高三数学第一轮复习讲义(49)
第49讲 直线与圆的位置关系(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
Δ＜0 d＞r
Δ＝0 d＝r
Δ＞0 d＜r
(2)圆的切线方程的常用结论
①过圆 x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0x＋y0y＝r2；
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
③过圆 x2＋y2＝r2 外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x0x＋y0y＝r2.
12＋（－1）2 选 C.
4、过点(2，3)与圆(x－1)2＋y2＝1 相切的直线的方程为________________．
【答案】 x＝2 或 4x－3y＋1＝0
【解析】 ①若切线的斜率存在时，设圆的切线方程为 y＝k(x－2)＋3，由圆心(1，0)到切线的距离为半径 1， 得 k＝4，所以切线方程为 4x－3y＋1＝0；②若切线的斜率不存在，则切线方程为 x＝2，符合题意，所以直
【解析】（2） 由 ax－y＋2－a＝0 得直线 l 恒过点 M(1，2)．又因为点 M(1，2)在圆 C 的内部，当 MC 与 l
垂直时，弦长最短，所以 kMC·kl＝－1，所以2－1×a＝－1，解得 a＝2 . 1－3
（3）由题意，得圆心 C(3，1)，半径 r＝3 且∠ACB＝90°，则圆心 C 到直线 l：ax－y＋2－a＝0 的距离为
3 线方程为 4x－3y＋1＝0 或 x＝2.
5、直线 l：3x－y－6＝0 与圆 x2＋y2－2x－4y＝0 相交于 A，B 两点，则 AB＝________．
【答案】 10
【解析】 由 x2＋y2－2x－4y＝0，得(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1，2)，半径 r＝ 5，又圆
高考复习课件第49讲数学归纳法
答案：C
复习目标
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高频考点
课时小结
3．已知 n 是正偶数，用数学归纳法证明 1－12＋31－14＋…＋n－1 1＝2(n＋1 2＋n＋1 4＋…＋21n)
时，若已假设 n＝k(k≥2，k 为偶数)时命题为真，则还 需要证明( )
A．n＝k＋1 时命题成立 B．n＝k＋2 时命题成立 C．n＝2k＋2 时命题成立 D．n＝2(k＋2)时命题成立
解得
Sk＋1＝
k＋2
＝
，
k＋1＋1
这表明，当 n＝k＋1 时，猜想也成立．
由①②可知，对所有
n∈N*，均有
2n Sn＝n＋1.
复习目标
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高频考点
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证法 2：(累乘法)
因为 Sn＝n2an，所以 Sn＝n2(Sn－Sn－1)， 即SSn－n 1＝n2n－2 1(n>1)． 所以 Sn＝S1×SS21×SS23×…×SSn－n 1 ＝222－2 1×323－2 1×…×n2n－2 1 ＝1×22 3×2×32 4×…×n－1n2n＋1
答案：C
复习目标
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高频考点
课时小结
2．用数学归纳法证明 1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－1－ana＋2
(a≠1，n∈N*)，在验证 n＝1 成立时，左边计算所得的项是
() A．1
B．1＋a
C．1＋a＋a2
D．1＋a＋a2＋a3
解：验证初值时需要考察和式的结构特点．n＝1 时，
左边＝1＋a＋a2.
即 2k 项．
答案：D
复习目标
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高频考点
课时小结
5．用数学归纳法证明：凸多边形的内角和 f(n)＝(n－
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习课时规范练49排列与组合北师大版(含答案)
高考数学一轮总复习：课时规范练49排列与组合基础巩固组1.有5名同学被安排在周一至周五值日,已知同学甲只能在周一值日,那么5名同学值日顺序的编排方案共有()A.12种B.24种C.48种D.120种2.从4名男生和2名女生中选出2名男生和1名女生担任元旦联欢晚会的主持人,则不同的选法共有()A.6种B.12种C.24种D.18种3.(2021广东深圳一模)小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加节目,5人坐一排.若小明的父母都与他相邻,则不同坐法的种数为()A.6B.12C.24D.484.(2021河北石家庄第十九中学月考)某学校为了迎接市春季运动会,从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛,要求男、女生都有,则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为()A.85B.86C.91D.905.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个6.下列等式中,不成立的是()A.A n m=n!m!B.C n m -1+C n m=C n+1m C.C n m =C n n -mD.A n m =n A n -1m -17.在100件产品中,有98件合格品,2件不合格品,从这100件产品中任意抽出3件,则下列结论不正确的是( )A.抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有C 21C 982种B.抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有C 21C 992种C.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有(C 21C 982+C 22C 981)种D.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有(C 1003−C 983)种8.