几种常用梁在简单载荷作用下的变形转角和挠度教学内容
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第十一章 梁的变形
Fb 3 2 wm ( l b2 ) 12 EI 4
梁的中点m的挠度：
力作用点C与梁的中点m越接近，两者相差越小 。若两点重合，
Fl 3 wC wm 48EI
若C点靠近支座B，则两者相差最大，这时，近似的有
b0
wmax
bFl 2 9 3EI
bFl 2 wm 16 EI
两者的相对误差不超过2.6%。
(2) 计算各C截面的挠度和转角。
ql 4 ql 3 wC1 , C1 8 EI 6 EI ql 3 C 2 48 EI l ql 4 ql 3 l wC 2 wB 2 B 2
2 128EI 48EI
wB 2
wC 2
2
2
(3)将结果叠加
41ql 4 wC wCi 384 EI i 1
wB wC C l / 2
查表11-1可得
ql / 2 ql 3 C 6 EI 48 EI 代入上式可得B处的扰度和转角
3
ql 4 wC 128 EI
wC
补充题 悬臂梁受力如图示，q、l、EI均 为已知。求C截面的挠度wC和转角C 。
解: (1)将梁上的载荷变成有表可查的情形
7-4
例11-3 已知简支梁受力如图示，q、l、EI均 为已知。求C 截面的挠度wC ；B截面的转角
B 。
解： (1)将梁上的载荷分解为均布载 荷、集中力偶和力偶三种单独 作用的情况
wC wC1 wC 2 wC 3
B B1 B 2 B 3
（2）查表得各C截面的挠度和B截面的转角。
F A
C1
C
Me
B A
F
C
梁的中点m的挠度：
力作用点C与梁的中点m越接近，两者相差越小 。若两点重合，
Fl 3 wC wm 48EI
若C点靠近支座B，则两者相差最大，这时，近似的有
b0
wmax
bFl 2 9 3EI
bFl 2 wm 16 EI
两者的相对误差不超过2.6%。
(2) 计算各C截面的挠度和转角。
ql 4 ql 3 wC1 , C1 8 EI 6 EI ql 3 C 2 48 EI l ql 4 ql 3 l wC 2 wB 2 B 2
2 128EI 48EI
wB 2
wC 2
2
2
(3)将结果叠加
41ql 4 wC wCi 384 EI i 1
wB wC C l / 2
查表11-1可得
ql / 2 ql 3 C 6 EI 48 EI 代入上式可得B处的扰度和转角
3
ql 4 wC 128 EI
wC
补充题 悬臂梁受力如图示，q、l、EI均 为已知。求C截面的挠度wC和转角C 。
解: (1)将梁上的载荷变成有表可查的情形
7-4
例11-3 已知简支梁受力如图示，q、l、EI均 为已知。求C 截面的挠度wC ；B截面的转角
B 。
解： (1)将梁上的载荷分解为均布载 荷、集中力偶和力偶三种单独 作用的情况
wC wC1 wC 2 wC 3
B B1 B 2 B 3
（2）查表得各C截面的挠度和B截面的转角。
F A
C1
C
Me
B A
F
C
材料力学第9章--梁的挠度和刚度计算
3
9.4 叠加法求梁的变形
在小变形条件下，材料服从虎克定律
内力
Fs , M 与外力 q, P, M 0 成线性关系
几个载荷共同作用的变形 === 各个载荷单独作用的变形之和
叠加原理
例9.4
简支梁的EI已知，用叠加法
q
ql
求梁跨中截面的位移和支座B的转角。 A
B
载荷分解如图 均布载荷单独作用时
6 最大挠度
when
0 w1
Fb 2 Fb 2 2 x l b 0 2l 6l
a l b a a 2b l 2 b2 x 3 3 3 if a b then x a Fb wmax w1 ( x ) 9 3EIl if a b then x a wmax Fl 3 48EI
5ql 4 ql 3 wC1 , q B1 384 EI 24 EI ql 4 ql 3 wC 2 , qB2 16EI 3EI 叠加 19ql 4 wC wC1 wC 2 384 EI 7 ql 3 q B q B1 q B 2 24 EI
