高考数学三轮冲刺：三角函数课时提升训练(5)(含答案)

合集下载

2021年高考数学三轮冲刺训练解三角形(含解析)

解三角形高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活 , 题型多变 , 往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理 , 以解答题的形式综合考查定理的综合应用 , 多与三角形周长、面积有关 ; 有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查 , 试题难度控制在中等或以下 , 主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．1.正、余弦定理在△ABC 中 , 假设角A , B , C 所对的边分别是a , b , c , R 为△ABC 外接圆半径 , 那么定理正弦定理余弦定理公式a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ;b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ; c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 常见变形 (1)a ＝2R sin A , b ＝2R sin B , c ＝2R sin C ; (2)sin A ＝a 2R , sin B ＝b 2R , sin C ＝c2R;(3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶s in B ∶sin C ;(4)a sin B ＝b sin A , b sin C ＝c sin B , a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ;cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ;cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径) , 并可由此计算R , r .3.在△ABC 中 , 已知a , b 和A 时 , 解的情况如下 :A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sinb sin A a <a <ba ≥ba >ba ≤b解的个数一解两解一解一解无解4.判定三角形形状的两种常用途径(1)化角为边 : 利用正弦定理、余弦定理化角为边 , 通过代数恒等变换 , 求出边与边之间的关系进行判断;(2)化边为角 : 通过正弦定理和余弦定理 , 化边为角 , 利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断;一、利用正弦定理可解决两类问题基本类型一般解法已知两角及其中一角的对边 , 如A , B , a ①由A＋B＋C＝180° , 求出C ;②根据正弦定理 , 得asin A＝bsin B及asin A＝csin C, 求出边b , c已知两边及其中一边所对的角, 如a, b , A ①根据正弦定理 , 经讨论求B ;②求出B后 , 由A＋B＋C＝180° , 求出C ;③再根据正弦定理asin A＝csin C, 求出边c.[提醒] 也可以根据余弦定理 , 列出以边c为元的一元二次方程c2－(2b cos A)c＋(b2－a2)＝0 , 根据一元二次方程的解法 , 求边c , 然后应用正弦定理或余弦定理 , 求出B , C二、利用余弦定理可解决两类问题已知两边和它们的夹角, 如a , b , C ①根据余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C , 求出边c ;②根据cos A＝b2＋c2－a22bc, 求出A ;③根据B＝180°－(A＋C) , 求出B.求出第三边后 , 也可用正弦定理求角 , 这样往往可以使计算简便 , 应用正弦定理求角时 , 为了避开讨论(因为正弦函数在区间(0 , π)上是不单调的) , 应先求较小边所对的角 , 它必是锐角已知三边可以连续用余弦定理求出两角 , 常常是分别求较小两边所对的角 , 再由A＋B＋C＝180° , 求出第三个角 ;由余弦定理求出一个角后 , 也可以根据正弦定理求出第二个角 , 但仍然是先求较小边所对的角.1、在△ABC中 , cos C=23, AC=4 , BC=3 , 那么cos B=A ．19B ．13C ．12D ．23【答案】A 【解析】在ABC 中 , 2cos 3C =, 4AC = , 3BC = , 根据余弦定理 : 2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅ ,2224322433AB =+-⨯⨯⨯, 可得29AB = , 即3AB = ,由22299161cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯ ,故1cos 9B =.应选 : A ． 2、在ABC △中 , 5cos25C =, 1BC = , 5AC = , 那么AB = A ．42 B ．30 C ．29D ．25【答案】A【解析】因为2253cos 2cos 121,255C C ⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭所以22232cos 12521532425AB BC AC BC AC C AB ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭，则 , 应选A.3、ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a , b , c , 假设ABC △的面积为2224a b c +- ,那么C =A ．π2B ．π3 C ．π4D ．π6【答案】C【解析】由题可知2221sin 24ABCa b c S ab C +-==△ , 所以2222sinC a b c ab +-= , 由余弦定理2222cos a b c ab C +-= , 得sin cos C C = , 因为()0,πC ∈ , 所以π4C = , 应选C.4、如下列图 , 在三棱锥P –ABC 的平面展开图中 , AC =1 , 3AB AD == , AB ⊥AC , AB ⊥AD ,∠CAE =30° , 那么cos ∠FCB =______________.【答案】14-【解析】AB AC ⊥ , 3AB = , 1AC = ,由勾股定理得222BC AB AC =+= ,同理得6BD = , 6BF BD ∴== ,在ACE △中 , 1AC = , 3AE AD == , 30CAE ∠= , 由余弦定理得22232cos301321312CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯⨯⨯= , 1CF CE ∴== ,在BCF 中 , 2BC = , 6BF = , 1CF = ,由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯.故答案为 : 14-. 5、ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .假设π6,2,3b ac B ===, 那么ABC △的面积为_________．【答案】63【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+- , 所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯= , 即212c = ,解得23,23c c ==-〔舍去〕 ,所以243a c == , 113sin 43236 3.222ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△ 6、ABC △中 , sin 2A －sin 2B －sin 2C = sin B sin C ．〔1〕求A ;〔2〕假设BC =3 , 求ABC △周长的最大值．【解析】〔1〕由正弦定理和已知条件得222BC AC AB AC AB --=⋅ , ① 由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅ , ② 由① , ②得1cos 2A =-. 因为0πA << , 所以2π3A =. 〔2〕由正弦定理及〔1〕得23sin sin sin AC AB BCB C A=== , 从而23sin AC B = , 23sin(π)3cos 3sin AB A B B B =--=-. 故π33sin 3cos 323sin()3BC AC AB B B B ++=++=++. 又π03B <<, 所以当π6B =时 , ABC △周长取得最大值323+. 7、在△ABC 中 , 角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 已知3,2,45a c B ===︒．〔1〕求sin C 的值 ;〔2〕在边BC 上取一点D , 使得4cos 5ADC ∠=- , 求tan DAC ∠的值．【解析】〔1〕在ABC △中 , 因为3,2,45a c B ===︒ ,由余弦定理2222cos b a c ac B =+- , 得292232cos455b =+-⨯⨯︒= , 所以5b =.在ABC △中 , 由正弦定理sin sin b cB C=, 得52=sin 45sin C︒ , 所以5sin .5C =〔2〕在ADC △中 , 因为4cos 5ADC ∠=-,所以ADC ∠为钝角 ,而180ADC C CAD ∠+∠+∠=︒,所以C ∠为锐角. 故225cos 1sin ,5C C =-=那么sin 1tan cos 2C C C ==. 因为4cos 5ADC ∠=- , 所以23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠= , sin 3tan cos 4ADC ADC ADC ∠∠==-∠.从而31tan()242tan tan(180)tan()===311tan tan 111()42ADC C ADC ADC C ADC C ADC C -+∠+∠∠=︒-∠-∠=-∠+∠---∠⨯∠--⨯.8、在ABC △中 , 角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知22,5,13a b c ===．〔Ⅰ〕求角C 的大小 ; 〔Ⅱ〕求sin A 的值 ; 〔Ⅲ〕求πsin(2)4A +的值．【解析】〔Ⅰ〕在ABC △中 , 由余弦定理及22,5,13a b c === , 有2222cos 22a b c C ab +-==．又因为(0,π)C ∈ , 所以π4C =．〔Ⅱ〕在ABC △中 , 由正弦定理及π,22,134C a c === , 可得sin 213sin 13a C A c ==．〔Ⅲ〕由a c <及213sin 13A =, 可得2313cos 1sin 13A A =-= , 进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 11313A A A A A ===-=．所以 , πππ12252172sin(2)sin 2coscos 2sin 44413213226A A A +=+=⨯+⨯=． 9、在锐角△ABC 中 , 角A , B , C 所对的边分别为a , b , C ．已知2sin 30b A a -=．〔Ⅰ〕求角B 的大小 ;〔Ⅱ〕求cos A +cos B +cos C 的取值范围．【解析】〔Ⅰ〕由正弦定理得2sin sin 3sin B A A = , 故3sin 2B = , 由题意得π3B =. 〔Ⅱ〕由πA B C ++=得2π3C A =- , 由ABC △是锐角三角形得ππ(,)62A ∈.由2π13cos cos()cos sin 322C A A A =-=-+得 311π1313cos cos cos sin cos sin()(,]2226222A B C A A A +++=++=++∈. 故cos cos cos A B C ++的取值范围是313(,]22+. 10、ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a , b , c , 设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．〔1〕求A ;〔2〕假设22a b c += , 求sin C ．【答案】〔1〕60A ︒= ; 〔2〕62sin 4C +=.【解析】〔1〕由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-= , 故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==．因为0180A ︒︒<< , 所以60A ︒=．〔2〕由〔1〕知120B C ︒=- ,由题设及正弦定理得()2sin sin 1202sin A C C ︒+-= ,即631cos sin 2sin 222C C C ++= , 可得()2cos 602C ︒+=-．由于0120C ︒︒<< , 所以()2sin 602C ︒+=, 故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos 60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+624+=． 11、△ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 已知sinsin 2A Ca b A +=．〔1〕求B ;〔2〕假设△ABC 为锐角三角形 , 且c =1 , 求△ABC 面积的取值范围．【答案】〔1〕B =60° ; 〔2〕33(,)82. 【解析】〔1〕由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=．因为sin A ≠0 , 所以sinsin 2A CB +=．由180A BC ︒++= , 可得sincos 22A C B += , 故cos 2sin cos 222B B B=．因为cos02B ≠ , 故1sin 22B = , 因此B =60°．〔2〕由题设及〔1〕知△ABC 的面积34ABC S a =△．由正弦定理得()sin 120sin 31sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形 , 故0°<A <90° , 0°<C <90° , 由〔1〕知A +C =120° , 所以30°<C <90° , 故122a << , 从而3382ABC S <<△．因此 , △ABC 面积的取值范围是33,82⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．12、在△ABC 中 , a =3 , b −c =2 , cos B =12-．〔1〕求b , c 的值 ; 〔2〕求sin 〔B –C 〕的值．【答案】〔1〕7b = , 5c = ; 〔2〕437. 【解析】〔1〕由余弦定理2222cos b a c ac B =+- , 得22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭.因为2b c =+ ,所以2221(2)3232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭. 解得5c =. 所以7b =. 〔2〕由1cos 2B =-得3sin 2B =.由正弦定理得53sin sin 14c C B b ==. 在ABC △中 , ∠B 是钝角 , 所以∠C 为锐角.所以211cos 1sin 14C C =-=. 所以43sin()sin cos cos sin 7B C B C B C -=-=. 13、在ABC △中 , 内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知2b c a += ,3sin 4sin c B a C =．〔1〕求cos B 的值 ; 〔2〕求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值．【答案】〔1〕14-; 〔2〕35716+-. 【解析】〔1〕在ABC △中 , 由正弦定理sin sin b cB C= , 得sin sin b C c B = , 又由3sin 4sin c B a C = , 得3sin 4sin b C a C = , 即34b a =．又因为2b c a += , 得到43b a =, 23c a =．由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅．〔2〕由〔1〕可得215sin 1cos 4B B =-=, 从而15sin 22sin cos 8B B B ==-, 227cos 2cos sin 8B B B =-=- , 故15371357sin 2sin 2cos cos 2sin 666828216B B B πππ+⎛⎫+=+=-⨯-⨯=-⎪⎝⎭． 14、在ABC 中 , 11a b += , 再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知 , 求 :〔Ⅰ〕a 的值 :〔Ⅱ〕sin C 和ABC 的面积．条件① : 17,cos 7c A ==-; 条件② : 19cos ,cos 816A B ==．注 : 如果选择条件①和条件②分别解答 , 按第一个解答计分．【解析】选择条件①〔Ⅰ〕17,cos 7c A ==-，11a b +=22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅-8a ∴=〔Ⅱ〕2143cos (0,)sin 1cos 77A A A A π=-∈∴=-=，由正弦定理得 : 873sin sin sin sin 2437a c C A C C =∴=∴=113sin (118)863222S ba C ==-⨯⨯=选择条件②〔Ⅰ〕19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈，223757sin 1cos ,sin 1cos 816A AB B ∴=-==-=由正弦定理得 : 116sin sin 3757816a b a a a A B -=∴=∴= 〔Ⅱ〕3795717sin sin()sin cos sin cos 8161684C A B A B B A =+=+=⨯+⨯=117157sin (116)62244S ba C ==-⨯⨯=15、在①3ac = , ②sin 3c A = , ③3c b =这三个条件中任选一个 , 补充在下面问题中 , 假设问题中的三角形存在 , 求c 的值 ; 假设问题中的三角形不存在 , 说明理由．问题 : 是否存在ABC △ , 它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c , 且sin 3sin A B = , 6C π=, ________? 注 : 如果选择多个条件分别解答 , 按第一个解答计分．【解析】方案一 : 选条件①．由6C π=和余弦定理得222322a b c ab +-=．由sin 3sin A B =及正弦定理得3a b =．于是222233223b b c b +-=, 由此可得b c =．由①3ac = , 解得3,1a b c ===．因此 , 选条件①时问题中的三角形存在 , 此时1c =．方案二 : 选条件②．由6C π=和余弦定理得222322a b c ab +-=．由sin 3sin A B =及正弦定理得3a b =．于是222233223b b c b +-=, 由此可得b c = , 6B C π== , 23A π=．由②sin 3c A = , 所以23,6c b a ===．因此 , 选条件②时问题中的三角形存在 , 此时23c =．方案三 : 选条件③．由6C π=和余弦定理得222322a b c ab +-=．由sin 3sin A B =及正弦定理得3a b =．于是222233223b b c b +-=, 由此可得b c =．由③3c b = , 与b c =矛盾．因此 , 选条件③时问题中的三角形不存在．一、单项选择题1、在ABC △中 , 假设 13,3,120AB BC C ==∠= , 那么AC =〔〕 A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】余弦定理2222?cos AB BC AC BC AC C =+-将各值代入得2340AC AC +-=解得1AC =或4AC =-(舍去)选A.2、已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c , 假设2cos cos cos b B a C c A =+ ,2b = , 那么△ABC 面积的最大值是A ．