勾股定理全章复习基础篇

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勾股定理全章综合复习

勾股定理全章综合复习A. 1个B . 2个C . 3个D . 4个(2)已知a, b, c为厶ABC三边，且满足(a2—b2)(a2+b2—c2)= 0,则它的形状为( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形(3)三角形的三边为a、b、c,由下列条件不能判断它是直角三角形的是( )2 2 2A. a: b: c=8 : 16 :仃B. a - b =cC. a2=(b+c)(b-c)D. a: b: c=13 : 5 : 12(4)三角形的三边长为(a+b ) 2=c2+2ab,则这个三角形是( )A.等边三角形；B.钝角三角形；C.直角三角形；D.锐角三角形(5)直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为________(6)若厶ABC的三边长a,b,c满足a2 b2+c2 +200 = 12a + 16b + 20c,试判断△ ABC的形状。

例3:求最大、最小角的问题(1)若三角形三条边的长分别是7,24,25,则这个三角形的最大内角是度。

(2)已知三角形三边的比为1 : 3 : 2,则其最小角为。

考点三：勾股定理的应用例1:面积问题（1）下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、 B 、C 、D 的边长分别是3、 3）（2）如图，△ ABC 为直角三角形，分别以为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半圆的面积关系，可得（） A. S 1+ S 2> S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+S 3< S ID.以上都不是（3 ）如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是 S 、S 、S,贝陀们之间的关系是（）A. S 1- S 2= S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+Sv S 1D. S 2- S 3=S 5、2、3,则最大正方形ED.（图AB, BC47 2)例2:求长度问题（1）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后, 发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。

勾股定理全章知识点总结大全

勾股定理全章知识点总结大全一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 为锐角三角形）。

（定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证6：勾股数cba HG F EDCBAa bcc baED CBA bacbac cabcab①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）二、规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

勾股定理知识点总结及练习

第课时第十八章勾股定理一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

（即：a 2+b 2＝c 2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a cb =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证3：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

勾股定理单元复习

勾股定理单元复习一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。

公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。

2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。

这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。

注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。

常见勾股数有：（3，4，5 ）(5，12，13 ) ( 6，8，10 ) ( 7，24，25 ) ( 8，15，17 )(9，12，15 )4、最短距离问题：主要5、运用的依据是两点之间线段最短。

二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．2. 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如下图，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）A. S1- S2= S3B. S1+ S2= S3C. S2+S3< S1D. S2- S3=S14、四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