某校举办优质课比赛,决赛阶段共有6名教师参加.如果甲、乙、丙三人中有一人第一个出场,且最后一个出场的只能是甲或乙,则不同的出场方案共有 种.9.(2021湖南雅礼中学模拟)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人,组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有 种不同的选法.(用数字作答)综合提升组10.(2021安徽安庆月考)某市践行“干部村村行”活动,现有3名干部,下乡到5个村蹲点指导工作,每个村必须有1名干部,每个干部至多去3个村,则不同的选派方案共有 ( )A.243种B.210种C.150种D.125种11.有13名医生,其中女医生6人,现从中抽调5名医生组成医疗小组前往疫区.若医疗小组至少有2名男医生,同时至多有3名女医生,设不同的选派方法种数为N ,则下列等式能成为N 的算式的是( )①C 135−C 71C 64 ②C 72C 63+C 73C 62+C 74C 61+C 75 ③C 135−C 71C 64−C 65 ④C 72C 113A.①③B.②③C.②④D.①④12.(2021河南部分学校联考)某市疾控中心决定将含A ,B 在内的6名专家平均分配到3所县疾控中心去指导防疫工作,若A ,B 2名专家不能分配在一起,则不同的分配方法有 种.13.(2021浙江高三专题练习)在新高考改革中,学生可从物理、历史,化学、生物、政治、地理、技术7科中任选3科参加高考,则学生有 种选法.现有甲、乙两名学生先从物理、历史两科中任选一科,再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科,则甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有 种.创新应用组14.从装有n+1个不同小球的口袋中取出m 个小球(0<m ≤n ,m ,n ∈N ),共有C n+1m 种取法.在这C n+1m种取法中,可以视作分为两类:第一类是某指定的小球未被取到,共有C 10·C n m 种取法;第二类是某指定的小球被取到,共有C 11·C n m -1种取法.显然C 10·C n m +C 11·C n m -1=C n+1m ,即等式C n m +C n m -1=C n+1m 成立.试根据上述想法,下面式子C n m +C k 1·C n m -1+C k 2·C n m -2+…+C k k ·C n m -k (其中1≤k<m ≤n ,k ,m ,n ∈N )应等于( )A.C n+k mB.C n+k+1mC.C n+k m+1D.C n+m k15.已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡,顾客乙只带了现金,顾客丙、丁用哪种方式结账都可以,这四名顾客购物后,恰好用了其中的三种结账方式,那么他们结账方式的可能情况有 种.课时规范练49 排列与组合1.B 解析:因为同学甲只能在周一值日,所以除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日,所以5名同学值日顺序的编排方案共有A 44=24(种). 故选B .2.B 解析:由题意,从4名男生和2名女生中选出2名男生和1名女生担任元旦联欢晚会的主持人,可分两步:第一步,先从4名男生中选出2人,有C 42=6种选法; 第二步,从2名女生中选出1人,有C 21=2种选法.由分步乘法计数原理可得,共有C 42×C 21=12种不同的选法.故选B .3.B 解析:将小明父母与小明三人进行捆绑,其中小明居于中间,形成一个元素,则有A 22种坐法,再与爷爷和奶奶进行排序,则不同坐法有A 22A 33=12(种).故选B .4.B 解析:由题意,可分三类:第1类,男生甲入选,女生乙不入选,则方法种数为C 31C 42+C 32C 41+C 33=31; 第2类,男生甲不入选,女生乙入选,则方法种数为C 41C 32+C 42C 31+C 43=34; 第3类,男生甲入选,女生乙入选,则方法种数为C 32+C 41C 31+C 42=21.由分类加法计数原理,男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31+34+21=86. 故选B .5.B 解析:由题意可知,4开头的满足题意的偶数的个数为C 21A 43,5开头的满足题意的偶数的个数为C 31A 43,根据分类加法计数原理可得,比40000大的偶数共有C 21A 43+C 31A 43=120个.故选B .6.A 解析:A n m =n (n-1)…(n-m+1)=n!(n -m)!,故A 错误;根据组合数性质知B,C 正确;A n m =n!(n -m)!=n ·(n -1)![(n -1)-(m -1)]!=n A n -1m -1,故D 正确.故选A .7.B 解析:根据题意,若抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品,即抽出的3件产品中有2件合格品,1件不合格品,则合格品的取法有C 982种,不合格品的取法有C 21种,恰好有1件是不合格品的取法有C 21C 982种取法,故A 正确,B 错误.若抽出的3件中至少有1件是不合格品,有2种情况,①抽出的3件产品中有2件合格品,1件不合格品,有C 21C 982种取法;②抽出的3件产品中有1件合格品,2件不合格品,有C 22C 981种取法.则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有(C 21C 982+C 22C 981)种,故C 正确.也可以使用间接法,在100件产品中任选3件,有C 1003种取法,其中全部为合格品的取法有C 983种,则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有(C 1003−C 983)种取法,故D 正确.故选B . 8.96 解析:若第一场比赛从甲或乙开始,则最后一场从甲或乙产生,故不同的出场方案有A 22A 44=48种;若第一场比赛从丙开始,最后一场从甲或乙产生,故不同的出场方案有A 21A 44=48种.