1B ．3C ．2D ．4【答案】B 【解析】由题意知60B =︒ , 由余弦定理 , 262x ππ-=, 故22424ac a c ac =+-≥- , 有4ac ≤ ,故1sin 32ABC S ac B ∆=≤. 应选 : B3、泉城广场上矗立着的〞泉标〞 , 成为泉城济南的标志和象征．为了测量〞泉标〞高度 , 某同学在〞泉标〞的正西方向的点A 处测得〞泉标〞顶端的仰角为45︒ , 沿点A 向北偏东30︒前进100m 到达点B , 在点B 处测得〞泉标〞顶端的仰角为30︒, 那么〞泉标〞的高度为〔〕A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m【答案】A 【解析】如下列图,CD 为〞泉标〞高度,设高为h 米 , 由题意,CD ⊥平面ABD ,100AB =米,60BAD ︒∠= , ,4530CAD CBD ︒∠=∠=．在CBD 中,BD 3h =,在CAD 中,AD h =,在ABD △中,3,BD h AD h == , ,100AB = , 60BAD ︒∠=,由余弦定理可得223100002100cos60(50)(100)0h h h h h ︒=+-⨯∴-+= , 解得50h =或100h =- (舍去), 应选 : B.4、在ABC ∆中 , 〞tan tan 1B C >〞是〞ABC ∆为钝角三角形〞的〔〕 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】由题意可得 , 在ABC ∆中 , 因为tan tan 1A B > , 所以sin sin 1cos cos A BA B> , 因为0,0A B ππ<<<< ,所以sin sin 0A B > , cos cos 0A B > ,结合三角形内角的条件 , 故A,B 同为锐角 , 因为sin sin cos cos A B A B > , 所以cos cos sin sin 0A B A B -< , 即cos()0A B +< , 所以2A B ππ<+< ,因此02C <<π, 所以ABC ∆是锐角三角形 , 不是钝角三角形 ,所以充分性不满足 ,反之 , 假设ABC ∆是钝角三角形 , 也推不出〞tan tan 1B C > , 故必要性不成立 , 所以为既不充分也不必要条件 , 应选D.5、在ABC 中 , 满足222sin 2sin 2sin 2A B C += , 那么以下说法中错误的选项是〔〕 A ．C 可能为4π B ．C 可能为2π C ．C 可能为34π D ．ABC 可能为等腰Rt【答案】B【解析】假设4Cπ, 取,24A B ππ==,此时三个内角满足222sin 2sin 2011sin 2A B C +=+== , 故A 正确且D 正确. 假设2C π=, 那么22sin 2sin 20A B += , 故sin 2sin 20A B == ,故()2,20,2A B π∈ , 故22A B π== , 所以2A B π==, 与内角和为π矛盾 , 故B 错误.假设34C π= , 取8A B π== , 那么222A B π+= ,此时三个内角满足22211sin 2sin 21sin 222A B C +=+== , 故C 正确.应选 : B. 二、多项选择题6、a , b , c 分别为ABC 内角A , B , C 的对边.已知()sin 3sin b A b c B =- , 且1cos 3A = , 那么〔〕A ．3a c b +=B ．tan 22A =C ．ABC 的周长为4cD ．ABC 的面积为2229c 【答案】ABD【解析】∵()sin 3sin b A b c B =- , ∴()3ab b c b =- , ∴3a b c =-.由余弦定理得()22232cos b c b c bc A -=+- ,整理得23b c = , 又1cos 3A = , ∴22sin 3A =, tan 22A =. 周长为4a b c b ++=. 故ABC 的面积为2122sin 29bc A c =. 应选 : ABD7、当520,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时 , 函数()sin y x ωϕ=+与()cos y x ωϕ=+0,||2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象恰有三个交点P M N 、、 , 且PMN 是直角三角形 , 那么〔〕 A ．PMN 的面积1S =B ．22ωπ=C ．两函数的图象必在134x πϕω-=处有交点 D ．,44ππϕ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【解析】由()()sin cos x x x ωϕωϕ+=+可得()4x k k Z πωϕπ+=+∈ , 而()2sin 42k k Z ππ⎛⎫+=±∈ ⎪⎝⎭,因为当520,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时 , 函数()sin y x ωϕ=+与()cos y x ωϕ=+0,||2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象恰有三个交点P M N 、、 , 且PMN 是直角三角形 , 所以该直角三角形斜边上的高为2222⨯= , 且该直角三角形必为等腰直角三角形 , 因此斜边为22 , 所以这两个函数的周期都为22T = , 那么222πω= , 所以22ωπ=, 即B 正确 ;三角形PMN 的面积为122222PMNS=⨯⨯= , 故A 错 ; 当520,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时 , 25,22x x πωϕπϕϕϕ⎡⎤+=+∈+⎢⎥⎣⎦ , 因为这两个函数恰有三个交点 , 所以3449513424ππϕπππϕ⎧-<≤⎪⎪⎨⎪≤+<⎪⎩ , 又||2ϕπ< , 所以44ππϕ-≤≤ , 故D 正确 ;因为134x ωϕπ+< , 所以两函数的图象在134x πϕω-=处不可能有交点 , 故C 错.应选 : BD8、在ABC 中 , 内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 假设1tan A , 1tan B, 1tan C依次成等差数列 , 那么以下结论中不一定成立．．．．．的是〔〕 A ．a , b , c 依次成等差数列 B ．a , b , c 依次成等差数列 C ．2a , 2b , 2c 依次成等差数列 D ．3a , 3b , 3c 依次成等差数列【解析】ABC 中 , 内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c , 假设1tan A , 1tan B , 1tan C依次成等差数列 ,那么 : 211tan tan tan B A C=+ , 利用sin tan cos ααα=, 整理得 :2cos cos cos sin sin sin B C AB C A=+ ,利用正弦和余弦定理得 : 2222222222222a c b a b c b c a abc abc abc+-+-+-⋅=+, 整理得 : 2222b a c =+ , 即 : 222,,a b c 依次成等差数列.此时对等差数列222,,a b c 的每一项取相同的运算得到数列a , b , c 或a , b , c 或3a ,3b , 3c , 这些数列一般都不可能是等差数列 , 除非a b c == , 但题目没有说ABC 是等边三角形 , 应选 : ABD. 三、填空题9、在ABC ∆中 , ,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边 , 假设32sin sin sin ,cos 5B AC B =+= , 且6ABC S ∆= , 那么b =__________．【答案】4 【解析】已知等式2sin sin B A sinC =+ , 利用正弦定理化简得 : 2b a c =+ ,3cos ,5B =∴可得24sin 1cos 5B B =-=, 114sin 6225ABC S ac B ac ∆∴==⨯= , 可解得15ac = , ∴余弦定理可得 , 2222cos b a c ac B =+-()()221cos a c ac B =+-+=23421515b ⎛⎫-⨯⨯+⎪⎝⎭, ∴可解得4b = , 故答案为4.10、在△ABC 中 , 内角A , B , C 的对边分别为,,a b c , 假设cos cos sin A B Ca b c+= , 22265b c a bc +-= , 那么tan B =______．【答案】4 【解析】∵cos cos sin A B Ca b c+= , ∴由正弦定理得cos cos sin sin sin sin A B CA B C+= , ∴111tan tan A B+= , 又22265b c a bc +-= ,∴由余弦定理得62cos 5A = , ∴3cos 5A = ,∵A 为ABC ∆的内角 , ∴4sin 5A = , ∴4tan 3A = ,∴tan 4B = , 故答案为 : 4．11、在ABC 中 , 已知1AC = , A ∠的平分线交BC 于D , 且1AD = , 2BD = , 那么ABC 的面积为_________.【答案】378【解析】因为AD 平分BAC ∠ , 所以12BAD CAD BAC ∠=∠=∠ , 设BAD θ∠= , 那么CAD θ∠= , 2BAC θ∠= , 因为BAD CAD ABC S S S +=△△△ , 设AB x = ,所以111sin sin sin 2222x x θθθ+= , 所以 , sin sin 2sin cos x x θθθθ+= , 因为sin 0θ≠ , 所以12cos x x θ+= , 即1cos 2x xθ+=, 在ABD △中 , 212cos 2x x θ+-= , 所以21122x x x x-+=, 可得220x x --= , 解得 : 2x = ,所以3cos cos 4BAD θ∠==, 所以27sin 1cos 4BAD BAD ∠=-∠=, 7337sin 2sin cos 2448BAC θθ∠==⨯⨯=, 所以137sin 28ABCSAC AB BAC =⋅∠=, 故答案为 : 378四、解答题12、从①ABC 的面积2S = ; ②AD CD ⊥这两个条件中任选一个 , 补充在下面的问题中进行求解.如下列图 , 在平面四边形ABCD 中 , 2AB CD == , 34B π=, 对角线AC 平分BAD ∠ , 且____________________ , 求线段AD 的长.注 : 如果选择两个条件分别解答 , 按第一个解答计分.【答案】4 【解析】选① , 2S =12222222S BC BC =⋅⋅⋅=⇒=∴2842222252AC ⎛⎫=+-⋅⋅⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭204825cos cos 52252BAC CAD +-∠===∠⋅⋅∴2252022545AD AD +-⋅⋅⋅= 28160AD AD -+= , 4=AD .选② , 过点C 作AB 延长线的垂线 , 垂足于E 因为34B π=, 所以4CBE π∠= , 所以CE BE = 因为对角线AC 平分BAD ∠ , 所以2CE CD == 所以224AD AB BE =+=+=13、在①32ABCS=, ②sin 3sin 3cos b C b B c B c --=;③sin 2sin B C =这三个条件中任选一个 , 补充在下面问题中 , 并做答.问题:已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,,13a b c A c π== , ________ , 角B 的平分线交AC 于点D , 求BD 的长.(注:如果选择多个条件分别解答 , 按第一个解答计分.) 【答案】3262BD -=. 【解析】假设选条件① : 由32ABCS =, 可得13sin 22bc A =因为,13A c π== ,所以2,b =在ABC 中 , 由222124122132a b c bccosA =+-=+-⨯⨯⨯=所以222b a c =+ , 所以2B π=(法一〕因为BD 为角平分线 , 所以4ABD π∠= , 故53412ADB ππππ∠=--= , 5123226sin sin 126422224πππ+⎛⎫=+=⨯+⨯= ⎪⎝⎭ 在ABD △中 , 15sin sin 312BDππ= , 可得3262BD -= (法二〕因为BD 为角平分线 , 所以4ABD CBD π∠=∠=, 因为ABC ABD CBD S S S =+ 所以3111sin 453sin 45222BD BD =⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒ , 解得3262BD -=假设选条件② : 由sin 3cos b C c B c -= , 可得sin sin 3sin cos sin B C C B C -= ,因为sin 0,C ≠ 所以sin 3cos 1B B -= , 可得1sin 32B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ , 因为203B π<<, 所以333B πππ-<-<故36B ππ-= , 可得2B π=.〔下同条件①)假设选条件③:由sin 2sin B C = , 可得22b c == ,在ABC 中 , 由22212cos 4122132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯= , 所以222b a c =+ , 所以2B π=.〔下同条件①).14、在ABC 中 , 角,,A B C 的对边分别为,,a b c , 且2B A = , 94c a =, .在①2a = ; ②13b = ; ③ABC 的面积为93916.这三个条件中任选一个 , 补在上面条件中 , 假设问题中三角形存在 , 求ABC 的周长 ; 假设问题中三角形不存在 , 说明理由.注 : 如果选择多个条件分别解答 , 按第一个解答计分.【答案】答案见解析【解析】假设选① , 由2a = , 知92c = , 由2B A =得sin sin 2B A = , 即sin 2sin cos B A A = , 即2cos 4cos b a A A == , 在ABC 中由余弦定理得 : 2222cos a b c bc A =+- , 即28194(4cos )2(4cos )cos 42A A A =+-⋅⋅⋅ , 所以213cos 16A = , 由0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ , 故13cos 4A = , 所以4cos 13b A == , 所以三角形周长为9132131322l =++=+ 假设选② , 由2B A =得sin sin 2B A = , 即sin 2sin cos B A A = , 即2cos b a A = ,而13b = , 所以132cos a A = , 即13cos 2A a =, 在ABC 中由余弦定理得 : 2222cos a b c bc A =+- , 即2229913(13)213442a a a a ⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭, 即24a = , 即2a = , 所以99242c =⨯= , 所以三角形周长为9132131322l =++=+ 假设选③ , 由2B A =得sin sin 2B A = , sin 2sin cos B A A = , 即2cos b a A = , 三角形ABC 面积21199939sin 2cos sin sin cos 224416S bc A a A a A a A A ==⋅⋅⋅== 由94c a =, 得9sin sin 4C A = , 而sin sin(2)sin3C A A A π=--= , 即9sin sin cos 2cos sin 2sin 4C A A A A A =⋅+⋅= , 而sin A =0 , 即29cos 22cos 4A A =+ , 所以294cos 14A -= , 所以213cos 16A = , 由0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ , 所以13cos 4A = , 3sin 4A = , 于是2931393944416a ⋅⋅= , 所以24a = , 即2a = , 所以99242c =⨯= , 所以三角形周长为9132131322l =++=+. 15、在ABC 中 , A B C <<且tan A , tan B , tan C 均为整数. 〔1〕求A 的大小 ;〔2〕设AC 的中点为D , 求BC BD的值. 【答案】〔1〕45A =︒ ; 〔2〕1BC BD = 【解析】〔1〕A B C << , A ∴不能是钝角 , tan 0A >假设tan 2A ≥ , tan603︒= , 且tan y x =在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭内单调递增 , 60A ∴>︒ 又A B C << , ,B C ∴都大于60︒ , 与A B C π++=矛盾tan 1A ∴= , 即45A =︒〔2〕45,135A B C =︒∴+=︒ , ()tan tan1351B C +=︒=-又()tan tan tan 11tan tan B C B C B C++==-- , 即tan tan 1tan tan B C B C -=+ 由tan B , tan C 均为整数 , 且B C < , 可得tan 2,tan 3B C == 那么525cos ,sin 55B B == ; 10310cos ,sin 105C C == 由正弦定理sin 45sin sin a b c B C ==︒ , 可得21035,55b ac a == 又AC 的中点为D , 那么2214BA BC BD AC ⋅=-, 即221cos 4c a ABC BD AC ⋅⋅∠=- 即2235512105545a a BD a ⎛⎫⋅⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭解得BD a = , 故1BC a BD a == 16、在ABC 中 , 角A , B , C 所对的边分别为a , b , c .已知cos a C , cos b B , cos c A 成等差数列.〔1〕求角B 的大小 ;〔2〕假设4cos 5A = , 求sin C 的值. 【答案】〔1〕3π ; 〔2〕34310+. 【解析】〔1〕cos ,a C ∴ , cos b B , cos c A 成等差数列 ,2cos cos cos b B a C c A ∴=+ ,由正弦定理 , 2sin cos sin cos sin cos sin()B B A C C A A C =+=+ ,ABC 中 , A B C π++= , sin()sin()sin A C B B π∴+=-= ,2sin cos sin B B B ∴= ,又(0,)B π∈ , sin 0B ∴> ,1cos 2B ∴= , 3B π∴=. 〔2〕(0,)A π∈ , sin 0A ∴> ,23sin 1cos 5A A ∴=-= , sin sin()sin cos sin cos C AB A B B A ∴=+=+3143343525210+=⨯+⨯=. 17、已知函数()sin (3sin cos )222x x x f x =+．〔Ⅰ〕求函数()f x 的单调递增区间 ;〔Ⅱ〕设△ABC 中的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 假设3()2f B = , 且3b = , 求22a c +的取值范围．【答案】〔Ⅰ〕单调递增区间为π5π(2π,2π)66k k -++ , k ∈Z. 〔Ⅱ〕2236a c <+≤ 【解析】〔Ⅰ〕2()3sin sin cos 222x x x f x =+31(1cos )sin 22x x =-+π3sin()32x =-+. 所以πππ2π2π232k x k -+<-<+ , 解得π5π2π2π66k x k -+<<+ , k Z ∈. 所以函数()f x 的单调递增区间为π5π(2π,2π)66k k -++ , k Z ∈. 〔Ⅱ〕因为π33()sin()322f B B =-+= , 所以πsin()03B -=.所以π=3B . 又因为3b = , 所以223=a c ac +- , 即22=3+a c ac +.而222a c ac +≥ , 所以3ac ≤ , 即226a c +≤.又因为22=3+3a c ac +> , 所以2236a c <+≤．。