5、(难）在直线上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、=_____________。

勾股定理全章复习与巩固(基础)知识讲解

《勾股定理》全章复习与稳固（基础）责编：杜少波【学习目标】1.认识勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决相关的实质问题.【知识网络】【重点梳理】【高清讲堂勾股定理全章复习知识重点】重点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a、b 的平方和等于斜边 c 的平方.（即： a2b2c2）2.勾股定理的应用勾股定理反应了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理能够证明相关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理相关的面积计算；（4）勾股定理在实质生活中的应用．重点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理假如三角形的三边长a、 b、 c ，知足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形.重点解说：应用勾股定理的逆定理判断一个三角形能否是直角三角形的基本步骤：（1）第一确立最大边，不如设最大边长为 c ；（2）考证：a2b2与 c2能否拥有相等关系：若 a2b2c2，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形；若 a2b2＞ c2时，△ABC是锐角三角形；若 a2b2＜ c2时，△ABC是钝角三角形．2.勾股数知足不定方程x2y2z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），明显，以 x、y、 z 为三边长的三角形必定是直角三角形.重点解说：常有的勾股数：①3、4、5；② 5、12、 13；③ 8、15、17；④ 7、24、25；⑤ 9、40、41.假如 ( a、b、c )是勾股数，当t 为正整数时，以at、bt、 ct 为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.察看上边的①、②、④、⑤四组勾股数，它们拥有以下特点：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差 1.3.假定三个数分别为a、 b、c ，且 a b c ，那么存在a2b c 建立.（比如④中存在72＝24＋25、 92＝40＋41等）重点三、勾股定理与勾股定理逆定理的差别与联系差别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判断定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，二者互为逆定理，都与直角三角形相关 . 【典型例题】种类一、勾股定理及逆定理的简单应用1、（ 2016?益阳）在△ ABC 中， AB=15 ， BC=14 ， AC=13 ，求△ ABC 的面积．某学习小组经过合作沟通，给出了下边的解题思路，请你依据他们的解题思路达成解答过程．2【思路点拨】依据题意正确表示出AD的值是解题重点.解：如图，在△ABC 中， AB=15 ， BC=14 ，AC=13 ，设 BD=x ，则 CD=14 ﹣ x，由勾股定理得：2222222222，AD =AB ﹣ BD =15﹣ x， AD=AC﹣CD=13 ﹣（ 14﹣ x）2222故 15 ﹣ x =13﹣（ 14﹣x），解之得： x=9．∴AD=12 ．∴S△ABC = BC ?AD=× 14× 12=84．【总结升华】本题主假如要读懂解题思路，而后找到解决问题的切入点，问题才能水到渠成.贯通融会：【变式】在△ABC 中， AB ＝ 15， AC ＝ 13，高 AD ＝ 12．求△ABC 的周长．【答案】解：在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，由勾股定理，得BD 2AB2AD 215212281．∴BD 9．同理 CD2AC2AD213212225．∴CD 5．①当∠ ACB ＞ 90°时， BC ＝ BD －CD＝ 9－ 5＝4．∴ △ABC 的周长为： AB ＋ BC ＋ CA＝ 15＋ 4＋13＝ 32．②当∠ ACB ＜ 90°时， BC ＝ BD ＋CD＝ 9＋ 5＝14．∴ △ABC 的周长为： AB ＋ BC ＋ CA＝ 15＋ 14＋13＝ 42．综上所述：△ABC 的周长为32 或 42．2、如下图，△ABC 中，∠ ACB ＝ 90°， AC ＝ CB ， M 为 AB 上一点．求证： AM 2BM 22CM 2．2 2 2 【思路点拨】欲证的等式中出现了 AM 、BM 、CM ，自然想到了用勾股定理证明，所以需要作 CD⊥ AB ．证明：过点 C 作 CD⊥ AB 于 D．∵AC＝BC，CD ⊥AB ，∴ AD ＝BD．∵∠ACB ＝ 90°，∴CD＝ AD ＝DB ．∴ AM2BM 222 AD DM AD DMAD22AD DM DM 2AD22AD DM DM 22(AD2DM 2)2(CD 2DM 2)在 Rt△CDM 中，CD2DM 2CM 2，∴AM2BM22CM2．【总结升华】欲证明线段平方关系问题，第一联想勾股定理，从图中找寻或作垂线结构包括所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证．