福建省锦江中学08-09学年高一下学期期中考试(数学)
福建省高一下学期期中考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知，则的虚部为（ ）()3i 2i z =⋅+z A ． B ． C ． D ．12-2i 2i -【答案】B【分析】利用复数的乘方及乘法运算化简复数，即可确定其虚部.【详解】，虚部为.()()32i 2i i 2i 2i i 12i z =⋅+=-⋅+=--=-2-故选：B2．如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个O A B '''O A A B ''''=2O B ''=平面图形的面积是（ ）A ．B ．1CD 【答案】A【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得． 【详解】由题意，利用斜二测画法的定义，画出原图形，∵是等腰直角三角形，，斜边， Rt O A B '''△O A A B ''''=2O B ''=∴ O A B ''''==∴，2,2OB O B OA O A ''''====∴原平面图形的面积是.122⨯⨯=故选：A ．3．，，是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是（ ）a b cA ．若直线，异面，，异面，则，异面 a b b c a cB ．若直线，相交，，相交，则，相交 a b b c a cC ．若，则，与所成的角相等a b A a b c D ．若，，则a b ⊥r rb c ⊥a c A 【答案】C【分析】由空间中直线与直线的位置关系进行分析判断即可.【详解】对于A ，若直线，异面，，异面，则，可能是平行、相交、异面的任意一种， a b b c a c 如在正方体中，与异面，与异面，， 1111ABCD A B C D -AD 1BD 1BD 11B C 11AD B C ∥或与异面，与异面，与相交于点，AD 1BD 1BD CD AD CD D 或与异面，与异面，与异面，故选项A 错误；AD 1BD 1BD 11A B AD 11A B 对于B ，若直线，相交，，相交，则，可能是平行、相交、异面的任意一种， a b b c a c 如在正方体中，与相交于点，与相交于点，， 1111ABCD A B C D -AB 1BD B 1BD 11D C 1D 11AB D C ∥或与相交于点，与相交于点，与相交于点，AB 1BD B 1BD 1AD 1D AB 1AD A 或与相交于点，与相交于点，与异面，故选项B 错误； AB 1BD B 1BD 11A D 1D AB 11A D 对于C ，由异面直线所成角的定义，选项C 正确；对于D ，若，，则与可能是平行、相交、异面的任意一种，a b ⊥r rb c ⊥a c 如在正方体中，，，， 1111ABCD A B C D -1AB AA ⊥111AA A B ⊥11AB A B ∥或 ，，与相交于点，1AB AA ⊥1AA BC ⊥AB BC B 或 ，，与异面，故选项D 错误. 1AB AA ⊥111AA A D ⊥AB 11A D 故选：C.4．已知平面向量与的夹角为，则实数的值为（ ） ,a b a b ()30,b a a λ-⊥λA ．B ．2C ．D ．2-12-12【答案】B【分析】根据向量垂直时数量积等于0，结合数量积运算律以及数量积的定义，展开计算，即得答案.【详解】因为，所以，()b a a λ-⊥()0b a a λ-⋅= 即，故，20a b a λ⋅-=130,2λλ=∴=故选：B5．平行四边形ABCD ，点E 满足，，则（ ） 4AC AE = ()2,R 2DE AB AD λμλμ=+∈λμ+=A ．B ．C ．D ．1181412【答案】A【分析】先根据平面向量的线性运算将用表示，再根据平面向量基本定理即可得解.DE ,AB AD【详解】， ()11134444DE AE AD AC AD AB AD AD AB AD =-=-=+-=- 又因为，22DE AB AD λμ=+所以，所以，124324λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩1238λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以. 131288λμ+=-=故选：A.6．“阿基米德多面体”这称为半正多面体（semi-regularsolid ），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知 ） AB =A ．18πB ．16πC ．14πD ．12π【答案】A【分析】根据正方体的对称性可知：该半正多面体外接球的球心为正方体的中心，进而可求球的O 半径和表面积.【详解】如图，在正方体中，取正方体、正方形的中心、，连接1111F EFG E G H H -1111E F G H O 1O ，1111,,,E G OO OA O A∵分别为的中点，则 ,A B 1111,E H H G 112E G AB ==∴正方体的边长为， 3EF =故，可得 1132OO O A ==OA ==根据对称性可知：点到该半正多面体的顶点的距离相等，则该半正多面体外接球的球心为，半O O径， R OA ==故该半正多面体外接球的表面积为.224π4π18πS R ==⨯=故选：A.7．已知正四面体中，为的中点，则与所成角的余弦值为 A BCD -M AB CM ADA ．B C D ．1223【答案】C【分析】设正四面体A ﹣BCD 的棱长为2，取BD 的中点N ，连结MN ，CN 则MN ∥AD ，∠CMN 或其补角是CM 与AD 所成的角，由此能求出直线CM 与AD 所成角的余弦值． 【详解】如图，设正四面体A ﹣BCD 的棱长为2，取BD 的中点N ， 连结MN ，CN ，∵M 是AB 的中点，∴MN ∥AD ， ∴∠CMN 或其补角是CM 与AD 所成的角，设MN 的中点为E ，则CE ⊥MN ，在△CME 中，ME ，CM ＝CN 12==∴直线CM 与AD 所成角的余弦值为cos ∠CME .ME CM ===故选C ．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．8．若圆锥的表面积为，其侧面展开图为一个半圆，则下列结论正确的为（ ） 3πA ．圆锥的母线长为1 B ．圆锥的底面半径为2C D ．圆锥的侧面积为π【答案】C【分析】设圆锥的底面半径为，母线为，根据侧面展开图为一个半圆,得出半径与母线的关系，r l 结合圆锥的表面积求出半径与母线，然后对选项进行逐一判断即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线为，r l 由侧面展开图为一个半圆，则，所以，1222l r ππ⨯⨯=2l r =圆锥的表面积为，则，， 2233lr r r ππππ+==1r =2l =圆锥的高h ==圆锥的体积为，213r h π=圆锥的侧面积为， 2rl ππ=故选：C二、多选题9．已知复数满足，则（ ） z ()2i 13i z +=+A B ．在复平面内对应的点位于第二象限 z C ． D ．满足方程44z =z 2220z z -+=【答案】AD【分析】根据复数的运算及其几何意义，逐个选项判断即可．【详解】对于A ：，故A 正确； 13i1i 2iz +==++对于B ：在复平面内对应的点位于第四象限，故B 错误；1i z =-对于C ：，故C 错误； 24422(1i)(1i)(2i)4z =⎡⎤=++==-⎣⎦对于D ：，故D 正确；． 2222(1i)2(1i)22i 22i 20z z -+=+-++=-++=故选：AD ．10．已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）()1,a λ= ()2,1b =-A ．若，则B ．若，则0λ=2a b +=//a b 12λ=-C ．若与的夹角为锐角，则D ．若，则在上的投影向量为 a b2λ<1λ=-a b 35b -【答案】BD【分析】利用向量模及共线向量的坐标表示，计算判断AB ；利用向量夹角公式计算判断C ；求出投影向量判断D 作答.【详解】平面向量，， ()1,a λ= ()2,1b =-对于A ，当时，，因此，A 错误；0λ=(1,1)a b =- +||a b +=对于B ，，则有，解得，B 正确；//a b 21λ-=12λ=-对于C ，与的夹角为锐角，则且与不共线，当时，，a b 0a b ⋅> a b0a b ⋅> 1(2)10λ⨯-+⨯>解得，由B 选项知，当时，与不共线，因此，C 错误；2λ>12λ≠-a b 2λ>对于D ，当时，，而1λ=-3a b ⋅=-||b == 因此在上的投影向量为，D 正确.a b 35||||a b b b b b ⋅⋅=-故选：BD11．如图，AC 为圆锥SO 底面圆O 的直径，点B 是圆O 上异于A ，C 的动点，，则下1SO OC ==列结论正确的是（ ）A ．圆锥SOB ．三棱锥S -ABC 体积的最大值为13C ．∠SAB 的取值范围是ππ,43⎛⎫⎪⎝⎭D ．若，F 为线段AB 上的动点，则 AB BC =SF CF +1【答案】ABD【分析】A 求出母线长、底面周长，应用扇形面积公式求侧面积；B 棱锥体积最大只需到距B AC 离最大，并确定最大值，应用棱锥体积公式求体积；C 注意确定大小即可判断；D AB BC =SAB ∠将两个三角形展开为一个平面，由三点共线求最小值即可.【详解】A ：由题设，圆锥母线，底面周长为，故侧面积为，对； l =2π2πr =12π2⨯=B ：要使三棱锥S -ABC 体积最大，只需最大即可，即到距离最大，为，ABC S A B AC 1r =所以体积的最大值为，对；111112323⨯⨯⨯⨯=C ：当时，△为等腰直角三角形，此时 AB BC =ABC AB BC ==所以，即△为等边三角形，此时，错； SA SB AB ==SAB π3∠=SAB D ：由C 分析知：时△为等腰直角三角形、△为等边三角形， AB BC =ABC SAB 将它们展开成一个平面，如下图，要使，即共线，最小值为的长度， SF CF +,,S F C SC而，，则，对. 3π4SBC ∠=SB BC ==1SC ==故选：ABD12．在中，角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c ，，，．则下列说法正确的ABC A π3A =8b =a =是（ ）A ．为锐角三角形B ．面积为ABC A ABCA C ．AB 长度为6 D ．外接圆的面积为ABC A 52π3【答案】BD【分析】利用余弦定理求出边判断C ，再利用余弦定理判断角的范围即可判断A ，利用面积公式c 判断B ，利用正弦定理求出外接圆的半径即可判断D. 【详解】由，，所以，π3A =8,b a ==(222π828cos3c c =+-⨯⨯⨯即,解得或，故C 错误；28120c c --=2c =6c =当时，，所以为钝角， 2c=222cos 02a c b B ac +-===<B 此时为钝角三角形，故A 错误；ABC A 当时，2c =11sin 8222S bc A ==⨯⨯=当时，6c =11sin 8622S bc A ==⨯⨯=所以面积为B 正确；ABC A 设外接圆的半径为R，由正弦定理得，所以ABCA 2sin a R A ===R =所以外接圆的面积为，故D 正确；ABC A 2252πππ3R ⎛== ⎝故选：BD.三、填空题13．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，则三棱锥A -NMD 1的体积为____________ 【答案】13【分析】利用计算即可.11A NMD D AMN V V --=【详解】因为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点 所以11111112323A NMD D AMN V V --==⨯⨯⨯⨯=故答案为：13【点睛】在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些. 14．在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若ABC A B C a b c S ABC ，，则__________．cos cos sin a B b A c C +=2221()4S b c a =+-B ∠=【答案】4π【详解】试题分析：∵，∴，∴222cos 2b c a A bc+-=22211sin ()24S bc A b c a ==+-，∴，．∵，∴，∴11sin 2cos 24bc A bc A =⨯tan 1A =4A π=cos cos sin a B b A c C +=2sin()sin A B C +=，∴，∴．sin 1C =2C π=4B π=【解析】解三角形.【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把tan 1A =4A π=中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据cos cos sin a B b A c C +=90C =︒三角形内角和，进而求得．B 15．在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是上底面1111ABCD A B C D -,E F 1111,C D B C P 内一点（含边界），若平面，则点的轨迹长为___________.1111D C B A AP ∥BDEF P【分析】由平行关系得出点轨迹后计算P 【详解】如图，取中点，中点，可知，11A D G 11A B H //AH DE //AG BF ，故平面平面，故点的轨迹为线段AG AH A = //AGH BDEF P GHGH =16．已知点为的外心，外接圆半径为，且满足，则的面积为O ABC A 12340OA OB OC ++=ABC A __________．【分析】由题意得到，利用，分别求得向量的||||||1OA OB OC === 2340OA OB OC ++=,,OA OB OC 两两夹角的余弦值，得出正弦值，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，因为点为的外心，可得，O ABC A ||||||1OA OB OC ===由，可得①，②，2340OA OB OC ++= 234OA OB OC +=- 342OB OC OA +=- 243OA OC OB+=- ③；①式两边平方得，可得，所以；412916OA OB +⋅+= 14OA OB ⋅= 1cos 4AOB ∠=同理②③两边分别平方，可得，，7cos 8BOC ∠=-11cos 16AOC ∠=-则，， sin AOB ∠=sin BOC ∠=sin AOC ∠=所以故答案为：11111111222ABC AOB BOC AOC S S S S =++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=A A A A四、解答题17．设向量满足，且,a b1==a b r r 32a b -=(1)求与夹角的大小；a b (2)求在上的投影向量.a b + b 【答案】(1) π3(2) 32b【分析】（1）利用数量积的运算律有，结合已知和向量数量积的定义求夹角2291247a a b b -⋅+= 即可；（2）所求投影向量为，根据已知和数量积的运算律求投影向量即可. ()||||a b b b b b +⋅⋅ 【详解】（1）由题设，，222232(32)91247a b a b a a b b -=-=-⋅+= 1==a b r r 所以，则，， 1312cos ,7a b -= 1cos ,2a b = ,],0π[a b ∈ 所以. π,3a b = （2）由在上的投影向量. a b + b 22()32||||||a b b b a b b b b b b b +⋅⋅+⋅=⋅= 18．已知圆锥的底面半径，高6R =8h =(1)求圆锥的表面积和体积(2)如图若圆柱内接于该圆锥，试求圆柱侧面积的最大值O O '【答案】(1),;96π96π(2).24π【分析】（1）由已知求得圆锥的母线长,再由圆锥的侧面积与体积公式求解;（2）作出圆柱与圆锥的截面图，把圆柱的侧面积用h 表示,然后结合二次函数求最值.【详解】（1）∵圆锥的底面半径R =6，高H =8，圆锥的母线长， ∴10L ==则表面积，体积. 26036π96πS RL R πππ=+=+=21963V R H ==ππ（2）作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示,其中，8,6,(08)SO OA OB OK h h ====<<设圆柱底面半径为r ，则，即 . 868r h -=3(8)4r h =-设圆柱的侧面积为. 23322(8)(8)42r h h h h h S =⋅=⋅-'⋅=-+πππ当时，有最大值为.4h =S '24π19．在①；②；③sin cos 0a B A =()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并加以解答.问()2cos cos cos A c B b C a +=题：的内角所对的边分别为，且满足________.ABC A ,,A B C ,,a b c (1)求A ；(2)若，求的面积.a =sin 2sin C B =ABC A 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.【答案】(1)π3【分析】（1）选择①，由正弦定理边化角可得，求得答案；选择②，由正弦定sin 0A A =理边化角，再结合余弦定理求得答案；选择③，由正弦定理边化角，再结合两角和的正弦公式求得答案；（2）利用正弦定理角化边，结合余弦定理即可求得，利用三角形面积公式即得答案.,b c【详解】（1）选择①，,sin cos 0a B A =由正弦定理，得, sin sin cos 0A B B A =而,故(0,π),sin 0B B ∈∴≠sin 0,tan A A A =∴=. π(0,π),3A A ∈∴=选择②，,()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-由正弦定理，得，整理得，22()b c a bc -=-222b c a bc +-=又 而. 2221cos ,22b c a A bc +-==π(0,π),3A A ∈∴=选择③，，()2cos cos cos A c B b C a +=由正弦定理，得，()2cos sin cos cos sin sin A C B C B A +=即，即,()2cos sin sin A B C A +=2cos sin sin A A A =又， (0,π),sin 0A A ∈∴≠所以,故. 1cos 2A =π3A =（2）由若，可得，a =sin 2sin C B =2cb =故，即， 222cos 2bc a A bc+-=22153,1,224b b c b -=∴==故11sin 1222ABC S bc A ==⨯⨯=A20．