高考数学三轮冲刺三角函数课时提升训练(6).docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作三角函数课时提升训练（6）一、简答题评卷人得分（每空？分，共？分）1、已知<<<，(1)求的值.（2）求.2、已知函数.(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期;(Ⅱ) 求f(x)在区间上的最大值和最小值.3、已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的值域．4、对于定义域分别为的函数，规定：函数(1) 若函数,求函数的取值集合；(2) 若，其中是常数，且，请问，是否存在一个定义域为的函数及一个的值，使得，若存在请写出一个的解析式及一个的值，若不存在请说明理由。

5、已知向量与共线，设函数。

（Ⅰ）求函数的周期及最大值；（Ⅱ）已知锐角△ABC 中的三个内角分别为 A、B、C，若有，边 BC＝，，求△ABC 的面积．6、已知函数，其最小正周期为（I）求的表达式；（II）将函数的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程，在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围.7、已知向量，，函数．（1）求的最大值，并求取最大值时的取值集合；（2）已知..分别为内角..的对边，且，，成等比数列，角为锐角，且，求的值．8、已知函数，（1）求函数的最大值和最小正周期；（2）设的内角的对边分别且,，若，求的值．9、若函数对任意的实数，，均有，则称函数是区间上的“平缓函数”.(1) 判断和是不是实数集R上的“平缓函数”，并说明理由；(2) 若数列对所有的正整数都有，设,求证：.10、如果函数的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”．（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”求出所有的值；若不具有“性质”，请说明理由．（2）已知具有“性质”，且当时，求在上的最大值．（3）设函数具有“性质”，且当时，．若与交点个数为2013个，求的值．11、在中，分别为角的对边，向量，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的值．12、已知函数（其中）的图象如图所示.（1）求的解析式；（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的对称轴方程；（3）当时，方程有两个不等的实根，，求实数的取值范围，并求此时的值.13、已知，．记（其中都为常数，且）．（Ⅰ）若，，求的最大值及此时的值；（Ⅱ）若，①证明：的最大值是；②证明：．14、已知函数（1）若函数的图像关于点对称，且，求的值；（2）设若的充分条件，求实数的取值范围15、如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数，时的图象，且图象的最高点为B（－1，2）。

2021年高考数学三轮冲刺集合与函数课时提升训练(5)

2021年高考数学三轮冲刺集合与函数课时提升训练（5）3、已知函数f（x）=x2－2（－1）k1nx（k∈N*）存在极值，则k的取值集合是A．{2,4,6,8,…} B．{o,2,4,6,8,…}C．{l,3,5,7,…}D．N*4、已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且，则A．2 B．3 C．4 D．05、定义在R上的函数具有下列性质：①；②；③上为增函数.对于下述命题，正确命题的个数为①为周期函数且最小正周期为4②的图象关于y轴对称且对称轴只有一条③在上为减函数A.0B.1C.2D. 38、的值域为A．[2，+） B．（—，] C．（0，] D．[0，] 15、已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（）A．0 B． C．1 D．16、已知函数上的偶函数，当时，的零点个数为( )A．4 B．6 C．8 D．1020、函数是单调函数时，的取值范围（）A． B． C ． D．24、已知函数,若关于的不等式的解集为，则的取值范围是．25、已知函数的定义域为，则实数的取值范为▲ .26、将正偶数集合…从小到大按第组有个偶数进行分组如下：第一组第二组第三组…………则位于第_______组。

27、已知函数f(x)=，x∈，则满足f(x0)＞f()的x0的取值范围为．30、已知，且，则的最小值是________．31、已知函数y=f（x+1）是R上的偶函数，且时恒成立，又的解集是 .34、函数的定义域为A，若且时总有，则称为单函数．例如，函数是单函数．下列命题：①函数是单函数；②若为单函数，且则；③若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；④函数在某区间上具有单调性，则一定是该区间上的单函数．其中的真命题是．（写出所有真命题的编号）35、已知函数是定义在（–1，1）上的奇函数，且. （1）求函数f(x)的解析式；(2)求：f(x+1)36、若f(x)= ax2+bx+a是定义在 [a-1，2a]的偶函数，则a+b=38、设（Ⅰ）求函数的定义域；（Ⅱ）若存在实数满足，试求实数的取值范围.3、A4、【答案】A【解析】因为，所以令x=0得：，因为的图象关于直线对称，所以，所以…………①令x=-2,得…………②①②联立解得，所以，所以函数的周期为4，所以，因此选A。