贯通融会：【变式】已知△ABC 中， AB ＝ AC ， D 为 BC 上任一点，求证：AB 2AD 2BD CD .【答案】解：如图，作AM ⊥ BC 于 M ，∵ AB ＝ AC ，∴ BM ＝ CM,则在 Rt△ABM 中：AB2AM2BM2①在 Rt△ADM 中：AD2AM2DM 2②由①－②得：AB2AD2BM 2DM 2BM DM BM DM＝（ MC ＋ DM ） ?BD＝ CD·BD种类二、勾股定理及逆定理的综合应用3、（ 2014 秋 ?黎川县期中）如图，在正方形 ABCD 中， AB=4 ， AE=2 ， DF=1 ，请你判断△BEF 的形状，并说明原因．【思路点拨】依据勾股定理求出BE 2、 EF2、BF2，依据勾股定理的逆定理判断即可．【答案与分析】解：∵△ BEF 是直角三角形，原因是：∵在正方形ABCD 中， AB=4 ，AE=2 ， DF=1 ，∴∠ A= ∠ C=∠ D=90°， AB=AD=DC=BC=4， DE=4 ﹣ 2=2， CF=4﹣ 1=3 ，∵由勾股定理得：2222222222BE =AB+AE=4 +2 =20 ， EF =DE +DF =2 +1=5，22222BF =BC +CF =4 +3 =25，222∴ BE +EF =BF，∴∠ BEF=90°，即△BEF 是直角三角形．【总结升华】本题考察了正方形性质，勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解本题的重点222是求出 BE +EF =BF .4、如图， P 是等边三角形ABC 内的一点，连接 PA，PB ，PC，以 BP 为边作∠ PBQ=60°，且 BQ=BP ，连接 CQ．(1)察看并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．(2)若 PA： PB：PC=3 ：4： 5，连接 PQ，试判断△PQC 的形状，并说明原因．【答案与分析】解： (1)猜想： AP=CQ证明：在△ABP 与△CBQ 中，∵AB=CB ， BP=BQ ，∠ ABC= ∠ PBQ=60°∴ ∠ABP= ∠ ABC- ∠ PBC= ∠PBQ-∠ PBC= ∠ CBQ∴ △ABP ≌△ CBQ∴AP=CQ(2)由 PA：PB： PC=3： 4： 5 可设 PA=3a， PB=4a， PC=5a连接 PQ，在△PBQ 中，因为 PB=BQ=4a ，且∠ PBQ=60°∴ △PBQ 为正三角形∴ PQ=4a于是在△PQC 中，∵∴ △PQC 是直角三角形【总结升华】本题的重点在于能够证出△ABP≌△ CBQ，进而达到线段转移的目的，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．贯通融会：【变式】如下图，在BD ＝ 5，求 DC 的长．△ABC中， D是BC边上的点，已知AB ＝ 13， AD ＝ 12， AC ＝15，【答案】解：在△ABD中，由12252132可知：AD 2BD2AB2，又由勾股定理的逆定理知∠ADB＝ 90°．在 Rt△ADC中，DC 2AC 2AD 281,DC9 ．5、假如ABC 的三边分别为a、 b、c ，且知足a2b2c250 6a 8b10c ，判断 ABC 的形状 .【答案与分析】解：由 a2b2c2506a8b10c ，得：a26a 9b28b16c210c25 0∴ (a3)2(b4)2(c5)20∵ (a3)20，(b 4)20，(c 5) 20∴ a3, b4,c 5.∵ 324252,∴ a2b2c2.由勾股定理的逆定理得：△ABC是直角三角形 .【总结升华】勾股定理的逆定理是经过数目关系来研究图形的地点关系的,在证明中常常要用到 .种类三、勾股定理的实质应用6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个极点 A 处，食品在这个长方体上和蚂蚁相对的极点 B 处，蚂蚁急于吃到食品，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A 处爬到B 处的最短路线长为多少 ?【思路点拨】将长方体表面睁开，因为蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行，且长方体木块底面是正方形，故它爬行的路径有两种状况．【答案与分析】解：如图②③所示．因为两点之间线段最短，所以最短的爬行行程就是线段AB 的长度．在图②中，由勾股定理，得AB232112130 ．在图③中，由勾股定理，得AB26282100 ．因为 130＞ 100，所以图③中的AB 的长度最短，为10 cm，即蚂蚁需要爬行的最短路线长为 10 cm．【总结升华】解本题的重点是正确画出立体图形的睁开图，把立体图形上的折线转变为平面图形上的直线，再运用勾股定理求解．贯通融会：【变式】（ 2014 秋 ?郑州期末）我国古代有这样一道数学识题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根环绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如下图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20 尺，底面周长为 3 尺，有葛藤自点A 处环绕而上，绕五周后其尾端恰巧抵达点 B 处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？【答案】解：如下图，在如下图的直角三角形中，∵BC=20 尺， AC=5× 3=15 尺，∴ AB==25（尺）．答：葛藤长为25 尺．。