根据分类加法计数原理,不同的出场方案共有48+48=96(种).9.660 解析:第一类,从8名学生中选1女3男,有C 63C 21=40种选法,从4人中选2人作为队长和副队长有A 42=12种选法,故共有40×12=480种选法;第二类,从8名学生中选2女2男,有C 62C 22=15种选法,从4人中选2人作为队长和副队长有A 42=12种选法,故共有15×12=180种选法,根据分类加法计数原理,共有480+180=660种不同的选法.10.C 解析:3名干部可供选派,下乡到5个村蹲点指导工作,每个村都需要1名干部,每个干部至多去3个村,于是可以把5个村分为(1,1,3)和(1,2,2)两组,当为(1,1,3)时,有C 53A 33=60(种);当为(1,2,2)时,有C 52C 32A 22·A 33=90(种).根据分类加法计数原理,可得不同的选派方案共60+90=150(种). 故选C .11.B 解析:13名医生,其中女医生6人,则男医生7人.(方法1 直接法)若选派2男3女,则不同的选派方法有C 72C 63;若选派3男2女,则不同的选派方法有C 73C 62;若选派4男1女,则不同的选派方法有C 74C 61;若选派5男,则不同的选派方法有C 75.由分类加法计数原理,不同的选派方法种数为N=C 72C 63+C 73C 62+C 74C 61+C 75.(方法2 间接法)13名医生,任取5人,减去抽调4名女医生和5名女医生的情况,即N=C 135−C 71C 64−C 65.故选B .12.72 解析:将6名专家平均分配到3所县疾控中心的方法种数为C 62C 42C 22A 33·A 33=C 62C 42C 22=90,其中A ,B 2名专家分配在一起的方法种数为C 42C 22A 22·A 33=3C 42C 22=18,故A ,B 2名专家不能分配在一起的不同的分配方法有90-18=72(种).13.35 60 解析:由题意,7科中任选3科,则学生有C 73=7×6×53×2×1=35种选法. 分为两类,第一类:物理、历史两科中有相同学科,则选法有C 21C 42C 22=12(种); 第二类:物理、历史两科中没有相同学科,则选法有A 22C 41A 32=48(种),由分类加法计数原理,甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有12+48=60(种).14.A 解析:在C n m +C k 1·C n m -1+C k 2·C n m -2+…+C k k ·C n m -k 中,从第一项到最后一项表示从装有n 个白球,k 个黑球的袋子里,取出m 个球的所有情况取法总数的和,故式子表示的意思为从装有n+k 个球中取出m 个球的不同取法数C n+k m .故选A .15.26 解析:①当甲、丙、丁顾客都不选微信时,则甲有2种选择,当甲选择现金时,其余2人有A 22=2(种)选择;当甲选择支付宝时,丙、丁可以都选银联卡,或者其中一人选择银联卡,另一人只能选支付宝或现金,有1+C21C21=5(种)选择.故有2+5=7(种)选择.②当甲、丙、丁顾客都不选支付宝时,则甲有2种选择,当甲选择现金时,其余2人有A22=2(种)选择;当甲选择微信时,丙、丁可以都选银联卡,或者其中一人选择银联卡,另一人只能选微信或现金,故有1+C21C21=5(种)选择.故有2+5=7(种)选择.③当甲、丙、丁顾客都不选银联卡时,若有人使用现金,则有C31A22=6(种)选择,若没有人使用现金,则有C32A22=6(种)选择.故有6+6=12(种)选择.根据分类加法计数原理可得共有7+7+6+6=26(种)选择.。
高三数学(文)一轮复习方案课件 第49讲 抛物线
＝4x.
(2)证明：设 P(x1，y1)、Q(x2，y2)、M(x1，－y1)，∵F→1P＝λF→1Q，
所以xy11＋＝1λy＝2，λx2＋1， ∴y21＝λ2y22，
又 y21＝4x1，y22＝4x2，∴x1＝λ2x2，
由xx11＋＝1λ2＝x2λ，x2＋1， λ≠1，
_x_≥__0_，__y_∈__R__
x轴 O(0,0) e＝1 向右
_|_P_F_|_＝__p2_＋__x_1_
y2＝－2px(p>0) F－p2，0 x＝p2
_x_≤__0_，__y_∈__R__
向左
_|_P_F_|_＝__p2_－__x_1_
第49讲 │ 知识梳理
标准方程
x2＝2py(p>0)
第49讲 │ 要点探究
► 探究点4 抛物线的综合应用
例 4 已知 F1、F2 分别是椭圆x42＋y32＝1 的左、右焦点，曲线 C 是以坐 标原点为顶点，以 F2 为焦点的抛物线，自点 F1 引直线交曲线 C 于 P、Q 两个不同的交点，点 P 关于 x 轴的对称点记为 M.设F→1P＝λF→1Q.
第49讲 │ 抛物线
第49讲 抛物线
第49讲 │ 编读互动
编读互动
本讲的知识内容重点为抛物线的定义、标准方程和几何性质， 并能运用它们解决有关综合问题．要求特别透彻掌握抛物线焦点弦 的有关性质．
第49讲 │ 知识梳理
知识梳理
1．抛物线的定义
平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的_相__等___的点的轨迹叫做抛
线 l2 的距离之和最小，最小值为 F(1,0)到直线 l1：4x－3y＋6＝0 的距离，如下图所示即 dmin＝|4－50＋6|＝2，故选择 A.
1mxt-高三数学第一轮复习讲义
0,
2
上的最大
值和最小值;
(2)若f(x0)=
6 5
,
x0∈
4
,
2
,求cos2x0的值.
【分析】化为一角一函的形式再求周期和最值.
【解析】 (1)由f(x)=2 3sinxcosx+2cos2x-1,得
f(x)= 3 (2sinxcosx)+(2cos2x-1)=
=2sin(2x+ ),
cos20 sin20
cos10
3sin10tan70 - 2cos40
【分析】用诱导公式及逆用两角和差的正、余弦公 式，将70°,10°,40°化成与20°有关的角,约分求解.
【解析】
cos20 s in20
cos10
3sin10tan70 - 2cos40
cos20cos10 s in20
2sin2 cos2
- cos2 2 2cos2 1 cos2
2sin2 cos2
sin2
2sin2 sin tan 2sincos cos
考点2 三角函数式求值
考点3 三角函数式的变换及应用
已知函数f(x)=2 3sinxcosx+2cos2x-1(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间
(2)f(x)=sin2x+sinxcosx- mcos2x
2
= 1 cos 2x + 1 sin2x- m cos2x
= 1［2sin2x-(12+m)cos22x］+ 1 .