2021届高考数学试卷专项练习05三角函数与解三角形含解析

三角函数与解三角形一、单选题一、单选题1．（2021·江苏盐城市·高三二模）计算2cos10sin 20cos 20︒-︒︒所得的结果为（）A ．1BCD ．2【答案】C 【解析】将cos10︒转化成cos(3020)︒-︒，展开整理化简即可. 【详解】2cos10sin 202cos(3020)sin 20cos 20cos 20︒-︒︒-︒-︒=︒︒==故选：C2．（2021·浙江高一期末）在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化，太阳直射点回归运动的一个周期就是一个回归年.某科研小组以某年春分(太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间)为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度值(太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值).设第x 天时太阳直射点的纬度值为,y 该科研小组通过对数据的整理和分析.得到y 与x 近似满足23.43929110.01720279y sin x =.则每400年中，要使这400年与400个回归年所含的天数最为接近.应设定闰年的个数为(精确到1)（）参考数据182.62110.01720279π≈A ．95B ．96C ．97D ．98【答案】C 【解析】求得y 的最小正周期，由此求得每400年差的天数，由此确定需要设定的闰年的个数. 【详解】()2182.62112365.2422,40036596.88970.01720279T T π=≈⨯=-=≈，所以应设定闰年的个数为97.故选：C3．（2021·山东高三专题练习）密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位7写成“007-”，478密位写成“478-”，1周角等于6000密位，记作1周角6000=-，1直角1500=-．如果一个半径为2的扇形，它的面积为76π，则其圆心角用密位制表示为（） A ．1250- B ．1750- C ．2100-D ．3500-【答案】B 【解析】计算出扇形所对圆心角的弧度数，可计算出扇形圆心角的密位数，结合密位制可得结果. 【详解】设扇形所对的圆心角为α，α所对的密位为n ，则217226απ⨯=，解得7π12α=，由题意可得71260002n ππ=，解得76000175024n =⨯=，因此，该扇形圆心角用密位制表示为1750-. 故选：B.4．（2021·江苏常州市·高三一模）函数()()2sin ln1f x x x x =+-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】根据()00f =，排除B 、C 选项；再由函数的奇偶性，排除D 选项，即可求解. 【详解】由题意，函数())2sin ln 1f x x x x =+，可得()00f =，可排除B 、C 选项；又由()())2sin ln1f x x x x -=-+=22211sin ln 1x x x x x x x +++--+-⎝)122sin ln sin ln 11x x x xx x -⎛⎫=-=-++-)()2sin ln1x x x f x =+=，所以函数()f x 为偶函数，所以排除D 选项. 故选：A.5．（2021·河南高三月考（文））函数2()23sin cos 2sin 1f x x x x =-+的图象向右平移24π个单位长度后得到函数()g x 的图象，对于函数()g x ，下列说法不正确的是（） A ．()g x 的最小正周期为π B ．()g x 的图象关于直线524x π=对称 C ．()g x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．()g x 的图象关于点13,024π⎛⎫-⎪⎝⎭对称【答案】C 【解析】将函数转化为()f x =2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由平移变换得到()g x 2sin 212x π⎫⎛=+⎪⎝⎭，然后逐项判断. 【详解】因为()23sin cos f x x x =-22sin 12sin 26x x π⎫⎛+=+ ⎪⎝⎭．其图象向右平移24π个单位长度后得到函数()2sin 2246g x x ππ⎡⎤⎫⎛=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2sin 212x π⎫⎛=+ ⎪⎝⎭的图象．所以()g x 的最小正周期为π，故A 正确；当524x π=时，2122x ππ+=，所以()g x 的图象关于直线524x π=对称，故B 正确；当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，572,121212x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 在间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，故C 错误；当1324x π=-时，212x ππ+=-，所以函数()g x 的图象关于点13,024π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故D 正确．故选：C6．（2021·河南高三月考（文））函数()cos 1xf x x =-的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】通过函数的定义域判断选项C ，通过函数的奇偶性判断选项B ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，通过函数的正负判断选项A ，即可得出结果. 【详解】因为cos 10x -≠，所以()f x 的定义域为{|2,}x x k k π≠∈Z ，则0x ≠，故排除C ；而()cos()1x f x x --=--()cos 1xf x x -==--，所以()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 10x -<，()0cos 1x f x x =<-，所以排除A ．故选：D ．7．（2021·全国高三专题练习（文））已知()2sin 3sin 2ππαα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则221sin sin 2cos 2ααα--=（） A ．513B ．113C ．513-D ．113【答案】B 【解析】由诱导公式以及商数关系得出3tan 2α=，再由倍角公式以及弦化切得出答案. 【详解】由2sin()3sin 2ππαα⎛⎫-=+⎪⎝⎭，得2sin 3cos αα=，所以3tan 2α=从而222222221sin sin cos cos tan tan 11sin sin 2cos 2sin cos tan 113αααααααααααα------===-++．故选：B8．（2021·山东德州市·高三一模）已知π1sin sin 33αα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）．A ．13B ．13-C D ．3-【答案】B 【解析】利用两角和的正弦公式化简然后使用辅助角公式计算即可.【详解】由π1sin sin 33αα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以111sin sin coscos sinsin 33323ππααααα=++=++111sin 233πcos 6ααα-=-⇒⎛⎫+ ⎪=-⎝⎭ 故选：B9．（2021·山东日照市·高三一模）将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的图象，则下列说法正确的是（） A ．()y f x =是奇函数B ．()y f x =的周期为πC ．()y f x =的图象关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．()y f x =的图象关于直线2x π=对称【答案】C 【解析】先求出()y f x =的解析式，再根据余弦函数的性质逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()sin cos 2y f x x x π⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，()cos y f x x ==，()()()cos cos f x x x f x -=-==，所以()cos y f x x ==是偶函数，故选项A 不正确；()cos y f x x ==的周期为221T ππ==，故选项B 不正确； ()cos y f x x ==的图象对称中心为(),02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故选项C 正确；()cos y f x x ==对称轴为()x k k Z π=∈，直线2x π=不是()y f x =的图象的对称轴，故选项D 不正确；故选：C.10．（2021·全国高三专题练习（文））明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进的航海技术——“过洋牵星术”，简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断水位.其采用的主要工具是牵星板，其由12块正方形模板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指）.观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则sin 2α约为（）A ．1235B ．1237C ．16D ．13【答案】B 【解析】根据12块正方形模板成等差数列可知6指板的长度，再由三角恒等变换求值即可. 【详解】由题意，12块正方形模板组成以2厘米为首项，最大边长24厘米的等差数列，所以公差2422121d -==-，故第6块正方形模板边长为2(61)212+-⨯=厘米，即 6指的板长度为12厘米. 因为眼睛到木板距离为72厘米，故在直角三角中61tan 726α==，所以222122sin cos 2tan 126sin 22sin cos 1sin cos 1tan 37136ααααααααα⨯=====+++，故选：B11．（2021·山东青岛市·高三一模）已知角θ终边上有一点417tan π,2sin π36P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos θ的值为（）A ．12B ．12-C ．D ．2【答案】D 【解析】先算出点P 的坐标，再利用三角函数的定义计算即可. 【详解】因为4tantan tan 333ππππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭17sin sin 266ππππ⎛⎫⎛⎫-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin sin sin 6662πππππ⎛⎫⎛⎫=-+=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即112sin 16π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭所以)1P-所以cos θ==故选：D.12．（2021·湖南高二月考）将函数f (x )=sin x 的图象上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )的最小正周期为6π，则（） A ．ω=13B ．ω=6C ．ω=16D ．ω=3【答案】A 【解析】由伸缩变换求出()g x 的解析式，再由周期公式得出答案. 【详解】由题意可知()sin g x x ω=，由26ππω=，解得13ω=故选：A13．（2021·广东广州市·高三一模）函数3()sin f x x x =-在[1,1]-上的图像大致为（）A ．B ．C．D ．【答案】C 【解析】根据解析式和图象，结合特殊值，判断选项. 【详解】因为函数3()sin f x x x =-，()11sin10f =->，故排除AD ，331sin 066662f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故排除B ，只有C 满足条件.故选：C14．（2021·山东菏泽市·高三一模）函数的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】判断函数的奇偶性，再判断函数值的正负，从而排除错误选项，得正确选项．【详解】因为()sin x xx xy f x e e --==+所以()()sin sin x xx x x x x xf x e e e e------+-==++ 得()()f x f x =--，所以sin x xx xy e e --=+为奇函数排除C;在[0,)+∞，设()sin g x x x =-， ()1cos 0g x x ='-≥，()g x 单调递增，因此()(0)0g x g ≥=，故sin 0x xx xy e e--=≥+在 [0,)+∞上恒成立，排除AD 故选：B.15．（2021·广东肇庆市·高三二模）已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边与以O 为圆心的单位圆相交于A 点.若A 6） A ．6sin α=B ．2cos 23α=-C ．5sin 2α=D ．5tan 2α=【答案】B 【解析】根据三角函数的定义求得cos ,sin αα，再由二倍角公式求得sin 2,cos 2αα，然后由同角关系得tan 2α后判断各选项．【详解】由三角函数的定义，可知cos 6α=，sin 6α=±，则22cos 22cos 13αα=-=-，sin 2α、tan 2α均有两解故选：B.16．（2021·山东淄博市·高三一模）已知()()cos cos f x x x x =在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是32，则实数m 的最小值是（） A ．12πB ．3πC ．12π-D ．6π 【答案】D 【解析】利用()f x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值，结合()f x 的单调性求得m 的最小值. 【详解】()()cos cos f x x x x =+2cos cos x x x =1cos 21122cos 2222x x x x +=+=++1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 由于1131sin 21,sin 262622x x ππ⎛⎫⎛⎫-≤+≤-≤++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()f x 的值域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 211sin 33622f πππ⎛⎫⎛⎫-=-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()f x 在3x π=-处取得最小值，而()f x 的最小正周期为22ππ=，其一半为2π，则326πππ-+=，所以()f x 在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，且在6x π=处取得最大值32，故m 的最小值为6π. 故选：D17．（2021·辽宁高三二模）若1tan 23=α，则()5πsin 12sin 3παα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-（） A ．13-B ．3-C ．13D ．3【答案】A 【解析】先根据诱导公式化简得()5πsin 1cos 12sin 3πsin αααα⎛⎫+- ⎪-⎝⎭=-,再结合半角公式整理得()5πsin 1cos 112tan sin 3πsin 23ααααα⎛⎫+- ⎪-⎝⎭==-=--. 【详解】由诱导公式化简整理得：()5πsin 1cos 12sin 3πsin αααα⎛⎫+- ⎪-⎝⎭=-，由于2cos 12sin,sin 2sincos222ααααα=-=，所以()25πsin 12sin cos 1122tan sin 3πsin 232sin cos 22αααααααα⎛⎫+-- ⎪-⎝⎭===-=--⋅ 故选：A18．（2021·湖南衡阳市·高三一模）已知函数()cos f x x ω=（0>ω），将()f x 的图像向右平移3ωπ个单位得到函数()g x 的图像，点A ，B ，C 是()f x 与()g x 图像的连续相邻三个交点，若ABC 是钝角三角形，则ω的取值范围为（）A．0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ B．0,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C．,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ D．,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】先由平移变换得到()cos 3g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，在同一坐标系中作出两个函数图像，设D 为AC 的中点，由cos cos 3x x πωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，3cos 2x ω=±，然后根据ABC 为钝角三角形，只须4ACB π∠<，由tan 1BDACB DC∠=<求解，【详解】由题意得，()cos 3g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，作出两个函数图像，如图：A ，B ，C 为连续三交点，（不妨设B 在x 轴下方），D 为AC 的中点，由对称性，则ABC 是以B 为顶角的等腰三角形，2AC T πω==，由cos cos 3x x πωω⎛⎫=-⎪⎝⎭，整理得cos 3sin x x ωω=，解得3tan x ω=3cos x ω= 即32C B y y =-=，所以23B BD y ==，因为ABC 为钝角三角形，则4ACB π∠<，所以tan 1BD ACB DC π∠==<，解得03ω<<，故选：B.19．（2021·全国高三专题练习（文））已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 2α的值是（） A．BC．-D．【答案】D 【解析】利用两角差的正弦和余弦公式可求得tan α的值，利用二倍角公式可得出sin 22sin cos ααα=，在所得代数式上除以22sin cos αα+，在所得分式的分子和分母中同时除以2cos α，代入tan α的值计算即可得解. 【详解】sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1331sincos 3cos sin 2222，整理得2sin αα=，tan α∴=，因此，222222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos tan 11ααααααααα⎛⨯ ⎝⎭=====++⎛+⎝⎭故选：D.20．（2021·山东滨州市·高三一模）将函数()222cos 1f x x x =+-的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度后得到函数()g x 的图象，若对于满足()()124f x g x -=的1x ，2x ，有12min6x x π-=，则ϕ=（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．512π 【答案】C 【解析】()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2sin 226g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ϕ，故12min 226T x x ππϕϕ-=-=-=，解得答案.【详解】()222cos 12cos 22sin 26f x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，()2sin 226g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ϕ，()()124f x g x -=，则12min226T x x ππϕϕ-=-=-=，故3πϕ=. 故选：C . 二、多选题21．（2021·河北唐山市·高三二模）设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为曲线E ，则（） A ．将曲线sin 2y x =向右平移3π个单位长度，与曲线E 重合B ．将曲线sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，与曲线E 重合C ．,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是曲线E 的一个对称中心 D ．若12x x ≠，且()()120f x f x ==，则12x x -的最小值为2π【答案】BD 【解析】A ：根据正弦型函数图象变换的规律进行判断即可；B ：根据正弦型函数图象变换的规律进行判断即可；C ：根据正弦型函数的对称性进行判断即可；D ：根据正弦型函数的零点进行判断即可；【详解】A ：曲线sin 2y x =向右平移3π个单位长度，得到函数2sin 2()sin(2)sin(2)sin(2)3333y x x x x πππππ=-=-=-+=-+，显然该函数的图象与曲线E 不重合，故本说法不正确； B ：由曲线sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得 sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故本说法正确；C ：因为()sin 101263f πππ⎛⎫-=--=-≠ ⎪⎝⎭，所以点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是该函数的对称中心，故本选项不正确； D ：由()sin 203f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，可得2()()326k x k k Z x k Z ππππ-=∈⇒=+∈ 因为()()120f x f x ==，所以111()26k x k Z ππ=+∈，222()26k x k Z ππ=+∈，所以12122x x k k π-=-，因为12x x ≠，12,k k Z ∈，所以12k k -的最小值为1，即12x x -的最小值为2π，故本选项正确，故选：BD22．（2021·辽宁高三二模）以下有关三角函数()sin cos2f x x x =⋅的说法正确的为（） A ．x ∀∈R ，()()0f x f x --= B ．0T ∃≠，使得f x Tf xC ．()f x 在定义域内有偶数个零点D ．x ∀∈R ，()()π0f x f x --=【答案】BD 【解析】对于A ，取3x π=可得答案；对于B ，取2T π=可得答案；对于C ，根据奇函数图象的对称性可得答案；对于D ，利用解析式运算可得答案. 【详解】对于A ，22()()sin()cos sin cos 333333f f ππππππ--=-⋅-⋅11()()22=--=0≠，故A错误.对于B ，因为()()()2πsin 2πcos 22πsin cos 2f x x x x x +=++=⎡⎤⎣⎦，所以0T ∃≠，使得f x Tf x ，故B 正确.对于C ，因为()sin()cos(2)sin cos 2()f x x x x x f x -=--=-=-，所以()f x 为奇函数，因为0x =在定义域内，所以()00f =，故()f x 有奇数个零点，故C 错误.对于D ，()()()π()sin πcos 2πsin cos 2sin cos 2f x f x x x x x x x --=---=⎡⎤⎣⎦sin cos 20x x -=，故D 正确. 故选：BD23．（2021·全国高三专题练习）已知函数()()()sin 00f x x ωϕωϕπ=+><<，，将()y f x =的图象上所有点向右平移23π个单位长度，然后横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象.若()g x 为偶函数，且最小正周期为2π，则下列说法正确的是（） A ．()y f x =的图象关于012π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 B ．()f x 在5012π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减 C ．()g x ≥12的解为()6232k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， D ．方程()2x f x g ⎛⎫= ⎪⎝⎭在504π⎛⎫⎪⎝⎭，上有2个解【答案】AC 【解析】根据三角函数的平移变换原则求出()g x ，再根据三角函数的性质求出,ωϕ，由三角函数的性质逐一判断即可. 【详解】将()y f x =的图象上所有点向右平移23π个单位长度，可得2sin 3y x πωϕ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，可得()4sin 23g x x πωϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由()g x 为偶函数，且最小正周期为2π，则4,32k k Z ππϕπ-+=+∈，且222ππω=，0ϕπ<< 解得2ω=，56πϕ=，所以()5sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，当12x π=时，526x ππ+=，即n 012si f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故()y f x =的图象关于012π⎛⎫⎪⎝⎭，对称，故A 正确；对于B ，由5012x π<<，则5552,663x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，正弦函数的单调递减区间为32,2,22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，由55,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭不是32,2,22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦的子集，故B 不正确；对于C ，()g x ≥12，即()1cos 42g x x =-≥，即1cos 42x ≤，即24242,33k x k k Z ππππ+≤≤+∈，解得,6232k k x k Z ππππ+≤≤+∈，故C 正确；对于D ，()2x f x g ⎛⎫=⎪⎝⎭，即5sin 2cos 26x x π⎛⎫+=-⎪⎝⎭，作出函数图象()y f x =与()y g x =的图象，如下：由图象可知，两函数的图象在504π⎛⎫⎪⎝⎭，上交点个数为3个，故D 不正确. 故选：AC24．（2021·山东高三专题练习）已知()442sin ,cos 22x x a f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若a 与b 共线，则下列说法正确的是（） A ．将()f x 的图象向左平移π3个单位得到函数1π3cos 2434y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象B ．函数()f x 的最小正周期为πC ．直线3π2x =是()f x 的一条对称轴 D ．函数()f x 在ππ,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减【答案】BC 【解析】根据向量共线的坐标表示求出()f x ，由三角函数的平移变换原则可判断A ；由2T πω=可判断B ；将3π2x =代入，结合余弦函数的对称轴可判断C ；利用余弦的单调递减区间为()2,2,k k k Z πππ+∈可判断D. 【详解】因为a 与b 共线，则()4412sincos 0222x xf x ⎛⎫⨯--+= ⎪⎝⎭，所以()442222cossin cos sin 2cos sin 222222x x x x x x f x ⎛⎫=+=+-⋅ ⎪⎝⎭ ()211131sin 11cos 2cos 22444x x x =-=--=+.对于A ，将()f x 的图象向左平移π3个单位得到函数12π3cos 2434y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，故A 错误；对于B ，222T πππω===，故B 正确；对于C ，当3π2x =时，则3232ππ⨯=，由余弦函数的对称轴为,x k k Z π=∈，故C 正确；对于D ，ππ,24x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，则π22,x π⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，由余弦函数的单调递增区间为()2,2,k k k Z πππ-∈，当0k =时，余弦函数的单调递增区间为(),0π-，所以函数()f x 在ππ,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增. 故选：BC25．（2021·广东广州市·高三一模）已知函数2()sin 22cos f x x x =+，则（） A ．()f x 的最大值为3 B ．()f x 的图像关于直线8x π=对称C ．()f x 的图像关于点,18π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】BC 【解析】化简得出()2214f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即可根据正弦函数的性质分别判断.【详解】2()sin 22cos sin 2cos212sin 214f x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，则()f x 的最大值为21+，故A 错误；()2sin 2121884f ⎛⎫=⨯++=+ ⎪⎝⎭πππ，则()f x 的图像关于直线8x π=对称，故B 正确； ()2sin 211884f ⎡⎤⎛⎫-=⨯-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦πππ，则()f x 的图像关于点,18π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故C 正确；当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，则可得2,442x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦时，函数单调递增；当32,424x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦πππ时，函数单调递减，故D 错误. 故选：BC.26．（2021·广东肇庆市·高三二模）函数()()sin A f x x ωϕ+（0A >）的部分图象如图所示，则()f x =（）A ．22sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭B ．52sin 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．