一、前言随着医学模式的转变，护理工作不再仅仅局限于疾病的治疗，更注重于患者的身心健康和人文关怀。
为提高护理服务质量，我院于近日开展了人文护理查房活动。
本次查房旨在强化护理人员人文素养，提升患者满意度，现将查房总结如下。
二、查房内容1. 患者需求评估查房过程中，护理人员深入病房，对患者的需求进行评估。
通过观察、询问、沟通等方式，了解患者的基本情况、心理状态、生活习惯等，为制定个性化的护理方案提供依据。
2. 人文关怀措施针对患者的需求，护理人员采取了一系列人文关怀措施，如：（1）耐心倾听：与患者进行有效沟通，了解患者的痛苦和需求，给予心理支持。
（2）尊重患者：尊重患者的隐私和信仰，关心患者的日常生活，营造温馨的病房氛围。
（3）健康教育：普及疾病知识，提高患者对疾病的认识，增强患者战胜疾病的信心。
（4）心理疏导：关注患者的心理状态，进行心理疏导，缓解患者的焦虑、恐惧等负面情绪。
3. 护理团队协作查房过程中，护理人员相互配合，共同为患者提供优质的护理服务。
通过团队合作，提高护理质量，降低护理风险。
三、查房成果1. 提升患者满意度通过人文护理查房，患者感受到我院护理人员的关爱，满意度得到显著提升。
2. 增强护理人员人文素养查房过程中，护理人员不断学习、交流，提高自身人文素养，为患者提供更加优质的护理服务。
3. 促进护理团队建设人文护理查房有助于加强护理团队之间的沟通与协作，提高护理团队的整体素质。
四、总结与展望本次人文护理查房活动取得圆满成功，为我院护理工作注入了新的活力。
在今后的工作中，我们将继续深化人文护理理念，不断提高护理服务质量，为患者提供更加优质的护理服务。
具体措施如下：1. 加强护理人员人文教育，提高护理人员人文素养。
2. 完善人文护理制度，将人文关怀融入护理工作全过程。
3. 定期开展人文护理查房，持续改进护理服务质量。
4. 加强与患者的沟通与交流，关注患者需求，提高患者满意度。
总之，人文护理查房活动是我院护理工作的一次有益尝试，我们将以此为契机，不断提升护理服务质量，为患者提供更加优质的护理服务。
16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用
目录1. 均匀分布 (1)2. 正态分布（高斯分布） (2)3. 指数分布 (2)4. Beta分布（：分布） (2)5. Gamm 分布 (3)6. 倒Gamm分布 (4)7. 威布尔分布（Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布） (5)8. Pareto 分布 (6)9. Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7)210. 分布（卡方分布） (7)8 11. t分布................................................9 12. F分布 ...............................................10 13. 二项分布............................................10 14. 泊松分布（Poisson 分布）.............................11 15. 对数正态分布........................................1. 均匀分布均匀分布X ~U（a,b）是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。
2. 正态分布（高斯分布）当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量 很可能服从正态分布，记作X~N （」f 2）。
正态分布为方差已知的正态分布N （*2）的参数」的共轭先验分布。
1 空f （x ）： —— e 2-J2 兀 o'E(X)， Var(X) _ c 23. 指数分布指数分布X ~Exp （ ）是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。