2
2
由tanα=2得
sin
2
2sin cos sin2 cos2
2tan 1 tan2
第49讲 直线与圆的位置关系(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
第49讲直线与圆的位置关系一、课程标准1、能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系2、能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.二、基础知识回顾1、直线与圆的位置关系(1)三种位置关系：相交、相切、相离．(2)圆的切线方程的常用结论①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.三、自主热身、归纳总结1、若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆的位置关系为()A. 在圆内B. 在圆上C. 在圆外D. 位置不确定【答案】C【解析】∵圆心(0，0)到直线ax＋by＝1的距离d＝1a2＋b2<1，∴a2＋b2>1，即点P(a，b)在圆外．故选C.2、直线kx－y－4k＋3＝0与圆x2＋y2－6x－8y＋21＝0的交点个数为()A. 0B. 1C. 2D. 1或2【答案】C【解析】∵直线kx－y－4k＋3＝0过定点(4，3)，且点(4，3)在圆x2＋y2－6x－8y＋21＝0内，∴交点个数为2个．故选C .3、若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a)2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A . [－3，－1]B . [－1，3]C . [－3，1]D . (－∞，－3]∪[1，＋∞) 【答案】C【解析】由题意可得，圆的圆心为(a ，0)，半径为2，∴|a －0＋1|12＋（－1）2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a≤1.故选C .4、过点(2，3)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线的方程为________________． 【答案】 x ＝2或4x －3y ＋1＝0【解析】 ①若切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y ＝k(x －2)＋3，由圆心(1，0)到切线的距离为半径1，得k ＝43，所以切线方程为4x －3y ＋1＝0；②若切线的斜率不存在，则切线方程为x ＝2，符合题意，所以直线方程为4x －3y ＋1＝0或x ＝2.5、直线l ：3x －y －6＝0与圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则AB ＝________． 【答案】 10【解析】 由x 2＋y 2－2x －4y ＝0，得(x －1)2＋(y －2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1，2)，半径r ＝5，又圆心(1，2)到直线3x －y －6＝0的距离为d ＝|3－2－6|32＋（－1）2＝102，由⎝⎛⎭⎫AB 22＝r 2－d 2，得AB 2＝4×⎝⎛⎭⎫5－52＝10，即AB ＝10.6、(多选)已知直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，则实数a 的值为( )A. 6B.5 C ．－ 6 D ．－5【答案】BD【解析】因为直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，所以O 到直线AB 的距离为1，由点到直线的距离公式可得|a |12＋－22＝1，所以a ＝±5，故选B 、D.7、(多选)已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝72，若直线x ＋y －m ＝0垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则m ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．10【答案】AD【解析】圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝72的圆心C 的坐标为(3,3)，半径r ＝62，因为直线x ＋y －m ＝0垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点， 所以圆心到直线的距离为22， 则有d ＝|6－m |1＋1＝22， 解得m ＝2或10，故选A 、D.8、(2019·湖南长沙月考)设直线l ：(m －1)x ＋(2m ＋1)y ＋3m ＝0(m ∈R )与圆(x －1)2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，C 为圆心，且△ABC 的面积等于4，则实数m ＝________. 【答案】－12或－72【解析】设CA ，CB 的夹角为θ，圆的半径为r .所以S △ABC ＝12r 2sin θ＝4sin θ＝4，得θ＝π2.易知圆心C 到直线l 的距离为2，所以|4m －1|m －12＋2m ＋12＝2，解得m ＝－12或－72.四、例题选讲考点一、直线与圆的位置关系例1、(1)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定(2)已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( )A ．m ∥l ，且l 与圆相交B ．m ⊥l ，且l 与圆相切C ．m ∥l ，且l 与圆相离D ．m ⊥l ，且l 与圆相离 【答案】(1)A (2)C【解析】 (1)由题意知圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交． (2)因点P 在圆内，故有a 2＋b 2＜r 2，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，所以m ⊥OP ，所以直线m的斜率k m ＝－a b ，因此m ∥l .又直线l 到圆心(0,0)的距离d ＝r 2a 2＋b 2＞r 2r ＝r ，故直线l 与圆相离．故选C.变式1、(1)(2020·杭州模拟)若无论实数a 取何值时，直线ax ＋y ＋a ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0都相交，则实数b 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－6)D ．(－6，＋∞)(2)若圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上恒有4个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围是( ) A ．(2＋1，＋∞) B ．(2－1，2＋1) C ．(0，2－1) D ．(0，2＋1)【答案】(1) C (2)A【解析】(1)∵x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0表示圆，∴8－4b ＞0，即b ＜2.