2cos 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．72cos 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】先求出A ，再根据图像得出周期，进而算出ω，最后代入点算出ϕ. 【详解】根据图象，可得2A =，设()f x 的最小正周期为T则37341264T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得T π=，所以22Tπω==. 将最低点的坐标7,212π⎛⎫-⎪⎝⎭代入()()2sin 2f x x ϕ=+中得72sin 2212πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，则7262k ππϕπ+=-（k ∈Z ）解得523k πϕπ=-（k ∈Z ），所以()52sin 223x k f x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. 令0k =，则()5772sin 22sin 22cos 22cos 236266x x x f x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=--=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：BC.27．（2021·广东深圳市·高三一模）已知函数()cos22sin cos 22f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（） A ．()f x 的最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图象关于直线8x π=对称D ．()f x 在区间3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】BC 【解析】首先利用诱导公式和二倍角公式、辅助角公式化简()f x ，再利用正弦函数的性质逐一检验四个选项的正误即可求解. 【详解】()()cos 22sin cos cos 22cos sin 22f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 22cos sin cos 2sin 224x x x x x x π⎛⎫=+⋅=+=+ ⎪⎝⎭所以()f x A 不正确； ()f x 的最小正周期为22T ππ==，故选项B 正确；因为2842k ππππ⨯+=+，解得：0k =，所以直线8x π=是()f x 的图象的对称轴，故选项C 正确；令()3222242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得：()588k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以()f x 在区间73,88ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故选项D 不正确，故选：BC.28．（2021·山东菏泽市·高三一模）已知函数()()(0)20,2f x sin x πωϕωϕ=+><<.2x π=为函数的一条对称轴，且318f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.若()f x 在3,84ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调，则ω的取值可以是（） A ．43 B ．83C ．163D ．323【答案】BC 【解析】由2x π=为对称轴，及318f π⎛⎫=⎪⎝⎭求出ω的取值集合，再根据函数在区间上单调，求出ω的范围，即可求出ω的值；【详解】解：2x π=为对称轴22k ππωϕπ⇒+=+，k Z ∈；3312886f m πππωϕπ⎛⎫=⇒+=+ ⎪⎝⎭或526m ππ+，m Z ∈；联立解之得:()8823k m ω=-+或()8823k m ω=--，k Z ∈，m Z ∈；又在3,84ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调， 348160ππππωω⎧⎛⎫---=≤⎪ ⎪∴⎝⎭⎨⎪>⎩，所以08ω<≤83ω∴=或163故选：BC29．（2021·全国高三专题练习）已知函数21,0()cos ,0x x f x x x ⎧+=⎨<⎩，，则下列结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．312f f π⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()f x 是增函数D ．()f x 的值域为[1,)-+∞【答案】BD 【解析】利用反例可判断AC 错误，结合函数的解析式可判断BD 为正确，从而可得正确的选项. 【详解】()12f =，而()()1cos11f f -=<，故()f x 不是偶函数，故A 错误.因为77cos cos 3333f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()f x 不是增函数，故C 错误. ()3012f f f π⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确. 当0x <时，()[]1,1f x ∈-，当0x ≥时，()[)1,f x ∈+∞，故()f x 的值域为[1,)-+∞，故D 正确. 故选：BD.30．（2021·山东枣庄市·高三二模）已知函数()sin 2f x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则（） A ．()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是1 B ．()f x 的最小正周期是2π C ．直线()2k x k Z π=∈是()f x 图象的对称轴 D ．直线2y x π=与()f x 的图象恰有2个公共点【答案】ACD 【解析】利用正弦型函数的最值可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用函数的对称性可判断C 选项的正误；利用图象法可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin sin sin 2sin 23f x x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2633x πππ≤-≤，则当36x ππ-=时，函数()f x 取最小值，即()min 2sin 16f x π==， A 选项正确；对于B 选项，()sin f x x x =，()0f =12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()02f f π⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，故函数()f x 的最小正周期不是2π，B 选项错误；对于C 选项，若k 为奇数，则()()()()sin sin cos sin f k x k x k x x x x x f x πππ-=--===；若k 为偶数，则()()()()sin sin sin f k x k x k x x x x x f x πππ-=--=-+=+=. 由上可知，当k Z ∈时，()()f k x f x π-=，所以，直线()2k x k Z π=∈是()f x 图象的对称轴，C 选项正确；对于D 选项，()()()sin sin cos sin f x x x x x x x πππ+=+++=-+=+，所以，π为函数()f x 的周期.当02x π≤≤时，()sin 2sin 23f x x x x π⎛⎫==+≤ ⎪⎝⎭；当2x ππ≤≤时，()sin 2sin 23f x x x x π⎛⎫==-≤ ⎪⎝⎭.综上可知，()2f x ≤.当0x <时，20x π<，()sin 0f x x x =≥，即函数2y x π=与()f x 在(),0-∞上的图象无交点；当x π>时，22x π>，()2f x ≤，所以，函数2y x π=与()f x 在(),π+∞上的图象也无交点.作出函数2y x π=与函数()f x 在[]0,π上的图象如下图所示：由图象可知，函数2y x π=与函数()f x 在[]0,π上的图象有两个交点，D 选项正确.故选：ACD.31．（2021·山东高三专题练习）已知函数()sin cos f x x x =，则（）A ．()f x 是周期函数B ．()f x 的图象必有对称轴C ．()f x 的增区间为,,2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦D ．()f x 的值域为48⎡⎣ 【答案】ABD 【解析】对A ，由()2f x f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭可判断；对B ，由()()f x f x -=可判断；对C ，根据4f π⎛⎫⎪⎝⎭和2f π⎛⎫⎪⎝⎭的大小可判断；对D ，求出()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π的取值范围即可. 【详解】对A ，()sin cos cos sin 222f x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故2π是()f x 的周期，故A 正确；对B ，()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x -=--==，故()f x 关于y 轴对称，故B 正确；对C ，当0k =时，区间为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，34sincos2444f πππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，34122f π⎛⎫==< ⎪⎝⎭，故()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦不单调递增，故C 错误；对D ，由AB 可得()()2f x f x f x π⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，则()f x 关于4x π=对称，且周期为2π，故()f x 的值域即为()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π的取值范围，此时()f x =()))3322cos sinx x f x -'=，0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos sin x x ∴>，()0f x '∴>，可知()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π单调递增，()01f =，4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 的值域为⎡⎣. 故选：ABD.32．（2021·辽宁铁岭市·高三一模）已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<的部分自变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（）．A ．函数解析式为()5π3sin 226f x x ⎛⎫ ⎝=⎪⎭++B ．函数()f x 图象的一条对称轴为2π3x =- C ．5π,012⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D ．函数()f x 的图象左平移π12个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数【答案】ABD【解析】首先根据表格，利用最值求A 和B ，再根据周期求ω，以及根据最小值点求ϕ，求得函数的解析式，再分别代入23x π=-和512x π=-，判断BC 选项，最后根据平移规律求平移后的解析式.【详解】由表格可知，2B =，函数的最大值是5，所以25A B A +=+=，即3A =，当3x π=时，函数取得最小值，最小值点和相邻的零点间的距离是71234πππ-=，所以12244ππωω⨯=⇒=，当3x π=时，322,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：526k πϕπ=+，0ϕπ<<， 56πϕ∴=，所以函数()53sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故A 正确； B.当23x π=-时，252362πππ⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭，能使函数取得最小值，所以23x π=-是函数的一条对称轴，故B 正确； C.当512x π=-时，5520126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，此时2y =，所以5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的一个对称中心，故C 不正确；D.函数向左平移12π个单位后，再向下平移2个单位后，得()53sin 2223sin 23sin 2126y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=+++-=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数是奇函数，故D 正确.故选：ABD33．（2021·山东烟台市·高三一模）已知函数()2sin cos 1f x x x +=-，则（） A ．()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．直线2x π=是()f x 图象的一条对称轴C ．方程()1f x =在[]0,π上有三个实根D ．()f x 的最小值为1-34．（2021·江苏常州市·高三一模）函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．函数()y f x =的图象可由函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位得到 B ．函数()y f x =的图象关于直线8x π=轴对称C ．函数()y f x =的图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D ．函数2()y x f x =+在08π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数【答案】BCD 【解析】对四个选项，一一验证：对于选项A ，利用三角函数相位变化即可；对于选项B ，利用正弦函数的对称轴经过最高（低）点判断；对于选项C ，利用正弦函数的对称中心直接判断；对于选项D ，利用复合函数的单调性“同增异减”判断；【详解】由题意，对于选项A ，函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位可得到()sin 2sin 2cos 242f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以选项A 错误；对于选项B ，sin 21884f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取到了最大值，所以函数()y f x =的图象关于直线8x π=轴对称，所以选项B 正确；对于选项C ，08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =的图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，所以选项C 正确；对于选项D ，函数2yx 在08π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数，08x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2442x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，单调递增，所以函数2()y x f x =+在08π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数，所以选项D 正确.故选：BCD.35．（2021·山东德州市·高三一模）已知函数()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示，将函数()f x 的图像上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图像向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图像，则下列关于函数()g x 的说法正确的是（）．A ．()g x 的最小正周期为2π3B ．()g x 在区间ππ,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()g x 的图像关于直线4π9x =对称 D ．()g x 的图像关于点π,09⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称【答案】AC 【解析】根据函数图象得到A =2，2,2T T ππω===，再根据函数图象过点5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭，求得函数()f x 的解析式，然后利用伸缩变换和平移变换得到()g x 的解析式，再逐项判断. 【详解】由函数图象知：A =2，5212122T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以2,2T Tππω===，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，因为函数图象过点5,212π⎛⎫-⎪⎝⎭，所以52sin 2212πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，则532,62k k Z ππϕπ+=+∈，解得22,3k k Z πϕπ=+∈，所以()22sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()f x 的图像上所有点的横坐标变为原来的23，得到()22sin 33f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，纵坐标不变，再将所得函数图像向右平移π6个单位长度，得到()2sin 36g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，A. ()g x 的周期是23T π=，故正确； B. 因为ππ,93x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π7π3,626x π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故错误； C. 因为3,62x k k Z πππ+=+∈，所以,39k x k Z ππ=+∈，故正确； D. 因为2sin 3296ππ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，故错误.故选：AC36．（2021·辽宁沈阳市·高三一模）已知函数()22sin cos f x x x x =+则下列结论中正确的是（）A ．()f x 的图象是由y= 2sin2x 的图象向左移3π个单位得到的B ．()f x 在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 的对称中心的坐标是(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭D ．函数()()g x f x =[]0,10内共有8个零点【答案】BCD 【解析】A.化简得()2sin(2)3f x x π=+，利用函数的图象变换得该选项错误；B.利用复合函数的单调性原理分析得该选项正确；C. 由2,3x k k Z ππ+=∈得该选项正确；D.解方程sin 23x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭得该选项正确. 【详解】()2π2sin cos sin 222sin 22sin 236f x x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，把2sin 2y x =的图象向左平移6π个单位，得到()f x ，所以选项A 不正确; 设23t x π=+，则t 在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调增， ,03x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2,333x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦,,33t ππ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦又sin y t =在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以选项B 正确;由2,3x k k Z ππ+=∈得对称中心为(),062k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，所以选项C 正确；由sin 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭得2233x k πππ+=+或222,33x k k Z πππ+=+∈ 解得x k π=或,6x k k Z ππ=+∈，又[]0,10,x ∈0,1,2,3k ∴=时，713190,,,,2,,3,6666x πππππππ=，共8个零点，所以选项D 正确. 故选：BCD37．（2021·山东济宁市·高三一模）将函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（）A ．π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 图象的一个对称中心C ．函数()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()g x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是⎡⎢⎣⎦【答案】BC 【解析】首先求得函数()sin 23g x x π=-⎛⎫⎪⎝⎭，再根据选项，整体代入，判断函数的性质. 【详解】()2sin 2sin 2633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1sin 462g ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；sin 0633g πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,,33622x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，故C 正确；,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当232x ππ-=-时，函数取得最小值-1，当233x ππ-=时，函数取得最大值2，所以函数的值域是⎡-⎢⎣⎦.故选：BC38．（2021·山东高三专题练习）函数()2cos 2sin 1f x x x x =-+，下列结论正确的是（）A ．()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C ．将()f x 的图象向左平移512π个单位后与2sin 2y x =-的图象重合 D ．若12,x x π-=则()()12f x f x =【答案】ACD 【解析】由二倍角公式、两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质判断．【详解】1()2cos 222cos 22sin 226f x x x x x x π⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，t =2,622x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，此时sin y t =递增，A 正确；2sin 220666f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 错误；将()f x 的图象向左平移512π个单位后得解析式52sin 2()2sin(2)2sin 2126y x x x πππ⎡⎤=++=+=-⎢⎥⎣⎦，C 正确；易知函数周期为22T ππ==，因此当12,x x π-=则()()12f x f x =，D 正确．故选：ACD ．39．（2021·广东汕头市·高三一模）知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下述结论中正确的是（）A ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有2个极小值点B ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在20,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则ω的范是1519,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．若()f x 的图象关于4x π=对称，且在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调，则ω的最大值为9 【答案】ACD 【解析】令4t x πω=+，由[]0,2x π∈，可得出,244t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin y t =在区间,244ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的图象，可判断A 选项正误；根据已知条件求出ω的取值范围，可判断C 选项正误；利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；利用正弦型函数的对称性与单调性可判断D 选项的正误. 【详解】令4t x πω=+，由[]0,2x π∈，可得出,244t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin y t =在区间,244ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的图象，如下图所示：对于A 选项，若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有2个极小值点，A 选项正确；对于C 选项，若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则4254ππωππ≤+<，解得151988ω<≤，C 选项正确；对于B 选项，若151988ω<≤，则2192154604πππππω≤+<+，所以，函数()f x 在区间20,15π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，B 选项错误；对于D 选项，若()f x 的图象关于4x π=对称，则()442k k Z ωππππ+=+∈，()14k k Z ω∴=+∈.52361812T ππππω∴=≥-=，12ω∴≤，()41k k Z ω=+∈，max 9ω∴=. 当9ω=时，()sin 94f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，当5,1836x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，339442x πππ<+<，此时，函数()f x 在区间5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，合乎题意，D 选项正确. 故选：ACD. 三、填空题40．（2021·山东烟台市·高三一模）已知2()0,a π∈，若1sin 223πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α的值为___________.【答案】2【解析】由诱导公式可求得1cos 23α=，再根据二倍角的余弦公式求得sin ,cos αα，即可求得tan α. 【详解】1sin 2cos 223παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，2()0,a π∈，sin 3α∴==，cos 3α==，sin tan cos ααα∴==.故答案为：2. 41．（2021·全国高三专题练习（文））若1cos 63x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．【答案】79- 【解析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式可求得sin 26x 的值.【详解】27sin 2sin 2cos 22cos 6366912x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪⎡⎤+=-=-=-⎭ ⎪⎢⎥⎝⎝⎭⎝⎭⎝⎣=-⎢⎥⎣⎭⎦⎦.故答案为：79-.42．（2021·山东高三专题练习）已知sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．【答案】59【解析】利用二倍角的余弦公式可求得结果.【详解】由二倍角的余弦公式可得225cos 2cos 212sin 123669πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭. 故答案为：59.43．（2021·全国高三专题练习）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点.”已知ABC 内接于单位圆，以BC ，AC ，AB 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A '，B '，C '.若30ACB ∠=︒，则A B C '''的面积最大值为_______.【解析】设,BC a AC b ==，求出90B CA ''∠=︒，从而可得2221()3A B a b ''=+，在ABC 中，设BAC α∠=，由正弦定理用α表示出,a b ，这样22a b +就表示为α的函数，然后由降幂公式，两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可得最大值，从而得面积最大值．【详解】解：设,BC a AC b ==，由题意以,,AC BC CA 边向外作等边三角形,,ACE BCD ABF △△△，其外接圆圆心分别为,,A B C '''，连接,CB CA ''并延长分别交,EA BD 于,P Q ，则2233CB CP '===，同理CA '=， ,ACE BCD 都是等边三角形，则30PCA QCB ∠=∠=︒，又30ACB ∠=︒，则90A CB ''∠=︒，所以222221()3A B CB CA a b ''''=+=+，A B C '''是正三角形，所以其面积为2221)22412SA B A B A B a b ''''''=⨯==+， ABC 内接于单位圆，即其外接圆半径为1r =，则2sin 2sin a r BAC BAC =∠=∠，同理。