已知函数的图象相邻对称中心之间的距离为. ()()2cos cos 0f x x x x ωωωω=->π2(1)求函数的单调递增区间；()f x (2)若函数，且在上有两个零点，求的取值范围. ()()g x f x b =-()g x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦b 【答案】(1) ()πππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z (2) 10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由三角恒等变换化简函数解析式，根据题意可得出函数的最小正周期，结合正()f x 弦型函数的周期公式可求得的值，再利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递增区ω()f x 间；（2）分析函数在上的单调性，根据已知条件可得出关于的不等式组，解之即可. ()g x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦b【详解】（1）解：因为 ()21cos 2cos cos 22x f x x x x x ωωωωω+=-=-， 11π12cos 2sin 22262x x x ωωω⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭因为函数图象相邻对称中心之间的距离为，故函数的最小正周期为， π2()f x π因为，则，则，故. 0ω>2π22πω==1ω=()π1sin 262f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭由可得， ()πππ2π22π262k x k k -≤-≤+∈Z ()ππππ63k x k k -≤≤+∈Z 因此，函数的单调递增区间为. ()f x ()πππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z （2）解：因为， ()()π1sin 262g x f x b x b ⎛⎫=-=--- ⎪⎝⎭当时，， π02x ≤≤ππ5π2666x -≤-≤由可得，所以，函数在上单调递增， πππ2662x -≤-≤π03x ≤≤()g x π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦由可得，所以，函数在上单调递减， ππ5π2266x ≤-≤ππ32x ≤≤()g x ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦因为，， ()max ππ11sin 3222g x g b b ⎛⎫==--=- ⎪⎝⎭()π10sin 162g b b ⎛⎫=---=-- ⎪⎝⎭， ππ1sin π262g b b ⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要使得函数在上有两个零点，则，解得， ()g x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦π1032π02g b g b ⎧⎛⎫=-> ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩102b ≤<因此，实数的取值范围是. b 10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭21．如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为P ABCD -ABCD PAD M 线段上一点，为的中点.PD N BC(1)当为的中点时，求证：平面.M PD //MN PAB (2)当平面，求出点的位置，说明理由.//PB AMN M【答案】(1)证明见解析；(2)存在点M ，点M 为PD 上靠近P 点的三等分点，理由见解析.【分析】（1）取中点为，连接，利用中位线、平行四边形性质及平行公理有AP E ,EM EB ，即为平行四边形，则，最后根据线面平行的判定证结论； //,BN ME BN ME =BNME //MN BE （2）连接，相交于，连接，由线面平行的性质得，利用相似比可得,AN BD O OM //PB OM ，即可判断的位置. 12PM MD =M 【详解】（1）取中点为，连接，AP E ,EM EB在中，为的中点，为中点，PAD A M PD E AP ， 1//,2EM AD EM AD ∴=在平行四边形中，为的中点，ABCD N BC ， 1//,2BN AD BN AD ∴=，//,BN ME BN ME ∴=四边形为平行四边形，∴BNME 面面，//,MN BE MN ∴⊄,PAB BE ⊂PAB 平面；//MN ∴PAB （2）连接，相交于，连接，,AN BD O OM 面，面面面，//PB AMN PBD ,AMN OM PB =⊂PBD ，， //PB OM ∴12PM OB BN MD OD AD ===即存在点M ，M 为PD 上靠近P 点的三等分点.22．在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与AB 90BAD ∠=︒BC AB 道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知120ABC ∠=︒C ，路宽.设灯柱高，.60ACD ∠=︒12m AD =()m AB h =ACB θ∠=()3045θ︒≤≤︒(1)求灯柱的高（用表示）；h θ(2)若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出BC AB S S θS 的最小值.【答案】(1)8sin 2h θ=()3045θ︒≤≤︒(2)，米8sin(260)S θ=+︒+()3045θ︒≤≤︒(min 4S =+【分析】（1）分别在△、△中，应用正弦定理求、，即可得解析式；ACD ABC AC AB （2）应用正弦定理求得，并应用差角正弦公式、倍角公式、辅助角公式化16cos sin(60)BC θθ=︒-简得到.8sin(260)S θ=+︒+【详解】（1）由题设，，， 90ADC θ∠=︒-60ACD ∠=︒12m AD =在△中，则， ACD sin sin AD AC ACD ADC =∠∠sin sin AD ADC AC ACD θ∠===∠在△中，则. ABC sin sin AB AC ABC θ=∠sin 8sin 2sin AC h AB ABC θθ====∠所以.8sin 2h θ=()3045θ︒≤≤︒（2）由题意，而，则S AB BC =+sin(60)sin BC AC ABCθ=︒-∠，16cos sin(60)BC θθ==︒-所以2116cos sin )8sin cos2BC θθθθθθ=⨯-=-24sin 2θθ=-+结合（1）知：4sin 228sin(260)Sθθθ=++=+︒+又，120260150θ︒≤+︒≤︒所以，当，时，米. 260150θ+︒=︒45θ=︒(min 1842S =⨯+=+。
2023-2024学年福建省部分学校(高中)高一下学期期中联考数学试题
2023-2024学年福建省部分学校（高中）高一下学期期中联考数学试题1.已知复数在复平面内对应的点为，则复数的虚部为（）A．B．C．2D．2.下列结论正确的是（）A．用一个平面去截一个圆台，得到的截面可能是平行四边形B．有两个面平行且相似，其余各个面都是梯形的多面体是棱台C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台3.如图，矩形中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（）A．B．C．D．4.函数的图象如图所示，其中，，，则下列关于函数的说法中错误的是（）A．在上单调递减B．C．最小正周期是D．对称轴是直线5.在中，分别为角的对边），则的形状可能是（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形6.中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为和，在A处测得楼顶部M的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（）A．64m B．74m C．52m D．91m7.设，，则（）A．B．C．D．8.已知向量，，，则当取最小值时，实数（）A．B．C．D．9.已知是夹角为的单位向量，且，则下列选项正确的是（）A．B．C．与的夹角为D．在方向上的投影向量为10.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（）A．B．四边形的周长为C．D．四边形的面积为11.已知函数的定义域为，且的图象关于点对称，，则下列结论正确的是（）A．是偶函数B．的图象关于直线对称C．的最小正周期为4D．若，则12.已知，则_________．13.函数的单调递增区间是______．14.已知，且，为虚数单位，则的最大值是__________．15.已知z为复数，和均为实数，其中是虚数单位.(1)求复数z和|z|；(2)若在第四象限，求m的取值范围.16.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.(1)求A﹔(2)若的面积为，求的周长.17.环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在一段平坦的国道上进行测试，国道限速80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的数据如下表所示：v0104060M0132544007200为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，．(1)当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型，并求出相应的函数解析式．(2)根据（1）中所得函数解析式，求解问题：现有一辆同型号电动汽车从A地驶到B地，前一段是200km的国道，后一段是50km的高速路，若高速路上该汽车每小时耗电量N （单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？18.已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.(1)当时，求的单调递减区间；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域；(3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值.19.将所有平面向量组成的集合记作，f是从到的映射，记作或，其中，，，，，都是实数．定义映射的模为：在的条件下的最大值，记作．若存在非零向量，及实数使得，则称为的一个特征值．(1)若，求；(2)若，计算的特征值并求出相应的；（若符合条件的向量有多个，写出其中一个即可）(3)若，要使有唯一的特征值，实数，，，应满足什么条件？试找出一个映射，满足以下两个条件：①有唯一的特征值；②，并验证满足这两个条件．。
2022-2023学年福建省莆田锦江中学高一下学期期中数学试题(解析版)
福建省莆田锦江中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题一、单选题（每小题5分，共40分）1．已知向量(2,1),(,2)a b x ==-，若//a b ，则a b +=（ ） A ．(－2，－1)B ．(2，1)C ．(3，－1)D ．(－3，1)2．已知向量(),2a m =，()1,1b =，()1,3c =，且()2a b c -⊥，则实数m 为（ ） A ．-4B ．-3C ．4D ．33．若复数z 满足()12i 34i z +⋅=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ） A ．z 的实部是115B ．z 的虚部是25-C ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限D ．5z =4．ABC 的三内角A B C ，，所对边分别为a b c ，，，若222a b c ab +-=，则角C 的大小（ ）． A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π35．已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（ ）AB C ．D ．6．已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为2，则其侧面展开得到的扇形的圆心角为（ ） A ．π2B ．2π3C ．3π4D ．π7．在ABC ，其内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos a B b A a +=，则ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形8．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN ，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为37m ，在地面上点C 处（B ，C ，N 三点共线）测得建筑物顶部A ，鹳雀楼顶部M 的仰角分别为30°和45°，在A 处测得楼顶部M 的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（ ）A ．64mB ．74mC ．52mD ．91m二、多选题（每小题5分，共20分）9．已知向量()()()2,13,21,1a b c =-=-=，，，则（ ） A ．//a b B ．()a b c +⊥ C ．a b c +=D ．53c a b =+10．已知复数34i z =+，则下列说法正确的有（ ） A ．复数z 的实部为3 B ．复数z 的共轭复数为34i - C ．复数z 的虚部为4iD ．复数z 的模为511．下面关于空间几何体的表述,正确的是（ ） A ．棱柱的侧面都是平行四边形B ．直角三角形以其一边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆锥C ．正四棱柱一定是长方体D ．用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台12．已知ABC 中，其内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 下列命题正确的有（ ） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．若π6A =，5a =，则ABC 外接圆半径为10 C ．若2cos a b C =，则ABC 为等腰三角形D ．若1b =，2c =，2π3A =，则ABCS =三、填空题（每小题5分，共20分） 13．已知i 是虚数单位，当复数()212155z m m i m =++-+为实数时，实数m =________. 14．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为64，则这个球的表面积是__________.15．若8,12a b ==，a 与b 的夹角为45，则向量a 在b 上的投影向量为___________．16．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，60A =︒，且ABCb c +==a ______．四、解答题（共70分，17题10分，其余各题12分） 17．已知：复数()22i1i 1iz =+++，其中i 为虚数单位． （1）求z 及z ；（2）若223i z az b ++=+，求实数,a b 的值．18．在平面直角坐标系中，已知向量(1,1),(2,1)a b ． （1）求|3|a b -；（2）若2,m a b n ta b ，m n ⊥，求实数t 的值．19．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若c =1b =，120C =，求： （1）角B ； （2）ABC 的面积S .20．如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别在BC 、AB 上，且2BM MC =，3AN NB =，AB a =，AD b =.（1）试用a 、b 表示DN 、AM ；（234==,60BAD ∠=，求AM DN ⋅的值.21．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm ．（1）这种“浮球”的体积是多少3cm (结果精确到0.1)（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶约多少克？（精确到克）22．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos cos b A c A a C =+. （1）求A ；（2）若4a =，求ABC 面积的最大值。
福建省名校高一下学期期中考试数学试题(解析版)
福建省高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知，，则（ ）()2,3a =r ()26,2a b += b = A ．B ．C ．D ． ()2,4-()2,4-12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】利用平面向量的坐标运算可求得向量的坐标. b 【详解】因为，，则. ()2,3a =r ()26,2a b += ()()()()6,226,222,32,4b a =-=-=- 故选：A.2．若复数，则的虚部为（ ） 5i 2z =-z A ．B ．1C ．-1D ． i i -【答案】B【分析】根据复数除法化简复数，根据共轭复数概念求出虚部.【详解】，故，的虚部为1. ()()()5i 252i i 2i 2i 2z +===----+2i z =-+z 故选：B3．在中，内角所对应的边分别是，若，，，则（ ） ABC A ,,A B C ,,a b c 3a =b =60B = c =A ．B ．C ．D ． 1234【答案】D【分析】利用余弦定理直接构造方程求解即可.【详解】由余弦定理得：，即， 22222cos 9313b a c ac B c c =+-=+-=2340c c --=解得：（舍）或，.1c =-4c =4c ∴=故选：D.4．下列说法中正确的是（ ）A ．直四棱柱是长方体B ．圆柱的母线和它的轴可以不平行C ．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形D ．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥【答案】C【分析】根据相关立体几何图形的性质逐项判断即可.【详解】对于A ：由直四棱柱的定义可知，长方体是直四棱柱，但当底面不是长方形时，直四棱柱就不是长方体，故A 错误；对于B ：根据圆柱母线的定义可知，圆柱的母线和它的轴平行，故B 错误；对于C ：由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故C 正确；对于D ：当以斜边为旋转轴时，会得到两个同底的圆锥组合体，故D 错误.故选：C.5．若复数（ ） z =1005030z z z ++=A ．-1B ．C ．D ．0i 1-i 1--【答案】A【分析】根据复数的运算法则即可求解. 【详解】因为，所以，z=2212i i i 2z ++===所以 ()()()5025151005030222z z z z z z ++=++.()()()25127502515i +i +i 11i 1i 1i i 1==-+-⨯+-⨯=-+-=-故选：A.6．已知的顶点坐标分别为、、，则的面积为（ ）ABC A ()1,1A ()3,2B ()4,5C ABC A A ． B ． CD352【答案】B【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值，再利用同角三角函数的基本关系求出cos A 的值，最后利用三角形的面积公式可求得的面积. sin A ABC A 【详解】因为的顶点坐标分别为、、，则，，ABC A ()1,1A ()3,2B ()4,5C ()2,1AB = ()3,4AC =所以，，则为锐角， cos AB AC A AB AC⋅===⋅A 所以，，sin A ===因此，. 115sin 5222ABC S AB AC A =⋅== △故选：B. 7．在中，为上一点，为线段上任一点（不含端点），若ABC A E AC 3,AC AE P = BE，则的最小值是（ ） AP xAB y AC =+ 13x y+A ．8B ．10C ．13D ．16【答案】D 【分析】由题设且，进而可得，将目标式化为(1)AP AB AE λλ=+- 01λ<<13x y λλ=⎧⎪-⎨=⎪⎩，结合基本不等式“1”的代换求最小值，注意等号成立条件. 13191x y λλ+=+-【详解】由题意，如下示意图知：，且，又，(1)AP AB AE λλ=+- 01λ<<3AC AE = 所以，故且， 13AP AB AC λλ-=+ 13x y λλ=⎧⎪-⎨=⎪⎩01λ<<故， 131919()[(1)]10101611x y λλλλλλλλ-+=++-=++≥+=--仅当，即时等号成立. 191λλλλ-=-14λ=所以的最小值是16. 13x y+故选：D8．在中，角，，所对的边分别为，，，为的外心，为边上的中ABC A A B C a b c O ABC A D BC 点，，，，则（ ）4c =5AO AD ⋅= sin sin 4sin 0C A B+-=cos A =A B ． C ．