其 中，.0为尺度参数。
指数分布的无记忆性：Plx s t|X = P{X t}。
f （X ）二 y oiE(X) 一4. Beta 分布（一：分布）f （X ）二 E(X)Var(X)=(b-a)2 12Var(X)二1~2Beta 分布记为X 〜Be(a,b)，其中Beta(1,1)等于均匀分布，其概率密度函数 可凸也可凹。
常用概率分布
二项分布的概念
Bernoulli试验
1) 每次试验结果只能是两种互斥的 结果之一。
2) 每次试验的条件不变。 3) 各次试验相互独立。
二项分布的特点
离散型分布 两个参数：n、 均数＝n，2＝（1－）
P(x)
0.4 0.3 0.2 0.1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
x
n=3,π =0.5
P(x)
0.4 0.3 0.2 0.1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
x
n=10,π =0.5
P(x)
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
第四章 常用概率分布
二项分布 －二项分布的概念与特征 －二项分布的应用
Poisson分布的概念与特征 －Poisson分布的概念、特征与应 用
二项分布
Binomial distribution
例：小鼠用药后死亡的概率为80％，3只 小鼠的试验结果可能为：
甲 乙 丙 试验结果的概率
生 生 生 0.2×0.2×0.2 0.23
死 死 死 0.8×0.8×0.8 0.83
二项分布通式、概率函数
(0.2+0.8)3＝(0.2)3＋3(0.2)2(0.8)+3(0.2)(0.8)2+(0.8)3
生存＋死亡 三生 二生一死 二生一死 三死
常用概率分布-医学统计学
标准正态分布的µ=0，σ=1，则 µ±σ相当于区间(-1，1)， µ±1.96σ相当于区间(-1.96，1.96), µ±2.58σ的区间相当于区间(-2.58，2.58)。
区间(-1,1)的面积：1-2Φ(-1)=1-2×0.1587=0.6826=68.26% 区间(-1.96,1.96)的面积：1-2Φ(-1.96)=1-2×0.0250=0.9500=95% 区间(-2.58,2.58)的面积：1-2Φ(-2.58)=1-2×0.0049=0.9902=99.02%
在单位空间中某种昆虫或野生动物数的分布，粉尘在
观察容积内的分布，放射性物质在单位时间内放射出
质点数的分布等。Poisson分布一般记作
。
Poisson分布作为二项分布的一种极限情况
Poisson分布可以看作是发生的概率π 很小，而观
察例数很大时的二项分布。除要符合二项分布的三个
基本条件外，Poisson分布还要求π或1-π接近于0和1。 有些情况π和n都难以确定，只能以观察单位(时间、
例 3 某年某市调查了 200例正常成人血铅含量 （μg/100g)如下，试估计该市成人血铅含量的95%医 学参考值范围。
分析：血铅的分布为偏态分布，且血铅含量只以 过高为异常，要用百分位数法制定单侧上限。
二、质量控制 为了控制实验中的检测误差，常用 ±2S作上
下但的警影随响机戒某因线一素，指很以标多， ±3S作为上下控制线。这里的2S和 3如S可果该视指为标1的.96随S 和2.58S的约数。其依据是正常情况下 检机误测波差动，误属则差于往是随往服机符从正态分布的。
概率 密度
正态分布的密度函数，即正态曲线的方程为 -∞＜X＜+∞
均数为0，标准差为1的正态分布，这种正态分布 称为标准正态分布。
概率论八大分布
概率论八大分布概率论是统计学的一个重要分支，它探究随机变量及其关联性，研究不同的现象的结果和概率分布之间的关系，提供量化的度量工具以确保实际应用的准确性。
概率论八大分布是概率论中应用最为广泛的几个分布，它们提供了研究各种随机现象的基础，影响了大量的现实问题的解决方案，其实质是根据大量试验获得的数据来拟合出不同类型的概率分布。
首先，概率论八大分布中首先涉及的是正态分布。
