完全平方公式
完全平方公式
第五节 完全平方公式【知识要点】1．完全平方公式(a+b)2=a 2+2ab+b2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2特点：两个公式的左边都是一个二项式的完全平方，仅有一个符号不同；右边都是二次三项式，其中第一项与第三项是公式左边二项式中的一项的平方；中间一项是二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个符号不同.注意：公式中的a 、b 可以是数,也可以是单项式或多项式.2．完全平方公式的变形及推广：（1）()()[]()222b a b a b a +=+-=--； ()()[]()222b a b a b a -=--=+-； （2）()()22a b b a -=+-； ()()[]22c b a c b a +-=--； （3）()()ab b a ab b a b a 222222+-=-+=+； ()()ab b a b a 422-+=- 【典型例题】例1. 用完全平方公式计算(1)（3a+b ）2 (2) (-x+3y)2(3) (x-3y)2 (4) (5x-3y)2(5) 22)121(-x (6) (x+)2例2. 利用完全平方公式计算（1）1022 （2） 1972 （3） 9952 （4）452例3. 计算(看谁的方法更快更好！)(1)(2x-3y)2(2x+3y)2 (3) (x-y)(x+y)(x 2-y 2)* (2) (a-2b+3c)(a-3c-2b) * (4) (a+b+c)2例4．若2226100x x y y ++-+=，试求x ，y 的值.例5．已知：3,1a b ab +==，求 ①22a b + ②2()a b - ③22ab a b + ④11a b + ⑤b a a b+1．要使4x 2+mx+成为一个两数的和的完全平方式，则（ ）A.m=-2B.m=2C.m=1D.m=-12.若x 2+ax=(x+)2+b ，则a,b 的值是（ ） A.a=1,b= B.a=1,b=- C.a=2,b= D.a=0,b=-3.要使(a-b)2+M=(a+b)2成立，代数式M 应是（ ）A.2abB.-2abC.-4abD. 4ab4.若x 2+y 2=(x-y)2+p=(x+y)2-Q,则P ，Q 分别为（ ）A.P=2xy,Q=-2xyB. P=-2xy,Q=2xyC. P=2xy,Q=2xyD. P=-2xy,Q=2xy5.若m ≠n,下列等式中：(m-n)2=(n-m)2, (m+n)(m-n)=(-m-n)(-m+n), (m-n)2=-(n-m)2, (-m-n)2=-(m-n)2,其中错误的有（ ）A.1个B. 2个C.3个D.4个6.如果a+=3,则a 2+=( )A.5B.7C.9D.117.若x+y=3,x-y=1,则xy=8．（2a+3b ）2=4a 2+ +9b 2 (a+ )2=a 2+ +(a+b)2- =a 2+b 2 (a-b)2=(a+b)2 4ab9．已知：224250a b a b ++-+=则a b a b+-= * 10．15,a a +=则4221a a a++= 11. 已知(a+b)2=7,(a-b)2=4,求a 2+b 2和ab 的值.12．已知x+y=4，xy=－12求下列各代数式的值.（1）22x y + （2）22x y xy + （3）2()x y - （4）y x x y+1． 计算：（1） (-a-2b)2（2） (x+2y)2（3） -(5x-2y)2（4） (2x-3y)(2x-3y)2．如果2249x mxy y ++是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A ．6B ．±6C ．12D ．±123．已知2216x ax ++是一个完全平方式，则a 的值等于（ ） A ．8 B ．4 C ．±4 D ．±84．已知则014642222=+-+-++z y x z y x z y x ++的值为5. 计算：（1）5012 （2）99.82 (3) 9926. 利用完全平方公式计算： 221.23450.7655 2.4690.7655++⨯7. 已知a+b=3,ab=-12,求下列各式的值:(1) a 2+b 2 (2) a 2-ab+b2 (3) (a-b)2。
完全平方公式
完全平方公式 的图形理解
两数和的完全平方公式：
b a
ab
b²
(a+b)²
a²
2
ab
a b a + 2ab+ b
2
a
b
2
完全平方公式 的图形理解
两数差的完全平方公式： b a ab (a-b)²
2
b2
(a+b)²
ab b
(a b)
括到括号里的各项都改 变符号。
练一练
• 在下列括号内填上适当的项，使等式成立。 1) (x+2y-3)(x-2y+3) 2y-3 2y-3 =[x+(____)][x-(____)] 2) (2x-y-z)(2x+y-z) 2x-z 2x-z =[(____)-y][(____)+y]
算一算
• (x-3y+2)(x+3y-2)
例题