∵直线ax ＋y ＋a ＋1＝0过定点(－1，－1)，∴点(－1，－1)在圆x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0的内部，∴6＋b ＜0，解得b ＜－6，∴b 的取值范围是(－∞，－6)．故选C.(2)计算得圆心到直线l 的距离为22＝2＞1，如图，直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离2＋1.变式2、已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点，直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长之比为1∶3的两段弧？若能，求出直线l 的方程；若不能，请说明理由．【解析】(1)(方法1)将y ＝kx 代入圆C 的方程x 2＋(y －4)2＝4，得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.∵直线l 与圆C 交于M ，N 两点，∴Δ＝(－8k)2－4×12(1＋k 2)>0，得k 2>3，(*)∴k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．(方法2)求圆心到直线的距离d ＝41＋k 2＜2解得k ＞3或k ＜－ 3. (2)假设直线l 将圆C 分割成弧长的比为1∶3的两段弧，则劣弧MN 所对的圆心角∠MCN ＝90°，由圆C ：x 2＋(y －4)2＝4知圆心C(0，4)，半径r ＝2.在Rt △MCN 中，可求弦心距d ＝r·sin 45°＝2，故圆心C(0，4)到直线kx －y ＝0的距离||0－41＋k2＝2，∴1＋k 2＝8，k ＝±7，经验证k ＝±7满足不等式(*)，故l 的方程为y ＝±7x.方法总结：判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题． 考点二 圆的弦长问题例2、已知直线ax －y ＋2－a ＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝9相交于A ，B 两点，若弦AB 的长为32，求实数a 的值．【解析】 因为圆心到直线ax －y ＋2－a ＝0的距离为||2a ＋1a 2＋1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫||2a ＋1a 2＋12＋⎝⎛⎭⎫3222＝9，解得a ＝1或a ＝7.变式1、（1）在平面直角坐标系xOy 中，直线3x －y ＋1－3＝0被圆x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0截得的弦长为________．（2）当直线l ：ax －y ＋2－a ＝0被圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝9截得的弦长最短时，实数a 的值为________． （3）若直线l ：ax －y ＋2－a ＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝9相交于A ，B 两点，且∠ACB ＝90°，则实数a 的值为________．【答案】（1） 2 6 （2）2 （3）1或7【解析】（1） 圆x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0的圆心为C(3，1)，半径r ＝3，点C 到直线3x －y ＋1－3＝0的距离d ＝3，所求弦长为l ＝2r 2－d 2＝2 6.【解析】（2） 由ax －y ＋2－a ＝0得直线l 恒过点M(1，2)．又因为点M(1，2)在圆C 的内部，当MC 与l 垂直时，弦长最短，所以k MC ·k l ＝－1，所以2－11－3×a ＝－1，解得a ＝2 .（3）由题意，得圆心C(3，1)，半径r ＝3且∠ACB ＝90°，则圆心C 到直线l ：ax －y ＋2－a ＝0的距离为22r ，即||2a ＋1a 2＋1＝322，解得a ＝1或a ＝7.变式2、（1） 过点M(1，2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝9相交于A ，B 两点，若弦AB 的长为25，则直线l 的方程为 _（2）已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2截y 轴所得线段与截直线y ＝2x ＋b 所得线段的长度相等，则b ＝________. 【答案】（1） x ＝1或3x －4y ＋5＝0（2）±5【解析】 （1）当直线l 的斜率不存在时，x ＝1，符合条件；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y－2＝k(x －1)，所以圆心到直线kx －y ＋2－k ＝0的距离为||2k ＋1k 2＋1，由⎝ ⎛⎭⎪⎫||2k ＋1k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫2522＝9，解得k ＝34，即直线l 的方程为3x －4y ＋5＝0.综上所述，所求直线l 的方程为x ＝1或3x －4y ＋5＝0.（2）记圆C 与y 轴的两个交点分别是A ，B ，由圆心C 到y 轴的距离为1，|CA |＝|CB |＝2可知，圆心C (1,2)到直线2x －y ＋b ＝0的距离也等于1才符合题意，于是|2×1－2＋b |5＝1，解得b ＝± 5.方法总结：弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2. 考点三 圆的切线问题例3、（徐州一中2019届模拟）已知点P (2＋1,2－2)，点M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过点P 的圆C 的切线方程； (2)求过点M 的圆C 的切线方程．【解析】 由题意得圆心C (1,2)，半径r ＝2.(1)因为(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，所以点P 在圆C 上． 又k PC ＝2－2－22＋1－1＝－1，所以切线的斜率k ＝－1k PC ＝1.所以过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝1×[x －(2＋1)]，即x －y ＋1－22＝0. (2)因为(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，所以点M 在圆C 外部． 当过点M 的直线斜率不存在时，直线方程为x ＝3， 即x －3＝0.又点C (1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ，即此时满足题意，所以直线x ＝3是圆的切线． 当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0，则圆心C 到切线的距离d＝|k －2＋1－3k |k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝34.所以切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0.变式1、已知点P(2＋1，2－2)，点M(3，1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1) 求过点P 的圆C 的切线方程；(2) 求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长． 