D 1214【答案】C【分析】根据化简可得，代入 ，所以，再1()2AD AB AC =+ 5AO AD ⋅= 22544AB AC += 4c =2b =根据正弦定理化简可得，进而根据余弦定理可得.sin sin 4sin 0C A B +-=4a =cos A【详解】由题意，为 的外心，为边上的中点，可得： ，因为O ABC A D BC 1()2AD AB AC =+ 5AO AD ⋅= ，可得： ，又 ，111()()()5222AO AB AC AO AB AO AC ⋅+=⋅+⋅= 2211,22AO AB AB AO AC AC ⋅=⋅= 所以有 即 ，因为 ，所以 ，又因为22544AB AC += 22544c b +=4c =2b =sin sin 4sin 0C A B +-=，所以 ，由余弦定理： 4,4b c a a -==2221cos 24b c a A bc +-==故选：C.二、多选题9．若复数满足（是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）z ()1i 15i z +⋅=+i A ．的虚部为z 2iB ．z C ．的共轭复数为z 32i -D ．在复平面内对应的点位于第一象限z 【答案】BCD【分析】利用复数除法法则，计算得到，从而判断出虚部，求出模长及共轭复数，写出32i z =+z 在复平面内对应的点的坐标，判断其所在象限.【详解】由，所以， ()1i 15i z +⋅=+()()()()2215i 1i 15i 1i 5i 5i 64i 32i 1i 1i 1i 1i 2z +-+-+-+=====+++--所以的虚部为2，故A 错误；z正确；=B 的共轭复数为，故正确；z 32i -C 在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D 正确.z ()3,2故选：BCD.10．（多选）判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是（ ）A ．，，；B ．，，； 1a=b =45B =a=b =30A = C ．，，；D ．，，.6a =20b =30A = 5a =60B = 45C = 【答案】AD【分析】由正弦定理解三角形后可得结论. 【详解】对于A ，由正弦定理得：， sin 1sin 2a B Ab ===，，即，，则三角形有唯一解，A 正确；b a > B A ∴>045A <<o o 30A ∴= 对于B ，由正弦定理得：，sin sin b A B a ==，，即，或，则三角形有两解，B 错误；b a > B A ∴>30150B << 60B ∴= 120 对于C ，由正弦定理得：，无解，C 错误；120sin 52sin 63b A B a ⨯===B 对于D ，三角形两角和一边确定时，三角形有唯一确定解，D 正确.故选：AD11．已知中，其内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，下列命题正确的有（ ） ABC A A ．若，则A B >sin sin A B >B ．若，，则的外接圆半径为10 π6A =5a =ABC A C ．若为锐角三角形，则ABC A sin cos A B >D ．若，，，则1b =2c =2π3A =ABC S =A 【答案】ACD【分析】利用正弦定理来判断AB ，利用正弦函数的性质来判断C ，利用三角形的面积公式来判断D.【详解】对于A ：，，由正弦定理得，A 正确； A B > a b ∴>sin sin A B >对于B ：的外接圆半径为，B 错误； ABC A 55π2sin 2sin 6a A ==对于C ：若为锐角三角形，则，， ABC A π2A B +>ππ022A B ∴>>->，C 正确； πsin sin cos 2A B B ⎛⎫∴>-=⎪⎝⎭对于D ：，D 正确. 112πsin 12sin 223ABC S bc A ==⨯⨯=⨯A故选：ACD.12．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）A ．点，与向量共线的单位向量为 ()()1,34,1AB -，AB 34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．非零向量和满足，则与的夹角为a b a b a b ==- a a b + 30 C ．已知平面向量，，若向量与的夹角为锐角，则()1,2a = ()2,b t = a b 1t>-D ．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为()2AB = (1,AC =- AB AC )【答案】BD【分析】对于A ，根据共线向量及单位向量的概念运算即得；对于B ，利用向量夹角公式结合条件即得；对于C ，由题可得即可判断；对于D ，根据投影向量的概念结合条件即得. 220220t t +>⎧⎨-⨯≠⎩【详解】对于A ，因为，且，所以与向量共线的单位向量为()3,4AB =- 5AB = AB ，故错误； 34,55AB AB±=⎛⎫±- ⎪⎝⎭ 对于B ，因为，所以，即，化简得，a b a b ==- 22a a b =- 2222a a b a b =+-⋅ 22a b a ⋅= 所以，即222223a b a b a b a +=++⋅= a +又， ()2232a a b a a b a ⋅++=⋅= 所以， ()cos ,a a b a a b a a b ⋅++==⋅+r r r r r r r r r 因为，所以，故正确；0,180a a b ︒≤+≤︒r r r ,30a a b +=︒r r r 对于C ，由，，向量与的夹角为锐角，则，所以且，()1,2a = ()2,b t = a b 220220t t +>⎧⎨-⨯≠⎩1t>-4t ≠故错误；对于D ，因为， ()(22214AC =-+=u u u r ()(12AB AC ⋅=-+⨯=-u u u r u u u r 所以在上的投影向量的坐标为，故正确. AB AC1,AB AC AC ACAC ⋅⋅=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r )故选：BD.三、填空题13．已知向量，，若，则______.(,1)a m = (3,2)b =r //a b m =【答案】## 321.5【分析】利用向量平行的坐标运算列式计算即可.【详解】，，，//a b (,1)a m = (3,2)b =r ，23m ∴=. 32m ∴=故答案为：. 3214．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，边与平行于轴.已知四边形A B ''C D ''x '的面积为，则原平面图形的面积为__________.A B C D ''''21cm 2cm【答案】【分析】作出原图形，根据原图形与直观面积之间的关系求解．【详解】根据题意得，原四边形为一个直角梯形，45B A D '''∠=且，，，CD C D ''=AB A B ''=2AD A D ''=， ())()21sin 4512A B C D S A B C D A D A B C D A D cm ''''=+⋅=''''''''''''+⋅= 梯形则()A B C D A D ''''''+⋅=所以，. ()()())211222ABCD S AB CD AD A B C D A D A B C D A D cm '''''''''''=+⋅=+⋅=+⋅='梯形故答案为：.15．已知复数，，则的最大值为__________.134i z =+21z =122z z -【答案】7【分析】利用复数模的三角不等式可求得的最大值.122z z -【详解】因为复数，134i z =+5=所以，，121222527z z z z -≤+=+=当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 234i 55z =--122z z -7故答案为：.716．如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．如图乙，研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A 距离地面的高度AB （AB 与底面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物CD ，测得CD 的高度为h ，并从C 点测得A 点的仰角为30°；在赛道与建筑物CD 之间的地面上的点E 处测得A 点，C 点的仰角分别为60°和30°（其中B ，E ，D 三点共线），该学习小组利用这些数据估算出AB 约为60米，则CD 的高h 约为______米．【答案】20【分析】分别在和中，求得AE ，CE ，然后在中，利用正弦定理求解.ABE A CDE A AEC △【详解】解：在中，ABE A si n 60A BA E == 在中，，CDE A 2si n 30C DC E h == 在中，由正弦定理得：， AEC △si n si n C E A E E A C A C E =∠∠即 2si n 30h = 解得，20h =故答案为：20四、解答题17．当实数m 取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条()()225632i z m m m m =-++-+件：(1)与原点重合；(2)位于直线上；2y x =(3)位于第三象限.【答案】(1)2m =(2)或2m =5m =(3)无解【分析】（1）根据实部和虚部均为零列方程组求解；（2）根据点在直线列方程求解；2y x =（3）根据实部和虚部均小于零列不等式组求解.【详解】（1）由已知得，解得， 22560320m m m m ⎧-+=⎨-+=⎩2m =即时，复平面内表示复数的点与原点重合；2m =z （2）由已知得，()2232256m m m m -+=-+解得或，2m =5m =即或时，复平面内表示复数的点位于直线上；2m =5m =z 2y x =（3）由已知得，解得无解， 22560320m m m m ⎧-+<⎨-+<⎩m 即不存在的值使复平面内表示复数的点位于第三象限.m z 18．已知平面向量、，若，，a b 2a = 3b = a - (1)求向量、的夹角； a b (2)若且，求.c a tb =+ c a ⊥ c r 【答案】(1) 2π3(2)c =【分析】（1）在等式、的a - ab 夹角的余弦值，结合向量夹角的取值范围即可得解；（2）由已知可得，利用平面向量数量积的运算性质求出的值，然后利用平面向量数量积0c a ⋅= t 的运算性质可求得.c r 【详解】（1）解：因为a - ()2222222cos ,ab a a b b a a b a b b -=-⋅+=-⋅+ ，所以，， 412cos ,919a b =-+= 1cos ,2a b =- 又因为，因此，，即向量、的夹角为. 0,πa b ≤≤ 2π,3a b = a b 2π3（2）解：因为且，则 c a tb =+ c a ⊥ ()222πcos 3c a a tb a a ta b a t a b ⋅=+⋅=+⋅=+⋅ ，解得， 430t =-=43t =. ==19．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足． 22()b c a bc -=-(1)求角A 的大小；(2)若，求△ABC 的面积．2,sin 2sin a C B ==【答案】(1)π3【分析】（1）将条件整理然后代入余弦定理计算即可；（2）先利用正弦定理将角化边，然后结合条件求出，再利用三角形的面积公式求sin 2sin C B =,b c 解即可. 【详解】（1）由整理得， 22()b c a bc -=-222b c a bc +-=，由， 2221cos 222b c a bc A bc bc +-∴===()0,πA ∈； π3A ∴=（2），sin 2sin C B =由正弦定理得，①，∴2c b =又，②，224b c bc +-=由①②得 b c ==. 11sin 22ABC S bc A ∴===A 20．如图，为了测量两山顶之间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在,M N ,A B ,,,A B M N 同一铅垂平面内.飞机从点到点路程为，途中在点观测到处的俯角分别为，在点A B a A ,M N ,αβ观测到处的俯角分别为.B ,M N ,γδ(1)求之间的距离（用字母表示）；,A M(2)若，求之间的距离.75,30,45,60a αβγδ===== ,M N 【答案】(1)()sin sin a γαγ+(2)【分析】（1）在中，利用正弦定理求得结果.ABM A （2）先利用余弦定理求解，再根据余弦定理求解即可. AN MN 【详解】（1）在中，由正弦定理可得 ABM A ，即. sin sin AB AM AMB ABM∠∠=()sin πsin a AM αγγ=--所以. ()sin sin a AM γαγ=+（2）因为，75,45a αγ===由（1）知()sin sin a AM γαγ===+，则为等腰三角形，30,60,30ANB βδ∠==∴= ABN A,由余弦定理可得AB BN ==120ABN ∠=30AN ==在中，，由余弦定理可得：AMN A 45MAN ∠αβ=-=MN ===因此之间的距离为MN 21．从①；②；这两个条件中选择一个，补充在下()sin sin()sin a c A c A B b B -++=cos cos 2B b C a c =-面试题的横线上，并完成试题解答.设的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知_______. ABC A ABC A (1)求B(2)若，求的最小值，并判断此时的形状.2AM MC = BM ABC A （注：若选择多个条件分别作答，则按第一个条件计分）【答案】(1)3π(2)，是直角三角2ABC A【分析】（1）选①：由正弦定理得，结合余弦定理求得，得到； 22()a c a c b -+=1cos 2=3B π=选②：由正弦定理得，得到，得到，(2sin sin )cos sin cos AC B B C -=2sin cos sin A B A =1cos 2B =求得.3B π=（2）由（1）得，求得，得到，根据向量的运算和基本不等ABC S △6ac =1233BM BA BC =+式，求得取得最小值2，此时，进而求得. ||BM sin 2sin C A =tan A =【详解】（1）解：若选①，因为，所以，A B C π++=sin()sin A B C +=所以()sin sin sin a c A c C b B -+=由正弦定理，得，即，22()a c a c b -+=222a c b ac +-=由余弦定理，得， 2221cos 222a b c ac B ac ac +-===因为，所以.0B π<<3B π=若选②，有，(2)cos cos a c B b C -=由正弦定理，得，(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=即，所以，2sin cos cos sin sin cos A B B C B C =+2sin cos sin()A B B C =+因为，所以，即，A B C π++=sin()sin B C A +=2sin cos sin A B A =因为，所以，因为，所以. sin 0A ≠1cos 2B =0B π<<3B π=（2）解：由（1）得， 1sin 2ABC S ac B ==△6ac =因为， 1233BM BA AM BA BC =+=+ 所以 ()222222121441||24339999BM BA BC BA BA BC BC c ac a ⎛⎫=+=+⋅+=++ ⎪⎝⎭， ()221429c a ac =++112)(42)99ac ac ac ≥⋅=⋅+243ac ==当且仅当时，取得最小值2，此时， 2c a =||BM sin 2sin C A =又因为，所以，整理得， 23C A π=-2sin 2sin 3A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭tan A =因为，所以，所以，所以是直角三角. 203A π<<6A π=2C π=ABC A 22．已知△ABC 为锐角三角形，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．R 为△ABC 外接圆半径．（1）若R ＝1，且满足，求的取值范围；()222sin sin sin sin sin tan B C B C A A =+-22b c +（2）若，求的最小值．2222cos b c aR A a +=+tan tan tan A B C ++【答案】（1）；（2）.(7,4+8【分析】（1）由正弦定理及余弦定理可得，进而得到的大小；由正弦定理和三角恒等1sin 2A =A变换得到，从而根据的范围求出即可； 22b c +423B π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭B 423B π⎛⎫+- ⎪⎝⎭（2）由题意得出，，然后化简tan tan 2tan tan B C B C +=tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，从而利用基本不等式求最小值.tan tan tan A B C ++【详解】（1）因为，()222sin sin sin sin sin tan B C B C A A =+-所以由正弦定理，得， ()222tan bc b c a A =+-又由余弦定理，得，所以，2222cos b c a bc A +-=2cos tan bc bc A A =即，所以， sin 2cos cos A bc bc A A=⋅1sin 2A =又因为△ABC 为锐角三角形，所以，6A π=所以 ()()2222222sin 2sin 4sin 4sin b c R B R C B C +=+=+ 1cos 21cos 24442cos 22cos 222B C B C --=⨯+⨯=-- 5542cos 22cos 242cos 22cos 263B B B B ππ⎛⎫⎛⎫=---=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭242cos 22cos 2423cos 23B B B B π⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭，14sin 224223B B B π⎫⎛⎫+=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭因为△ABC 为锐角三角形，所以 ，即，所以， 0202B C ππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩025062B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩32B ππ<<所以，即， 223Bππ<<22333B πππ<-<sin 213B π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭所以 74243B π⎛⎫<+-≤+ ⎪⎝⎭即的取值范围为.22b c +(7,4+（2）因为，2222cos b c aR A a +=+所以，即，2222cos b c a aR A +=-2cos 2cos bc A aR A =又因为△ABC 为锐角三角形，所以，所以， cos 0A ≠bc aR =所以由正弦定理，得，sin 2sin sin A B C =又因为，所以，A B C π++=()sin sin A B C =+所以，即, ()sin 2sin sin B C B C +=sin cos cos sin 2sin sin B C B C B C +=两边同时除以，得， cos cos B C tan tan 2tan tan B C B C +=因为且△ABC 为锐角三角形，A B C π++=所以，所以 ()ta ta n tan 0tan tan n 1tan B C A C B C B +=+-->=tan tan 10B C ->所以，()tan tan tan tan tan 1B C A B C +=-所以 ()tan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan A B C A B C A A B C ++=-+=， tan tan tan tan tan tan 1B C B C B C +=⋅-令，则，tan tan 1B C m -=0m >所以 tan tan tan A B C ()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1B C B C B C m B C m++=⋅=⋅+-， ()()()()221212tan tan 111228m m B C m m m m m m m ++⎛⎫=⋅+=⋅+==++≥ ⎪⎝⎭当且仅当时，即时等号成立， 1=m m 1m =所以的最小值为.tan tan tan A B C ++8。