初二数学经典讲义勾股定理(基础)知识讲解

勾股定理全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2. 理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3. 能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题【知识网络】【要点梳理】【高清课堂勾股定理全章复习知识要点】要点一、勾股定理1. 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.（即：a2 b2 c2）2. 勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）求作长度为的线段.要点二、勾股定理的逆定理1. 原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2. 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c ，满足a2 b2 c 2，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为 c ；（2）验证c2与a2 b2是否具有相等关系，若a2 b2 c2，则△ ABC是以∠ C 为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.3. 勾股数222满足不定方程x y z 的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x、y、z 为三边长的三角形一定是直角三角形. 常见的勾股数：① 3、4、5；②5、12、13；③ 8、15、17；④ 7、24、25；⑤9、40、41. 如果（a、b、c ）是勾股数，当t 为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1. 较小的直角边为连续奇数；2. 较长的直角边与对应斜边相差1.23.假设三个数分别为a、b、c ，且a b c ，那么存在a2 b c成立. （例如④中存在72＝24＋25、9 2＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的简单应用1、已知直角三角形的两边长分别为6 和8，求第三边的长．【答案与解析】解：设第三边为x ．当x 为斜边时，由勾股定理得x26282．所以x 628236 64 100 10 ．当x 为直角边时，由勾股定理，得x2 62 82．所以x 826264 36 28 2 7 ．所以这个三角形的第三边为10或2 7 ．【总结升华】题中未说明第三边是直角边还是斜边，应分类讨论，本题容易误认为所求的第三边为斜边．举一反三：【变式】在△ ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12．求△ ABC的周长．【答案】解：在Rt△ ABD和Rt△ACD中，由勾股定理，得BD 2 AB2 AD2 152 122 81．∴ BD 81 9 ．同理CD2 AC 2 AD2 132 122 25．∴ CD 25 5 ．①当∠ ACB >90°时， BC ＝BD － CD ＝9－ 5＝4．∴ △ ABC 的周长为： AB ＋BC ＋CA ＝15＋4＋13＝32．②当∠ ACB <90°时， BC ＝BD ＋ CD ＝9＋ 5＝14．∴ △ ABC 的周长为： AB ＋BC ＋CA ＝15＋14＋13＝ 42．综上所述：△ABC 的周长为 32 或 42．2、如图所示，△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝ CB ，M 为 AB 上一点．求证：2 2 2 AM 2 BM 2 2CM 2 ．222(AD 2 DM 2)【总结升华】欲证明线段平方关系问题，首先联想勾股定理，从图中寻找或作垂线构造包含所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证．举一反三：变式】已知，△ ABC 中， AB ＝AC ， D 为 BC 上任一点，求证： AB 2 AD 2 BD CD .【思路点拨】欲证的等式中出现了 AM 2 、作 CD ⊥ AB ．【答案与解析】证明：过点 C 作 CD ⊥AB 于 D ． ∵ AC ＝BC ， CD ⊥AB ，∴ AD ＝ BD ．∵ ∠ACB ＝ 90°，∴ CD ＝ AD ＝ DB ．BM 2、 CM 2，自然想到了用勾股定理证明，因此需要 22 AM 2 BM 2 2 AD DM 2AD DM AD 2 2AD DMDM 2 AD 2 2AD DM DM 2(CD 2 DM 2)在 Rt △ CDM 中， CD 22 DM 2 CM AM 2BM 2CM【答案】解：如图，作 AM ⊥BC 于 M ，∵ AB ＝AC ，∴ BM ＝ CM, 则在 Rt △ABM 中：AB 2 AM 2 BM 2 ⋯⋯①在 Rt △ ADM 中：222AD 2 AM 2 DM 2⋯⋯②由①－②得： AB 2 AD 2 BM 2 DM 2 BM DM BM DM＝（MC ＋DM ）?BD ＝ CD ·BD 类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、已知如图所示，在△ ABC 中， AB ＝ AC ＝20，BC ＝32，D 是 BC 上的一点，且 AD ⊥AC ，求 BD 的长．