高考数学三轮冲刺三角函数课时提升训练(4).docx

三角函数课时提升训练（4）一、填空题评卷人得分（每空？分，共？分）1、给出下列命题：①存在实数α，使sinαcosα=1成立；②存在实数α，使sinα+cosα=成立；③函数是偶函数；④方程是函数的图象的一条对称轴方程；⑤若α．β是第一象限角，且α>β，则tgα>tgβ。

其中正确命题的序号是__________________2、设函数的最小正周期为，且其图象关于直线对称，则在下面四个结论：①图象关于点对称；②图象关于点对称；③在上是增函数；④在上是增函数中，所有正确结论的编号为3、函数有最大值，最小值，则实数的值为____4、若，则的最大值为_______．5、下列命题中：（1）的充分不必要条件；（2）函数的最小正周期是；（3）中，若，则为钝角三角形；（4）若，则函数的图像的一条对称轴方程为；其中是真命题的为6、已知函数，.设是函数图象的一条对称轴，则的值等于．7、函数f（x）= 2sin（2x+)-cos(－2x)+ cos（2x+)，给出下列4个命题，其中正确命题的序号是。

①直线x=是函数图像的一条对称轴；②函数f（x）的图像可由函数y=sin2x的图像向左平移个单位而得到；③在区间[，]上是减函数；④若，则是的整数倍；8、设函数，若是奇函数，则的一个可能值是．9、已知，，则等于▲.10、设函数，其中，将的最小值记为的单调递增区间为▲.11、设的内角所对的边长分别为，且，则_______二、简答题评卷人得分（每空？分，共？分）12、已知函数（,,）的图像与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和（1）求函数的解析式；（2）若锐角满足，求的值．13、设函数，它的一个最高点为以及相邻的一个零点是。

（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）求的值域14、已知函数(1)求函数的最小正周期；(2)若存在，使不等式成立，求实数m的取值范围.15、已知函数，若对恒成立，且。

（1）求的解析式；（2）当时，求的单调区间。

高考数学三轮增分练高考小题分项练5 三角函数与解三角形文

高考小题分项练5 三角函数与解三角形1．若点(sin 5π6，cos 5π6)在角α的终边上，则sin α＝________. 答案－32解析根据任意角的三角函数的定义，得sin α＝cos 56π1＝－32. 2．若tan α＝12，tan(α－β)＝－13，则tan(β－2α)＝________. 答案－17解析 tan(β－2α)＝tan(β－α－α)＝tan β－α－tan α1＋tan β－αtan α＝13－121＋13·12＝－17. 3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，若AB ＝5，则ω的值为________．答案 π3 解析 AB ＝5＝ 42＋T22，解得T ＝6＝2πω，ω＝π3. 4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π8个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，若函数y ＝f (x )的图象过原点，则φ＝________.答案 3π4解析由题设可知f (x )＝sin[2(x ＋π8)＋φ]，由题意f (0)＝0，即sin(π4＋φ)＝0，注意到0<φ<π，所以φ＝3π4. 5．如果满足∠ABC ＝60°，AC ＝12，BC ＝k 的锐角△ABC 有且只有一个，那么实数k 的取值范围是__________．答案 (43，12]解析当AC ＝BC ·sin∠ABC ，即k sin 60°＝12，k ＝83时，三角形为直角三角形，不合题意．当0<BC ≤AC ，即0<k ≤12时，三角形只有一解，其中要使△ABC 为锐角三角形，应有BC >AC tan∠ABC ＝12tan 60°＝43，所以实数k 的取值范围是43<k ≤12.6.函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0,0<φ<π)的图象的一部分如图所示，则此函数的解析式为________________．答案 y ＝3sin(π4x ＋π4)解析由图象知A ＝3，T 2＝5－1＝4，所以T ＝8. 因为T ＝2πω＝8，所以ω＝π4，所以f (x )＝3sin(π4x ＋φ)．因为函数f (x )的图象过点(1,3)，所以3sin(π4＋φ)＝3，即sin(π4＋φ)＝1.因为π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又因为0<φ<π，所以φ＝π4，所以函数f (x )的解析式是f (x )＝3sin(π4x ＋π4)． 7．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6) (ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是__________．答案 [－32，3] 解析由题意可得ω＝2.∵x ∈[0，π2]， ∴ωx －π6＝2x －π6∈[－π6，5π6]，由三角函数图象知：f (x )的最小值为3sin(－π6)＝－32，最大值为3sin π2＝3， ∴f (x )的取值范围是[－32，3]． 8．在△ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若a ＝5，A ＝π4，cos B ＝35，则边c ＝________.答案 7解析由cos B ＝35，得sin B ＝45，由a sin A ＝b sin B ，得b ＝42，由cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得c 2－6c －7＝0，c ＝7或c ＝－1(舍)．9．设a ，b ，c 为△ABC 的三边长，a ≠1，b <c ，若log (c ＋b )a ＋log (c －b )a ＝2log (c ＋b )·a log (c －b )a ，则△ABC 的形状为________三角形．答案直角解析 ∵log (c ＋b )a ＋log (c －b )a ＝2log (c ＋b )a ·log (c －b )a ，∴1log c －b a ＋1log c ＋b a ＝2，即log a (c －b )＋log a (c ＋b )＝2，∴log a (c 2－b 2)＝2，即c 2－b 2＝a 2，即c 2＝a 2＋b 2，故△ABC 的形状为直角三角形．10．已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin(ωx ＋π2)(ω>0)的最小正周期为π，则f (x )在区间[0，2π3]上的值域为__________．答案 [0，32] 解析 f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin(ωx ＋π2) ＝sin 2ωx ＋3sin ωx ·cos ωx＝1－cos 2ωx 2＋32sin 2ωx ＝32sin 2ωx －12cos 2ωx ＋12＝sin(2ωx －π6)＋12. 因为T ＝2π2ω＝πω＝π，所以ω＝1，即f (x )＝sin(2x －π6)＋12. 当x ∈[0，2π3]时，2x －π6∈[－π6，7π6], 所以sin(2x －π6)∈[－12，1]，所以f (x )的值域为[0，32]． 11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若a cos B＋b cos A ＝c sin C ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则B ＝________. 答案 45°解析由正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ，sin(A ＋B )＝sin 2C ，sin C ＝sin 2C ，于是sin C ＝1，C ＝90°.从而S ＝12ab ＝14(b 2＋c 2－a 2)＝14(b 2＋b 2)，解得a ＝b ，因此B ＝45°.12．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数：①f 1(x )＝sin x ＋cos x ；②f 2(x )＝2sin x ＋2；③f 3(x )＝2(sin x ＋cos x )；④f 4(x )＝sin x ；⑤f 5(x )＝2cos x 2(sin x 2＋cos x 2)，其中“互为生成”函数的有________．(请填写序号) 答案 ①②⑤解析 f 1(x )＝2sin(x ＋π4)，f 3(x )＝2sin(x ＋π4)， f 5(x )＝sin x ＋cos x ＋1＝2sin(x ＋π4)＋1，其中①②⑤都可以由y ＝2sin x 平移得到，它们是“互为生成”函数，③④不能由y ＝2sin x 平移得到，相互也不能平移得到，故填①②⑤.13．已知α∈(0，π2)，且tan(α＋π4)＝3，则lg(8sin α＋6cos α)－lg(4sin α－cos α)＝________. 答案 1解析 ∵α∈(0，π2)，且tan(α＋π4)＝3， ∴tan α＋11－tan α＝3，∴tan α＝12， ∴lg(8sin α＋6cos α)－lg(4sin α－cos α)＝lg 8sin α＋6cos α4sin α－cos α＝lg 8tan α＋64tan α－1＝lg 10＝1. 14．函数y ＝tan ωx (ω>0)与直线y ＝a 相交于A ，B 两点，且AB 最小值为π，则函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx 的单调增区间为________________．答案 [2k π－π3，2k π＋2π3](k ∈Z ) 解析由函数y ＝tan ωx (ω>0)的图象可知，函数的最小正周期为π，则ω＝1，故f (x )＝2sin(x －π6)．由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )．。