是一种最常见的概率分布，也称作高斯分布。
正态分布的图形可以表示为一个双峰的曲线，其特点是只有两个参数：均值μ和标准差σ，它可以用来描述平均值的概率密度分布情况，即随机变量的取值可能会靠近均值μ。
其次，另一个重要的概率分布是均匀分布。
均匀分布是一种两个参数（下限a和上限b）的概率分布，这两个参数分别代表了随机变量可能取值的范围，即该变量只能在a和b之间取值，其中每一个结果都有相同的概率。
第三，指数分布是另一种广泛使用的分布，它具有唯一的参数λ，该参数代表了随机变量的变化率。
指数分布的特性是，它可以用来衡量发生某种事件的时间间隔，以及研究受试者遭受某种不利影响的持续时间。
接下来，椭圆分布（又称偏态分布）是一种广泛应用的概率分布，它可以用来描述数据集中对称性差异。
椭圆分布有三个参数：均值μ、标准差σ和偏度γ，其中偏度γ决定了数据集中偏斜程度。
接着，卡方分布是一种常常用来拟合实验数据的分布，它用一个参数k来描述数据的分布形状。
卡方分布是一种双峰分布，它的参数k决定了其双峰形状陡峭程度。
此外，t-分布是一种密度比较大的分布，它是一种卡方分布的变种，但具有更大的连续性。
t-分布有两个参数，即自由度ν和不同的中心值μ，它主要用于检验两个样本之间的差异和单样本的参数估计。
接着，F-分布是t-分布的多变量拓展，如果两个样本是来自不同的总体，那么可以使用F-分布来检验这两个样本的差异。
F-分布的参数为两个自由度，即自由度1和自由度2，它最常用于在两个样本之间检验方差的差异。
统计学中的常用概率分布及其性质
统计学中的常用概率分布及其性质概率论是数学中的一个分支，它研究的是随机事件的发生概率以及由随机变量带来的影响。
概率分布则是衡量随机变量取值的可能性的一种方法。
概率分布可以用来得出某些随机变量出现的概率，同时可以用来比较多个随机变量之间的差异。
在统计学中，常用的概率分布有正态分布、伯努利分布、泊松分布、指数分布、二项分布、负二项分布以及几何分布。
正态分布正态分布是一种非常常见的概率分布，也叫高斯分布。
正态分布的概率密度函数是一个钟形曲线，其均值、方差以及标准差的值决定了曲线的位置与形态。
伯努利分布伯努利分布是一种离散概率分布，其只有两个可能结果，即成功或失败。
在伯努利分布中，成功的概率为p，失败的概率为1-p。
伯努利分布可以用来估计投掷硬币等随机事件的概率。
泊松分布泊松分布是一种离散概率分布，它用来衡量独立随机事件在一段时间内发生的次数。
泊松分布的概率密度函数为: P(X=k)= e^-λ * λ^k/k!，其中λ为平均发生次数。
指数分布指数分布是一种连续概率分布，其用途非常广泛，例如在可靠性工程学中，指数分布可以用来描述设备故障发生之间的时间间隔。
指数分布的概率密度函数为: f(x) = λ * e^-λx，其中λ为发生比例。
二项分布二项分布是一种离散概率分布，其表示在n次试验中成功的次数。
二项分布的概率函数为：P(X=k)= (n!/(k!*(n-k)!)) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中p为成功概率，n为试验次数。
负二项分布负二项分布是一种离散概率分布，其表示在成功x次之前，需要进行n次试验中失败的次数。
负二项分布的概率密度函数为：P(X=k)= (k-1)!((r-1)!*(k-r)!)p^r(1-p)^(k-r)几何分布几何分布是二项分布的一个特例，其表示在n次试验中，首次发生成功的次数。
几何分布的概率密度函数为：P(X=k)=(1-p)^(k-1)* p，其中p为成功概率，k为试验次数。
常用概率分布类型及其特征
常用的概率分布类型及其特征3．1 二点分布和均匀分布1、两点分布许多随机事件只有两个结果。
如抽检产品的结果合格或不合格；产品或者可靠随机事件变量只有两个取值，一般取0和1。
它服从的分布称两点分布。
其概率分布为：其中 Pk=P（ X=Xk），表示X取Xk值的概率：0≤P≤1。
X 的期望 E（X）=PX的方差 D（X）=P（1—P）2 、均匀分布如果连续随机变量X的概率密度函数 f（x）在有限的区间[a，b]上等于一个常布。