【解析】 (1) 由题意得圆心C(1，2)，半径r ＝2.因为(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4， 所以点P 在圆C 上． 又k PC ＝2－2－22＋1－1＝－1，所以切线的斜率k ＝－1k PC＝1，所以过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝x －(2＋1)，即x －y ＋1－22＝0. (2) 因为(3－1)2＋(1－2)2＝5>4， 所以点M 在圆C 外部．当过点M 的直线斜率不存在时，直线方程为x ＝3，即x －3＝0，满足题意； 当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k(x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0， 则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k|k 2＋1＝2，解得k ＝34，所以切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上所述，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0. 因为MC ＝（3－1）2＋（1－2）2＝ 5，所以过点M 的圆C 的切线长为MC 2－r 2＝5－4＝1.变式2、已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A(4，－1)．【解析】(1)设切线方程为x ＋y ＋b ＝0，则|1－2＋b|2＝10，∴b ＝1±25，∴切线方程为x ＋y ＋1±25＝0.(2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0，则|2－2＋m|5＝10，∴m ＝±52，∴切线方程为2x ＋y±52＝0. (3)∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3， ∴过切点A(4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)，即3x ＋y －11＝0.方法总结：求圆的切线方程应注意的问题求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．五、优化提升与真题演练1、【2020年天津卷】知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r的值为_________． 【答案】5【解析】因为圆心()0,0到直线80x -+=的距离4d ==，由||AB =可得6==5r ． 故答案为：5．2、【2020年浙江卷】.设直线:(0)l y kx b k =+>，圆221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，若直线l 与1C ，2C 都相切，则k =_______；b =______．【答案】 (1).(2). 3- 【解析】由题意，12,C C 1=1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得k b ==.3、【2020年全国2卷】.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A.B.C.5D.5【答案】B【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=. 由题意可得()()22221a a a -+-=， 可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为12113255d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为225532555d ⨯--==圆心到直线230x y --=的距离均为d ==；所以，圆心到直线230x y --=. 故选：B.4、【2020年全国3卷】若直线l 与曲线y 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A. y =2x +1 B. y =2x +12C. y =12x +1 D. y =12x +12【答案】D【解析】设直线l 在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D.5、（2020届清华大学附属中学高三第一学期12月月考）已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，若OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（ ） A．2 B．2CD- 【答案】D【解析】 由题意得，圆22:1O x y +=的圆心坐标为(0,0)，半径1r =. 因为OAB ∆为正三角形，则圆心O 到直线0x y m -+==即2d ==，解得2=m或2m =-，故选D. 6、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知直线1:0l kx y +=()k R ∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为（ ）A．B．C．5+D．3+【答案】C 【解析】由0220kx y x ky k +=⎧⎨-+-=⎩，消去参数k 得22(1(1)2x y -+-=），所以A 在以(1,1)C 为半径的圆上，又点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，此圆圆心为(2,3)D --，5CD ==，∴AB 的最大值为5CD =+故选：C.7、【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________．【答案】2-【解析】由题意可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入直线AC 的方程得2m =-，此时||r AC ===8、 (2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．【解析】 (1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2.又C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22.由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m 2.联立⎩⎨⎧ x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎨⎧ x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.故过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝⎛⎭⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．。
高考数学一轮复习49圆与方程学案理
第四十九课时 圆与方程课前预习案考纲要求1.掌握圆的定义及性质，圆的标准方程与一般方程，2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，解决对称问题、轨迹问题、最值问题，以及直线与圆和其他数学知识的综合问题。