【思路点拨】由于 BD 所在的△ ABD 不是直角三角形，不易直接求出 BD 的长，且△ ACD 尽管是直角三角形，但 AD 的长是未知的，因而不能确定CD 的长.过点 A 作AE ⊥BC 于 E ，这时可以从 Rt △ ABE 与 Rt △ ADE 、 Rt △ADC 中，运用勾股定理可求得 AE 、 DE 的长，从而求出 BD 的长．【答案与解析】解：过点 A 作 AE ⊥ BC 于 E ．∵ AB ＝ AC ， 11∴ BE ＝ EC ＝ BC ＝ 32 16．22 在 Rt △ ABE 中， AB ＝20，BE ＝16，2 2 2 2 2∴ AE 2 AB 2 BE 2 202 162 144 ，AE ＝ 12，在 Rt △ADE 中，设 DE ＝ x ，则 AD 2 AE 2 DE 2 144 x 2 ，∵ AD ⊥ AC ，2 2 2 2 2 2∴ AD 2 AC 2 CD 2 ，而 144 x 2 202 (16 x)2 ．解得： x ＝ 9．∴ BD ＝BE － DE ＝16－9＝7．【总结升华】勾股定理的作用是：已知直角三角形的两边可以求第三边，所以求直角三角形的边长时应该联想到勾股定理．举一反三：【变式】如图所示，已知△ ABC 中，∠B ＝22.5°，AB 的垂直平分线交 BC 于 D ，BD ＝ 6 2， AE ⊥ BC 于 E ，求 AE 的长．S 1、 S 2、S 3表示，则不难证明 S 1 S 2 S 3 ．S 1、 S 2、S 3表示，那么 S 1、 S 2、 S 3 之间有什么关系 ?( 不必证明 )(2) 如图③，分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 1、 S 2、S 3表示，请你确定 S 1、 S 2、 S 3 之间的关系并加以证明．解：连接 AD ．∵ DF 是线段 AB 的垂直平分线，∴ AD ＝BD ＝ 6 2 ，∴ ∠ BAD ＝∠ B ＝ 22.5又∵∠ ADE ＝∠ B ＋∠ BAD ＝45°， AE ⊥BC ，∴ ∠DAE ＝ 45°，∴ AE ＝ DE由勾股定理得： AE 2 DE 2 AD 2 ，2AE 2 (6 2) 2， AE 62 26． 4、如图①所示，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用(1) 如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用(1)S 1 S 2 S 3 ； (2) S 1 S 2 S 3 ．证明如下：显然， S 1 3c 2，S 23 a 2，S 3 3b 2， 444所以 S 2 S 3 3 (a 2 b 2) 3 c 2 S 1．2 3 4 4 1 【总结升华】本题可以在直角三角形外作的三个图形推及为等腰直角三角形、5、如果Δ ABC 的三边分别为 a 、b 、c ，且满足 a 2 b 2 c 2 50 断Δ ABC 的形状 .【答案与解析】解：由 a 2 b 22 c 50 6a 8b 10c ，得： 2 a 6a9 2 b 2 8b 16 2 c 10c 25 0 ∴ (a 3)2 2 (b 4)2(c 5)2 0 ∵ (a3)2 0，(b 4)20，(c 5)2 0 ∴a3, b 4, c 5. 2 2 2∵ 3242 52, 2 2 2∴a b c .由勾股定理的逆定理得：△ ABC 是直角三角形 .【总结升华】勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的用到.答案与解析】解：设 Rt △ ABC 的三边 BC 、 CA 、 AB 的长分别为 a 、 b、 c ，则 a 2 b 2 2 c ．正五边形等．6a 8b 10c ，判 , 在证明中经常要类型三、勾股定理的实际应用的顶点 B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从 A 处爬到 B 处的最短路线长为多少 ?【思路点拨】将长方体表面展开，由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行，且长方体木块底面是正方形，故它爬行的路径有两种情况．答案与解析】解：如图②③所示．在图②中，由勾股定理，得 AB 2 32 112 130 ．在图③中，由勾股定理，得 AB 2 62 82 100 ．因为 130>100，所以图③中的 AB 的长度最短，为 10cm ，即蚂蚁需要爬行的最短路线长为10cm ．【总结升华】解本题的关键是正确画出立体图形的展开图，把立体图形上的折线转化为平面图形上的直线，再运用勾股定理求解．举一反三：【高清课堂勾股定理全章复习例 10 】【变式】如图，有一个圆柱体，它的高为 20，底面半径为 5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的 A 点，沿圆柱表面爬到与 A 相对的上底面 B .（ π取3）答案】 25；提示：蚂蚁爬的最短路线长 202 (5 )2 25. 、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点 A 处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对因为两点之间线段最短，所以最短的爬行路程就是线段AB 的长度．。