福建省福州高一下学期期中考试数学试题(解析版)
福建省福州高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．复数（为虚数单位）的虚部为（ ） 2i z =-i A ． B ．1C ．D ．1-i i -【答案】A【分析】根据给定条件，利用复数的定义直接作答. 【详解】复数的虚部是. 2i z =-1-故选：A2．已知向量满足，则（ ）,a b 2π1,2,,3a b a b ==<>= ()a ab ⋅+= A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．2【答案】C【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.【详解】. ()22π112cos 1103a ab a a b ⋅+=+⋅=+⨯⨯=-= 故选：C3．已知向量，，，则的值是（ ）(cos ,3)a α= (sin ,4)b α=- //a b 3sin cos 2cos 3sin αααα+-A ．B ．C ．D ．12-2-43-12【答案】A【分析】根据，可得，再利用同角之间的公式化简，代//a b 4tan 3α=-3sin cos 3tan 12cos 3sin 23tan αααααα++=--入即可得解.【详解】因为向量，，(cos ,3)a α= (sin ,4)b α=- //a b，即4cos 3sin a a ∴-=4tan 3α=-3sin cos 3tan 1412cos 3sin 23tan 2412αααααα++-+∴===--+-故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查向量平行的坐标运算，及利用同角之间的公式化简求值，解题的关键是的变形，考查学生的运算求解能力，属于基础题.3sin cos 3tan 12cos 3sin 23tan αααααα++=--4．在平行四边形中，为边的中点，记，，则（ ） ABCD E BC AC a = DB b = AE =A ．B ．1124a b - 2133a b + C ． D ．12a b +3144a b + 【答案】D【分析】根据向量的线性运算法则，求得，结合，即可求1122CB b a =- 12AE AC CE AC CB =+=+解.【详解】如图所示，可得，11112222CB OB OC DB AC b a =-=-=-所以. 111131222244AE AC CE AC CB a b a a b ⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭故选：D ．5．如图，某建筑物的高度，一架无人机（无人机的大小忽略不计）上的仪器观测到300BC m =Q 建筑物顶部的仰角为，地面某处的俯角为，且，则此无人机距离地面的高C 15 A45 60BAC ∠= 度为（ ）PQA ．B ．C ．D ．100m 200m 300m 400m 【答案】B【解析】计算出和，利用正弦定理求出，由此可得出，即可计算出AC ACQ ∠AQ sin 45PQ AQ = 所求结果.【详解】在中，，，Rt ABC ∆60BAC ∠= 300BC =sin 60BC AC ∴===在中，，，ACQ ∆451560AQC ∠=+= 180456075QAC ∠=--= .18045ACQ AQC QAC ∴∠=-∠-∠= 由正弦定理，得，得sin 45sin 60AQ AC=sin 45sin 60AC AQ ==在中，， Rt APQ ∆sin 45200PQ AQ === 故此无人机距离地面的高度为， 200m 故选：B.【点睛】本题考查高度的测量问题，考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 6．在中，，，为的重心，若，则外接圆的半ABC A 2π3A =1AB =G ABC A AG AB AG AC ⋅=⋅ ABC A 径为( )A B ．1C ．2D ．【答案】B【分析】根据向量数量积的分配率结合可得，即AG ⊥CB ，结合G 为AG AB AG AC ⋅=⋅ 0AG CB ⋅=△ABC 重心可得△ABC 为等腰三角形，再根据几何关系即可求△ABC 外接圆半径． 【详解】延长AG 交BC 于D ，∵G 是△ABC 重心，∴AD 为△ABC 中线．，()000AG AB AG AC AG AB AG AC AG AB AC AG CB ⋅=⋅⇒⋅-⋅=⇒⋅-=⇒⋅=即AD ⊥BC ，故△ABC 是等腰三角形，且， AB AC =则△ABC 外接圆圆心在AD 上，设为O ，则OA =OC ， ∵∠OAC =，∴△OAC 是等边三角形，∴OA =OC =AC =AB =1，即△ABC 外接圆半径为1． π3故选：B ．7．在中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若﹐则中最ABC A 2015120aBC bCA cAB ++=ABC A 小角的余弦值等于（ ）A ．B ．C ．D 453435【答案】A【分析】由已知，根据题意，将展开，从而得到，再根据BC(2015)(1220)0a b AC c a AB -+-= AC 和为不共线向量，即可得到a ，b ，c 三边关系，从而使用余弦定理可直接求解出中最小ABABC A 角的余弦值.【详解】由已知，，所以， 2015120aBC bCA cAB ++=20()15120a AC AB bCA cAB -++= 即，又因为和为不共线向量，(2015)(1220)0a b AC c a AB -+-= AC AB所以，所以，，2015012200a b c a -=⎧⎨-=⎩43b a =53c a =在中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，所以边长a 最小， ABC A 所以，所以中最小角的余弦值等于.2224cos 25b c a A bc +-==ABC A 45故选：A.8．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且ABC A A B C a b c S ABC A ，则的取值范围为（ ）()222S a b c =--222b c bc+A ． B ． C．D ．4359,1515⎛⎫⎪⎝⎭4315⎡⎫⎪⎢⎣⎭5915⎡⎫⎪⎢⎣⎭)⎡+∞⎣【答案】C【分析】根据余弦定理和的面积公式，结合题意求出、的值，再用表示，求ABC A sin A cos A C B 出的取值范围，即可求出的取值范围． sin sin b B c C =222b c bc+【详解】解：在中，由余弦定理得， ABC A 2222cos a b c bc A =+-且的面积，ABC A 1sin 2S bc A =由，得，化简得， 222()S a b c =--sin 22cos bc A bc bc A =-sin 2cos 2A A +=又，，联立得，(0,2A π∈22sin cos 1A A +=25sin 4sin 0A A -=解得或（舍去）， 4sin 5A =sin 0A =所以， sin sin()sin cos cos sin 43sin sin sin 5tan 5b B A C A C A C cC C C C ++====+因为为锐角三角形，所以，，所以，ABC A 02C π<<2B AC ππ=--<22A C ππ-<<所以，所以，所以， 13tan tan 2tan 4C A A π⎛⎫>-==⎪⎝⎭140,tan 3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭35,53b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭设，其中，所以， b t c =35,53t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭221212222b c b c t tbc c b t t ⎛⎫ ⎪+=+=+=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增， 12y t t =+35⎛ ⎝53⎫⎪⎪⎭当时，；当时，；t =y =35t =4315y =53t =5915y =所以，即的取值范围是．5915y ⎡⎫⎪⎢⎣⎭∈222b c bc +5915⎡⎫⎪⎢⎣⎭故选：C.【点睛】关键点点睛：由，所以本题的解题关键点是根据已知及2222b c b cbc c b+=+求出的取值范围. sin sin()sin cos cos sin 43sin sin sin 5tan 5b B A C A C A C c C C C C ++====+b c二、多选题9．已知为虚数单位，复数满足，则下列说法错误的是（ ）i z ()2022i 2iz -=A ．复数的模为B ．复数的共轭复数为z 15z 21i 55--C ．复数的虚部为D ．复数在复平面内对应的点在第一象限z 1i 5z 【答案】ABC【分析】利用可将化简，求出复数，再根据复数模长求法，共轭复数定义，复数的几2i 1=-2022i z 何意义求解即可. 【详解】，()101122022i i12i i 2i 22i 5z +====---，z 的虚部为，z =21i 55z =-15故选ABC ．10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）()22cos 2π13f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭A ．任意，x ∈R ()()πf x f x =-B ．任意，x ∈R ()()33ππ+=-f x f x C ．任意， 12ππ36x x -<<<()()12f x f x >D ．存在， 12,R x x ∈()()124f x f x -=【答案】ACD【分析】根据余弦函数的性质：周期性、对称性、单调性、最值分别判断各选项． 【详解】因为的最小正周期是，因此A 正确； ()f x 2ππ2T ==时，， π3x =2π4π2π,Z 33x k k +=≠∈不是图象的对称轴，B 错； π3x =()f x时，，由余弦函数性质知在是单调递减，C 正确；ππ36x -<<2π02π3x <+<()f x ππ(,36-同样由余弦函数性质知的最大值是3，最小值是，两者差为4，因此D 正确． ()f x 1-故选：ACD ．11．已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且，c =2．则下列结论正确π3C ∠=（ ）A ．△ABCB ．的最大值为AC AB ⋅2C ． D ．的取值范围为coscos b A a B+=cos cos BA )∞∞⎛-⋃+ ⎝【答案】AB【分析】A 选项，利用余弦定理和基本不等式求解面积的最大值；B 选项，先利用向量的数量积计算公式和余弦定理得，利用正弦定理和三角恒等变换得到2242b a AC AB +-⋅= ，结合B 的取值范围求出最大值；C 选项，利用正弦定理进行求解；D 22π26b a B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭选项，用进行变换得到，结合A的取值范围得到的取()cos cos B A C =-+cos 1cos 2B A A =-cos cos B A 值范围.【详解】由余弦定理得：，解得：，2241cos 22a b C ab +-==224a b ab +=+由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立， 2242a b ab ab +=+≥a b =所以，故A 正确； 4ab ≤1sin 2ABC S ab C =≤A ， 222224cos 22b c a b a AC AB AC ABA bc bc +-+-⋅=⋅=⋅=其中由正弦定理得： 2πsin sin sin3a b A B ===所以 ()22222216162πsin sin sin sin 333b aB A B B ⎡⎤⎛⎫-=-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，4π1cos 2161cos 2π323226B B B ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥-⎛⎫⎝⎭⎢⎥-=- ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦因为，所以，2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ7π2,666B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭故，22π26b a B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭的最大值为222224cos22b c a b a ACAB AC AB A bc bc +-+-⋅=⋅=⋅=2B 正确； ， )()cos cos sin cossin cos 2b A a B B A A B A B C +=+=+===故C 错误；， πcos cos13cos cos 2A B A A A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭===-因为，所以，2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(()tan ,0,A ∞∞∈-⋃+，D 错误. ()11,2,22A ∞∞⎛⎫-∈--⋃-+ ⎪⎝⎭故选：AB【点睛】三角函数相关的取值范围问题，常常利用正弦定理，将边转化为角，结合三角函数性质及三角恒等变换进行求解，或者将角转化为边，利用基本不等式进行求解.12．设，为单位向量，满足，，则，的夹角为，则1e 2e 12e 12a e e =+123b e e =+ a bθ的可能取值为（ ）2cos θA ．B ．C ．D ．1192020292829【答案】CD【分析】设单位向量，的夹角为，根据已知条件，然后利用1e 2eα12e 3cos 14α≤≤夹角公式可将表示成关于的函数，利用不等式的性质求出其值域即可．2cos θcos α【详解】设单位向量，的夹角为，1e 2eα由，解得，12e54cos 2α-≤3cos 14α≤≤又，， 12a e e =+123b e e =+，同理||a ∴==r||b =r 且，44cos a b α=+⋅r r，cos b b a a θ∴==⋅⋅r r r r =，令，244cos cos 53cos αθα+∴=+2cos t θ=则， 844cos 4353cos 353cos t ααα+==-++，，，3cos 14α≤≤Q 2953cos 84α∴≤+≤81323,53cos 387α⎡⎤∴∈⎢⎥+⎣⎦所以，即的取值范围为 84283,1353cos 29α⎡⎤-∈⎢⎥+⎣⎦2cos θ28,129⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：CD三、填空题13．已知向量为单位向量，其夹角为，则__________.,a b π3|2|a b +=【分析】利用模长公式直接求解【详解】|2|a b +===14．已知1＋2i 是方程x 2－mx ＋2n ＝0(m ，n ∈R )的一个根，则m ＋n ＝____.【答案】92【分析】将代入方程，根据复数的乘法运算法则，得到，再由12x i =+()()32420m n m i --++-=复数相等的充要条件得到方程组，解得即可；【详解】解：将代入方程x 2－mx ＋2n ＝0，有(1＋2i )2－m (1＋2i )＋2n ＝0，即12x i =+，即，由复数相等的充要条件，得144220i m mi n +---+=()()32420m n m i --++-=解得 320420m n m --+=⎧⎨-=⎩522n m ⎧=⎪⎨⎪=⎩故. 59222m n +=+=故答案为：9215．的内角，，的对边分别为，，，满足.若ABC A A B C a b c ()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-为锐角三角形，且，则当面积最大时，其内切圆面积为________.ABC A 3a =ABC A【答案】/34π34π【分析】先用正弦定理及余弦定理可得，结合面积公式和基本不等式可得当为等边三角形A ABC A 时，面积取到最大值，再利用等面积法求内切圆半径即可. ABC A 【详解】∵，22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-则由正弦定理可得，整理得，22()b c a bc -=-222b c a bc +-=则. 2221cos 22b c a A bc +-==∵为锐角三角形，则，故，ABC A π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π3A =由面积为，ABC A 11sin 22△ABC S bc A bc ===可得当面积取到最大值，即为取到最大值. ABC A bc ∵，即，即， 222b c a bc +-=2292b c bc bc +=+≥9bc ≤当且仅当，即为等边三角形时等号成立. 3==b c ABC A故当为等边三角形时， ABC A ABC A 9=设的内切圆半径为，则 ABC A r ()1922△ABC r S r a b c =++==r =故内切圆面积为. 23ππ4r =故答案为：.3π416．中，，若，ABC A ()min |2AB AC AB BC R λλ==+=∈ 2AM MB =，其中，则的最小值为__________.22sin cos AP AB AC αα=⋅+⋅ ,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦MP【分析】由平面向量的加法法则得到为点A 到BC 的距离为2，从而为等腰min 2||AB BC λ+=ABC A 直角三角形，斜边为4，再根据，其中，得到点P 在线段22sin cos AP AB AC αα=⋅+⋅ ,63ππα⎡⎤∈⎢⎣⎦DE 上，且D ，E 为BC 的四等分点求解. 【详解】解：如图所示：在中，由平面向量的加法法则得为点A 到BC 的距离， ABC A min ||AB BC λ+即，则为等腰直角三角形，斜边为4，2AN =ABC A 又，其中，22sin cos AP AB AC αα=⋅+⋅ ,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以点P 在线段DE 上，且D ，E 为BC 的四等分点， 又，2AM MB =则， AM =当点P 在点D 时，的最小，MP由余弦定理得， 22252cos 459MD AM BD AM BD =+-⋅⋅=四、解答题17．已知是虚数单位，复数，i ()()242z a a =-++i a R ∈（1）若为纯虚数，求实数的值；z a （2）若在复平面上对应的点在直线上，求的值． z 210x y ++=z z ⋅【答案】（1）2；（2）10．【分析】（1）根据纯虚数的定义：实部为零，虚部不为零求解；（2）根据复数的几何意义得到复数对应的点的坐标，代入直线方程求得的值，进而利用共轭复a 数的定义和复数的乘法运算求得.【详解】解：（1）若为纯虚数，则，且， z 240a -=20a +≠解得实数的值为2；a （2）在复平面上对应的点，z ()24,2a a -+由条件点在直线上，()24,2a a -+210x y ++=则， 242(2)10a a -+++=解得．1a =-则， 3i z =-+3i z =--所以.()23110z z ⋅=-+=18．