wmax
挠曲线
P
x
挠曲线方程
挠曲线：梁弯曲后，梁轴线所成的曲线 挠度：梁截面形心在垂直于梁的初始轴线方向的位移
w w( x ) dw x 转角：梁截面相对于变形前的位置转过的角度 q tan q
dx
符号给定：
正值的挠度向下，负值的向上；正值的 转角为顺时针转相，负值的位逆时针转向
2，意义
4
3
7 梁两端的转角
ql 3 EIq A EIq |x 0 24 1 3 ql 2 ql 3 ql 3 EIq B EIq |x l ql l 6 4 24 24
工程力学 第11章：梁的变形
2
A
EI C l/2 q
B l/2
A B
yC Pl
3
16 EI
48 EI ql
3
A
EI C l/2
B
l/2
A B
yC 5 ql
4
24 EI
384 EI
武昌理工学院 工程力
二、叠加法计算梁的变形 P A Am AP m=Pl A B 2 EI C 19 Pl l/2 l/2
2
M(x)
EIy ' EI EIy 1 1
l-x
1 2
2 2
B
EIy "
2
1 2
3
q (l x )
2
1 2
q ( l 2 lx x )
2 2
q ( l x lx
2
1 3
x )C
4
q ( l x lx x ) Cx D 2 2 3 12
3
1
x y
y=y(x)
的挠曲线。
梁横截面形心的竖向位移称为截面的挠度，用y 来表示。
挠度以向下为正，向上为负。
梁横截面绕中性轴转过的角度称为截面的转角，用 来 表示。转角以顺时针为正，逆时针为负。 梁不同截面的挠度和转角不同，它们是截面坐标的函数， 称为梁的挠度方程和转角方程。 武昌理工学院 工程力
EIy ' EI ( x x )C 2 3 2 q 1 4 l 3 EIy ( x x ) Cx D 2 12 6
x 0 , y 0; x l , y 0;
武昌理工学院 工程力
D0
q l l 0 ( ) Cl 2 12 6
A
EI C l/2 q
B l/2
A B
yC Pl
3
16 EI
48 EI ql
3
A
EI C l/2
B
l/2
A B
yC 5 ql
4
24 EI
384 EI
武昌理工学院 工程力
二、叠加法计算梁的变形 P A Am AP m=Pl A B 2 EI C 19 Pl l/2 l/2
2
M(x)
EIy ' EI EIy 1 1
l-x
1 2
2 2
B
EIy "
2
1 2
3
q (l x )
2
1 2
q ( l 2 lx x )
2 2
q ( l x lx
2
1 3
x )C
4
q ( l x lx x ) Cx D 2 2 3 12
3
1
x y
y=y(x)
的挠曲线。
梁横截面形心的竖向位移称为截面的挠度，用y 来表示。
挠度以向下为正，向上为负。
梁横截面绕中性轴转过的角度称为截面的转角，用 来 表示。转角以顺时针为正，逆时针为负。 梁不同截面的挠度和转角不同，它们是截面坐标的函数， 称为梁的挠度方程和转角方程。 武昌理工学院 工程力
EIy ' EI ( x x )C 2 3 2 q 1 4 l 3 EIy ( x x ) Cx D 2 12 6
x 0 , y 0; x l , y 0;
武昌理工学院 工程力
D0
q l l 0 ( ) Cl 2 12 6
第七章 梁的位移-转角、挠度解读
第七章 梁的弯曲变形
第七章 梁的位移-转角、挠度
7.1 工程中梁的变形 转角 挠度 7.2 梁挠曲线的近似微分方程 7.3 利用积分法求梁的位移 7.4 利用叠加法求梁的位移 7.5 梁的刚度条件与校核 7.6 简单超静定梁的计算 7.7 提高抗弯刚度的措施
1
第七章 梁的弯曲变形
2
第七章 梁的弯曲变形
A
AA A A A
A
~
~
~
~~
A
AA
~
~
yA 0
yA 0
A 0
yAL yAR
AL AR
10
第七章 梁的弯曲变形
例7-1 求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。
F
x
A
yA
A
l
M x Fx
B
x
ddEExyIzIzddFxyx22MEI(CFZx1x)ddxxCC11
Fb L
x
F b
C
l
y
x
最大转角 y'' 0 M x 0
A
Fb L2 b2 6EIz L
Fab L b 6EIz L
最大挠度 y' 0 令x=a
B
x
EI z1
Fb 2L
x2
Fb
L2 6L
b2
EIz
y1
Fb 6L
x3
Fb
EIz
y2
Fb 6L
x3
1 6
F x
a3
Fb
L2 6L
b2
第七章 梁的位移-转角、挠度
7.1 工程中梁的变形 转角 挠度 7.2 梁挠曲线的近似微分方程 7.3 利用积分法求梁的位移 7.4 利用叠加法求梁的位移 7.5 梁的刚度条件与校核 7.6 简单超静定梁的计算 7.7 提高抗弯刚度的措施
1
第七章 梁的弯曲变形
2
第七章 梁的弯曲变形
A
AA A A A
A
~
~
~
~~
A
AA
~
~
yA 0
yA 0
A 0
yAL yAR
AL AR
10
第七章 梁的弯曲变形
例7-1 求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。
F
x
A
yA
A
l
M x Fx
B
x
ddEExyIzIzddFxyx22MEI(CFZx1x)ddxxCC11
Fb L
x
F b
C
l
y
x
最大转角 y'' 0 M x 0
A
Fb L2 b2 6EIz L
Fab L b 6EIz L
最大挠度 y' 0 令x=a
B
x
EI z1
Fb 2L
x2
Fb
L2 6L
b2
EIz
y1
Fb 6L
x3
Fb
EIz
y2
Fb 6L
x3
1 6
F x
a3
Fb
L2 6L
b2
(方案)梁的挠度和转角.ppt
2、分段列出梁的弯矩方程
y
x
F
x A
a
C
B
b
x
L
FBy
FAy
AC段 (0 x a)
BC段 (a x L)
Fb M1(x) FAx L x,
EI1"
Fb L
x,
Fb M 2 (x) L x F (x a),
EI2 "
Fb L
x
F(x
a),
演示课件
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
边界条件
积分常数2n个=2n个
连续条件
演示课件
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
边界条件： A 0
A 0
连续条件： B左 B右
B左 B右
演示课件
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
y
p
c
c
w
x
x
W（-） θ（-）
（1）坐标系的建立： 坐标原点一般设在梁的左端，并规 定：以变形前的梁轴线为x轴，向右为正；以y轴代表曲线 的纵坐标（挠度），向上为正。
（2）挠度的符号规定：向上为正，向下为负。
（3）转角的符号规定：逆时针转向的转角为正； 顺时针转向的转角为负。
演示课件
第八章 弯曲变形
6
x L, y 0 代入（2）得： D 1 qL4
8
代入（1）（2）得：
1 ( 1 qx3 1 qL3)
EI 6 6
1 ( 1 qx4 qL3 x qL4 )
EI 24
68
《梁的挠度及转角 》课件
长度、弯曲刚度等因素。
有限元分析
在现代工程分析中，有限元分析 是一种常用的方法来计算挠度和 转角。通过将梁离散化为有限个 小的单元，可以更精确地模拟梁
的变形和应力分布。
02
梁的挠度分析
静力挠度分析
静力挠度分析是指在静力载荷作 用下，对梁的挠度进行计算和分
析的过程。
静力挠度分析主要考虑梁的自重 、外部施加的均布载荷和集中载 荷等因素，通过计算得到梁的挠
温度转角分析
温度转角的大小取决于梁的材料、尺寸和温度变化等 因素。
单击此处添加正文，文字是您思想的提一一二三四五 六七八九一二三四五六七八九一二三四五六七八九文 ，单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了最 终呈现发布的良好效果单击此4*25}
温度转角分析的目的是确定梁在温度变化下的变形程 度和转角大小，从而评估梁的耐热性能和稳定性。
5. 总结分析结果，提 出改进建议。
4. 将实测数据与理论 计算结果进行对比分 析；
案例分析结果与结论
结果
实测数据与理论计算结果基本一致， 证明了理论的正确性和实用性；
结论
梁的挠度和转角是结构安全的重要指 标，应加强监测和理论研究，以提高 结构的安全性和稳定性。
05
梁的挠度及转角优化设 计
优化设计方法与步骤案例二高层建筑中源自梁结构挠度及转角变 化案例三
大跨度钢结构的梁在风载作用下的 挠度及转角表现
案例分析方法与步骤
• 方法：理论计算与实测数据相结合
案例分析方法与步骤
步骤
1. 收集相关资料，了解工程概况和梁的结构特点 ； 2. 进行理论计算，预测梁的挠度和转角；
案例分析方法与步骤
3. 实地监测，获取梁 的实际挠度和转角数 据；
有限元分析
在现代工程分析中，有限元分析 是一种常用的方法来计算挠度和 转角。通过将梁离散化为有限个 小的单元，可以更精确地模拟梁
的变形和应力分布。
02
梁的挠度分析
静力挠度分析
静力挠度分析是指在静力载荷作 用下，对梁的挠度进行计算和分
析的过程。
静力挠度分析主要考虑梁的自重 、外部施加的均布载荷和集中载 荷等因素，通过计算得到梁的挠
温度转角分析
温度转角的大小取决于梁的材料、尺寸和温度变化等 因素。
单击此处添加正文，文字是您思想的提一一二三四五 六七八九一二三四五六七八九一二三四五六七八九文 ，单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了最 终呈现发布的良好效果单击此4*25}
温度转角分析的目的是确定梁在温度变化下的变形程 度和转角大小，从而评估梁的耐热性能和稳定性。
5. 总结分析结果，提 出改进建议。
4. 将实测数据与理论 计算结果进行对比分 析；
案例分析结果与结论
结果
实测数据与理论计算结果基本一致， 证明了理论的正确性和实用性；
结论
梁的挠度和转角是结构安全的重要指 标，应加强监测和理论研究，以提高 结构的安全性和稳定性。
05
梁的挠度及转角优化设 计
优化设计方法与步骤案例二高层建筑中源自梁结构挠度及转角变 化案例三
大跨度钢结构的梁在风载作用下的 挠度及转角表现
案例分析方法与步骤
• 方法：理论计算与实测数据相结合
案例分析方法与步骤
步骤
1. 收集相关资料，了解工程概况和梁的结构特点 ； 2. 进行理论计算，预测梁的挠度和转角；
案例分析方法与步骤
3. 实地监测，获取梁 的实际挠度和转角数 据；
工程力学(第二版)章图文 (6)
跳板，木板横截面尺寸b=500 mm，h=50 mm，木板材料的许 用应力［σ］=6 MPa 。 试求：
(1) 一体重为700 N (2) 要求两名体重均为700 N的工人抬着1500 N的货物安全 走过，木板的宽度不变，重新设计木板厚度h。
第6章 弯 曲
解 (1) 计算弯矩的最大值Ｍmax。当工人行走到跳板中央
(2) 横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧(或右侧）所 有外力对该截面形心的力矩的代数和。
第6章 弯 曲
为了使所求得的剪力与弯矩符合前面的符号规定，按此 规律计算剪力时，截面左侧梁上外力向上取正值，向下取负 值，截面右侧梁上外力向下取正值，向上取负值；计算弯矩 时，截面左侧梁上外力对该截面形心的力矩顺时针转向取正 值，逆时针转向取负值，截面右侧外力对该截面形心的力矩 逆时针转向取正值，顺时针转向取负值。可以将这个规则归 纳为一个简单的口诀：左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯 矩为正。
第6章 弯 曲 图 6.10
第6章 弯 曲 解 设截面m-m与B端之间的距离为x，取m-m截面的右段
为研究对象，画出受力图，如图6.10(b)所示。 根据平衡条件：
由Fs=qx可绘出剪力图，如图6.10(c)所示；由 描点可绘出弯矩图，如图6.10(d)
第6章 弯 曲
6.3 弯曲时的正应力与强度计算
m，材料的许用应力[σ]=150 MPa， 求此悬臂梁的许可载荷。
图 6.15
第6章 弯 曲 解 绘出悬臂梁的弯矩图，如图6.15(b)所示。 图中，Mmax=Fl=4000F 梁的横截面抗弯截面系数为
由梁的弯曲正应力强度条件得
因此, 悬臂梁的许可载荷为F=25 000 N。
第6章 弯 曲 【例6.5】 某建筑工地上, 用长l=3 m的矩形截面木板做
(1) 一体重为700 N (2) 要求两名体重均为700 N的工人抬着1500 N的货物安全 走过，木板的宽度不变，重新设计木板厚度h。
第6章 弯 曲
解 (1) 计算弯矩的最大值Ｍmax。当工人行走到跳板中央
(2) 横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧(或右侧）所 有外力对该截面形心的力矩的代数和。
第6章 弯 曲
为了使所求得的剪力与弯矩符合前面的符号规定，按此 规律计算剪力时，截面左侧梁上外力向上取正值，向下取负 值，截面右侧梁上外力向下取正值，向上取负值；计算弯矩 时，截面左侧梁上外力对该截面形心的力矩顺时针转向取正 值，逆时针转向取负值，截面右侧外力对该截面形心的力矩 逆时针转向取正值，顺时针转向取负值。可以将这个规则归 纳为一个简单的口诀：左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯 矩为正。
第6章 弯 曲 图 6.10
第6章 弯 曲 解 设截面m-m与B端之间的距离为x，取m-m截面的右段
为研究对象，画出受力图，如图6.10(b)所示。 根据平衡条件：
由Fs=qx可绘出剪力图，如图6.10(c)所示；由 描点可绘出弯矩图，如图6.10(d)
第6章 弯 曲
6.3 弯曲时的正应力与强度计算
m，材料的许用应力[σ]=150 MPa， 求此悬臂梁的许可载荷。
图 6.15
第6章 弯 曲 解 绘出悬臂梁的弯矩图，如图6.15(b)所示。 图中，Mmax=Fl=4000F 梁的横截面抗弯截面系数为
由梁的弯曲正应力强度条件得
因此, 悬臂梁的许可载荷为F=25 000 N。
第6章 弯 曲 【例6.5】 某建筑工地上, 用长l=3 m的矩形截面木板做
第七章-梁的位移-转角、挠度
Ezy I2 14 qLx4C 1xC 2
q Lx3L3 6EzI
y q Lx44L 3xL 4 2E 4zI 12
第七章 梁的弯曲变形
例7-3 求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大
挠度。
a A
Fb L
x
F b
C
l
y
x
B
M1x
x
Fb L
x
0xa
Fa
M2xF Lb xFxa
A
AA A A A
A
~
~
~
~~
A
AA
~
~
yA 0
yA 0
A 0
yALyAR
ALAR
10
第七章 梁的弯曲变形
例7-1 求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。
F
x
A
yA
A
l
M xFx
B
x
d d EE Ix zy zId dFx y 2x 2M E (CF IZ x1)x dd x C x C11
EIdd2xy2 EIy'' M(x)
若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩
为
Mi ( x) ，转角为
，挠度为
i
yi
，则有：
EIiy''Mi(x)
n
由弯矩的叠加原理知：Mi (x) M(x) i1
n
n
所以， E I y''i E(Iyi)''M(x)
i1
i1
17
7-4
第七章 梁的弯曲变形
n
故
y' ' ( yi )' '