其概率分布为：X的期望 E（X）=（a+b）/2X的方差 D（X）=（b-a）2/123．2 抽样检验中应用的分布3．2．1 超几何分布假设有一批产品，总数为N，其中不合格数为d，从这批产品中随机地抽出n件格数X服从的分布称超几何分布。
X的分布概率为：X=0，1，……X的期望 E （ X ） =nd/NX 的方差 D （ X ） =（（nd/N）（（N-d）/N）（（ N-n）/N））（1/2）3．2．2 二项分布个阶乘，因而计算起来9超几何分布的概率公式可以写成阶乘的形式，共有成是超几何分布的一个简化。
假设有一批产品，不合格品率为P，从这批产品中随机地抽出n 件作为被检样分布为二项分布。
X的概率分布为：0<p<1n ，……， x=0，1=np）（X的期望 X E）1-p=np（ X的方差 D（X）3．2．3 泊松分布泊松分布比二项分布更重要。
我们从产品受冲击（指瞬时高电压、高环境应力实引入泊松分布。
假设产品只有经过一定的冲击次数后，产品才失效，又设这些冲击满（1）、两个不相重叠的时间间隔内产品所受冲击次数相互独立；（2）、在充分小的时间间隔内发生两次或更多次冲击的机会可忽略不计；（3）、在单位时间内发生冲击的平均次数λ（λ＞0）不随时间变化，即在时Δt 的起点无关。
冲击，它和则在[0，t]时间内发生冲击的次数X服从泊松分布，其分布概率为：X的期望 E（X）=λtX的方差 D（X）=λt假设仪表受到n次冲击即发生故障，则仪表在[0，t]时间内的可靠度为：。
常用概率分布
有拐点，表现为钟形 靠近 x 处曲线下面积较为集中,两边减少,意味
着正态分布变量取值靠近 x处 的概率较大,两 边逐渐减少 正态分布的总体偏度系数和峰度系数均为0
8
正态分布曲线下面积
正态分布变量X的取值为(-∞,∞)
23
四、二项分布的图形
24
图形特点：两个轴意义，对称、偏态、与 正态分布的关系
决定图形的两个参数：n，
25
五、样本率的均数和标准差
样本率的总体均数p:
p
1 n
x
1 n
(n )
样本率的总体标准差p:
p
1 n
x
(1 )
n
样本率的标准差（标准误)Sp:
Sp
p(1 p) n
26
根据中心极限定理，在n较大，n(1- )均大于5时，二项分 布接近于正态分布。当n → ∞ , 二项分布B(n,)的极限分布 是总体均数为X = n、总体方差 X2 = n(1-)的正态分布 N(n, n(1-))。这个时候可以用正态分布N(n, n(1-)) 作近似计算。
16
确定医学参考值范围
例 估计某地健康成年女子的血红蛋白的95% 医学参考值范围
具体步骤如下： 1. 根据研究背景确定研究对象的入选标准和排
除标准。这类研究一般要求参加体检并且要 求除研究指标血红蛋白指标外，其他指标均 正常的对象。 2. 根据研究背景，确定血红蛋白过高或过低均 属于不正常（双侧范围）。
6. 如果受检指标血红蛋白呈偏态分布，则可 以用百分位数P2.5～P97.5确定95%参考值 范围，但样本量要充分大。
7. 样本量充分大是相对与指标的变异程度， 指标变异大，要求样本量大；指标变异程 度小，要求样本量可以相对小一些。
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正态分布
• 求Z值:
130 123 .02 Z 1.46 4.79
• 查表:
(1.46) 0.0721
• 理论上该地8岁男孩身高在130cm以上者占 该地8岁男孩总数的7.21%。
• 先计算120 和128所对应的Z值:
z1 120 X 120 123.02 0.63 S 4.79 128 X 128 123.02 z2 1.04 S 4.79
（1）有一个点距中心线的距离超过3个标准差（位于控制限 以外）。
（2）在中心线的一侧连续有9个点。
（3）连续6个点稳定地增加或减少。
（4）连续14个点交替上下。 （5）连续3个点中有两个点距中心线距离超过2个标准差。 （6）连续5个点中有4个点距中心线距离超过1个标准差 （7）中心线一侧或两侧连续15个点距中心线距离都在1个标 准差以内。 （8）中心线一侧或两侧连续8个点距中心线距离都超出1个 标准差范围。