已知向量，，.()1,3a = ()1,3b =- (),2c λ=（1）若，求实数，的值；3a mb c =+m λ（2）若，求与的夹角的余弦值.()()2a b b c +⊥- a 2b c + θ【答案】（1） （2 01m λ=⎧⎨=-⎩【解析】（1）根据向量的数乘运算及坐标加法运算,可得方程组,解方程组即可求得,的值.m λ（2）根据向量坐标的加减法运算,可得结合向量垂直的坐标关系,即可求得的值.进而2,a b + ,b c -λ表示出,即可由向量的坐标运算求得夹角的余弦值.2b c +θ【详解】（1）由,得, 3a mb c =+()()()1,3,33,6m m λ=-+即,解得. 13336m m λ=-+⎧⎨=+⎩01m λ=⎧⎨=-⎩（2）,.()21,9a b +=()1,1b c λ-=-- 因为,所以,即.()()2a b b c +⊥-190λ--+=8λ=令, ()26,8d b c =+=则cos a d a dθ=⋅=【点睛】本题考查了向量的坐标的数乘运算和加减运算,向量垂直时的坐标关系,根据向量数量积求夹角的余弦值,属于基础题.19．在①，②，③这三个条件中()()3a b c a b c ab +++-=tan tan tan tan 1A BA B +=-sin cos 2sin sin cos C C B A A=-任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.在中，角，，所对的边分别为，，，且满足___________. ABC A A B C a b c (1)求的值；tan C(2)若为边上一点，且，，，求. D BC 6AD =4BD =8AB =AC【答案】(1)tan C =(2)AC =【分析】（1）选择①，由余弦定理可求解，选择②，由正切的两角和公式可求解，选择③，由正弦的两角和公式可求解；（2）由余弦定理及正弦定理可求解.【详解】（1）选择①，由，可得，于是得，即()()3a b c a b c ab +++-=222a b c ab +-=1cos 2C =，所以3C π=tan C =选择②，由，有tan tan tan tan 1A BA B +=-tan tan tan tan()tan tan 1A B C A B A B +=-+==-tan C =选择③，由，有，sin cos 2sin sin cos C CB A A=-sin cos 2sin cos cos sin C A B C C A =-即，即，又因为，所以，于是得sin()2sin cos A C B C +=sin 2sin cos B B C =0B π<<sin 0B ≠，即，所以1cos 2C =3C π=tan C =（2）由在中，，，，由余弦定理得，所ABD △6AD =4BD =8AB =3616641cos 2644ADB +-∠==-⨯⨯以， sin sin ADB ADC ∠=∠=在中，由正弦定理有，得.ADC △sin sin AC ADADC C=∠∠AC =20．某赛事公路自行车比赛赛道平面设计图为五边形（如图所示），为ABCDE ,,,,DC CB BA AE ED 赛道，根据比赛需要，在赛道设计时需设计两条服务通道（不考虑宽度），现测得：,AC AD，，千米，23ABC AED π∠=∠=4CAD BAC π∠=∠=BC =CD =(1)求服务通道的长；AD (2)如何设计才能使折线赛道（即）的长度最大？并求出最大值． AED AE ED +【答案】(1)千米8(2)当时，折线赛道千米 AE ED =AED【分析】（1）在中，利用正弦定理可求得；在中，利用余弦定理可求得； ABC A AC ACD A AD （2）方法一：在中，利用余弦定理构造方程，结合基本不等式可求得的最大值，ADE V AE ED +由此可得结果；方法二：在中，设，，，利用正弦定理可表示出ADE V ADE α∠=EAD β∠=,0,3παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,AE ED，利用三角恒等变换知识化简为关于的正弦型函数的形式，利用正弦型函数的最大值可AE ED +α求得结果.【详解】（1）在中，由正弦定理得：ABC A sin sin BC ABCAC BAC⋅∠===∠在中，由余弦定理得：，ACD A 2222cos CD AD AC AC AD CAD =+-⋅⋅∠即，解得：，234182cos4AD AD π=+-⨯⨯8AD =服务通道的长为千米．∴AD 8（2）方法一：在中，由余弦定理得：， ADE V 22222cos3AD AE ED AE DE π=+-⋅⋅即，；222AD AE ED AE ED =++⋅()264AE ED AE ED ∴=+-⋅（当且仅当时取等号），()24AE ED AE ED +⋅≤AE ED =，即， ()23644AE ED ∴+≤()22563AE ED +≤（当且仅当 AE ED ∴+≤AE ED ==当时，折线赛道∴AE ED =()AED AE ED +方法二：在中，设，，，ADE V ADE α∠=EAD β∠=,0,3παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，sin sin sin AE DE ADAED αβ====∠AE α∴DE β=)1sin sin sin sin sin sin 32AE DE παβααααα⎫⎤⎛⎫∴+=+=+-=-⎪ ⎪⎥⎪⎝⎭⎦⎭， 1sin 23πααα⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，， 03πα<< 2333πππα∴<+<当，即时，取得最大值，此时，∴32ππα+=6πα=sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭16πβ=时，折线赛道千米． 6AEDE π∴===()AED AE ED +21．已知向量，，函数. ()sin 2,cos 2m x x = 12n ⎫=⎪⎪⎭()f x m n =⋅(1)求函数的解析式和对称轴方程；()f x (2)若时，关于的方程恰有三个不同的实根，π2π,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x ()()1sin R 6f x x πλλλ⎛⎫+++=∈ ⎪⎝⎭1x 2x ，，求实数的取值范围及的值.3x λ123xx x ++【答案】(1)，对称轴方程是，； π()sin(26f x x =+ππ26k x =+Z k ∈，． 13λ≤<1233π2x x x ++=【分析】（1）由数量积的坐标表示求得，结合正弦函数的对称轴求得的对称轴； ()f x ()fx （2）方程化简得和，由正弦函数性质和的范围，同时得出和，求得sin 1x =1sin 2x λ-=λ1x 23x x +结论．【详解】（1）由已知，1π()2cos 2sin(226f x m n x x x =⋅=+=+ ，，所以对称轴方程是，；ππ2π62x k +=+ππ26k x =+ππ26k x =+Z k ∈（2），2ππ(sin(2)cos 212sin 62f x x x x +=+==-时，递增，时，递减，，ππ[,]62x ∈-sin y x =π2π[,]23x ∈sin y x =2πsin 3=π1sin(62-=-， πsin 12=方程为，()()1sin R 6f x x πλλλ⎛⎫+++=∈ ⎪⎝⎭212sin (1)sin x x λλ-++=即， 22sin (1)sin 10x x λλ-++-=，(sin 1)(2sin 1)0x x λ-+-=或，sin 1x =1sin 2x λ-=因为，所以时，，设，π2π,63x⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦sin 1x =π2x =1π2x =， 112λ-≤<13λ≤<在上有两个解，记为，则，1sin 2x λ-=π2π[,]3323,x x 23πx x +=所以． 1233π2x x x ++=22．如图，在中，，是角的平分线，且．ABC A ()AB mAC m R =∈AD A ()AD kAC k R =∈（1）若，求实数的取值范围．3m =k （2）若，时，求的面积的最大值及此时的值．3BC =2m ≥ABC A k【答案】（1）；（2）当的面积取最大值.30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭k =ABC A 3【分析】（1）设，则，利用可得出，由此可2BAC θ∠=02πθ<<ABC BAD CAD S S S =+A A A 3cos 2k θ=求得的取值范围；k （2）由三角形的面积公式可得，利用余弦定理化简可得22sin 2ABC S AC m θ=△29sin 2212cos 2ABC m S m m θθ=+-△，可得出，利用辅助角公式可得出，()2214cos 29sin 2ABC ABCS mmSm θθ+=+△△()22228141ABCm Sm≤-△结合函数单调性可求得的最大值及其对应的，即可得出结论. ABC S A k 【详解】（1）设，则，其中，2BAC θ∠=BAD CAD θ∠=∠=02πθ<<由，可得， ABC BAD CAD S S S =+A A A 111sin 2sin sin 222AB AC AB AD AC AD θθθ⋅=⋅+⋅所以，，()2cos AB AC AD AB AC θ+⋅=⋅即，所以，； ()212cos m AC kAC mAC θ+⋅=2cos 33cos 0,122m k m θθ⎛⎫==∈ ⎪+⎝⎭（2），可得，221sin 2sin 222ABC m S mAC AC θθ==⋅△22sin 2ABC S AC m θ=△由余弦定理可得，()222222cos 212cos 29BC AB AC AB AC m m AC θθ=+-⋅=+-⋅=所以，，所以，， 222912cos 2sin 2ABC S AC m m m θθ==+-△29sin 2212cos 2ABCm S m m θθ=+-△可得()2214cos 29sin 2ABC ABC S m mS m θθ+=+≤△△所以，，()22228141ABCm Sm≤-△，则，2m ≥ ()2991212ABC m S m m m ==⎛⎫-- ⎪⎝⎭△由于函数在时单调递增， ()1f m m m=-2m ≥所以，随着的增大而减小，则当时，，ABCS A m 2m =()max93322ABC S ==⨯△此时，，由，可得， 93tan 244ABCm mS θ==△22sin 23tan 2cos 24sin 2cos 2102θθθθθθπ⎧==⎪⎪+=⎨⎪<<⎪⎩4cos 25θ=所以，cos θ==2cos 4cos 13m k m θθ===+【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； a b c （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.。
福建省高一下学期期中检测数学试题(解析版)
一、单选题 1．复数（ ） 2ii 1i-=+A ． B ．C ．1D ．12i -12i +1-【答案】C【分析】直接由复数的运算求解即可. 【详解】. ()()()2i 1i 2ii i 1i i 11i 1i 1i --=-=+-=++-故选：C.2．如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ）ABCD E AB F CE AF =A ．B ．3144AB AD +1344AB AD +C ．D ．12AB AD +3142AB AD +【答案】D【分析】由平面向量的线性运算逐步转化即可得解.【详解】AF = 1122EF AB A EC E +=+11()22AB EB BC +=+111222AB AB BC ⎛⎫+ ⎪+⎭=⎝=. 3142AB AD + 故选：D ．3．如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是O A B C ''''1cm （ ）A ．B ．C ．D ．8cm 6cm 2(12(1【答案】A【分析】由三视图得原图形的形状，结构，得边长后可得周长．【详解】由三视图知原图形是平行四边形，如图，，，OABC 1OA O A ''==OB OA ⊥， 2OB O B ''==3AB ==所以平行四边形的周长是8． OABC 故选：A ．4．若圆锥的母线长为，底面半径为 ） 4A ． B ．C ．D ．π8π2π48π【答案】B【分析】由圆锥母线和底面半径可求得圆锥的高，利用圆锥体积公式可求得结果.【详解】圆锥的母线长，底面半径圆锥的高，4l =r =∴2h ==圆锥的体积.∴2183V r h ππ=⋅=故选：B.5．已知△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，则“”是“”的（ ） 3A π<sin A <A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】结合三角函数的性质，利用充分性与必要性的定义，可得出答案. 【详解】A 是△ABC 的三个内角， ()0,πA ∴∈当，可得或，sin A <()0,πA ∈π03A <<2ππ3A <<所以“”是“”的充分不必要条件. 3A π<sin A <故选：A6．在平行四边形中，已知，，对角线，则对角线的长为（ ） ABCD 1AD =2AB =2BD =AC ABCD ．2【答案】A【分析】根据题意，结合余弦定理即可求解.【详解】根据题意，在中，由余弦定理得，ABD △2221cos 24AB AD BD BAD AB AD +-∠==⋅因，所以，BAD ABC π∠+∠=1cos cos 4ABC BAD ∠=-∠=-故在中，由余弦定理得，计算得ABC A 2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠AC =故选：A.7．在梯形中，，且，则的值为（ ）ABCD 24DC AB PC==AP AB AD λμ=+ λμ+A ．1B ．C ．2D ．352【答案】B【分析】先利用平面向量的线性运算得到，再结合进行求解.32AP AD AB =+ AP AB AD λμ=+【详解】因为，24DC AB PC ==所以，3342AP AD DP AD DC AD AB =+=+=+ 又因为，AP AB AD λμ=+所以，，.32λ=1μ=52λμ+=故选：B.8．设为的边的中点，为内一点，且满足，则（ ） D ABC A AB P ABC A 13AP AD BC =+ APDADC S S =A A A ． B ． C ． D ．13341223【答案】A【分析】由题意可得，由向量的线性运算可得，即且2ABCADC S S =A A 13DP BC = 13DP BC =//DP BC，可得，即可求得比值. 16ADP ABC S S =A A 【详解】因为为的边的中点， D ABC A AB 所以,2ABCADC S S =A A 又因为为内一点，且满足，P ABC A 13AP AD BC =+所以，即，即且，13AP AD BC -= 13DP BC = 13DP BC =//DP BC 因为， 1cos 2ABC S AB BC B =⋅A ， 1111111cos cos cos 2223626ADP ABC S AD DP B AB BC B AB BC B S =⋅=⨯⨯⋅=⨯⋅=A A 所以，116132ABCA DCC AP A BD S S S S ==A A A A 故选：A.二、多选题9．已知复数（其中是虚数单位），则下列命题中正确的为（ ） 34i z =-i A ． B ．的虚部是5z =z 4C ．是纯虚数 D ．在复平面上对应点在第四象限3z-z 【答案】ACD【分析】由复数的模、复数的定义、复数的几何意义判断各选项． 【详解】34i z =-，A 正确；的虚部是，B 错误；是纯虚数，C 正确；对应点5=z 4-34i z -=-z 的坐标是，在第四象限，D 正确． (3,4)-故选：ACD ．10．对于任意两个向量和，下列命题中正确的是（ ）a bA ．若，满足||>||，且与反向，则< a b a b a b a bB ．||||||a b a b +≤+ C ．||||||a b a b ⋅≥ D ．||||||a b a b -≥- 【答案】BD【分析】A. 根据平面向量不能比较大小判断.B. 根据平面向量的三角形法则判断.C.根据 平面向量的数量积定义判断.D. 根据平面向量的三角形法则判断.【详解】A 选项.向量不能比较大小，选项A 错误．B 选项. 根据向量加法运算公式可知，当向量和不共线时，两边之和大于第三边，即a b，||||||a b a b +<+当和反向时，，当和同向时，，a b ||||||a b a b +<+ a b||||||a b a b +=+ 所以成立，故B 正确；||||||a b a b +≤+C 选项，，选项C 错误．|||||||cos |||||a b a b a b θ⋅=≤D 选项.当向量和不共线时，根据向量减法法则可知，两边之差小于第三边，即 a b||||||a b a b ->- 当和反向时，，a b||||||a b a b ->- 当和同向且时，，a b||||a b ≥ ||||||a b a b -=- 当和同向且时，，所以选项D 正确. a b||||a b < ||||||a b a b ->- 故选：BD11．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，则下列结论正确的是（ ）A ．圆柱的侧面积为 22πRB ．圆锥的侧面积为22πR C ．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D ．圆柱、圆锥、球的体积之比为3:1:2【分析】根据圆柱、圆锥的侧面积、表面积、体积等知识求得正确答案. 【详解】A 选项，圆柱的侧面积为，A 选项错误. 22π24πR R R ⨯=B，=圆锥的侧面积为，B 选项错误. 2πR R =C 选项，球的表面积为，24πR 所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，C 选项正确. D 选项，圆柱的体积为，23π22πR R R ⨯=圆锥的体积为， 2312ππ233R R R ⨯⨯=球的体积为， 34π3R 所以圆柱、圆锥、球的体积之比为，D 选项正确. 3332π4π2π::3:1:233R R R =故选：CD12．对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ） ABC A A ．若，则为等腰三角形. sin 2sin 2A B =ABC A B ．若，则sin sin A B >A B >C ．若，则是钝角三角形.0AC CB ⋅<ABC A D ．若，则一定是一个钝角三角形. ():():()4:5:6b c c a a b +++=ABC A 【答案】BD【分析】根据正弦函数的性质可判断A ，根据正弦定理及大边对大角的性质可判断哪B ，由向量夹角确定三角形内角判断C ，根据所给性质及余弦定理判断D.【详解】，，或，sin 2sin 2A B = 022,022A B ππ<<<<22A B ∴=22A B π+=为等腰或直角三角形，故A 错误；ABC ∴△，由正弦定理可知，，故B 正确； sin sin A B > a b >A B ∴> 的外角为钝角，为锐角，故C 错误； 0，AC CB ⋅<ACB ∴∠ACB ∴∠设，则解得， 4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=753,,222a kb kc k ===则，因为， 222222222357152224cos 01515222k k k k b c a A k k bc⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭===<0A π<<所以是钝角，故D 正确.A三、填空题13．已知向量，且，则_______. (2,3),(3,)a b m =-=a b ⊥ m =【答案】2【详解】由题意可得解得.2330,m -⨯+=2m =【名师点睛】（1）向量平行：，,1221x y x y ⇒=∥a b ,,∥λλ≠⇒∃∈=0R a b b a b .111BA AC OA OB OC λλλλ=⇔=+++ （2）向量垂直：.121200⊥⇔⋅=⇔+=x x y y a b a b （3）向量的运算：.221212(,),||,||||cos ,x x y y ±=±±=⋅=⋅a b a a a b a b a b 14．