• 甲、乙两家商店在9月份的销售额为a万元，在 10月和11月这两个月中，甲商店的销售额平均 每月增长x%，乙商店的销售额平均每月减少x%， 问11月份甲商店的销售额比乙商店的销售额多 多少万元？ 甲店销售额 乙店销售额
a(1+x%)2 a(1-x%)2
a ab ab b 2 2 a 2ab b
2
a
2
例题1
(1) (3)
2 (2x+3y)
(2) (4)
2 (6x-5)
2 (-2x+y)
2 (-3x-2y)
例2 巧算
1) 1022 2) 9.82
判断并改正
(a b) a b
完全平方和平方差公式
平方差公式和完全平方公式（一）平方差公式是先平方再减a²-b²= (a+b)(a-b)。
（二）完全平方公式是先加减最后是平方(a±b)²=a²±2ab+b²。
（三）平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这一公式的结构特征：（四）左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方差。
公式中的字母可以表示具体的数(正数和负数)，也可以表示单项式或多项式等代数式。
（五）该公式需要注意：1.公式的左边是个两项式的积，有一项是完全相同的。
2.右边的结果是乘式中两项的平方差，相同项的平方减去相反项的平方。
3.公式中的a，b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。
完全平方公式指两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
为了区别，会叫做两数和的完全平方公式，或叫做两数差的完全平方公式。
这个公式的结构特征：1.左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2.左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）。
公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式。
（六）该公式需要注意：1.左边是一个二项式的完全平方。
2.右边是二项平方的和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a和b 可是数，单项式，多项式。
3.不论是(a+b)2还是(a-b)2，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。
4.不要漏下一次项。
5.切勿混淆公式。
6.运算结果中符号不要错误。
7.变式应用难，不易于掌握。
完全平方公式
完全平方公式完全平方公式是学习数学中的一个重要定理，它能够帮助我们快速求解二次方程的根。
在本文档中，我们将解释完全平方公式的原理，并给出一些例子。
定义在代数学中，完全平方是指一个数可以写成另一个数的平方。
完全平方公式是通过将二次方程转化为一个完全平方的形式，以便更轻松地求解该方程的根。
公式对于二次方程ax2+bx+c=0，其中a,b,c是实数且a eq0，完全平方公式可表示为：$$ x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$公式中的$\\pm$ 表示可以取正号或负号，因此，二次方程的解可以有两个根，分别对应取正号和负号。
推导过程为了推导完全平方公式，我们先从一个完全平方的观点入手。
假设有一个完全平方(x+p)2，则展开得到：(x+p)2=x2+2px+p2如果我们将二次方程的通项表示成完全平方的形式，即ax2+bx，那么我们需要寻找一个p，使得2px=bx，然后再等式两边加上常数p2，这样就能得到完全平方公式的形式。
为了寻找p的值，我们可以观察下面的等式：$$ 2px = bx \\Rightarrow 2p = b \\Rightarrow p = \\frac{b}{2} $$将这个解代入(x+p)2，得到：$$ (x + \\frac{b}{2})^2 = x^2 + bx + \\frac{b^2}{4} $$现在我们已经得到了完全平方公式，最后一步是将常数项c纳入考虑。
为此，我们将等式右边的 $\\frac{b^2}{4}$ 替换为c，得到完全平方公式的最终形式：$$ x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$示例让我们通过几个例子来演示完全平方公式的应用。
例子1：求解x2+6x+9=0根据完全平方公式，我们可以找到a=1，b=6，c=9。
将这些值代入公式：$$ x = \\frac{-6 \\pm \\sqrt{6^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 9}}{2 \\cdot 1} $$简化后得到：$$ x = \\frac{-6 \\pm \\sqrt{36 - 36}}{2} = \\frac{-6}{2} = -3 $$因此，该二次方程的解为x=−3，它是一个重根。
因式分解(完全平方公式)
完全平方公式的形式
1 一般形式