勾股定理及其逆定理全章的复习

勾股定理及其逆定理全章的复习一、复习的内容：勾股定理及其逆定理的应用1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

即：a 2+b 2=c 2；勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a 、b 、c 有关系a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。

2、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形：（1）首先确定最大边（如：C ，但不要认为最大边一定是C ）（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2=a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为锐角三角形。

二、例题分析例1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

解点评：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。

例2、直角三角形周长为12cm ，斜边长为5cm ，求直角三角形的面积。

点评：运用整体的数学思想方法求解比较快速、简捷、省时。

例3题目(2008年福建省莆田市中考题)已知矩形ABCD 和点P ，当点P 在BC 上任一位置（如图①所示）时，易证得结论：2222PA PC PB PD +=+，请你探究：当点P 分别在图②、图③中的位置时，2222PA PB PC PD 、、和又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论．答：对图②的探究结论为____________________________________．对图③的探究结论为_____________________________________．证明：如图②分析：这是一道信息给予题，引导学生创造性地利用所给信息，通过解题方法的迁移，探索2222PA PB PC PD 、、和在新的条件下又有怎样的数量关系？由于已给信息的解题方法很多，而每种方法迁移后又可解决新的问题，因此本题为学生创造了更为广阔的思维空间和探索空间；当点P 在矩形ABCD 的边BC 上任一位置,如图①所示时，运用勾股定理易得: 222PB AB PA +=,222CD PD PC -=,因为四边形ABCD 为矩形,所以AB=CD .从而得到结论：2222PA PC PB PD +=+，通过解题方法的迁移，根据点和图形之间的位置关系，可以得出当点P 分别在图2、图3中的位置时,2222PA PB PC PD 、、和之间的数量关系,并能给予证明.评注：本题既考查了学生的理解创新能力,又考查了学生探究学习的过程，充分渗透了化归思想、变式思想和运动变化的观点.如图，盒内长，宽，高分别是30米，24米和18米，盒内可放的棍子最长是多少米？直角三角形是一种特殊的三角形，它具有许多重要的性质，特别是勾股定理在数学中有着极其广泛的应用。

章复习第18章勾股定理

章复习第18章勾股定理一、勾股定理1、勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么____________．勾股定理是针对于直角三角形来说的，其他三角形的三边不具有这种关系． 2、勾股定理的证明证明勾股定理的方法很多，下面介绍两种常用的方法．①如图，将四个全等的直角三角形(边长为a 、b 、c )和一个小正方形[边长为（a -b ）]拼成一个大正方形（边长为c ），则S 正方形ABCD =c 2.而正方形ABCD 的面积等于正方形EFGH 的面积与四个直角三角形的面积之和．即ab b a c 214)(22⨯+-=，∴222c b a =+．②如图，将三个直角三角形拼成直角梯形，则三个三角形面积之和=梯形的面积，即：221212c ab ⋅+⋅=))((21b a b a ++，∴222c b a =+．3、勾股定理的作用①已知直角三角形的两边，求第三边．②已知直角三角形的一边，求另两边的关系． ③用于证明平方关系的问题．④利用勾股定理，作出长为n 的线段。

二、勾股定理的逆定理1、定义：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足____________，那么这个三角形是直角三角形．注：勾股定理的逆定理是把数转化为形，通过计算判定一个三角形是否为直角三角形．2、直角三角形的判定设三角形的三边长分别为a ，b ，c ，①首先确定最大边（如c ）；②验证c 2与22b a +是否具有相等关系．若222b a c +=，则△ABC______直角三角形，若222b a c +=/，则△ABC______直角三角形。