是虚数单位，复数______. i 310i3i =-【答案】/3i+113i +【分析】根据复数的运算法则计算即可.【详解】. ()()()310i 3i 10i 10i 30i 1013i 3i 3i 3i 3i 10-+====+-++-故答案为：.13i +15．在中，若，，，则等于________. ABC A b =3c =30B ︒=a【答案】【分析】由正弦定理，求得或，分类讨论，即可求得的值. sin C =60C ︒=120C ︒=a【详解】由正弦定理，可得，所以， sin sin b c B C =sin sin c B C b ⋅===因为，所以或， (0,180)C ∈ 60C ︒=120C ︒=当时，，可得； 60C ︒=90A ︒=a ==当时，，此时 120C ︒=30A ︒=a b ==综上可得或a =a =故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中利用正弦定理求得的值，得出的大sin C C 小是解答的关键，着重考查分类讨论，以及运算与求解能力.16．如图，在中，，点P 为边BC 上的一动点，则的最小值为ABC A 3BC BA BC =⋅= PA PC ⋅___________.【答案】1-【分析】设，，用、表示、，再计算的最小值．BP BC λ= []0,1λ∈BC BA PA PCPA PC ⋅ 【详解】由题意，设，，BP BC λ=[]0,1λ∈所以，.PA PB BA BP BA BC BA λ=+=-+=-+()1PC BC λ=- 又，，3BC =3BA BC ⋅=所以()()()()2111PA PC BC BA BC BC BA BC λλλλλ⋅=-+⋅-=--+-⋅()()229319123λλλλλ=-+-=-+，22913λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭当时，取得最小值. 23λ=PA PC ⋅ 1-故答案为：.1-四、解答题17．已知复数．()()2232816i z m m m m =--+-∈R (1)若z 为实数，求m 的值； (2)若z 为纯虚数，求m 的值． 【答案】(1) 4m =±(2) 7m =【分析】（1）虚部为0列出方程即可；（2）实部为0，虚部不为0列出方程即可 【详解】（1）由题意得，解得2160m -=4m =±（2）由题意得,即,解得 223280160m m m ⎧--=⎨-≠⎩7444m m m =-⎧⎨≠≠-⎩或且7m =18．在中，角所对的边分别为且满足 ABC A ,,A B C ,,a b c sin cos .c A a C =（1）求角的大小；C （2的最大值，并求取得最大值时角的大小．cos()4A B π-+,A B 【答案】（1）；（2）最大值为2，此时 4C π=5,.312A B ππ==【详解】（1）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =因为所以0,A π<<sin 0.sin cos .cos 0,tan 1,4A C C C C C π>=≠==从而又所以则（2）由（1）知于是 3.4B Aπ=-cos()cos()4cos 2sin().63110,,,,46612623A B A A A A A A A A A ππππππππππ-+=--=+=+<<∴<+<+== 从而当即时取最大值2．2sin()6A π+的最大值为2，此时 cos(4A B π-+5,.312A B ππ==19．如图，在中，，，，点D 在边BC 上，且． ABC A2AB =1AC =π6B =cos ADB ∠=(1)求AD ；(2)求的面积． ACD A【答案】【分析】（1）先求，然后通过正弦定理即可得结果； sinADB ∠（2）通过余弦定理解出三角形，再计算面积即可. 【详解】（1）由题意得． sin ADB ∠==在中，由正弦定理，得ADB A sin sin AD ABB ADB =∠sin sin B AD AB ADB=⋅=∠（2）由余弦定理， 2222cosAC AB BC AB BC B =+-⋅得，解得．230BC -+=BC =因为，所以， 222AC BC AB+=π2C =所以．CD ==故的面积为．ACD A 112=20．在锐角中，分别是所对的边，已知，向量，ABCA ,,a b c ,,ABC 1a =1)m =-，且． (cos ,sin )n A A = m n ⊥（1）求角A 的大小（2）求周长的取值范围． ABC A【答案】（1）；（2）．3A π=(1【分析】（1）由即可得到，由此能求出．m n ⊥0sinA -=tanA A （2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，由题意可求范围，2sin(6b c B π+=+(63B ππ+∈，利用正弦函数的性质即可求解其取值范围． 2)3π【详解】解：（1）因为且，m n ⊥ 1),(cos,sin )m n A A =-=，得sin 0A A -=tan A =又因为，所以．(0,)A π∈3A π=（2）由正弦定理可得，得sin sin sina b c A B c ==b Bc C⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则 2C 1sin )1sin sin 3ABC a b c B C B B π⎤⎛⎫=++=+=++- ⎪⎥⎝⎭⎦A ，2sin 16B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∵是锐角三角形，∴，解得ABC A 0220B 32B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩62B ππ<<，， 2363B πππ∴<+<sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭12sin 136B π⎛⎫<++≤ ⎪⎝⎭∴周长的取值范围为ABC A (121．函数的定义域为，且存在唯一常数，使得对于任意的x 总有()f x ()0,∞+0k >，成立． ()()1f kx f x k=+(1)若，求； ()10f =()1f k f k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2)求证：函数符合题设条件．()ln g x x =【答案】(1)0(2)证明见解析【分析】（1）利用赋值法令与，结合分别求出与，即可得解； 1x =1x k =()10f =()f k 1f k ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）假设存在常数满足，所以，设，判断函数的00k >()()001g k x g x k =+001ln k k =()1ln h x x x =-单调性，结合零点存在性定理即可证明； 【详解】（1）解：因为，所以， ()()1f kx f x k=+()()11f k f k =+又，所以，又，所以， ()10f =()1f k k =()1111f f k f k k k⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅=+11f k k ⎪⎝⎭=-⎛⎫所以 ()1110f k f k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-+=（2）解：因为的定义域为，()ln g x x =()0,∞+假设存在常数满足，即，所以， 00k >()()001g k x g x k =+()001ln ln k x x k =+001ln k k =设，显然在上单调递增，又，()1ln h x x x =-()h x ()0,∞+()11ln1101h =-=-<， ()11e ln e 10e eh =-=->所以存在唯一的常数使得，即存在唯一的常数使得函数()01,e k ∈()0001ln 0h k k k =-=()01,e k ∈符合题设条件；()ln g x x =22．在近年，中国采用“吹沙填海”的方式，成功将部分小岛礁连成一片，可以进而形成一个大岛礁．已知南海上存在、、、四个小岛礁，它们在一条直线上且满足，若通A F E D AF FE ED ==过“吹沙填海”的方式建成了如图所示一个矩形区域的大岛礁，其中米．ABCD 2120AD AB ==(1)为线段上一点，求最小值；P BC 22PE PF +(2)为线段上一点，求的最小值；P BC cos EPF Ð(3)因特殊原因，划定以圆心，为半径的圆的区域为“隔离区”，拟建造一条道路，使A AB 14MN 与该“隔离区”的边界相切，求四边形面积的最大值．MN CDNM 【答案】(1)8000(2) 45(3)7200-【分析】(1)取中点，将原问题转化为向量求模即可；EF G (2)根据余弦定理及第一问的结果可以求解；(3)由于MN ，MB 都是圆A 的切线，连接AM ，利用 以及切线之间的几何关系，再利用MAB θ∠=面积公式求解即可.【详解】（1））取中点，EF G ()()2222222222PE PF PE PF PG GE PG GE PG GE +=+=++=-+ 2228002608008000PG =+≥⨯+= ，当且仅当点位于中点时等号成立，∴最小值为8000；P BC 22PE PF +（2）由余弦定理得，， 2222222222216004cos 11280005PE PF EF PE PF EF EF EPF PE PF PE PF PE PF +-+-∠=≥=-≥-=⋅⋅++当且仅当，即点立位于中点时等号成立，的最小值为； PE PF =P BC cos EPF Ð45（3）设与圆切于点，连接，，设，， MN 14Q AQ AM QAM MAB θ∠=∠=0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦则，，，， 60tan MB θ=60tan 2NQ θ=1800tan QAM MAB S S θ==△△1800tan 2ANQ S θ=△∴的面积CDNM 180072003600tan tan 2CDNM S θθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭3172001800tan 72001800720022tan θθ⎛⎫=-+≤-⨯=- ⎪⎝⎭当且仅当，时等号成立时等号成立， tan θ=6πθ=四边形CDNM 的最大值为：；7200-综上，最小值为8000，的最小值为，四边形CDNM 的最大值为：22PE PF +cos EPF Ð457200-。
福建福州高一下学期期中考试数学试题(解析版)
高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知向量，，若与共线，则实数=（ ）(3,1)a = (21,3)b m =- a bm A ．B ．C ．D ．1132572【答案】B【分析】利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由题意， ()331210m ⨯-⨯-=解得. 5m =故选：B2．已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（ ） a 2(1)(1)z a a i =-++z A ． B ．C ．D ．12i 1±2【答案】D【分析】根据复数为纯虚数，列方程求出的值，进而可得复数的虚部.z a z 【详解】由已知，解得，故，其虚部为，21010a a ⎧-=⎨+≠⎩1a =2z i =2故选：D.【点睛】本题考查复数的概念，注意纯虚数为实部为0，虚部不为0，是基础题.3．用二分法求函数在区间上的零点,要求精确度为时,所需二分区间()ln(1)1f x x x =++-[]0,10.01的次数最少为（ ） A ． B ．C ．D ．5678【答案】C【分析】根据题意，由二分法中区间长度的变化，分析可得经过次操作后，区间的长度为，n 12n据此可得，解可得的取值范围，即可得答案． 10.012n <n 【详解】解：开区间的长度等于1 ,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半， ()0,1经过此操作后,区间长度变为， n 12n用二分法求函数在区间上近似解,()()ln 11f x x x =++-()0,1要求精确度为，0.01，解得， 10.012n∴≤7n ≥故选：C.4．函数的图像大致是（ ）2()ln f x x x =+A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】先判断函数为偶函数排除D ；再根据当时， ，排除AC 得到答案.0x →()f x →-∞【详解】，()2ln f x x x =+ ,()()22ln ln ()f x x x x f x x -=-∴=+-+=所以为偶函数，排除D ； ()f x 当时， ，排除AC ； 0x →()f x →-∞故选：B.5．设，，，则，，的大小sin 35sin 72sin 55sin18a =︒︒-︒︒cos3214sin172cos188b ︒-=︒︒221tan 361tan 36c -︒=+︒a b c 关系为（ ） A ． B ．C ．D ．a b c >>a c b >>c a b >>c b a >>【答案】C【分析】利用三角变换化简，再根据正弦函数的单调性可得正确的选项. ,,a b c 【详解】，sin 35cos18cos35sin18sin17a =︒︒-︒︒=︒，2cos3212sin 16sin164sin172cos1884sin 8cos8b ︒-︒===︒︒︒︒︒， 22221tan 36cos 36sin 36cos 72sin181tan 36c -︒==︒-︒=︒=︒+︒因为，故. 016171890︒<︒<︒<︒<︒sin16sin17sin18︒<︒<︒故， c a b >>故选：C.6．已知sin = ，则cos 的值为（ ）3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ． B ． C ．D ．231313-23-【答案】C【分析】已知条件由诱导公式可化为cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【详解】解： sin 3πα⎛⎫-⎪⎝⎭sin cos 266πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 221cos 22121363cos ππαα⎛⎫⎪⎝⎛⎫∴+=+-=⨯-=- ⎪⎝⎭⎭故选：．C 7．在中，角、、所对的边分别是、、，若，ABC AA B C a b c 2b =AC 的最大值为（ ）ABC ∠A ．B ．C ．D ．π6π3π22π3【答案】B【分析】利用三角形的面积公式可得出，利用余弦定理和基本不等式可得出sin ac ABC ∠=，可得出求出角的取值范2≤πsin 3ABC ⎛⎫∠+≥⎪⎝⎭0πABC <∠<ABC ∠围，即可得解.【详解】因为， 11sin 222ABC S ac ABC =∠=⨯=△sin ac ABC ∠=由余弦定理可得， 22242cos 22cos b a c ac ABC ac ac ABC ==+-∠≥-∠当且仅当时，等号成立， a c =即，()1cos 2ac ABC -∠≤2≤因为，则，整理可得 0πABC <∠<sin 0ABC ∠>sin ABC ABC ∠∠≥即，π2sin 3ABC ⎛⎫∠+≥ ⎪⎝⎭πsin 3ABC ⎛⎫∠+≥ ⎪⎝⎭因为，则，可得，ππ4π333ABC <∠+<ππ2π333ABC <∠+≤π03ABC <∠≤故的最大值为. ABC ∠π3故选：B.8．已知，将的图象向右平移个单位，再向下平移()2ππsin cos cos 44f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()y f x =π61个单位，得到的图象．若对，都有成立，则()y g x =R x ∀∈022a a g x g x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π3g a ⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）．A ．B ．C D ． 1212-【答案】A【分析】根据三角恒等变换化简，再求出变换后的函数的解析式，根据条件结合正弦函()f x ()g x 数性质列方程求出，从而可计算出答案. a 【详解】()2ππsin cos cos 44f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 22x x x x x ⎫+=+⎪⎪⎭ ()11112sin cos cos 2222x x x =+++ 11sin 2cos 2122x x =++， π214x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭将的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位， ()y f x =π6， ()πππ21126412g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以对，都有成立，R x ∀∈022a a g x g x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数关于点对称， ()π212g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，则， ππ,Z 12a k k -=∈ππ,Z 12a k k =+∈所以 πππ23312g a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦5ππ2π1212k ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3π2π4k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3π4=. 12=故选：A.二、多选题9．（多选题）已知集合，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是{},nM m m i n N ==∈（ ） A ． B ．C ．D ．()()11i i -+11ii-+11ii+-()21i -【答案】BC【解析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，{},nM m m i n N ==∈时，； ()4n k k N =∈1n i =时，()41n k k N =+∈；时，；n i i =()42n k k N =+∈1n i =-时，， ()43n k k N =+∈n i i =-.{}1,1,,M i i ∴=--选项A 中，；()()112i i M -+=∉选项B 中，； ()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+选项C 中，； ()()()211111i i i i i i M ++==-+∈-选项D 中，.()212i i M -=-∉故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解. 10．如图，平行四边形中，，为的中点，与交于ABCD 243AB AD BAD π==∠=，，E CD AE DB ，则（ ）FA ．在方向上的投影向量为B ．C ．D ．BF AB0 1233AF AB AD =+u u u r u u u r u u u r 2AF AB ⋅=AF =【答案】AB【分析】根据投影向量、向量线性运算、向量数量积、向量的模等知识对选项进行分析，由此确定正确选项．【详解】解：平行四边形中，，ABCD 2,4,3AB AD BAD π==∠=所以DB ===则，所以，222AB BD AD +=AB BD ⊥为的中点，与交于，所以在方向上的投影为0，E CD AE DBF BF AB即在方向上的投影向量为，所以A 正确； BF AB0 因为，所以，则， AB CD ∕∕2AF ABEF DE==2AF EF =故， 21,32AF AE AE AD DE AB AD ==+=+ ，所以B 正确；∴1233AF AB AD =+u u u ru u u r u u u r ，所以C 不正确；221212121()24243333332AF AB AB AD AB AB AD AB ⋅=+⋅=+⋅=⨯+⨯⨯⨯=1233AF AB =+=D 不正确．