对于平方三项式\(ax^2 + bx + c\)，完全平方公式的形式为\((mx + n)^2\)。
2 m和n的计算
通过比较系数，我们可以确定m和n的值。具体计算步骤在下个部分介绍。
完全平方公式的用途
1 求解方程
通过因式分解和完全平方公式，我们可以解决一些复杂的二次方程。
因式分解(完全平方公式)
因式分解是将一个多项式拆分成两个或多个全新的多项式的过程。完全平方 公式是因式分解中的一种重要工具，用于拆分平方三项式。
因式分解概述
因式分解是一种数学方法，用于将多项式拆分成简化形式。它有助于解决复杂的数学问题，并提 供更深入的理解。
完全平方公式 (简介)
完全平方公式是因式分解中的一种特殊形式。它适用于拆分平方三项式，并 帮助我们轻松地进行因式分解。
金融问题
在金融领域，完全平方公式可以帮助我们计算和分析复杂的财务模型。
结论和要点
完全平方公式是因式分解中一种重要的工具，它适用于拆分平方三项式。它 可以用于解决方程，简化表达式，并应用于几何学、物理学和金融学等领域。
2 简化表达式
将多项式使用完全平方公式进行因式分解可以简化表达式，使其更易处理和计算。
完全平方公式示例
示例一
将\(x^2 + 6x + 9\)使用完全平方公式进行因式 分解。
示例二
将\(4x^2 - 4x + 1\)使用完全平方公式进行因式 分解。
完全平方公式计算步骤
1
Step 1
将多项式按照平方三项式的形式排列。
2
Step 2
确定m和n的值，使得(mx + n)^2等于原始多项式。
完全平方公式
完全平方公式具体来说，完全平方公式可以用于求解形如ax^2 + bx + c = 0的一元二次方程的解。
首先，我们来推导完全平方公式。
考虑一元二次方程ax^2 + bx + c = 0。
为了将其表示成一个平方的形式，我们可以将x的系数b除以2，并进行平方。
这样，我们得到(x + b/2a)^2展开得到(x+b/2a)^2=x^2+(b/2a)x+(b/2a)^2比较上式与原方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以看到，如果c可以表示为(b/2a)^2，那么方程就变成了一个平方。
因此，我们可以得到完全平方公式：ax^2 + bx + c = a(x + b/2a)^2 - (b/2a)^2 + c。
根据这个公式，我们可以将一元二次方程表示成一个完全平方形式。
接下来，我们来研究如何使用完全平方公式来解一元二次方程。
假设我们有一个一元二次方程ax^2 + bx + c = 0。
我们可以使用完全平方公式将其表示成(mx + n)^2 = 0的形式。
并且，根据等式的性质，我们可以得到mx + n = 0，进一步得到x = -n/m。
因此，我们可以得到一元二次方程的根的公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
这就是我们通常所说的一元二次方程的根的公式。
通过这个公式，我们可以很方便地求解一元二次方程的根。
此外，完全平方公式也可以用于其他应用，如配方法、求和方法等。
在数学中，我们常常利用完全平方公式来简化计算和求解问题。
总结起来，完全平方公式是将一个一元二次多项式表示成一个平方的形式的公式。
通过完全平方公式，我们可以方便地求解一元二次方程的根。
此外，完全平方公式还有其他应用。
对于学习和理解一元二次方程以及相关数学问题具有重要的意义。
完全平方公式讲解
完全平方公式讲解完全平方公式是一种求解二次方程的方法，通常用于解决含有未知数的平方项和一次项的方程。
这个公式的公式表达形式为：$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$完全平方公式在数学中具有广泛的应用，可以用来解决一元二次方程、分解因式、证明等问题。
首先，我们可以考虑一个特殊的二次多项式：$$(x+a)^2$$这里，a 是一个常数。
根据分配律，我们可以展开该二次多项式：$$(x+a)(x+a)=x^2+ax+ax+a^2$$合并相同项得到：$$x^2+2ax+a^2$$我们可以观察到，这个二次多项式中的平方项（$x^2$）和常数项（$a^2$）是完全平方的结构。
而一次项的系数项（$2ax$）是两个a的乘积的两倍。
这就是所谓的完全平方。
根据以上的推导，我们得出了完全平方的一般形式。
接下来，我们将利用完全平方公式来解决一元二次方程的问题。
对于一元二次方程$$ax^2+bx+c=0$$其中a、b、c是已知实数常数。
我们将该方程两边移项，并利用一种变形技巧，将方程转化为完全平方的形式。
具体步骤如下：1. 将方程两边移项，使等式右边等于0，得到$$ax^2+bx=-c$$2.对于方程的左边，我们将其利用完全平方公式进行变形。
如果我们能找到一个常数k，使得左边可以变为$(x+k)^2$的形式，那么我们就可以利用完全平方公式直接求解。
3. 考虑到$(x+k)^2=x^2+2kx+k^2$，我们可以发现，当$b=2k$时，方程的左边可以写成完全平方形式。
4. 所以，我们可以得到方程$$ax^2+2kx+k^2=-c$$5.然而，我们不能直接将方程的右边变为k的平方形式，因为我们无法确切地知道k的值。