训练五三角函数(Word)

【高考冲刺】三角函数参考答案与试题解析一、选择题（共20小题）1．△ABC 中，D 为BC 的中点，满足∠BAD+∠C=90°，则△ABC 的形状是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形考点：三角形的形状判断．2361020 专题：计算题．分析：由∠BAD+∠C=90°，根据三角形的内角和定理得到剩下的两角相加也为90°，设∠BAD=α，∠B=β，可得∠C=90°﹣α，∠CAD=90°﹣β，在三角形ABD 和三角形ADC 中，分别根据正弦定理表示出BD ：AD 及CD ：AD ，由D 为BC 中点，得到BD=CD ，从而得到两比值相等，列出关于α和β的关系式，利用诱导公式及二倍角的正弦函数公式化简后，得到sin2α=sin2β，由α和β的范围，可得出α=β或α+β=90°，由α=β根据等角对等边可得AD=BD=CD ，根据三角形一边上的中线等于这边的一半可得三角形ABC 为直角三角形；由α+β=90°，可得AD 与BC 垂直，又D 为BC 中点，故AD 垂直平分BC ，故AB=AC ，此时三角形ABC 为等腰三角形．解答：解：∵∠BAD+∠C=90°，∴∠CAD+∠B=180°﹣（∠BAD+∠C ）=90°，设∠BAD=α，∠B=β，则∠C=90°﹣α，∠CAD=90°﹣β，在△ABD 和△ACD 中，根据正弦定理得：sinα：sinβ=BD ：AD ， sin （90°﹣β）：sin （90°﹣α）=CD ：AD ，又D 为BC 中点，∴BD=CD ， ∴sinα：sinβ=sin （90°﹣β）：sin （90°﹣α）=cosβ：cosα， ∴sinαcosα=sinβcosβ，即sin2α=sin2β， ∴2α=2β或2α+2β=180°， ∴α=β或α+β=90°，∴BD=AD=CD 或AD ⊥CD ， ∴∠BAC=90°或AB=AC ，∴△ABC 为直角三角形或等腰三角形．故选D点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有正弦定理，二倍角的正弦函数公式，诱导公式，以及直角三角形和等腰三角形的判定，利用了分类讨论及数形结合的思想．由∠BAD+∠C=90°，根据三角形的内角和定理得到剩下的两角相加也为90°是本题的突破点．2．下列几种说法正确的个数是（）①函数的递增区间是；②函数f（x）=5sin（2x+φ），若f（a）=5，则f（a+）＜f（a+）；③函数的图象关于点对称；④直线是函数图象的一条对称轴；⑤函数y=cosx的图象可由函数y=sin的图象向右平移个单位得到．A．1B．2C．3D．4考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；复合三角函数的单调性．2361020专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：对于①把函数的解析式变形，再利用余弦函数的增区间是[2kπ﹣π，2kπ]，k∈z，列出不等式，求得自变量x的取值范围．判断正误即可．对于②，由于x=a 是函数的对称轴，且函数的周期等于π，可得f（a+）＞f（a+），判断②正误．对于③，由于点在函数图象上，结合图象可得函数图象关于点）对称，判断③的正误．对于④代入，函数取得最值，即可判断正误．对于⑤利用函数的图象的平移，求出平移的函数的解析式，即可判断正误．解答：解：①函数y=cos（﹣3x）=cos（3x﹣），根据余弦函数的增区间是[2kπ﹣π，2kπ]，k∈z，得：2kπ﹣π≤3x﹣≤2kπ+，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，故①正确．对于②函数f（x）=5sin（2x+ϕ），若f（a）=5，故x=a 是函数的对称轴，且函数的周期等于π，故函数在[a﹣，a+]上是单调增函数．∵f（a+）=f（a﹣），f（a+）=f（a﹣），a﹣＜a﹣，∴f（a﹣）＜f（a﹣），即f（a+）＞f（a+）；故②不正确．对于③函数，由于点在图象上，结合图象可得函数图象关于点对称，故③正确．对于④当代入函数，函数取得最大值，所以是函数图象的一条对称轴，故④正确．对于⑤将函数y=sin的图象向右平移个单位，得到函数y=sinx的图象，故⑤不正确．所以①③④．故选C．点评：本题主要考查三角函数的对称性和单调性，以及函数图象的变换，三角函数的内容比较琐碎，要记忆的比较多，平时要注意公式的记忆和基础知识的积累，掌握基本知识是解好这类题目的关键．3．函数的值域是（）A ．B ．C ．D ．考点：正弦函数的定义域和值域；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数．2361020专题：计算题．分析：令t=sinx+cosx=，则t且t≠﹣1，则inxcosx=，==，结合t 的范围可求函数的值域解答：解：由题意可得，sinx+cosx+1≠0 令t=sinx+cosx=，则t且t≠﹣1两边同时平方可得，t2=1+2sinxcosx∴sinxcosx=∴==∵且t≠﹣1∴且y≠﹣1故函数的值域为故选D点评：本题主要考查了利用换元法求解函数的值域，正弦函数的性质的应用，解题中不要漏掉y≠﹣1的考虑4．要得到函数y=sin （2x+）的图象，只要将函数y=sin2x 的图象（） A ．向左平移单位 B ．向右平移单位 C ．向右平移单位 D ．向左平移单位考点：函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．2361020 专题：计算题．分析：由于函数y=sin（2x+）=sin2（x+），故只要将函数y=sin2x的图象相左平移个单位即可实现目标．解答：解：由于函数y=sin（2x+）=sin2（x+），故只要将函数y=sin2x的图象相左平移个单位，即可得到函数y=sin（2x+）的图象，故选D．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换，属于中档题．5．在△ABC中，已知a=6，B=60°，C=75°，则b=（）A．B．C．D．考点：解三角形．2361020专题：计算题．分析：由三角形的内角和公式可得A=45°，在△ABC中，由正弦定理可得，由此求得b 的值．解答：解：由三角形的内角和公式可得A=45°，在△ABC中，由正弦定理可得，∴=，∴b=，故选D．点评：本题考查三角形的内角和公式，正弦定理的应用，求出A=45°，是解题的关键．6．若函数f（x）=3sin（2x+φ）对任意x都有，φ的最小正值为（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．2361020专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得函数的对称轴为x=，根据2×+φ=kπ+，k∈z 求得φ的最小正值．解答：解：∵函数f（x）=3sin（2x+φ）对任意x都有，故函数的对称轴为x=，故有2×+φ=kπ+，k∈z．故φ的最小正值为，故选A．点评：本题主要考查正弦函数的图象的对称性，判断函数的对称轴为x=，是解题的关键，属于中档题．7．已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）满足条件f（x+）+f（x）=0，则ω的值为（）A．2πB．πC．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．2361020专题：计算题．分析：先把x+代入函数式，根据三角函数的诱导公式可求得f（x+）=f（x），进而可知函数的周期为．又满足条件f（x+）+f（x）=0，得出其周期是1，两者相等即可求出ω的值．解答：证明：f（x+）=Asin（ωx+2π+φ）=Asin（ωx+φ）=f（x）∴函数f（x）的周期是又f（x+）+f（x）=0，⇒f（x+1）+f（x+）=0，∴f（x+1）=f（x），∴函数f（x）的周期是1∴=1⇒ω=2π故选A．点评：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法．属基础题．8．在△ABC中，已知，则三角形ABC的形状为（）A．等腰三角形B．正三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形考点：解三角形．2361020专题：解三角形．分析：将已知的等式利用正弦定理化简，变形后得出b=c，即可确定出此三角形为等腰三角形．解答：解：由正弦定理=化简已知的等式得：=bc==b2﹣bc+c2，即（b﹣c）2=0，∴b﹣c=0，即b=c，则△ABC为等腰三角形．故选A点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，立方和公式，完全平方公式，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．9．某人白A地出发朝正东方向走xkm后，再沿北偏西60°方向走3km，结果它离出发地A 恰好km，那么等于（）A．B．C．D．3考点：解三角形．2361020专题：计算题．分析：由题意，设从A地出发朝正东方向走xkm后到达B地，再沿北偏西60°方向走3km 到达C地．则可构建△ABC，利用余弦定理可得方程，从而可求x的值．解答：解：由题意，设从A地出发朝正东方向走xkm后到达B地，再沿北偏西60°方向走3km到达C地．在△ABC中，AB=xkm，BC=3km，AC=km，∠ABC=30°由余弦定理得3=9+x2﹣6x×cos30°解得故选C．点评：本题的考点是解三角形，主要考查利用余弦定理求三角形的边，关键是由实际问题抽象出三角形模型，从而利用余弦定理求解，应注意理解方位角．10．若非零向量和满足，且，则△ABC为（）A．等边三角形B．等腰非直角三角形C．非等腰三角形D．等腰直角三角形考点：三角形的形状判断；向量在几何中的应用．2361020专题：计算题．分析：根据任意一向量与该向量的模的比值都是单位向量，可得：，进而得到在∠BAC的角平分线上（设角平分线为AD），再根据两向量的数量积为0，可得两向量垂直可得AD与BC垂直，根据三角形的全等，可得AB=AC，即三角形为等腰三角形，同时由及，根据平面向量的数量积运算法则可求出C的度数，进而判断出三角形的形状．解答：解：根据向量的性质可得：，∴在∠BAC的角平分线上（设角平分线为AD），∵，∴AD⊥BC，∴AB=AC，即三角形为等腰三角形，∴∠B=∠C，又，且，∴∠C=45°，∴∠A=90°，则三角形为等腰直角三角形．故选C点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：平面向量的加法的四边形法则，向量的数量积的运算，全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的判定，熟练掌握平面向量的数量积运算法则是解本题的关键．11．在Rt△ABC中，CA=4，CB=3，M是斜边AB的中点，则的值为（）A．B．C．D．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算．2361020专题：计算题．分析：在直角三角形ABC中，由CA与CB的长，利用勾股定理求出AB的长，又M为斜边AB的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出CM的长，以及MB的长，在三角形CBM中，利用余弦定理表示出cos∠CMB，将各自的长代入求出cos∠CMB的值，再由AB，CM及cos∠CMB的值，利用平面向量的数量积运算法则即可求出所求式子的值．解答：解：在Rt△ABC中，CA=4，CB=3，根据勾股定理得：AB=5，又M为斜边AB的中点，∴CM=2.5，在△CBM中，CM=2.5，CB=3，MB=2.5，∴cos∠CMB==﹣，则•=AB•CM•cos∠CMB=5×2.5×（﹣）=﹣．故选D点评：此题考查了直角三角形的性质，余弦定理，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．12．△ABC中，三边之比a：b：c=2：3：4，则最大角的余弦值等于（）A．B．C．D．考点：余弦定理．2361020专题：计算题．分析：设a，b，c 分别为2k，3k，4k，故边c 为最大边，故角C 为最大角，由余弦定理求得cosC 的值，即为所求．解答：解：∵△ABC中，三边之比a：b：c=2：3：4，设a，b，c 分别为2k，3k，4k，故边c 为最大边，故角C 为最大角．由余弦定理可得16k2=4k2+9k2﹣12k2cosC，解得cosC=，故选D．点评：本题主要考查余弦定理的应用，以及三角形中大边对大角，属于中档题．13．锐角△ABC中，如果a=2，b=3，那么c的范围是（）A．1＜c＜5 B．C．D．考点：余弦定理．2361020专题：计算题．分析：要使的三角形是一个锐角三角形，即cosC及cosB的值大于0，即只要使得可以作为最大边的边长的平方小于另外两边的平方和，解出不等式组，根据边长是一个正值求出结果．解答：解：∵a=2，b=3，要使的三角形是一个锐角三角形，∴要满足cosC==＞0，cosB==＞0，即22+32＞c2，22+c2＞32，∴5＜c2＜13，∴．故选C点评：本题考查余弦定理，解题的关键是看清题目中三条边可以作为最大边的边长，利用余弦定理来解决．14．△ABC为钝角三角形，a=3，b=4，c=x，C为钝角，则x的取值范围为（）A．5＜x＜7 B．x＜5 C．1＜x＜5 D．1＜x＜7考点：余弦定理的应用．2361020专题：计算题．分析：由题意可得＜0，且x＜a+b=7，解不等式组求得x的取值范围．解答：解：由题意可得△ABC为钝角三角形，x为最大边的边长，故有＜0，且x＜a+b=7，解得5＜x＜7，故选A．点评：此题主要考查学生灵活运用余弦定理化简求值，会求一元二次不等式组的解集，是一道综合题，学生在做题时应注意钝角三角形这个条件．15．如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=（）A．2B．C．D．﹣2考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．2361020专题：计算题．分析：由图象可得A=2，2sinφ=1，再由0≤φ≤π，结合图象可得φ 的值．再由A，B两点之间的距离为5，可得25=16+，可得ω的值，从而求得函数f（x）的解析式，f （﹣1）的值可求．解答：解：由图象可得A=2，2sinφ=1，即sinφ=．再由0≤φ≤π，结合图象可得φ=．再由A，B两点之间的距离为5，可得25=16+，可得ω=．故函数f（x）=2sin（x+），故f（﹣1）=2sin=2，故选A．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，属于中档题．16．在△ABC中，b=8，c=3，A=60°则此三角形的外接圆的面积为（）A．B．C．D．考点：正弦定理．2361020专题：解三角形．分析：由b，c及cosA的值，利用余弦定理求出a的值，由a，sinA的值，利用正弦定理求出三角形外接圆的半径R，即可求出此三角形外接圆的面积．解答：解：∵b=8，c=3，A=60°，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=64+9﹣24=49，∴a=7，设三角形外接圆半径为R，∴由正弦定理得：=2R，即=2R，解得：R=，则此三角形外接圆面积为πR2=．故选C点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．17．在△ABC中，a：b：c=3：5：7，则此三角形中最大角的度数是（）A．150° B．120° C．90°D．135°考点：余弦定理．2361020专题：计算题．分析：由a：b：c的比值，设一份为k，表示出a，b及c，利用余弦定理表示出cosC，将表示出的a，b及c代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数，即为此三角形中最大角的度数．解答：解：∵a：b：c=3：5：7，即a=3k，b=5k，c=7k，∴由余弦定理得：cosC===﹣，又C为三角形的内角，则此三角形中最大角C的度数是120°．故选B点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．若函数f（x）=cos（ωx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于原点对称，且f（x）在区间上单调递减，则ω的一个取值可以是（）A．2B．3C．4D．5考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．2361020专题：函数的性质及应用．分析：由函数图象关于原点对称可得φ=，且ω＞0，f（x）=﹣sinωx．由f（x）在区间上单调递减，可得≤•，解得ω≤2，由此得到满足条件的选项．解答：解：由于函数f（x）=cos（ωx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于原点对称，故函数f（x）=cos（ωx+φ）（0＜φ＜π）是奇函数，故φ=，且ω＞0，∴f（x）=﹣sinωx．又f（x）在区间上单调递减，∴≤=•，解得ω≤2，综合可得0＜ω≤2，故选A．点评：本题主要考查利用y=Asin（ωx+∅）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，属于中档题．19．在△ABC中，若cosA•cosB•cosC＞0，则这个三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角或锐角三角形考点：三角形的形状判断．2361020专题：计算题．分析：根据cosA•cosB•cosC＞0，可知cosA，cosB，cosC 三者中，同为正，或两负一正，由于A，B，C为三角形中的角，可得cosA，cosB，cosC 三者中，同为正，从而得解．解答：解：由题意，∵cosA•cosB•cosC＞0∴cosA，cosB，cosC 三者中，同为正，或两负一正由于A，B，C为三角形中的角∴cosA，cosB，cosC 三者中，同为正∴A，B，C为锐角故选B．点评：本题以三角形为载体，考查三角函数，考查三角形形状的判断，属于中档题．20．设函数，给出以下四个论断：①它的图象关于直线对称；②它的图象关于点（，0）对称；③它的最小正周期是π；④在区间[]上是增函数．以其中两个论断作为条件，余下论断作为结论，一个正确的命题：条件3，结论．A．①②⇒③④B．③④⇒①②C．②④⇒①③D．①③⇒②④考点：正弦函数的对称性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．2361020专题：计算题．分析：由③知ω=2，再由对称轴，可得函数解析式，再求出函数的单调区间，因为可得f（x）在区间[]上是增函数，得到结论．解答：解：①③⇒②④由③知ω=2∴又由①2×+φ=kπ+∴φ=kπ+又∵∴φ=∴∵∴∵∴f（x）在区间[]上是增函数故选D点评：本题主要考查三角函数的周期性，单调性，对称性，以及学生构造命题拓展问题的能力．二、解答题（共1小题）（选答题，不自动判卷）21．已知函数f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若函数的图象关于直线对称，求φ的值．考点：三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．2361020专题：计算题．分析：（1）先根据三角函数的两角和与差的正弦公式化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，根据T=可得答案．（2）先表示出函数的解析式，根据三角函数的对称性可得到答案．解答：（1）解：∵f（x）=sin（x+φ），∴函数f（x）的最小正周期为2π．（2）解：∵函数，又y=sinx的图象的对称轴为（k∈Z），令，将代入，得（k∈Z）．∵0＜φ＜π，∴．点评：本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。