故选：AB ．11．函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正()()sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>ϕπ<确的是（ ）A ．函数在单调递减()y f x =5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．函数图象关于中心对称 ()y f x =19,012π⎛⎫⎪⎝⎭C ．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象()y f x =3π()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为 ()f x 2,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦A ⎡-⎣a 133,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】AD【分析】根据图象可得函数的解析式，再根据整体法或代入法可判AB 的正误，利用图像变换可 判断C 的正误，根据正弦函数的性质可判断D 的正误.【详解】由图象可得，且，故即，2A =37ππ3π41264T =+=πT =2ω=而，故， 7ππ22π,122k k Z ϕ⨯+=+∈2π2π,3k k Z ϕ=-+∈因为，故，故，ϕπ<2π3ϕ=-()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于A ，当，， 5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦3π2ππ2232x -≤-≤-而在上为减函数，故在为减函数，故A 正确.sin y t =3ππ,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦()f x 5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对于B ，，故为函数图象的对称轴， 1919π2π2sin 21263f π⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1912x π=故B 错误.对于C ，将函数的图象向左平移个单位得到函数的图()y f x =3π2π2π2sin 22sin 233y x x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭象，故C 错误.对于D ，当时，， 2,3x a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2π2π2π22333x a ≤-≤-因为函数的值域为，故， ⎡-⎣3π2π7π2233a ≤-≤故，故D 正确. 13π3π122a ≤≤故选：AD.12．已知函数，若方程有四个不同的实数解，它们从小到()21,04ln 1,0x x x f x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩()()R f x k k =∈大依次记为，，，则（ ） 1x 2x 3x 4x A ． B ． 104k <<3e 02x <<C ．D ．121x x +=-21234e 04x x x x <<【答案】ACD【分析】将方程的实数解个数问题转换为两个函数的交点问题，即可求出k 的取值范围，并得到1x ，，，之间的关系，其中，是方程的实数根，根据二元一次方程和韦达2x 3x 4x 1x 2x 214x x k ++=定理即可找到关系；，满足等式.3x 4x ()34ln 1ln 1x x --=-【详解】当时，，在单调递减，，在0x <()214f x x x =++1,2x ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦()[)0,f x ∈+∞1,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭单调递增，；()10,4f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当时，，在单调递减，，在单调递增，0x >()ln 1f x x =-(]0,e x ∈()[)0,f x ∈+∞()e,x ∈+∞，若有四个不同的实数解，则，A 正确；()()0,f x ∞∈+()()R f x k k =∈104k <<因为，所以，，所以104k <<()104f x <<(]30,e x ∈34333110ln 1ln 10e e44x x x <-<⇒-<-<⇒<<，B 错误；，根据韦达定理可知中，C 正确； ()12,,10x x ∈-()214f x x x k =++=121x x +=-，，所以()2343434ln 1ln 1ln 1ln 1e x x x x x x -=-⇒--=-⇒=12110,44x x k ⎛⎫⋅=-∈ ⎪⎝⎭21234e 04x x x x <<，D 正确. 故选：ACD三、填空题13．已知i 是虚数单位，设平行四边形ABCD 在复平面内，A 为原点，B ，D 两点对应的复数分别是，，则点C 对应的复数是________. 32i +24i -【答案】52i -【解析】分别得出点，点，点的坐标，再由四边形ABCD 是平行四边形得出A B D AC AB AD =+计算即可.【详解】依题意得，，，，，()0,0A ()3,2B ()2,4D -()3,2AB = ()2,4AD =-四边形ABCD 是平行四边形，，故点C 对应的复数为. ()()()3,22,45,2AC AB AD +-∴=+==-52i -故答案为：52i -【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查逻辑思维能力和转化能力，属于常考题.14．已知点在幂函数的图象上，若，则实数的取值范(),8a ()()1bf x a x =-()()130f m f m +-<m 围为_________．【答案】1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】根据幂函数的定义，可求得a 值，代入点坐标，可求得b 值，根据的奇偶性和单调()f x 性，化简整理，即可得答案.【详解】因为为幂函数，所以，解得a =2()()1bf x a x =-11a -=所以，又在上，代入解得， ()b f x x =(2,8)()f x 3b =所以，为奇函数3()f x x =因为，所以， ()()130f m f m +-<()(13)(31)f m f m f m <--=-因为在R 上为单调增函数， 3()f x x =所以，解得， 31m m <-12m >故答案为：1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭15．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若如图所示的角，且小正方形与大正方形的面积之比为，则的值为()045αα︒<<︒1:4tan α______.【分析】将面积之比表示关于的三角函数，从而可求的值.αtan α【详解】大正方形的边长为，则小正方形的边长为，a ()cos sin a αα-故，故即， ()222cos sin 14a a αα-=112sin c 4os αα-=3sin cos 8αα=故，所以即， 22sin cos 3sin cos 8αααα=+2tan 3tan 18αα=+23tan 8tan 30αα-+=故，故，tan α=tan α045α︒<<︒0tan 1α<<所以 tan α=16．已知函数，若至少存在两个不相等的实数，使得()()sin 0,0f x A x A ωω=>>[]12,,2x x ππ∈，则实数的取值范围是________． ()()122f x f x A +=ω【答案】9513,,424⎡⎤⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【分析】当时，易知必满足题意；当时，根据可得，由最2T π>2T π<[],2x ππ∈[],2x ωπωπω∈大值点的个数可构造不等式组，结合确定具体范围.0ω>【详解】至少存在两个不相等的实数，使得，[]12,,2x x ππ∈()()122f x f x A +=当，即时，必存在两个不相等的实数满足题意；∴42T ππω>=4ω>[]12,,2x x ππ∈当，即时，，2T π<04ω<<[],2x ωπωπω∈，；()225222k k Z k ππωπππωπ⎧≤+⎪⎪∴∈⎨⎪≥+⎪⎩()12254k k Z k ωω⎧≤+⎪⎪∴∈⎨⎪≥+⎪⎩当时，解集为，不合题意；令，则；令，则；0k ≤∅1k =9542ω≤≤2k =1344ω≤<综上所述：实数的取值范围为.ω9513,,424⎡⎤⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭故答案为：.9513,,424⎡⎤⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【点睛】关键点点睛：本题考查根据正弦型函数最值点的个数求解参数范围的问题，解题关键是能够采用整体对应的方式，根据的范围所需满足的条件来构造不等式组，解不等式组求得结果.πω四、解答题17．已知向量，，(cos ,sin )a αα=r (cos ,sin )b ββ= a - （1）求的值；cos()αβ-（2）若，，且，求的值. 02πα<<02πβ-<<5sin 13β=-sin α【答案】（1）；（2）. 353365【分析】（1=，进而通过两边同时平方以及同角的平方关系以及两角差的余弦公式的逆用即可求出结果；（2）结合角范围以及同角的平方关系求出和的值，进而利用两角和的正弦公式凑()sin αβ-cos β角即可求出结果.【详解】（1）因为向量，，(cos ,sin )a αα=r (cos ,sin )b ββ= 所以，(cos cos ,sin sin )a b αβαβ-=--又因为 a - =， 22224cos cos 2cos cos sin sin 2sin sin 5αβαβαβαβ+-++-=即，所以； ()422cos 5αβ--=()3cos 5αβ-=（2）因为，，所以， 02πα<<02πβ-<<0αβπ<-<所以， ()4sin 5αβ-==又因为，所以 5sin 13β=-12cos 13β==所以()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ=-+=-+-⎡⎤⎣⎦. 412353351351365⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭18．已知集合，.(){}2log 12A x x =-<{}22210B x x ax a =-+-<(1)若，求；1a =A B ⋃(2)求实数的取值范围，使___________成立.a 从①，②，③中选择一个填入横线处求解.R A B ⊆ðR B A ⊆ð()A B =∅R I ð注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)；{}05x x <<(2)选，或1A 0a ≤6a ≥选，或；2A 0a ≤6a ≥选，.3A 24a ≤≤【分析】(1)根据对数函数的单调性求出集合A ，根据一元二次不等式的解法求出集合B ，结合并集的概念和运算即可得出结果；(1)根据(1)和补集的概念和运算求出和，利用集合间的包含关系和交并补的运算即可求出对R A ðB R ð应条件的参数.【详解】（1），2{log (1)2}{014}{15}A x x x x x x =-<=<-<=<<，{}22{210}[(1)][(1)]{11}B x x ax a x x a x a x a x a =-+-<=---+=-<<+当时，，所以；1a ={02}B x x =<<A B ⋃={05}x x <<（2）由(1)知，，，{15}A x x =<<{11}B x a x a =-<<+所以或，或，{1R A x x =≤ð5}x ³{1R B x x a =≤-ð1}x a ≥+若选①，，则或，R A B ⊆ð11a +≤15a -≥解得或，所以的取值范围为或；0a ≤6a ≥a 0a ≤6a ≥若选②，，则或，R B A ⊆ð11a +≤15a -≥解得或，所以的取值范围为或；0a ≤6a ≥a 0a ≤6a ≥若选③，，则， ()R A B ⋂=∅ð1115a a ≤-⎧⎨+≤⎩解得，所以的取值范围为.24a ≤≤a 24a ≤≤19．设虚数z 满足.22z +（1）求证：为定值；z （2）是否存在实数k ，使为实数？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. z k k z+【答案】（1）见解析；（2）存在，.k =【解析】（1）设（x ，，），代入已知条件可得结果；z x yi =+R y ∈0y ≠（2）假设存在实数k ，使得为实数，利用复数的模的性质将化为z k k z =z k k z+，从而，继而可求得k 的值. 33R x kx y ky k k i ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝+-⎭03y ky k -=【详解】（1）依题意，设（x ，，），代入，z x yi =+R y ∈0y≠22z +得，整理得，所以为定值； )232x yi +++-223x y +=z （2）假设存在实数k ，使得为实数，即： z k k z =()()()i i i i i i k x y z k x y k x y k z k x y k x y x y -+++=+=+++-为实数，， ()333k x yi x yi x kx y k k kk i y ⎛-+=+=⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭+-03y ky k ∴-=，k ，使为实数，此时. 0y ≠ k ∴=z k k z =k =【点睛】本题考查复数代数形式的混合运算，考查复数的基本概念，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.20．如图，在中，，，为上一点，且满足，ABC ∆23BAC π∠=3AD DB = P CD 12AP mAC AB =+若的面积为ABC ∆(1)求的值;m (2)求的最小值.AP 【答案】(1)13【解析】（1）建立如图所示直角坐标系，设，，求出，的坐标，可知由AC b =AB c =CD PD C，，三点共线，即，列方程即可求出的值；P D //CD PDm （2）由(1)得，由面积可得，利用基本不等式可得最小值.2AP 8bc =【详解】(1)建立如图所示直角坐标系，设，，AC b =AB c =则，，(),0B c 2b C ⎛- ⎝由得， 3AD DB = 3,04c D ⎛⎫ ⎪⎝⎭故， 3,42c b CD ⎛=+ ⎝由得， 12AP mAC AB =+22c bm P ⎛- ⎝所以，,42c bm PD ⎛=+ ⎝ 因为，，三点共线，所以，C PD //CD PD 所以，304242c b c bm ⎛⎛⎛⎫⎛⎫+⨯-⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎝解得. 13m=(2)由(1)得，26c b P ⎛- ⎝因为12sin 23ABC S bc π∆===所以，8bc =所以， 22222426943c b AP b c ⎛⎫=-+=+- ⎪⎝⎭ 4433≥=所以时取得等号. minAP = b =c =【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查三角形面积公式，属于中档题.21．如图，在中，，D 为AC 边上一点且，. ABC A 23ABC π∠=AB BD ⊥2BD =（1）若，求的面积；CD BCD △（2）求的取值范围. 21AD CD+【答案】（12）. ⎤⎥⎦【分析】（1）在中，利用正弦定理求得，进而通过二角和差公式求出，再BCD △sin C sin BDC ∠通过面积公式得到答案；（2）由正弦定理求出、的表达式，求出的代数式，在运用角的关系和范围求AD CD 21AD CD+的取值范围. 21AD CD+【详解】（1），， 23ABC π∠=AB BD ⊥，6DBC π∴∠=在中，，解得：BCD △sin sin DC BD DBC C =∠sin C =4C π∴=44sin sin sin sin cos cos sin 666464BDC πππππππππ∴⎡⎤⎛+⎫⎛⎫∠=-==+= ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎦+⎣11sin 222BDC S BD DC BDC ∴=⋅⋅∠=⨯=A （2）在中，得：， BCD △sin sin DC BD DBC C =∠2sin 16sin sin CD C C π==在中，得：， ABD △sin sin AD BD ABD A =∠2sin 22sin sin AD A Aπ==，sin sin 21sin si 22n 11A C C C A A D D ∴++=+=， 23ABC π∠= ，3A C π∴+=， sin sin sin sin 231A C C AD CD C π⎛⎫+=∴+⎪⎝⎭-+= 整理得：， n 2i 31s C AD CD π⎛⎫+ ⎪⎝+⎭=， 30C π<<， 2,333C πππ⎛⎫∴∈ ⎝+⎪⎭， sin 3C π⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦故的取值范围为. 21AD CD +⎤⎥⎦【点睛】思路点睛：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.22．若函数在定义域内存在实数满足，，则称函数为定义域上()f x x ()()f x k f x -=-⋅Z k ∈()f x 的“阶局部奇函数”．k （1）若函数，判断是否为上的“二阶局部奇函数”，并说明理由； ()tan 2sin f x x x =-()f x ()0,π（2）若函数是上的“一阶局部奇函数”，求实数的取值范围；()()lg f x m x =-[]22-,m （3）对于任意的实数，函数恒为上的“阶局部奇函数”，求的取值(],2t ∈-∞()22f x x x t =-+R k k 集合．【答案】（1）是上的“二阶局部奇函数”，理由见解析；（2）；（3）()f x ()0,π(．{}5,4,3,2,1-----【解析】（1）当时，解方程，即可得出结论；()0,x π∈()()20f x f x -+=（2）由可得出在上有解，再结合对数的真数恒为正数可得出()()0f x f x +-=221m x =+[]2,2x ∈-关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；m m （3）由可得出在上有解，然后分和()()0f x k f x -+⋅=()()()212210k x k x k t ++-++=R 10k +=两种情况讨论，在时验证即可，在时可得出，综合可解得实数的取10k +≠10k +=10k +≠0∆≥k 值范围，再由可得出结果.Z k ∈【详解】（1）由题意得，，即()()()()20tan 2sin 2tan 4sin f x f x x x x x -+=⇒---=-+，tan 2sin x x =由，可得且，得， ()0,x π∈sin 0x ≠sin tan cos x x x=1cos 2x =，．()0,x π∈ 3x π∴=所以，是上的“二阶局部奇函数”；()f x ()0,π（2）由题意得，，()()()()()220lg lg lg 0f x f x m x m x m x -+=⇒++-=-=所以，，可得在时有解，221m x -=221m x =+[]2,2x ∈-当时，，即；[]2,2x ∈-2115x ≤+≤215m ≤≤，，可得；[]2,2x ∀∈-0m x +>()max 2m x >-=，，可得.[]2,2x ∀∈-0m x ->()max 2m x >=所以，，解得. 2152m m ⎧≤≤⎨>⎩2m <≤综上所述，实数的取值范围是； m (（3）由题意得，在上有解，()()0f x k f x -+⋅=R 可知有解，即有解， ()()()22220x x t k x x t ---++-+=()()()212210k x k x k t ++-++=当时，，满足题意；1k =-0x R =∈当时，对于任意的实数，， 1k ≠-(],2t ∈-∞()()2222410k k t ∆=--+≥，()()22241222061033k k k k k ⎡⇒+⋅--≤⇒++≤⇒∈---+⎣由，故．Z k ∈{}5,4,3,2,1k ∈-----【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义“阶局部奇函数”，解本题的关键就是利用新定义将k 问题转化为方程在对应区间上有解的问题来处理，解决本题的第（2）问时要注意对数的真数在所给区间上恒成立，第（3）问在求解时要注意对变系数的二次方程的首项系数进行分类讨论，结合进行求解.∆。