基础知识梳理1.圆的方程（1） 圆的定义：平面内 的点的集合（轨迹）叫做圆。
（2）圆的标准方程：圆心在),(b a c 、半径为r 的圆的标准方程是 （3）圆的一般方程：当0422>-+F E D 时，方程 ①叫做圆的一般方程.它表示圆心为 ，半径为 的圆；当2240D E F +-=时，①表示点 ；当2240D E F +-<时，①不表示任何图形。
（4）求圆的方程的方法：待定系数法．．．．．，先定式，后定量。
如果与圆心和半径有关，一般选标准式，否则用一般式。
2.直线与圆的位置关系（1）设直线:0l Ax By C ++=圆222:()()C x a y b r -+-=，圆心到直线的距离为 （2）判断直线与圆的位置关系的方法方法一(几何法)：比较圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系①⇔直线与圆相交 ；②⇔直线与圆相切 ；③⇔直线与圆相离 方法二（代数法）：通过判别式判断直线与圆的方程组的实数解的情况，确定直线和圆的位置。
（3）过圆上一点的圆的切线方程设圆的标准方程222x y r +=,点M(x 0,y 0)为圆上一点，则过M 的圆的切线方程为: ;设圆的标准方程为222:()()C x a y b r -+-=,点M(x 0,y 0)圆上一点，则过M 的圆的切线方程为:;（4）求圆的切线的方法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求出k .提醒：在利用点斜式求切线方程时，不要漏掉垂直于x 轴的切线，即斜率不存在时的情况． （5）求直线和圆相交的弦长方法一：解半径、半弦、弦心距组成的直角三角形（注意解直角三角形算出的是弦长的一半）。
2023届高三数学一轮复习专题 利用常见函数的奇偶性解题 讲义 (解析版)
专题：利用常见函数的奇偶性解题知识梳理：1、掌握高中常见函数的奇偶性，单调性可提高解题速度2、加强知识的归纳整理工作，由知识点构建知识块3、常见的奇，偶函数类型（10≠>a a 且）：①指数型奇函数：f(x)＝11+-±x x a a ，f(x)＝）（x x a a --±， ②对数型奇函数：f(x)＝±lgx b xb +-，f(x)＝±lg(x x ++12)，③幂函数奇函数：f(x)＝m x （为奇数m ），f(x)＝xb x ±④常见偶函数：f(x)＝m x （为偶数m ） f(x)＝|x| 典型例题：例1：已知函数f(x)＝11+-x x a a (a>1) (1)判断f(x)奇偶性 (2)求函数f(x)的值域变式：已知函数31()231x x f x x -=++，则满足不等式()(32)0f a f a ++>的实数a 的取值范围是 .变式1：【答案】12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭例2：(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )变式：已知函数f (x )＝e x －1ex ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．例3：判断并证明函数f(x)=lg x x +1-1的奇偶性 （思考f(x)=lg xx-+11的奇偶性？）例4：判断并证明函数f(x)=lg(x x ++12)的奇偶性 （思考f(x)=lg(x x -+12的奇偶性？)变式1：已知函数xxa x f +-=1log )(3为奇函数，则实数a 的值为________.变式2：设函数f(x)=1)1ln(1222+++++x x x x ）（的最大值为M ，最小值为N ，试确定M+N 的值变式3：函数())lnf x kx =的图象不可能是（ ）A． B ．C ．D ．例5：已知，，则（ ） A ． B ． C ． D ．例6：已知函数2111)(x x x f +-+=，则满足f （x －1）<⎪⎭⎫ ⎝⎛31f 的x 取值范围是（ ） A ．11(,)33- B ．]31,31[- C ．24(,)33D ．]34,32[课后作业：1、已知函数f(x)=xxa a 22+-是奇函数,则f(a)的值等于( )A.-31B.3C.-31或3D.31或32、（2022年华美月考，多选）已知函数()1212xxf x -=+，())lg g x x =，则（ ）A ．函数()f x 为偶函数B ．函数()g x 为奇函数C ．函数()()()F x f x g x =+在区间[]1,1-上的最大值与最小值之和为01()1f x x x=+-()2f a =()f a -=4-2-1-3-D ．设()()()F x f x g x =+，则()()210F a F a +--<的解集为()1,+∞ 3、(2019·金版创新)已知函数f (x )是奇函数，g (x )＝f (x )＋21＋2x ，x ∈(－1,1)，则g ⎪⎭⎫⎝⎛21＋g ⎪⎭⎫⎝⎛21-的值为________． 4、(2019·海淀联考)已知函数f (x )＝2x－12x ＋1.(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)判断并证明f (x )在其定义域上的单调性；(3)若f (k ·3x)＋f (3x－9x＋2)<0对任意x ≥1恒成立，求实数k 的取值范围．专题：利用常见函数的奇偶性解题典型例题： 例1：【答案】（1）奇函数（2）（-1，1） 【解析】(1)()f x 的定义域为R ．又()()11111111xxx x xxa a a f x f x a aa ------====-+++，所以()f x 为奇函数． （2）11211,2120<+-<-∴<+<x x a a ，即值域为（-1，1） 变式：【答案】（∞+-，21） 【解析】0313113132131321313)()(=+-++-=-+-+++-=-+--xxx x x x x x x x x f x f 所以x x f x x 21313)(++-=为奇函数，因为1313)(+-=x x x f 在定义域上单调递增，又f(x)=2x 在定义域上单调递增，所以x x f xx 21313)(++-=在定义域上是增函数 2123)23()(->⇒-->⇒-->∴a a a a f a f例2：【答案】B 【解析】依题意，注意到函数的定义域是}0|{≠∈x R x ，且)()()(22x f xe e x e e xf x x x x -=--=--=---，因此)(x f 是奇函数，其图象关于原点成中心对称，选项A 不正确，且当x>0时，)(x f >0,选项D 不正确，又+∞→+∞→)(,x f x ，结合选项知B 正确，故选B变式：【答案】]21,1[-【解析】函数f (x )＝e x－1e x 是常见的奇函数，且在定义域内是单调递增的，因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0a a a f a f a f -≤⇒-=--≤∴12)1()1()2(22解得：211≤≤-a例3：【答案】奇函数【解析】由条件知：函数的定义域为11<<-x 关于原点对称 所以f(x)+f(-x)=lgx x +1-1+lg x x -+11=0，即函数f(x)是奇函数，同理f(x)=lg xx-+11也是奇函数 例4：【答案】奇函数【解析】由条件知：函数的定义域为R 关于原点对称 所以f(x)+f(-x)=lg(x x ++12)+lg(x x -+12)=lg1=0即函数f(x)是奇函数，同理f(x)=lg(）x x -+12也是奇函数变式1：【答案】1【解析】由条件知：奇函数的定义域要关于原点对称，所以分母1-≠x ，为了对称，分子a=1变式2：【答案】2【解析】由已知得1)1ln(21)(22+++++=x x x x x f 因为)1ln())(1)(ln(22x x x x ++-=-++-，所以)1ln(2x x y ++=是奇函数，进而可判定，函数1)1ln(2)(22++++=x x x x x g 为奇函数，则)(x g 的最大值1M 和最小值1N ，满足1M+1N =0，因为1,111+=+=N N M M ，所以M+N=2变式3：【答案】C 【解析】因为A,B 选项中，图像关于原点对称，所以f(x)为奇函数，f(x)+f(-x)=0 1010)1ln()1ln(2222±=⇒=-⇒=+++-+k x k kx x kx x ）（即当K=1时，f(x)的图像为选项A,当K=-1时，f(x)的图像为选项B 而C,D 选项中，图像关于Y 轴对称，所以f(x)为偶函数，f(x)=f(-x)00)1ln()1ln(22=⇒=⇒++=-+k kx kx x kx x 即当K=0时，0)(≥x f 故f(x)的图像为选项D ，故f(x)的图像不可能为C例5：【答案】A 【解析】设xx x f x g 11)()(+=+=则)(1)()(x g x f x g -=+-=-，所以)(x g 是奇函数，31)()(=+=a f a g 因为)(x g 是奇函数，所以31)()(-=+-=-a f a g 所以4)(-=-a f ，故选A例6：【答案】C 【解析】函数2111)(xx x f +-+=在[)∞+，0上为增函数，所以不等式f （x －1）<⎪⎭⎫ ⎝⎛31f 等价为 f （|x －1|）<⎪⎭⎫ ⎝⎛31f 所以|x －1|）<31⇒3432<<x课后作业：1、【答案】C 【解析】因为函数f(x)=x xa a 22+-是奇函数，所以f(-x)=-f(x)整理得：02,02)22(2122>=-=+-x x x x a a a 因为））（（，所以1±=a 代入选C2、【答案】BCD 【解析】函数xx x f 2121)(+-=是奇函数，所以A 错，函数g(x)=lg ）x x -+12是奇函数，所以B 正确，．函数()()()F x f x g x =+在区间[]1,1-上是奇函数，在对称区间上，最大值最小值之和为0，C 正确;是减函数xx f 2121)(++-=,010ln 11)()1lg()(2'2<+-=⇒-+=x x g x x x g 故F （x ）=f(x)+g(x)是减函数，a a a F a F a F a F +>⇒+<⇒<--+12)1()2(0)1()2(所以1>a ，D 正确3、【答案】2【解析】函数)(x f 是奇函数，所以0)21()21(=+-f f ，令xx h 212)(+=，则22112212)21()21(=+++=-+h h ，所以g ⎪⎭⎫ ⎝⎛21＋g ⎪⎭⎫ ⎝⎛21-=2 4、【答案】（1）奇函数（2）在R 上单调递增函数（3）），（34∞-【解析】略。
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高三数学第一轮复习讲义（49）
直线与圆的位置关系
一．复习目标：
1．掌握圆的标准方程及一般式方程，理解圆的参数方程及参数θ的意义，能根据圆的方程熟练地求出圆的圆心和半径；能熟练地对圆的方程的各种形式进行相互转化。
2．掌握直线与圆的位置关系，会求圆的切线方程，公共弦方程及等有关直线与圆的问题。
3．渗透数形结合的数学思想方法，充分利用圆的几何性质优化解题过程。
二．主要知识：
1．圆的标准方程： ；
圆的一般方程： ；
圆的参数方程： 。
2．直线与圆的位置关系判断的两种方法：
代数方法： ；几何方法： ；
3．弦长的计算方法：代数方法： ；几何方法： ；
三．基础训练：
1．方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是 （ ）
()A 2a <- ()B 203a -<< ()C 20a -<< ()D 223
a -<< 2．直线y x m =-+与圆221x y +=在第一象限内有两个不同交点，则m 的取值范围是 （ ）
()A 0m << ()B 1m < ()C 1m ≤≤ ()D m <<3．圆22
2690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是 （ ） ()A 22(7)(1)1x y +++= ()B 22(7)(2)1x y +++=
()C 22(6)(2)1x y +++= ()D 22(6)(2)1x y ++-=
4．设M 是圆22
(5)(3)9x y -+-=上的点，则M 点到直线3420x y +-=的最短距离是 。
5．若曲线1y =(22)x -≤≤与直线(2)4y k x =-+有两个交点时，则实数k 的取值范围是____ __。
四．例题分析：
例1．求满足下列各条件圆的方程：
（1）以)9,4(A ，)3,6(B 为直径的圆； （2）与,x y 轴均相切且过点(1,8)的圆；
（3）求经过)2,5(A ，)2,3(-B 两点，圆心在直线32=-y x 上的圆的方程。
例2．已知直线:2830L mx y m ---=和圆22:612200C x y x y +-++=；
（1）m R ∈时，证明L 与C 总相交。
（2）m 取何值时，L 被C 截得弦长最短，求此弦长。
例3．已知圆221:2280C x y x y +++-= 与222:210240C x y x y +-+-= 相交于
,A B 两点，
（1）求公共弦AB 所在的直线方程； （2）求圆心在直线y x =-上，且经过,A B 两点的圆的方程；
（3）求经过,A B 两点且面积最小的圆的方程。
五．课后作业： 班级 学号 姓名
1．已知曲线22220(40)x y Dx Ey F D E F +-+-=++>关于直线0x y +=对称，则（ ）
()A 0D E -= ()B 0D E += ()C 0D F += ()D 0D E F ++=
2．两圆为：2222(2)16;(1)(4)1x y x y -+=++-=，
则 （ ） ()A 两圆的公共弦所在的直线方程为34140x y -+=
()B 两圆的内公切线方程为34140x y -+=
()C 两圆的外公切线方程为34140x y -+=
()D 以上都不对
3．已知点(,)(0)M a b ab ≠是圆222:C x y r +=内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程是2ax by r +=，那么 （ ）
()A //l m 且m 与圆C 相切 ()B l m ⊥且m 与圆C 相切
()C //l m 且m 与圆C 相离 ()D l m ⊥且m 与圆C 相离
4．若半径为1的动圆与圆22
4x y +=相切，则动圆圆心的轨迹方程是 。
5．圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++=的点共有 个。
6．已知曲线22:2(410)10200C x y kx k y k ++++++=，其中1k ≠-；
（1）求证：曲线C 都是圆，并且圆心在同一条直线上；
（2）证明：曲线C 过定点；（3）若曲线C 与x 轴相切，求k 的值；
7．设圆上的点(2,3)A 关于直线20x y +=的对称点仍在圆上，且与直线0x y y -+=相
交的弦长为
8．过点(2,3)P --作圆22:(4)(2)9C x y -+-=的两条切线，切点分别为,A B ；求：
（1）经过圆心C ，切点,A B 这三点圆的方程；（2）直线AB 的方程；（3）线段AB 的长。