（填写“是”或“不是”）*附：当△ABC 不是直角三角形时，有两种情况：当222b a c +>时，三角形为钝角三角形；当222b a c +<时，三角形为锐角三角形． 3、勾股数能够成为直角三角形三条边长的三个______数，称为勾股数．⑴常见的勾股数有：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④以上勾股数的倍数 ⑵常见的表示勾股数的代数式：①m 2，21m -，12+m （其中m 表示大于1的整数）； ②22n m -，mn 2，22m n +（m 、n 为正整数且m ≠n ）． 4、命题、定理⑴判断一件事情的语句叫做命题，命题可以变成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是______，“那么”后接的部分是______．⑵题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的______．⑶经过证明被确认正确的命题叫做______，若一个定理的逆命题也是正确的，则它也是一个定理，称这两个定理互为______．检测试题一、选择（30分）1．分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10；②13，5，12；③1，2，3；④9，40，41；⑤321，421，521．其中能构成直角三角形的有（）组A.2B.3C.4D.52．已知△ABC 中，∠A ＝21∠B ＝31∠C ，则它的三条边之比为（）A.1∶1∶2B.1∶3∶2C.1∶2∶3D.1∶4∶13．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（）A.25B.3C. 3+2 D.2334．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）A.12米B.13米C.14米D.15米5．放学以后，萍萍和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若萍萍和晓晓行走的速度都是40米/分，萍萍用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，萍萍家和晓晓家的距离为（）A.600米B.800米C.1000米D.不能确定6．如图1所示，要在离地面5•米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L 1＝5.2米，L 2＝6.2米，L 3＝7.8米，L 4＝10米四种备用拉线材料中，拉线AC 最好选用（）A.L 1B.L 2C.L 3D.L 47．如图2，分别以直角△ABC 的三边AB ，BC ，CA 为直径向外作半圆.设直线AB 左边阴影部分的面积为S 1，右边阴影部分的面积和为S 2，则（）A.S 1＝S 2B.S 1＜S 2C.S 1＞S 2D.无法确定8．在△ABC 中，∠C ＝90°，周长为60，斜边与一直角边比是13∶5，则这个三角形三边长分别是（）A.5，4，3B.13，12，5C.10，8，6D.26，24，10AB C图2 B CED 图3 图1 ABD9．如图3所示，AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝1，AB ⊥BC ，AC ⊥CD ，AD ⊥DE ，则AE ＝（）A.1B.2 C.3D.2*10．直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长都是自然数，则周长为（）A.182B.183C.184D.185二、填空（24分）11．根据下图中的数据，正方形A 的边长=_____，正方形B 的面积=_____，x =_____．12．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．13．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．14．如图5，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有______米． 15．如果一个三角形的三个内角之比是1∶2∶3，且最小边的长度是8，最长边的长度是________． 16．在△ABC 中，AB ＝8cm ，BC ＝15cm ，要使∠B ＝90°，则AC 的长必为______cm ． 17．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是．18．甲、乙两只轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75°的方向航行，乙以12海里/时的速度向南偏东15°的方向航行，若他们出发1.5小时后，两船相距海里．三、解答题（66分）19．古埃及人用下面方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉成如图所示的一个三角形，其中一个角便是直角，请说明这种做法的根据．20．从旗杆的顶端系一条绳子，垂到地面还多2米；小敏拉起绳子下端绷紧，刚好接触地面图 5图4图6 A B C时，发现绳子下端距离旗杆底部8米，小敏马上计算出旗杆的高度，你知道她是如何解的吗？21．如图7，一个牧童在小河的正南4 km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8 km 北7 km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？*22．（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图8，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积．（2）现有一张长为6.5 cm ，宽为2 cm 的纸片，如图9，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形．（要求：先在图9中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）23．清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王近日，西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”.用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S ，则第一步：6S＝m ；第二步：m ＝k ；第三步：分别用3、4、5乘以k ，得三边长” ．⑴当面积S 等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长； *⑵你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程．24．学校科技小组研制了一套信号发射、接收系统.在对系统进行测试中，如图10，小明从路口A 处出发，沿东南方向笔直公路行进，并发射信号，小华同时从A 处出发，沿西南方向笔直公路行进，并接收信号.若小明步行速度为小河图7图8 图9 北39米／分，小华步行速度为52米／分，恰好在出发后30分时信号开始不清晰．⑴你能求出他们研制的信号收发系统的信号传送半径吗？（以信号清晰为界限）⑵通过计算，你能找到题中数据与勾股数3、4、5的联系吗？试从中寻找求解决问题的简便算法．参考答案：一、1，B；2，B；3，D；4，A；5，C.点拨：画出图形，东南方向与西南方向成直角；6，B.点拨：在Rt△ACD中，AC＝2AD，设AD＝x，由AD2+CD2＝AC2，即x2+52＝(2x)2，x＝，所以2x＝5.7736；7，A；8，D.点拨：设斜边为13x，则一直角边长为5x，另一直角边为12x，所以13x+5x+12x＝60，x＝2，即三角形分别为10、24、26；9，D.点拨：AE＝＝＝2；10，A.二、11，15、144、40；12，1360；13，6、8、10；14，24；15，16；16，17；17，：76 ；18，30.三、19，设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，有(3m)2+(4m)2＝(5m)2，所以以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形.20，15m.21，如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则A′B就是最短路线.在Rt△A′DB中，由勾股定理求得A′B＝17km.22，（1）设直角三角形的两条边分别为a、b（a＞b），则依题意有22513a ba b+=⎧⎨+=⎩由此得ab＝6，(a－b)2＝(a+b)2－4ab＝1，所以a－b＝1，故小正方形的面积为1.（2）如图：23，（1）当S＝150时，k150==5，所以三边长分别为：3×5＝15，4×5＝20，5×5＝25；（2）证明：三边为3、4、5的整数倍，设为k倍，则三边为3k，4k，5k，而三角形为直角三角形且3k、4k为直角边.其面积S＝12(3k)·(4k)＝6k2，所以k2＝6S，k，即将面积除以6，然后开方，即可得到倍数.24，（1）利用勾股定理求出半径为1950米；（2）小明所走的路程为39×30＝3×13×30，A′小华所走的路程为52×30＝4×13×30，根据前面的探索，可知勾股数3、4、5的倍数仍能构成一组勾股数，故所求半径为5×13×30=1950（米）.。