正态分布
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
不同 均数
u1
u2
u3
正态分布
不同标 准差
-3
-2
-1
0
1
2
3
标准正态分布
• 对任意一个服从正态分布 的随机变 量，可作如下的标准化变换，也称Z变换,
Z X
N (, 2 )
• Z服从总体均数为0、总体标准差为1的正态 分布。我们称此正态分布为标准正态分布 (standard normal distribution)，用N(0，1) 表示。
2 3 2
(32)
0.432
二项分布
表5-1 治疗3例可能的有效例数及其概率 有效人数 (x)
C
X 3
C 3X
x
0.60=1
0.6 0.6×0.6 0.6×0.6 ×0.6
(1－)n-x
出现该结果概 率P(x)
0
1 2 3
1
3 3 1
0.4×0.4×0.4
0.4×0.4 0.4 0.40
3 C5 3 (1 ) 53
二项分布
医学研究中很多现象观察结果是以两分 类变量来表示的，如阳性与阴性、治愈与 未愈、生存与死亡等等。如果每个观察对 象阳性结果的发生概率均为，阴性结果的 发生概率均为（1－）；而且各个观察对 象的结果是相互独立的，那么，重复观察n 个人，发生阳性结果的次人数X的概率分布 为二项分布，记作B（X；n，π）。
二项分布
• 二项分布的概率函数P(X)可用公式（5-1） 来计算。
P( X ) C nX X (1 ) n X
C
X n
n! X !(n X )!
二项分布
例5-2 临床上用针灸治疗某型头痛，有效的 概率为60%，现以该法治疗3例，其中两例 有效的概率是多大？
C 0.6 (1 0.6)
f (X ) 1
( X 为总体标准差。
•
正态分布是最常见、最重要的一种连续 型分布，它首先由德国数学家和天文学家 德· 莫阿弗尔（A. de Moivre，1667-1754） 于1733年提出。德国数学家Gauss发现虽然 稍晚，但他迅速将之应用于天文学研究， 使正态分布广为人知，故正态分布又称为 Gauss分布（Gaussian distribution）。
(μ 1.96σ, μ 1.96σ ) 内的面积为0.95 ( 2.58 , 2.58 ) 内的面积为0.99
正态分布
Φ(z)
z
正态分布
0.025
0.025
－1.96 1.96
正态分布
0.07
0.07
-1.46
1.46
图5-9 例5-10示意图
• 例5-12 某地1986年120名8岁男孩身高均数 为 X =123.02cm ，标准差为S=4.79cm，试 估计 (1)该地8岁男孩身高在130cm以上者占该地8 岁男孩总数的百分比 (2)身高在120cm～128cm者占该地8岁男孩总 数的百分比; (3)该地80%的男孩身高集中在哪个范围？
正态分布
• 正态曲线下面积的分布规律
-3
-2
-1
0
1
2
3
μ -3σ
μ -2σ
μ -σ
μ 68.27% 95.44% 99.74%
μ -σ
μ -2σ
μ -3σ
正态分布曲线下的面积规律：
· 正态曲线与横轴所夹的面积为1。
· 位于 · 位于 · 位于
(μ 1.64σ, μ 1.64σ ) 内的面积为0.90
统计方法的理论基础
• 后面各章讨论的许多统计方法如t 检验、方差分
析、回归分析等都要求指标服从正态分布。 • 对属于非正态分布的资料，实施统计处理的一个 重要途径是对其进行变量变换，使得转换后的资 料近似服从正态分布，然后按正态分布的方法作
统计学处理。
第二节
概念 特征 应用
二项分布
一、二项分布的概念与特征
X 1.96S
• 例5-13 调查某地120名健康女性血红蛋白， 直方图显示，其分布近似于正态分布，
X 117.4
（g/L），S 10.2 （g/L），试估计 该地健康女性血红蛋白的95%参考值范围。
因血红蛋白过高、过低均为异常，所以按双 侧估计95%医学参考值范围
X 1.96S 117.4 1.9610.2 137.9( g / l )
(0.63) 0.2643
(1.04) 1 (1.04) 1 0.1492 0.8508
