2012广州一模试题及参考答案

所以 ．……………………………………13分
因为 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．…………………………………………………14分
解法3：延长 至点 ，使得 ，连接 、 ，……………………………………8分
在△ 中， ，
所以 ，即 ．
在△ 中，因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ．
因为 ，
所以 平面 ．…………………………………………………………………………………9分
所以 ．………………………………4分
在△ 中，因为 ， ， ，
所以 ，所以 ．………………………………………5分
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ．…………………………………………………………6分
因为 ，所以 平面 ．
因为 平面 ，所以 ．
所以 为直角三角形．……………………………………………………7分
18．（本小题满分14分）
（本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）
（1）证明1：因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ．…………………………………………………………………………………1分
（3）证明： （ ）．
2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学（பைடு நூலகம்科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
则 ， ， ．
于是 ， ．
因为 ，
所以 ．
所以 ．
所以 为直角三角形．…………………………………………………………7分
（2）由（1）可得， ．
于是 ， ， ．
设平面 的法向量为 ，
则 即
取 ，则 ， ．
所以平面 的一个法向量为 ．…………………………………12分
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ．
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．……………………………14分
解得 .……………………………………………………………………2分
（2）解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为 .……………………………3分
所以乙组四名同学数学成绩的方差为 .
…………5分
（3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有 种可能的结果．……………6分
这两名同学成绩之差的绝对值 的所有情况如下表：
19．（本小题满分14分）
（本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）
（1）解：设等比数列 的公比为 ，依题意，有
即 ……………………………………………2分
所以 …………………………………………………………3分
由于 ， ，解之得 或 ………………………………5分
………………………………………………3分
．…………………………………………………4分
（2）解：因为 …………………………………………5分
……………………………………………………6分
．…………………………………………………7分
所以 ，即 ．①
因为 ，②
由①、②解得 ．……………………………………………………9分
A．252B．216C．72D．42
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为．
10．已知 ，则实数 的取值范围为．
11．已知幂函数 在区间 上单调递增，
则实数 的值为．
12．已知集合 ， ，若 ，
87
89
96
96
87
0
2
9
9
93
6
4
3
3
93
6
4
3
3
95
8
6
1
1
所以 的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9.…………………………………………………8分
由表可得 ， ， ， ，
， ， ， .
所以随机变量 的分布列为：
0
1
2
3
4
6
8
……………………10分
9
随机变量 的数学期望为
………11分
.……………………………………………………………12分
由（1）知 ， ，且 ，
所以 平面 ．
因为 平面 ，
所以平面 平面 ．
过点 作 于点 ，连接 ，
则 平面 ．
所以 为直线 与平面 所成的角．……10分
在 △ 中，因为 ， ，
所以 ．……………………………………11分因为 ，所以 ，即 ，所以 ．………………………………12分
由（1）知 ， ，且 ，
因为 ．
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．…………………………………………………14分
解法4：以点 为坐标原点，以 ， 所在的直线分别为 轴， 轴建立如图的空间直角坐标系 ，……………………………………………………………………8分
则 ， ， ， ．
于是 ， ， ．
设平面 的法向量为 ，
则
即
取 ，则 ， ．
所以 ．
所以 为直角三角形．……………………………………………………7分
证明2：因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ．……………………………………………………1分
记 边上的中点为 ，在△ 中，因为 ，所以 ．
因为 ， ，所以 ．………………3分
连接 ，在 △ 中，因为 ， ， ，
2012年广州市普通高中毕业班综合测试数学（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数 （其中 ， 是虚数单位），则 的值为
A． B． C．0D．2
2．已知全集 ，函数 的定义域为集合 ，函数 的定义域为集合 ，则集合
A． B． C． D．
（1）求曲线 的方程；
（2）设 、 两点的横坐标分别为 、 ，证明： ；
(3)设三角形TAB与三角形POB的面积分别为S1，S2，向量PA乘向量PB小于等于15，求S1平方-S2平方的范围
21．（本小题满分14分）设函数 ( 为自然对数的底数)， （ ）．（1）证明： ；
（2）当 时，比较 与 的大小，并说明理由；
（2）解法1：过点 作平面 的垂线，垂足为 ，连 ，
则 为直线 与平面 所成的角．…………………………………8分
由（1）知，△ 的面积 ．…………………9分
因为 ，所以 ．…………………………10分
由（1）知 为直角三角形， ， ，
所以△ 的面积 ．…………………11分
因为三棱锥 与三棱锥 的体积相等，即 ，
过点 作 于点 ，
因为 平面 ，
所以 ．
因为 ，
所以 平面 ．
所以 为直线 与平面 所成的角．……………………………………………………11分
由（1）知， ，
所以 ．
在△ 中，点 、 分别为边 、 的中点，
所以 ．………………………………………………………12分
在△ 中， ， ， ，
所以 ，即 ．……………………………………………………………13分
6．已知两个非零向量 与 ，定义 ，其中 为 与 的夹角．若 ， ，则 的值为
A． B． C．8D．6
7．在△ 中， ， ， ，在 上任取一点 ，使△ 为钝角三角形的概率为
A． B． C． D．
8．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标 ，若 是3的倍数，则满足条件的点的个数为
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆 的半径为 ，点 是弦 的中点，
，弦 过点 ，且 ，则 的长为 ．
15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线 与曲线 的
参数方程分别为 ： （ 为参数）和 ： （ 为参数），
若 与 相交于 、 两点，则 ．
即 ，所以 ．……………………………………12分
在 △ 中，因为 ， ，
所以 ．………………………………13分
因为 ．
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．…………………………………………………14分
解法2：过点 作 ，设 ，
则 与平面 所成的角等于 与平面 所成的角．……………………………………8分
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
C
A
B
D
C
A
二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．
9． 10． 11．312． 13．35，1014． 15．