2022届高考数学三轮冲刺课之解答题5极坐标与参数方程课件

3
高中数学
本节说明
极坐标与参数方程：
题
型
专练
类型一：两种互化及其应用类型二：利用参数几何意义解题类型三：利用ρ,θ的几何意义解题
1
题型专练 2
题型专练 3
4
高中数学
题型专练 1
5
高中数学
例题
题型专练 1
高中数学
例题
题型专练 1
高中数学
例题
题型专练 1
高中数学
高考数学冲刺之解答题5 极坐标与参数方程
主讲人： |
高中数学
解答题 01
三角函数与解三角形
解答题 02
立体几何
解答题 03
统计与概率
解答题 04
函数与导数
解答题 05
极坐标与参数方程
2
高中数学
高考冲刺分析
参数方程与极坐标方程在高考中往往综合考查，各自的特征都较为突出，都是极坐标方程转化为直角坐标方程、参数方程方程转化为普通方程，最后转化为平面几何知识进行解决. 特别要注意： (1)极坐标系中直线和圆的方程； (2)已知直线和圆的参数方程，判断直线和圆的位置关系等.求解时，熟练应用互化公式或理解参数的几何意义即可顺利解决
利用ρ,ϴ的几何意义解题模板：
第一步：将角的值代入有关ρ的方程；第二步：解出ρ，明确ρ的几何意义，求出所求条件 .
题型专练 3
高中数学
练习
题型专练 3
高中数学
练习
题型专练 3
高中数学
练习
题型专练 3
高中数学
练习
题型专练 3
高中数学
高考状元满分心得：

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

三角函数课时提升训练（5）
1、下列命题错误的
是
（）
A．若则；
B．点为函数的图象的一个对称中心；
C．已知向量与向量的夹角为°，若，则在上的投影为；
D．“”的充要条件是“，或
（）”．
2、已知函数的图象与直线y=m有三个交点的横坐标分别为
的值是（）
A． B． C．
D．
3、设，给出M到N的映射，则点的象的最小正周期是（）A． B．
C． D．
4、已知函数为奇函数，该函数的部分图象如图所示，是边长为的等边三角形，则的值为
（） A． B． C． D．
5、已知函数，如果存在实数，使
得对任意的实数，都有成
立，则的最小值
为（
）
A. B. C.
D.
6、将函数的图像向左移个单位后，再作关于轴的对称变换得到的函数
的图像，则可以是（）。

A． B． C． D．
7、已知非零向量与满足且则
A等边三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D三边均不相等的三角形
8、若，定义一种向量积：，已知
，且点在函数的图象上运动，点在函数的图象上运动，且点和点满足：（其中O为坐标原点），则函数
的最大值及最小正周期分别为A．B．C．D．
9、已知函数的图象的一条对称轴是，则函数
的最大值是（）
A． B．C． D ．
10、实数，均不为零，若，且，则（）
A．B．C．D．
11、已知，则的值为
（） A．6 B ．7 C．8
D．9
12、在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若角，则关于△ABC
的两个判断“①一定锐角三角形②一定是等腰三角形”中（）
A．①错误②正确 B．①正确②错误 C．①②都正确 D．①②都错误
13、已知，是不平行于x轴的单位向量，且
，则等于A、
B、
C、
D、（1，0）
14、若函数为奇函数，则等于A、 B、 C、
D、
15、函数的值域
是
（）
16、已知方程的两根为且，则
（）。

A 0
B 大于0
C 小于0
D 以上皆错。

17、求值：
18、函数和函数，若存在使得成立，则实数的取值范围是 .
19、下面有五个命题：⑴函数的最小正周期是；⑵终边在轴上的角的集合是；
⑶在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点；
⑷把函数的图象向右平移个单位得到的图象；⑸函数
在[]上是减函数。

其中，真命题的编号是_______（写出所有真命题的编号）。

20、给出下列命题：①函数是奇函数; ②存在实数,使得
; ③若是第一象限角且,则；④是函数
的一条对称轴方程;⑤函数的图像关于点成中心对称.把你认为正确的命题的序号都填在横线上______________.
21、关于函数，有下列命题：①由可知，
必是的整数倍；
②的表达式可改写为；③在单调递减；
④若方程在恰有一解，则；⑤函数
的最小正周期是，
其中正确的命题序号是。

22、有以下四个命题：①函数的一个增区间是；
②函数为奇函数的充要条件是为的整数倍；
③对于函数，若，则必是的整数倍；
④函数，当时,的零点为；⑤
最小正周期为π；
其中正确的命题是.（填上正确命题的序号）[
23、已知，函数若，则实数的取值范围为 .
24、函数的图像与直线及轴所围成图形的面积称为函数在
上的面积，已知函数在上的面积为，则函数
在上的面积为 .
25、给出以下命题：①存在实数x使sinx + cosx =；②若α、β是第一象限角，且α>β，则 cosα<cosβ；
③函数y=的最小正周期是T=；④若cosαcosβ=1,则sin（α+β）=0；其中正确命题的序号是。

26、已知函数，，，
成立，则实数的取值范围是
27、以下结论中：（1）的最小值为4. (2)已知命题：
为假命题，则a的取值范围是a<-8.（3）的值域为。

(4)一次函数的图象同时经过第一，二，四象限的必要不充分条件是mn>0.
其中正确的结论是______________.（写出所有正确结论的编号）.
28、已知实数，给出下列命题：①函数的图象关于直线
对称；②函数的图象可由的图象向左平移个单位而得到；③把函数的图象上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍，可以得到函数）的图象；④若函数
R）为偶函数，则.其中正确命题的序号有；（把你认为正确的命题的序号都填上）。

29、下面有四个命题：①函数是偶函数②函数
的最小正周期是；
③函数在上是增函数；
④函数的图像的一条对称轴为直线，则.
其中正确命题的序号是。

30、若函数在给定区间M上存在正数，使得对于任意，有，且，则称为M上的级类增函数．给出3个命题：①函数
上的3级类增函数；
②函数上的1级类增函数；③若函数是
上的级类增函数，则实数的最小值为2．以上命题中为真命题的
是．
31、已知的顶点分别是离心率为的圆锥曲线的焦点，顶点在
该曲线上；一同学已正确地推得：当时，有，类似地，当时，有 .
32、若函数对定义域的每一个值,在其定义域内都存在唯一的，使
成立，则称该函数为“依赖函数”.给出以下命题：①是“依赖函数”；
②是“依赖函数”; ③y=2x是“依赖函数”；④y=lnx是“依赖
函数”.⑤y=f(x),y=g(x)都是“依赖函数”，且定义域相同，则y=f(x).g(x)是“依赖函数”.其中所有真命题的序号是 .
33、若，则．
34、下列6个命题
中
(1)第一象限角是锐角 (2) 角a终边经过点(a,a)(a¹0)
时,sina+cosa=
(3) 若的最小正周期为,则 (4)若,则
(5) 若∥，则有且只有一个实数，使 (6)若定义在上的函数满足
,则是周期函数请写出正确命题的序
号。

35、给出下列四个命题：①函数的图像沿轴向右平移个单位长度所得图像的函数表达式是.
②函数的定义域是R，则实数的取值范围为（0,1）.
③单位向量、的夹角为，则向量的模为.
④用数学归纳法证明=（）时，从到的证明，左边需增添的因式是.其中正确的命题序号是（写出所有正
确命题的序号）.
36、对于下列命题：①在△ABC中，若，则△ABC为等腰三角形；②已知a，b，c是△ABC的三边长，若，，，则△ABC有两组解；③设，，
,则；④函数f(x)＝4sin (x∈R) 的图象关于直线x＝－对称。

其中正确命题的序号是。

37、两点等分单位圆时，有相应正确关系为；三点等分单位圆时，有
相应正确关系为．由此可以推知：四点等分单位圆时的相应正确关系为__________________．
38、在平面直角坐标系中，已知的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与
单位圆交于点，若，则的取值范围
是 .
39、函数的最大值为．
40、在锐角中，角、、的对边分别为、、，若，则
+= ．
1、C
2、 C
3、A
4、D
5、 B
6、C
7、A
8、选D.提示：
9、B. 解析：∴∴，
，∴，故选B.
10、B11、C 12、C 13、B 14、 B 15、C 16、C 17、 4 18、19、①④ 20、（1）、（4）21、②③⑤
22、①②解：对于①：即求递减区间，由
，得，即为
的递增区间，所以①对；
对于②：为奇函数，则，所以,反之也成立，即②对；
对于③：应是周期的整数倍，又周期为,所以③错；对于④：
，令，得，又
，，，∴，即函数
的零点是，但不是点.所以④错；对于⑤：由知函
数周期为2π，所以⑤错23、24、 25、③④26、
27、②④ .28、②③④ 29、(1)(4) 30、 31、
32、①④.33、.方法一：注意到，故
方法二：，即，即
所以，故34、(4)(6)
35、 36、
③ 37
38、
39、 40、
- 11 -。