福建高一高中数学期中考试带答案解析
福建高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.的值是（）A．B．C．D．2.中，若，则是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．直角三角形或钝角三角形3.已知，点是线段上的点，，则点的坐标为（）A．B．C．D．4.若将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数为（）A．B．C．D．5.若是的一个内角，且，则的值为（）A．B．C．D．6.同时具有以下性质：“①最小正周期为；②图象关于对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A．B．C．D．7.已知的一部分图象如图所示，如果，则（）A．B．C．D．8.已知，则的值为（）A．B．C．D．9.若是锐角的两个内角，则有（）A．B．C．D．10.若，，则（）A．B．C．D．11.则与的夹角为（）A．B．C．D．二、填空题1.已知向量，向量，则的值是．2.若的最小正周期为，则的最小正周期为．3.已知中，，则．4.已知，．三、解答题1.设是两个互相垂直的单位向量，且（1）若求的值；（2）若求的值.2.（1）已知角的终边过点求的值；（2）已知函数在的最大值为，最小值，求的值.3.已知函数在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为和.（1）求和的值；（2）已知，且，求的值.4.已知向量.（1）若,求向量的夹角；（2）已知，且，当时，求的值.5.如图，在平行四边形中，，与的夹角为.（1）若，求、的值；（2）求的值；（3）求与的夹角的余弦值.6.如图，某公园摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处.（1）已知在时刻时距离地面的高度，求时距离地面的高度；（2）当离地面以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？福建高一高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，根据任意角的定义可知，由三角函数的诱导公式可知，故本题的正确选项为D.【考点】任意角的三角函数.2.中，若，则是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．直角三角形或钝角三角形【答案】C【解析】由三角函数的恒等变换（正弦的和差角公式）可知，也即，又，所以，即，为直角三角形，故本题的正确选项为C.【考点】三角函数恒等变换，三角形的形状.3.已知，点是线段上的点，，则点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】假设，则有，所以有，可求得，故本题的正确选项为D.【考点】三点共线的性质.4.若将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据函数图象平移的性质，即左加右减，上加下减，可知原函数向右平移个单位所的函数应该为，故本题的正确选项为C.【考点】函数图象的平移.5.若是的一个内角，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】是的一个内角,，又，所以有，故本题的正确选项为D.【考点】三角函数诱导公式的运用.6.同时具有以下性质：“①最小正周期为；②图象关于对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由最小正周期为可知，排除选项A；图象关于对称，则函数在时取得最大（小）值，排除选项D；当，，很显然正弦函数在上为增函数，而余弦函数在上为减函数，故本题的正确选项为C.【考点】任意三角函数图象的性质.7.已知的一部分图象如图所示，如果，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由图象可知，因为图象是由正弦图象向上平移个单位所得，所以,则，将代入函数结合可求得，故本题的正确选项为C.【考点】三角函数的图象.8.已知，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以，将代入前式可求得，故本题的正确选项为B.【考点】三家函数诱导公式的运用.9.若是锐角的两个内角，则有（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为是锐角的三个内角，所以满足任意两个角的和大于，即，故本题正确选项为C.【考点】三角函数的单调性.10.若，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得①由得②，由①②可求得，则，故本题的正确选项为D.【考点】三角函数恒等变换.【思路点睛】本题主要考察三角函数的恒等变换，因为，所以只要求得即可，而余弦恒等变换中刚好有这两项，所以考虑利用和差角的余弦展开式建立一个二元一次方程组，解方程组求得，进而求得.11.则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设与的夹角为，由可知，即，求得，故本题的正确选项为B.【考点】向量的运算即向量的夹角.【方法点睛】本题主要考察向量的运算及夹角.首先要清楚向量垂直的性质即两向量数量积为零，而向量的数量积即可以表示为对应组标的乘积，也可以表示为两向量模长与夹角余弦三者的乘积，因此可通过求家教的余弦的方法来求得向量的夹角，即利用来求得夹角的余弦，进而求得夹角.其次要注意同一向量的数量积等于模长的平方.二、填空题1.已知向量，向量，则的值是．【答案】【解析】根据向量的运算可知，所以.【考点】向量的运算及向量的模长.2.若的最小正周期为，则的最小正周期为．【答案】【解析】本题主要考察三角函数的周期正弦三角函数周期为，而正切函数则为.由三角函数的最小正周期可知，所以函数的最小正周期为.【考点】三角函数的周期.3.已知中，，则．【答案】【解析】由向量的数量积运算可知.【考点】向量的运算.【思路点睛】本题主要考察了向量的运算，因为向量未知，所以通过向量的加减运算用来表示，在结合向量的数量积运算求;因为，所以可利用勾股求得向量的模长，通过三角函数的定义可求得夹角的余弦值，从而也可求得的值.4.已知，．【答案】【解析】，则，，所以有，，又，所以.【考点】三角函数恒等变换.【思路点睛】本题主要考察三角函数的恒等变换，因为所求三角函数通过恒等变形后都可变为已知的三角函数，结合题中条件可知，所以只有求得了的正弦值及余弦值，才能利用余弦的和差角公式求，在求的正余弦值时，一定要注意的取值范围及三角函数值的符号．三、解答题1.设是两个互相垂直的单位向量，且（1）若求的值；（2）若求的值.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由向量共线，则存在唯一实数使得成立，列方程求的值即可，因为向量，故也可利用两向量对应坐标比值相等来求；（2）根据两向量垂直的性质：对应坐标乘积的和为列方程求的值．试题解析：（1）由，且，故存在唯一的实数，使得，即不共线，；（2），即，.【考点】向量平行及垂直的性质.2.（1）已知角的终边过点求的值；（2）已知函数在的最大值为，最小值，求的值.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用三角函数诱导公式对原式进行化简得，而根据任意角的三角函数的定义由角的终边过点可知；（2）先求得函数在上的最大值及最小值并代入中，得到关于的二元一次方程组，解方程组求得，进而可求得．试题解析：（1）角终边经过点，；（2），并且在的最大值为，最小值为，，解得：.【考点】三角函数的最值及其诱导公式的运用.3.已知函数在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为和.（1）求和的值；（2）已知，且，求的值.【答案】（1），；（2）．【解析】（1）三角函数在一个周期内最高点与最低点的水平距离等于半个周期，据此可求得，因为函数未进行上下平移，所以最高点纵坐标就是函数的振幅；（2）由已知条件可求得，利用二倍角公式求得，再利用三角恒等变换便可求得．试题解析：（1）函数的图象的最高点的为.依题意，得的周期为；（2）由(1) 得，且,,.【考点】三角函数的周期，振幅，恒等变换.4.已知向量.（1）若,求向量的夹角；（2）已知，且，当时，求的值.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据向量数量级的运算可知求向量的夹角的余弦等于向量的数量积与两向量模长的比值，可求得夹角的余弦值为，代入即可求得夹角；（2）由向量的运算可求得，经化简可得，令，结合即可求得的值．试题解析：（1）由已知，得,设与的夹角为，则，.（2）由，得,当，即时，.【考点】向量夹角，三角函数的恒等变换.5.如图，在平行四边形中，，与的夹角为.（1）若，求、的值；（2）求的值；（3）求与的夹角的余弦值.【答案】（1），；（2）；（3）．【解析】（1）根据向量的运算有，可知，由模长即可求得、的值；（2）先求得向量,再根据向量的数量积及便可求得；（3）由前面的求解可得及，可利用求得向量夹角的余弦值．试题解析：（1）因为，所以即.（2）由向量的运算法则知，,所以.(3) 因为与的夹角为，所以与的夹角为,又,所以..设与的夹角为，可得.所以与的夹角的余弦值为.【考点】向量的运算．【思路点睛】本题主要考查向量的运算及单位向量，平面任一向量都可用两个不共线的单位向量来表示，其对应坐标就是沿单位向量方向上向量的模长；而对于向量的数量积，在得知模长及夹角的情况下，可以用两向量模长与夹角余弦三者的乘积来计算，也可转化为单位向量的数量积进行求解；而向量夹角的余弦值则经常通过向量的数量积与向量模长的比值来求得．6.如图，某公园摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处.（1）已知在时刻时距离地面的高度，求时距离地面的高度；（2）当离地面以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知可得，函数的振幅等于圆形的半径即，周期，，零时刻处，摩天轮上在最低点，可知初相，这样便可求得的解析式，从而求得时距离地面的高度；（2）从最低处开始到达高度为刚好能看着全貌，经过最高点再下降至时又能看着全貌，求得两次的时间差即能看着全貌的时间．试题解析：（1）依题意，，则，且,故.（2）由（1）知，依题意，，..转一圈中有钟时间可以着到公园全貌.【考点】三角函数的应用.【方法点睛】解答此类型题首先要求得解析式中相关参数，即周期，振幅，初相，以及图象的平移，振幅就是圆的半径，而初相则要通过函数的某一个特殊点（自变量为零或者函数值为零）来求，其次要注意函数的平移，此类函数问题因与实际问题想联系，所以必然会由向上（下）的平移，而平移量为使三角函数值为零的点与零参考面（地面）的高度差；而对于第二问的事件，可通过求得开始看见全貌以及刚好看不见全貌的时间差，也可利用函数的对称性，求得最高点与刚好看着全貌时的时间差，然后乘以便可求得总时间．。
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福建省锦江中学08-09学年高一下学期期中考试
（数学）
A 卷（100分）
一、选择题（每题5分，共45分）
1．如果角θ的终边经过点（4，-3），那么θsin 的值是（ ） A 53 B 53- C 54 D 54-
2．
)32cos(π-的值等于（ ） A 21 B 21- C 23 D
23- 3．若0
435=α，则角α的终边在（ ）
A 第一象限
B 第二象限
C 第三象限
D 第四象限 4．已知21cos -
=θ，则)cos(θπ+等于（ ） A 21 B 21- C 23 D
23- 5．已知0tan sin >⋅θθ，那么角θ是（ ）
A 第一或第三象限角
B 第二或第三象限角
C 第三或第四象限角
D 第一或第四象限角
6. 已知OA =(2,4), OB =(-2,6),则21
等于（ ）
A (-2，1)
B (1,2--)
C (-3,-2)
D (-1,4)
7.若cos α>０，sin2α<０，则角α的终边所在象限是（ ）
A 第一象限
B 第二象限
C 第三象限
D 第四象限w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
8．已知sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα-=-+那么的值为 （ ）
A －2
B 2
C －2316
D 23
16
9.为了得到函数
)321sin(π-=x y 的图像，需将x y 21sin =的图像上每一个点（ ）
横坐标向左平移3π个单位长度 B 、横坐标向右平移3π
个单位长度
C 、横坐标向左平移32π个单位长度
D 、横坐标向右平移32π
个单位长度
二、填空题（每题5分，共15分）
10.化简：PQ MP NQ MN +-+=
11.0
000130sin 170sin 50cos 10cos -＝ 12.==-ααα2sin ,31cos sin 则已知
三、解答题（40分）
13.（13分）化简
)sin()2sin()cos()2
cos()sin(πθπθθπθππθ------
14.（13分）写出函数
)43sin(2π+
=x y 取最大值，最小值时的自变量x 的集合，并说出最大
值，最小值分别是什么？
15.（14分）,0,2,54cos ,,2,135sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=
πββππαα已知
求：（1）βαsin ,cos 的值；（2）()βα+sin 的值；（3）()βα-cos 的值
B 卷（50分）
选择题（每题5分，共15分）
16.若向量),2,1(),1,1(),1,1(-=-==c b a 则=c （ ） A ;2321b a +- B ;2321b a - C ;2123b a - D ;
2123b a
+-
17.已知⎪
⎭⎫ ⎝⎛∈=23,,3tan ππαα，则a cos sin ∙α＝（ ） A 23- B 23 C 43-
D 43
18．（重点班）已知=(2,-3), =(x,6),当b a
213⊥时x 的值等于（ ）
A 9
B -9
C -6
D 6
18．（普通班）已知=(2,-3), =(x,6),当两向量平行时x 的值等于（ ）
A -4
B -2
C 2
D 4
填空题（每题5分，共10分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 19.=++000050tan 10tan 350tan 10tan
20.（重点班）已知||=3,｜｜＝2，与夹角为600，则｜－｜＝ .
20.（普通班）已知||=3,｜｜＝2，与的夹角为1200，则b a
∙＝
三、解答题（25分）
21.（12分）（重点班）平面内给定三个向量，),1,4(),2,1(),2,3(=-==c b a
求：（1）使的值，的实数n m c n b m a
+=；（2）使()()的值的实数κ,2a b c k a
-⊥+，
21.（12分）（普通班）已知()()1,,2,1x b a ==
，若()()b a b a -+22，
求：（1）x 的值 （2）此时()b a 2+的模，及()b a
-2的模
22.（重点班）已知函数x x y 4cos 4sin 3+=，
求：（１）最小正周期，振幅，初相；（２）单调递增区间；
（3）它可以由y=sinx 的图象经过怎样的变化得到？（13分）
22.（普通班）已知函数x x y cos 3sin +=
求：（1）最小正周期，振幅，初相；（2）单调递增区间；
（3）它可以由y=sinx 的图象经过怎样的变化得到？（13分）
莆田锦江中学2008－2009学年（下）期中质量检测
高一数学
A 卷（100分）
一、选择题（每题5分，共45分）
1.B
2.B
3.A
4.A
5.D
6.A
7.D
8.C
9.D
二、填空题（每题5分，共15分） 10. 2 11. 21 12. 98
三、解答题（40分）
13. （13分）五项化简每项2分，最后结果3分
()()()θθθθθθπθπθθπθπ
πθsin sin cos cos sin sin )sin()2sin()cos()2cos()sin(-=⋅--⋅⋅-=------
14.（13分）指出最大值最小值得4分，两个集合9分 最大值2 自变量的集合为⎭⎬⎫⎩
⎨⎧∈+=Z k k x x ,3212ππ 最小值-2 自变量的集合为
⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+-=Z k k x x ,324ππ 15. （14分）第一步4分，后两步各5分
()()6563cos ;6556sin ;53sin ,1312cos -=-=+-=-=βαβαβα
B 卷（50分）
选择题（每题5分，共15分）
16. B 17.D 18.（重点班） A （普通班）A
填空题（每题5分，共10分） 19. 3 20.（重点班）7 20. （普通班）-3
三、解答题（25分）
21.（重点班）（12分）
第一步6分，第二步写出两个向量的坐标4分，求出k 再得2分
(1)由题意得（3，2）＝m(-1,2)+n(4,1) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m -m+4n=3 m=95
2m+n=2 n=98
(2)
()()()()()1811,022543,2,52,2,43-==++-+-=-++=+k k k c b k k c k a 21.（普通班）（12分） 第一步得4分，两个模各4分
解：()()1,,2,1x b a == ，()()4,122+=+x b a ，()
()3,22x b a -=-
，两个向量平行时，解得
2532,522,21=-=+=b a b a x ， 22．（重点班）
化简()x f 得3分，写出最小正周期，振幅，初相各1分，写出单调递增区间得4分化，写出怎么变换到得3分
解（1）()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=64sin 26sin 4cos 6cos 4sin 24cos 214sin 232πππx x x x x x f
最小正周期T ＝2π，振幅为2，初相为6π
（2）令
Z k x z y x z ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-=+=,2112,2162222sin 2,64κππκππκππκπππ
递增区间为的单调，解得，的单调递增区间为 （3）先向左平移,
6π再所有的纵坐标不变，横坐标变为原来的41，所有的横坐标不变， 纵坐标变为原来的2倍
22.（普通班）(13分)
化简()x f 得5分，写出最小正周期，振幅，初相各1分，写出单调递增区间得5分
解：（1）()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin 23sin cos 3cos sin 2cos 23sin 212πππx x x x x x f
最小正周期T ＝π2，振幅为2，初相为3π
（2）令
Z k x z y x z ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-=+=,26,2652222sin 2,3κππκππκππκπππ
递增区间为的单调，解得，的单调递增区间为
（3）先向左平移,3 再所有的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍。