用矩阵位移法计算悬臂梁的挠度
华中科技大学工程力学(841)2001-2005年考研真题
2001年招收攻读硕士研究生入学考试自命题试题考试科目及代码：工程力学真题（841）1.请画出图示结构的弯矩图。
（10分）2.请画出图示结构的大致弯矩图。
（10分）3.请求出图示桁架结构中杆1、杆2的轴力。
（10分）4.请求出图示结构C点的竖向位移。
（10分）5.请求出图示结构D点的竖向位移。
（10分）6.请用力法画出图式结构的弯矩图。
（10分）7.请用位移法计算图示结构并画出弯矩图。
(10分)8.请求出图示结构、的影响线。
（10分）9.请求出图示结构的等效荷载列阵。
（10分）10.请求出图示结构的整体刚度矩阵。
（10分）2002年招收攻读硕士研究生入学考试自命题试题考试科目及代码：工程力学真题（841）第一部分：材料力学（150分）一、填空题。
（每小题4分，共20分。
）1.两端受拉力P的等直杆，截面积为A，长为L,弹性模量为E，其应变能为_______。
2.长为L、抗弯刚度为EI的两端铰支的等截面细长中心受压直杆临界力的欧拉公式为______。
3.某点处的三个主应力分别为、和，材料的弹性模量和泊松比分别为E和,则该点处的体积应变为_________。
4.受扭矩T的薄壁圆筒（壁厚为t，平均半径为），其横截面上的应力为__________。
5.外径为2d,内径为d的圆环的横面惯性矩为_____________。
二、简答题。
（每小题4分，共20分）。
1.何谓温度应力？何种情形下会产生温度应力？2.试述弯曲的概念。
何谓对称轴弯曲？3试述剪应力互等定理。
4.为什么脆性材料的安全系数取值比塑料性材料的安全系数取值大？5.试述第三强度理论。
三计算题。
（４小题，共８０分）。
１.（１５分）试求长为Ｌ，截面积为A的杆在拉力P作用下的余能。
材料在单轴拉伸时的应力——应变关系为σ=K√。
2.（15分）矩形基础长为L，宽为B，受单向偏心荷载P作用，作用点在矩形的长轴线上，偏心距为e，试求基础对地基土的最大压力和最小压力（忽略基础及其上土重）。
梁的挠度计算公式一览表
梁的挠度计算公式一览表
1、简单梁的挠度计算公式：
EI = (Pl/4)L^3；
其中：EI—梁的挠度；P—梁的承载力；L—梁的长度。
2、偏移距离的计算公式：
u = Pl^3/(48EI)；
其中：u—梁的偏移距离；P—梁的承载力；L—梁的长度；EI—梁的挠度。
3、弯矩的计算公式：
M = Pl/2；
其中：M—梁的弯矩；P—梁的承载力；L—梁的长度。
4、层间剪力的计算公式：
Vp = 2M/(L^2)；
其中：Vp—梁的层间剪力；M—梁的弯矩；L—梁的长度。
5、端端剪力的计算公式：
V2 = 3M/(2L)；
其中：V2—梁的端端剪力；M—梁的弯矩；L—梁的长度。
6、载荷下梁的面心剪力的计算公式：
Vc = M/(L^2)；
其中：Vc—梁的面心剪力；M—梁的弯矩；L—梁的长度。
7、梁中水平位移的计算公式：
Δx = Pl^3/(48EI)；
其中：Δx—梁的水平位移；P—梁的承载力；L—梁的长度；EI—梁的挠度。
8、梁边轴力的计算公式：
Pb = 4M/L；
其中：Pb—梁的边轴力；M—梁的弯矩；L—梁的长度。
9、梁上压力的计算公式：
Pw = PL/2；
其中：Pw—梁的材料上的压力；P—梁的承载力；L—梁的长度。
10、梁内力的计算公式：
Pr = M/L；
其中：Pr—梁的内力；M—梁的弯矩；L—梁的长度。
梁挠度计算公式范文
梁挠度计算公式范文梁的挠度指的是梁的中点的竖直偏移量，通常用来描述梁的刚度和承载能力。
在工程设计中，梁的挠度是一个非常重要的参数，它关系到梁的安全性和使用性能。
梁的挠度可以通过公式计算得到，不同类型的梁有不同的挠度计算公式。
下面将介绍几种常见的梁的挠度计算公式。
1.简支梁的挠度计算公式：在简支梁的情况下，梁两端都可以自由转动，公式如下：δ=(5*q*L^4)/(384*E*I)其中，δ表示梁的挠度，q表示单位长度上的荷载，L表示梁的长度，E表示弹性模量，I表示截面惯性矩。
2.两端固定梁的挠度计算公式：在两端固定梁的情况下，梁两端都不可以转动，公式如下：δ=(q*L^4)/(8*E*I)其中，δ、q、L和E的含义与简支梁的公式相同。
3.悬臂梁的挠度计算公式：在悬臂梁的情况下，梁的一端固定而另一端自由，公式如下：δ=(q*L^4)/(8*E*I)其中，δ、q、L和E的含义与两端固定梁的公式相同。
4.混合支承梁的挠度计算公式：对于混合支承梁，即一端支承，一端固定δ=(q*L^4)/(8*E*I)+(5*q*a^4)/(384*E*I)其中，δ表示梁的挠度，q表示单位长度上的荷载，L表示梁的长度，E表示弹性模量，I表示截面惯性矩，a表示梁的支承长度。
这些挠度计算公式可以用于梁的静态分析，但需要注意的是，实际工程中的梁往往更加复杂，具体情况需要根据实际情况进行分析和计算。
同时，在计算挠度时，还需要对材料的弹性模量、截面惯性矩等参数进行准确的测量或估算。
总结起来，梁挠度的计算公式主要涉及到荷载和几何参数，根据梁的支承方式和边界条件的不同，可以选择相应的挠度计算公式。
在实际工程应用中，还需要根据具体情况进行修正和调整，确保计算结果的准确性和可靠性。
梁的位移与挠曲线近似微分方程
积分常数利用梁的边界条件及连续光滑条件来求得。
边界条件：梁横截面的已知位移条件或约束条件。
连续光滑条件：在相邻梁段的交接处即分段处， 相连两截面应具有相同的转角与挠度。
确定积分常数举例：
边界条件：
连续条件：
x0: A 0 x0: y A 0
x1 0, y A 0 x2 0, yB 0
1.基本概念:
转角
挠度 挠曲线 1、弯曲变形的表示方法：
y
（1）挠度y：截面形心在y 方向的位移;
y
x
x
挠曲线方程：
y y( x )
（2）转角θ:某横截面绕 自己的中性轴转动的角度。 转角方程：
由于小变形，截面形心在x方向的 位移忽略不计挠度转角关系为：
dy tan dx
讨
论
积分法求变形有什么优缺点？
9.7 叠加法求梁的变形
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等 于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。 这就是计算弯曲变形的叠加法。 即叠加法是： 分别求出各载荷单独作用时的变形，然后把各载荷在 同一处引起的变形进行叠加(代数叠加)。
直接查表： pl 3 Pl 2 y BP BP 3EI 2 EI ql 4 ql 3 y Bq Bq 8 EI 6 EI 由叠加法得：
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大 转角和最大挠度，梁的EI已知。
解: 1）由梁的整体平衡分析可得：
2）写出x截面的弯矩方程
A
)
F B
X A 0, YA F (), m A Fl (
x
l
yB
B
x
M ( x ) F (l x分方程并积分 d2y EI 2 M ( x) F (l x) dx dy 1 积分一次 EI EI F (l x) 2 C dx 2 1 再积分一次 EIy F (l x) 3 Cx D 6
梁跨中挠度的计算
然后相加求得系统总体刚度矩阵。之后求节点载荷 向量，最后根据求出位移分量。 (3)编程 程序编写如下: E = 210 * 10 ^ 9 I = 0.1 ^ 4 / 12 A = 0.1 * 0.1 L = 0.5
k1=E*I/L^3*[A*L^2/I 0 0 -A*L^2/I 0 0 0 12 6*L 0 -12 6*L 0 6*L 4*L^2 0 -6*L 2*L^2 -A*L^2/I 0 0 A*L^2/I 0 0 0 -12 -6*L 0 12 -6*L 0 6*L 2*L^2 0 -6*L 4*L^2] 单元刚度矩阵
-003 * -0.3571 0 -0.1190 0 0 0.3571
在求出的位移矩阵中，第二行 的位移即为跨中挠度
w
1.0e-003 * -0.1190
四、材料力学分析
由平衡关系求得两支反力为：F=F=F/2=5KN 梁的弯矩方程为：
2
EI w 2 F l3 48 F 12 3 l C 2l 0
， 所以
C2
3F l3 48
所以其挠度方程为：
w1 Fx 48 EI
l 2
(3 l 2 - 4 x 2 )
l 0 x 2
在
x
处其挠度最大为：
F l3 48 EI
w max
三、Matlab编程
(1)基本思路：利用有限元原理分析：建立坐 标系，划分单元；求出单元刚阵；根据局部 坐标与整体坐标关系，求出系统总体刚度矩 阵；求节点载荷向量；引入约束条件，根据 力与节点位移的关系，求出位移向量，最后 求出节点作用力。
悬臂梁的弯矩计算方法可参考材料力学
悬臂梁的弯矩计算⽅法可参考材料⼒学悬臂梁的弯矩计算⽅法可参考材料⼒学。
你没有说清楚悬臂梁上作⽤的是什么样的荷载形式，所以没有办法直接给答案，给你下以⼏种，让你参考吧（⼀）、受端部集中荷载作⽤时其悬臂梁上的弯矩值是Px，其中P是端部集中⼒，x是从端部到另⼀端的距离。
（⼆）、受均布荷载作⽤时其悬臂梁上的弯矩值是qx2/2，其中q是均布线荷载，x是从端部到另⼀端的距离。
设为均布荷载下。
悬臂梁悬臂净长L。
计算悬臂梁⾃重及其担负楼板⾯积的⾃重计g KN/m；（包括上下粉刷重）计算悬臂梁担负楼板⾯积上的活荷载q KN/m；（楼⾯活荷载标准值查荷载规范GB50009-2001)承载能⼒极限计算的荷载基本组合值为1.2g＋1.4q＝Q1正常使⽤极限计算的荷载标准组合值为g＋q＝Q2⽀座截⾯的弯矩＝1/2Q×L^2。
（计算两种极限状态的弯矩分别代⼊Q1或Q2值）同问已知弯矩、板混凝⼟强度、钢筋型号，如何求板配筋？？例如弯矩21.1KN/m，H=150mm，C25混凝⼟，⼆级钢求As2011-11-01 11:18 提问者：影⼦伯爵之⽻|浏览次数：808次我来帮他解答您还可以输⼊9999 个字推荐答案2011-11-01 14:02⼆、设计依据《混凝⼟结构设计规范》GB50010-2002三、计算信息1. ⼏何参数截⾯类型: 矩形截⾯宽度: b=1000mm截⾯⾼度: h=150mm2. 材料信息混凝⼟等级: C25 fc=11.9N/mm2 ft=1.27N/mm2钢筋种类: HRB335fy=300N/mm2最⼩配筋率: ρmin=0.200％纵筋合⼒点⾄近边距离: as=15mm3. 受⼒信息M=21.100kN*m4. 设计参数结构重要性系数: γo=1.0四、计算过程1. 计算截⾯有效⾼度ho=h-as=150-15=135mm2. 计算相对界限受压区⾼度ξb=β1/(1+fy/(Es*εcu))=0.80/(1+300/(2.0*105*0.0033))=0.5503. 确定计算系数αs=γo*M/(α1*fc*b*ho*ho)=1.0*21.100*106/(1.0*11.9*1000*135*135)= 0.0974. 计算相对受压区⾼度ξ=1-sqrt(1-2αs)=1-sqrt(1-2*0.097)=0.103≤ξb=0.550满⾜要求。
悬臂梁挠度方程的伽辽金法
悬臂梁挠度方程的伽辽金法
悬臂梁挠度方程是一个二阶微分方程，常常使用伽辽金法求解。
伽辽
金法是一种基于离散化的数值解法，利用有限元方法将连续问题转化为离
散问题，然后通过求解离散问题得到连续问题的近似解。
具体步骤如下：
1.将悬臂梁分成n个小段，在每个小段内选择一个节点，称为节点i。
2. 假设悬臂梁在每个小段上的挠度分别为wi，则可以得到如下形式
的微分方程：
EIw''(xi)=Mi，其中EI为弯曲刚度，Mi为单位长度内的力矩。
3.将w(x)在节点i处展开为一次函数：
w(x)≈wi+ai(x-xi)+bi(x-xi)2。
其中ai和bi为待求系数。
4.将上述近似式代入微分方程中，得到：
EI(ai+2bi(x-xi))=Mi。
5.将上述方程写成矩阵形式：
[EI/h2 -EI/h2] [ai] = [Mi]。
其中h为小段长度。
6. 重复上述步骤，在每个小段上求解ai和bi的值。
7.最后将所有小段的近似式组合起来，得到整个悬臂梁的挠度分布。
需要注意的是，伽辽金法求解的是近似解，随着离散节点数的增加，
解的精度也会增加。
因此，在实际应用中需要根据需要选择合适的节点数。
各类梁跨中最大挠度的计算公式
各类梁跨中最大挠度的计算公式提要：p 为各个集中荷载标准值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 跨间等间距布置两个相等的集中荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式:各类梁跨中最大挠度的计算公式1.均布荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式:Ymax = 5ql^4/(384EI).式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm).q 为均布线荷载标准值(kn/m).E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2.I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4).2.跨中一个集中荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式:Ymax = 8pl^3/(384EI)=1pl^3/(48EI).式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm).p 为各个集中荷载标准值之和(kn).E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2.I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4).3.跨间等间距布置两个相等的集中荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式:Ymax = 6.81pl^3/(384EI).式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm).p 为各个集中荷载标准值之和(kn).E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2.I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4).4.跨间等间距布置三个相等的集中荷载下的最大挠度,其计算公式:Ymax = 6.33pl^3/(384EI).式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm).p 为各个集中荷载标准值之和(kn).E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2.I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4).5.悬臂梁受均布荷载或自由端受集中荷载作用时,自由端最大挠度分别为的,其计算公式: Ymax =1ql^4/(8EI). ;Ymax =1pl^3/(3EI).q 为均布线荷载标准值(kn/m). ;p 为各个集中荷载标准值之和(kn).你可以根据最大挠度控制1/400,荷载条件25kn/m以及一些其他荷载条件进行反算,看能满足的上部荷载要求!。