• 正态曲线下区间（－0.63，1.04）上的面积 等于 (1.04) (0.63) 0.8508 0.2643 0.5865
正态分布
• 查附表1，标准正态分布曲线下左侧面积为 0.10所对应的Z值为－1.28， • 80%的8岁男孩身高集中在 X 1.28S 区间内， 即116.9cm与129.2cm之间。
正态分布特点
• 正态概率密度曲线的位置与形状具有如下特点 • （1）关于x=μ 对称。 • （2）在x=μ处取得该概率密度函数的最大值，在 • x 处有拐点，表现为钟形曲线。 （3）曲线下面积为1。 （4）μ决定曲线在横轴上的位置，μ增大，曲线沿 横轴向右移；反之,μ减小，曲线沿横轴向左移。 （5）σ决定曲线的形状，当μ恒定时，σ越大，数据 越分散，曲线越“矮胖’；σ 越小, 数据越集中， 曲线越‘瘦高’。
正态分布的应用
（一）确定医学参考值范围 医学参考值范围(reference ranges):是指特定 的“正常”人群数据中大多数个体的取值 所在的范围。人们习惯用该人群95%的个体 某项医学指标的取值范围作为该指标的医 学参考值范围。
正态分布
确定医学参考值范围的方法有两种： （1）百分位数法:适用于任何分布型的资料。 双侧95%参考值范围: (P2.5 ,P97.5) 单侧范围:P95以下，（如血铅、发汞）， 或P5以上（如肺活量）。 （2）正态分布法
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
P(x) 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
n=3,π =0.5
x
n=10,π =0.5
x
图5-1 π=0.5时,不同n值对应的二项分布
P(x) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
（二）质量控制
若实验误差仅由随机误差引起，不存在某些影响较
大的因素导致的误差(称为系统误差)，则指标的 波动应服从正态分布，根据这一原理，可以实现
测量过程的质量控制。
5.5
尿酸测定值（mg/dl）
5.0
4.5
4.0
3.5 0 5 10 15 20 时间（天）
图5-9
血清尿酸测定值控制图
判断异常的8种情况
正态分布
• 统计学家编制了标准正态分布曲线下面积 分布表（附表1），因为正态分布两边对称， 所以只给出Z取负值的情况。 表内所列数 据表示Z取不同值时标准正态分布的分布函 数值，此值大小相当于Z值左侧标准正态曲 线下面积，记作 。(z )
正态分布
例5-11 已知X服从均数为μ、标准差为σ的正 态分布，试估计： X取值在区间 1.96 上的概率； X取值在区间 2.58 上的概率。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
二项分布的特征
接近0.5时，图形是对称的；图5-1 离0.5愈远，对称性愈差，但随着n的增大，
分布趋于对称。图5-2 当n→∞时，只要不太靠近0或1， 当nP和 n(1－P)都大于5时，二项分布近似于正态 分布。 二项分布图形取决于与n，高峰=n处
P(x) 0.4 0.3 0.2 0.1 0
概率分布就是二项分布。
例5-1 用针灸治疗头痛，假定结果不是有 效就是无效，每一例有效的概率为π。某 医生用此方法治疗头痛患者5例，3例有效 的概率是多少？ 因为每例有效的概率相同，且各例的治疗 结果彼此独立，5例患者中可以是其中的任 意3例有效
P(B) P( A1 A2 A3 A4 A5 ) P( A1 A2 A3 A4 A5 ) P( A1 A2 A3 A4 A5 )
第五章
常用概率分布
连续随机变量的正态分布 离散随机变量的二项分布 Poisson分布
正态分布
0.07 0.06 0.05
频率密度
0.04 0.03 0.02 0.01 0.00
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 80 48 52 56 60 64 68 72 76 84 ~8 8