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经典例题
9、请阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解： ∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，第一步 ∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2），第二步 ∴c2=a2+b2，第三步 ∴△ABC为直角三角形．第四步问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误：_______；（2）错误的原因是： _________ ；（3）本题正确的结论是： _________ ．
勾股定理及其逆定理1
马老师
经典例题
1.在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为 a、b、c．（1）已知b＝6，c＝10，求a；（2）已知 a : c 3 : 5 ，b＝32，求a、c． 2、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为N，试说明 AN 2 BN 2 AC 2 ．
经典例题
7、如图所示，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12， AD＝13，∠B＝∠90°，求四边形ABCD的面积．
变式如图所示，在△ABC中，D是BC边上的点，已知AB＝13，
AD＝12，AC＝15，BD＝5，求DC的长．
经典例题
8、已知： a , b, c 为ABC 的三边且满足 a 2 b2 c 2 338 10a 24b 26c ，试判断 ABC 的形状.
经典例题
3、如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（） A．3 B．4 C．5 D．6
经典例题
4、如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）
A．6
B．5
C．11
D．16
5.如图所示，一旗杆在离地面5m处断裂、判断由线段组成的三角形是不是直角三角形．（1）a＝7，b＝24，c＝25； 3 4 （2）a＝，b＝1，c＝ 4 ；
3
a m2 n 2 ， b m2 n2，c 2mn( m n 0 )；（3）
经典例题
10、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小时航行16海里， “海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
你学到了什么？