所以，我们需要做一个额外的变形。
6. 我们可以再次考虑方程的两边，得到$$ax^2+2kx+k^2+c=0$$7.现在，我们成功地将方程转化为一个完全平方的形式。
进一步观察，我们可以发现，左边的二次项是$x^2$的系数与$a$的乘积，一次项是$x$的系数与$2k$的乘积，常数项则是$k^2+c$。
完全平方公式讲解
完全平方公式讲解完全平方（perfectsquare）公式是数学中最重要的公式之一，它可以用于快速解决许多数学问题的解法。
它的用处非常广泛，由于它的实用性，它被广泛应用于学校，大学，实验室和工作岗位中。
完全平方公式有三种基本形式：一是把一个根号中的式子化简为一个完全平方；二是将一个简单的数学表达式转换为另一个完全平方；三是将一个复杂的数学表达式化简为一个完全平方。
首先，要讲解完全平方公式，先来讲解求根数的完全平方形式。
这种情况下，要求根数是将一个数x开方，例如求根162，就是求x=162的根号，其公式的形式为：y=a^2+bx+c由此可得：y=(a-b)^2 + 2ab + c，a,b,c是常数。
若要求根数，要满足 y=a^2+bx+c=0，那么可以得到x=(-b+(b^2-4ac))/2a，此就可以得到x的值，也就是我们要求的根数。
其次，要解释完全平方公式，要讲解如何将一个简单的数学表达式转换成另一个完全平方的形式。
以熟悉的表达式y= ax^2+ bx+ c为例，如果要将它化简成完全平方的形式，可以这样做：令y=(ax+b)^2+c，y=a^2x^2+2axb+b^2+ c，令a^2=d，d减去b^2就是c的值，最后可以得到y=(ax+b)^2+d-b^2，也就是常见的完全平方形式。
最后，要讲解完全平方公式，要讲解如何将一个复杂的数学表达式化简为完全平方。
在这种情况下，我们通常会使用一些数学方法，根据原数学表达式的结构，把它分解分解成多个部分，每一部分作为一个完全平方求解，最后把这些部分综合起来，就可以得到一个完全平方的表达式。
总之，完全平方公式是一种非常有用的数学工具，它可以帮助我们快速解决许多数学问题。
通过对它的正确使用，我们可以提高我们的解题能力，从而获得更好的成绩。
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1.6完全平方公式(1)
一、 探索归纳：
一块边长为a 米的正方形实验田，因需要将其边长增加b 米，形成四块实验田，以种植不同的新品种.（如图）
b
用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较
你发现了什么？ a
a b
观察得到的式子，想一想：
（1）（a+b ）2等于什么？你能不能用多项式乘法法则说明理由呢？
（2）（a-b ）2等于什么？小颖写出了如下的算式：
（a —b ）2=[a+（—b ）]2.
她是怎么想的？你能继续做下去吗？
由此归纳出完全平方公式：
（a+b ）2=a 2+2ab+b 2
（a —b ）2=a 2—2ab+b 2
二、例题
例：（利用完全平方公式计算）
（1）（2x-3）
2
一、 随堂练习：
1、下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算
（1）()()c a b a ++ （2）()()x y y x +-+
（3）()()ab x x ab +--33 （4）()()n m n m +--
2、计算下列各式：
（1）()()b a b a 7474++ （2）()()n m n m +--22 （3）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫
⎝⎛+b a b a 21312131
（4）()()x x 2525++- （5）
()()
233222--a a
（6）()()33221221----+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛+x x x x
4、填空：
（1）()()=++y x y x 3232 （2）()()1816142++=-a a a
（3）()9_________49137122++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ab
1.7完全平方公式（2）
一、课前复习：
1、算下列各题：
1、2)(y x +
2、2)23(y x -
3、2)2
1(b a + 4、2)12(--t
5、2)313(c ab +
- 6、2)2332(y x + 7、2)12
1(-x
二、新课讲解：
1、例：利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）197
2
2、练习：利用完全平方公式计算：（1）982 （2）203
2
3、例：计算：（1）22)
3(x x -+ （2）22)(y x y +-
三、随堂练习：
计算：（1）)4)(1()3)(3(+---+a a a a （2）22)1()
1(--+xy xy
（3）)4)(12(3)32(2+--+a a a （4）)3)(3(+---b a b a。